phòng gd&đt thạch thành đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện trờng thcs thành vinh năm học 2010 2011 Môn thi: Toán 9 (thời gian 150 phút) B i 1 : (3 im )Cho biểu thức P = 41 3 22 : 9 33 33 2 + + + + x x x x x x x x a. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 128181223.226 +++ b. Tìm x Z để P Z c. Tìm điều kiện của x để P đạt giá trị nhỏ nhất ? Bi 2: (2 im ) Cho x > 0. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 3 3 3 6 6 6 11 2 11 x x x x x x x x B ++ + + + = Bi 3: (3 im )Gii phng trỡnh: a) 2122122 =++++++ xxxx b) 3 21 xx = 5 Bi 4: (3 im )Trong (Oxy) cho ng thng (d 1 ): y = 3 - m(x -2) ; (d 2 ): y + 3 - m(x + 2) = 0 a. Tỡm im c nh A ca (d 1 ), B ca (d 2 ). Vit phng trỡnh ng thng AB b. Tỡm qu tớch giao im M ca (d 1 ) v (d 2 ) c. Xỏc nh m im M trựng im A Bi 5: (5im). Cho ng trũn tõm (O; R) ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi nhau. Trong on AB ly im M khỏc 0. ng thng CM ct ng trũn (O) ti im th hai N. ng thng vuụng gúc vi AB ti M ct tip tuyn vi ng trũn (O) ti N im P. Chng minh rng: a) Cỏc im O, M, N, P cựng nm trờn mt ng trũn. b) T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh. c) CM.CN = 2R 2 d) Khi M di chuyn trờn on AB thỡ P di chuyn õu ? B i 6 : (4 im ) a. Cho x,y thỏa mãn: ( ) 2 2 2011 ( 2011 ) 2011x x y y + + + + = Tính giá trị của biểu thức: T = x 2011 + y 2011 b. Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 x 3 + y 4 . Chứng minh: x 3 + y 3 x 2 + y 2 x + y 2 H t phòng gd&đt thạch thành HNG DN CHM BI THI CHN HC SINH trờng thcs thành vinh GII HUYN NM HC 2010-2011 MễN: TON LP 9 B i 1 3đ a. Đk 9 0 x x Rút gọn P = 3 3 4 + x Khai Phơng x= ( ) 2 31 + Thay giá trị x ( ) 2 31 + vào P = 13 32964 + b. Để P Z khi và chỉ khi = =+ =+ =+ =+ 0 33 33 13 13 x x x x x c. Để P nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 B i 2 2đ 3 3 3 6 6 6 11 2 11 x x x x x x x x B ++ + + + = => 3 3 3 2 3 3 6 11 11 x x x x x x x x B ++ + + + = => 3 3 3 2 3 3 2 3 11 11 x x x x x x x x B ++ + + + = => ) 1 ( 1 3 3 3 x x x xB + += => += x xB 1 3 p dng bt ng thc CụSi ta c 6B Vy : min B = 6 <=> x = 1 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 B i 3 3đ a.Gii phng trỡnh: 2122122 =++++++ xxxx (1) iu kin: 1 x (*) (1) => ( ) ( ) 21111 22 =++++ xx (0,25 im) => 21111 =++++ xx (2) * Nu 011011 ++ xxx (2) => 01121111 ==+=++++ xxxx (**) (0,25 im) * Nu 011011 <<+<+ xxx (2) => 021111 <=++++ xxx (***) (0,25 im) T (*), (**), (***) phng trỡnh cú nghim: 01 x (0,25 im) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b.Đk x 1 Đặt = = bx ax 3 2 1 ( 0 a ) Ta đợc HPT =+ = )2(1 )1(5 32 ba ba Thế (1) vào (2) ta đợc: b 3 + 2b 2 +10b + 24 = 0 (b+2)(b 2 - b + 12) = 0 b = -2 Thay b = - 2 vào (1) ta đợc a = 3 Vậy phơng trình có nghiệm x = 10 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 B i 4 3đ Trong (Oxy) cho ng thng (d 1 ): y = 3 - m(x -2) ; (d 2 ): y + 3 - m(x + 2) = 0 a. Tỡm im c nh A ca (d 1 ), B ca (d 2 ). Vit phng trỡnh ng thng AB Ta cú: Gi s A(x; y) l im c nh ca (d 1 ) <=> y = 3 - m(x -2) m <=> = = = = 3 2 03 02 y x y x Vy A(2; 3) (0,5 im) Ta cú: Gi s B(x; y) l im c nh ca (d 2 ) <=> y + 3 - m(x + 2) = 0 m <=> { { 2 3 02 03 = = =+ =+ x y x y Vy B(- 2; - 3) (0,25 im) Phng trỡnh ng thng AB: xy 2 3 = (0,25 im) b. Tỡm qu tớch giao im M ca (d 1 ) v (d 2 ) (0,5 im) Ta giao im ca (d 1 ) v (d 2 ) l nghim ca h phng trỡnh = = =++ = )2(3 0, 3 0)2(3 )2(3 xmy m m x xmy xmy (0,25 im) Kh tham s ta cú qu tớch cỏc im M cú phng trỡnh 6 , 0y x x = (0,25 im) c. Xỏc nh m im M trựng im A (0,5 im) M trựng A <=> 3 3 2 2 m m = = (0,25 im Thay x = 2, 3 2 m = ta cú y = 3 Vy 3 2 m = tho món bi toỏn. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 B i 5 5đ C a)v hỡnh ỳng 0.5 A B N E P D F * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP. b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB) · · NMP NCD= (hai góc đồng vị) · · ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC) · · NMP NOP= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP) Suy ra · · MNO NOP= ; do đó, OP//MC. Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành. c) ( . )CND COM g g∆ ∆: Nên OC CM CN CD = hay CM.CN = OC.CD = 2R 2 d) Vì MP = OC = R không đổi. Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên. 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 05 B i 6à 4® a. ( ) 2 2 2011 ( 2011 ) 2011x x y y + + + + = Ta cã ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 x x x x y y y y x x y y y y x x + + + − = + + + − =  + + = + −  ⇒  + + = + −   ⇒ x = -y ⇒ T = x 2011 + y 2011 = x 2011 + (-x) 2011 = 0 2. Ta cã (y 2 - y) + 2 ≥ 0 ⇒ 2y 3 ≤ y 4 + y 2 ⇒ (x 3 + y 2 ) + (x 2 + y 3 ) ≤ (x 2 + y 2 ) + (y 4 + x 3 ) mµ x 3 + y 4 ≤ x 2 + y 3 do ®ã x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 (1) + Ta cã: x(x - 1) 2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1) 2 ≥ 0 ⇒ x(x - 1) 2 + y(y + 1)(y - 1) 2 ≥ 0 ⇒ x 3 - 2x 2 + x + y 4 - y 3 - y 2 + y ≥ 0 ⇒ (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y3) ≤ (x + y) + (x 3 + y 4 ) mµ x 2 + y 3 ≥ x 3 + y 4 ⇒ x 2 + y 2 ≤ x + y (2) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 M O vµ (x + 1)(x - 1) ≥ 0. (y - 1)(y 3 -1) ≥ 0 x 3 - x 2 - x + 1 + y 4 - y - y 3 + 1 ≥ 0 ⇒ (x + y) + (x 2 + y 3 ) ≤ 2 + (x 3 + y 4 ) mµ x 2 + y 3 ≥ x 3 + y 4 ⇒ x + y ≤ 2 (3) Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 ≤ x + y ≤ 2 0.25 0.25 . =++ ++ + + xxxx (1) iu kin: 1 x (*) (1) => ( ) ( ) 21111 22 =++ ++ xx (0,25 im) => 21111 =++ ++ xx (2) * Nu 011011 ++ xxx (2) => 01121111 = =+= ++ + +. - 1) 2 + y(y + 1)(y - 1) 2 ≥ 0 ⇒ x 3 - 2x 2 + x + y 4 - y 3 - y 2 + y ≥ 0 ⇒ (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y3) ≤ (x + y) + (x 3 + y 4 ) mµ x 2 + y 3 ≥ x 3 + y 4