Sở GD & ĐT Hà Nội Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9 Năm học 2008 - 2009 Thời gian : 120 phút Bài 1- (4đ) a) Rút gọn: ( ) 3 12 6 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3 14 8 3 + + + ữ b) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì 4 3 2 6 11 6 1x x x x+ + + + luôn có giá trị là số chính phơng Bài 2 - (4đ) Cho biểu thức: 2 : 1 1 1 1 x y x y x y xy P xy xy xy + + + = + + ữ ữ ữ + a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P với 2 2 3 x = c) Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 3- (4đ) Giải phơng trình : 2 ) 4 2 2 5 5 0a x x x + = 2 ) 2 10 12 40b x x x x + = + Bài 4 (6đ) a) Cho ABC, phân giác AD. Biết AB = c, AC = b,  = 2 ( < 45 0 ). CMR: cb bc AD + = cos2 b) Cho tam giác ABC, các đờng phân giác AD, đờng cao BH, trung tuyến CE đồng quy tại O. CMR: AC. cosA = BC.cosC Bài 5 (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có dạng: ( ) ( ) 2 1 2 2m x m y + = . Tìm m để (d) cách gốc O một khoảng lớn nhất? Sở GD & ĐT Hà Nội Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đáp án Đề thi chọn học sinh Giỏi Năm học 2008 - 2009 Thời gian : 120 phút Bài 1 - 4đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 ) 12 6 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3 14 8 3 3.2 12 6 3 3 2 1 3 1 2 3 1 2.2 2 3 1 6 2 2 3 6 3 2 1 3 1 3 1 2 2 3 3 6 3 6 0 a + + + ữ = + + ữ = + + + = = b) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 11 6 1 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + Do x nguyên nên 2 3 1x x+ + nguyên nên ( ) 2 2 3 1x x+ + nguyên đpcm Bài 2 - 4đ a) ĐKXĐ: x, y 0; xy 1. Rút gọn đợc: 2 1 x P x = + b) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 1 ; 3 1 1 2 3 x x + = = = + = + ( ) 2 3 1 6 3 4 13 4 2 3 1 P + + = = + + c) Theo bất đẳng thức Côsi có 1 2x x+ (do đkxđ) 2 1 1 1 1 x x P x x + = = + + (dấu = xảy ra khi x = 1 và y 1) Vậy maxP = 1 x = 1 và y 1; y0 Bài 3- 4đ c b S2 S1 D A B C 1 2 F O H E D A C B ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ) 4 2 2 5 5 0 6 9 2 5 2 2 5 1 0 3 2 5 1 0 3 0 3 2 5 0 a x x x x x x x x x x x x + = + + + = + = = = = (ĐK: 5 2 x ) Vậy phơng trình có nghiệm x = 3 ( ) ( ) ( ) 2 ) 2 10 12 40 1 1 4 2 4 10 4 2 4 10 4 2 2 2 2 b x x x x x x VT x x + = + + + = + + = ữ (Theo bđt Côsi) Dấu = xảy ra khi 4 2 6 4 10 x x x = = = ( ) 2 2 12 36 4 6 4 4VP x x x= + + = + Dấu = xảy ra khi x = 6 Vậy VT = VP khi và chỉ khi x = 6 nghiệm của phơng trình là x = 6 Bài 4- 6đ a) Gọi diện tích các tam giác ADB, ADC, ABC lần lợt là S 1 , S 2 ,S 3 Ta có : cb bc AD DoóinbccbADbcS cbADSSSbADScADS + = ==+= +=+=== 2sin cossin22;2sin 2 1 )(sin 2 1 2sin 2 1 )(sin 2 1 sin 2 1 ;sin 2 1 2121 b) Vẽ EF BH. Trong BAH có EF là đờng trung bình BAH EF =1/2.AH HOC đồng dạng FOE (g.g) OE OC EF CH = Do AD là tia phân giác của  của AEC )1( AE AC EF CH AE AC OE OC == Trong HAB có H=90 0 AH = AB.cosA Trong HBC có H = 90 0 CH = BC . cosC Thay vào (1) có: AB.BC.cosC = AC. AB. cosA BC . cosC = AC . cosA Bài 5 - 2đ Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua nh vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 0 2 m x m y m x y m x y m x y x x y y + = + = + + + = = + + = = Vậy A(1; -2) Ta có OH OA OH lớn nhất khi bằng OA dấu = xảy ra khi và chỉ khi (d) qua A và vuông góc với OA. Vì A(1 ; -2) suy ra phơng trình đờng thẳng OA là y = -2x và phơng trình (d) là : 1 5 2 2 y x= Sở GD & ĐT Hà Nội Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đề Kiểm tra chọn học sinh Giỏi lớp 9 Năm học 2008 - 2009 Thời gian : 90 phút Bài 1 - (5đ) Cho biểu thức: 2 : 1 1 1 1 x y x y x y xy P xy xy xy + + + = + + ữ ữ ữ + a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P với 2 2 3 x = c. Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 2- (2đ) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì 4 3 2 6 11 6 1x x x x+ + + + luôn có giá trị là số chính phơng Bài 3- (5đ) Giải phơng trình : 2 2 ) 1 1a x x + = 2 ) 2 10 12 40b x x x x + = + Bài 4 (6đ) a) Cho ABC, phân giác AD. Biết AB = c, AC = b,  = 2 ( < 45 0 ). CMR: cb bc AD + = cos2 b) Cho tam giác ABC, các đờng phân giác AD, đờng cao BH, trung tuyến CE đồng quy tại O. CMR: AC. cosA = BC.cosC Bài 5 (2đ) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có dạng: ( ) ( ) 2 1 2 2m x m y + = . Tìm m để (d) cách gốc O một khoảng lớn nhất? Sở GD & ĐT Hà Nội Phòng GD & ĐT Huyện Từ Liêm Đáp án Đề kiểm tra chọn học sinh Giỏi 9 Năm học 2008 - 2009 Thời gian : 90 phút Bài 1 - 5đ a. ĐKXĐ: x, y 0; xy 1. Rút gọn đợc: 2 1 x P x = + (2đ) b. ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 1 ; 3 1 1 2 3 x x + = = = + = + (1đ) c. ( ) 2 3 1 6 3 4 13 4 2 3 1 P + + = = + + (1đ) d. Theo bất đẳng thức Côsi có 1 2x x+ (do đkxđ) 2 1 1 1 1 x x P x x + = = + + (dấu = xảy ra khi x = 1 và y 1) Vậy maxP = 1 x = 1 và y 1; y0 (1đ) Bài 2 - 2đ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 11 6 1 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + Do x nguyên nên 2 3 1x x+ + nguyên nên ( ) 2 2 3 1x x+ + nguyên đpcm Bài 3- 5đ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 x a x x x x x x x x x x x x x + = = = > = = = (2,5đ) Vậy phơng trình có 4 nghiệm 1; 2x x= = ( ) ( ) ( ) 2 ) 2 10 12 40 1 1 4 2 4 10 4 2 4 10 4 2 2 2 2 b x x x x x x VT x x + = + + + = + + = ữ (Theo bđt Côsi) Dấu = xảy ra khi 4 2 6 4 10 x x x = = = ( ) 2 2 12 36 4 6 4 4VP x x x= + + = + c b S2 S1 D A B C 1 2 F O H E D A C B Dấu = xảy ra khi x = 6 Vậy VT = VP khi và chỉ khi x = 6 nghiệm của phơng trình là x = 6 (2,5đ) Bài 4- 6đ a) Gọi diện tích các tam giác ADB, ADC, ABC lần lợt là S 1 , S 2 ,S 3 Ta có : 1 2 1 2 1 1 1 . .sin ; . .sin sin ( ) 2 2 2 1 1 1 sin 2 sin ( ) sin 2 2 2 2 sin 2 S AD c S AD b S S S AD b c S bc AD b c bc bc AD b c = = = + = + = + = = + b) Vẽ EF BH. Trong BAH có EF là đờng trung bình BAH EF =1/2.AH HOC đồng dạng FOE (g.g) OE OC EF CH = Do AD là tia phân giác của  của AEC )1( AE AC EF CH AE AC OE OC == Trong HAB có H=90 0 AH = AB.cosA Trong HBC có H = 90 0 CH = BC . cosC Thay vào (1) có: AB.BC.cosC = AC. AB. cosA BC . cosC = AC . cosA Bài 5 - 2đ Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua nh vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 0 2 m x m y m x y m x y m x y x x y y + = + = + + + = = + + = = Vậy A(1; -2) Ta có OH OA OH lớn nhất khi bằng OA dấu = xảy ra khi và chỉ khi (d) qua A và vuông góc với OA. Vì A(1 ; -2) suy ra phơng trình đờng thẳng OA là y = -2x và phơng trình (d) là : 1 5 2 2 y x= . x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + Do x nguyên nên 2 3 1x x+ + nguyên nên ( ) 2 2 3 1x x+ + nguyên đpcm Bài 2 - 4đ. x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + Do x nguyên nên 2 3 1x x+ + nguyên nên ( ) 2 2 3 1x x+ + nguyên đpcm Bài 3- 5đ (