Đang tải... (xem toàn văn)
PTVP tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng Bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị biên. 5 PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất[r]
(1)Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Huỳnh Văn Kha
Khoa Toán – Thống Kê
(2)Nội dung
1 Định nghĩa phương trình vi phân
2 Một số loại phương trình vi phân cấp thường gặp
PTVP cấp dạng tách biến, tuyến tính, đẳng cấp Một số tập
3 PTVP cấp
Khái niệm – Các PTVP cấp giảm cấp
4 PTVP tuyến tính cấp
Một số khái niệm – Cấu trúc nghiệm
PTVP tuyến tính cấp hệ số Bài toán giá trị đầu toán giá trị biên
5 PTVP tuyến tính cấp khơng
(3)Định nghĩa PTVP
Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập x với hàm cần tìm y đạo hàm
y0,y00, y(n) Như ptvp phương trình có dạng
F(x,y,y0,y00, ,y(n)) =0.
Cấp ptvp cấp cao đạo hàm có
phương trình
(4)PTVP cấp 1
PTVP cấp phương trình có dạng: F(x,y,y0) = Bài tốn Cauchy tốn tìm nghiệm y = y(x) ptvp thỏa điều kiện đầu y(x0) = y0
Ví dụ Giải ptvp y0 = sinx tìm nghiệm toán Cauchy y0 = sinx, y(0) =1
Hàm số y = ϕ(x,C) gọi nghiệm tổng quát ptvp miền D ⊂R2 nếu với mọi (x
0,y0) ∈ D tồn C0 cho y = ϕ(x,C0) nghiệm toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) =y0
Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho C
(5)Xét ptvp giải đạo hàm y0 = f(x,y)
Định lý tồn nghiệm
Nếu f(x,y) liên tục D ⊂ R2, với
(x0,y0) ∈ D, toán y0 = f(x,y), y(x0) =y0 ln có nghiệm y = y(x) xác định lân cận x0
Ngoài hàm số ∂f
∂y liên tục D nghiệm
(6)PTVP dạng tách biến
PTVP tách biến ptvp có dạng: y0 = f(x)g(y)
Cách giải Với điều kiện g(y) 6= 0, chia hai vế cho g(y), ta dy
g(y) = f(x)dx Lấy tích phân vế
Ví dụ
1 Giải ptvp dy
dx = x2
y2, y(0) =
2 Giải ptvp y0 = 6x
2
2y + cosy
3 Giải ptvp xdy 1+x2 =
y +
y
(7)Nghiệm y0 = 6x
2
(8)Nghiệm dy
dx = x2
(9)PTVP tuyến tính cấp 1
PTVP tuyến tính cấp ptvp: y0+p(x)y = q(x)
Cách giải Nhân vế cho eR p(x)dx, pt trở thành:
yeRp(x)dx
0
= q(x)eRp(x)dx Lấy nguyên hàm Ví dụ Giải ptvp
1 dy
dx +3x
2y = 6x2
2 x2y0 +xy = 1, x > 0, y(1) =
(10)Nghiệm dy
dx +3x