Đang tải... (xem toàn văn)
2/ Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần[r]
(1)KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÂU HỎI PHỤ VD1 : Cho hµm sè y = - x3 + 3x2 - y a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm sè t¹i ®iÓm y’’=0 HD: Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn U(1 ; 0) O x HÖ sè gãc k = f’(1) = Vậy ta có phương trình tiếp tuyến là : y - y0 = k(x - x0) hay : y - = 3(x - 1) -2 y = 3x - VD 2: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 – 3x – + m = ĐS: * m > 4: n0; * m = 4: n0; * < m < 4: n0; * m = 0: n0; * m < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu đồ thị (C) x xA y yA HD: PT đt qua điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng: ĐS: y = 2x + x B x A yB yA VD3: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 + 3x2 – k = ĐS: * k > 4: n0; * k = 4: n0; * < k < 4: n0; * k = 0: n0; * k < 0: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ -1 HD: Thế x = -1 vào (C) y = 3: M(-1; 3) ĐS: y = -3x d) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu đồ thị (C) ĐS: y = -2x + VD4: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = x 83 27 ĐS: y = x 2x3 115 27 ;y= x 1)x2 VD5: Cho hàm số (Cm): y = + 3(m – + 6(m – 2)x – a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị nào m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm A(1; 4) ĐS: m = c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C) qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = x VD5: Cho haøm soá y=x – 6x + 9x (C) Lop12.net (2) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 – 6x2 9x – m = Giaûi: Phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = x3 – 6x2 + 9x = m Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m dựa vào đồ thị ta có: Neáu m > phöông trình coù nghieäm Neáu m = phöông trình coù nghieäm Neáu 0< m <4 phöông trình coù nghieäm Neáu m=0 phöông trình coù nghieäm Neáu m < phöông trình coù nghieäm + y x -2 VD7: Cho hµm sè y x x (C ) a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ Gi¶i: a) Kh¶o s¸t hµm sè Tập xác định: R Sù biÕn thiªn y a) Giíi h¹n: lim x b) B¶ng biÕn thiªn: x x y 1 y' = - x + 4x; y' = x 2 y 25 2,3 2,3 -∞ +∞ y’ -2 + 0 - + 25 y - 25 -∞ -∞ Suy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), nghịch biến trên khoảng ( -2; 0) vµ (2; +∞) Cùc trÞ: x CD = ±2 yCD = 25 ; xCT yCT 4 §å thÞ : (H2) - §iÓm uèn: y” = - 3x2 +4; y” = y Lop12.net x (3) x 161 y 36 - Giao víi Ox : A(-3 ; 0) vµ B(3 ; 0) - Giao Oy : C (0; ) (H2) b) x0 = y0 = 4, y’(x0) = y’(1) = Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - = 3(x 1), hay : y = 3x + VD8: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: -x4 + 2x2 + – m = ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: n0; * < m < 2: n0; * m = 1: n0; * m < 1: n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ HD: Thế y = vào (C) x = 1: M(-1; 2), N(1; 2) ĐS: y = VD9: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết hệ số góc tiếp tuyến là 24 ĐS: y = 24 – 43 VD10: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Xác định m để đồ thị (Cm) qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = có nghiệm phân biệt ĐS: -14 < k < VD11: Cho hµm sè: y x (C ) x 1 a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Xác định toạ độ giao điểm (C) với đường thẳng d: y = 2x + Viết phương trình tiếp tuyÕn cña (C) t¹i c¸c giao ®iÓm trªn Gi¶i: a) Kh¶o s¸t hµm sè: 1.Tập xác định: D = R\{1} 2.Sù biÕn thiªn: a) ChiÒu biÕn thiªn: y' 3 0, x D ( x 1) Nªn hµm sè nghÞch biÕn trªn (-∞; 1) vµ (1; +∞) b) Cùc trÞ: §å thÞ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ c) Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y x = là tiệm cận đứng x 1 lim y 1 y = - lµ tiÖm cËn ngang x d) B¶ng biÕn thiªn : x -∞ y Lop12.net O x (4) +∞ y’ - +∞ y -1 -1 -∞ 3.§å thÞ : (H3) - Giao víi Ox : A(4 ; 0) - Giao víi Oy : B(0 ; -4) - §å thÞ nhËn I(1 ; - 1) làm tâm đối xứng b) Hoành độ giao điểm của(C) vµ ®êng th¼ng d lµ nghiÖm x1 2 y1 2 x 2x 2x x Của phương trình: x2 y2 x 1 VËy giao ®iÓm cña (C) vµ ®êng th¼ng d lµ: M (2; 2), M ( ;5) - Phương trình tiếp tuyến (C) M1 có hệ số góc là: k1 y '(2) 3 Nên có phương trình là: y ( x 2) y x 3 - Phương trình tiếp (C) M2 có hệ số góc là: k2 y '( ) 12 Nên có phương trình là: y 12( x ) y 12 x 23 VD12 Cho hµm sè y 3x có đồ thị (C) x3 1) Kh¶o s¸t hµm sè 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = -1 3) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn [0; 2] Hướng dẫn giải 1) Hs tù kh¶o s¸t §å thÞ: 2) Cã y ' 10 x 3 y '(1) ; y(1) Phương trình tiếp tuyến: y 5 x 1 y x 8 3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0; 2] 0;2 Do đó: max y y(0) ; y y(2) 5 0;2 Lop12.net (5) VD13 Cho hàm số (C): y = x 1 x3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ HD: Đường phân giác phần tư thứ là: y = x ĐS: y = -x và y = -x + mx VD14.: Cho hàm số (Cm): y = 2x m a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2) b) Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định nó HD: Chứng minh tử thức y’ > suy y’ > 0(đpcm) c) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua A(-1; ) ĐS: m = d) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C2) điểm (1; ) ĐS: y = x 8 (m 1)x 2m VD15: Cho hàm số (Cm): y = x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị nào m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm B(0; -1) ĐS: m = c) Định m để tiệm cận ngang đồ thị qua điểm C( ; -3) ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số giao điểm nó với trục tung HD: Giao điểm với trục tung x = 0, thay x = vào (C) y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y f ( x) trên D A Hai cách thường dùng Cách 1: - Lập bảng biến thiên hàm số f ( x) trên D - Từ bảng biến thiên suy GTLN, GTNN Cách 2: Nếu f ( x) liên tục trên D = [a;b] - Tìm các điểm x1 , x2 ,, xn trên khoảng (a;b) mà đó f , ( x) f , ( x) không tồn - Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ), f (b) - Tìm số lớn M và số nhỏ m các số trên - Ta có f ( x) m, max f ( x) M [ a ;b ] [ a ;b ] B Bài tập Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x3 x x trên đoạn [-3;5] (ĐS: f ( x) f (3) 45, max f ( x) f (5) 195 ) [ 3;5] [ 3;5] Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x (ĐS: f ( x) f (4) 6, max f ( x) f (3) ) [3;5] [3;5] Lop12.net trên đoạn [3;5] x2 (6) Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x trên khoảng (; ) x2 (ĐS: max f ( x) f (3) 9 , f ( x) không có GTNN ) ( ; ) Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x x (ĐS: max f ( x) f (2) 4, f ( x) f ( 8) ) Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) 3x trên đoạn [-2;2] (ĐS: f ( x) f (2) 3, max f ( x) f (2) 15 ) [ 2;2] [ 2;2] Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) sin x cos x x k 2 3 (ĐS: f ( x) , max f ( x) x k 2 ) 2 x 7 k 2 Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) cos3 x cos x trên đoạn [0; 3 ] x (ĐS: f ( x) 1 x , max f ( x) x ) 3 x Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) cos x sin x (ĐS: f ( x) x k , max f ( x) x k ) 2 x e Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) x trên đoạn [ ln ; ln ] e e (ĐS: f ( x) f (ln 2) ) , max f ( x) f (ln 4) 2e 4e [ln 2;ln 4] [ln 2;ln 4] 10 Tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x) ln( x x ) trên đoạn [-2;2] (ĐS: f ( x) f (2) 0, max f ( x) f (2) ln ) [ 2;2] [ 2;2] BÀI TẬP LÀM THÊM y = x4 – 2x2 + trên đọan [-1;2] y = x y = x ln x trên đọan [ 1; e ] y = sin2x – x trên đọan ; y = x – lnx + x2 x y với x x 2 y x x 16 trên đoạn [ -1;3] y = 2 x3 x x trên [1; 3] y = x3 x x trên [2;3] 10 f ( x) x3 3x x trên đoạn 2; 2 11 y x 12 f ( x) x x Lop12.net trên đoạn [-2 ;0] (7) 27 y x3 3x trên đoạn 2; 13.y = (x – 6) x trên đoạn [0 ; 3] 14 y = x+ x 15.y = 2sin2x + 2sinx – 16 y x trên đoạn [-1;1] 17 y x3 3x 12 x 10 trên đoạn [-3;3] 18 y x trên đoạn [-1;1] 2 x2 5x trên đoạn [0;1] x2 31 y x (x > ) x 5 2x 32 y trên đoạn 1; 2 3x 2x 1 33 y trên đoạn [-1;0] 3x 34 y x3 3x trên đoạn 1; 2 30 y 1 x trên đoạn [-2;-1] x 20 y x3 x 3x trên đoạn [-4;0] 21 y x trên khoảng ( ; +∞ ) x 22 y x x 16 x trên đoạn [1;3] 19 y x4 23 y x trên đoạn 2 2 ; 35 y x trên khoảng (1; ) x 1 37 y x3 3x trên đoạn 3; 2 4x 1 38 y trên đoạn ; 2 2x 36 y x x 3x 24 y trên khoảng (1 ; +∞ ) x 1 25 y x3 3x trên đoạn [0;2] 26 y x3 3x x 35 trên đoạn [-4;4] Chuyªn §Ò 2: Hµm Sè Mò vµ L«garit Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng cùng số: aM = aN M = N Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2x 3 x HD: x 3 x 2 x 3 x 2 22 x x x 2 x x x 3 Vậy phương trình có nghiệm: x 0, x 3 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : HD: 1 3 1 3 x 3 x 1 3 x 3 x 1 3 ( x 2 28 y 3x x x trên đoạn [0;3] 29 y x3 3x x trên đoạn [-2;2] 3 x 1) 31 x ( x x 1) x x x Vậy phương trình có nghiệm: x 1, x Ví dụ 3: Giải phương trình sau : x 1 x 2 36 Lop12.net (8) HD: x 1 x 2 36 2.2 x 2x 36 8.2 x x 36 9.2 x 36.4 x 16 x 24 x 4 Vậy phương trình có nghiệm: x 1, x Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 5x.22 x1 50 HD: 5x.22 x 1 50 5x 4x 50 20 x 100 x log 20 100 Vậy phương trình có nghiệm: x log 20 100 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 32 x 8 4.3x 5 27 HD: 38.32 x 4.35.3x 27 6561 3x 972.3x 27 (*) Đặt t 3x t Phương trình (*) 6561t 972t 27 t 27 Với t 3x 32 x 2 Với t 3x 33 x 3 27 Vậy phương trình có nghiệm: x 2, x 3 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 25x 2.5x 15 HD: 25x 2.5x 15 5x 2.5x 15 (*) Đặt t 5x t t 3 (loai) Phương trình (*) t 2t 15 Với t 5x x Vậy phương trình có nghiệm: x Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 3x 32 x 24 HD: 3x 32 x 24 9.3x 24 3x 24.3x (*) x Đặt t 3x t Pt (*) 9t 24t t ( loai) x Với t x Vậy phương trình có nghiệm: x Lop12.net (9) Phương pháp: Lấy logarit hai vế x.5 x Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 1 HD: Lấy logarit hai vế với số 8, ta 1 log8 x.5 x 1 log8 8 x x 1 1 log8 log8 log8 x x log8 1 x.5 x 1 x x log8 x 1 x 1 x 1 log8 x 1 x 1 1 x 1 log8 5 1 x 1 log8 x 1 x 1 x.log8 log8 x log Vậy phương trình có nghiệm: x 1, x log5 Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 3x.2 x HD: Lấy logarit hai vế với số 3, ta 2 3x.2 x log 3x.2 x log x x log x 1 x log x x x x x log 1 x log log Vậy phương trình có nghiệm: x 0, x log II BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương trình bản: a a f ( x) b b a f ( x) b Ví dụ 1: b b Phương trình vô số nghiệm b b Phương trình vô nghiệm f ( x) log b a a f ( x) log b a a a Phương trình : a f ( x ) b f ( x) log a b a Phương trình : a f ( x ) b f ( x) log a b Giải bất phương trình: 32 x 1 x log x Vậy bất phương trình có nghiệm: S ; Lop12.net log log 2 (10) Ví dụ 2: x 1 Giải bất phương trình: 1 3.3x 1 3x 27.3x x 1 1 x 26.3x 12 3x , x 13 Vậy bất phương trình có nghiệm: S ; Phương pháp: a b Biến đổi bất phương trình dạng cùng số: f ( x) g ( x) a f ( x) a g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) a f ( x) a g ( x) f ( x) g ( x) Ví dụ 1: Giải bất phương trình: HD: x x khi a 1 a 1 khi a 1 a 1 x 32 x 3 x x x 16 x x x 16 x Vậy bất phương trình có nghiệm: S ; 7 16 x 1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: HD: Ta có: Phương trình (1) 52 x 1 52 52 52 x 3 x2 3 52 (1) 1 x 1 x2 x x 1 x Vậy bất phương trình có nghiệm: S 1; 2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ 1: Giải bất phương trình: HD: x 52 x 26 x x 52 x 26 25 26 x 26.5 x 25 (1) x Đặt t 5x Ta có:(1) t 26t 25 t 25 x 25 50 x 52 x Vậy bất phương trình có nghiệm: S 0; Lop12.net (11) Ví dụ 2: Giải bất phương trình: HD: 32x+1 10.3x 3x 10.3x (1) 32x+1 10.3x Đặt t 3x Ta có:(1) 3t 10t t 3x 31 3x 31 1 x Vậy bất phương trình có nghiệm: S 1;1 Ví dụ 3: Giải bất phương trình: HD: x x 5 Chia (*) hai vế cho ta được: (**) 2 5.4 x 2.25 x 7.10 x (*) x x Đặt t 2 x 0 t 0 x Ta có:(**) 2t 7t x t x 2 Vậy bất phương trình có nghiệm: S ;0 1; I PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Phương pháp : Biến đổi phương trình dạng cùng số: log a M log a N M N Ví dụ : Giải phương trình sau : log x log ( x 3) log HD: log x log ( x 3) log (1) x x x0 x x 3 Điều kiện: Do đó phương trình (1) log x( x 3) log x( x 3) x x 3x x 1 x 4 (loai) Vậy phương trình có nghiệm: x Ví dụ : Giải phương trình sau : log x log x log x HD: log x log x log x (1) Điều kiện: x Phương trình (1) log x log x log log x log x log log x log log x log x Lop12.net (12) Vậy phương trình có nghiệm x Phương pháp : Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : log 22 x log x HD: log 22 x log x (1) Điều kiện: x Phương trình (1) log 22 x log x Đặt t log x x log x t Lúc đó: log x log x t t x t log x Vậy phương trình có nghiệm x 2, x Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : log ( x 1) log x 1 2 HD: log ( x 1) log x 1 (1) x 1 x x 1 x Điều kiện: (*) Phương trình (1) log ( x 1) log log ( x 1) log ( x 1) log ( x 1) log ( x 1) log ( x 1) (2) Đặt t log ( x 1) t t 2 Lúc đó: phương trình (2) t t x 1 x log ( x 1) log ( x 1) x 1 x Vậy phương trình có nghiệm x 3, x thỏa (*) Phương pháp: Mũ hóa hai vế: Ví dụ: log (3x 8) x Điều kiện: 3x log (3x 8) x 3log3 (3 x 8) 32 x 3x 32 x 3x 1(loai ) 3x 8.3x x 3x 32 x 3 Vậy phương trình có nghiệm x II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Phương trình bản: Lop12.net (13) a f ( x) b f ( x) Ví dụ 1: f ( x) a b log a f ( x) b b f ( x) a a a , f ( x) a b log a f ( x) b b f ( x) a a a , Điều kiện Giải bất phương trình: Điều kiện log ( x 2) Điều kiện x x log ( x 2) x 23 x 10 Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S 10; Ví dụ 2: Giải bất phương trình: log ( x x) x 7 x + Điều kiện x x + 1 log ( x x) x x x x 2 + 97 97 7 x 2 7 Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: 97 7 x 7 97 7 0 x + Phương pháp: 97 97 7 7 ; 7 0; Hay S 2 Biến đổi bất phương trình dạng cùng số: f ( x) g ( x) log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) 0, g ( x) f ( x) g ( x) b log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) a Lop12.net a , a Điều kiện a , Điều kiện a (14) f ( x) 0, g ( x) Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log ( x 5) log (3 x) HD: x 5 x 3 x + Điều kiện: + log ( x 5) log (3 x) log ( x 5) log (3 x) log ( x 5) log (3 x) x x x 1 + S 1;3 Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: HD: + Điều kiện: + Lúc đó: log 0,5 ( x 1) log (2 x) log ( x 1) log (2 x) log 0,5 ( x 1) log (2 x) x 1 x 1 1 x 2 x x log (2 x) log ( x 1) log x x 1 x x 1 x x + 1 1 x 2 Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : 1 S ; 2 Ví dụ 3: HD: Giải bất phương trình: + + log ( x 2) log ( x 2) log (4 x 1) x 2 x Điều kiện: 4 x x x x x Lúc đó: log ( x 2) log ( x 2) log (4 x 1) log x x log (4 x 1) log ( x 4) log (4 x 1) x x x x 1 x S 2;5 + Phương pháp: Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ 1: Giải bất phương trình: HD: + + log 0,5 x log 0,5 x Điều kiện: x Đặt : t log 0,5 x Lop12.net (15) + x log 0,5 x t t t t 2 t Lúc đó: log 0,5 x x 0,5 2 2 log 0,5 x x 0,5 x + Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : 1 S ; 4 2 log x Ví dụ 2: Giải bất phương trình: HD: + Điều kiện: + Đặt : t log x + Lúc đó: log x + Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : log x x x log x x t 2 t2 t 0 log x t 1 1 t x log x 1 x2 log x 2 1 S ; 4; 2 Ví dụ 3: Giải bất phương trình: HD: + + + log x 13log x 36 Điều kiện: x Đặt : t log x Lúc đó: log x 13log x 36 t 13t 36 x 104 t log x t log x x 10 + Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S 0;10 109 ; Chuyên đề 3: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân Ví du 1: Tìm nguyeân haøm caùc haøm soá sau: a) f(x) = x3 – 3x + x b) f(x) = x + x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx Giaûi 1 x4 3 a) f ( x )dx (x - 3x + )dx x dx 3 xdx dx x ln x C x x x x C b) f ( x )dx (2x + 3x ) dx x dx 3x dx ln ln 3 Lop12.net (16) d (5 x 3) (5 x 3)6 C c) f ( x )dx (5x+ 3) dx (5x+ 3) 30 sin x 4 C d) f ( x )dx sin x cosxdx sin x d (sin x ) 5 Ví du 2ï: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=1+ sin3x bieát F( )= Giaûi cos3x + C Do F( ) = - cos + C = C = - 6 Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x - Ta coù F(x)= x – VÝ dô 3: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè 2x 1 dx x2 x 3x b) dx 2x 1 dx x 3x 3x d ) dx x 4x a) c) c Tim nguyen ham bang cach đổi biến số: Ph-ơng pháp giải: đặt t=u(x) VÝ dô T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè a) b) dx 3x dx 2x 1 2 x 1` dx x 1 3x d ) dx x 1 c) d T×m nguyªn hµm b»ng ph-¬ng ph¸p tõng phÇn: Ph-¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c«ng thøc: u.dv u.v v.du VÝ dô T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè a ) x.cos xdx c) (2 x 1)e x dx b) ( x 1) sin xdx d ) ln x dx x2 Các phương pháp tính tính tích phân-Đổi biến số Daïng 1: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho tích phân tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: a/ ( x 1)dx 1 b/ ( 4 3sin x )dx cos2 x Lop12.net c/ 2 x dx (17) Giaûi a/ (x 1)dx = 3 1dx ( x dx 1 x x) ( 1 81 3) ( 1) 24 4 4 b/ ( 3sin x )dx dx sin xdx (4 tan x cos x ) 4 cos x cos x 4 4 4 = (4 tan cos ) [4 tan( ) cos( )] =8 c/ 2 4 2 2 2 x dx = x dx + x dx = (1 x )dx + ( x 1)dx =(x- x2 x2 ) 2 ( 2 x ) =5 Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phöông phaùp giaûi: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = u(t) dt b2: Đổi cận: x = a u(t) = a t = x = b u(t) = b t = ( chọn , thoả đk đặt trên) b3: Vieát b f(x)dx tích phân theo biến mới, cận tính tích phân a Ví duï: Tính : x dx §Æt x = sint dx = cost.dt Víi x [0;1] ta cã t [0; ] §æi cËn: x = t = VËy ; x= t = x dx = 12 s in2t 2 cos t.dt (1 cos 2t).dt= ( t )0 = 20 2 Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng : a2 x thì ñaët x= a sint a2 x thì ñaët x= a tgt x a2 thì ñaët x= b a sin t t [ ; ] 2 t ( ; ) 2 t [ ; ] \ 0 2 Dạng 2: Tính tích phân f[(x)] '(x)dx phương pháp đổi biến a Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t = (x) dt = '( x ) dx b2: Đổi cận: Lop12.net (18) x = a t = (a) ; x = b t = (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm Ví duï : Tính tích phaân sau : 1 2x a/ I dx x x b/ J x 3.x.dx Giaûi: a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx dt x = t =1 ; x = t = Vaäy I= ln t t Đổi cận: b/ Ñaët t= x Đổi cận: t2= x2+ ln 3 tdt = x dx t3 x = t = ; x = t = Vaäy J = t dt 3 2 (8 3) ác phương pháp tính tính tích phân-Từng phần Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: e a/ I= x.cos x.dx b/J= x.ln x.dx Giaûi du dx u x (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx ) v sin x dv cos x.dx a/ Ñaët : Vaäy I=x cosx 2 - sin x.dx = cosx = -1 du dx u ln x x b/ Ñaët : dv x.dx v x e e x e2 x e Vaäy J= lnx dx xdx x 2 1 e2 2e x e2 2/ Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a) Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên và phần phân số tính Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: a/ ò 2x 1 dx =ò (1 + )dx = [ x + ln x -1]12 = + ln x -1 x -1 2 Lop12.net = ln (19) b/ 0 x + 3x + x3 x2 23 dx =ò ( x + x + + )dx = [ + + x + ln x -1]-0 = - ln x -1 x -1 -1 ò -1 b) Daïng baäc1 treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính *Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò 5( x -1) dx x2 - x - Giaûi 5x - A B A( x - 3) + B( x + 2) 5( x -1) = + = = ( x + 2)( x - 3) x - x - ( x + 2)( x - 3) x + x - Ñaët A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 2 5( x -1) dx 16 Vaäy ta coù: ò =ò ( + )dx = (3ln x + + ln x - ) = ln x - x -6 x + x -3 27 * Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò CI: ò (2 x + 1)dx x2 - 4x + Giaûi 1 (2 x + 1)dx 2x - d ( x - x + 4) = ( + ) dx = + 5ò dx 2 2 ò ò x - 4x + x - 4x + x - 4x + x - 4x + ( x - 2)2 0 ln 2 x +1 x +1 A B A( x - 2) + B = = + = Û A( x - 2) + B = x + CII: Ñaët 2 x - x + ( x - 2) x - ( x - 2) ( x - 2)2 A A 2 Ax -2A+B= 2A B B 4x =(ln x Vaäy ò ) x 2 1 Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= ò -1 I=ò Ta coù ò 0 x + 1dx 5 =ò [ + ]dx = (2ln x-2 ) ln 2 x - 4x + x - ( x - 2) x-2 *Trường hợp mẫu số vô nghiệm: 1 -1 (2 x - 3)dx x2 + 2x + Giaûi: 2x + d ( x + x + 4) dx dx = ò ( x + 1)2 + ò x + x + - 5J x2 + 2x + -1 0 d ( x + x + 4) ln/x +2x+4/ ln ln ln = x + 2x + Tính J= ò ( x + 1) -1 dx +3 Lop12.net (20) ) dx= 3(1 tg2 t )dt Khi x= -1 thì t = ; x=0 thì t= 2 Ñaët x+1= 3tgt (t ; J= 3(1 tg2 t ) 36 dt 1dt (3 3tg2 t ) 3 Vaäy I= ln ) 5( 3/ Tính tích phaân haøm voâ tæ: b Daïng1: R( x, n ax b )dx Ñaët t= n ax b a b Daïng 2: R( x, n a ax b )dx cx d Ñaët t= n Ví duï: Tính tích phaân I = ax b cx d xdx Ñaët t = x Đổi cận: t3= 1-x x= 1-t3 Giaûi dx= -3t2dt x=0 t=1; x=1 t=0 Vaäy I= t.( 3t )dt t dt t4 4 4/ Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp Daïng: sin ax.cos bxdx , sin ax.sin bxdx , cos ax.cos bxdx Phöông phaùp giaûi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu các tích phân giaûi Daïng: sin n xdx; cosn xdx Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi bieán Ví duï : sin n 1 cos 2n xdx sin n x sin xdx xdx (cos x ) dx n Daïng: R(sin x ).cos xdx (1 cos2 x )n sin xdx Ñaët t =cosx 1 cos x n dx Ñaëc bieät: sin n x.cos2 k 1 xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx Lop12.net (21)