Đang tải... (xem toàn văn)
KẾT LUẬN Kết quả của bài báo đã đưa ra một số tính chất cơ bản của nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu.. Công cụ chính trong quá trình tiếp cận là phương pháp xấp xỉ, quá tr[r]
(1)MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Trong [4], chúng tôi đã chứng minh tồn loại nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu Loại nghiệm này nhận từ giới hạn dãy nghiệm cổ điển phương trình xấp xỉ tương ứng Trong bài báo này, chúng tôi đưa số tính chất loại nghiệm yếu này ABSTRACT In [4], we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface equations This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical solutions of the correspondent approximate equations In this paper, we will give some properties of the weak solutions ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình tập mức mặt cực tiểu [4] ux ux − δ ij − i 2j ∇u Ω u = xi x j , , (1) với điều kiện biên: u ( x) = u ( x), với x ∈ ∂Ω (2) n Trong đó, Ω là miền R với biên trơn ∂Ω Trong [4], chúng tôi đã chứng minh rằng, tồn nghiệm yếu cho phương trình (1) với điều kiện biên (2) Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu S dạng tập mức không Γ ∂Ω nó với biên cho trên hàm trơn u Trước nêu vài tính chất nghiệm yếu, chúng ta nhắc lại các định nghĩa nghiệm yếu [4] ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾU Ta ký hiệu: C (Ω) = { u : Ω → R | u liên tục trên Ω} ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu phương trình (1) là hàm u C (Ω) cho: ∞ u −φ Với φ ∈ C (Ω), hàm đạt cực đại địa phương điểm x0 ∈ Ω , thì Lop12.net (2) φ x ( x0 )φ x j ( x0 ) φ ( x ) ≤ − δ ij − i xi x j ∇φ ( x ) khi ∇φ (x ) ≠ 0, và − (δ ij − η iη j )φ xi x j ( x0 ) ≤ n η ∈ R , η ≤ 1, ∇φ (x ) = ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu trên phương trình (1) là hàm u C (Ω) cho: ∞ u −φ Với φ ∈ C (Ω), hàm đạt cực tiểu địa phương điểm x0 ∈ Ω , thì φ x ( x0 )φ x j ( x0 ) φ ( x ) ≥ − δ ij − i xi x j ∇φ ( x ) khi ∇φ (x ) ≠ 0, và − (δ ij − η iη j )φ xi x j ( x0 ) ≥ n η ∈ R , η ≤ 1, ∇φ (x ) = ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu phương trình (1) là hàm u C (Ω) cho u vừa là nghiệm yếu vừa là nghiệm yếu trên phương trình (1) GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN Định lý 1: (i) Giả sử u k là nghiệm yếu phương trình (1) với k=1,2,… và u k → u trên Ω Khi đó u là nghiệm yếu phương trình (1) (ii) Khẳng định trên đúng cho nghiệm yếu trên và nghiệm yếu ∞ u −φ Chứng minh: Cho φ ∈ C (Ω) và đạt cực đại ngặt địa phương điểm x0 ∈ Ω Vì ∞ uk → u x gần , nên tồn dãy các điểm {x k }k =1 ⊂ Ω thỏa mãn: x k → x0 k → ∞ uk − φ x ; đạt cực đại địa phương điểm k và u k ( x k ) → u ( x0 ) (3) Vì u k là nghiệm yếu (1), nên theo định nghĩa nghiệm yếu dưới, ta có φ x ( xk )φ x j ( xk ) φ ( x ) ≤ − δ ij − i xi x j k ∇φ ( x k ) khi ∇φ (x k ) ≠ 0, Lop12.net (4) (3) − (δ ij − ηiη j )φ xi x j ( xk ) ≤ n η ∈ R , η ≤ 1, ∇φ (x k ) = (5) Tiếp theo ta giả sử ∇φ ( x0 ) ≠ Khi đó ∇φ ( xk ) ≠ với k đủ lớn và ta có thể lấy giới hạn (4) k → ∞ và đưa đến φ x ( x0 )φ xi ( x0 ) − δ ij − i φ ( x ) ≤ xi x j ∇φ ( x ) Bây giờ, ta giả sử ∇φ ( x0 ) = Đặt ∇φ ( x k ) ξ := ∇φ ( xk ) ηk k Lấy giới hạn η ≤ k →∞ ∇φ ( xk ) ≠ ∇φ ( xk ) = k , qua dãy cần thiết ta có thể giả thiết ξ → η và đó Vì vậy, ta thu ( ) − δ ij − ηi η j φ xi x j ( x0 ) ≤ u −φ Giả thiết đạt cực đại địa phương ngặt điểm x0 ∈ Ω có thể bỏ phép xấp xỉ Do đó u là nghiệm yếu phương trình (1) Một thủ tục tương tự thực để kiểm chứng u là nghiệm yếu trên và nghiệm yếu phương trình (1) Định lý 2: Giả sử ϑ : R → R là hàm liên tục Khi đó, u là nghiệm yếu phương trình (1) thì uˆ := ϑ (u ) là nghiệm yếu phương trình (1) Chứng minh: Trước hết ta giả sử ϑ là hàm trơn với ϑ' > trên R (6) ∞ û − φ Cho φ ∈ C (Ω) và giả sử đạt cực đại địa phương điểm x0 ∈ Ω Cộng thêm số cần thiết, ta có thể giả sử uˆ ( x0 ) = φ ( x0 ) uˆ ( x) ≤ φ ( x) với x gần x0 −1 ˆ Theo (6), hàm σ := ϑ xác định và là hàm trơn gần u ( x0 ) , với σ '> Từ (7), ta đưa đến Lop12.net (7) (4) u ( x0 ) = ψ ( x0 ) u ( x) ≤ ψ ( x) (8) với x gần x0 và ψ := σ (φ ) Vì u là nghiệm yếu (1), ta kết luận: ψ x ( x0 )ψ x j ( x0 ) ψ (x ) ≤ − δ ij − i xi x j ∇ψ ( x ) khi ∇ψ (x ) ≠ 0, (9) − (δ ij − ηiη j )ψ xi x j ( x0 ) ≤ n η ∈ R , η ≤ 1, ∇ψ (x ) = (10) ∇ψ = σ ' (φ )∇φ điểm x0 , đó ∇φ ( x0 ) = và ∇ψ ( x0 ) = Hệ là (9) cho ta ∇φ ( x0 ) ≠ , thì Mặt khác, (σ ' (φ )) φ xi φ x j − δ ij − (σ ' (φ )) ∇φ x0 (σ ' (φ )φ + σ ' ' (φ )φ φ ) ≤ xi x j xi x j điểm Vì σ '> , nên ta nhận sau rút gọn: φ x ( x0 )φ xi ( x0 ) − δ ij − i φ ( x ) ≤ xi x j ∇ φ ( x ) Tiếp theo ta giả sử ∇φ ( x0 ) = Khi đó (10) đúng với η ∈ Rn , − (δ ij − ηiη j )(σ ' (φ )φ xi x j + σ ' ' (φ )φ xi φ x j ) ≤ η ≤1 (11) Khi đó, ta tính điểm x0 σ '' Vì ∇φ ( x0 ) = , nên số hạng với không Do đó, ta thu ( ) − δ ij − η i η j φ xi x j ( x0 ) ≤ (12) Tương tự, ta thu các bất đẳng thức ngược lại (11) và (12) trường hợp û − φ đạt cực tiểu địa phương điểm x0 ∈ Ω Bây giờ, thay vì (6) ta giả sử ϑ '< trên R Khi đó, σ ' < trên R Hoàn toàn tương tự trên, ta thu (11) và (12) Như vậy, ta đã chứng minh uˆ := ϑ (u ) là nghiệm yếu (1) ϑ là hàm trơn và ϑ '≠ Lop12.net (5) Dùng phương pháp xấp xỉ và sử dụng Định lý 1, ta thu kết trên ϑ '≥ ϑ ' ≤ trên R Tiếp theo ta giả sử ϑ trơn và tồn số hữu hạn các điểm − ∞ = a0 < a1 < a2 < < am < am+1 = +∞ cho và ϑ ϑ đơn điệu trên các khoảng là số trên các khoảng (a j , a j +1 ) ( j = 0, , m) (13) (14) (a j − γ , a j + γ ) ( j = 0, , m) (15) γ > với nào đó û − φ Giả sử đạt cực đại địa phương điểm x0 ∈ Ω Khi đó j ∈ { 0, , m } γ γ u ( x0 ) ∈ a j − , a j +1 + 2 với ϑ (a j − γ , a j +1 + γ ) Vì đơn điệu trên khoảng và u liên tục, nên ta có thể áp dụng các bước trên lân cận điểm x0 để thu (11) (12) Bất đẳng thức ngược lại chứng minh tương tự û − φ đạt cực tiểu địa phương { } là hàm liên tục Khi đó ta xây dựng dãy các hàm trơn ϑk k =1 n mà hàm dãy thỏa mãn giả thiết (13)-(15) và ϑk → ϑ địa phương trên R Do đó Cuối cùng, ta giả sử ϑ ∞ uˆ k := ϑk (u ) → uˆ = ϑ (u ) Khi đó Định lý khẳng định û là nghiệm yếu phương trình (1) KẾT LUẬN Kết bài báo đã đưa số tính chất nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu Công cụ chính quá trình tiếp cận là phương pháp xấp xỉ, quá trình này đã sử dụng để thu nghiệm yếu cho phương trình [4] Trong khuôn khổ bài báo, chúng tôi đưa hai tính chất quan trọng nghiệm yếu, nhằm bước đến kết luận tính nghiệm bài toán biên TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] L C Evans, and J Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J Diff Geom., 33(1991), 635-681 D Gilbarg, and N S Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983 R Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch Rat Mech Anal., 101(1988), 1-27 Nguyễn Chánh Định, Sự tồn nghiệm yếu phương trình tập mức mặt cực tiểu, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 15+16/2006 Ch -D Nguyen, and R H W Hoppe, Amorphous surface growth via a level set approach, J Nonlinear Analysis & Applications (accepted) Lop12.net (6)