Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Kinh nhiệm dạy học Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Ngời thực hiện :Phan thị nguyệt Trờng THCS thị trấn Thanh chơng Năm học 2006-2007 Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 1 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán I.Lý do chọn đề tài. Học sinh thờng có cách học giải toán chứ không lu ý đến phơng pháp giải do đó chóng quên, thờng giải bài nào biết bài đó nên nếu nh đề bị biến tấu thì không nhận ra. Do đó đáp ứng đổi mới phơng pháp dạy họccũng nên đổi mới phơng pháp bồi dỡng học sinh giỏi. Tôi xin mở rộng bài toán cụ thể bài 71 trang 14 (sách bài tập toán 9 tập 1). Tôi thấy bài tập này có nhiều ứng dụng, tôi xin đa ra một số cách khai thác để giúp học sinh nhớ bài lâu hơn , vận dụng tốt hơn vào giải bài toán khác. II. Nội dung : Nội dung gồm 3 phần chính: A.Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán. B.khai thác các ứng dụng bài 71 trong chứng minh bất đẳng thức. C. Khai thác các ứng dng bài 71 trong giải phơng trình. Bài 71 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng nn nn ++ =+ 1 1 1 với n là số tự nhiên. Chứng minh : ( nnnn +++ 1)(1 ) 11 =+= nn nn nn ++ =+ 1 1 1 Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 2 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Phát biểu cách khác : 1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì ( )1 nn + và nn ++ 1( ) là hai số nghịch đảo. 2 . nn nn ++= + 1 1 1 (với n là số tự nhiên) A. Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán . Bài 1 : Tính a. 99100 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + b. 1 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 Giải : a. 99100 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + = 9110099100 .342312 ==++++ b. 1 1 . 34 1 23 1 12 1 + ++ + + + + + nn với n 1 = 11 .342312 =++++ nnn Bài 2 : Tính a. A = 200620005 1 . 43 1 32 1 21 1 ++ + Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 3 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán b. B = 122 1 . 43 1 32 1 21 1 + + + kk Định hớng : 21 1 21 + = hay 1 1 1 ++ =+ nn nn Giải : a. A = 200620005 1 . 43 1 32 1 21 1 ++ + = )20062005( .)43()32()21( ++++++ = 20062005 .433221 +++ = )20061( + b. B = 122 1 . 43 1 32 1 21 1 + + + kk B = )122( .)43()32()21( ++++++++ kk = 122 .433221 ++++++ kk = )112( + k ởBài 71, thay 1 = x N ta có bài toán 3 Bài 3 Chứng minh: Với x>0,n 0 Ta có: nxn x nxn ++ =+ Bài4: Tính Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 4 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán a. C = 1316 3 . 710 3 47 3 14 3 + ++ + + + + + b. D = 1212 1 . 57 1 45 1 13 1 ++ ++ + + + + + kk Với k là số tự nhiên 1 Giải a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. ( 4 ) 2 - 2 1 = 3 , ở đây x = 3 Ta có: C = + + 14 3 + + 47 3 + + 710 3 + 1316 3 + = 1316 .7104714 ++++ = 314116 == b. áp dụng bài3vào bài bài 4b ( 3 ) 2 - ( 1 ) 2 = 2, ở đây x = 2 Do đó ta đa về dạng bài toán 4a nh thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế ) 2D = 2 2 2 2 . 3 1 5 3 7 5 2 1 2 1k k + + + + + + + + + 2D = 1212 .573513 +++++ kk 2D = + 112k D = 2 112 + k Bài 5 : Tính Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 5 - Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n a. E = 25242425 1 . 3223 1 2112 1 + ++ + + + §Þnh híng : nnnn )1(1 1 +++ = ? nnnn )1(1 1 +++ = 1 1 + nn . 1 1n n+ + = 1. 1 + −+ nn nn = 1 11 + − nn E = 25 1 24 1 . 3 1 2 1 2 1 1 1 −++−+− = 1- 5 4 5 1 1 25 1 =−= 3 3 3 . . 5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006 b P = + + + + + + Ta cã 3 5 2 2 5+ 3(5 2 2 5) (5 2 2 5)(5 2 2 5) − = + − 3(5 2 2 5) 30 − = = 5 2 2 5 10 − = 5 2 2 5 10 10 − = 1 1 2 5 − Phan ThÞ NguyÖt: Gi¸o viªn trêng THCS ThÞ TrÊn Thanh Ch¬ng - 6 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán 1 1 1 1 1 1 . 2 5 5 8 2003 2006 1 1 2 2006 P P = + + + = B. Khai thác phạm vi ứng dụng bài tập 71 trong việc so sánh và chứng minh bất đẳng thức Bài 6 : Không dùng máy tính hãy so sánh A = 20062007 và B = 20052006 Giải : p dụng bài 71 A = 20062007 1 + B = 20052006 1 + A < B do 20052007 > 2007 2006 2006 2005 < Bài 7 : Tổng quát từ bài 6 ta có : 11 <+ nnnn với n 1 áp dụng bài 71 (bài tập toán 9 tập I) ta có điều phải chứng minh. Bài 8 : Thay 1 = x ở bài 7 ta có : Với n x >1 A = nxn + B = xnn ta có : A < B Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 7 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán từ bài toán 6 ta có bài toán sau: Bài 9 : So sánh C và D C = mpm + D = npn + Với m > n > 0 ,p > 0 Ta có C = mpm p ++ D = npn p ++ Vì m > n C < D *ng dụng bài 71 chứng minh bất đẳng thức Bài 10 : Chứng minh a. nnn 211 <++ (Với n 1) b. nxnxn 2 <++ (với n> x 0) Chứng minh a. nnn 211 <++ 11 <+ nnnn Bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài 7 Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 8 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán b. nxnxn 2 <++ xnnnxn <+ Đã chứng minh ở bài 8 Bài 11 : Chứng minh : 122222 +<++ mmm với m -1 Chứng minh: Với n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta đợc : 122222 +<++ mmm Bài 12:Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng tỏ 1,099101 > Giải 99101 2 99101 + = Vì 0 < 100299101 <+ ( Suy ra từ bài 10a ) 1,099100 1002 2 99101 2 >> + Bài13 : a. Chứng minh rằng với mọi n N* nn n +< + 1 12 1 b. Chứng minh: )1(2 1 )1(2 <<+ nn n nn Giải a. nn n +< + 1 12 1 nnn ++ < + 1 1 12 1 ( p dụng bài 71 trang 14 ) Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 9 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán 2 1 + n > 1 + n + n (hiển nhiên đúng ) b. )1(2 1 )1(2 <<+ nn n nn * Chứng minh : 2 ( 1 + n - n ) < n 1 0 < nn ++ 1 1 < n2 1 1 + n + n > 2 n 1 + n > n Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng * Chứng minh n 1 2( 1)n n< 0 < n2 1 < 1 1 + nn 2 n > n + 1 n n > 1 n Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng Bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh Bài 14 : Cho S = 1+ +++ 4 1 3 1 2 1 + 100 1 Chứng minh 18 < S < 19 Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 10 - [...]... Khai thác các ứng dụng từ một bài toán III Kết luận : Kinh nghiệm trên tôi đã từng áp dụng trong khi bồi dỡng học sinh giỏi và có hiệu quả cao.Qua đây học sinh đợc rèn luyên khả năng t,khả năng khái quát hoá, rèn luyện tính sáng tạo trong học toán Đặc biệt là biết vận dụng linh hoạt trục căn thức ở mẫu vào giải toán cũng nh vận dụng một bài toán đã biết về giải bài toán mới, tuy nhiên nội dung đề tài. .. < 1+2 ( 1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1) Vậy ta có : 100 1 ) 18 < S < 19 Chú ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này nh sau : Cách 1: Chứng minh S không phải là số tự nhiên Cách 2: Tìm phần nguyên của S Bài15: So sánh A và B Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 11 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán A=2( 2 + 4 + + 2006 ) + 2008 p dụng bài 11 ;B=2( 1 + 3 + + 2007 )... toán đã biết về giải bài toán mới, tuy nhiên nội dung đề tài còn có nhiều chỗ có thể tôi cha khai thác sâu, mong bạn đọc góp ý để tôi bổ sung hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn ! Thị Trấn, ngày 26 tháng 5 năm 2007 Ngời viết Phan Thị Nguyệt Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 17 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng... 2 ) 3 Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 12 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán 1 < 2( 2500 2499 ) 2500 Cộng vế với vế ta có: 1+ 1 1 1 1 + + + + < 2(1 + 2 1 + 3 2 + 2500 2499 ) 2 3 4 2500 1+ 1 1 1 1 + + + + < 2 2500 2 3 4 2500 1+ 1 1 1 1 + + + + < 100 2 3 4 2500 ( Điều phải chứng minh ) C Khai thác ứng dụng của bài 71 trong giải phơng trình Bài 17 : Giải phơng... =100 x = 99 Bài 19 : Giải phơng trình : ( ( 19 ) 2 + 3 ) x +( 2 3 ) x = 4 Giải : Đặt y = ( 2 + 3 )x ( 2 3 )x = 1 y Phơng trình (19) Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 14 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán y+ 1 =4 y y 2 4 y +1 = 0 / = 4 1 = 3 y1 = 2 + 3 y2 = 2 3 Thay lại ẩn x ta có : ( 2 + 3)x = ( 3 + 2)2 x =2 ( 2 + 3)x = 2 3 ( 2 + 3 )x = 1 ( 2 + 3)x ( 2 + 3 )... + 4 5 ) x = 18 (20) Giải: Đặt y = => (9 +4 5 ) x (9 4 5 ) x = 1 y Phơng trình (20) 1 + y = 18 y y2 - 18y + 1 = 0 Có ' = 81 1 = 80 Phan Thị Nguyệt: Giáo viên trờng THCS Thị Trấn Thanh Chơng - 15 - Khai thác các ứng dụng từ một bài toán y1 = 9 + y1 = 9 - 80 80 = 9 +4 = 9 -4 5 5 Thay lại ẩn x nếu: y = 9 + 4 => (9 +4 5 ) x Nếu y = 9 - 4 = 5 5 (9 +4 5 ) 2 => x=-2 Vậy phơng trình có hai nghiệm: x = .. .Khai thác các ứng dụng từ một bài toán Chứng minh p dụng bài 13b ta có : 2( n + 1 n ) < 1 < 2( n n 1 ) n Thay n = 2,3,4, 100 ta có: 2( 3 2) < 1 2 . một số cách khai thác để giúp học sinh nhớ bài lâu hơn , vận dụng tốt hơn vào giải bài toán khác. II. Nội dung : Nội dung gồm 3 phần chính: A .Khai thác ứng. biết về giải bài toán mới, tuy nhiên nội dung đề tài còn có nhiều chỗ có thể tôi cha khai thác sâu, mong bạn đọc góp ý để tôi bổ sung hoàn thiện hơn . Xin