Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu Bài tập ôn tập HSG Dạng I: Chứng minh đẳng thức Bài tập: 1. Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a 4 + b 4 + c 4 . 2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức : B = (x 1) 2007 + y 2008 + (z + 1) 2009 . 3. Cho a 2 b 2 = 4c 2 . Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b) 2 . 4. Chứng minh rằng nếu: 5. (x y) 2 + (y z) 2 + (z x) 2 = (x + y 2z) 2 + (y + z 2x) 2 + (z + x 2y) 2 thì x = y = z. 6. a) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 và x, y khác 0 thì a b x y = . b) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 và x, y, z khác 0 thì a b c x y z = = . 7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : a) 5(x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = 6(x 5 + y 5 + z 5 ) ; b) x 7 + y 7 + z 7 = 7xyz(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ; c) 10(x 7 + y 7 + z 7 ) = 7(x 2 + y 2 + z 2 )(x 5 + y 5 + z 5 ). 8. Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 ; b) x 4 + y 4 + (x + y) 4 = 2(x 2 + xy + y 2 ) 2 . 9. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a 2 + b 2 + (a + b) 2 = c 2 + d 2 + (c + d) 2 . Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + (a + b) 4 = c 4 + d 4 + (c + d) 4 10. Cho a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a 2 + b 9 + c 1945 . 11. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau : a 3 3a 2 + 5a 17 = 0 và b 3 3b 2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b. 12. Cho a 3 3ab 2 = 19 và b 3 3a 2 b = 98. Hãy tính : E = a 2 + b 2 . 13. Cho x + y = a + b và x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x 3 + y 3 ; b) x 4 + y 4 ; c) x 5 + y 5 ; d) x 6 + y 6 ; e) x 7 + y 7 ; f) x 8 + y 8 ; g) x 2008 + y 2008 . Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu Dạng II: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 5 6 d, 13 36 , 3 8 4 e, 3 18 , 8 7 f, 5 24 ,3 16 5 h, 8 30 7 , 2 5 12 k, 6 7 20 a x x x x b x x x x c x x x x g x x x x i x x x x + + + + + + + + + Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A 2 B 2 = (A B)(A + B) Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1, 5 8 4 2, 2 3 3, 5 8 4 4, 7 6 5, 9 6 16 6, 4 13 9 18 7, 4 8 8 8, 6 6 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 9, 6 486 81 10, 7 6 11, 3 2 12, 5 3 9 13, 8 17 10 14, 3 6 4 15, 2 4 16, 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 12 17 2 17, 4 18, 3 3 2 19, 9 26 24 20, 2 3 3 1 21, 3 14 4 3 22, 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + + + + ( ) 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36 3, 4 4, 64 5, 64 1 6, 81 4 7, 4 81 8, 64 9, 4 10, x x x x x x x x x x y x y x x + + + + + + + + + + + 1 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu 2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: III- Phơng pháp đổi biến Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử IV- Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. B i Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 ) ( )( ) . ) ( 2 ) (2 ) . ) ( ) ( ) ( ). ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 1). ) ( ) ( ) ( ) . ) ( a A a b c ab bc ca abc b B a a b b a b c C ab a b bc b c ac a c d D a b a b b c b c c a c a e E a c b b a c c b a abc abc f f a b c b c a c a b g G a b a b = + + + + = + + = + + + = + + + + + = + + + = + + = 2 2 2 2 4 4 4 ) ( ) ( ). ) ( ) ( ) ( ). b c b c a c c a h H a b c b c a c a b + + = + + Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12 5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 ) 7, 6 11 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xy y x y x a x a x a x a a x x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8, ( ) 3( ) 2 9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20 11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16 x x x x x xy y x y x x x x x xy y x y x x x x + + + + + + + + + + + + + + + + + + 4 3 2 2 2 2 2 2 1, 6 7 6 1 2,( )( ) ( ) x x x x x y z x y z xy yz zx + + + + + + + + + + 7 2 7 5 5 4 5 8 7 5 4 5 10 5 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu V-Phong pháp hệ số bất định B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4 3 2 4 3 2 2 2 4 3 2 4 ) 6 12 14 3 ) 4 4 5 2 1 ) 3 22 11 37 7 10 ) 7 14 7 1 ) 8 63 a A x x x x b B x x x x c C x xy x y y d D x x x x e E x x = + + = + + + + = + + + + + = + + = + Bài tập: Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x 3 3(a 2 + b 2 )x + 2(a 3 + b 3 ) Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a 2 + b 2 = 2 S 2P- ; a 3 + b 3 = 3 S 3SP- . Vì vậy : A = x 3 3( 2 S 2P- )x + 2( 3 S 3SP- ) = 3 3 2 3 (x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + - = 2 2 2 (x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + - = 2 2 (x S)(x Sx 2S 6P)- + - + = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a + b) 2 + 6ab] = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 3 + 4x 2 29x + 24 ; b) x 4 + 6x 3 + 7x 2 6x + 1 ; c) (x 2 x + 2) 2 + (x 2) 2 ; d) 6x 5 + 15x 4 + 20x 3 + 15x 2 + 6x + 1 ; e) x 6 + 3x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1. f) x 8 + x 4 + 1; g) x 10 + x 5 + 1 ; h) x 12 + 1 ; i) (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 ; k) (x + y + z) 5 x 5 y 5 z 5 . Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu Dạng III: Giải ph ơng trình Bài 1: a)7x+21=0 b)12-6x=0 c)5x-2=0 d)-2x+14=0 e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0 g) 4 5 1 3 6 2 x = h) 5 2 1 10 9 3 x x + = i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7 l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0 n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 3 1 2 6 5 3 x x = v) 3 13 2 5 5 5 x x + = + ữ ữ w) 3 2 3 2( 7) 5 6 4 x x + = s) 7 20 1,5 5( 9) 8 6 x x x + = y) 5( 1) 2 7 1 2(2 1) 5 6 4 7 x x x + + = Bài 2: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2) 2( 3) 4 3 0 7 5 x x+ = ữ c)(3,3-11x) 7 2 2(1 3 ) 0 5 3 x x+ + = ữ d) ( 3 5)(2 2 1) 0x x + = e) (2 7)( 10 3) 0x x + = f) (2 3 5)(2,5 2) 0x x + = g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) i)(2x 2 +1)(4x-3)=(2x 2 +1)(x-12) k)(2x-1) 2 +(2-x)(2x-1)=0 l)(x+2)(3-4x)=x 2 +4x+4 m)(x-1)(x 2 +5x-2)-(x 2 -1)=0 n)x 3 +1=x(x+1) 0)x 2 +(x=2) (11x-7)=4 p)x 3 +x 2 +x+1=0 q)x 2 -3x+2=0 r)4x 2 -12x+5=0 s)-x 2 +5x-6=0 t)2x 2 +5x+3=0 y) ( ) 2 2 3( 2) 0x x + = Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu Bổ trợ kiến thức lớp 9 41. Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa : 2 2 2 1 1 1 2 A= x 3 B C D E x 2x x x 4x 5 1 x 3 x 2x 1 = = = = + + + 2 G 3x 1 5x 3 x x 1= + + + 44. Tìm giá trị của x để biểu thức sau co nghĩa : 2 2 2 1 1 A x x 2 B C 2 1 9x D 1 3x x 5x 6 = + + = = = + 2 2 2 1 x E G x 2 H x 2x 3 3 1 x x 4 2x 1 x = = + = + + + 48 So sánh : a) 3 1 a 2 3 v b= 2 + = + b) 5 13 4 3 v 3 1 + 51. Rút gọn biểu thức : 8 41 M 45 4 41 45 4 41 = + + . 54 Giải các phơng trình sau 2 2 2 2 2 a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0 = + = + + = 4 2 2 d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5 + = + + + = + = 2 2 2 h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25 + + + = + + = k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ + + = + + = + + 56. Rút gọn biểu thức : a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1 c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2 + + + + + + + + + + + + + + + 58. Rút gọn biểu thức : ( ) ( ) 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6 a) C b) D 2 3 + + + + = = . 59. So sánh: a) 6 20 v 1+ 6 b) 17 12 2 v 2 1 c) 28 16 3 v 3 2+ + + 60. Cho biểu thức : 2 A x x 4x 4= + a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa : b) Rút gọn A. 61. Rút gọn biểu thức : a) 11 2 10 b) 9 2 14 3 11 6 2 5 2 6 c) 2 6 2 5 7 2 10 + + + + + + Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu 67. Cho biểu thức : 2 2 2 2 x x 2x x x 2x A x x 2x x x 2x + = + . a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa : b) Rút gọn A. c) Tìm x để A < 2. 73 Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)+ + + + + + 76. So sánh 4 7 4 7 2+ v s ố 0. 110. Chứng minh bất đẳng thức : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + + + + . 111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2 + + + + + + + . 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6+ + + + + < + + + + + . 113. CM : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + + + với a, b, c, d > 0. 118. Giải phơng trình : x 1 5x 1 3x 2 = 119. Giải phơng trình: x 2 x 1 x 2 x 1 2+ + = 120. Giải phơng trình : 2 2 3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = 121. Giải phơng trình : 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = 127. Ch ng minh 2 (a b) a b a b b a 2 4 + + + + với a, b > 0. 128. Chứng minh a b c 2 b c a c a b + + > + + + với a, b, c > 0. 129. Cho 2 2 x 1 y y 1 x 1 + = . Chứng minh rằng x 2 + y 2 = 1. 144. Ch ng minh rằng, n Z + , ta luôn có : ( ) 1 1 1 1 2 n 1 1 2 3 n + + + + > + . 151. Rút gọn : 1 1 1 1 A . 1 2 2 3 3 4 n 1 n = + + + + + + + + . 152. Cho biểu thức : 1 1 1 1 P . 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 = + + + a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ? 153. Tính : 1 1 1 1 A . 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 = + + + + + + + + . 156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3 < (a > 3) 157. Chứng minh : 2 1 x x 0 2 + > (x > 0) 154. Chứng minh : 1 1 1 1 . n 2 3 n + + + + > . Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu 188. R út gọn : b ab a b a b a : a b ab b ab a ab + + + ữ ữ + + 190. Cho ( ) 2 1 a a 1 a a A 1 a : a a 1 1 a 1 a + = + + ữ ữ + a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của A thì | A | = A. 191. Cho biểu thức : a b 1 a b b b B a ab 2 ab a ab a ab + = + + ữ + + . a) Rút gọn B. b) Tình giá trị của B với a 6 2 5= + . c) So sánh B với -1. 192. Cho 1 1 a b A : 1 a a b a a b a b + = + + ữ ữ + + a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2= + = + . 193. Cho biểu thức a 1 a 1 1 A 4 a a a 1 a 1 a + = + ữ ữ + a) Rút gọn A. b) Tính A nếu 6 a 2 6 = + . 194. Cho biểu thức a 1 a a a a A 2 2 a a 1 a 1 + = ữ ữ + . a) Rút gọn A. b) Tìm a để A = - 4 195 Thực hiện phép tính : 1 a 1 a 1 a 1 a A : 1 a 1 a 1 a 1 a + + = + ữ ữ + + 196. Thực hiện phép tính : 2 3 2 3 B 2 2 3 2 2 3 + = + + + 197. Rút gọn biểu thức: ( ) 3 x y 1 1 1 2 1 1 a) A : . . x y xy xy x y 2 xy x y x y = + + + ữ ữ ữ + + + v i x 2 3 ; y 2 3= = + . b) 2 2 2 2 x x y x x y B 2(x y) + = với x > y > 0 c) 2 2 2a 1 x C 1 x x + = + với 1 1 a a x 2 a 1 a = ữ ; 0 < a < 1 Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu d) ( ) ( ) 2 2 2 a 1 b 1 D (a b) c 1 + + = + + v i a, b, c > 0 v ab + bc + ca = 1 e) x 2 x 1 x 2 x 1 E . 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 + + = + + 198. Chứng minh : 2 2 x 4 x 4 2x 4 x x x x x + + + = 264. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc v o x, y : ( ) 4 x y 1 x y C 4xy 2 x y x y x y x y x y + + = + + ữ ữ + + v i x > 0 ; y > 0. 265. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc v o a: 2 a a 2 a a a a 1 D a 1 a 2 a 1 a + + = ữ + + v i a > 0 ; a 1 266. Cho biểu thức c ac 1 B a a c a c a c ac c ac a ac = + ữ + + + + . a) Rút gọn B. b) Tính B khi c = 54 ; a = 24 267. Cho biểu thức : 2 2 2 2mn 2mn 1 A= m+ m 1 1+n 1 n n + + ữ + v i m 0 ; n 1 a) Rút gọn A. b) Tìm A với m 56 24 5= + . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 268. Rút gọn 2 2 2 1 x 1 x 1 1 x x D 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x + = ữ ữ + + + 269. Cho 1 2 x 2 x P : 1 x 1 x 1 x x x x 1 = ữ ữ + + với x > 0 ; x > 1. a Rút gọn P. b) Tìm x sao cho P < 0. Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 . B) Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1, 5 8 4 2, 2 3 3, 5 8 4 4, 7 6 5, 9. z) 5 x 5 y 5 z 5 . Một số bài tập ôn thi HSG Toán 8, 9 Phan Duy Thanh Trờng THCS Dị Nậu Dạng III: Giải ph ơng trình Bài 1: a)7x+21=0 b)12-6x=0 c)5x-2=0