Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton Xét khai triển a + bxn có số hạng tổng quát là Ckna n-k bk x k.. NguyÔn Quang Vò..[r]
(1)T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton III Tìm số hạng khai triển nhị thức Newton Dạng tìm số hạng thứ k Số hạng thứ k khai triển (a + b)n là Ckn-1a n-(k-1)bk-1 Ví dụ 16 Tìm số hạng thứ 21 khai triển (2 - 3x)25 Giải 20 20 20 20 20 Số hạng thứ 21 là C25 (-3x) = C25 x Dạng tìm số hạng chứa xm i) Số hạng tổng quát khai triển (a + b)n là Ckna n-k bk = M(k).x f(k) (a, b chứa x) ii) Giải phương trình f(k) = m Þ k0 , số hạng cần tìm là Ckn0 a n-k0 bk0 và hệ số số hạng chứa xm là M(k0) æ x ö÷18 Ví dụ 17 Tìm số hạng không chứa x khai triển çç + ÷÷ çè x ø Giải æ x ö÷18 18 Số hạng tổng quát khai triển çç + ÷÷ = ( 2-1 x + 4x-1 ) là: èç x ø k C18 ( 2-1 x ) 18-k ( 4x-1 ) k k 3k-18 18-2k = C18 x Số hạng không chứa x ứng với 18 - 2k = Û k = 9 Vậy số hạng cần tìm là C18 Ví dụ 18 Tìm số hạng chứa x37 khai triển ( x2 - xy ) 20 Giải Số hạng tổng quát khai triển ( x2 - xy ) là: 20 k k 40-k k C20 (x2 )20-k (-xy)k = (-1)k C20 x y Số hạng chứa x37 ứng với 40 - k = 37 Û k = 37 x y = -1140x 37 y3 Vậy số hạng cần tìm là -C20 Ví dụ 19 Tìm số hạng chứa x3 khai triển ( + x + x2 ) 10 Giải k k x (1 + x)k Số hạng tổng quát khai triển ( + x + x2 ) = éë + x ( + x ) ùû là C10 Suy số hạng chứa x3 ứng với £ k £ 2 2 x (1 + x)2 = C10 (x2 + 2x + x ) nên số hạng chứa x3 là 2C10 x + Với k = 2: C10 10 10 3 3 x (1 + x)3 có số hạng chứa x3 là C10 x + Với k = 3: C10 Vậy số hạng cần tìm là ( C10 + 2C10 ) x3 = 210x3 NguyÔn Quang Vò Lop12.net (2) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton Cách khác: Ta có khai triển ( + x + x2 ) = éë + x ( + x ) ùû 10 10 là: 2 3 10 10 C10 + C110 x(1 + x) + C10 x (1 + x)2 + C10 x (1 + x)3 + + C10 10 x (1 + x) 2 3 x (1 + x)2 và C10 x (1 + x)3 Số hạng chứa x3 có C10 2 2 x (1 + x)2 = C10 (x2 + 2x + x ) Þ 2C10 x + C10 3 3 x (1 + x)3 = C10 (x + 3x + 3x + x ) Þ C10 x + C10 3 x + C10 x = 210x Vậy số hạng cần tìm là 2C10 Dạng tìm số hạng hữu tỉ n i) Số hạng tổng quát khai triển (a + b) là Ckna n-k bk ìï m ïï Î ï (k Î , £ k £ n) Þ k0 ii) Giải hệ phương trình ïí p ïï r ïï Î ïî q = m r k Cn a p b q ( a, b là hữu tỉ) Số hạng cần tìm là Ckn0 a n-k0 bk0 æ ö10 ÷ ç Ví dụ 20 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển ç + ÷÷ çè ø Giải 10 æ ö + ÷÷ Số hạng tổng quát khai triển çç ÷ø èç Số hạng hữu tỉ khai triển thỏa điều kiện: 10 1ö æ ÷ k k çç + 22.5 ÷÷÷ k ç C = çç ÷ là 32 10 çç ÷÷ ÷ø è ìï k ïï Î ï2 ( k Î , £ k £ 10 ) Þ í ïï k ïï Î î3 1 + Với k = 0: số hạng hữu tỉ là C10 = 32 32 2625 + Với k = 6: số hạng hữu tỉ là C10 = 32 2625 Vậy số hạng cần tìm là và 32 ék = ê êk = êë Dạng tìm hệ số lớn khai triển Newton Xét khai triển (a + bx)n có số hạng tổng quát là Ckna n-k bk x k NguyÔn Quang Vò Lop12.net (3) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton Đặt u k = Ckna n-k bk , £ k £ n ta có dãy hệ số là { u k } Để tìm số hạng lớn dãy ta thực các bước sau: Bước 1: giải bất phương trình Bước 2: giải bất phương trình uk ³ ta tìm k0 và suy u k ³ u k +1 ³ ³ u n 0 u k +1 uk £ ta tìm k1 và suy u k ³ u k -1 ³ ³ u 1 u k +1 Bước 3: số hạng lớn dãy là max { u k0 , u k1 } Chú ý: Để đơn giản tính toán ta có thể làm gọn sau: ì ï u ³ u k +1 Giải hệ bất phương trình ïí k Þ k0 Suy hệ số lớn là Ckn0 a n-k0 bk0 ï u ³ u k-1 ï î k Ví dụ 21 Tìm hệ số lớn khai triển ( + 0, 2x ) 17 Giải k (0, 2)k x k Khai triển ( + 0, 2x ) có số hạng tổng quát là C17 17 Ta có: ìï Ck (0, 2)k ³ Ck +1(0, 2)k +1 17 ï 17 í k k k-1 ïï C17 (0, 2) ³ C17 (0, 2)k-1 îï ìï 17 ! 17 ! ïï ³ ï k ! ( 17 - k ) ! (k + 1)! ( 16 - k ) ! Û ïí ïï 17 ! 17 ! ³5 ïï (k - 1)! ( 18 - k ) ! ïî k ! ( 17 - k ) ! ì ï 5(k + 1) ³ 17 - k Ûï Û £ k £ í ï 18 k ³ 5k ï î (0, 2)2 = 5, 44 + Với k = 2: hệ số là C17 (0, 2)3 = 5, 44 + Với k = 3: hệ số là C17 Vậy hệ số lớn là 5,44 10 æ 2x ö÷ ç Ví dụ 22 Tìm hệ số lớn khai triển ç + ÷÷ çè ø Giải 10 æ 10 k 10-k k k 2x ö÷ ç Khai triển ç + ÷÷ = 10 ( + 2x ) có số hạng tổng quát là 10 C10 x çè ø 3 Ta có: NguyÔn Quang Vò Lop12.net (4) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton k 10-k k k +1 9-k k +1 ì ï ³ C10 ï C10 í k 10-k k k-1 11-k k-1 ï ³ C10 ï ï C10 î ì 10 ! 10 ! ï ï ³2 ï ï k ! ( 10 - k ) ! (k + 1)! ( - k ) ! Ûï í ï 10 ! 10 ! ï ³3 ï ï (k - 1)! ( 11 - k ) ! ï î k ! ( 10 - k ) ! ì 3(k + 1) ³ 2(10 - k) ï 17 22 Ûï Û £k£ Þ k = í ï 2(11 - k) ³ 3k 5 ï î 1120 Vậy hệ số lớn là 10 C10 32 = 27 Dạng tìm hệ số chứa xk tổng n số hạng đầu tiên cấp số nhân (tham khảo) Tổng n số hạng đầu tiên cấp số nhân với công bội q khác là: - qn Sn = u1 + u2 + + u n = u1 1-q Xét tổng S(x) = (1 + bx)m +1 + (1 + bx)m +2 + + (1 + bx)m +n là tổng n số hạng đầu tiên cấp số nhân với u1 = (1 + bx)m +1 và công bội q = (1 + bx) Áp dụng công thức ta được: bx)n (1 + bx)m +n +1 - (1 + bx)m +1 = - (1 + bx) bx m +1 - (1 + S(x) = (1 + bx) Suy hệ số số hạng chứa xk S(x) là nhân với hệ số số hạng chứa x k +1 b khai triển (1 + bx)m +n +1 - (1 + bx)m +1 Ví dụ 23 Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển và rút gọn tổng sau: S(x) = ( + x ) + ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) 15 Giải Tổng S(x) có 15 – + = 12 số hạng nên ta có: S(x) = (1 + x)4 - (1 + x)12 (1 + x)16 - (1 + x)4 = - (1 + x) x Suy hệ số số hạng chứa x4 là hệ số số hạng chứa x5 (1 + x)16 = 4368 Vậy hệ số cần tìm là C16 Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số số hạng tổng ta suy đẳng thức: C44 + C54 + C64 + + C15 = C16 Ví dụ 24* Tìm hệ số số hạng chứa x2 khai triển và rút gọn tổng sau: S(x) = ( + x ) + ( + x ) + + 99 ( + x ) 99 Giải NguyÔn Quang Vò + 100 ( + x ) 100 Lop12.net (5) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton Ta có: 98 99 ù é S(x) = ( + x ) ê + ( + x ) + + 99 ( + x ) + 100 ( + x ) ú ë û Đặt: f(x) = + ( + x ) + ( + x ) + + 99 ( + x ) 98 99 F(x) = (1 + x) + ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) + 100 ( + x ) 99 Þ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) + (1 + x ) 100 Suy hệ số số hạng chứa x2 S(x) tổng hệ số số hạng chứa x và x2 f(x), tổng lần hệ số số hạng chứa x2 và lần hệ số số hạng chứa x3 F(x) Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có: F(x) = (1 + x) - (1 + x)100 (1 + x)101 - (1 + x) = - (1 + x) x Suy hệ số số hạng chứa x2 và x3 F(x) là C101 và C101 + 3C101 = 12582075 Vậy hệ số cần tìm là 2C101 Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số số hạng tổng ta suy đẳng thức: 2C22 + 3C23 + 4C24 + + 99C299 + 100C100 = 2C101 + 3C101 Ví dụ 25* Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển và rút gọn tổng sau: S(x) = ( + x ) + ( + x ) + + (n - 1) ( + x ) n-1 Giải + n (1 + x ) n Ta có: n-2 n-1 ù é S(x) = ( + x ) ê + ( + x ) + + (n - 1) ( + x ) + n (1 + x ) ú ë û Đặt: f(x) = + ( + x ) + ( + x ) + + (n - 1) ( + x ) n-2 F(x) = (1 + x) + ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) n-1 Þ S(x) = f(x) + xf(x) và F/ (x) = f(x) + n (1 + x ) n-1 + (1 + x ) n Suy hệ số số hạng chứa x S(x) tổng hệ số số hạng không chứa x và chứa x f(x), tổng hệ số số hạng chứa x và lần hệ số số hạng chứa x2 F(x) Tổng F(x) có n số hạng nên ta có: - (1 + x)n (1 + x)n +1 - (1 + x) F(x) = (1 + x) = - (1 + x) x Suy hệ số số hạng chứa x và x2 F(x) là C2n +1 và C3n +1 Vậy hệ số cần tìm là C2n +1 + 2C3n +1 = n(n + 1)(2n + 1) NguyÔn Quang Vò Lop12.net (6) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số số hạng tổng ta suy đẳng thức: 12 + 22 + 32 + + (n - 1)2 + n2 = n(n + 1)(2n + 1) BµI TËP Tìm số hạng các khai triển sau 29) Số hạng thứ 13 khai triển (3 - x)25 30) Số hạng thứ 18 khai triển (2 - x2 )25 12 æ ö÷ ç 31) Số hạng không chứa x khai triển ç x + ÷÷ xø èç 12 28 ö æ ÷ 32) Số hạng không chứa x khai triển ççç x x + x 15 ÷÷÷ çè ÷ø æ a 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ khai triển ççç + çè b 21 b ÷ö ÷÷ a ÷ø Tìm hệ số số hạng các khai triển sau æ x ö÷12 34) Hệ số số hạng chứa x khai triển çç - ÷÷ çè x ø æ 35) Hệ số số hạng chứa x khai triển çç + çè x 36) Hệ số số hạng chứa x khai triển ö÷12 x ÷÷ ø é + x2 (1 - x) ù êë úû 37) Hệ số số hạng chứa x khai triển ( + x + x2 + x ) 10 38) Hệ số số hạng chứa x khai triển (x2 - x + 2)10 39) Hệ số số hạng chứa x khai triển (1 + x + 3x2 )10 40) Hệ số số hạng chứa x khai triển: S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50 41) Hệ số số hạng chứa x khai triển: S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22 42) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1 + x)10 (x + 1)10 Từ đó suy giá trị tổng S = ( C10 ) + ( C101 ) + + ( C1010 ) NguyÔn Quang Vò 2 Lop12.net (7) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton 10 9 C20 + C110C20 + C10 C20 + + C10 C20 + C10 43) Rút gọn tổng S = C10 10C20 2006 44) Rút gọn tổng S = ( C2007 ) + ( C12007 ) + + ( C2007 ) + ( C2007 2007 ) 2 2 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển các tổng sau 45) ( 16 + ) 46) 10 æ ö ÷ ç 47) ç + 5÷ ÷ø çè ( 3+32 æ 48) çç -5 çè ) ö÷10 ÷÷ ø Tìm hệ số lớn khai triển các tổng sau æ 2x ö÷11 50) çç + ÷÷ çè ø 49) ( + 2x ) 21 51) ( + 0, 5x ) 100 HƯỚNG DẪN 13 12 29) C12 25 x 34 30) -C17 25 x 12 12 28 28 æ æ - ö - ö ÷ ÷ çç ç 32) Số hạng tổng quát ç x x + x 15 ÷÷÷ = çç x + x 15 ÷÷÷ là çè çè ÷ø ÷ø 28k 12-k ) k 3( C12 x x 15 k = C12 x æ kö 16çç 1- ÷÷ çè ÷ø = 924 31) C12 Suy số hạng không chứa x ứng với k thỏa = 792 Vậy số hạng không chứa x là C12 æ a 33) Số hạng tổng quát ççç + çè b k = Û k = 5 21 21 k 2k 1ö æ -1 7- - + b ö÷ ÷ k ÷÷ = ççç a b + a b2 ÷÷ là C21 a b ÷ ÷ ç ÷ aø è ø 5 k 2k 2 a b Suy - = - + Û k = Vậy số hạng cần tìm là C21 2 55 34) 35) 495 8 36) éëê + x2 (1 - x) ùûú = éêë x2 (1 - x) + ùûú = C08 x16 (1 - x)8 + + C48 x (1 - x)4 + C38 x (1 - x)3 + + C88 Suy hệ số số hạng chứa x có số hạng C48 x (1 - x)4 và C38 x (1 - x)3 + C48 x (1 - x)4 = C48 x ( C04 - C14 x + + C44 x ) nên có hệ số chứa x8 là C48C04 NguyÔn Quang Vò Lop12.net (8) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton + C38 x (1 - x)3 = C38 x ( C03 - C13 x + C23 x2 - C33 x ) nên có hệ số chứa x8 là C38C23 Vậy hệ số cần tìm là C48C04 + C38C23 = 238 37) ( + x + x2 + x ) = ( + x ) 10 10 ( + x2 ) 10 10 10 20 = ( C10 + C110 x + + C10 10 x )( C10 + C10 x + + C10 x ) Thực phép nhân phân phối ta suy hệ số số hạng chứa x có số hạng: 5 C110 C10 x , C10 C110 x và C10 C10 x + C10 C110 + C10 C10 = 1902 Vậy hệ số cần tìm là C110 C10 38) (x2 - x + 2)10 = éë - x(1 - x) ùû 10 10 10 10 = C10 - + C10 x (1 - x)2 - C10 x (1 - x)3 + + C10 10 x (1 - x) 2 x (1 - x)2 và Suy hệ số số hạng chứa x có số hạng C10 -C10 x (1 - x)3 2 2 x (1 - x)2 = C10 (x - 2x + x ) Þ -2C10 là hệ số số hạng chứa x + C10 3 x (1 - x)3 có hệ số số hạng chứa x là -C10 + -C10 - C10 = -38400 Vậy hệ số cần tìm là -2C10 39) (Tương tự) 1695 40) Áp dụng công thức cấp số nhân cho tổng 48 số hạng ta có: - (1 + x)48 (1 + x)51 - (1 + x)3 S(x) = (1 + x) = - (1 + x) x Suy hệ số số hạng chứa x là hệ số số hạng chứa x (1 + x)51 = 249900 Vậy hệ số cần tìm là C51 41) Áp dụng công thức cấp số nhân cho 20 số hạng ta có: S(x) = (1 + 2x)3 - (1 + 2x)20 (1 + 2x)23 - (1 + 2x)3 = - (1 + 2x) 2x Suy hệ số số hạng chứa x là hệ số số hạng chứa x (1 + 2x)23 10 10 10 42) (1 + x)10 (x + 1)10 = ( C10 + C110 x + + + C10 + C110 x + + C10 ) 10 x )( C10 x 4 Vậy hệ số cần tìm là C23 = 70840 Thực phép nhân phân phối ta suy hệ số số hạng chứa x10 là: ( C100 ) + ( C110 ) + + ( C10 10 ) NguyÔn Quang Vò Lop12.net (9) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton Mặt khác (1 + x)10 (x + 1)10 = (1 + x)20 có hệ số số hạng chứa x10 là C10 20 Vậy S = C10 20 = 184756 10 20 20 43) (1 + x)10 (1 + x)20 = ( C10 + C110 x + + C10 10 x )( C20 + C20 x + + C20 x ) Thực phép nhân phân phối ta suy hệ số số hạng chứa x10 là: 10 9 C10 C20 + C110C20 + C10 C20 + + C10 C20 + C10 10C20 Mặt khác (1 + x)10 (1 + x)20 = (1 + x)30 có hệ số số hạng chứa x10 là C10 30 Vậy S = C10 30 44) S = C2007 4014 45) Số hạng cần tìm là C74 16.32 = 5040 46) Số hạng cần tìm là C99 23 = và C93 33.2 = 4536 1 10 và C10 = 25 243 35 35 10 1024 -1 2 48) Số hạng cần tìm là C10 , C10 = -5376 và C10 = 10 = 3 14 49) Hệ số lớn là C14 50) Hệ số lớn là C11 21 66 66 66 51) Hệ số lớn là 100 C100 = C100 234 47) Số hạng cần tìm là C10 = 10 Bài Tìm hệ số số hạng chứa x4 , x Bài a)Tìm số hạng x31, x Trong khai triển x x 40 n 28 b)Trong khai triển x x x 15 Tìm số hạng không chứa x biết : Cnn Cnn 1 Cnn 2 79 Bài 3.Tìm số hạng không chứa x khai triển x x Bài Tìm hệ số số hạng chứa x43 khai triển x5 x 21 n Bài 5.Biết khai triển x Có hệ số số hạng thứ 3 Hãy tính số hạng đứng khai triển n Bài Cho khai triển x3 Biết tổng ba số hạng đầu itên khai triển x 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5 NguyÔn Quang Vò Lop12.net (10) T×m hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton n Bài 7.Biết tổng hệ số ba số hạng đầu tiên khai triển x x 15 28 79 x .Tim số hạng không chứa x n Bài Tìm hệ số x8 khai triển : x5 Biết Cnn41 Cnn3 n 3 x Bài Biết tổng các hệ số khai triển 1 x 1024 Tìm hệ số x12 n Bài 10.Biết tổng các hệ số khai triển 1 x 6561 Tìm hệ số x4 n 10 x Bài 11 tìm hệ số x y khai triển xy y Bài 12.Trong khai triển xy xy 12 Tìm số hạng chứa x và y cho số mũ x và y Là các số nguyên dương Bài 13.Tìm các hạng tử là số nguyên khai triển 3 Bài 14.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên Khai triiển 19 3 45 124 Bài 15.Tìm các hạng tử là số nguyên khai triển 125 Bài 16.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyện khai triển 733 64 P x 1 x 1 x 1 x Bài 16 Khai triển đa thức 10 14 A0 A1 x A14 x14 Tính A9 n x x21 Bài 17 Cho khai triển : Biết Cn3 5Cn1 và số hạng thứ 20n Tim x và n a Bài 18 Trong khai triển : b b a n tìm số hạng chứa a,b có số mũ NguyÔn Quang Vò 10 Lop12.net (11)