VẬN DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN ĐỂ GIẢI TOÁN Dương Văn Thới Vận dụng chứng minh: 1) Với ba số x,y,z không âm thì: ≥ ++ 3 333 zyx xyz 2) Với ba số a,b,c không âm thì: 3 3 abc cba ≥ ++ 3) Ba số a,b,c khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện a+b+c = 0. Chứng minh rắng:       − + − + −       − + − + − ac b cb a ba c b ac a cb c ba 1) Nếu x,y,z không âm thì x + y + z không âm, mà x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz = 2 1 (x+y+z)[(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 ] (theo (1)) suy ra : x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz ≥ 0 Từ đó ta có: ≥ ++ 3 333 zyx xyz 2) Đặt : x = 3 a ; y = 3 b ; z = 3 c ; Vì a, b, c không âm nên x, y, z không âm. Dựa vào kết quả câu a ta có: ≥ ++ 3 )()()( 3 33 3 3 cba 3 a 3 b 3 c Suy ra: 3 3 abc cba ≥ ++ 3) Ta có : Chứng minh : x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz = 2 1 (x+y+z)[(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 ] (1) Xét vế phải: 2 1 (x+y+z)[(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 ] = 2 1 (x+y+z)[2(x 2 + y 2 + z 2 ) – 2(xy + yz + xz)] = (x+y+z)[(x 2 + y 2 + z 2 ) – (xy + yz + xz)] = (x+y+z)(x 2 + y 2 + z 2 ) – (x+y+z)( (xy + yz + xz) = x 3 + xy 2 + xz 2 + x 2 y + y 3 + yz 2 + x 2 z + y 2 z + z 3 - x 2 y – xyz - x 2 z - xy 2 - y 2 z – xyz – xyz - yz 2 - xz 2 = x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz. Vậy vế phải bằng vế trái . Hay : x 3 +y 3 +z 3 – 3xyz = 2 1 (x+y+z)[(x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 ]       − + − + −       − + − + − ac b cb a ba c b ac a cb c ba = 9 = 1 + )( )( cbc baa − − + )( )( acc bab − − + )( )( baa cbc − − + 1 + )( )( aca cbb − − + )( )( bab acc − − + )( )( cbb aca − − + 1 = 3 + )( )()( acac cbbcbaab − −+− + )( )()( cbbc acacbaab − −+− + )( )()( baab acaccbbc − −+− = 3 + )( )( 22 acac cbcabab − −+− + )( )( 22 cbbc accbaba − −+− )( )( 22 baab aacbcbc − −+− = 3 + ( )( ) [ ] )( )( acac acbacacb − −++−− + ( ) [ ] )( )()( cbbc cbacbcba − −++−− ( ) [ ] )( )()( baab bacbabac − −++−− = 3 + ( ) [ ] )( )( acac acbacb − −−− + ( ) [ ] )( )( cbbc cbacba − −−− ( ) [ ] )( )( baab bacbac − −−− = 3 + [ ] ac acbb −− + bc cbaa ][ −− + [ ] ab bacc −− = 3 + [ ] abc bacccbaaacbb ][][ 222 −−+−−+−− = 3 + abc bcacccabaaabcbb 223223223 −−+−−+−− (vì b+c=-a; a+b=-c; a+c=-b) = 3 + abc caaccbbcbaabcab )()()( 333 +−+−+−++ = abc abcabcabccab +++++ 333 = abc abccab 3 333 +++ Theo (1) ta có : a 3 +b 3 +c 3 – 3abc = 2 1 (a+b+c)[(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ] Suy ra: a 3 +b 3 +c 3 = 2 1 (a+b+c)[(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ] + 3abc Do đó : abc abccab 3 333 +++ = 3 + abc abcaccbbacbaabc 3])()())[(( 2 1 3 222 +−+−+−+++ = 3 + abc abc6 (do a+b+c=0) = 3 + 6 = 9 Vậy với a + b + c = 0 thì:       − + − + −       − + − + − ac b cb a ba c b ac a cb c ba = 9 . VẬN DỤNG MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN ĐỂ GIẢI TOÁN Dương Văn Thới Vận dụng chứng minh: 1) Với ba số x,y,z không âm