Đang tải... (xem toàn văn)
Cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân Giúp người đọc dễ hiểu lý thuyết, nắm vững các kĩ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật
Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ mơn Tốn Ứng dụng Bài Giảng Giải Tích ThS.Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh Ngày tháng năm 2013 Mục tiêu mơn học • Mơn học cung cấp kiến thức vi tích phân hàm biến phương trình vi phân • Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững kỹ tính tốn, biết vận dụng giải tốn cụ thể • Biết vận dụng phương pháp tư sáng tạo vào khoa học kỹ thuật Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân, Phép tính vi phân hàm biến NXBGD, 2005 2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Bài tập tốn cao cấp 3) Đỗ Cơng Khanh Giải tích biến NXB Đại học quốc gia Mục lục Giới hạn liên tục 1.1 Giới hạn dãy số 1.2 Hàm số 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα 1.2.2 Hàm lượng giác 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit 1.2.4 Hàm y = ln x 1.2.5 Hàm Hyperbolic 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược 1.2.7 Hàm Hợp 1.2.8 Hàm ngược 1.2.9 Hàm tham số hóa 1.3 Giới hạn hàm số 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các giới hạn 1.3.3 Vô bé 1.3.4 Vô lớn 1.4 Hàm số liên tục 3 8 10 11 12 12 13 13 14 15 15 16 17 20 23 Đạo hàm vi phân 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Định nghĩa tính chất 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược hàm tham số hóa 2.1.3 Đạo hàm cấp cao 2.2 Vi phân 2.3 Định lý giá trị trung bình 2.4 Công thức H’Lopital 2.5 Công thức taylor 2.6 Khảo sát vẽ đồ thị 2.6.1 Tiệm cận 2.6.2 Chiều biến thiên cực trị 2.6.3 Lồi, lõm điểm uốn 2.6.4 Khảo sát hàm số 2.6.5 Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ 25 25 25 28 29 31 33 33 37 43 43 44 46 47 50 Chương Giới hạn liên tục 1.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1 (Dãy số đơn điệu) Dãy số (xn ) gọi tăng xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N Dãy số (xn ) gọi giảm xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N Bỏ dấu "=" đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt) Dãy số tăng giảm gọi chung đơn điệu Ví dụ 1.1 Xét tính đơn điệu dãy số (xn ) : xn = n+1 n+2 (n + 1) + n + (n + 2)2 − (n + 1)(n + 3) − = = > 0, ∀n ∈ N (n + 1) + n + (n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2) > xn suy (xn ) dãy tăng Xét xn+1 − xn = =⇒ xn+1 Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn) Dãy (xn ) gọi bị chặn ∃M : xn ≤ M, ∀n Dãy (xn ) gọi bị chặn ∃m : xn ≥ m, ∀n Dãy (xn ) bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Dãy (xn ) bị chặn (|xn |) bị chặn Ví dụ 1.2 Xét tính bị chặn dãy số (xn ) : xn = Ta có < n n+1 n < 1, ∀n ∈ N Suy (xn ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn bị chặn n+1 Định nghĩa 1.3 (Dãy con) Cho dãy (xn ) Dãy (xn ) dãy (xnk )k mà phần tử lấy tùy ý từ (xn ) theo thứ tự tăng dần số Ví dụ 1.3 Cho Dãy Dãy Dãy n dãy (xn ) : xn = = −1, 1, , , , , n −2 7 23 17 = −1, , , , dãy xn 23 17 2n x2n = = 1, , dãy số chẵn xn (2n)2 − 17 2n + x2n+1 = = −1, , , dãy số lẻ xn (2n + 1)2 − 23 n→+∞ Định nghĩa 1.4 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim un = a hay un −−−−−→ a định nghĩa n→+∞ ∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε Ta nói dãy (un ) hội tụ a Nếu (un ) khơng hội tụ ta nói (un ) phần kỳ 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Định nghĩa 1.5 ( dãy số dần vô cùng) Ký hiệu n→+∞ lim un = +∞ hay un −−−−−→ +∞ định n→+∞ nghĩa ∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A Ta nói dãy (un ) hội tụ a Nếu (un ) không hội tụ ta nói (un ) phần kỳ Tượng tự cho giới hạn dần −∞ Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có i) ii) lim (xn ± yn ) = a ± b iii) lim (xn yn ) = ab iv) n→+∞ n→+∞ xn a = , b 6= n→+∞ yn b lim lim |xn | = |a| n→+∞ Định lý Giới hạn dãy tồn Dạy hội tụ bị chặn Cho xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ≥ n0 ( xn −→ a =⇒ yn −→ a zn −→ a Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ ( x2n → a xn → a ⇐⇒ x2n+1 → a Số e Người ta chứng minh dãy số xn = 1+ n n dãy tăng bị chặn hội tụ Ký hiệu n lim + =e n→∞ n Số e số vơ tỷ có giá trị gần e = 2.718281828 Các giới hạn = 0, α > n→∞ nα ii) lim α = 0, α > n→∞ ln n i) lim iv) lim n→∞ v) lim n→∞ √ n nα = 1, ∀α 1+ a n = ea , ∀a n iii) lim q n = 0, |q| < n→∞ Đại học Bách khoa TPHCM Trang ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Các dạng vô định ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , +∞0 , 00+ ∞ Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức biến đổi đại số để khử dạng vô định Nếu giới hạn khơng phải dạng vơ định, ta tính bình thường Quy tắc 1 = ∞, = 0 ∞ lnα n nβ (β > 0) an (a > 1) n! nn Dấu mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia hàm lớn dần hàm lớn chia hàm nhỏ dần vơ Ví dụ 1.4 ln5 n a) lim √ = n→∞ n 3n = n→∞ n! b) lim 2n = +∞ n→∞ n100 c) lim log52 n = n→∞ 3n d) lim Ví dụ 1.5 Tính giới hạn sau 2n3 − 3n a) I = lim n→∞ 4n + 3n2 ∞ Dạng Đại lượng x3 lớn nên chia tử mẫu cho x3 ∞ 2− n = +∞ (vì tử dần 2, mẫu dần 0) I = lim n→∞ + n n 2n3 − 4n+1 b) I = lim n n→∞ − 22n−1 + 5n7 ∞ Dạng Đại lượng 4n = 22n lớn nên chia tử mẫu cho 4n ∞ n3 n −4 0−4 = I = lim = n→∞ n n 0− +0 ( ) − +5 n 4 √ c) I = lim n2 + 4n − n + n→∞ Dạng ∞ −√∞ Nhân lượng√liên hợp ( n2 + 4n − n)( n2 + 4n + n) 6n2 +4n− 6n2 ∞ √ I = lim + lim √ + Dạng 2 n→∞ n→∞ ∞ n + 4n + n n + 4n + n Chia tử mẫu cho n 4 +1= √ + = I = lim q n→∞ 1+0+1 + n4 + √ d) I = lim n 3n4 − 4n3 = lim r √ 1 n4 (3 − ) = lim n n (3 − ) n = 1.30 = n→∞ n→∞ n→∞ n n √ Tương tự, ta chứng minh n Pm → với đa thức Pm r e) I = lim n→∞ n n 1 v v n u u 4n 4n 4n u 2− u 2− − n+1 u u − 4n 2n 2n = Vì lim u 2n = lim 2n = 20 = n = lim u n→∞ t n→∞ t n→∞ 3n + 5n3 5n3 5n3 5n3 1+ n 1+ n 1+ n 3 Đại học Bách khoa TPHCM Trang ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1 GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 ln2 (2n) ln (ln + ln n)2 f) I = lim = lim = lim + = (0 + 1)2 = n→∞ ln2 n n→∞ n→∞ ln n ln2 n √ n sin n! g) I = lim n→∞ n + √ √ n sin n! √ , ∀x > x + arctan x x3 + arctan x x π lim = lim √ = = Vậy I = x→+∞ x→+∞ x + arctan x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 16 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài tập I = lim x→+∞ x2 + x2 − I = lim + 2x4 x2 x2 2x2 + I = lim x→∞ 2x2 − 1 x I = lim e x + x→∞ x sin2 x x→0 I = lim (ln(e + x))cot x 12 I = lim + sin(2x2 ) x2 x→0 13 I = lim + 2x4 cos x) x→0 I = lim − tan2 x sin2 2x x4 x→0 I = lim xex+ x x→0 x→−∞ x2 e2x + x2 ln x→+∞ x x2 14 I = lim 10 I = lim (cos 2x + sin x) sin x x→0 1.3.3 x→0 I = lim (cosh x) 1−cos x x→0 I = lim (cos x) 11 I = lim (cos x + sin x)cot x x→0 Vô bé Định nghĩa 1.10 (Vô bé) Hàm số f (x) gọi vô bé (VCB) x → x0 lim f (x) = x→x0 Ví dụ 1.13 a) f (x) = 2x2 − sin x VCB x → Vì lim f (x) = lim 2x2 − sin x = x→0 x→0 1 khơng phải VCB x → Vì lim = −1 6= x→0 x − x−1 Nhưng VCB x → ∞ Vì lim = x→∞ x − b) f (x) = Tính chất i) Tổng hữu hạn VCB VCB ii) Tích VCB VCB iii) Tích VCB hàm bị chặn VCB iv) Thương VCB chưa VCB Định nghĩa 1.11 (cấp vô bé) Cho f (x), g(x) VCB x → x0 lim x→x0 f (x) =k g(x) i) Nếu k = ta nói f (x) có bậc VCB cao g(x), ta viết f (x) = o(g(x)) ii) Nếu k hữu hạn khác ta nói f (x) g(x) 2VCB cấp iii) Nếu k = ta nói f (x) g(x) VCB tương đương: f (x) ∼ g(x) iv) Nếu f (x) (x − x0 )k ta nói f (x) VCB bậc k Ví dụ 1.14 so sánh VCB sau x → √ a) − x2 − tan x c) e3x − b) ln(1 − 2x2 ) x4 + 3x2 d) x sin Bài làm √ a) lim x→0 − x2 − = lim x→0 tan x √ Đại học Bách khoa TPHCM √ + 6x − 1 x x √ − x2 − x (−x) = Suy − x2 − VCB cấp cao tan x −x2 tan x Trang 17 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ln(1 − 2x2 ) ln(1 − 2x2 ) −2x2 ln(1 − 2x2 ) −2 = lim = lim = −2 x→0 x4 + 3x2 x→0 −2x2 x2 (x2 + 3) x→0 −2x2 x2 + Suy ln(1 − 2x2 ) x4 + 3x2 VCB cấp b) lim e3x − 1 e3x − 6x e3x − 1 11 = lim = lim √ √ = 1 = 1+6x−1 x→0 + 6x − x→0 3x + 6x − x→0 3x 6x √ Suy e3x − + 6x − tương đương c) lim √ x = lim sin không tồn nên VCB không so sánh x→0 x x x sin d) lim x→0 Các VCB thường gặp x → ? x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ sinh x ∼ tan x ∼ arctan x ∼ ln(1 + x) ∼ ex − ? x2 ∼ − cos x ∼ cosh x − ? (1 + x)α − ∼ αx Tính chất cho VCB tương đương x → x0 f (x) ∼ f1 (x), g(x) ∼ g1 (x) i) f (x)g(x) ∼ f1 (x)g1 (x) ii) Tổng f1 (x) + g1 (x) gọi dạng triệt tiêu f (x) có bậc VCB thấp f (x) + g(x) Nếu dạng triệt tiêu f (x) + g(x) ∼ tổng bậc thấp iii) lim x→x0 f (x) f1 (x) = lim x→x g(x) g1 (x) Chú ý: • Sau thay tương đương cộng lại mà bậc thấp dạng triệt tiêu • Thay VCB tương đương dạng tổng cần kiểm tra tổng khơng phải dạng triệt tiêu • Khơng thay tương đương cho hàm hợp Ví dụ 1.15 Rút gọn VCB sau x → a) f (x) = 3x5 − 5x6 − 4x3 ∼ −4x3 : bậc thấp b) f (x) = (e3x − 1)(sin2 2x + 3x3 ) ∼ 3x.((2x)2 + 3x3 ) ∼ 3x.x2 = 3x3 c) f (x) = x cos 2x − x + 3x3 = −x(1 − cos 2x) + 3x3 ∼ −x d) f (x) = √ (2x)2 + 3x3 = x3 1 1 + 2x − cos 2x = [(1 + 2x) − 1] + [1 − cos 2x] ∼ 2x − (2x)2 = − x2 3 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 18 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.3 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC e) f (x) = (1 + 2x2 − 3x3 )3 − cos(2x + x2 ) = [(1 + 2x2 − 3x3 )3 − 1] + [1 − cos(2x + x2 )] 1 ∼ 3.(2x2 − 3x3 ) + (2x + x2 )2 ∼ 3.2x2 + (2x)2 = 8x2 2 f) f (x) = tan x − sin x ∼ x − x = 0−→ Sai Vì tan x sin x bậc Khi thay tương đương bậc dạng triệt tiêu Không tương đương không Ta làm lại sau: x2 x3 f (x) = tan x − sin x = tan x(1 − cos x) ∼ x = 2 √ g) f (x) = + 2x + 2x2 − − x √ √ 1 + 2x + 2x2 − − x ∼ + 2x − − x = ((1 + 2x) − 1) − x ∼ 2x − x = 0−→ Sai 2 chỗ: thay tương đương hàm hợp thay tương đương dạng triệt tiêu √ Cách 2: f (x) = + 2x + 2x2 − − x ∼ (2x + 2x2 ) − x = x2 −→ Sai Dạng triệt tiêu: bậc √ √ + 2x − −x Cách 3: f (x) = + 2x + 2x2 − − x ∼ + 2x − − x = √ + 2x + √ x.(− 12 2x) x(1 − + 2x) x2 √ √ = ∼ = − −→ Sai + + 2x 1+ ∼ sai thay tương đương hàm hợp, ∼ sau √ + 2x + 2x2 − −x Cách 4: f (x) = + 2x + 2x2 − − x = √ + 2x + 2x2 + √ x.(2x − 12 (2x + 2x2 )) x2 x(1 + 2x − + 2x + 2x2 ) √ √ = = ∼ −→ Đúng 1+ 1 + + 2x + 2x2 Không thay tương đương hàm hợp Biến đổi hết dạng tổng triệt tiêu dùng tương đương Cách 1: f (x) = Ví dụ 1.16 Tìm α, β cho f (x) ∼ α(x − x0 )β x → x0 a) f (x) = ex − e1 , x0 = f (x) = e[ex−1 − 1] ∼ e(x − 1) =⇒ α = e, β = Chú ý: x → =⇒ x − VCB nên ta áp dụng công thức cho x − √ b) f (x) = x − x, x0 = 1 2 f (x) = [(1 + x − 1) − 1] + − x ∼ (x − 1) − (x − 1) = − (x − 1) =⇒ α = − , β = 3 √ c) f (x) = x − 1, x0 = √ f (x) = eln x −1=e √ x ln −1∼ √ x ln =⇒ α = ln 2, β = Ví dụ 1.17 Tính giới hạn sau cách thay VCB tương đương ln(1 + x tan x) x2 + sin3 2x Ta có ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2 , a) I = lim x→0 x2 + sin3 2x ∼ x2 + (2x)3 ∼ x2 ln(1 + x tan x) x2 = lim =1 x→0 x2 x→0 x2 + sin3 2x =⇒ I = lim − (2x)2 ln cos 2x ln(1 + cos 2x − 1) cos 2x − b) I = lim = lim = lim = lim 2 = x→0 ln(1 − x2 ) x→0 x→0 x→0 ln(1 − x2 ) −x2 −x −x − x cos x − + − ex −x cos x − ex = lim = lim = lim = −1 c) lim √ x→0 x→0 x→0 x 2x 2x + 2x − x→0 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 19 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp ... 3 8 10 11 12 12 13 13 14 15 15 16 17 20 23 Đạo hàm vi phân 2 .1 Đạo hàm 2 .1. 1 Định nghĩa tính chất 2 .1. 2 Đạo hàm hàm ngược hàm tham số hóa 2 .1. 3 Đạo hàm... x? ?1 x +1 b) f (x) = √ ex − c) f (ex ) = 3(x + 1) 3 Bài làm x? ?1 y +1 ⇐⇒ y(x + 1) = (x − 1) ⇐⇒ x = x +1 y? ?1 y +1 x +1 hay f ? ?1 (x) = Vậy f ? ?1 (y) = y? ?1 x? ?1 √ b) y = f (x) = ex − ⇐⇒ x = ln(y + 1) ... 1? ??n n n? ?1 n −2 n 1? ??n n n n b) I = lim Đặt xn = = (? ?1) = (? ?1) + n→∞ + n 1+ n 1+ n 1+ n 2n −2 x2n = (? ?1) 2n + −→ 1. e−2 = + 2n e 2n +1 −2 x2n = (? ?1) 2n +1 + −→ ? ?1. e−2 = − + 2n