Đang tải... (xem toàn văn)
Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không trơn Đọc thêm Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không tr
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY TOÀN NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY TỒN NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM N NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TRƠN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUN - 2009 ♥♦♥❡✶Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ụ ụ ề ệ tồ t tử r ể ự ế tứ ổ trợ ự tồ t tử r ệ ữệ í tờ ị í ể ự ể ựế ị í ể t ị í tử r ệ ị ĩ ị í ể t s rộ ị í tử r ể ự S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ở í tết ề ệ tố ột ộ q trọ ủ í tếttố ể ề ệ tố ờ t tờ t trể ị í trs t trt ụ ù ớ q t tử r ị í ể ự tr tố ụ t ớ ồ ồ s rộ ợ ề t q t ứ ứ ề ệ tồ t tử r ể ự ế t tố ụt ớ r ộ ó tr ữ ề tr sở t trểột ị í ể r ố q ệ ữ tử r ể ự ế sự t ồ ữ ệ ữ ệ í tờt ĩ s ệ ữ ệ í tờ t ĩ rũ ợ tết r tết ị í ểt ớ r tr t tế tí sr ừ ó t ứ ị í tử r ị í ể ự t tố ụ t ớ r ộ ó t tr trì ết q ề ị í tử r ể ự ủ t tố ụ t ớ r ộ óố q ệ ữ tử r ể ự ế tr sở ttrể ủ ị í ể r tS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ồ ở ết ụ t ệ t trì ết q ủ ề ề ệ tồ t tử r ể ự ế ủ r trị ét ủ t tố ụ t ớ r ộ ó ù ớố q ệ ữ tử r ể ự ế ột ề ệủ sự t ữ ệ ữ ệ í tờ s r ũ ợ trì tr trì ết q ủ r ề ị í ể t ị í tử r t tố ụ t ớ r ộ ó tr t tếtí sr ị í ể ự ị í ớ ũợ trì tr ố ù tỏ ò ết s s tớ t P ỗ ờ t tì ớ ú ỡ t t t ở ệ ọ ệ ệ t t ộ ệ t t Pò t s ọ trờ ọ ọ ọ ết ò trề t ề ế tứ ọ tr sốttờ ọ t t trờ ử ờ ì ồ ệ t tr ớ ọ q t ộ ú ỡ trsốt tờ ọ t q trì tờ ó ớ ỉ ừ ở ệ tì ểS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn t❐♣ ❤î♣ t➭✐ ❧✐Ö✉✱ s➽♣ ①Õ♣ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➲ ❝ã t❤❡♦ ❝❤ñ➤Ò ➤➷t r❛✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ✈✐Õt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝ò♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ ①ö ❧ý ✈➝♥ ❜➯♥ ❝❤➽❝❝❤➽♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ❝ã ♥❤÷♥❣ s❛✐ sãt ♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ❊♠ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝sù ❣ã♣ ý ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✵✾▼❛✐ ❍✉② ❚♦➭♥✺Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ề ệ tồ t tử r ể ự trì ết q ề sự tồ t tử r ể ự ế ủ r trị ét ủ t q ụ t ù ớ ố q ệ ữ ệ ữ ệ ế ệ ữệ ể ự ế ể ự ủ r ự t ủ ệ ữ ệ s ệ ữ ệ r ũ ợtrì tr ết q ủ ế tứ ổ trợ sử D ột ó tr Rm í ệ D= D {0} D ợ ọ ọ ếD (D)= {0}.D ợ ọ s ế ó ủ D ọ K ột ó ồ ọ ủ Rmớ int(K) = S t rỗ ủ Rm ớ y, z Rm t ị ĩ q ệ tứ tự tK sy Kz z y K;y Kz z y K \ {0};y <Kz z y int(K).S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ủ tt ể K ự tể K ự ợ ị ĩ tứ sMinKS = {y S | y S s y Ky},MaxKS = {y S | y S s y Ky}. tự t ủ tt ể K ự tể ế K ự ế ợị ĩ t ứ sW MinKS = {y S | y S s y <Ky},W MaxKS = {y S | y S s y <Ky}.ó ố S0 ó ố t Ss0ủ S ợ ịĩ sS0= {y Rm| yTy 0 ớ y S}, Ss0= {y Rm| yTy> 0 ớ y S}. sử S ì T tí ề ủ S Rm T Rp ó ết qsổ ề (S ì T )0= S0ì T0 ế 0 S 0 T S + int(S) int(S) ế S ó ớ int(S) = ế S ột ó ớ int(S) = tì yTy> 0 ớ t ì y int(S) y S0\{0} int(S0) = (clS)s0 ế S ột ó s int(S ì T ) = int(S) ì int(T )S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn t q ụ t ợ ét tr sK minf(x),(V P ) g(x) Q0,x M,ở M ột t rỗ ủ Rn f : Rn Rm g : Rn RpK ột ó ồ ó ọ tr Rmớ int(K) = Q ột ó ồtr Rpớ int(Q) = í ệM = {x M| g(x) Q0},f(M) = {f(x) | x M}.ó t ợ ụ t r ị ĩ ệ ủ t (V P )ị ĩ x M ợ ọ ệ ữ ệ ế ủ t P ế f(x) W MinKf(M) x M ợ ọ ệ ữ ệ ủ t Pế f(x) MinKf(M)ị ĩ x M ợ ọ ệ ữ ệ í tờ ủ t Pt ĩ r ếT (f(M) + K, f(x)) (K) = {0}; x M ợ ọ ệ ữ ệ í tờ ủ t P tĩ s ếclP(f(M) + K f(x)) (K) = {0}, S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... Các định lí điểm Yên ngựa và điểm Yên ngựa yếu Tr ớc hết, ta tr ch dẫn một điều kiện cần và đủ cho một điểm yên ngựa của hàm Lagrange giá tr véc tơ trong [8] 24 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 1.6 ([8]) (, ) M ì là một điểm yên ngựa của L(x, ) nếu và chỉ nếu x (i) L(, ) M inK {L(x, ) | x M }, x g() x (ii) (iii) Q 0, x g() = 0 Với điểm yên ngựa yếu,... sao cho (, ) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L x 28 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Các định lí luân phiên kiểu Motzkin và các định lí nhân tử Lagrange Chương này tr nh bày các định lí luân phiên Motzkin suy rộng và từ đó chứng minh các định lí nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón và ràng buộc tập trong không gian tôpô... Cặp (1.36) (, ) M ì được gọi là điểm yên ngựa (tương ứng điểm yên ngựa x yếu) của L(x, ) nếu L(, ) M inK {L(x, ) | x M } M axK {L(, ) | }, x x ( tương ứng, L(, ) x W M inK {L(x, ) | x M } W M axK {L(, ) | }) x (1.36') 1.2 Sự tồn tại nhân tử Lagrange cho nghiệm hữu hiệu chính thường Trong phần này, ta đưa vào một vài điều kiện tồn tại của nhân tử Lagrange của bài toán (V P ) Mệnh... ta đưa vào khái niệm hàm Lagrange giá tr véc tơ, các điểm yên ngựa, và các điểm yên ngựa yếu Kí hiệu bất kì eK là họ của tất cả m ì p - ma tr n thoả mãn Q K Với K 0 \ {0} và Q0 , ta thấy rằng nếu = eT , trong đó thoả mãn T e = 1 17 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.4 Hàm Lagrange giá tr véc tơ của bài toán (V P ) được định nghĩa như sau... bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1.73) tức là, L(, ) W M axK {L(, ) | } x x Biểu thức này cùng với điều kiện (i) kéo theo (1.74) (, ) là điểm yên ngựa yếu của x 2 hàm Lagrange L Định lí được chứng minh Hai kết quả tiếp theo cho một quan hệ giữa điểm yên ngựa yếu của hàm Lagrange giá tr véc tơ L và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (V P ) Định lí 1.5 Nếu (, ) là điểm. .. là K ì Q-subconvexlike tr n M' và điều kiện chính quy Slater đúng Nếu tồn tại véctơ x là một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (V P ), thì sao cho (, ) là điểm yên ngựa yếu của hàm Lagrange giá tr x x L và g() = 0 27 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh 2 Định lí được suy tr c tiếp từ định lí 1.3 và định lí 1.4 Từ định lí 1.2 và bổ đề 1.6, ta có kết... Q-subconvexlike) tr n M nếu H Bổ đề 1.4 là K ì Q-convexlike (tương ứng, K ì Q-subconvexlike) tr n M ([5]) (i) Nếu (f, g) là K ì Q-subconvexlike tr n M' và K s0 = , thì với mỗi K s0 , ( T f, g) là R1 ì Q-subconvexlike + tr n M', trong đó R1 = { + R1 | 0} và ( T f )(x) = T f (x) với mỗi x Rn ; (ii) Nếu (f, g) là K ì Q-convexlike tr n M', thì f là K-convexlike tr n M' và do đó là K-subconvexlike tr n M'... trong đó nếu và chỉ nếu nếu và chỉ nếu x2 x1 X+ , là phần trong tôpô của X+ 29 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Đặt X+ = { X : x, 0, x X+ }, trong đó x, = (x), X+ Bổ đề 2.1 Y là một không gian tôpô tuyến tính Hausdorff Nếu X+ \{0} x0 X+ , thì x0 , > 0 Giả sử Y X+ ([2]) Giả sử và là nón đối ngẫu của nón dương X D là một tập khác rỗng, là một không. .. nghiệm hữu hiệu chính thường nếu f là K -subconvexlike tr n M Do đó, ta không cần phân biệt các nghiệm hữu hiệu chính thường Benson và Borwein trong phần tiếp sau Kí hiệu WE và P E , tương ứng là tập các nghiệm hữu hiệu yếu và các nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán các nghiệm tối ưu của bài toán (V P ), và kí hiệu E là tập tất cả (P ) 20 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn... 1.7 Giả sử rằng (f, g) là KìQ-subconvexlike tr n M', f là K -subconvexlike tr n M, và điều kiện chính quy Slater thoả mãn Nếu chính thường của bài toán (V P ), yên ngựa của hàm Lagrange thì tồn tại x là nghiệm hữu hiệu sao cho (, ) x là điểm L Theo định lí tr n và bổ đề 1.4(ii), ta có hệ quả sau đây Hệ quả 1.2 Giả sử rằng (f, g) là K ì Q-convexlike tr n M' và điều kiện chính quy Slater thoả mãn Nếu . TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TR N LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học. http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUN TR ỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY TỒN NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM N NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TR N Chun ngành: Tốn