B¶ng xÐt dÊu tam thøc bËc hai ∆ < 0 DÊu cña biÖt thøc ∆ DÊu cña f(x) af(x) > 0, ∀x ∈ R af(x) ≥ 0, ∀x∆ = 0 ∆ > 0 Ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm x 1 < x 2 af(x) > 0, ∀x ∈ (-∞; x 1 ) ∪ (x 2 ; +∞) af(x) < 0, ∀x ∈( x 1 ;x 2 ) ∈ R t5 Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai I. Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai II. So sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a 0), R. I - Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai * f(x) có hai nghiệm phân biệt x , x (x <x ) 1) Định lí: * x < < x . Chứng minh. Giả sử ta có: 0 a f ( ) < 0 , khi đó theo bảng xét dấu của tam thức f(x) Ta có : a.f(x) 0 , x R. Nên a.f( ) 0 , R (trái giả thiết) Giả sử (x 1 ;x 2 ) (- ; x 1 ] U [x 2 ; +) a.f( ) 0, vô lý ! ( p \ c ) Vậy > 0 . f(x) có hai nghiệm phân biệt x , x Do đó x < < x . HÖ qu¶ 1. Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) ⇔ ∃α : a.f(α) < 0 VÝ dô1: Chøng minh r»ng víi mäi m, ph­¬ng tr×nh sau lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x 2 - (2m 2 +1+ 2m 2 +1) x+2m 2 = 0 - 2m 2 +1 ⇒ a.f(1) < 0 víi mäi m ⇒ Theo hÖ qu¶ 1 ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. f(1) = Ta cã a = 1Gi¶i: 1- (2m 2 +1+ 2m 2 +1) +2m 2 = Hệ quả 2. Cho f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a 0). Và hai số , R ( < ). Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm, f().f() < 0 (1) Chứng minh. f()f() < 0 af() . af() < 0 ( 1) Ta có với a 0 : a.f() < 0 a.f() > 0 a.f() > 0 a.f() < 0 Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x 1 < x 2 Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x 1 < x 2 1nghiệm thuộc (, ), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [, ] *Theo định lý đảo: * Ngược lại : Nếu xảy ra khả năng (2) hoặc (3) .Thì: af() . af() < 0 Vậy : f()f() < 0 (đpcm) và x 1 < < x 2 (2)< x 1 < < x 2 (3) < Ví dụ 2: Cho tam thức bậc 2 f(x) = x 2 1+mx( x+4) với m -1 (1) Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m. Bài giải : f(0) = -1 ; f(-4) = 15 f(0).f(-4) <0 với m. Theo hệ quả 2 Phương trình f(x) = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt m. (1) f(x) = (1+m) x 2 + 4m x -1 Ví dụ 3 X 2 + (m+2) x +3m - 4 = 0 Giải: áp dụng đ.l đảo: a =1 ; f(-3) = -1 af(-3) <0 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 1 ; x 2 ( x 1 < x 2 ) Và: x 1 < -3 < x 2 Ta có: a = 1 + m 0 CMRằng: số - 3 thuộc khoảng hai nghiệm của phương trình sau: VÝ dô 4: Cho ph­¬ng tr×nh: f(x) = 2x 2 + ( 2m - 1)x + m + 1 = 0 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm thuéc kho¶ng ( 1; 3) - nghiÖm kia ngoµi ®o¹n [- 1; 3 ] Bµi gi¶i Theo hÖ qu¶ 2 ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm ∈ (-1; 3) nghiÖm kia ngoµi ®o¹n [ -1; 3 ] ⇔ f(-1).f(3) < 0 (*) ⇔ ( 4 - m)(7m + 16) < 0 ⇔ m∈(-∞,-16/7) ∪ ( 4, ∞) KÕt luËn: víi m ∈ (-∞,-16/7) ∪ ( 4, ∞) th×: ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm ∈ (-1; 3) nghiÖm kia ngoµi ®o¹n [ -1; 3 ] f(-1)= 4 - m ; f(3) = 7m + 16 . (*) Định lý: Cho tam thức bậc hai (x)= a x 2 + bx +c (a o) ; R. Nếu:a()< o thì : + (x) có hai nghiệm phân biệt x < x +Và x < < x 2 1 1 2 Hệ quả2: Cho tam thức bậc hai : Và , R ( ). PT (x) = o có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm nằm trong (, ), nghiệm kia nằm ngoài [ , ] () () < o. (x) < Hệ quả1: ĐK cần và đủ để P.T.Bâc hai có hai nghiệm: x ,x (x x ) L.à : R : a() < o. < 1 2 1 2 áp dụng: Bài toán2: Xác định m để P.T.bậc hai có một nghiệm (a,b), nghiệm kia ngoài đoạn [a,b] (a). (b )< 0 (H.qủa 2) * a()< 0 (Đ.L đảo -H.quả 1) * (). ( )< 0 (H.quả 2) 1 2 Nếu a( :)< 0 x < < x (Đ.L đảo ) So sánh một số với các nghiệm của phương trình bậc hai: Bài toán3: CM. phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt: Bài toán1: Bài tập về nhà: Bài 1,2,3,4. Trang 122- SGK Xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh. . x 2 af(x) > 0, ∀x ∈ (-∞; x 1 ) ∪ (x 2 ; +∞) af(x) < 0, ∀x ∈( x 1 ;x 2 ) ∈ R t5 Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai I. Định lý đảo về dấu tam thức. về dấu tam thức bậc hai II. So sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) =