Chương III. §1. Phương pháp quy nạp toán học

+ Về kĩ năng : Giúp HS : Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một CSC ; Biết cách tìm SHTQ và cách tính tổng n SH đầu tiên của một CSC trong các trường hợp không phức tạp; Biết vận dụ[r]

(1)

***********************************************

CHƯƠNG III

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

* PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ** DÃY SỐ

*** CẤP SỐ CỘNG **** CẤP SỐ NHÂN

(2)

*********************************************** § PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I/ Mục tiêu:

1 Kiến thức: Giúp cho hs: có k.niệm suy luận quy nạp; Nắm PPQN toán học Kĩ năng: Giúp hs biết vdụng PPQNTH để giải toán cụ thể đơn giản

3 Tư duy, thái độ: Tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi, từ prát triển tư logic, rèn luyện tính chặt chẽ giải tốn

II/ Chuẩn bị :

GV: Đọc SGK, SGV, SBT HS: xem trước nhà

III/ Phương pháp dạy học: Vấn đáp, gợi mở kết hợp với hoạt động IV/ Tiến trình học:

TIẾT 41: Ổn định lớp Bài mới:

HĐ 1: Btoán mở đầu:

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

1/ PPQN toán học

Bài toán : CMR, với số nguyên dương n , ta có: + + + + n =

( 1) (1)

n n 

(H1) a) Hãy kiểm chứng đẳng thức: (1) n = 1, n =

b) Có thể kiểm chứng đẳng thức (1) với số nguyên dương n hay không ?

(H2) Giả sử đẳng thức (1) với n = k, CM (1) với n = k+1

* Khái quát PPQN: để CM mệnh đề chứa biến A(n) với số nguyên dương n, ta thực hai bước sau :

Bước (bước sở) : kiểm chứng n = 1, ta phải có A(1) Bước (bước qui nạp, di truyền) Giả sử A(n) với n = k (k số nguyên dương tuỳ ý), ta cm A(n) với n = k+1

Nêu HĐ 1- sgk

* Gọi HS trung bình yếu lên kiểm tra, lớp thực * Hỏi lớp câu b

Y.cầu lớp CM ý thứ hai GV khái quát thành PPQN toán học

(H1) tổ thực hiện,

(H2) kiểm tra tổ, hỏi tổ khác kết

Ghi nhớ PPQN toán học

HĐ 2: Một số ví dụ áp dụng :

2/ Một số ví dụ: Ví dụ :

CM với số ngun dương 1, ta ln có

12+22+ + n2 = n(n+1)(2n+1)

6

(1)

* Gọi HS trung bình yếu kiểm tra

(3)

(Hđ1) Kiểm tra với n =

(Hđ2) Giả sử (1) với n = k, CM (1) với n=k+1

* Cả tổ thực Hđ2; yêu cầu đại diện tổ đưa kết giải lên giấy bìa lên để kiểm tra Ví dụ : CM với số

nguyên dương n  3, ta ln có: 2n > 2n + 1 (1) Giải:

Chú ý : Nếu phải CM A(n) với n  p bước phải kiểm tra với n = p

? Ta phải kiểm tra bước nào? * Cho tổ thực giấy nháp Gọi đại diện tổ đưa lời giải tóm tắt bìa lên để kiểm tra

Trả lời câu hỏi

HS thực theo ycầu GV

VD 3: CMR,  n  N*, ta có: u = + 

Hdẫn hs cm ví dụ Ycầu hs tbày lời giải

Thực theo ycầu gv

HĐ 3: BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài : CM :

1 + + + + 4n = = n (2n - 1) (n N*)

Bài : CM :

1 + 2.3 + + + n(n + 1) = n(n+1)(n+2)

3 (n N*)

Bài : CM :

n3 + 11n chia hết cho 6, n N* Bài : CM :

1+ √2+

1

√3+ +

√n>√n

(n  2)

GV chuẩn bị tập ghi giấy bìa, treo lên bảng (hoặc dùng máy chiếu) cho tổ, tổ thực

* Mỗi tổ thực bài, sau thảo luận chung đưa kết

*Củng cố : Nhắc lại phương pháp qui nạp

(4)

TIẾT 42: BÀI TẬP. Ổn định lớp

2 Kểm tra cũ: Hãy nhắc lại bước PPQNTH? Sửa số tập SGK

BT 1: CMR:

1 + + + + (2n - 1) = n2 (n  N*)

BT 2: CMR: 22+ 42+ +(2n)n =

2n(n+1)(2n+1)

3

(nN*)

BT 3: CMR:

1+

√2+ .+

√n<2√n

(nN*)

BT 4: CMR:

(1−1

4)(1−

9) (1−

n2)= n+1

2n

(nN*)

Gọi hai hs tbày tập Chọn hs để kiểm tra tập

Gọi hs khác nxét làm cuả bạn

Nhấn mạnh lỗi hs hay mắc phải

Thực ycầu GV

HĐ 3: BÀI TẬP NÂNG CAO

BT 3: Cmr:  n  N* ta có: + + + + n =

Gọi hs TB tbày cách CM Chú ý: Khi biến đổi hs bị

sai

Cả lớp tbày lời giải Một hs trbày, hs khác nxét

Bài : CM

1

n+1+

1

n+2+ .+

1 2n>

13 14(1)

(nIN*)

Bài : Cho x > - CM : (1 + x)n  + nx (n nguyên dương)

* Đây khó, HS hay nhầm lẫn

* Đây bất đẳng thức quan trọng, HS cần nhớ để vận dụng sau

(H) Dấu = xảy ? ** Củng cố : Tóm tắt lại phương pháp qui nạp dạng,

? Khi n = k, (1) viết nào? Từ CM (1) với

n = k+1

* Cả tổ làm Hỏi kết tổ

* Củng cố :

Tóm tắt lại phương pháp qui nạp dạng * Bài tập nhà :

Soạn tập ôn chương phương pháp qui nạp (Sgk) BT bổ sung:

1/ CMR: u = 13 -  6, n  N

2/ CMR,  số ngun n  2, ta ln có BĐT: a/ + + + + >

b/ + + + + < n

(5)

§2 DÃY SỐ I/ Mục tiêu:

1 Kiến thức:

- Giúp HS có cách nhìn xác khái niệm dãy số : theo quan điểm hàm số - HS nắm vững khái niệm: dãy số vô hạn, dãy số hữu han

- Nắm khái niệm dãy số tăng, giảm, dsố không đổi Kỹ năng:

- Biết cách xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số Tư thái độ:

- Tích cực tham gia xây dựng học, có tinh thần làm việc theo nhóm - Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự

II/ Chuẩn bị thầy trò:

4 Chuẩn bị giáo viên: Dụng cụ dạy học, bảng phụ Chuẩn bị HS: Dụng cụ học tập

III/ Phương pháp dạy học: Phương pháp gợi mở vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm IV/ Tiến trình dạy:

TIẾT 49: 1.Ổn định lớp Bài

HĐ 1: Định nghĩa dãy số.

1 Định nghĩa ví dụ: ĐN: sgk- trang 101 Tóm tắt:

- Dsố vơ hạn hsố xđịnh tập hợp số nguyên dương N* - Dsố h.hạn hsố xđịnh tập hợp m số nguyên dương đầu tiên.( m số nguyên dương cho trước)

VD 1: Hsố u(n) = xđịnh tập N* dãy số có vơ số sh:

Kí hiệu ds u = u(n) ( u ) gọi u shtq ds

Dạng khai triển ds ( u ): u , u , , u ,

VD 2: DS VD kí hiệu là: (), viết dạng khai triển là: - , - 1, 1, , ,,

CHÚ Ý:

VD 3: HS u(n) = n 3-5 xđịnh tập hợp A(1, 2, 3, ,4 ,5) dsố h.hạn Dsố có năm sh:

Nêu vấn đề học

- Trình bày SGK trang 101 để giới thiệu cho HS dãy số −12¿0

¿

,

−1

2¿

¿

, −12¿2 ¿

, (1) Gv nêu kniệm SH ds, SH thứ nhất, SH thứ hai, cách kí hiệu giá trị ds

GV nêu vdụ ds

? Hãy tìm sh u u ds GV nêu kí hiệu khác ds, nêu cách viết dạng khai triển ds GV nêu cách viết khác dãy số vdụ

Nêu ý dãy số hữu hạn, SH đầu, SH cuối dãy số hữu hạn Ycầu hs xđịnh năm sh dsố vd3

- Hiểu vấn đề giáo viên trình bày: coi dãy số (1) hàm số xác định tập số nguyên dương

HS trả lời HS lắng nghe

(6)

HĐ 2: Các cách cho dãy số:

2 Các cách cho dãy số C1: Cho dsố CT SH tổng quát

Nêu ví dụ 1: “ cho ds ( u ) với u = n 3-5 “ Hãy xđịnh sh thứ 10 ds đó?

Nghe ghi nhớ Trả lời vdụ C2: cho ds quy nạp (hay

cho dsố hệ thức truy hồi)

Vdu 2: cho ds ( u ) với u1 = 1,  n  2, u = 2u +

Hãy tìm sh thứ dsố đó?

Nghe ghi nhớ Trả lời vdụ C3: diễn đạt lời cách

xđịnh sh dsố

Nêu ví dụ 5- sgk

Chú ý: Một dsố đồng thời cho nhiều cách Cụ thể: vdụ 2, dsố viết dạng CT tổng quát là:

u = -1, n N*

Nghe ghi nhớ

HĐ 3: Luyện tập

BT 9- sgk BT 10- sgk BT 12- sgk

Ycầu hs làm việc theo nhóm, trả lời tập 9, 10

HD bt 12, gọi hs trình bày lời giải

HĐ nhóm trả lời bt 9, 10- sgk

Giải bt 12

Củng cố: Nhấn mạnh ndung học tiết Dặn hs nhà xem tiếp ndung lại TIẾT 50: tiếp theo.

1/ Kiểm tra cũ: Câu hỏi: 1/

a Viết SH đầu dãy có SHTQ cho cơng thức −1¿ n −1

(2n+1) un=¿

b Tìm ví dụ dãy số vô hạn; dãy số hữu hạn 2/ Nhắc lại định nghĩa hàm số tăng, hàm số giảm? 2/ Bài mới:

HĐ 1: Dãy số tăng, dãy số giảm

4 Dãy số tăng, dãy số giảm ĐN 2:

Dãy số (u ) đgl dsố tăng n ta có: u < u

Dãy số (u ) đgl dsố giảm n ta có: u > u

Dsố không thuộc hai dạng đgl dsố không tăng , không giảm

? So sánh khái niệm hàm số tăng, giảm với khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm

+ Cho ví dụ dãy số tăng + Cho ví dụ dãy số giảm + Cho ví dụ dãy số không tăng, không giảm

+ Cho ví dụ dãy số vừa tăng vừa giảm

Hs trả lời

Học trò cho ví dụ Học trị cho ví dụ Cách CM dãy sốtăng/ giảm:

1/ (un) dãy số tăng (=) un < un+1  n N* 2/ (un) dãy số tăng

(=) un+1 - un  0 n N* (xét dấu un+1 - un)

3/ un >0  n, (un) dãy số tăng (=) n1

n

u u

<

VD: Xét tính tăng , giảm hai dsố: (un) với un = (-1)u n

? Từ đn, nêu số cách để xét tính tăng, giảm dsố

* Chia lớp thành hai nhóm để giải hai ví dụ

HD: 1<2<3 mà

HS trả lời câu hỏi

(7)

(un) với un = sin n

sin1<

2

; sin2>

2

; sin3 <

2

HĐ 2: Dãy số bị chặn

5 Dãy số bị chặn: ĐN: 3- sgk

VD : (un) với un = n

n

 dãy số tăng bị chặn

0 < un = n 1

n



 n N*

* Nêu ĐN

* Nếu dãy số (un) bị chặn có số M thỏa định nghĩa? * Dãy số tăng bị chặn khơng?

JS nghe nhớ đn Trả lời: có vơ số Trả lời: có

Hoạ t động : Củng cố

H6 - sgk.

VD: n+n

2 ¿0

(un)=3¿

- Cho HS làm tập H6 a, b trang 105

- Cho lớp nxét dãy số giới thiệu khái niệm dãy số không đổi cho HS

- Giáo viên nhấn mạnh: định nghĩa dãy số vô hạn SGK thực chất cách gọi tên cho loại hàm số xác định tập số N*

HS trả lời HS nxét

HS nghe ghi nhớ

3/ CỦNG CỐ DẶN DÒ:

+ Hoc sinh nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn + Phương pháp CM dãy số tăng, giảm, bị chặn

+ Bài tập 13  18 (SGK) TIẾT 51: LUYỆN TẬP. I/ Mục tiêu: Nhằm giúp HS :

* Ôn luyện kiến thức dãy số tăng,giảm,bị chận, phương pháp CM qui nạp * Rèn luyện kĩ tổng hợp kiến thức

* Tư duy,thái độ: Biết khái qt hố, tích cực học tập, chịu khó,tập cách giải vấn đề cách có khoa học, xác

II/ Chuẩn bị thầy trị:

* Thầy: Giáo án bảng ghi định nghĩa, đề tốn, giải tóm tắt * Trị : Xem lại lí thuyết, soạn tập 15,16,17,18 trang 109 sách GK nâng cao III/ Phưong pháp dạy học: Gợi mở giải vấn đề

IV/ Tiến trình dạy: HĐ 1: Củng cố dn dãy số.

Thầy treo bảng , dùng đèn chiếu kiến thức tương ứng lên bảng cho HS xem

BT15: Cho (un) xác định : u1 =

un+1 = un + 5,n 1 a)Tính u2 , u4 , u6

b)Ch/m un = 5n - 2, n 

Phát biểu đ/n dãy số ?

Nêu phương pháp ch/m qui nạp Câu hỏi : Làm để tính u2, u4, u6 ?

Phương pháp ch/m câu b) ? Các bước ch/m ? Nêu giả thiết điều phải ch/m?

Nghe, trả lời câu hỏi Bổ sung trả lời bạn

(8)

? Nếu thay đổi đề câu hỏi tìm Un

HĐ 2: CM dãy số tăng, giảm

BT16: : Cho (un) xác định : u1= 1, un+1 = un+ (n + 1).2n,n 1 a) ch/m un dãy số tăng

b) ch/m: un =1+(n-1).2n,n1 ĐS: un+1 –un=(n+1)2n >0,n1 BT17: Cho un=1,

u=

u❑2+1,∀n≥1

Ch/m (un) dãy số không đổi BT18: Cho (sn) với:

(sn)= sin(4n-1) π

6

a)ch/m sn=sn+3,n1 b)Tính tổng 15 SH đầu

Phát biểu đ/n dãy số tăng giảm ? Cách tìm tính tăng giảm?

Khi dãy số (un) khơng đổi Có thể dự đốn trước kết khơng? Ta phải ch/ m gì?

Gọi HS trung bình lên bảng Tìm sn+3 ? Có nxét gì?

Nxét SH: S1,S4,S7,S10,S13 Các SH: S2,S5,S8,S11,S14;

S3,S6,S9,S12,S15 HD:

S15=5(S1+S2+S3),S1=?,S2=?,S3=? S15 =

HS làm

Ch/m : un =1,n1

HS làm TL:

a) sn+3 = sin(4n -1) π

6 + 2

sn+3 = sn sin(x+2) = sinx, xR

HĐ 3: Dãy số bị chặn

BT Thêm:

Xét tính bị chặn dãy số (un) với: u= n

n2

+1

Phát biểu đ/n dãy số bị chặn ? So sánh n2+1 2n

HD: < n

n2+1≤

1

HS làm

TL: n2 + > 2n,n  1

HĐ4: Củng cố: Cho HS làm BT sau theo nhóm, nhóm làm giấy trong, GV chiếu kết nhóm, điều chỉnh làm nhóm

1) Cho (un) xác định : u1 = 1, un+1 = un + , n  Tìm un HD: un = 7n - , n  2) Cho (sn) với : (sn) = sin(2n - 1) π

3 Tính S17 HD: S17 = 5(S1+S2+S3) + S1+S2 = √

3) (3.12) Cho ds: (u ) xđ : u = 5.4 +

a/ CM: u = 4u - 9, n  b/ Từ viết lại ds hệ thức truy hồi 4) (3.15) Xét tính tăng giảm ds (u ), với:

a/ u = 2.n - 5n + b/ u = - n c/ u = 5) (3.27) Cho ds (u ) xđịnh bởi:

1

3 10 ,

n n

u

u  u n

  

   

 CMR: u = 2.3 -5, n 

6) (3.29) Cho ds (u ) xđịnh bởi: 2 ; n n u u

u  n

        

 CMR: (u ) dsố không đổi 7) (3.21) a/ ds (u ) với u = ds tăng bị chặn

(3.20) b/ ds (v ) với v = ds bị chặn HD:

2

1

2

n

       

 8) (3.25) Cho dãy số (u ) xđ bởi:

a/ Tính u , u , u b/ CM: u = 7n - 6, n  9) (3.26) Cho ds (u ) với: u = 2, u = 5.u , n 

(9)

§3 CẤP SỐ CỘNG I MỤC TIÊU:

+ Về kiến thức : Giúp HS : Nắm vững khái niệm cấp số cộng ; Nắm TC đơn giản ba SH liên tiếp cấp số cộng ; Nắm vững công thức xác định SHTQ công thức tính tổng n SH CSC + Về kĩ : Giúp HS : Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết CSC ; Biết cách tìm SHTQ cách tính tổng n SH CSC trường hợp không phức tạp; Biết vận dụng kết lý thuyết học để giải toán đơn giản liên quan đến CSC môn học khác, thực tế + Về tư thái độ : Biết khái quát hoá , tương tự Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi

II CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ:

- Giáo viên : SGK, Giáo án Bảng tóm tắt nội dung tốn ví dụ câu hỏi

- HS : Học thuộc cũ Xem trước CSC,SGK , dụng cụ học tập III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Vấn đáp giải vấn đề

IV TIẾN HÀNH BÀI DẠY: TIẾT 52:

1 Ổn định lớp

2 Kiểm tra cũ : + Định nghĩa dãy số ?

+ Hãy liệt kê dãy số số tự nhiên lẻ công thức tổng quát số tự nhiên lẻ thứ n ? Em có nhận xét quan hệ số lẻ đứng sau số lẻ đứng trước?

3 Bài mới:

1.Định nghĩa :

(u n) CSCn  2, u = u+d d cơng sai CSC

Ví dụ 1: SGK Tr 110

H1: Trong dãy số sau , dãy cấp số cộng ? Vì sao?

a) -5 ; -2 ; ; ; ; 10 b) 3,5 ; ; 6,5 ; ; 10,5 ; 12

Nhắc lại quan hệ số tự nhiên lẻ đứng sau số đứng trước Xong kết luận dãy STN lẻ dược gọi CSC có cơng sai d=2

? Vậy, tổng quát CSC dãy số nào?

Nêu H1 - sgk

Một h/s phát biểu hình thành định nghĩa CSC

Trả lời H1- sgk

a) Dãy số cấp số cộng ; kể từ SH thứ hai , SH SH đứng trước cộng với

b) Không cấp số cộng HĐ 2: TChất

Định lý 1: Cho CSC (u n) ,k  u =

CM : SGK

H2: Cho CSC (u n) mà u1= -5 u = Hãy tìm u2 u4 ?

Từ VD1 cho HS nxét kể từ SH thứ hai , SH (trừ SH cuối đ/v CSN hữu hạn) có quan hệ với hai SH kề dãy ?

Hãy phát biểu TC nêu ? Nêu câu hỏi H2- sgk

+ Hs nhận t/c số hạng đứng trung bình cộng số hạng liền kề

HS phát biểu

* u = (-5 + 3) /2 = -1 u = u + d = + = HĐ 3: Số hạng tổng quát

3 Số hạng tổng quát

ĐL2: CSC có SH đầu u cơng sai d: u n = u + (n -1).d

H3 : Cho CSC (u n ) có u1 = 25 d = -5 Hãy tính u 21 ?

Ví dụ 2: BT 22 SGK trang 115

* Từ công thức tổng quát số tự nhiên lẻ thứ n u n = 2n – biểu diễn theo số hạng đầu u = công sai d=2 ?

? Tổng quát CSC (u n) có SH đầu u1 cơng sai d, có SHTQ u n = ?

u n = 1+ (n -1).2 u n = u + (n -1).d

H3: u21 = 25 + 20.(-5) = -75 HS giải bt22-sgk

HĐ 4: Tổng n SH CSC

(10)

4 Tổng n SH CSC

Định lý 3: (u ) CSC: S = u + u + + u = Chú ý:

n  1, S = H4 : SGK H5: SGK

* Cho CSC (u n) có SH đầu u1 công sai d Xét n số hạng CSC Thầy vẽ lên bảng SGK

GV tổng quát thành ĐL

? Từ ĐL2 ĐL3, nêu cách khác để tính tổng n SH CSC

Yêu cầu hs làm H4, H5- SGK

* HS quan sát bảng SGK để thấy tổng số cột (u1 + u n )

HS suy nghĩ trả lời Hai hs trình bày bảng

S17 =17.(-2 + 16.1) = 238

+ Nếu làm trong3 năm trở lại theo ph / án ; làm năm nên theo ph / án

4.CỦNG CỐ: + Lý thuyết cố phần trình dạy học

+ Bài tập: Tìm cơng sai d tổng S11 CSC biết SH đầu u = SH cuối u11 = 43 ? DĂN DÒ : Học , làm tập SGK 19 -> 28 Tr 114,115

TIẾT 53: BÀI TẬP. Ổn định lớp

2 Kiểm tra cũ : + Định nghĩa dãy số ?

+ Hãy nhắc lại tính chất, SHTQ CSC cơng thứ tính tổng n SH CSC Bài mới:

HĐ 1: BT SGK

BT 23- SGK BT 24- SGK BT 25- SGK

Đs: d= -3; u = - 3n BT 28- SGK

Đs: 30 ; 60 ; 90

Bt 27: hs đứng chỗ nêu câu trả lời

Gọi hs nêu cách giải, sau gọi hai hs trình bày lời giải bảng

Gọi hs khác nxét rút kinh nghiệm

Hs trả lời câu hỏi

Trình bày lời giải bảng

HĐ 2: BT bổ sung- dạng BT khác

Đề Ghi đề lên bảng

Gọi hs nêu cách giải

Trình bày lời giải bảng : BT

Hs trả lời câu hỏi

Trình bày lời giải bảng

BT bổ sung:

1/ Cho CSC (u ) có u -u = 9, u + u = 153 Xđ SH đầu công sai CSC đó? 2/ Cho CSC (u ) có SH, biết u = 3, u = Tìm u , u , u ?

3/ Tính tổng tất SH CSC có u = 102, u= 105 SH cuối 999 4/ Cho CSC (u ) có u + u = 90 Tính S ?

(11)

§ CẤP SỐ NHÂN I MỤC TIÊU:

Về kiến thức : Giúp HS : Nắm vững khái niệm CSN ; - Nắm TC đơn giản ba SH liên tiếp CSN ;

- Nắm vững công thức xác định SHTQ công thức tính tổng n SH CSN Về kĩ : Giúp HS : Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết CSN ;

- Biết cách tìm SHTQ cách tính tổng n SH CSN trường hợp không phức tạp - Biết vận dụng kết lý thuyết học để giải toán đơn giản liên quan đến cấp số nhân môn học khác , thực tế sống

Về tư thái độ : Biết khái qt hố, tương tự Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi II CHUẨN BỊ :

Giáo viên: SGK, Giáo án Bảng tóm tắt nội dung toán mở đầu toán nêu mục Đố vui HS: Học thuộc cũ Xem trước CSN, SGK, dụng cụ học tập

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát giải vấn đề IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:

TIẾT 54: Ổn định lớp Kiểm tra cũ : + Định nghĩa CSC ?

+ Một CSC có 11 SH Tổng SH 176 Hiệu số hạng cuối SH đầu 30 Tìm CSC ? Bài mới:

HĐ 1: Bài toán mở đầu:

+ Với số nguyên dương n ,ký hiệu u n số tiền người rút (gồm vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi Ta có : u = 10 7 1,004 ;

u = u 1,004 ;

u = u 1,004 ; u n = u n - 1.1,004

Tổng quát , ta có :

u n= u n - 1,004  n

GV treo bảng phụ tóm tắt nội dung tốn mở đầu : Giả sử có người gửi 10 triệu đồng với kỳ hạn tháng vào ngân hàng nói giả sử lãi suất loại kỳ hạn 0,04%

a) Hỏi tháng sau , kể từ ngày gửi , người đến ngân hàng để rút tiền số tiền rút (gồm vốn lãi ) ?

b) Cùng câu hỏi , với thời điểm rút tiền năm kể từ ngày gửi ?

* Gọi HS làm câu a) Sau gọi HS khác trả lời câu b)

* Nxét TC dãy số (u n) nói ?

* Tổng quát dãy số (u n) gọi CSN ?

Với số nguyên dương n , ký hiệu u n số tiền người rút (gồm vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi Ta có :

u = 10 + 10 7 0,004 = 10 7 1,004 ; u = u + u 0,004 = u 1,004 ; u = u + u 2.0,004 = u 1,004 ; u n = u n - + u n - 1.0,004 = u n -1.1,004 Tổng quát , ta có :

u n= u n -1 + u n - 1.0,004 = u n - 1.1,004

2

n

 

a) Vậy sau tháng người rút u = ? u 1,004

b) Sau năm người rút : u 12 = ? u 11 1,004

+ Kể từ SH thứ hai , SH tích SH đứng trước 1,004

+(u n) CSN   n 2, un un1.q

(12)

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS 1/ Định nghĩa:

(u n) CSN   n 2,un un1.q ( q số không đổi , gọi công bội CSN )

Cho hs tổng quát thành ĐN Hs đứng chỗ nêu ĐN CSN

Ví dụ 1: SGK Tr 116

H1: Trong dãy số sau , dãy CSN ? Vì sao?

a) ; ; ; 13,5

b) -1,5 ; ; -6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 c) ; ; ; ; ;

Ví dụ 2:( bt43a) Cho ds (u n) xđ bởi: u = 1; u = 5u + 8,  n  CMR ds (v ), với v = u + 2, CSN Hãy tìm sh đầu cơng bội CSN

ĐS: v = 3.5

GV cho vdụ để HS củng cố ĐN Gv nêu H1 SGK để hs vận dụng ĐN

* PP c/minh dãy số CSN ? Áp dụng ?

? Dựa vào đn, để cm ds (u n) CSN ta phải chứng tỏ điều

? Từ cơng thức xđịnh ds (v ), tìm sh đầu, cơng sai cơng bội CSN

a) Dãy số CSN ; kể từ SH thứ hai , SH SH đứng trước nhân với 1,5

b) không CSN

c) CSN , công bội q =

HS trả lời

HĐ 3: Tính chất

2/ Tính chất

Định lý 1:

Nếu (u n) CSN u k2 = u k - u k +1 ,  k

Từ VD1b) sau 1a) cho HS nxét kể từ SH thứ hai , bình phương SH (trừ SH cuối đ/v CSN hữu hạn) liên hệ với hai SH kề dãy ? * Hãy phát biểu TC nêu ?C/m:Gọi q công bội CSN

(u n) Xét trường hợp : + q = : hiển nhiên

+ q 0 : Viết u k qua SH đứng trước sau ?

HS trả lời

+ Nếu (u n) CSN u k2 = u k - u k +1 ,  k

+ u k = u k - q (k 2)

1 k k

u u

q

 

(k 2)

Nhân vế tương ứng , ta có đpcm

H2: Có hay khơng CSN (u n) mà u 99= -99 u 101 = 101 ?

Ví dụ 3: ( BT31)Cho CSN (u ) có cơng bội q<0, biết u = u = , tìm u ?

Gọi hs trung bình trả lời câu hỏi Gọi hs TBkhá trả lời câu hỏi

+ Không tồn , ngược lại ta có: u 2100= u 99.u101= -99 101<0 ĐS: u =

HĐ 4: Số hạng tổng quát

3 Số hạng tổng quát * Từ toán mở đầu , biểu diễn SH un (n2) theo u1 công bội q = 1,004 ?

u = 10 7.1,004 ; u = u 1,004 ; u = u 1,004 = u (1,004)2 ; un= u n -1.1,004 = u1.(1,004) n - 1 ,  n ĐL 2: cho CSN có số hạng đầu u1

và cơng bội q ≠ SHTQ là: un= u1.(q ) n - 1, n

* Tổng quát CSN (u n) có SH đầu u cơng bội q 0 có SHTQ

u n = ?

(13)

Ví dụ 4: Từ tốn mở đầu , tìm u u 12 ?

H3 : SGK Tr 119

*Gọi HS đứng chỗ giải

Có thể gợi ý xét tương đồng BT BT mở đầu để làm

+ u n= 10 7 1,004.(1,004) n - = 10 7 (1,004) n ,  n Thay n = 6; n = 12 để tính kquả + u n = 3.10 6 (1 + 0,02) n

= 3.10 6 (1,002) n

Sơ kết tiết học: GV nhấn mạnh công thức ĐN, tính chất, SHTQ CSN; Yêu cầu hs nhà đọc tiếp nội dung lại học

TIẾT 55: tiếp theo. Kiểm tra cũ:

+ Hãy nhắc lại ĐN cấp số nhân? Nêu tính chất cơng thức SHTQ CSN?

+ Áp dụng: Cho CSN (u n) có cơng bội q > 0, biết u = 4, u =1 Hãy xđịnh SHTQ CSN đó? Bài

HĐ 1: Tổng n số hạng cấp số nhân

4 Tổng n số hạng cấp số nhân

ĐL3: Nếu (u n) CSN có SH đầu u với cơng bội q 1 S n :

S n = 1

1 n

q u

q



 , q 1

* CSN (u n) có SH đầu u cơng bội q Mỗi số nguyên dương n , gọi S n tổng n SH Tính S n ? (S n = u 1+u 2+ + u n ) Khi q = , q 1 ?

+ Khi q = u n= u S n= n.u + Khi q 1 :

q S n = u 1+ u 2+ + u n+ u n + S n - q S n = u - u n + = u 1(1 - q n ) (1 - q) S n = u (1 - q n ) với q 1 Suy đpcm

Ví dụ 5: CSN (u n) có u = 24 , u = 48 Tính S ?

* Tính S ta phải tìm ? + Tìm u q ; u = =

24 = u3 = u 1.22 u1= 6; S5 = 186 * ĐỐ VUI: GV treo bảng phụ chuẩn bị

sẵn lên bảng

* Đây CSN có u q ?

a) Số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học sau 30 ngày ?

b) Số tiền mà nhà toán học bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày ?

c) Sau mua - bán nhà tỉ phú "lãi" ?

+ Gọi u n số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ngày thứ n Ta có u = q =

a) S 30 =

30

1

1073741823

1

q u

q

  

b) Số tiền mà nhà toán học bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày :

10.106 30 = 300.000.000 (đồng) c) Sau mua - bán nhà tỉ phú "lãi" :

300.000.000 - 1.073.741.823 = - 773.741.823 (đ)

HĐ 2: CỦNG CỐ :

1)Tìm cơng bội q tổng SH CSN hữu hạn , biết SH đầu u = SH cuối u 11 = 64 ?

Bài 32 SGK Tr 121 ĐS: 2; ; ; ; ; Bài 34 SGK Tr 121

+ Lý thuyết cố phần trình dạy học , GV cố lại nhanh theo dàn có sẵn bảng

+ Bài tập: Yêu cầu hs giải btập sgk

(14)

ĐS: u = -5.(-3) Bài 36 SGK Tr 121 ĐS: a/ n = 8; S = 59 040 b/ q = ; n = 13; S =

Bài 37 SGK Tr 121

ĐS: q = 2; CSN: 24, 48, 96, 192

HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP :

Học thuộc CSN , làm tập SGK 33 - 43 Tr 121,122

TIẾT 56 : LUYỆN TẬP I/ Mục tiêu:

1 Kiến thức: Giúp cho HS: Củng cố tổng hợp kiến thức CSC CSN thông qua tập Kĩ năng: Vận dụng kiến thức học hai loại dãy số đặc biệt để giải số tập liên

quan

3 Thái độ, tư duy:

- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi - Tư duy: phát triển tư logic, lên hệ thực tế

1 Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT HS: Học chuẩn bị tập nhà

III/ Phương pháp giảng dạy: Gợi mở vấn đáp kết hợp hoạt động IV/ Tiến trình học:

1/ Ổn định tổ chức: 2/ Kiểm tra cũ:

? Nêu đn, TC, SHTQ, tổng n SH đầu CSC CSN 3/ Bài mới:

HĐ 1: BT 38 SGK

+ a: sai b: c: sai

+ Gọi HS làm chỗ 38

a)Sai Vì 1b−1 a≠

1

c−

1

b

b) Đúng Dễ dàng c/m

(1b)

2

=1

a

1

c

c) Sai Vì

1+π+π2+ +π100=1(1− π

101)

1− π

HĐ 2: BT 38 SGK

x+6y ; 5x+2y ; 8x+y CSC x-1 ; y+2 ; x-3y CSN Tìm x,y

ĐS: x =-6; y =-2

+ Từ giả thiết rút quan hệ biểu thức tìm x,y

*2(5x+2y) = (x+6y) + (8x+y)

⇔ x = 3y (1)

* (y+2)2 = (x-1)(x-3y) (2)

Giải pp ta có: x =-6 y =-2 HĐ 3: BT 40 SGK.

Bài 40: +(un) CSC với d + u1.u2; u2.u3; u3.u1 lập thành CSN với q Tìm q

+ Gọi HS nói cách làm sau GV hướng dẫn để em làm nhà

(15)

HD:

Nhận thấy u1.u2 ngược lại hai ba số u1, u2, u3 (sẽ mâu thuẫn với gt CSC có d

0) Ta thấy q ¿

u2u3=u1u2q

u3u1=u1u2q2 ⇒ ¿u1=u2q

u3=u2q2 ¿{

¿

Kết hợp (un) CSC nên: 2u2 = u2q + u2q2 (u2 0)

⇔ q2 + q - = ⇔ q =-2 (loại q 1)

HĐ 4: BT 41 SGK.

Bài 41:

* u1, u2, u3 lập thành CSC với d 0;

* u2, u1, u3 lập thành CSN Tìm q HD:

Lập luận để có q 0,1 u2

Ta có q2+ q - = ⇔ q = -2 (loại q 1)

+ Gọi hs lập luận để suy q {0,1} u2

+ HS trả lời

HĐ 5: BT 41 SGK.

Gọi u1, u2, u3 SH CSN theo thứ tự đó, q công bội

Gọi d công sai CSC nói đề

Dễ dàng thấy u1

…(tiếp tục phần giải hs)

+ Lập mối liên hệ u1, u2, u3

u2=u1q=u1+3d(1)

u3=u2q=u2+4d(2) u1+u2+u3=148

9 (3)

Từ (1), (2) ⇒

u1(q −1)=3d ¿

q −1

u2(¿)=4d

¿{ ¿ TH1: q = ⇒ u1 = u2 = u3 =148/27 d =

TH2: q 1: ⇒ q = u2/u1 = 4/3 ( kết hợp (3))

⇒ u1 = 4; u2 = 16/3; u3 = 64/9 d = 4/9

Giải: un = un+1 = 5un + 8; = un +

a) vn+1 = un+1+ = 5un + + = 5(un+2) = 5vn

Vậy (vn) CSN với

(16)

v1 = u1 + = 1+2 = ; q = SHTQ: = v1qn-1 = 3.5n-1. b) un = vn-2 = 3.5n-1-2.

4/ Củng cố: Nắm công thức cách áp dụng Chú ý kết 24 5/ Bài nhà:

1 Ôn lại tất kiến thức chương III, lập bảng tóm tắt chương Bài tập thêm:

1/ Cho dãy số (un) với u1 = m un+1 = aun + b ( m, a, b số, a {0,1}) a) Tìm số c cho dãy số (vn) với = un + c CSN với q = a b) Tìm SHTQ dãy (un)

c) Áp dụng: Tìm SHTQ dãy (un) với : u1 = un+1 = 9un + HD:

a) vn+1 = a.vn = a(un + c) Mặt khác vn+1= un+1 + c = (aun + b) + c

⇔ a(un + c) = (aun + b) +c ⇔ ac = b + c ⇔ c= b

a −1

b) vn=v1qn −1=[m+ b

a −1].a

n−1⇒

un=vn− c=[m+ b

a −1].a

n −1

− b a −1

(17)

TIẾT 57- 58 : ÔN TẬP CHƯƠNG III I/ Mục tiêu:

1/ Kiến thức: Giúp cho HS: Củng cố tổng hợp kiến thức dãy số, CSC CSN thông qua tập

2/ Kĩ năng: Vận dụng kiến thức học dãy số hai loại dãy số đặc biệt để giải số tập liên quan

3/ Thái độ, tư duy:

+ Thái độ: tích cực tiếp thu kiến thức, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi + Tư duy: phát triển tư logic, lên hệ thực tế

1/ Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT 2/ HS: Học chuẩn bị tập nhà

III/ Phương pháp giảng dạy: Gợi mở vấn đáp kết hợp hoạt động IV/ Tiến trình học:

1/ Ổn định tổ chức: 2/ Nội dung:

I.Phần lý thuyết :

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Để CM mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề nN* PP quy nạp ta tiến hành bước

Bước 1: CM : A(n) mệnh đề n=1

Bước 2: giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k (1nk) ta CM với n=k+1 Bước 3: Kết luận mệnh đề với n1; nN*

Chú ý: Trong tường hợp phải CM mệnh đề với np (pN*) Bước 1: CM: mệnh đề với n=p

Bước 2: giả thiết mệnh đề với tự nhiên n=k (kp) ta CM với n=k+1 Bước 3: Kết luận mệnh đề np; nN*

Bài 2: Dãy số 1.Định nghĩa:

a/ hàm số u, xác định tập số tự nhiên N* gọi dãy số vô hạn (dãy số) u: N* R

n  u(n)

Đặt u(n)= Un gọi số hạng tổng quát dãy

b/ với hàm số u xác định M={1,2,3,…,m} mN* gọi dãy hữu hạn Cách cho dãy số

_ Bằng công thức số hạng tổng quát _ Bằng phương pháp mô tả

_ Bằng công thức truy hồi _ Bằng cách diến đạt lời

3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy không đổi _ Định nghĩa

_ Phương pháp khảo sát tính tăng giảm, khơng đổi + Xét hiệu H= Un1-Un

+ Nếu H>0nN* dãy tăng + Nếu H<0nN* dãy giảm + Nếu H=0nN* dãy khơng đổi + Nếu Un>0 nN* Lập tỉ số

1 n

n

U U



+ Nếu n

n

U U



>1 nN* dãy tăng + Nếu

1 n

n

U U



(18)

+ Nếu n

n

U U



=1 nN* dãy khơng đổi Dãy số bị chặn:

a/ ĐN: Dãy số bị chặn ; Dãy số bị chặn dưới; Dãy số bị chặn b/ Xét tính bị chặn

B1: dãy bị chặn số M B2: dãy bị chặn số m B3: Kết luận

Bài 3: Cấp số cộng

1.ĐN: Un cấp số cộng n2 : Un=Un1+d ; Số không đổi d gọi công sai

2 Tính chất: Uk=

1 k k

U  U 

(k2)

3 Số hạng tổng quát : Un=U1+(n-1)d (n2)

4 Tổng n số hạng CSC:Sn=U1+U2+U3+…+Un = 2

n

[U1+Un]=2

n

[2U1+ (n-1)d],nN* Bài 4: Cấp số nhân

1 Định nghĩa: (Un) cấp số nhân  n2: Un=Un1.q ; Số khơng đổi gọi cơng bội 2.Tính chất: Uk2=Uk1.Uk1 (k2)

3 Số hạng tổng quát cấp số nhân (q0): Un=U1.qn1

Tổng n số hạng (q1) : Sn=

1(1 )

n

U q q

 

Chú ý: Khi q=1 Sn= n U1 (vì q=1 U1=U2=….=Un) II Phần tập bổ sung:

Bài 1: CMR với số nguyên dương n ta có: a, + + 27 + … + 3n=

1 2(3n1

-3)

b, (3.12 + 3.1 + 1) + (3.22+ 3.2 + 1) +…+(3.n2+ 3n + 1) = (n1)3-1 Bài 2: CMRnN* số (7n + 3n-1) chia hết cho 9

Bài 3: CMRnN* ta ln có: 2.

3 4…

2

n n

 <

1 2n1 Bài 4: Cho dãy (Un) với Un=1 + (n-1) 2n

a, Viết số hạng đầu dãy b, Tìm cơng thức truy hồi

c, CM dãy số tăng bị chặn Bài 5: Tìm x từ phương trình

a, + 6+ 11 + 16 +…+ x = 970 biết 1; 6; 11;…; x cấp số cộng

b, (x + 1) + (x + 4) + …+ (x + 28)= 155 biết 1; 4; 7;…; x cấp số cộng

Bài 6: Cho dãy (Un) mà tổng n số hạng ký hiệu Sn tính theo cơng thức: Sn= (7 )

2

n  n

a, Hãy tính U1,U2,U3

b, Hãy xác định số hạng tổng quát dãy (Un) c, CMR dãy (Un) cấp số cộng

(19)

Bài 8: Tìm số hạng tổng quát dãy (Un) biết (Un) xác định

1

2

3

n n n

U U

U  U U 

  

 

  

 (n1)

Bài 9: Dãy (Un) xác định :

1

2;

3

n n n

U U

U  U U 

 

 

 

 (n2) ; nN*

a, CMR dãy (Vn) với Vn= Un1-Un lập thành cấp số nhân b, Lập cơng thức tính Un theo n

c, Tính tổng Sn= U1+U2+U3+…+Un

Bài 10: Cho số khác có tổng 13, theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời chúng số hạng đầu, số hạng thứ số hạng thứ cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng cấp số cộng để tổng chúng 300

Bài 11: Dãy (Un) xác định : u = u = 3u - 11, n  1. CMR n  1, ta có: u = +

Bài 12: Dãy (Un) xác định : u = u = 2u + 5, n  1.

a/ CMR dãy số (v ), với v = u + 5, CSN Hãy xđịnh số hạng tổng quát CSN b/ Hãy xđịnh SHTQ dãy số (u )

Bài 13:

a/ Cho CSC (u ) có u = 33, u = 65 Hãy tìm cơng sai SHTQ CSC

b/ Cho CSC (u ) có u + u = 101 Hãy tính tổng 100 SH CSC III/ Phần tập SGK

BT 45: Gọi hs nêu cách làm, định hs trình bày lời giải

Vận dụng PPQN để CM toán BT 47:

a/ c/

Yêu cầu hs nhắc lại cách CM dãy số CSC CSN

(u ) CSC  u - u = d số (u ) CSN  = q số BT 50: ? Dãy số có tính chất

thì xem CSC đồng thời CSN

( Gọi hs trung bình trả lời) Gọi hs TB chuẩn bị nhà trình bàylời giải

Dsố khơng đổi CSC có cơng sai d = 0, đồng thời CSN có cơng bội q =

(20)

KIỂM TRA VIẾT

1) (5đ) Cho dãy số (un) xác định u1=

1

3 un+1=

;

3 n

n

u n

n



  . a) Tìm u3

b) Chứng minh : n 3n ;

n

u   n

c) CMR dãy số (un) dãy số giảm bị chặn

2)(3đ) Ba số khác có tổng lập thành CSN đồng thời số hạng tương ứng là số hạng thứ nhất, số hạng thứ chín số hạng thứ năm CSC.

a) Tìm ba số đó

b) Cần số hạng CSC để tổng chúng 25

2 3)(2đ) Cho CSC (un) Hãy tìm u1 d biết

10

1 10

3

u u u u u

 

 