CHƯƠNG ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC NỘI DUNG Khái niệm Mô men tónh - Trọng tâm Mômen quán tính Mômen quán tính hình đơn giản Công thức chuyển trục song song Công thức xoay trục KHÁI NIỆM ♦ Thanh để đứng (H.a) P chịu lực tốt để nằm (H.b) ♦ Có đại x z P x lượng phụ thuộc y z y b) vào hình dáng, vị a) trí mặt cắt ngang, ảnh hưởng đến làm việc ♦ Đó Đặc trưng Hình Học mặt cắt ngang 2 MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM Xét hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang A (mặt cắt A) Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy M(x,y) điểm hình Lấy chung quanh M diện tích vi phân dA y0 y M y0 y yC C x0 O xC A dA x0 x x MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM ♦ Mômen tónh : y Mômen tónh A trục x (hay y) laø: y0 S x = ∫ ydF , S y = ∫ xdF F F y yC y0 M C x0 O x, y âm dương xC A dA x0 x x neânSx , Sy Thứ nguyên mômen tónh [(chiều dài)3] 2 MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM ♦ Trọng tâm :  Trục Trung tâm trục mà mômen tónh A tâm  Trọng giao điểm trục trung tâm  Mômen tónh trụctrọng tâm qua y0 y M y0 y yC C x0 O xC A dA x0 x x MOÂMEN TĨNHTRỌNG TÂM y0 y ♦ Cách xác định Trọng tâm C : y0 Xác định xC yC Dựng hệ trục x Cy y yC song song hệ trục O xyx = xC + xo; y = yC + yo xC 0 Sx = ∫ (yC + yo )dA = yC ∫ dA + ∫ yodA = yCA + Sxo A Vì Sxo = nên: Tương tự: A A Sx = yC A Sy = xC A xC = Sy A Sx yC = A M C x0 A dA x0 x x MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM Tính chất 1: (quan trọng) • C x y • C y • C x • Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trục đối xứng • Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm giao điểm hai trục đối xứn MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM Tính y xC chất : A1 Mômen tónh hìnhx phức tạp tổng mômen tónh hình đơn giản • C1 Thí dụ 6-1 Định trọng tâm •C y1 mặt cắt chữ L gồm chữ nhật yC C2 • x Kết quả: O A2 x2 y2 Tọa độ trọng tâm Sy Sx y1A + y2A x1A + x2A = xC = ; yC = C hình là:= A A1 + A A A1 + A HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 1- Mômen quán tính (MMQT) ♦Mômen quán tính độc cực (MMQT điểm) Ay ñieåmI O: = ∫ ρ2dA O p A y M A dA ρ x x ♦Mômen quán tính A trục y xI : = ∫ y2dA ; I = ∫ x2dA x y A A ♦ I p = I x + Iy ♦ Ip , I x , I y > ♦ Thứ nguyên - [chiều dài]4 HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM ♦Mômen quán tính ly tâm (MMQT hệ trục xy) I xy = ∫ x.y.dA A y O y M A dA ρ x Thứ nguyên - [chiều dài]4 ♦Tính chất: MMQT mộät hình phức tạp tổng mômen quán tính hình đơn giản x HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 2- Hệ trục trung tâm y M ♦ Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm y hệ trục không ρ O gọi hệ trục quán tính x A dA x ♦ Hệ trục quán tính trung tâm có gốc trọng tâm ♦ MMQT trục quán tính chín gọi MMQT trung tâm I = ∫ y2dA ; I = ∫ x2dA x y A A HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 2Tínhđối chất 3- quan trọng dA ♦Trục xứng mặt cắt trục vuông góc A1 với qua trọng tâm O hợp thành hệ trục ♦Chứng trung tâm minh: I xy = ∫ yxdA = ∫ yxdA = ∫ ( xy − yx)dA1 = A A1 + A2 A1 y dA2 A2 x CUÛA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 1- Hình chữ nhật: Hệ có hai trục đối xứng x, y dA = y b.dy hệ trục QTCTT dy h I = ∫ y2dA = ∫ y2bdy x A h − bh I = x 12 hb3 I = y 12 h/ h/ O b y x CUÛA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP y dA = 2πρ.dρ 2- Hình tròn: R Hệ có hai trục đối xứng x, y ρ O hệ trục QTCTT dρ x  Tính Ip : D 2 I = ∫ ρ dA = ∫ ρ2.2πρ.dρ p A Tính Ix , Iy Ip I =I = x y : πD4 I = p 32 D πD4 I =I = x y 64 CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Hình vành khăn:  Tính Ip : 4 π D π d I = ID − Id = − p p p 32 32 πD I = (1− η4 ) p 32 Tính Ix , Iy Ip I =I = x y : πD I =I = (1− η4 ) x y 64 y d O D η= d D x CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG I I X = ∫ Y dA = ∫ (b + y) dA X = ∫ y2dA + 2b∫ y.dA + ∫ b2.dA A A M y A A A I = I x + 2bSx + b A X I = I y + 2aSy + a2A Y I XY y Y 1- Lập công thức: Tính IX , IY , IXY : Y b O A dA x O' a x X X = I xy + aSx + bSy + abA CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG Y 2- Trường hợp thường dùng: Khi trục cũ (xy) y hệ trục trung taâm : I = Ix + b A X Y b y M O x O' a Cách nhớ: MMQT trục X MMQT trục cũ cộâng diện tích nhân khoảng cách hai trục bình phương A dA x X CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 3:  h I BB' = I x + A    2 y bh  h  bh3 I BB' = +   bh = 12   h/ h/ B O b x B' CUÛA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 4: Gia Trọng ûi: tâm: Định MMQT trung tâm 12 x Sx 24.4.2 + 2(4.12.10) y = = = 6cm C A (24.4) + 2(4.12) MMQT: I y8 4 = I1 + I + I X X X X 24.4 I1 = + (24.4).42 X 12 12 I2 = I3 = + (4.12).42 X X 12 X y C X IX=4352c m4 x CÔNG THỨC XOAY TRỤC V y 1- Lập công thức: Tính Iu , Iv , Iuv : Ta coù: u = y.sinα+x.cos αy v = y.cosα-x.sin α v Iu = ∫ A v dA; Iv = ∫ A u I.dA O uv = ∫ A uv.dA Ix + Iy Ix − Iy Iu = + cos2α − I xy sin2α 2 I uv = Ix − Iy sin2α + I xy cos2α M A dA U u x α x CÔNG THỨC XOAY TRỤC 2- Hệ trục (HTC): V y M  Hệ trục quán tính hệ trục có MMQT ly tâm y không v  Tìm HTC, cho Iuv=0 tg2α = − 2I xy dA U u O x Ix − Iy ⇒ có góc α0 sai biệt 90 A α x nghóa có trục vuông góc CÔNG THỨC XOAY TRỤC  MMQT cực trò V y dIuv Ch = dα o y 2I xy v tg2α = − Cuõng Ix − Iy O MMQT cực trị MMQT trục I max,min = Ix + Iy ± (I x − I y )2 + 4I 2xy M A dA U u x α x ... hưởng đến làm việc ♦ Đó Đặc trưng Hình Học mặt cắt ngang 2 MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM Xét hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang A (mặt cắt A) Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy M(x,y) điểm hình Lấy chung quanh... x CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 1- Hình chữ nhật: Hệ có hai trục đối xứng x, y dA = y b.dy hệ trục QTCTT dy h I = ∫ y2dA = ∫ y2bdy x A h − bh I = x 12 hb3 I = y 12 h/ h/ O b y x CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG... thường dùng: Khi trục cũ (xy) y hệ trục trung tâm : I = Ix + b A X Y b y M O x O' a Cách nhớ: MMQT trục X MMQT trục cũ cộâng diện tích nhân khoảng cách hai trục bình phương A dA x X CỦA CÁC HÌNH