con chuồn chuồn âm nhạc 2 tạ xuân thuỷ thư viện tư liệu giáo dục

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.. Sau [r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số tốn phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, khơng nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa

Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại khơng mẫu mực

Sau phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp

I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng khơng âm) vế cịn lại khơng áp dụng tính chất:

A2+B2=0⇔

A=0

B=0 ¿{ Bài Giải phương trình:

3 tan2x

¿√3 tanx −1=0

2 sinx −1=0 ¿

⇔

¿tanx=√3

3

¿

sinx=1

2

¿

⇔

¿x=π

6+mπ x=π

6+2nπ

3 tan2x+4 sin2x −2√3 tanx −4 sinx+2=0

⇔3 tan2x −2

√3 tanx+1+4 sin2x −4 sinx+1=0

2 sinx −1¿2=0 ¿

¿

⇔

√3 tanx −1¿2+¿

⇔¿

ĐS x=π

6+2kπ (k∈Z)

II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình

f(x)=g(x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R:

f(x)≥ A ,∀x∈(a , b) g(x)≤ A ,∀x∈(a ,b) đó:

f(x)=g(x)⇔

f(x)=A

g(x)=A ¿{

Nếu ta có f(x)>A g(x)<A , ∀x∈(a , b) kết luận phương trình vơ ngiệm

Bài Giải phương trình: cos5x+x2=0

GIẢI cos5x+x2=0⇔x2=−cos5x

Vì −1≤cosx ≤1 nên 0≤ x2≤1⇔−1≤ x ≤1 mà [−1,1]⊂(− π

2 , π

2)⇒cosx>0,∀x∈[−1,1]⇒−cos

5x

Do x2>0 −cos5x<0 nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Bài Giải phương trình:

sin1996x+cos1996x=1 (1)

GIẢI (1) ⇔sin1996x

+cos1996x=sin2x+cos2x

⇔sin2x(sin1994x −1)=cos2x(1−cos1994x) (2)

Ta thấy

¿

sin2x ≥0

sin1994x ≤1

⇒sin2x(sin1994x −1)≤0,∀x ¿{

¿

Mà

¿

cos2x ≥0

1−cos1994x ≥0

⇒cos2x

(1−cos1994x)≥0,∀x ¿{

Do (2)

⇔

sin2x(sin1994x −1)=0

cos2x(1−cos1994x)=0

⇔

sinx=0 ¿

sinx=±1 ¿

cosx=0 ¿

cosx=±1 ¿ ¿⇔

¿

x=mπ ¿

x=π

2+mπ

¿

x=π

2+nπ

¿

x=nπ ¿ ¿(m , n∈Z)

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿

Vậy nghiệm phương trình là: x=k π

2(k∈Z)

ĐS x=k π

2(k∈Z)



sin ax sin bx=1⇔ ¿sin ax=1

sin bx=1 ¿ ¿ ¿

sin ax=−1 ¿ ¿

sin bx=−1 ¿ ¿ ¿



sin ax sin bx=−1⇔ ¿sin ax=1

sin bx=−1 ¿ ¿ ¿

sin ax=−1 ¿ ¿

sin bx=1 ¿ ¿ ¿

Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng:

cos ax cos bx=1

cos ax cos bx=−1

sin ax cos bx=1

sin ax cos bx=−1

III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM

Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thơng sụng sau:

Dùng tính chất đại số

Áp dụng tính đơn điệu hàm số

Phương trình f (x)=0 có nghiệm x=α∈(a ,b) hàm f đơn điệu (a , b) f(x)=0 có nghiệm x=α

Phương trình f (x)=g(x) có nghiệm x=α∈(a ,b) , f(x) tăng (giảm) (a , b) , g(x) giảm (tăng) (a , b) phương trình

f(x)=g(x) có nghiệm x=α

cosx=1−x

2

2 với x>0

GIẢI

Ta thấy phương trình có nghiệm x=0

Đặt f(x)=cosx+x

2

2 −1 biểu thức hàm số có đạo hàm f '(x)=−sinx+x>0,∀x>0 (vì |x|>|sinx|,∀x )

⇒ Hàm f đơn điệu tăng (0,+∞) ⇒ f(x)=0 có nghiệm (0,+∞) Vậy phương trình cho có nghiệm x=0

B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài 1: Giải phương trình:

x2−2xcosx −2 sinx+2=0 (1)

GIẢI

Ta có (1) ⇔x2−2xcosx+cos2x+sin2x −2 sinx+1=0 ¿x −cosx=0

sinx −1=0 ¿

⇔

¿cosx=x ¿

sinx=1

sinx −1¿2=0 ¿

⇔

x −cosx¿2+¿ ¿ ¿⇔¿ Phương trình vơ nghiệm Bài 2: Giải phương trình:

sin4x+cos15x=1

GIẢI Ta có: sin4x+cos15x=1

⇔sin4x+cos15x=sin2x+cos2x

⇔sin2x

(sin2x −1)=cos2x(1−cos13x) (1) Vì sin2x(sin2x −1)≤0,∀x

Do (1)

⇔

sin2x(sin2x −1)=0

cos2x(1−cos13x)=0 ¿{

⇔

sinx=0 ¿

sinx=±1 ¿

cosx=0 ¿

cosx=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿

⇔

x=mπ ¿

x=π

2+mπ

¿

x=π

2+nπ

¿

x=2nπ ¿ ¿(m, n∈Z)

¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿ ¿

ĐS x=π

2+kπ hay x=2kπ , (k∈Z)

C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3: Giải phương trình:

1 sin4x+cos4(x+π

4)= (1)

2 tanx+14cotx¿ n

GIẢI Ta có:

(1)

1−cos 2x¿2 ¿ ¿

⇔¿

1−sin 2x¿2=1

1−cos 2x¿2+¿

⇔¿

⇔cos 2x+sin 2x=1

⇔cos(2x −π

4)=

√2

⇔

x=kπ ¿

x=π

4+kπ

¿ (k∈Z)

¿ ¿ ¿

2.Với điều kiện x ≠ k π

2 ta có tanx cotx dấu nên:

|tanx+1

4cotx|=|tanx|+|

4cotx|≥2√|tanx⋅

4cotx|=1⇒|tanx+ 4cotx|

n ≥1

Dấu "=" xảy ⇔|tanx|=|1

4cotx|⇔tan

2

x=1

4⇔tanx=± Với n=2 : phương trình (tanx+1

4cotx)

2

=1 có nghiệm cho

bởi:

tanx=±1

2⇔x=±arctan

2+kπ(k∈Z) Với n∈Z , n>2 thì:

cosnx+sinnx ≤cos2x+sin2x=1

Dấu xảy

⇔

x=kπ

2khin=2m

¿

x=2kπhayx=π

2+2kπkhin=2m+1

¿ (k , m∈Z)

(đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k π

2 phương trình)

Vậy với n>2, n∈Z phương trình vơ nghiệm

ĐS x=±arctan1

2+kπ(k∈Z)

Bài 4: Giải phương trình:

cosx√

cosx −1+cos 3x√

cos 3x−1=1 (1)

GIẢI Điều kiện:

¿

cosx>0

cos 3x>0 ¿{

¿

Khi (1) ⇔√cosx −cos2x

+√cos 3x −cos23x=1 Vì

a −1 2¿

2≥0⇒a − a2≤1

4 a2− a

+1

4=¿

Do cosx −cos2x ≤1

4 cos 3x −cos

2

3x ≤1

⇒√cosx −cos2x ≤1

2và√cos 3x −cos

2

3x ≤1

Dấu xảy

⇔

cosx −cos2x

=1

4 cos 3x −cos23x=1

4

⇔

¿cosx=1

2 cos 3x=1

2

⇔x∈∅

¿{ Vậy phương trình (1) vô nghiệm D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải phương trình:

sin3x+cos3x=2−sin4x

sin3x ≤sin2x ,∀x cos3x ≤cos2x ,∀x

⇒sin3x+cos3x ≤1,∀x

2−sin4x ≥1,∀x

Vậy phương trình tương đương:

¿

sin3x+cos3x=1

2−sin4x=1 ¿{

¿ ĐS x=π

2+2kπ(k∈Z)

Bài 2: Giải phương trình:

sinx+tanx −2x=0 với 0≤ x ≤π

2

HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có nghiệm x=0

Đặt f(x)=sinx+tanx −2x liên tục ¿ Có đạo hàm: f '(x)=(cosx −1)(cos

2

x −cosx −1)

cos2x ≥0,∀x∈¿ 1−√5

2 <0≤cosx ≤1< 1+√5

2 ⇒cos

2

x −cosx −1<0 ⇒f đơn điệu tăng ¿

Bài 3: Giải phương trình: (cos 4x −cos 2x)2=5+sin3x ĐS x=π

2+2kπ(k∈Z)

Bài 4: Giải phương trình:

cos4x −sin4x=|cosx|+|sinx|

ĐS x=kπ(k∈Z)

Bài 5: Giải phương trình:

x2−2 sin xy+1=0

ĐS

¿

x=1

y=π

2+2kπ

¿{ ¿

hay

¿

x=−1

y=π

2+2kπ

¿{ ¿