" CHỦ ĐỀ CM BẤT ĐẲNG THỨC" CHƯƠNG I(tiết 1) CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B ⇔ A - B ≥ 0. A > B A - B > 0. .Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức. .Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B ⇒ C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B. .Nếu ta có: A > B ⇔ C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tương đương. .A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt. .A ≥ B là A > B hoặc A = B. .A ≠ B cũng là bất đẳng thức. .Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C. *Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ". II. Các tính chất của bất đẳng thức. Tính chất 1: a > b và b > c ⇒ a > c. Tính chất 2: a > b ⇒ a + c > b +c. Hệ quả: a > b + c ⇔ a - c > b. Tính chất 3: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d. Tính chất 4: a > b ⇔ ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ). Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ⇒ ac > bd. Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương ⇒ n a > n b . Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương n a⇒ > n b . Hệ quả: a > b ≥ 0: aba ⇔≥ 22 ≥ bab ≥⇔ . Tính chất 8: a > b, ab > 0 a 1 ⇒ < b 1 . Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n m a⇒ > n a . 0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n ⇒ m a < n a . III. Các hằng bất đẳng thức. 1) .0 2 ≥a Dấu " = " xảy ra 0=⇔ a . 2) 0 2 ≤− a . Dấu " = " xảy ra 0=⇔ a . 3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối. .0≥a Dấu " = " xảy ra 0 =⇔ a . .aa ≥ Dấu " = " xảy ra ⇔ .0 ≥ a baba +≤+ . Dấu " = " xảy ra 0 ≥⇔ ab . 1 .baba −≥− Dấu " = " xảy ra .0;00)( ≤≤≥≥⇔≥−⇔ bababab 4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng như một bổ đề, chẳng hạn: .2 22 abba ≥+ Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ba baba ,; 411 + ≥+ > 0. Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ( ) .4 2 2 2 abbaab ba ≥+⇔≥       + Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ba a b b a ,;2≥+ > 0. Dấu " = " xảy ra .ba =⇔ ( )( ) ( ) . 2 2222 byaxyxba +≥++ Dấu " = " xảy ra .bxay =⇔ 5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng. . Bất đẳng thức côsi. Cho n số dương ., ., 21 n aaa Ta có: . 21 21 n n n aaa n aaa ≥ +++ Dấu " = " xảy ra 21 n aaa ==⇔ . Bất đẳng thức Bunhiacôpxki. Cho hai bộ số: .,,,, 21 n aaa và .,,,, 21 n bbb Ta có: ) )( .() .( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++≤+++ Dấu " = " xảy ra 2 2 1 1 n n b a b a b a ===⇔ CHƯƠNG II. 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau: . Lập hiệu số: A - B. . Chứng tỏ A - B ≥ 0. . Kết luận A ≥ B. B. Ví dụ. 1) Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức: a) ).(23 222 cbacba ++≥+++ b) cba cba cba ,,;9) 111 )(( ≥++++ > 0. Giải: a) Ta có: .0)1()1()1( )12()12()12( 222)(2)3( 222 222 222222 ≥−+−+−= +−++−++−= −−−++=++−+++ cba ccbbaa cbacbacbacba Do đó: ).(23 222 cbacba ++≥+++ b) Ta có: 9) 111 )(( −++++ cba cba . = 9111 −++++++++ b c a c c b a b c a b a . = ).2()2()2( −++−++−+ a c c a b c c b a b b a = ).0,,(;0 )()()( 222 〉≥ − + − + − cba ca ac bc cb ab ba Do đó: 9) 111 )(( ≥++++ cba cba . Với a, b, c > 0. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1. Giải: Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 ) = 1)65)(45( 22 ++−+− xxxx . Dặt 55 2 +−= xxy , biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y 2 ≥ 0. Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1. II. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 3 A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. A ≥ B ⇔ A 1 ≥ B 1 ⇔⇔ . ( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B. B. Ví dụ 1. Ví dụ 1. Chứng minh các Bất đẳng thức: a) baba +≥+ . b) yx yxyx ,; 411 + ≥+ > 0. Giải: a) 22 )()( babababa +≥+⇔+≥+ 2222 22 bababbbaa ++≥++⇔ abababba ≥⇔≥⇔ .( bất đẳng thức đúng ). Vậy .baba +≥+ b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó: .04)(4)( 4411 22 ≥−+⇔≥+⇔ + ≥ + ⇔ + ≥+ xyyxxyyx yxxy yx yxyx 0)( 2 ≥−⇔ yx , ( bất đẳng thức đúng ). Vậy . 411 yxyx + ≥+ Với x, y > 0. 2. Ví dụ 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1. Chứng minh rằng: .9) 1 1)( 1 1( ≥++ ba Giải: Ta có: 9) 1 1)( 1 1( ≥++ ba . ( 1 ). abbaab b b a a 919 1 . 1 ≥+++⇔≥ ++ ⇔ . Vì ab > 0. ababba 8281 ≥⇔≥++⇔ . ( Vì a + b = 1 ). .4)(41 2 abbaab ≥+⇔≥⇔ ( Vì a + b = 1 ). .0)( 2 ≥−⇔ ba ( 2 ). Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh. C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn: . 22 baba ≥⇔≥ Với a, b > 0. m > n m a⇔ > n a . Với m, n nguyên dương, a > 1. Cần chỉ rỏ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương. III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức B. Ví dụ. 4 1. Ví dụ 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: 44 ba + > 8 1 . Giải: Do ba + > 1 ( 1 ). Bình phương hai vế: 2 )( ba + > 1 22 2 baba ++⇒ > 1 ( 2 ). Mặt khác: 020)( 222 ≥+−⇒≥− bababa . ( 3 ). Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được: )(2 22 ba + > 1. Suy ra: 22 ba + > 2 1 ( 4 ). Bình phương hai vế của ( 4 ): 4224 2 bbaa ++ > 4 1 . ( 5 ). Mặt khác: 020)( 4224222 ≥+−⇒≥− bbaaba . ( 6 ). Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được: )(2 44 ba + > 4 1 . Suy ra: 44 ba + > 8 1 . 2. Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức: . 2 2 2 2 2 2 c a a b b c a c c b b a ++≥++ Giải: Ta có: .20)( 222 xyyxyx ≥+⇒≥− Dấu " = " xảy ra .yx =⇔ áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: .2 2 2 2 2 2 c a c b b a c b b a =≥+ ( 1 ). Tương tự : .2 2 2 2 2 a b a c c b ≥+ ( 2 ). .2 2 2 2 2 b c b a a c ≥+ ( 3 ). Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được: . )(2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a b c a a c c b b a b c a b c a a c c b b a ++≥++⇒ ++≥++ 5 IV. PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng A, từ đó ta có A ≥ B. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: nnn 2 1 . 2 1 1 1 ++ + + + > . 2 1 ( Với nNn ,∈ > 1 ). Giải: Ta có: 1 1 +n > . 2 11 nnn = + Tương tự: 2 1 +n > . 2 1 n . 2 1 2 1 nn ≥ Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm. 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: 222 1 . 3 1 2 1 1 n ++++ > ).1,(; 1 ≥∈ + nNn n n Giải: Ta có: 222 1 . 3 1 2 1 1 n ++++ > )1( 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 + ++++ nn = 1 11 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 + −++−+−+− nn = . 11 1 1 + = + − n n n Suy ra đpcm. V. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG. A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh A ≥ B, ta gỉ sử A < B, từ đó lập luận để dẩn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp phản chứng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho .2 22 ≤+ ba Chứng minh rằng: .2≤+ ba Giải: Giả sử ba + > 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được: 22 2 baba ++ > 4. ( 1 ) Mặt khác ta có: Mà: 2 4)( 22 ≤+ ba ( giả thiết ), do đó .42 22 ≤++ baba ( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ). Vậy phải có .2≤+ ba 2. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: .02;02;02 222 ≥+≥+≥+ abcacbbca Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có: bca 2 2 + < 0; acb 2 2 + < 0; abc 2 2 + < 0. abcacbbca 222 222 +++++⇒ < 0 2 )( cba ++⇔ < 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm ) VI. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ. 6 A. Kiến thức cơ bản. Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1. Với cba ,, > 0. Chứng minh rằng: a) Nếu a < b thì: b a < cb ca + + . b) Nếu ba ≥ thì: . cb ca b a + + ≥ Bài toán 2. Với zyx ,, > 0. Chứng minh rằng: a) . )( 41 2 yx xy + ≥ b) . 411 yxyx + ≥+ c) . 9111 zyxzyx ++ ≥++ * Chú ý: Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho cba ,, là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ba c ac b cb a + + + + + < 2. Giải: Vì cba ,, là ba cạnh của một tam giác nên a < cb + , theo bài toán 1a) ta có: cb a + < . 2 cba a cba aa ++ = ++ + ( 1 ). tương tự: ac b + < . 2 cba b ++ ( 2 ). ba c + < . 2 cba c ++ ( 3 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có: ba c ac b cb a + + + + + < .2 )(2 = ++ ++ cba cba 2. Ví dụ 2. Cho ba, > 0. Chứng minh rằng: . )( 1 8 1 44 1 222 ba ab ba + ≥+ + Giải: Vì ba, > 0 22 44 ba +⇒ > 0 và ab8 > 0. Theo bài toán 2b) ta có: . )( 1 )(4 4 844 4 8 1 44 1 222222 babaabba ab ba + = + = ++ ≥+ + ⇒ đpcm. 3.Ví dụ 3. Cho cba ,, > 0. Chứng minh rằng: . 3 2 1 2 1 2 1 cbaaccbba ++ ≥ + + + + + Giải: Vì cba ,, > 0 ba +⇒ 2 > 0; cb +2 > 0; ac +2 > 0. Theo bài toán 2c) ta có: 7 . 3 )(3 9 222 9 2 1 2 1 2 1 cbacbaaccbbaaccbba ++ = ++ = +++++ ≥ + + + + + ⇒ đpcm. VII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DUNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A.Kiến thức cần nhớ. Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trịtuyệt đối sau: Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) baba +≥+ . Dấu " = " xảy ra khi 0 ≥ ab . b) baba −≤− . Dấu " = " xảy ra khi 0)( ≥− bab . Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu 0, ≠yx thì: .2≥+≥+ x y y x x y y x Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi yx ±= . Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1) .2≥+ m n n m 2) .2 1 ≥+ m m Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán trên. Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: zyxzyx ++≤++ . Giải: Từ bài toán 1a) ta có: zyxzyxzyx ++≤++≤++ . * Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau: Chứng minh rằng: nn aaaaaa +++≤+++ 2121 . 2. Ví dụ 2. Cho 0, ≠ba . Chứng minh rằng: 04)(3 2 2 2 2 ≥++−+ a b b a a b b a . Giải: Đặt x= a b b a + , ta có: 2≥x ( theo bài toán 2 ). Ta được: 23234)(3 2 2 2 2 2 2 +−=+       +−       +=++−+ xx a b b a a b b a a b b a a b b a = 0)1)(2( ≥−− xx . Vì    −⇒ ≥ −≤ ⇔≥ )2( 2 2 2 x x x x và )1( −x cùng dấu. 0430)1)(2( 2 2 2 2 ≥+       +−+⇔≥−−⇒ a b b a a b b a zx . ( đpcm ). 3. Ví dụ 3. cho .20091,2008,1 ≤−≤−≤ bcaa Chứng minh rằng: .4017≤− cab Giải: Vì: 20092009120091,1 ≤−⇒≤−⇒≤−≤ aabbaba . Mà: 2008≤− ca . Suy ra: 4017≤−+− caaab . Theo bài toán 1) ta có: caaabcaaabcab −+−≤−+−=− )()( . Vậy: 4017≤− cab . VIII. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA TỔNG BÌNH PHƯƠNG, BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG, TÍCH HAI SỐ. 8 A. Kiến thức cần nhớ. Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ): 1) xyyxyx 4)()(2 222 ≥+≥+ . 2) )(3)()(3 2222 zxyzxyzyxzyx ++≥++≥++ . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x 4 + y 4 ≥ 8 1 . Giải: Áp dụng bài toán 1) ta có: 8 1 2 2 )( 2 )( 2 2 22 44 ≥       + ≥ + ≥+ yx yx yx . 2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: )( 444 cbaabccba ++≥++ . Giải: Áp dụng bài toán 2) ta có: )( ))(())(())(( 444 222222444 cbaabccba abcacabcbcabaccbbacba ++≥++⇒ ++≥++≥++ IX. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG. A. Phương pháp. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X = n AAA . 21 và Y = n BBB . 21 hoặc X = n AAA +++ . 21 và Y = n BBB +++ . 21 với ), .,2,1(, niBA ii = là đa thức, phân thức mà các biểu thức ii BA , có chung quy luật. Dễ dàng chứng minh được các bất đẳng thức riêng iinn BABABA ≥⇒≥≥ , ., 11 . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Cho cba ,, > 0. Chứng minh rằng: . 222 cba a c c b b a ++≥++ Giải: Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng: ba b a −≥ 2 2 . ( 1 ) Ta có: 22 2 22 babaab b a −≥⇔≥ (vì b > 0 ). 0)(02 222 ≥−⇔≥+−⇔ bababa . ( bất đẳng thức luôn đúng ). Vậy ( 1 ) được chứng minh ! Tương tự ac a c cb c b −≥−≥ 2;2 22 . ( 2 ). Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm. 2. Ví dụ 2. Cho cba ,, > 0. Chứng minh rằng: 3 22 3 22 3 22 3 cba caac c bccb b abba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ . Giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng: 3 2 22 3 ba abba a − ≥ ++ . ( 1 ) Ta có ( 1 ) ))(2(3 223 abbabaa ++−≥⇔ 9 0))(( 0 2223 2 2233 2322233 ≥−+⇔ ≥−−+⇔ −−−++≥⇔ baba abbaba abbbabaabaa Vậy ( 1 ) đúng. Tương tự 3 2 22 3 cb bccb b − ≥ ++ . ( 2 ) 3 2 22 3 ac caac c − ≥ ++ . ( 3 ) Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm. X. PHƯƠNG PHÁP XÉT TỪNG KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA BIẾN. A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn. B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 1 278 +−+− xxxx > 0. Giải: Gọi A là vế trái của bất đẳng thức. Cách 1. * Nếu 1 ≥ x thì A 1)1()1( 7 +−+−= xxxx > 0. * Nếu x < 1 thì A )1()1( 528 xxxx −+−+= > 0. Vậy ta có đpcm. Cách 2. A = 2727 )1)(1()1()1( xxxxxxx +−−=+−−− . * Nếu 0)1)(1(11 77 ≥−−⇒≥⇒≥ xxxx , mà 2 x > 0. Nên A > 0. * Nếu x < 1 7 x⇒ < 1 )1)(1( 7 −− xx > 0, còn 2 x > 0. Nên A > 0. 2. Ví dụ 2. Cho Rcba ∈,, , thoả mãn: abccba ≥++ . Chứng minh rằng: abccba ≥++ 222 . Giải: Xét hai trường hợp: 1) abccbacbacba ≥++≥++⇒≥≥≥ 222 1,1,1 . 2) Trong ba số cba ,, có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát, giả sử c < 1. Ta có abcabcabbacba ≥≥≥+≥++ 2 22222 . XI. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN A. Kiến thức cần nhớ. Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán quen thuộc dẫ biết cách giải * Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng h B A B A B A n n ≥+++ . 2 2 1 1 . ( h là hằng số, nn BBAA , .,,, ., 11 là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách đổi biến nn BmBmBm === , .,, 2211 , sau đó biểu diễn 1 A theo n mmm , .,, 21 sẽ đưa về bài toán quen thuộc sau: Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì 2≥+ x y y x . B. Ví dụ. 1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007) 4 + ( x + 2009 ) 4 ≥ 2. 10 [...]... dụng trong đại số, nhất là trong giải toán cực trị đại số, giải phương trình, Đi sâu vào các loaị này đòi hỏi người thầy và học sinh phải biết phân dạng bài toán, nắm vững các phương pháp, xây dựng các thuật toán, I Giải toán cực trị đại số A Kiến thức cần nhớ 1 Để tìm GTNN ( GTLN ) của biểu thức A(x) trong tập hợp D ta làm như sau: * Chứng minh A(x) ≥ m ( hoặc B(x) ≤ M ) với m ( hoặc M ) là hằng số. .. trình, bất phương trình và hệ đại số A Kiến thức cần nhớ Trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, một số bài toán đòi hỏi các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức sẽ cho lời giải ngắn gọn Các bài toán này rất độc đáo đòi hỏi học sinh phải có óc phán đoán và suy luận thật hợp lý Bước đầu làm quen với phương pháp đánh giá giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, cần ghi nhớ các điều... của A là m ( hoặc GTLG của B là M ) 2 Khi giải một bài toán cực trị đại số cần căn cứ vào dạng của bài toán mà chọn phương pháp giải thích hợp Các dạng toán tìm cực trị thường gặp là: * Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối * Hàm đa thức * Hàm phân thức * Các bài toán mà các biến có điều kiện ràng buộc B Ví dụ 1 Ví dụ 1 Tìm GTNN của hàm số: y = x − 5 + x − 7 ( Bài này có nhiều cách sử dụng BĐT, tôi chỉ... 2 XII PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ CÁC BIẾN A Kiến thức cần nhớ 11 Một số bài toán mà trong đó giả thi t và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi vai trò các biến Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện thêm tính chất của biến, giúp tim lời giải dễ dàng hơn Lưu ý rằng 1) Các biến tham gia trong bài toán hoán vị vòng quanh mà giả thi t và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xem... được chứng minh XV PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ Một số bài toán bất đẳng thức mấcc biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải nếu sử dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất: 1) Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c 2) Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin 3) u + v ≤ u + v , dấu đẳng thức xảy ra u = k v, k > 0 ( tức u,... x = 2 Dấu " = " xảy ra ⇔ ( x − 5)(7 − x) ≥ 0 ⇔ 5 ≤ x ≤ 7 Vậy y min = 2 ⇔ 5 ≤ x ≤ 7 2 Ví dụ 2 Tìm GTLN của hàm số: y = x(1 − x) 3 , với x ∈ [ 0;1] 1 3 1 3 Giải: Biến đổi: y = x(1 − x) 3 = 3x(1 − x) 3 = 3x(1 − x)(1 − x)(1 − x) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số không âm gồm 3x và ba số 1-x, ta được: 4 4 1  3 x + (1 − x ) + (1 − x) + (1 − x)  1 3 27 y ≤   = 3  4  = 256 3 4    27 1 ⇔... dấu nên (a − b)(a − b ) ≥ 0 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k a+b Do đó:    2  k +1 , tức là:  a k +1 + b k +1 ≤ Vậy bất đẳng thức được chứng minh 2 XIV PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH SỐ HẠNG A Kiến thức cần nhớ Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có dạng f (1) + f (2) + + f (n) , khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm hàm F(k) thoả mãn... rằng: 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) < 1 Giải: 1 1 1 Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng: k (k + 1) = k − k + 1 Vậy ta có: 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + + − = 1− < 1 ( đpcm ) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) 1 2 2 3 n n +1 n +1 3 5 7 2n + 1 2 Ví dụ 2 Chứng minh rằng: 4 + 36 + 144 + + n 2 (n + 1) 2 < 1 Giải: Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều... bài toán hoán vị vòng quanh mà giả thi t và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xem một biến nào đó là lớn nhất hoặc nhỏ nhất 2) Các biến tham gia trong bài toán có vai trò như nhau, nghĩa là nếu hoán vị tuỳ ý mà giả thi t và bất đảng thức cần chứng minh không thay đổi thì có thể xắp xếp trật tự các biến ( theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần ) B Ví dụ 1 Ví dụ 1 Cho a, b, c thoả mãn... a + b A b C 2 Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số thực a,luôn có: a 2 + a + 1 + a 2 − a + 1 ≥ 2 Giải: 2 2 1  3 1 3  Nhận xét: a + a + 1 =  a +  +   ⇒ u (a + , )  1  2  2 2   2 2 1 3 1   3  ⇒ v ( − a, ) a − a +1 =  − a +  2 2 2   2    2 2 1 2 1 2 Mà u + v ≥ u + v = (a + + − a) 2 + ( 3 3 2 + ) = 2 đpcm 2 2 CHƯƠNG III 14 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài 1 Chứng minh rằng: a) . Bất đẳng thức có rất nhiều ứng dụng trong đại số, nhất là trong giải toán cực trị đại số, giải phương trình, . Đi sâu vào các loaị này đòi hỏi người thầy. trình, bất phương trình và hệ đại số. A. Kiến thức cần nhớ. Trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, một số bài toán đòi hỏi các kỹ năng