CHủ đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức I. căn thức: Kiến thức cơ bản: 1. Điều kiện tồn tại : A Có nghĩa 0 A 2. Hằng đẳng thức: AA = 2 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: BABA = )0;0( BA 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng: B A B A = )0;0( > BA 5. Đa thừa số ra ngoài căn: 2 BABA = )0( B 6. Đa thừa số vào trong căn: BABA . 2 = )0;0( BA BABA . 2 = )0;0( < BA 7. Khử căn thức ở mẫu: .A A B B B = ( 0; 0)AB B 8. Trục căn thức ở mẫu: A A B B B = ( 0)B > BA BAC BA C = )( ( 0; 0; )A B A B Bài tập: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) 32 + x 2) 2 2 x 3) 3 4 + x 4) 6 5 2 + x 5) 43 + x 6) 2 1 x + 7) x21 3 8) 53 3 + x Rỳt gn biu thc 1) ( ) 8 3. 2 10 . 2 5 + 2) ( ) ( ) 2 2 0,2 10 .3 2 3 5 + 3) 1 1 3 4 1 . . 2 . 200 : 2 2 2 5 8 + ữ ữ 4) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 3 2. 3 5 1 + 5) ( ) 2 2 3 4 2 3 + 6) 15 6 6 33 12 6 + 7) ( ) 15 200 3 450 2 50 : 10 + 8) 15 1 15 1 + 9) 234 2 234 2 + 10) 21 22 + + 11) 24362)2332( 2 ++ 12) 877)714228( ++ 13) 22 )13()23( + 14) 57 57 57 57 + + + 15) 4 7 4 7 + 16) 2 3 14 5 3 2+ + + 17) )2()12(4 2 + xxx 18) )2()44(2 222 yxyxyxyx ++ 19) 6 14 2 3 28 + + 20) 3 2 3 6 4 2 3 4 + + + + + Gii phng trỡnh: 1 1) 512 = x 2) 10 3 2 6x+ = + 3) 21)1(9 = x 4) 0502 = x 5) 0123 2 = x 6) 9)3( 2 = x 7) 6144 2 =++ xx 8) 3)12( 2 = x 9) 64 2 = x 10) 06)1(4 2 = x 11) 21 3 =+ x 12) 223 3 = x 13) 4 4 20 3 5 9 45 6 3 x x x+ + + + = 14) 2 2 7 7 8 12x x x x + + = So sánh 1) 6 2 2+ và 9 2) 11 3 và 2 3) 3 2+ và 2 6+ 4) 2003 2005+ và 2 2004 5) 1 3 2 và 5 1+ 6) 2005 2003 và 2003 2001 Tìm GTNN, GTLN 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 1x x+ + , giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu? 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1x x + , giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu? 3) Cho hai số a, b không âm. Chứng minh 2 a b ab + Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 4) Với 0; 0a b chứng minh 2 2 a b a b+ + 5) Với a dơng, chứng minh 1 2a a + 6) Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức a b c ab bc ca+ + + + II. các bài toán rút gọn: A.các b ớc thực hiên : Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc) Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại. Quy đồng, gồm các bớc: + Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung. Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên). 2 Rút gọn. B.Bài tập luyện tập: Bi 1 Cho biu thc : A = 2 1 x x x x x x vi ( x >0 v x 1) 1) Rỳt gn biu thc A. 2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti 3 2 2x = + Bi 2. Cho biu thc : P = 4 4 4 2 2 a a a a a + + + + ( Vi a 0 ; a 4 ) 1) Rỳt gn biu thc P. 2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1. Bi 3: Cho biu thc A = 1 2 1 1 x x x x x x + + + + 1/.t iu kin biu thc A cú ngha 2/.Rỳt gn biu thc A 3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1 Bài 4: Cho biu thc A = (1 )(1 ) 1 1 x x x x x x + + + ( Vi 0; 1x x ) a) Rỳt gn A b) Tỡm x A = - 1 Bài 5 : Cho biểu thức : B = x x xx + + 1 22 1 22 1 a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị của B với x =3 c; Tìm giá trị của x để 2 1 = A Bài 6: Cho biểu thức : P = x x x x x x + + + + + 4 52 2 2 2 1 a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P = 2 Bài 7: Cho biểu thức: Q = ( ) 1 2 2 1 (:) 1 1 1 + + a a a a aa a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q b; Tìm a để Q dơng c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9 - 4 5 Bài 8: Cho biểu thức: M = + + 112 1 2 a aa a aa a a a/ Tìm ĐKXĐ của M. b/ Rút gọn M Tìm giá trị của a để M = - 4 Bài 9 : Cho biểu thức : K = 3x 3x2 x1 x3 3x2x 11x15 + + + + a. Tìm x để K có nghĩa b. Rút gọn K 3 c. Tìm x khi K= 2 1 d. Tìm giá trị lớn nhất của K Bài 10 : Cho biểu thức: G= 2 1x2x . 1x2x 2x 1x 2x 2 + ++ + 1. Xác định x để G tồn tại 2. Rút gọn biểu thức G 3. Tính số trị của G khi x = 0,16 4. Tìm gía trị lớn nhất của G 5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên 6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng 7. Tìm x để G nhận giá trị âm Bài 11 : Cho biểu thức: P= 2 1x : x1 1 1xx x 1xx 2x + ++ + + Với x 0 ; x 1 a. Rút gọn biểu thức trên b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1 Bài 12 : cho biểu thức Q= + + + + a 1 1. a1 1a a22 1 a22 1 2 2 a. Tìm a dể Q tồn tại b. Chứng minh rằng: Q không phụ thuộc vào giá trị của a Bài 13: Cho biểu thức : A= x x xxyxy x yxy x + + 1 1 . 22 2 2 3 a) Rút gọn A b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2 Bài 14:Xét biểu thức: P = ( ) + + + + + + 4a 5a2 1: a16 2a4 4a a 4a a3 (Với a 0 ; a 16) 1)Rút gọn P 2)Tìm a để P = -3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố ---------------------------------- CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất I. hàm số: Khái niệm hàm số * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số. * Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng. II. hàm số bậc nhất: Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Hàm số bậc nhất có dạng: baxy += Trong đó a; b là các hệ số 0 a Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: baxy += là hàm số bậc nhất là: 0 a Tính chất: + TXĐ: Rx + Đồng biến khi 0 > a . Nghịch biến khi 0 < a Đồ thị: 4 + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a b . + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b: Cho x = 0 => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b Cho y = 0 => b x a = => điểm ( b a ;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b Đờng thẳng qua hai điểm (0;b) và ( b a ;0) là đồ thị hàm số y = ax+b Điều kiện để hai đờng thẳng: (d 1 ): y = ax + b; (d 2 ): y = a , x + b , : + Cắt nhau: (d 1 ) cắt (d 2 ) 'a a . */. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện 'b b = . */. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục hoành thì cần thêm điều kiện ' ' b b a a = */. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : . ' 1.a a = + Song song với nhau: (d 1 ) // (d 2 ) '; 'a a b b = . + Trùng nhau: (d 1 ) (d 2 ) '; 'a a b b = = . Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a. + Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn ( ) tg a = Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù ( ) 0 ' ; 180 'tg a = = Các dạng bài tập th ờng gặp: Dng 3: Tớnh gúc to bi ng thng y = ax + b v trc Ox Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị. Ph ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x 1 ; y 1 ) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x 1 vào hàm số; tính đợc y 0 . Nếu y 0 = y 1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y 0 y 1 thì điểm M không thuộc đồ thị. -Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x 0 ; y 0 ) và điểm Q(x 1 ; y 1 ). Ph ơng pháp: + Thay x 0 ; y 0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y 0 = ax 0 + b (1) + Thay x 1 ; y 1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y 1 = ax 1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trình đờng thẳng cần tìm. -Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đờng thẳng : (d 1 ) : y = (m 2 -1) x + m 2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d 2 ) : y = x +1 (d 3 ) : y = -x +3 Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, hai ng thng song song; ct nhau; trựng nhau. Dng 2: V th hm s y = ax + b Xỏc nh to giao im ca hai ng thng (d 1 ): y = ax + b; (d 2 ): y = a , x + b , Ph ơng pháp: Đặt ax + b = a , x + b , giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d 1 ) hoặc (d 2 ) ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng. Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng: Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S 5 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d 1 luôn đi qua 1điểm cố định . b) Xác định m để 3 đờng thẳng d 1 ;d 2 ;d 3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d 1 đi qua là A(x 0 ; y 0 ) ta có : y 0 = (m 2 -1 ) x 0 +m 2 -5 Với mọi m => m 2 (x 0 +1) -(x 0 +y 0 +5) =0 với mọi m. Điều này chỉ xảy ra khi : x 0 + 1 =0 và x 0 +y 0 +5 = 0 suy ra : x 0 = -1 và y 0 = - 4 Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B của (d 2 ) và (d 3 ) : Ta có phơng trình hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2) Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d 1 ) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào phơng trình (d 1 ) ta có: 2 = (m 2 -1) .1 + m 2 -5 m 2 = 4 => m = 2 và m = -2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui. Bài tập : Bi 1: Cho hai ng thng (d 1 ): y = ( 2 + m )x + 1 v (d 2 ): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tỡm m (d 1 ) v (d 2 ) ct nhau . 2) Vi m = 1, v (d 1 ) v (d 2 ) trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca hai ng thng (d 1 ) v (d 2 ) bng phộp tớnh. Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay nghch bin trờn R? Vỡ sao? Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1), hm s ng bin hay nghch bin? Vỡ sao? Bi 4: Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi (d): y = x 2 1 v ct trc honh ti im cú honh bng 10. Bi 5: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im A(2;7). Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3). Bi 7: Cho hai ng thng : (d 1 ): y = 1 2 2 x + v (d 2 ): y = 2x + a/ V (d 1 ) v (d 2 ) trờn cựng mt h trc ta Oxy. b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d 1 ) v (d 2 ) vi trc Ox , C l giao im ca (d 1 ) v (d 2 ) Tớnh chu vi v din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)? Bi 8: Cho các đờng thẳng (d 1 ) : y = 4mx - (m+5) với m 0 (d 2 ) : y = (3m 2 +1) x +(m 2 -9) a; Với giá trị nào của m thì (d 1 ) // (d 2 ) b; Với giá trị nào của m thì (d 1 ) cắt (d 2 ). Tìm toạ độ giao điểm khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d 1 ) luôn đi qua điểm cố định A ;(d 2 ) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? Bi 9: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2 Bi 10: Cho hai hm s bc nht: 2 1 3 y m x = + ữ (1) 6 ( ) 2 3y m x= (2) Vi giỏ tr no ca m thỡ: a) th ca hm s (1) v (2) l hai ng thng ct nhau? b) th ca hm s (1) v (2) l hai ng thng song song? c) th ca hm s (1) v (2) ct nhau ti mt im trờn trc tung? d) th ca hm s (1) v (2) ct nhau ti mt im trờn trc honh? e) th ca hm s (1) v (2) ct nhau ti im cú honh bng 4? Bi 11: Cho ng thng ( ) 2 2y m x= + (d) a) Chng minh (d) luụn i qua mt im c nh vi mi giỏ tr ca m. b) Tỡm m khong cỏch t gc to n ng thng (d) bng 1. c) Tỡm m khong cỏch t gc to n ng thng (d) cú giỏ tr ln nht. CHủ đề 3: hình học I. hệ thức trong tam giác vuông : Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao: ,2,2 .;. cacbab == 222 cba += ,,2 .cbh = ,, cba += cbha = ,,2 111 cbh += , , 2 2 , , 2 2 .; b c b c c b c b == Hệ thức giữa cạnh và góc: Tỷ số l ợng giác: ; ; ; D K D K Sin Cos Tg Cotg H H K D = = = = Tính chất của tỷ số l ợng giác: 1/ Nếu 0 90 =+ Thì: SinCos CosSin = = TgCotg CotgTg = = 2/Với nhn thỡ 0 < sin < 1, 0 < cos < 1 *sin 2 + cos 2 = 1 * sin tg cos = * cos cotg sin = *tg . cotg =1 Hệ thức giữa cạnh và góc: + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối: SinCacSinBab ;. == 7 + Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề: CosBacCosCab ;. == + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối: TgCbcTgBcb ;. == + Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề: CotgBbcCotgCcb ;. == Bài Tập áp dụng: Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Bit AB = 4 cm, AC = 3 cm. Gii tam giỏc ABC Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH vuụng gúc BC, BH = 7cm, HC = 3cm. Gii tam giỏc ABC? Bi 3: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH vuụng gúc BC, AH = 4,8cm; BC =10cm. Gii tam giỏc ABC? Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH l ng cao, AH = 4cm, HC = 3cm. Gii tam giỏc ABC? Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AC = 5cm, à B = 40 0. Gii tam giỏc ABC? Bi 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH l ng cao AH = 3cm, à C = 40 0 . Gii tam giỏc ABC? Bi7: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH l ng cao, HC = 4cm, à B = 55 0 . Gii tam giỏc ABC? Bi 8: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, cú AH l ng cao, AM l ng trung tuyn, bit AM = 5, AH = 4. Gii tam giỏc ABC? Bi 9: Cho tam giỏc ABC cú AB = 11cm; ã 0 38ABC = ; ã 0 30ACB = , N l chõn ng vuụng gúc k t A n BC. Hóy tớnh AN, AC. Bi 10: Cho tam giỏc ABC cú à 0 105A = , à 0 45B = , BC = 4cm. Gii tam giỏc ABC. Bi 11: Cho tam giỏc ABC cú BC = 12cm, à à 0 0 60 ; 40B C= = . Tớnh a) ng cao CH v cnh AC. b) Din tớch tam giỏc ABC. Bi 12: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = 6cm, AC = 8cm a) Tớnh BC, à à ; ?B C b) Phõn giỏc ca gúc A ct BC ti D. Tớnh BD, CD. c) T D k DE v DF ln lt vuụng gúc vi AB, AC. T giỏc AEDF l hỡnh gỡ? Tớnh chu vi v din tớch ca t giỏc AEDF. Bi 13: II. Đ ờng tròn: .Sự xác định đ ờng tròn: Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết: + Tâm và bán kính,hoặc + Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc + Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) . Tính chất đối xứng: + Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn. + Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn. Các mối quan hệ: 1. Quan hệ giữa đ ờng kính và dây: + Đờng kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm của dây ấy. 2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây bằng nhau Chúng cách đều tâm. + Dây lớn hơn Dây gần tâm hơn. Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng với đ ờng tròn: + Đờng thẳng không cắt đờng tròn Không có điểm chung d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R là bán kính của đờng tròn) + Đờng thẳng cắt đờng tròn Có 1 điểm chung d < R. + Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn Có 2 điểm chung d = R. 8  TiÕp tun cđa ® êng trßn: 1. §Þnh nghÜa: TiÕp tun cđa ®êng trßn lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn ®ã 2. TÝnh chÊt: TiÕp tun cđa ®êng trßn th× vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh (tiÕp ®iĨm) 3.DÊu hiƯu nhhËn biÕt tiÕp tun: §êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh cđa mét ®êng trßn lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®ã. Mét sè Bµi TËp tỉng hỵp häc kú I: Bµi 1 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC ) kỴ ®êng cao AH c¾t ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c t¹i D a/ Chứng minh: AD lµ ®êng kÝnh b/ TÝnh gãc ACD c/ BiÕt AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn t©m (O) Bµi 2 Cho ( O) vµ A lµ ®iĨm n»m bªn ngoµi ®êng trßn . KỴ c¸c tiÕp tun AB ; AC víi ®êng trßn ( B , C lµ tiÕp ®iĨm ) a/ Chøng minh: OA ⊥ BC b/VÏ ®êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO c/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = 4 cm? Bµi 3: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB . Qua C thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun d víi ®êng trßn . G äi E , F lÇn lỵt lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ A , B ®Õn d vµ H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ C ®Õn AB. Chøng minh: a/ CE = CF b/ AC lµ ph©n gi¸c cđa gãc BAE c/ CH 2 = BF . AE Bµi 4: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB vÏ c¸c tiÕp tun Ax; By tõ M trªn ®êng trßn ( M kh¸c A, B) vÏ tiÕp tun cđa ®¬ng trßn, nã c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gäi N lµ giao ®iĨm cđa BC vµ AO. Chøng minh r»ng a/ CN NB AC BD = b/ MN ⊥ AB c/ gãc COD = 90 0 Bµi 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. a)CMR: NE ⊥ AB b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA). d/ Chứng minh : BM.BF = BF 2 – FN 2 Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn ( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D. a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 90 0 b) Chứng minh: AC.BD = R 2 c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R. d) Tìm vò trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất. Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N. a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân. b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). c/ Chứng minh AM.BN = R 2 d/ Tìm vò trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ. 9 Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy. a/ Chứng minh rằng MC = MD. b/ Chứng mihn AD + BC có giá trò không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Bài 9: Cho đường tròn (O) và điểm A cố đònh trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB. a) Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng? b) Tứ giác AOBH là hình gì? c) Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào? Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh: a) Tam giác EBF cân. b) Tam giác HAF cân. c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 11: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB.Vẽ bán kính OE bất kì. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. a) Chứng minh CD = AC + BD. b) Tính số đo góc COD. Chứng minh R 2 = AC.BD c) Gọi I là giao điểm của OC và AE, goi K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao? d) Xác đònh vò trí của bán kính OE để tứ giác EIOK là hình vuông. e) Tính diện tích tứ giác ABDC theo bán kính R của (O),biết AC = 2 R . Bài 12: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự tại M, N. a) Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB. c) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC, CB. d) Điểm C ở vò trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất? 10 . yxyxyxyx ++ 19) 6 14 2 3 28 + + 20) 3 2 3 6 4 2 3 4 + + + + + Gii phng trỡnh: 1 1) 512 = x 2) 10 3 2 6x+ = + 3) 21)1 (9 = x 4) 0502 = x 5) 0123 2 = x 6) 9) 3(. 9) 64 2 = x 10) 06)1(4 2 = x 11) 21 3 =+ x 12) 223 3 = x 13) 4 4 20 3 5 9 45 6 3 x x x+ + + + = 14) 2 2 7 7 8 12x x x x + + = So sánh 1) 6 2 2+ và 9