Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất ------------------------------------------------------------------------------------------------------ I. Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đa về dạng A x 0 hoặc A x 0 a, Cơ sở lý luận - Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất . - Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất . - Từ đó ta có kết luận : Nếu M = A x / A x 0 thì GTNN của A x = 0 Nếu M = A x / A x 0 thì GT LN của A x = 0 b, Các ví dụ . Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x = 2x 2 8x +1 với x là số thực bất kỳ . Lời giải : Ta có A x = 2x 2 8x +1 = 2( x- 2 ) 2 7 Ta có với mọi x thì (x- 2 ) 2 0 Nên ta có 2( x- 2 ) 2 7 -7 . Vậy A x đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x = - 5x 2 4x + 1 với x là số thực bất kỳ . Lời giải: Ta có M x = - 5x 2 4x + 1 = -5 ( x + 5 2 ) 2 + 5 9 Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x + 5 2 ) 2 0 . Vậy M x 5 9 (dấu = xảy ra khi x = - 5 2 . Ta có GTLN của M x = 5 9 với x = - 5 2 . II . Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa về dạng 0 2 k Ax hoặc 0 2 k Ax Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x = x xx 3 1615 2 ++ Vói x là các số thực dơng . Lời giải: Ta có A x = x xx 3 1615 2 ++ = 3 23 3 )4( 2 + x x với mọi x >0 thì 3 23 3 )4( 2 + x x 3 23 . Vậy GTNN của A x = 3 23 với x= 4. Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx với x thuộc tập hợp số thực. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi 1 Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Lời giải:Ta có M x = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx = 3 + 2)1( 1 2 ++ x . Vì 2)1( 1 2 ++ x 2 1 nên ta có M x = 3 + 2)1( 1 2 ++ x 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN M x = 3,5 với (x+1) 2 = 0 hay x= -1 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F x,y = 22 1)( 2442 222 +++ ++ xyyx xyyxy với x, y là các số thực. Lời giải:Ta có F x,y = 22 1)( 2442 222 +++ ++ xyyx xyyxy = )2)(1( 1 24 4 ++ + xy y vì y 4 +1 0 với mọi giá trị của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y 4 +1 ta đợc : F x,y = 2 1 2 +x vì x 2 0 với mọi x nên x 2 + 2 2 với mọi x ,và do đó ta có F x,y = 2 1 2 +x 2 1 Vậy F x,y dật GTLN = 2 1 với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. 1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có: a + b ab2 đạt đợc dấu = khi a=b . a + b+ c abc3 đạt đợc dấu = khi a=b = c . 2. Các ví dụ : Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x = x x 28 2 + với x > 0. Lời giải:Ta có A x = x x 28 2 + = 8x + x 2 . Ta thấy 8x và x 2 là hai đại lợng lấy giá trị d- ơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và x 2 ta có: 8x + x 2 8162 2 .82 == x x dấu = xẩy ra khi 8x = x 2 = > x = 2 1 . Vậy GTNN A x = 8 với x = 2 1 . Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x = 16x 3 - x 6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng . Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có B x = 16x 3 - x 6 = x 3 (16- x 3 ) . Ta có x 3 > 0 , còn 16 x 3 > 0 khi 16 > x 3 hay x < 3 16 (*) ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi 2 Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ta thấy x 3 và 16 x 3 là hai đại lợng dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x 3 và 16- x 3 ta có 2 1616)16( 3333 =+ xxxx suy ra x 3 ( 16 x 3 ) 64 dấu = xẩy ra khi x 3 = 16- x 3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của B x = 64 , với x=2. IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ 8 : Với giá trị nào của x thì biểu thức P x = 52 3568056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: Ta có : P x = 52 3568056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx = 4x 2 + 8x+ 20 + 52 256 2 ++ xx Vì x 2 + 2x +5 = (x+1) 2 +4 > 0 (*) nên P x luôn xác định với mọi x ta đặt y = x 2 + 2x + + 5 , ta có P x = 4y + y 256 với y > 0 , ta thấy 4y và y 256 là hai đại lợng luôn dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và y 256 ta có : 4y + y 256 6416.2.2 256 .42 == y y . Dấu = xẩy ra khi 4y = y 256 => y = 8 hoặc y = -8 từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của P x = 64. Ví dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q x = (x 2 - 2x + 2)(4x- 2x 2 + 2) với x thuộc tập hợp các số thực. Lời giải: Đặt x 2 - 2x +2 = y ta có 4x 2x 2 + 2 = -y +6 . Vậy Q x = y ( 6- 2y). Ta có 2Q x = 2y(6-2y) , ta thấy x 2 - 2x+2 = (x- 1) 2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3 Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y )26(22 yy => 3 )26(2 yy => 9 2 Q x dấu = xẩy ra khi 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x 2 - 2x +2 = 1,5 => x = 1+ 2 2 hoặc x= 1 - 2 2 .Vậy GTLN của Q x = 4,5 với x = 1+ 2 2 hoặc x= 1 - 2 2 . Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : H x = (8 + x 2 + x )(20 x 2 x) với x là các số thực tuỳ ý . Lời giải: Ta có : * 8+ x 2 + x =( x+ 2 1 ) 2 + 4 31 >0 với mọi giá trị của x *20 x 2 x > 0 khi -5 < x < 4 . Nh vậy H x = (8 + x 2 + x )(20 x 2 x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra H x có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). Với -5 <x <4 ta có 8+ x 2 + x và 20 x 2 x luôn dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lợng dơng 8+ x 2 + x và 20 x 2 x ta có : ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi 3 Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất ------------------------------------------------------------------------------------------------------ (8+ x 2 + x )+( 20 x 2 x) )20)(8(2 22 xxxx ++ 14 )20)(8( 22 xxxx ++ => 196 (8 + x 2 + x )(20 x 2 x) .Dấu = xẩy ra khi 8+ x 2 + x =20 x 2 x => x= 2 hoặc x= -3. Hay H x 196 .Vậy GTLN của H x = 196 ,với x=2 hoặc x = -3. V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lợng . Ví dụ 11 : Tìm giá trị của m, p sao cho A = m 2 4mp + 5p 2 + 10m 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Lời giải: Ta có A = m 2 4mp + 5p 2 + 10m 22p + 28 = ( m 2p) 2 + ( p 1) 2 +27 + 10(m 2p) Đặt X = m-2p ta có A = X 2 + 10 X +( p-1) 2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1) 2 + 2 . Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1) 2 0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0. Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3 Ví dụ 12 : Tìm giá trị của x, y sao cho F = x 2 + 26y 2 10xy +14x 76y + 59. đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải: Ta có F = x 2 + 26y 2 10xy +14x 76y + 59 = ( x-5y) 2 + (y-3) 2 +14(x-5y)+50. Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7) 2 + (y- 3) 2 +1 1. Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta đợc x=8 y= 3 .Vậy GTNN của F = 1 với x=8, y=3 . Ví dụ 13 : Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x 2 +54y 2 +16z 2 -16xz 24yz +36xy +5. Đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải: Ta có P = 19x 2 +54y 2 +16z 2 -16xz 24yz +36xy +5 = ( 9x 2 + 36xy + 36y 2 ) + (18y 2 - 24yz +8z 2 ) + (8x 2 16xz + 8z 2 ) + 2x 2 + 5 hay P = 9(x+2y) 2 + 2(3y 2z) 2 + 8(x- z ) 2 + 2x 2 + 5 .Ta thấy (x+2y) 2 0 ; (3y 2z) 2 0; (x- z ) 2 0; 2x 2 0 với mọi giá trị của x, y, z . Vậy GTNN của P = 5 đạt đợc khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ phơng trình trên ta đợc x= y =z = 0 . VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski. *Bất đẳng thức Buanhiacôpski. ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + .a n b n ) 2 (a 1 2 + a 2 2 + +a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 .b n 2 ) Dấu bằng xẩy ra khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi 4 Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất ------------------------------------------------------------------------------------------------------ *Các ví dụ : Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất . P = x 2 + y 2 +z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995. Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có : (x.1 + y.1 + z.1) 2 (1 + 1+ 1)(x 2 + y 2 + z 2 ) Hay : ( x + y +z ) 2 3.(x 2 + y 2 + z 2 ) . Từ đó ta có : P = x 2 + y 2 + z 2 3 1995 3 )( 22 = ++ zyx ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995). Vậy GTNN của P = 3 1995 2 dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z = 1995 .Ta có x= y =z =665. Ví dụ 14 : Cho biểu thức Q = zyx .542 ++ . Trong đó x,y,z là các đại lợng thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 169.Tìm GTLN của Q. Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, 5 và x, y, z ta có : (2x + 4y + 5 z) 2 { 2 2 + 4 2 + ( 5 ) 2 }( x 2 + y 2 + z 2 ) . Hay Q 2 { 2 2 + 4 2 + ( 5 ) 2 }( x 2 + y 2 + z 2 ) vì x 2 + y 2 + z 2 = 169 nên Q 2 25.169. Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi 5 42 zyx == và x 2 + y 2 + z 2 = 169 từ đó tìm đợc x = 5 26 ; 5 26 . y= . 5 52 ; 5 52 z = 5 513 ; 5 513 VII. Các bài tập áp dụng : Bài 1: Cho biểu thức : Q = 544 3 2 + xx . Tìm GTLN của Q. Bài 2: Biểu thức : P = 2 12 2 + + x x có giá trị lớn nhất không ? Hãy chứng tỏ khẳng định của mình. Bài 3: Cho biểu thức : A = 12 1 2 2 ++ ++ xx xx . Với x -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A. Bài 4: Cho biểu thức : B= 126 146 2 2 + + xx xx . Tìm GTLN của B. Bài 5: Cho biểu thức: F = x xx 3 1615 2 ++ . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F. Bài 6: Cho biểu thức: A = 4 2 1 x x + . Hãy tìm GTLN của A. Bài 7: Cho biểu thức: Y = x xx )8)(2( ++ . Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y. Bài 8: Cho biểu thức: Y = 1 122 23 + x xxx . Tìm GTNN cua Y. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi 5 Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất ------------------------------------------------------------------------------------------------------ VIII. Hớng dẫn giải và đáp số : Bài 1:Ta có : Q = 4 3 4)12( 3 2 + x . Vậy GTLN của Q = 4 3 , với x= 0,5. Bài 2: Ta có P = 1 - 2 )1( 2 2 + x x . Vì 2 )1( 2 2 + x x 0 với mọi x nên P 1. Vậy GTLN của P= 1 khi x=1. Bài 3:Ta có : A= 1 - 2 1 1 ++ x x . Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 1 1 ++ x x đạt GTLN muốn vậy x+ x 1 + 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên x 1 > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và x 1 ta có : x + x 1 x x 1 .2 = 2 .Dấu = xẩy ra khi x = x 1 => x= 1; x = -1 (Loại ). Vậy GTNN của A = 1 - 4 3 4 1 = , với x= 1. Bài 4: Ta có : B= 126 146 2 2 + + xx xx = 1+ 3)3( 2 2 + x . Ta thấy B có GTLN thì 3)3( 2 2 + x phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3) 2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất . Ta có (x- 3) 2 + 3 3 với mọi x . Vậy GTLN của B = 3 5 , với x = 3. Bài 5: Ta có F = x xx 3 1615 2 ++ . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = 5 3 16 3 ++ x x vì x > 0 Nên 3 x > 0; x3 16 > 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 3 x + x3 16 x x 3 16 3 2 = 3 8 ; Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 + 3 8 = 3 23 ; với x = 4. Bài 6: Ta có : A = 4 2 1 x x + với x 0 thì A = 2 2 1 1 x x + . A đạt GTLN khi 2 1 x + x 2 nhỏ nhất , ta thấy x 2 và 2 1 x là hai số dơng nên theo bất đẳng thức Côsi ta có: x 2 + 2 1 x 2 2 1 .2 x x = 2 . Dấu = xẩy ra khi x 4 = 1 => x= 1; x = -1. Vậy GTLN của A = 2 1 , với x= 1; x = -1. Bài 7: Ta có : Y = x xx )8)(2( ++ . Với x > 0 Y = x + x 16 + 10 x x 16 .2 + 10 = 18 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và x 16 ). Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 . ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi 6 Trờng THCS Cảnh Dơng chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Bài 8: Ta có : Y = 1 122 23 + x xxx ( với x 1) Y = ( x + 2 3 ) 2 - 4 5 4 5 . Dấu = xẩy ra khi x = - 2 3 . Vậy GTNN của Y = - 4 5 ; với x = - 2 3 . --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Biên soạn: Đồng Đức Lợi 7 . -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - - -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- Biên soạn: Đồng Đức. lớn nhất nhỏ nhất -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - - I. Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất