*****TÍNH CHIA HẾT. A. đònh lí chia có dư. B. các phép chia hết- quy tắc. C. các vd minh họa: 1. cmr: A= 2006 2002 +2006 2003 +2006 2004 +2006 2005 chia hết cho 223. Ta nhóm 2 số đầu và 2 số cuối tạo ra số 2007= 223.9 là xong/. 2. cmr với x khác -6 thì A= (x+1`)(x+3)(x+5)(x+7) chia hết cho x+6. Ta nhận thấy có số 8=3+5=1+7 nên tha nhóm lại và thành 2 tích để tạo ra x+6. 3. chi A=x 95 +x 94 + .+x+1 và B= x 31 +x 30 +…+x+1. cmr A chia hết cho B. ta nhóm từng cụm 32 số từ đầu đến cuối là tạo ra ngay A=B.X. xong. 4. cho M=n 4 -4n 3 - 4n 2 +16n với n chẵn và n > 4. Cmr M chia hết cho 384. Nhóm ngay n-4 và tạo ra dạng tích của các số hạng. Sau đó ta dùng n chẵn tức là n=2k. tạo ra 16. tích 4 số liên tiếp nên chia hết cho 24.16. xong 5. c/m M=300(7 2006 +7 2005 +…+7+1) +50 CHIA HẾT CHO 7 2007 . Ta phân tích số 300= 50.6 vì số 6 có lien quan đặc biệt đến số 7 là 6=7-1. Mặt khác ta nhận thấy bên trong ngoặc là có dạng bình phương thiếu của tổng nên tạo ra HĐT x n -1. ta được KQ : 50.7. 2007 . xong. 6. c/m nếu n là số tự nhiên chẵn thì : A=20 n +16 n -3 n -1 chia hết cho 323. Ta nhận tháy 323= 17.19 và nguyên tó cùng nhau. Ta c/m A chia hết cho 17 mvà 19. Ta nhận thấy có số 20 và 3 rồi lại 16 và 1 đều tạo ra 17 nen nhóm lại và dùng HĐT như thrên bta tạo ngay số 17. Ta lại nhận thấy có 20 và1 rồi 16 và 3 nên tương tự ta tạo ra 19. 7. c/m : A= 36 38 +41 33 chia hết cho 77. Ta nhận thấy 77= 11.7 Ta chia A hết 11. ta nhận thấy 36 tạo ra 33 và 41 tạo ra 44 thì sẽ rút gọn được. Thêm bớt các đại lượng 3 38 và 3 33 . zsau đó tính ntoán là được. Ta nhận thấy 36 gần 35 chia hết cho 7 và 41 gần 42 tạo ra số 1. thêm bớt số 1. 8. cmr số : A= 1.2.3.4…2006(1+1/2+1/3+…+1/2006) chia hết cho 2007. Ta đặt m= cái trước và n là cái sau. Ta nhóm n thành từng cặp số hạng đầu và số hạng cuối như 1+1/2006 nhằm tạo ra 2007 chung còn ở trong không xét. Còn m không liên quan. 9. cmr: A=7 n+2 +8 2n+1 chia hết cho 57. Ta Nhận xét 57 = 19.3. Ta Nhận xét có 7 2 là 49 và 8 2 =64 còn 8. Ta nhận thấy 49= 57-8 và nhóm lại. Còn 64= 57+7 vậy 64 n và 7 n nhóm lại được. Tạo ra 57. 10. cmr : M= 3 n +63 chia hết cho 72 với n chẵn. Ta nhận thấy 72=9.8. N chẵn và 63 chia hết cho 9 nên 9 là xong. Ta nhận thấy n chẵn nên 3 2 chi 8 dư 1 vậy 3 n dư 1 và kết hợp 63 là xong. 11. cho P= (a+b)(b+c)(c+a)- abc với a,b,c nguyên cmr : nếu a+b+c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Ta phân tích hết ra và nhóm lại mục đích tạo ra a+b+c để dùng. Sau đó tạo ra 2.abc thì ta biện luận sau. 12. tồn tại hay không số tự nhiên n : 10 n +2007 chia hết cho 10 2007 -1. Ta nhẩmvài số để thử xem sao. Ta đoán chắc là không được. Ta thấy 10 2007 -1 chia hết cho 9 vì 10=9+1 nên dự đoán số kia không chia hết cho 9. Từ 10 n +2007 ta tạo ra số 9 = 10 -1 để tạo ra 2008, hoặc nhóm 10 và 1 tạo ra 2006 cũng dược là xong. 13. tổng 21 39 +39 21 có chia hết cho 45? Ta nhận thấy 45=5.9. Ta thấy 21 thì thừa 1 còn 39 thiếu 1 nên thêm bớt số 1 vào là được. Ta nhận thấy cả 21 và 39 dều chia hết cho 3 nên rất dễ thấy chia hết cho 9. 14. . *****PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN. A. Nghiệm nguyên? B. Phương pháp. C. Các ví dụ minh họa: 1. tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x+1)(y+2) = 2xy. Ta thấy có xy nên nhân ra và nhóm lại tạo ra : (x-1)(y-2) =4 và biện luận. Các ước số của 4. 2. tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 +x+6=y 2 . Ta thấy ngay dùng HĐT số 1 cho Vế trái và tạo ngay HĐT số 3 tiếp nhưng làm thế còn phân số khó tìm nghiệm nguyên nên nhân 4 vào 2 vế. Sau đó làm như trên tạo ra: (2y+2x+1)(2y-2x-1) =23. và biện luận 3. tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 +y 2 -x-y=8. Ta nhận thấy có thể dùng HĐT số 1 cho x và y nhưng cũng không tiện nên tha nhân 4 vào trước tạo ra: (2x-1) 2 +(2y-1) 2 =34. Ta thấy vế trái có tổng hai bình phương nên tách VP ra? 34= 25+9=5 2 +3 2 . Biện luận – cẩn thận không sai nghiệm. 4. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x 2 +2y 2 +z 2 +4xy+2xz= 26-2yz. Ta nhận thấy có dạng HĐT số 1 cho 2 số x;y và 3 số x;y;z. Còn dư số x 2 . ta phan tích 26 = 0 2 +1 1 +5 2 là sai vì các số dương. Ta phân tích 26= 25 +1= 1 2 +3 2 +4 2. Biện luận. 5. tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy+x= 2y +2011. Ta không nhận dạng được ngay. Ta rút y theo x để xem sao. => y= -1+2009/(x-2). Vậy là xong. x-2 là các ước của 2009. tìm các ước.1;41;49 và 2009. 6. cmr phương trình sau không có nghiệm nguyên: x 3 +y 3 +z 3 = x+y+z+2006. Ta nhận thấy có liên quan x 3 – x nên chuyển qua và nhóm lại chia hết cho 3 mà VP không chia hết cho 3 là vô lí. 7. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1/x+1/y+1/z =2. Ta nhận thấy vami trò của các số là như nhau nên ta giả sử x≥ y ≥ z. Khi đó ta Đánh giá dựa vào số 2 để tìm dược z rồi y và x. 8. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:x 3 +7x=y 3 +7y. với x > y >0. ta nhận thấy 2 vế như nhau về phép toán nên nếu x > y thì V.T > VP và ngược lại nên x=y. sai lầm. Ta nhận thấy có khả năng dùng HĐT số 7 ta đưa về tích và chú ý x-y > 0. Nên x 2 +xy+y 2 =7. Đưa về (x-y) 2 = 7- 3xy từ đó 7-3xy ≥ 0. nên x=2 và y=1. 9. 10. D. . *****SỐ NGUYÊN TỐ. A. Số nguyên tố? Hợp số?phân tích thừa số nguyên tố. B. Phương pháp. C. Vài VD minh họa. 1. cmr với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì:A=n 8 +n 4 +1 là hợp số. Ta nhận thấy không thể làm được ngay nên phải tạo ra lượng phụ. Ta chuyển lũy thừa bằng cách dùng HĐT số 1 nên thêm vào 2n 4 -n 4 . sau đó dùng HĐT số 3. Ta nhận thấy tích 2 số này đều lớn hơn 1 nên ta => kết quả. 2. tìm n để : P=a 4 +a 2 +1 là số nguyên tố. 3. Cmr : a= 2006 2007 -1 là hợp số. Dễ dàng nhận thấy có HĐT và tạo 2005. 4. tìm số tự nhiên n để M là số nguyên tố. M= 12n 2 -5n-25. Ta nhận thấy các số chưa liên quan. Ta thấy 12 và 25 nên tách số 5? Ta đoán -5 = 15-20 để tỉ lệ 12/15=20/25. đúng. Ta phân tích là xong. 5. tìm số p: p+94 và p+1994 đều là số nguyên tố. Ta nhận xét p phải là số lẻ. Kiểm tra p=3 đúng. Liệu p > 3 thì ? Ta lấy 3 làm chuẩn: xét p = 3k ±1 là xong. 6. . D. *****SỐ CHÍNH PHƯƠNG. A. Số chính phương? Dấu hiệu chia hết của số chính phương. Số chính phương có chữ số tận cùng là 1;4;5;6;9. Số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1. Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1. B. Phương pháp. C. Một vài VD minh họa. 1. cmr tích 4 số tự nhiên lien tiếp cộng thêm 1 là số chính phương. Ta dùng cách gọi và phân tích thành nhân tử và nhóm tạo thành HĐT là xòng. 2. cho x=11111…1111 (có 2004 chữ số 1) và y=1000…005 ( có 2003 chữ số 0). Cmr xy+1 là số chính phương. Ta cố gắng tạo ra dạng HĐT nên ta tạo ra y= 9999….999 +6 (có 2004 số 9)= 9x+6. Khi đó : xy+1= x(9x+6)+1 = 9x 2 +6x +1= (3x+1) 2 . xong. 3. tìm tất cả các số tự nhiên n : n 2 -14n-256 là số chính phương . ta có n 2 -14n nên để tạo HĐT số 2 thù ta cần 49 vậy ta thêm vào 49. Ta được (n-7) 2 -305. Ta giải sử nó là số chính phương tức là: (n-7) 2 -305 = k 2 , với k là số nguyên nào đó. Khi đó: (n-7) 2 -k 2 = (n+k-7)(n-k-7)= 305. 305 bằng bao nhiêu. 305= 5.61. khi đo ta biện luận tìm n và k. 4. cho A là số chính phương gồm 4 chữ số, nếu ta thêm mỗi chữ số của A một đơn vò thì ta dược số chính phương B. hãy tìm A và B. giả sử số đó là abcd khi đó ta có ngay: abcd= m 2 và abcd +1111= n 2 . Khi đó ta có ngay: m 2 -n 2 = 1111. tức là (m+n)(m-n)=1111. Ta thấy ngay: 1111= 101.11. Biện luận tìm m và => A và B. 5. D. *****TÌM GTNN CỦA BT. A. lý thuyết. B. Phương pháp. Ta biến đổi nhằm tạo ra HĐT số 1 và 2 về dạng A= () 2 +() 2 …+a khi đó A ≥ a. đạt được tại các BT kia bằng 0. C. Minh họa: 1. tìm GTNN của BT M=x 2 +2x+3. 2. M= 4x 2 +4x+11. 3. 2x 2 -8x+10. 4. M=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6). Ta nhận dạng thấy số -1+6 =2+3 nên nhóm chúng thành 2 nhóm. Xem nhơ ẩn phụ y=x 2 +5x. 5. M=x 2 -2x+y 2 -4y +7. ta dùng HĐT số 2 cho 2nhóm. 6. tìm GTNN của M= 2/(6x-5-9x 2 ). Ta chuyển từ GTNN sang GTLN của Mẫu số. 7. M= (3x 2 -8x+6)/(x 2 -2x+1). Ta nhận thấy MS đã là bình phương ta chỉ cần phân tích tử ra làm 2 nhóm cho gọn: 3x 2 - 8x+6= 2x 2 -4x+1+(x 2 -4x+4) là xong. 8. D. *****TÌM GTLN CỦA BT. A. lý thuyết. B. Phương pháp. Ta biến đổi nhằm tạo ra HĐT số 1 và 2 về dạng A= -() 2 -() 2 …+a khi đó A ≤a. đạt được tại các BT kia bằng 0. C. Minh họa: 1. M= 5-8x-x 2 . 2. M= -5x 2 -4x+1. 3. 5-x 2 +2x-4y 2 -4y. 4. M= (3-4x)/(x 2 +1). Ta thấy MS không thể phân tích được nên phân tích tử. Phải tạo ra HĐT nên thêm vào TS=x 2 -4x+4-1-x 2 =(x-2) 2 -(x 2 +1) chia cho MS. Ta được GTNN là -1 tại x=2. Vậy GTLN? Ta tạo cách khác: có –(4x+x 2 +4)+7+X 2 khi đó chia ta được ? không. Ta phải tạo ra có x 2 +1 nên ta tách -4x-4x 2 -1+4x 2 +4 thế mới được. 5. M=(x 4 +1)/(x 2 +1) 2 . Ta phải tách ra chứ chưab thấy gì? Tách T ra có dạng x 2 nên TS= x 2 +1) 2 - 2x 2 . khi đó M= 1- (2x/(x 2 +1)) 2 là thấy ngay Ngoài ra bài này nếu ta dùng bunhiacôpxki thì thấy ngay GTNN là ½. Cách 2 : ta tạo ra 1/M=1+2x 2 /(x 4 +1). Khi đó ta dùng ≥ 0 và 2x 2 /(x 4 +1)≤1. để tìm GTNN và GTLN. 6. tìm GTNN của M={3x-1{ 2 -4{3x-1{+5. Ta dùng tính chất trò tuyệt đối ≥ 0. Nếu ta Nhận xét hai trò tuyệt đối bằng 0 là sai. Phải xen ẩn phụ y={3x-1{. Khi đó: M=y 2 -4y+5 trong đó y ≥ 0. 7. tìm GTNN và GTLN của: M= (x 2 +2x+3)/(x 2 +2). Ta phân tích TS= 2x 2 +4x+4 –x 2 -2x -1 nhằm tạo ra dấu – để có GTNN. Ta phân tích nhằm tạo dấu +() 2 để tìm GTLN? Ts= x 2 +2 không được. Nhân 2 vào tạo ra 2M. rồi nhóm. 8. cho x;y : 3x+y=1. tìm GTNN của M=3x 2 +y 2 và GTLN của N=xy. Ta cứ rút ra và thay vào rồi tính bình thường. 9. tìm GTNN của : 9x 3 -6x+5, x 2 +3x-1; (x 2 +5x+4)(x+2)(x+3). Và (x-1)(x-3)(x 2 - 4x+5). 10. tìm GTLN của: 3-x 2 +4x.; -2x 2 +3x+1; -5x 2 -4x-19/5, 11. tìm GTNN của : A= 2x 2 +2xy+y 2 -2x+2y +2. và B= x 4 -8xy-x 3 y+x 2 y 2 - xy 3 +y 4 +200. 12. timg GTLN của : A= -x 2 +2xy-4y 2 +2x+10y+5. và B= -x 2 -2y 2 -2xy+2x-2y-15. 13. tìm GTNN: A= {x-7{+{x+5{; B= (2x-1) 2 -3{2x-1{+2. ; C= {x 2 +x+1{+ {x 2 +x-12{ 14. cho a-b =1. tìm GTNNcủa: A=a 3 -b 3 -ab. 15. cho 3a+5b=12 tìm GTLN của: B=ab. 16. cho a;b > 0 và a+b =1. tìm GTNN của: M=(1+1/a) 2 +(1+1/b) 2 . : 17. Cho x;y thỏa: 2x 2 +1/x+y/4 =4, tìm GTNN của xy. 18. tìm GTNN của: A= x 2 -x+4+1/(x 2 -x+1). B= x 2 +2x+1)/(x+2). Với x > -2. 19. tìm GTLn của: A=3/(4x 2 -4x+5). Và B= (x 2 -6x+14)/(x 2 -6x+12). 20. D. *****CHUYÊN ĐỀ BĐT. A. LÝ THUYẾT. B. PHƯƠNG PHÁP: 1. Đònh nghóa. 2. các tính chất cơ bản. a. a > b  b < a. b. tính chất bắc cầu. c. A > b  a +c > b+c. d. A > c và b > d thì a+b > c+d. e. A > b và c < d thì a –c < b-d. f. Nhân . g. Lũy thừa. h. 3. các BĐT thường dùng. a. HĐT số 1 và 2. b. Côsi. c. Bu nhiacỗpki. d. Trò tuyệt đối. e. 4. các phương pháp thường dùng. a. biến đổi tương đương. b. 5. . C. minh họa: 1. c/m a 2 +b 2 ≥ 2ab. 2. với avà b cùng dấu cmr nếu a > b thì 1/a < 1/b. 3. c/m: a/b +b/a ≥ 2. 4. cho a ;b là số dương, cmr: 1/a+1/b ≥ 4/(a+b). 5. c/m BĐT côsi cho 2 số. 6. c/m : (a-a 2 +1)/(a-a 2 -1) < 1. Ta chuyển vế và trừ ra rồi c/m nhỏ hơn 0 vì: a-a 2 -1= -(a 2 -a+1) < 0. 7. cm : a 2 +b 2 +c 2 ≥ ab+bc+ac nhân2 vào. 8. c/m nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì : a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ac). Ta dùng a-b < c < a+b. ta chuyển 1 nửa qua trái thôi, a 2 -ab+b 2 -bc+c 2 -ac = a(a-b)+b(b-c) +c(c-a) < ac+ab+cb. Đúng. Cộng từng vế cũng được. 9. c/m: a 4 +b 4 +c 4 +d 4 ≥ 4abcd. Nếu ta dùng côsi thì ra ngay tuy nhiên ta có cách khác. Ta thấy muốn dùng HĐT thì phải nhóm lại 2 số. a 4 +b 4 ≥ 2a 2 b 2. và c 4 +d 4 ≥ 2c 2 d 2 . Khi đó V.T ≥ 2( a 2 b 2 +c 2 d 2 ) ≥ 4abcd. Xong. 10. c/m: 2(a 2 +b 2 ) ≥ (a+b) 2 . 11. c/m: 3(a 2 +b 2 +c 2 ) ≥ (a+b+c) 2 . 12. với a;b;c dương c.m: a 2 /b+b 2 /c+ c 2 /a ≥ a+b+c. ta nhận dạng? Nếu ta chọn và ghép thì? Quy đồng mẫu? Sai lầm. Ta nhóm thử a 2 /b và b ? Dấu trừ a 2 /b-b = (a 2 -b 2 )/b không ra gì. Ta thêm a+b+c vào 2 vế để được dấu + xem sao. A 2 +b 2 ≥ 2ab nên a 2 /b +b ≥ 2a. cộng lại đúng. 13. với a;b;c dương c/.m: a 2 /(a+b) +b 2 /(b+c) + c 2 /(c+a) ≥ (a+b+c)/2. Ta tạo ra a 2 /(a+b) ? Ta xuất phát có a 2 + ? b. Phải có a+b vào. Vạy a 2 + (a+b) 2 ≥ 2a.(a+b). như thế không có chia 2 ở VP. Vậy : a 2 + (a+b) 2 /2 2 ≥ 2a.(a+b)/2= a(a+b). => a 2 /(a+b) ≥ a- (a+b)/4. Cộng lại ta được đpcm. 14. D. Bổ Sung: 1. ((a+b)/2) 2 > ab. 2. a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e). 3. cho a+b=1 c/m: a 3 +b 3 +ab > ½. 4. cho x+y =2 c/m: x 4 +y 4 ≥ 2. Ta xuất phát từ (x 2 -y 2 ) 2 ≥ 0 => x 4 +y 4 ≥ (x 2 +y 2 ) 2 /2. Xuất phát từ (x-y) 2 ≥ 0 => x 2 +y 2 ≥ 2. 5. C/M KHÔNG ∃ 3 SỐ dương a;b;c thỏa mãn cả 3 Bất đẳng thức: a+1/b <2;b+1/c<2và c+1/a<2 Ta dùng phương pháp p/c, giả sử cả 3 Bất đẳng thức cùng sảy ra khi đó cộng lại mới có quan hệ và ta thấy ngay vô lí. 6. a 2 +b 2 +1 ≥ ab+a+b. 7. a 2 +b 2 +c 2 ≥ a(b+c). 8. (x+y+z) 2 ≥ 3(xy+yz+zx). 9. x 2 (1+y 2 )+y 2 (1+z 2 )+z 2 (1+x 2 ) ≥ 6xyz. 10. cho a;b;c là các số không âm, c/m (a+1)(ab+1) ≥ 4ab. 11. cho a 2 +b 2 =1 và c 2 +d 2 =1 c/m: {ac+bd{ ≤ 1. 12. cho 3 số thỏa : xy+yz+zx =1 c/m: x 4 +y 4 +z 4 ≥ 16/3. 13. cho a và b : a+b =1, c/m: a 2 +b 2 ≥ ½. Và a 4 +b 4 ≥ 1/8. 14. tìm GTNN của : {x-2006{+{x-2007{. 15. E. *****CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ: A. LÝ THUYẾT: B. PHƯƠNG PHÁP: 16. các HĐT. 17. biến đổi linh hoạt- thêm bớt. C. VẬN DỤNG: 1. (1+ x 2 ) 2 -4x(1-x 2 ). 2. (x 2 -8) 2 +36. 3. (x 2 +xy) 2 -(y 2 +xy) 2 . 4. x 2 -y 2 +2x+1. 5. 5x 2 -5xy+7y-7x. 6. 3x 2 +6xy+3y 2 -3z 2 . 7. ab(x 2 +y 2 )+xy(a 2 +b 2 ). 8. a 2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b). 9. a 3 +b 3 +c 3 +3abc. 10. (x-y) 3 +(y-z) 3 +(z-x) 3 . 11. x 2 -x-6. 12. x 4 +4x 2 -5. 13. x 4 +64. 14. x 5 +x 4 +1. tạo thêm x 3 . 15. (x 2 +2x)(x 2 +2x+4)+3. 16. (x 2 +4x+8) 2 +3x(x 2 +4x+8)+2x 2 . 17. x 4 -2x 3 -3x 2 +4x+4. ta dùng đồng nhất thức để đưa về bình phương một tam thức. 18. x 4 +2x 3 -23x 2 -24x+144. 19. x 3 -9x 2 +26x-24 . 20. x 4 -x 3 -x 2 +2x-2. 21. x 3 (x 2 -7) 2 -36x. 22. cmr: n 3 (n 2 -7) 2 -36n luôn chia hết cho 7 với mọi n nguyên. Nhận xét chia 7 quá dễ. 23. giải phương trình: (x 2 -25) 2 -(x-5) 2 =0. 24. tính giá trò của biểu thức: M= 2x 2 +4x+xy=2y với x=88 và y=-76. 25. ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a). 26. a(b 2 -c 2 )+b(c 2 -a 2 )+c(a 2 -b 2 ). 27. x 8 +4. 28. x 6 -1. 29. x 8 +x 4 +1. 30. x 4 -x 3 -3x 2 +5x -2. 31. x 4 +6x 3 +7x 2 -6x+1. 32. x 4 -13x 2 -36. 33. x 3 -4x 2 +4x-1. 34. x 3 -19x-30. nhẩm nghiệm -2. 35. x 5 -x 4 -x 3 -x 2 -x-2. 36. x 9 -x 7 -x 6 -x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +1. 37. x 5 +x+1. 38. (x 2 -x) 2 -12(x 2 -x)+24. 39. (x 2 -x+1) 2 +3x(x 2 -x+1)+2x 2 . 40. (a+b+c) 3 -a 3 -b 3 -c 3 . 41. 8(x+y+z) 3 -(x+y) 3 -(y+z) 3 -(z+x) 3 . 42. (x+y+z) 3 -(x+y-z) 3 -(y+z-x) 3 -(z+x-y) 3 . 43. cmr: n 5 -5n 3 +4n chia hết cho 120 với n nguyên. 44. n 4 +6n 3 +11n 2 +30n-24 chia hết cho24. 45. n 3 -3n 2 -n+3 chia hết cho 48. nlẻ. 46. cho a;b;c là các số hữu tỉ thỏa: ab+bc+ca =1. cmr: (a 2 +1)(b 2 +1)(c 2 +1) là bình phương của 1 số hữu tỉ. 47. cho a+b+c =0. tính A=(a-b)c 3 +(b-c)a 3 +(c-a).b 3 . 48. cho a 2 +b 2 =1; c 2 +d 2 =1 và ac+bd=0. c/m: ab+cd=0. 49. cho 3 số phân biệt a;b;c c/m: A= a 4 (b-c)+b 4 (c-a)+c 4 (a-b) khác 0. 50. phân tích ra thừa số:A=2a 2 b 2 +2b 2 c 2 +2a 2 c 2 -a 4 -b 4 -c 4 . 51. ccmr nếu a;b;c là 3 cạnh của tam giác thì A trên > 0. 52. tìm n để: n 4 +4 là số nguyên tố. 53. tìm n để : n 1994 +n 1993 +1 là số nguyên tố., 54. tìm nghiệm nguyên của phương trình: x+y=xy. 55. tìm nghiệm nguyên của phương trình: p(x+y) =xy trong đó p là số nguyên tố. 56. 5xy-2y 2 -2x 2 +2 =0. 57. cdmr nếu: x 2 -xy=a; y 2 -yz=b và z 2 -xy =c trong đó x;y;z là số nguyên. Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c. ta dùng: x 3 +y 3 +z 3 -3xyz= (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx) là xong. 58. cmr: n n +n-n 2 -1 chia hết cho (n-1) 2 . D. *****CJUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC. A. kiến thức cơ bản: B. phương pháp: 18. trước khi c/m cần chuẩn bò những gì? 19. tìm cách c/m? 20. đọc và phân tích đề bài? 21. giả thiết cho ? 22. kết luận cần? 23. sựi dây nối rtừ gt và kl là kiến thức nào? 24. muốn dùng kiến thức đó cần có điều kiện gì? Vd đònh lí pytago thì tam giác vuông. 25. kẽ đường phụ thế nào cho hợp lý và có lợi? 26. cách trình bày? 27. mở rộng bài toán? 28. đặcbiệt hóa bài toán. C. Các dạng toán thường gặp: 1. c/m hai đoạn thẳng bằng nhau.: a. phương pháp tam giác- tạo ra tam giác. b. Tính chất bắc cầu. c. Tam giác câ- hinhnf thang cân. d. Hình bình hành. e. Đường trung bình. f. Cung và dây. g. Phản chứng. 2. c/m góc bằng nhau? a. dùng tính chất đối đỉnh. b. Dùng tính chất song song. c. Tam giác cân và hình thang cân. d. Tính chất nbắc cầu. e. Tam giác bằng nhau và tam giác đồng dạng. f. 3. c/m hai đường thẳng vuông góc. a. dùng Đònh nghóa. b. Dùng tính chất bắc cầu. c. Dùng đường thẳng song song. d. Dùng các tính chất của trung trực và đườngcao. e. Dùng đònh lí pytago đảo nếu đã cho độ dài. f. 4. c/m các đường thẳng đồng quy. a. c/m gọi ∩ điểm của hai đường thẳng và c/m nằm trên đường thẳng thứ 3. b. Dùng cách c/m 3 điểm thẳng hàng. c. Dùng các đường thẳng đặc biệt trong tam giác. d. Ta dựng qua ∩ điểm haio đường và c/m nó có tính chất đó. e. c/m 3 đường thẳng cùng đi qua điểm đã chỉ ra trước. f. Dùng tổng độ dài AB+BC=AC thì…… g. 5. D. áp dụng: 1. cho tam giác ABC, dựng các hình vuông: ABEF và ACGH ra miền ngoài của tam giác. Dựng AD ⊥BC, vẽ đường thẳng AD cắt FH tại M c/m : FM=MH. 2. cho Tứ giác ABCD có AD =BC , gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC, đường thẳng MN lần lượt cắt AD tại E và BC tại F.c/m góc AEM=BFM. 3. cho tam giác ABC có 3 tỷung tuyến AD;BE và CF. qua E vẽ đường thẳng // AB cắt đường thẳng vẽ từ F // BE tạ G. c.m AD//CG. 4. cho tam giác ABC dựng các hình vuông: ABDE và ÀCG ra miền ngoài tam giác. Gọi H;K;L lần lượt là trung điểm của EB;BC và CG. c/m HK ⊥ KL. 5. cho tam giác ABC, dựng các hình vuông: ABEF và ACGH ra miền ngoài của tam giác. Dựng AD ⊥BC. c/m : AD ;BE và CG đồng quy. E. . *****CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE. A. . *****CHUYÊN ĐỀ ĐỊNH LÍ FECMART. A. LÝ THUYẾT: B. PHƯƠNG PHÁP: C. VẬN DỤNG: 1. cho các số nguyên a và b c/mr: a 3 ±2b 3 không chia hết cho 19. [...]... -36x 22 cmr: n3(n2-7)2-36n luôn chia hết cho 7 với mọi n nguyên Nhận xét chia 7 quá dễ 23 giải phương trình: (x2-25)2-(x-5)2=0 24 tính giá trò của biểu thức: M= 2x2+4x+xy=2y với x=88 và y=- 76 25 ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) 26 a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) 27 x8+4 28 x6-1 29 x8+x4+1 30 x4-x3-3x2+5x -2 31 x4+6x3+7x2-6x+1 32 x4-13x2- 36 33 x3-4x2+4x-1 34 x3-19x-30 nhẩm nghiệm -2 35 x5-x4-x3-x2-x-2 36 x9-x7-x6-x5+x4+x3+x2+1... MNPQ 39 D *****CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ: E LÝ THUYẾT:ta dùng các HĐT (7HĐT) và các Tính chất kết hợp, phân phối để nhóm các thừa số lại Tách và nhóm cho linh hoạt Dùng phương pháp nghiệm đa thức F(x) chia hết cho x-a f(a) = 0 a là nghiệm đa thức f(x) Dùng phương pháp hệ số bất đònh Ta xác đònh dạng đặc trưng rồi khai triển hoặc chọn các giá trò đặc biệt để xác đònh các hệ số F PHƯƠNG... dùng phương pháp pc để c/m 2 c/m: 2312 – 2310-238+234+232-1 chia hết cho 105 Ta nhận thấy 105= 3.5.7 3 D *****CHUYÊN ĐỀ PHÉP BIÉN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG: A LÝ THUYẾT: 1 Đònh nghóa ánh xạ, các kiến thức liên quan 2 Đònh nghóa phép biến hình 3 các phép biến hình và tính chất 4 các bước giải bài toán dựng hình a B1: phân tích b Dựng c c/m d giới hạn 5 B phương pháp: C vận dụng: 1 cho góc xOy và đường thẳng... Góc giữa AB và A’B’ bằng x 23 cho 3 điểm A,M,B theo thứ tự Vẽ hai tam giác đềuAMC và BMDở cùng 1 phía đối với đường thẳng AMB Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC c/m MỊ là tam giác đều Ta nhận thấy có MA=MC; MB=MD va hai góc 60 0 nên ta dùng phép quay tâm M và 60 0 Khi đó ta có nagy MI=MJ và góc 60 0 nên có ngay tam giác đều 24 cho ▲ ABC vuông cân tại , một điểm M nằm trong tam giác sao cho: MA=2;... số F PHƯƠNG PHÁP: 29 các HĐT 30 biến đổi linh hoạt- thêm bớt G VẬN DỤNG: 1 (x2-8)2+ 36 2 (x2+xy)2-(y2+xy)2 3 x2-y2+2x+1 4 5x2-5xy+7y-7x 5 3x2+6xy+3y2-3z2 6 ab(x2+y2)+xy(a2+b2) 7 (1+ x2)2-4x(1-x2) Ta dùng (a+b)2=(a-b)2- 4ab…… 8 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) tách b-c=b-a+a-c nhanh hơn là khai triển 3 3 3 9 a +b +c +3abc Dùng a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)…… 10 (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 tách x-y=x-z+z-y cách 2 đặt a= x-y;b=y-z... đó dùng đònh lí pytago đảo thì ta được ▲ MBD vuông tại M khi đó có ngay kq: 90+45 25 điểm M nằm trong ▲ ABC đều mà MA=3;MB=4 và MC=5 tính góc AMB? Tương tự ta xét phép quay tâm B góc 60 0 Khi đó ta c/m được ▲ MAD vuông khi đó ta có đpcm 26 cho điểm M nằm giữa 2 điểm A và B vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD và BMEF c/m AE ⊥ BC Ta nhận thấy M có vò trí đặc biệt nên ta xét tại M Khi đó có MA=MC... nên J;A:G thẳng hàng vậy J đối xứng G qua A d ta xét IH=IA+AH =1/2.EJ+h mà EJ=BC xong, đường thẳng // và cách BC là m/2+h 28 cho b và c là hai đường thẳng // Điểm A không nằm trên hai đường thẳng đó Dựng M ∈ b và N ∈ c: ▲ AMN đều Để đạt được ▲ AMN đều thì N là ảnh của M qua phép quay tâm A góc 60 0 Mà M nằm trên b nên N nằm trên b’ là ảnh của b qua phép quay trên Vậy N là ∩ điểm của b’ và c Ta có 2... x-y;b=y-z và c rồi như trên 11 x2-x -6 tách –x=-3x+2x 4 2 12 x +4x -5 13 x4 +64 thêmbớt tạo HĐT số 1 5 4 14 x +x +1 tạo thêm x3 có x2+x+1 chung 15 (x2+2x)(x2+2x+4)+3 ẩn phụ 2 2 2 2 16 (x +4x+8) +3x(x +4x+8)+2x đặt y ẩn phụ và cứ để còn x làm 17 x4-2x3-3x2+4x+4 ta dùng đồng nhất thức để đưa về bình phương một tam thức Chú ý hệ số 18 x4+2x3-23x2-24x+144 như trên 3 2 19 x -9x +26x-24 tích bậc 1 và 2 4 3 2 20... cung của (O), BC di động nhưng sđBC=1200 gọi I là trng điểm BC Vẽ ▲ AIJ đều Tìm tập hợp J vì ta có cung 1200 nên góc BOC=1200 Có I là trung điểm BC nên lấy H là điểm ∩ của OI bà cung BC Khi đó góc BOI =60 0 Vì tam giác AIJ đều mà tìm quỹ tích của J nên ta tìm quỹ tích của I trước đã Ta thấy ▲ OBI vuông tại I? Ta có ? OB=R và góc 60 0 nên OI? Nên OI= R/2 J liên quan gì đến I? 31 cho điểm M chuyển động... trên có diện tích nhỏ nhẩttong tất cả các tam giác tạo bỡi tia Ox và Oy và đường thẳng bất kỳ qua M 15 cho 1 tam giác, bằng phép tònh tiến hãy tạo một tam iác mới có 3 cạnh có độ dài bằng 3 trung tuyến của tam ngiác đó Từ đo => 1 trung tuyến nhỏ hơn tổng hai trung tuyến 16 cho (O;R) và (O’;R) cắt nhau ntại M và N gọi A và B là ∩ điểm của hai đường trung trực Mn với các đường trònvà nằm về cùng 1 phía . HẾT. A. đònh lí chia có dư. B. các phép chia hết- quy tắc. C. các vd minh họa: 1. cmr: A= 20 06 2002 +20 06 2003 +20 06 2004 +20 06 2005 chia hết cho 223. Ta. y= 9999….999 +6 (có 2004 số 9)= 9x +6. Khi đó : xy+1= x(9x +6) +1 = 9x 2 +6x +1= (3x+1) 2 . xong. 3. tìm tất cả các số tự nhiên n : n 2 -14n-2 56 là số chính