Các dạng bt ph ơng trình l ợng giác Loại 1. Bin lun theo k 1. sin (cosx) = 1 2. cos(8sinx) = -1 3. tan(cosx ) = cot( sinx) 4. cos(sinx) = cos(3sinx) 5. tan( cosx) = tan(2 cosx) 6. sinx 2 = 1 2 8. cot(x 2 + 4x + 3) = cot6 9. Tỡm nghim dng nh nht ca pt cos 22 )1(cos += xx 10. Tỡm nghim dng nh nht ca pt sin )2(sin 22 xxx += 11. Tỡm nghim dng nh nht ca pt cos 0sin)2/12( 22 =+ xxx Loại 2. Cụng thc h bc 1. 4cos 2 (2x - 1) = 1 2. 2sin 2 (x + 1) = 1 3. cos 2 3x + sin 2 4x = 1 4. sin(1 - x) = 2 3 5. 2cosx + 1 = 0 6. tan 2 (2x 3 ) = 2 7. cos 2 (x 5 ) = sin 2 (2x + 4 5 ) Loại 3. Cụng thc cng, bin i 1. sin2x + cos2x = 2 sin3x 2. cos3x sinx = 3 (cosx sin3x ) 3. 05cos 2 1 5sin 2 3 )3 2 cos( =++ xxx 4. sin3x = 2 cos(x /5) + cos3x 5. sin(x + /4) + cos(x + /4) = 2 cos7x 6. Tỡm tt c cỏc nghim x ); 2 3 ( ca pt: sinxcos 8 + cosxsin 8 = 1 2 Loại 4. Bi toỏn bin lun theo m 1. Gii v bin lun 2sin(1-2x) = m 2. 3cos 2 3x = m 3. sin3x + cos3x = m 4. m.sin 2 2x + cos4x = m 5. Gii v bin lun sin2x 2m = (6m + 7)sin2x 6. Gii v bin lun (3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m 7. Gii v bin lun cos3x + m 5 = (3- 2m)cos3x 8. Cho pt sin 4 x + cos 4 x = m a) Xỏc nh m pt cú nghim b) Gii pt vi m = ắ Loại 5. Tng hp 1. cos 2 2x sin 2 8x = sin( x10 2 17 + ) 2. sin 2 3x cos 2 4x = sin 2 5x cos 2 6x 3. x x x cos2 sin1 2sin = + 4. xxx 4sin 2 2sin 1 cos 1 =+ 5. Tỡm tt c cỏc nghim x )3; 2 ( ca pt: sin(2x + ) 2 7 cos(3) 2 5 x = 1 + 2sinx 6. Gii pt: 4sin 3 xcos3x +4cos 3 xsin3x + 3 3 cos4x = 3 7. ) 8 (cos2) 8 cos() 8 sin(32 2 + xxx = x)) 3 x)cos(- 3 cos(x(sin43 2 +++ 8. 4sin 3 2x + 6sin 2 x = 3 9. Tỡm nghim nguyờn ca pt: 1)80016093( 8 cos 2 = ++ xxx Dạng 2: Ph ơng trình bậc nhất, bậc hai và bậc cao đối với một hàm số l ợng giác 1 1/ 2cos2x - 4cosx =1 sinx 0 2/ 4sin 3 x + 3 2 sin2x = 8sinx 3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 1-5sinx + 2cosx = 0 cosx 0 5/ Cho 3sin 3 x - 3cos 2 x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) và cos 2 x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2) Tìm n 0 của (1) đồng thời là n 0 của (2) ( nghiệm chung sinx = 1 3 ) 6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + 3 cotx - 2 = 0 b / 2 4 cos x + tanx = 7 c / sin 6 x + cos 4 x = cos2x 8/ sin( 5 2x + 2 ) - 3cos( 7 2 x ) = 1 + 2sinx 9/ 2 sin x -2sinx +2 = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 11/ tanx + cotx = 4 12/ 2 4 sin 2x +4cos 2x -1 = 0 2sinxcosx 13/ sin 1 cos 0x x+ + = 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 15/ 2 4 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x + = 16/ 2cosx - sinx = 1 17. 4 4 1 sin x cos x 2 + = 18. 4 4 sin x cos x cos2x+ = 19. 4 4 x 4 4 1 sin x sin + ữ + = 20. 2 2 2 2 2 3 sin x sin x sin x 3 3 2 ữ ữ + + + = 21. ( ) 6 6 4 4 5 sin x cos x sin x cos x 6 + = + 22. 6 6 1 2 sin x cos x sin x cos x 0+ + = 23. 4 4 4 4 4sin x cos x sin x cos 4x+ = + 24. ( ) 24 4 2 1 2 sin x cos x sin xcos x sinxcosx+ = + 25. 3 3 2 cos xcos3x sin xsin3x= 4 + 25. 3 3 3 cos 4x cos xcos3x sin xsin3x= + Dạng 3: Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Ph ơng pháp: Đăc biệt : 2 a.sinx b.cosx c+ = Cách 1: asinx + bcosx = c Đặt cosx= 2 2 a a +b ; sinx= 2 2 b a + b 2 2 a + b sin(x +) = c Cách 2: b a sinx + cosx = c a Đặt b = tan a sinx +cosx.tan = c a c sin(x +) = cos a Cách 3: Đặt x t = tan 2 ta có 2 2 2 2t 1- t sinx = ; cosx = 1+ t 1+ t 2 (b+c)t -2at -b +c = 0 Chú ý: Điều kiện PT có nghiệm: 2 2 2 a + b c 1. 2. sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x x x = = m 3. sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + ) 3 6 giải phơng trình: 1. 3 cos x sin x 2 = , 2. cosx 3 sin x 1 = 3. 3 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x = + , 4. 4 4 1 sin x cos (x ) 4 4 + + = 5. 3(1 cos2 ) cos 2sin = x x x , 6. 2 1 sin 2 sin 2 + =x x 7. 1 3sinx +cosx = cosx 8. tan 3cot 4(sin 3cos ) = + x x x x 9. cos7x - 3sin7x + 2 = 0 ; 2 6 x ( ; ) 5 7 10. 2sin15x + 3 cos5x + sin5x = 0 (4) 2. 6 11. sinx +3cosx + = 6 4sinx +3cosx +1 12. 1 3sinx +cosx = 3+ 3sinx +cosx +1 13. ( cos2x - 3 sin2x) - 3 sinx cosx + 4 = 0 14. 2 cosx - 2sinx.cosx = 3 2cos x +sinx -1 15. 2 1+cosx +cos2x + cos3x 2 = (3- 3sinx) 2cos x +cosx -1 3 16. cos7x sin 5x 3(cos5x sin 7x) = 17. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. 1 cosx y sinx cos x 2 = + + c. 2 cosx y sinx cos x 2 + = + Dạng 4: Ph ơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Ph ơng pháp: Giải ph- ơng trình 1. 3sin 2 x - 3 sinxcos x+ 2cos 2 x cosx=2 2. 4 sin 2 x + 3 3 sinxcosx - 2cos 2 x=4 3. 3 sin 2 x+5 cos 2 x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin 3 x + cosx = 0 5. 2 sin 2 x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos 2 x 5 - 3 = 0 6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx sinx = 0 8. tanxsin 2 x - 2sin 2 x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos 4 x - 4sin 2 xcos 2 x + sin 4 x = 0 3 2 2 3 2 2 a.sinx b.cosx 0 (1) a.sin x b.sinx cosx c.cos x d (2) a.sin x b.sin x cosx c.sinx cos x d.sinx e.cosx 0 (3) + = + + = + + + + = Đẳng cấp bậc 2: asin 2 x + bsinx.cosx + c cos 2 x = 0 Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx 0, chia 2 vế cho cos 2 x ta đợc: atan 2 x + btanx + c = d(tan 2 x + 1) Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin 3 x + bcos 3 x + c(sinx + cosx) = 0 Hoặc asin 3 x + b.cos 3 x + csin 2 xcosx + dsinxcos 2 x = 0 Xét cos 3 x = 0 và cosx 0, chia 2 vế cho cos 3 x ta đợc phơng trình bậc 3 đối với tanx 10. 4cos 3 x + 2sin 3 x - 3sinx = 0 11. 2cos 3 x = sin3x 12. cos 3 x - sin 3 x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 14. sin 3 (x - /4) = 2 sinx Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx 1. Nhận dạng: 2. Ph ơng pháp: 1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx cosx 1) 3. sin2x 2 sin x 1 4 ữ + = 3. tanx 2 2sinx 1 = 1. 1 + tanx = 2sinx + 1 cos x 2. sin x + cosx= 1 tanx - 1 cot x 3. sin 3 x + cos 3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin 3 x+ cos 3 x = sin2x 5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2 7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx 9. 1 + sin 3 2x + cos 3 2 x = 3 2 sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2 11.* cos 4 x + sin 4 x - 2(1 - sin 2 xcos 2 x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 12. sin cos 4sin 2 1x x x + = 13. sinxcosx + sinx + cosx = 1 14. cosx + 1 cosx + sinx + 1 sinx = 10 3 Dạng 6: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx Giải phơng trình 1/ sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x 2/ cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3/2 3/ sin 2 x + sin 2 3x - 3cos 2 2x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin 2 ( 5x + 4 2 ) - 2cos 2 9 2 x 5/ cos 4 x 5sin 4 x = 1 6/ 4sin 3 x - 1 = 3 - 3 cos3x 7/ sin 2 2x + sin 2 4x = sin 2 6x 8/ sin 2 x = cos 2 2x + cos 2 3x 9/ (sin 2 2x + cos 4 2x - 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos 2 2x + cos2x = 4 sin 2 2xcos 2 x 11/ sin 3 xcos3x +cos 3 xsin3x=sin 3 4x 12/ 8cos 3 (x + 3 ) = cos3x 4 ( ) ( ) a sinx cos x b.sin x cosx c a sinx cosx b.sin xcosx c + + = + = * a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx t 2 at + b 2 t -1 2 = c bt 2 + 2at 2c b = 0 * a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx t 2 at + b 2 1- t 2 = c bt 2 - 2at + 2c b = 0 Công thức hạ bậc 2 cos 2 x = 1 cos2 2 x + ; sin 2 x= 1-cos2x 2 Công thức hạ bậc 3 cos 3 x= 3cosx + cos3x 4 ; sin 3 x= 3sinx -sin3x 4 13/ sin5x 5sinx = 1 14/ cos7x + sin 2 2x = cos 2 2x - cosx 15/ sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos 2 3x =1 17/ sin 2 4 x+ sin 2 3x= cos 2 2x+ cos 2 x víi x (0;π)∈ 18/ sin 2 4x - cos 2 6x = sin( 10,5π +10x ) víi π x (0; ) 2 ∈ 19/ 4sin 3 xcos3x + 4cos 3 x sin3x + 3 3 cos4x = 3 20/ cos4xsinx - sin 2 2x = 4sin 2 ( 4 2 x π − ) - 7 2 víi x -1 < 3 21/ 2cos 3 2x - 4cos3xcos 3 x + cos6x - 4sin3xsin 3 x = 0 22/ cos10x + 2cos 2 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos 2 3x D¹ng 7: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c bËc cao Gi¶i ph¬ng tr×nh 1. sin 4 2 x +cos 4 2 x =1-2sinx 2. cos 3 x-sin 3 x=cos 2 x-sin 2 x 3. cos 3 x+ sin 3 x= cos2x 4. 4 4 sin x +cos x 1 = (tanx +cotx) sin2x 2 5. cos 6 x - sin 6 x = 13 8 cos 2 2x 6. sin 4 x + cos 4 x = 7π π cot(x + )cot( -x) 8 3 6 7. cos 6 x + sin 6 x = 2(cos 8 x + sin 8 x) 8. cos 3 x + sin 3 x = cosx – sinx 9. cos 6 x + sin 6 x = cos4x 10. sinx + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cosx + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x 11. cos 8 x + sin 8 x = 1 8 12. (sinx + 3)sin 4 x 2 - (sinx + 3)sin 2 x 2 + 1 = 0 D¹ng 8: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0 1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin 3 x + 2cosx – 2 + sin 2 x = 0 5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3 2 sin2x + 2 cos 2 x + 6 cosx = 0 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 8/ sin3 sin5 3 5 x x = 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 1 cosx 10/ cos 8 x + sin 8 x = 2(cos 10 x + sin 10 x) + 5 4 cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin 2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 14/ 2sin3x - 1 sinx = 2cos3x + 1 cosx 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1 cosx ) = 0 16/ cos 3 x + cos 2 x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos 3 x + sinx = 0 18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 2 1-cos2x sin 2x 5 * a 3 ± b 3 =(a ± b)(a 2 m ab + b 2 ) * a 8 + b 8 = ( a 4 + b 4 ) 2 - 2a 4 b 4 * a 4 - b 4 = ( a 2 + b 2 )(a 2 - b 2 ) * a 6 ± b 6 = ( a 2 ± b 2 )( a 4 m a 2 b 2 + b 4 ) 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1 sin2x 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 24/ 2 2 π sin(x + ) 4 = 1 1 + sinx cosx 25/ 2tanx + cotx = 2 3 sin 2x + 26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 1. Tìm TXĐ của hàm số: a. 2 cos sin 2 x y x − = b. y = xsin1 1 xtan − + 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a. y = 2 2 cos 3x+ − b. y = xcos.xsin2x2cos.3 − 3. Gi¶I ph¬ng tr×nh: sinx + 2 = 0. 3 tan 2 1 0x + = sin 2 x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 3sinx cos 1x− = 2 4 tan 7 tan 3 0x x − + = 2cos2 5sin 3x x+ = 2 2 3sin 3sin .cos 2cos 2x x x x− − = 1. cos 3 x+cos 2 x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2 2 x k x n π π π = = + 2. tanx.sin 2 x−2sin 2 x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin 2 x ĐS: ; 2 4 3 x k x n π π π π = − + = ± + 3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin 3 x-4cos 3 x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m π π π π π π = ± + = − + = + 4. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin 3 x-4cos 3 x +3cosx)=sinx+cosx ĐS: 7 ; ; . 4 4 12 12 x k x n x m π π π π π π = ± + = − + = + 5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ; 2 x k x n x l π π α π π α π = + = + = − + với 1 sin 4 α = − . 6. sinx−4sin 3 x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: 4 x k π π = + . HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin 3 x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx) 7. sin 3 sin 2 .sin 4 4 x x x π π     − = +  ÷  ÷     ; (Học Viện BCVT) ĐS: 4 2 x k π π = + Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng. 8. sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x=sin 3 4x HD: sin 2 x.sinx.cos3x+cos 2 x. cosx.sin3x=sin 3 4x ĐS: 12 x k π = . 9. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − HD: Chia hai vế cho cos 3 x ĐS: x = 3 k π π − + , 4 x k π π = ± + 10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( ) 4 3 x k x k k π π π π = + ∨ = ± + ∈ ¢ 11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải ⇔2sinxcosx+2cos 2 x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos 2 x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK 1t ≤ , ta được: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2 . 6 ⇒ ( ) 1 1 2 cos 2 sin - 2 t x t x  =  ⇒ =  =   loaïi …(biết giải) 12.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0. (sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 13.Giải phương trình lượng giác: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − Giải Điều kiện: ( ) cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x + ≠   ≠   Từ (1) ta có: ( ) 2 cos sin 1 cos .sin 2 2 sin sin cos 2 cos cos 1 cos sin 2 sin x x x x x x x x x x x x − = ⇔ = + − 2sin .cos 2 sinx x x⇔ = ( ) 2 2 4 cos 2 2 4 x k x k x k π π π π  = +  ⇔ = ⇔ ∈   = − +   ¢ So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 2 4 x k k π π = − + ∈ ¢ 14.Giải phương trình cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8 + GiảiTa có: cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8 + ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2 8 + ⇔ ( ) 2 2 2 3 2 cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin 2 x x x x x x + + + − = ⇔ 2 cos 4 , 2 16 2 x x k k Z π π = ⇔ = ± + ∈ . 15.Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − − Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx) 2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos sin 1 cos sin 5 ( cos sin 2) x x x x loai vi x x − = −  ⇔  − = − ≤  7 . +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 13 .Giải phương trình lượng giác: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − Giải Điều kiện: ( ) cos .sin. được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( ) 2 4 x k k π π = − + ∈ ¢ 14 .Giải phương trình cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 8 + GiảiTa có: cos3xcos