HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG GII TÍCH 1 (Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa ngành QTKD) Lu hành ni b HÀ NI - 2007 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG GII TÍCH 1 Biên son : TS. V GIA TÊ 5 LI NÓI U Gii tích (Toán cao cp A1) là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành Qun tr kinh doanh.  hc tt môn Toán cao cp theo phng thc ào to t xa, bên cnh các hc liu: sách, giáo trình in, bng đa hình, ., sách hng dn cho ngi hc toán cao cp là rt cn thit. Tp sách hng dn này đc biên son là nhm mc đích trên. Tp sách đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca B Giáo dc ào to và theo đ cng chng trình đc Hc vin Công ngh BC-VT thông qua nm 2007. Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng đi hc đang ging dy chuyên ngành Qun tr kinh doanh, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh BC-VT biên son nm 2001 và kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, tài liu này có th dùng đ hc tp và tham kho cho sinh viên ca tt c các trng, các ngành đi hc và cao đng. Cách trình bày trong sách thích hp cho ngi t hc, đc bit phc v đc lc trong công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng đ thy đc mc đích, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc thông qua các ví d  minh ho. Sau các chng, ngi đc phi t tr li đc các câu hi ôn tp di dng trc nghim. Nh các ví d minh ho đc đa ra t đn gin đn phc tp, ngi đc có th coi đó là bài tp mu đ t gii các bài tp có trong tài liu. Ngi đc có th t kim tra, đánh giá kin thc, kh nng thu nhn d a vào phn hng dn và đáp s đc cung cp  nhng trang cui sách. Cng cn nhn mnh rng, ni dung chính ca toán cao cp là phép tính vi phân và phép tính tích phân mà nn tng ca nó là phép tính gii hn ca hàm s. Chính vì th chúng tôi trình bày khá t m hai chng đu ca tài liu đ ngi hc t đc cng có th có đc các kin thc vng vàng đ đc tip các chng sau. Trong quá trình t đc và hc qua mng, tu theo kh nng tip thu, hc viên có th ch cn nh các đnh lý và b qua phn chng minh ca nó. Nhân đây tác gi cng lu ý rng  bc trung hc ph thông ca nc ta, chng trình toán cng đã bao hàm các kin thc v vi, tích phân. Tuy nhiên các ni dung đó ch mang tính cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do cu to chng trình. Vì th n u không t đc mt cách nghiêm túc các đnh ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy rt gp khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp. Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 45 đn 60 tit: Chng I: Hàm s và gii hn Chng II: o hàm và vi phân. Chng III: Hàm s nhiu bin s Chng IV: Phép tính tích phân. Chng V: Phng trình vi phân 6 Tuy rng tác gi đã c gng rt nhiu, song thi gian b hn hp.Vì vy các thiu sót còn tn ti trong cun sách là điu khó tránh khi. Tác gi chân thành ch đón s đóng góp ý kin ca các bn đng nghip, hc viên xa gn và xin cm n v điu đó. Chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh BC-VT, Trung tâm ào to BC-VT1, Phòng ào to i hc t xa và các bn đng nghip trong B môn Toán ca Hc vin Công ngh BC-VT đã khuyn khích đng viên, to điu kin cho ra tp tài liu này Hà Ni, ngày 7 tháng 6 nm 2006 Tác gi Chng 1: Hàm s mt bin s 7 CHNG I: HÀM S VÀ GII HN MC ÍCH, YÊU CU Mi vt xung quanh ta đu bin đi theo thi gian. Chúng ta có th nhn thy điu đó qua s chuyn đng c hc ca các vt th: ô tô, máy bay; s thay đi ca các đi lng vt lý: nhit đ, tc đ, gia tc; s bin đng kinh t trong mt xã hi: Giá c phiu, lãi sut tit kim, Tt c các loi hình đó đc gán mt tên chung là đi l ng hay hàm s, nó ph thuc vào đi s nào đó, chng hn là thi gian. Xem xét hàm s tc là quan tâm đn giá tr, tính cht và bin thiên ca nó. Vic đó đt ra nh mt nhu cu khách quan ca con ngi và xã hi. Trong chng này, chúng ta cn nm đc các ni dung sau: 1. Mô t đnh tính và đnh lng các hàm s s cp c bn. Nhn bit hàm s s cp, tính cht gii hn và liên tc ca nó. 2. Khái nim gii hn ca hàm s trong các quá trình khác nhau, các tính cht v gii hn và thành tho các phng pháp kh các dng bt đnh da trên phép thay th các VCB, VCL tng đng, đc bit các gii hn đáng nh: 1 sin lim sin lim 00 == →→ x x x x xx , e xx x x x x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −∞→+∞→ 1 1lim 1 1lim 3. Khái nim liên tc, gián đon ca mt hàm s. Các tính cht hàm s liên tc trên mt đon kín. 4. Các hàm s thng dùng trong phân tích kinh t. NI DUNG 1.1. CÁC KHÁI NIM C BN V HÀM S 1.1.1. Các đnh ngha c bn A. nh ngha hàm s Cho X là tp không rng ca  . Mt ánh x f t X vào  gi là mt hàm s mt bin s : ( ) fX x fx →   X gi là tp xác đnh ca f , )(Xf gi là tp giá tr ca f . ôi khi ký hiu Xxxfy ∈= ),( , x gi là đi s ( bin đc lp), y gi là hàm s (bin ph thuc) B. Hàm s chn, hàm s l Cho X đi xng vi 0 tc là XxXx ∈−∈∀ , Hàm s f (x) chn khi và ch khi )()( xfxf −= . Hàm s f (x) l khi và ch khi ).()( xfxf −−= C. Hàm s tun hoàn Chng 1: Hàm s mt bin s 8 Hàm s f (x) gi là tun hoàn trên X nu tn ti * τ + ∈ ,( * +  đc kí hiu là tp các s dng) sao cho Xx ∈∀ thì x+ τ X∈ và f (x+ τ )= f (x). S T dng bé nht trong các s τ gi là chu kì ca hàm s tun hoàn f(x). D. Hàm s đn điu Cho f (x) vi .Xx ∈ 1. Nói rng f (x) tng nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx ≤⇒≤∈∀ . và f (x) tng ngt nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx <⇒<∈∀ . 2. Nói rng f (x) gim nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx ≥⇒ ≤∈∀ . và f (x) gim ngt nu )()(,, 212121 xfxfxxXxx >⇒ <∈∀ . 3. Nói rng f (x) đn điu nu nó tng hoc gim. Nói rng f (x) đn điu ngt nu nó tng ngt hoc gim ngt. E. Hàm s b chn 1. Hàm s f (x) b chn trên trong X nu tn ti s A sao cho : AxfXx ≤∈∀ )(, . 2. Hàm s f (x) b chn di trong X nu tn ti s B sao cho: ,() x XB fx∀ ∈≤. 3. Hàm s f (x) b chn trong X nu tn ti các s A,B sao cho: AxfBXx ≤≤∈∀ )(, . F. Hàm s hp Cho f : X → và g: Y → vi YXf ⊂)( gi ánh x 0 : ( ( )) gf X x gfx →   Hay y = g( f (x)) là hàm s hp ca hai hàm f và g. G. Hàm s ngc Cho song ánh : , ,fX Y XY→⊂ Ánh x ngc XYf → − : 1 gi là hàm s ngc ca f )( 1 yfxy − = Thông thng đi s kí hiu là x, hàm s kí hiu là y, vy hàm ngc ca )(xfy = là hàm s )( 1 xfy − = . Vì th trên cùng mt phng to đ Oxy, đ th ca hai hàm s f và 1− f là đi xng nhau qua đng phân giác ca góc phn t th I và III. 1.1.2. Các hàm s s cp c bn A. Hàm lu tha Cho α ∈ . Hàm lu tha vi s m α ,đc kí hiu là α P , là ánh x t * +  vào  , xác đnh nh sau * ,() x Px x α α + ∀∈ = Chng 1: Hàm s mt bin s 9 Nu 0> α , coi rng 0)0( = α P . Nu 0= α , coi rng 1)0( 0 =P  th ca )(xP α cho bi h.1.1 y 1> α 1 = α 10 << α 1 0 = α 0 < α O 1 H.1.1 B. Hàm m c s a Xét * \{1}a + ∈ . Hàm m c s a, kí hiu là x a exp , là ánh x t  vào * +  , xác đnh nh sau: , exp . x a x xa∀∈ =  th ca x ay = cho bi h.1.2. C. Hàm lôgarit c s a Xét * \{1}a + ∈ . Hàm lôgarit c s a, kí hiu là a log ,là ánh x ngc vi ánh x a exp , nh vy * ( , ) , log y a x yyxxa + ∀∈× = ⇔=  th ca hàm s xy a log= cho bi hình h.1.3. Chú ý: Hàm lu tha có th m rng khi min xác đnh là  . y y log a x, a>1 a x , a>1 1 O 1 x a x , 0 < a < 1 x log a x, 0<a<1 H.1.2 H.1.3 Tính cht ca hàm s lôgarit 1. 01log = a Chng 1: Hàm s mt bin s 10 2. * , , xy + ∀∈ yx y x yxxy aaa aaa logglolog logloglog −= += log log aa x x α αα ∀∈ = 3. * , , log log .log bba ab x a x + ∀∈ = 4. * 1 , log log a a x xx + ∀∈ =− Chú ý: Sau này ngi ta thng ly c s a là s e và gi là lôgarit Nêpe hay lôgarit t nhiên ca x, kí hiu y = lnx và suy ra a x x a ln ln log = , e = 2,718281828459045…, 1 lg 0,434294 . ln10 e == D. Các hàm s lng giác Các hàm s lng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã đc xét k trong chng trình ph thông trung hc. Di đây chúng ta ch nhc li mt s tính cht c bn ca chúng. Tính cht: 1. sinx xác đnh trên  , là hàm s l, tun hoàn vi chu kì T = 2 π và b chn: 1sin 1,xx − ≤≤∀∈ 2. cosx xác đnh trên  , là hàm s chn, tun hoàn vi chu kì T = 2 π và b chn: 1cos 1,xx−≤ ≤ ∀∈ 3. tgx xác đnh trên  \{ , 2 kk π π +∈ }, là hàm s l, tun hoàn vi chu k π =T và nhn giá tr trên khong ),( +∞ −∞ . 4. cotgx xác đnh trên  \{ ,kk π ∈ }, là hàm s l, tun hoàn vi chu k π =T và nhn giá tr trên khong ),( +∞−∞ . E. Các hàm s lng giác ngc 1. Hàm arcsin (đc là ác-sin) là ánh x ngc ca sin: [] 1,1 2 , 2 −→ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ππ Kí hiu là arcsin: [] . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −→− 2 , 2 1,1 ππ Vy ta có: [] yxxyyx sinarcsin , 2 , 2 ,1,1 =⇔= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −∈∀−∈∀ ππ  th ca y = arcsinx cho trên hình 1.4 Chng 1: Hàm s mt bin s 11 x H.1.4 H.1.5 2. Hàm arccosin (đc là ác- cô- sin) là ánh x ngc ca [ ] [ ] 1,1,0:cos −→ π kí hiu: [][] π ,01,1:arccos →− [] [ ] yxxyyx cosarccos,,0,1,1 =⇔=∈∀−∈∀ π  th hàm s y = arccosx cho trên hình 1.5 [] π π ,0arcsin 2 ∈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x xxx == ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − )sin(arcsinarcsin 2 cos π Vy 2 arcsinarccos π =+ xx 3. Hàm arctang (đc là ác-tang) là ánh x ngc ca :, , 22 tg ππ ⎛⎞ −→ ⎜⎟ ⎝⎠  kí hiu: :, 22 arctg π π ⎛⎞ →− ⎜⎟ ⎝⎠  Vy ta có , , 22 x y y arctgx x tgy ππ ⎛⎞ ∀∈ ∀∈− = ⇔ = ⎜⎟ ⎝⎠   th ca y = arctgx cho trên hình 1.6. 4. Hàm arccôtang (đc là ác-cô-tang) là ánh x ngc ca cotg :(0, ) π → kí hiu: cot : 0, 2 arc g π ⎛⎞ → ⎜⎟ ⎝⎠  Vy ta có , 0, cot cot 2 x y y arc gx x gy π ⎛⎞ ∀∈ ∀∈ = ⇔ = ⎜⎟ ⎝⎠   th hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7 y 2 π arcsinx -1 2 π − O 1 2 π arccosx π y 2 π 1 π 2 π x O Chng 1: Hàm s mt bin s 12 y 2 π arctg 0 2 π x tg H.1.6 2 π 2 π π π y x 0 arccotg H.1.7 [...]... 12 x 16 10 , b lim x 1 33 x x 2 x n x 1 n , Ch ng 1: Hàm s m t bi n s x100 2 x 1 , 1 x 50 2x 1 c lim x 1. 22 x x x x 1 x m x x 1 n x 1 m x , x 0 x x x 4 x 2x 1 x n 1 x 0 x x 1 1 cos x cos 2 x cos 3x , 0 1 cos x 1 tgx d lim x 0 x x 1 sin x 3 , cos x 3 cos x sin 2 x 0 Tìm các gi i h n x 4 x 2 x 2 , 5x 4 b lim 3 x x3 x2 1 x Tìm các gi i h n 2 3x a lim x 2x2 x 1 x 1 c lim 1 2 x x 1 x 0 x2 1 x , x 1. .. nh lí 1. 16 c ng S d ng nh lí 1. 16, nh n x lim c bi t log a (1 x) x lim ln (1 x) x x 0 0 x Th t v y g i y ax 1 lim x 0 x x 1 x 0 T trên d dàng nh n (1. 4) (0 lim y 0 (1. 6) 1 log a e y log a (1 y ) ln a 1 (1. 7) ln (1 x) 1 x x c 1) a log a ( y 1) Theo (1. 4) s có: 1 x x 1 lim a (1. 5) x 0 x 1 ax 1 x g (lim f ( x)) do ó: a ln a, lim i ây: log a e ax 1 0 x lim G i y c các gi i h n quan tr ng d nh lí 1. 16 thì... x 4).( 2 x 1 3) 2 1 0 2 x 1 x2 1 x 2 2 3 cos x cos 3 x x2 Gi i: cos x cos 3 x x2 2 sin 2 (cos x 1) (1 cos 3 x) x2 1 2 x2 1 Ví d 4: Tính lim 2 x x 1 3x sin 2 9 2 2 3x 2 2 x 2 sin 2 2 x 2 , lim 1 sin x x 0 x x2 1 2 9 2 x 3x 2 sin 2 2 2 2 x 4 1 x 0 Gi i: x2 1 x2 1 1 sin x x2 1 x 2 1 1 x2 1 sin x 1 x2 2 2 x2 x2 1 e-2 x 1 sin x sin x x x 0 e D S t n t i gi i h n c a các hàm s c p nh lí 1. 14: Hàm s s... lim cos x nh ngh a ch ng minh 1 lim 1 x x B (1. 1) c x Ch ng minh: D dàng th y Dùng 1 * l , x l ln 2 vô lý ln x ln 1 xx 20 o Ch Ví d 1: Ch ng minh: lim sin x ng 1: Hàm s m t bi n s 0, 1 x lim x 0 x 0 Gi i: 0 ( bé) , x: (0) \ 0 có sin x x 0 L y * V y A x , x: 1 x 4 A 1 x A 2x 1 3 , x 2 2 Ví d 2: Tính lim x sin x x 1 x 0 x Ch ng t x2 1 lim x 1 xx 0 x2 1 Gi i: 2x 1 3 x 2 2 x2 1 x2 Ví d 3: Tính lim x 0 2(... x2 x 1 2x2 2 x2 x 1 x3 2 x x 1. 4 S 1 x 0 0 2x 0 4x lim x tg 2 x x 3 0 sin 2 x x lim x lim x x2 2x2 x2 x3 lim x2 0 x2 lim x x2 x 1 , x3 2 1 lim x x2 1 x2 1 1 2 lim x 1 2 lim x2 x 1 , 2x2 2 lim Gi i: , 0 a 1 x tg 2 x x 3 0 sin 2 x x tg 2 x ~ x 2 , sin 2 x ~ x 2 x 0 lim sin 2 x ~ 2 x sin 4 x ~ 4 x Ví d 7: Tìm lim , 0 a 1 x sin x x lim sin x.cos Ví d 6: Tính lim x , 0 a 1 x x 1 x 0 lim x x2 1 x2 1 lim... lí an ( x trong ó i (i 1 ) k1 ( x l )kl ( x 2 p1 x is u có th phân tích ra th a s trong d ng: q1 ) 1 ( x 2 pm x qm ) m 1, l ) là các nghi m th c b i ki c a a th c, còn p j , q j , l v i j 4q . ⎝⎠ Gii: 22 2 2 12 . 2 2 1 -2 22 x 12 1 e 11 xx x x x xx ⎛⎞⎛⎞ + −− ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ + ⎝⎠⎝⎠ →∞ ⎛⎞ − ⎛⎞ =− → ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ⎝⎠ ()() 11 sin . sin 0 1sin 1sin x xxx x x. lí 1. 1: Mi đa thc bc n vi các h s thc đu có th phân tích ra tha s trong dng: ml mm k l k n qxpxqxpxxxaxP β β αα ) .()() .()()( 2 11 2 1 11