Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs A phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài 1-Cơ sở khoa học : Nh chúng ta đã biết thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên . Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong nhà trờng phổ thông ,nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo,để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài toán . Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toàn học từ tiểu học đến trung học .Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác nh hoá học , vật lý , tin học Đặc biệt việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học . Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung va Bất đẳng thức nói riêng Trong quá trình dạy toán ở THCS ,qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài liệu bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà tôi thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy học sinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học ,tạo điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác . 2- Cơ sở thực tiễn : Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó . Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải toán Bất đẳng thức nh thế nào . Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS ,nhng không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp , khi giải toán Bất đẳng thức . Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT . Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung kho kiến thức cho họ . Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán . II- Mục đích nghiên cứu : Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng .đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPH chuyên . Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả . Phát huy đợc tính tích cực , chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập . Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs III. Ph ơng pháp nghiên cứu : - Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức . - Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh . - Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị . IV- Phạm vi nghiên cứu và sử dụng : - Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS . - Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS . B-Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức I- Định nghĩa : Cho hai số : a, b ta nói số a lớn hơn số b ,ký hiệu là : a>b nếu a-b >0 số a nhỏ hơn số b ,ký hiệu là : a<b nếu a-b <0 II- Tính chất : 1- a > b b < a 2- a < b , b < c a < c (tính chất bắc cầu ) 3- a < b a + c < b + c ( tính chất đơn điệu ) 4- a < b , c < d a + c < b +d ( Cộng hai vế của một Bất đẳng thức cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng ) 5- a < b , c > d a - c < b d ( trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ ) 6- Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b <> >< 0, 0, mmbma mmbma 7- Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều :0 <a<b , 0<c<d a.c<b.d 8- a> b >0 a n > b n ;0>a>b a n+1 >b 2n+1 và a n <b 2n 9- so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số :m>n>0; a>1 a m > a n ; a m < a n với 0< a <1 10- Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng thức đổi chiều : a b ba 11 Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc . III- Một số Bất đẳng thức cân nhớ : Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs 1- A 2k 0 với mọi A Dấu"=" xảy ra khi A=0 2- AA ,0 Dấu "=" xảy ra khi A=0. 3- AAA 4- BABA ++ Dấu "=" xảy ra khi A.B 0 5- BABA Dấu "=" xảy ra khi A.B 0 và BA Chú ý : Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý . Khi chứng minh song Bất đẳng thức a b ta phải xét trờng hợp Dấu = xảy ra khi nào . c- các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức I Ph ơng pháp 1 : phơng pháp dùng định nghĩa: 1-Nội dung ph ơng pháp ; Để chứng minh Bất đẳng thức A >B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0 2- Kiến thức cần vận dụng -Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là : (A+B) 2 =A+2AB+B 2 -Tổng quát : jiAjAiAiAi n ji n i n i <+= === ;.2)( 2.,1, 2 1 2 1 Các ký năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài : 3-Bài tập áp dụng Bài 1- chứng minh Bất đẳng thức a 2 +b 2 ab Giải : Xét hiệu : a 2 +b 2 - ab = (a 2 + 4 1 b 2 - 2 1 .2 ab)+ 4 3 b 2 =( a- 2 1 b) 2 + 4 3 b 2 0 đúng với mọi a,b vì ( a- 2 1 b) 2 0 ; 4 3 b 2 0 Dấu "=" xảy ra khi (a- 2 1 b) 2 = 4 3 b 2 =0 suy ra a=b=0 Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh . Chứng minh tơng tự cho Bài a 2 +b 2 ab Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát : (a n ) 2 +(b n ) 2 nn ba . Bài 2 Cho ba số a,b,c thoả mãn 0,a b c chứng minh rằng : b c c a a b a c c b b a ++++ Giải : Xét hiệu : )( 1 222222 acbacbbcabca abcb c c a a b a c c b b a ++=++ )]()()[( 1 222222 acbcbaabcbca abc ++= Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs = abc 1 [c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c 2 (a-b)]= abc 1 (a-b)[c(a+b)-ab-c 2 ] = abc 1 (a-b)(b-c)(c-a) 0 (do 0<a b c ) Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh . Bài 3 : Cho a b c và x y z hãy chứng minh rằng : 22 . 2 byaxyxba + ++ Giải : Xét hiệu : 22 . 2 byaxyxba + ++ = 4 1 (ax+ay+by+bx-2ax-2by) = 4 1 [(ay-ax)+(bx-by)]= 4 1 (x-y)(b-a) 0 ( do x y và a b ) Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức ; 33 . 3 czbyaxzyxcba ++ ++++ Bạn đọc có thể tổng quát bài toán . Bài 4 : Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng : a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 a(b+c+d +e) Giải : Xết hiệu : a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 - a(b+c+d +e) = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 - ab-ac-ad ae = 4 1 ( 4a 2 +4b 2 +4c 2 +4d 2 +4e 2 - 4ab-4ac-4ad 4ae) = 4 1 [(a 2 +4b 2 +4ab)+(a 2 +c 2 +4ac)+(a 2 +4d 2 +4ad)+(a 2 +4e 2 +4ae)] = 4 1 [(a+2b) 2 +(a+2c) 2 +(a+2d) 2 +(a+2e ) 2 ] 0 Do (a+2b) 2 0 và (a+2c) 2 0 và (a+2d) 2 0 và (a+2e ) 2 0 Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e = 2 a Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh . Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh : Bài 5 Tổng quát bài 4 Cho a i i=1,2, ,n là các sổ thực .chứng minh rằng : Chứng minh tơng tự bài 4 == n i i n i i aa n a 2 1 1 2 1 2 Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs 4- Bài tập áp dụng : Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau : 1/ 4.x 2 +y 2 4xy 2/ x 2 +y 2 +1 xy +x+y 3/ (x+y) (x 3 +y 3 ) (x 7 +y 7 ) 4(x 11 +y 11 ) 4/ x 1996 +y 1996 +z 1996 ):( x 1995 +y 1995 +z 1995 ) (x+y+z):3 5/ (a 3 +b 3 +c 3 ) (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 ) : a,b,c >0 6/Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng ; a/ cbaabc cba 111 )( 3 888 ++ ++ b/ abc a bc c ab b ca b ac a cb c ba 6 333333 +++++ II-ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng : 11- Nội dung ph ơng pháp : Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài . 12- Kiến thức cơ bản : Các tính chất của Bất đẳng thức . Các Bất đẳng thức thờng dùng . Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức . Các HĐ thức 3- Bài tập mẫu Bài 1 Chứng minh rằng : x 2 +2y 2 +2z 2 2xy +2yz+2z-1 (*) Giải (*) x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy -2yz-2z +1 0 (x 2 -2xy+y 2 )+(y 2 -2yz+z 2 )+(z 2 -2z+1) (x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-1) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh . Bài 2 : chứng minh Bất đẳng thức : (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) Giải : (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) - (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) 0 a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 -a 12 a 8 b 4 - a 4 b 8 -b 12 0 ( a 10 b 2 a 8 b 4 ) +( a 2 b 10 - a 4 b 8 0 a 8 b 2 (a 2 -b 2 ) a 2 b 8 (a 2 -b 2 ) 0 Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs a 2 b 2 (a 2 -b 2 )( a 2 -b 2 )(a 4 +a 2 b 2 +b 4 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 +a 2 b 2 +b 4 ) 0 đúng với mọi a, b Dấu "=" xảy ra khi a 2 =b2 a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0 Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh . *-Nhận xét từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự : Cho 0 a b Chứng minh Bất đẳng thức : (a 5 +b 5 ) (a+b) (a 2 +b 2 ) (a 4 +b 4 ) Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức a) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 b) Cho a c 0 và b c chứng minh )( cac + )( cbc ab Giải : a) Nhận xét : ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 0 (x 2 -7x +6)(x 2 -7x+12)+9 0 (x 2 -7x +6)(x 2 -7x+6+6)+9 0 (x 2 -7x +6) 2 +6(x 2 -7x+6) +9 0 (x 2 -7x +9) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 Dấu "=" xảy ra khi x 2 -7x +9 =0 x= 2 137 b ) )( cac + )( cbc ab ( )( cac + )( cbc ) 2 ( ab ) 2 c(a-c)+c(b-c) +2 )( cac )( cbc ab c 2 +2c )( ca )( cb +(a-c)(b-c) 0 ( c- )( ca )( cb ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b ,c thoả mãn điều kiện của đề bài vậy )( cac + )( cbc ab với a c 0 và b c Bài 4 Chứng minh Bất đẳng thức : ab 3 + cb 3 + ac 3 4 ( ba + 1 + bc + 1 + ca + 1 ) 2 . biết a,b,c >0 Giải : Ta có ab 1 + cb 1 + ac 1 = abc cba )( ++ . Do a,b,c >0 và (a+b)(b+c)(c+a) 8abc ab 1 + cb 1 + ac 1 ))()(( ).(8 accbba cba +++ ++ Hay ab 1 + cb 1 + ac 1 ))()(( )(4)(4)(4 accbba accbba +++ +++++ 2( ab 1 + cb 1 + ac 1 ) ))(( 8 cbca ++ + ))(( 8 caba ++ + ))(( 8 cbba ++ (1) Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Mặt khác ta có (a+b) 2 4ab ab 1 2 )( 4 ba + tơng tự ta có cb 1 2 )( 4 bc + và ac 1 2 )( 4 ca + suy ra ab 1 + cb 1 + ac 1 2 )( 4 ba + + 2 )( 4 bc + + 2 )( 4 ca + (2) Trong ( 2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Từ (1) và (2) Ta có ab 3 + cb 3 + ac 3 4 ( ba + 1 + bc + 1 + ca + 1 ) 2 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Nhận xét để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh . Sau đây là một ví dụ nữa kiểu nh vậy . Bài 5 : Cho 0 < a ,b , c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau : 1 1 33 ++ ba + 1 1 33 ++ bc + 1 1 33 ++ ca 1 Giải : Do 0 a b c (a-b) 2 (a+b) 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b (a-b)(a+b)(a-b) 0 (a 2 -b 2 )(a-b) 0 a 3 -a 2 b-ab 2 +b 3 0 a 3 +b 3 a 2 b+ab 2 a 3 +b 3 +1 a 2 b+ab 2 +abc a 3 +b 3 +1 (a+b+c)ab 1 1 33 ++ ba )( 1 cbaab ++ = )( cba c ++ (do abc= 1 c ab = 1 ) suy ra 1 1 33 ++ ba )( cba c ++ Tơng tự ta có 1 1 33 ++ bc )( cba a ++ Dấu "=" xảy ra khi b=c và 1 1 33 ++ ca )( cba b ++ Dấu "=" xảy ra khi a=c Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc : 1 1 33 ++ ba + 1 1 33 ++ bc + 1 1 33 ++ ca 1 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1 4-Bài tập áp dụng : Bài 1: Cho 0 x,y,z 1 chứng minh : A) 0 x+y+z xy-yz-zx 1 B) x 2 +y 2 +z 2 1+x 2 y +y 2 z +z 2 x C) 1 + yz x + 1 + xz y + 1 + yx z 2 Bài 2 Cho a, b ,c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 . Chứng minh rằng : a 2 +b 2 +c 2 +2abc < 2 Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Bài 3 : Chứng minh với mọi x, y > 2 ta có : x 4 x 3 y +x 2 y 2 xy 3 +y 4 >x 2 +y 2 Bài 4 Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1] .Chứng minh : 1- a 2 +b 2 +c 2 1+ a 2 b +b 2 c +c 2 a 2- 2(a 3 +b 3 +c 3 ) (a 2 b+b 2 c+c 2 a) 3 3- 1 + bc a + + + 1ac b 1 + ba c 2 III-ph ơng pháp 3 : Dùng tính chất của tỉ số 1- Nội dung phơng pháp : Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở nên rất nhanh và gọn . 2- Kiến thức cần vận dụng : - Với ba số dơng a,b.c Nếu b a 1 Thì b a cb ca + + Dấu "=" xảy ra khi a=b Nếu b a 1 Thì b a cb ca + + Dấu "=" xảy ra khi a=b -Nếu b ,d >0 và b a d c b a db ca + + d c Dấu "=" xảy ra khi ad=bc 3- Bài tập Mẫu : Bài 1 : Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác : Chứng minh rằng :1< cb a + + ca b + + ab c + <2 Do a ,b ,c là ba cạnh của tam giác nên ta có : a,b ,c >0 và a+b > c ; b+c > a Và c+a >b . Từ a+b > c ba c + < 1 ba c + < cba cc ++ + = cba c ++ 2 ba c + < cba c ++ 2 Chứng minh tơng tự ta có : ca b + < cba b ++ 2 và bc a + < cba a ++ 2 Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc cb a + + ca b + + ab c + < cba a ++ 2 + cba b ++ 2 + cba c ++ 2 = 2 - Ta có cb a + + ca b + + ab c + > cba a ++ + cba b ++ + cba c ++ =1 Do a,b ,c dơng Vậy 1< cb a + + ca b + + ab c + < 2 (đfcm) Nhận xét : ở đây ta đã sử dụng tính chất : - Với ba số dơng a,b,c Nếu b a 1 Thì b a cb ca + + Dấu "=" xảy ra khi a=b Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Bài 2 Chứng minh rằng n n bbb aaa +++ +++ . 21 21 Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và gí trị lớn nhất của ( 1 1 b a , 2 2 b a , , n n b a ) ở đó b i là các số dơng i=1,2, ,n Giải : Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của ( 1 1 b a , 2 2 b a , , n n b a ) thứ tự là m và M Khi đó ta có m i i b a M với mọi i=1,2,,n mb i a i b i .M Do b i >0 với mọi i=1,2,,n Lần lợt cho i+ 1,2, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc : m( b 1 +b 2 ++b n ) < a 1 +a 2 ++a n < M( b 1 +b 2 ++b n ) m < n n bbb aaa +++ +++ . 21 21 < M Do ( b 1 +b 2 ++b n ) >0 (đfcm) Bài 3 : Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng : 2 1 ( 1 + a a + 1 + b b ) < 1 ++ + ba ba < 1 + a a + 1 + b b Giải : Ta chứng minh 2 1 ( 1 + a a + 1 + b b ) < 1 ++ + ba ba Do a > 0 ta có 1 + a a < 1 1 + a a < 1 ++ + ba ba Tơng tự ta có : 1 + b b < 1 ++ + ba ba Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối ta đợc : ( 1 + a a + 1 + b b ) < 2 1 ++ + ba ba 2 1 ( 1 + a a + 1 + b b ) < 1 ++ + ba ba (1) *) Ta chứng minh 1 ++ + ba ba < 1 + a a + 1 + b b Do a , b dơng ta có 1 + a a > 1 ++ ba a và 1 + b b > 1 ++ ba a Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức này ta đợc : 1 ++ + ba ba < 1 + a a + 1 + b b (2) Từ (1) Và ( 2) Ta đợc : 2 1 ( 1 + a a + 1 + b b ) < 1 ++ + ba ba < 1 + a a + 1 + b b 4- Bài tập áp dụng : Bài 1 Chứng minh rằng 3 2 < 2005 .753 2004 .642 ++++ ++++ < 2005 2004 Bài 2 Cho a, b là các số dơng thoả mãn ab=1 chứng minh rằng : 22 1 + a + 22 1 + b < ba ba ++ + 1 < 1 1 + a + 1 1 + b Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Bài 3 Cho y x b a n m chứng minh rằng y x nba max 20052004 20052004 ++ ++ n m IV Ph ơng pháp 4 Phơng pháp phản chứng : 1- Nội dung phơng pháp Để chứng minh A B ta giả sử phản chứng A<B rồi điều vô lý với giả thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A B là đúng . 2- Kiến thức cần nhớ : Các tính chất của Bất đẳng thức . Các Bất đẳng thức có sẵn . Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức . Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức . 3- Bài tập mẫu : Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh rằng có ít nhất một trong các Bất đẳng thức sau sai : a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a) > 0,25 Giải : Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a) > 0,25 đều đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1) Mặt khác ta có a(1-a) = a - a 2 = 0,25 (a 2 2 .a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 ( a-0,5 ) 2 0,25 a(1-a) 0.25 Tơng tự ta có b(1-b) 0,25 và c(1-c) 0,25 Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc: a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25 3 (2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điều giả sử là sai suy ra : trong các Bất đẳng thức sau : a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai . Bài 2 :Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức sau : x < zy , zxy < , xyz < Giải : Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng thức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có : : x < zy x 2 < (y-z ) 2 x 2 -(y-z ) 2 <0 (x-y+z)(x+y-z) < 0 Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0 Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc : [(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)] 2 <0 vô lý . Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức : x < zy , zxy < , xyz < Bài 3 : Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện > >++ >++ 0 0 0 abc cabcab cba Hãy chứng minh rằng : a,b,c > 0 (*) Giải : Giả sử (*) không đúng có ít nhất một trong các số a,b,c phải 0 Không mất tình tổng quát giả sử a 0 . do abc >0 bc <0 [...]... các Bất đẳng thức sau : a) 2n+2 >2n+5 n 1 , N n b) [(n+1)!]n 2!.4!.(2n)! n , N* n Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs c) (2n)! < 22n(n!)2 n , N* n VI-Phơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức trong tam giác : 1- Nội dùng phơng pháp Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của Bất đẳng thức ta phải sử dụng. .. kiến thức cần nhớ: - Bất đẳng thức Côsi - Bất đẳng thức Bunhiacốpky - Bất đẳng thức Trebsep - Một số bất đẳng thức khác Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs - Các kỹ năng biến đổi tơng đơng, biến đổi đồng nhất 3-Bái tập mẫu: Bài 1: Giải phơng trình: 3 x 2 +6 x + 7 + 5 x 2 +10 x +14 = 4 - 2x -x 2 Nhận xét: Thông thờng khi giải dạng bài tập có căn thức ta thờng làm mất căn thức bằng cách sử dụng. .. +Đqt Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs 10 Phơng pháp giải Bất đẳng thức Trần văn thơng 11 Phơng pháp giải 35, 36 bộ đế thi vào câp II và BDHSG Võ đại mau 12 Những bài toán hay và khó Nguyễn đễ 13 Các đề thi vô địch 19 nớc Nguyễn Đễ Mục lục STT Tên mục Trang 1 A phần mở đầu 1 2 I- Lý do chọn đề tài 1 3 Mục đích nghiên cứu : 2 4 B-Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức 3 5 Một số Bất đẳng thức. .. thông thờng ta chọn n0 =0 hoặc 1) Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với k Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với k+1 Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi 2- Kiến thức cần vân dụng : Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Các tình chất của Bất đẳng thức : Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức 3 Bài tập mẫu : Bài 1 : Chứng minh rằng : a) [(a+b):2]n (an+bn):2 với a+b 0 và N n b) a... minh Bất đẳng Nguyễn vũ thanh thức 2 500 bài toán chọn lọc về Bất đẳng thức (Tập I) Phan huy khải 3 500 bài toán chọn lọc về Bất đẳng thức (Tập II) Phan huy khải 4 Phơng pháp tìm GTNN và GTLN Phan huy khải 5 Các bài toán chọn lọc về Bất đẳng thức Vũ hoàng lân 6 Tuyển tập 180 bài toán Bất đẳng thức Võ đại mau 7 250 bài toán đại số Võ đại mau 8 Một số vấn đề phát triển toàn 8 VHB + TH +Đqt 9 Một số vấn đề. .. 2 trong đó N* , n ak = + + + n Bài 4 : Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có: 1 2 < 1 n +1 + 1 n+2 + + 1 n+n < 3 4 VIII- Phơng pháp 8 Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy 1 _ Kiến thức cơ bản Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b 0 : a+b ab 2 Dấu "=" xảy ra khi a=b - Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1 , a2 , , an 2 3 k + Sử dụng bất đẳng thức trong. .. < )2 a + xk Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Đúng do giả thiết quy nạp Bất đẳng thức đúng với n = k+1 + Vậy a + a + + a n , dau < 1 + 4a + 1 2 a 0 Bài 2 : cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông , c là độ dài cậnh huyền của tam giác đó chứng minh rằng : b2n+a2n c2n Giải : + Với 1 theo định lí Pithago ta có b2+a2 = c2 Bất đẳng thức đúng + Giả sử Bất đẳng thức đúng với... Bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những Bất đẳng thức tổng quát Thông thờng để chứng minh các Bất đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp chứng ta thực hiện các bớc sau ; Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với n0 nào đo ( thông thờng ta chọn n0 =0 hoặc 1) Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với k Bớc 3 ta chứng minh Bất. .. Bất đẳng thức giáo viên cần định hớng cho học sinh tổng quát hoá Bất đẳng thức vừa chứng minh nếu làm tốt đợc việc này sẽ không chỉ làm đẹp và phong phú Bất đẳng thức mà còn đem lại những ứng dụng không nhỏ Giúp học sinh có vốn kiến thức rộng về Bất đẳng thức tạo điều kiện cho việc học toán nói chung và Bất đẳng thức nói riêng Sau đây là một ví dụ để chứng minh điều đó : Chúng ta bắt đầu từ một Bất. .. Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Bây giờ ta kêt hợp các Bất đẳng thức (2) ;(6) ;(7) ta đợc Bất đẳng thức tổng quát sau : a k + bk a +b k ( ) (8) a,b 2 2 ; R a,b với a+b 0 , Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 nếu n lẻ ;a=b nếu n chẵn a, b bất kỳ nếu 1 bài tập áp dụng : Bài 1 -Cho ba số dơng a,b,c và số nguyên k chứng minh rằng : 3 b k c k ) +( ) k (*) a +c b +a 2 2a k 2b k 2c k ) +( ) +( ) 3 Giải . Bất đẳng thức đúng với mọi 2- Kiến thức cần vân dụng : Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs Các tình chất của Bất đẳng thức : Kỹ năng biến đổi đẳng. tính chất của Bất đẳng thức . Các Bất đẳng thức có sẵn . Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức . Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức . 3- Bài