Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 1z MC LC § 0. GI I THIU 2 § 1. NH C LI MT S KIN THC I S T HP . 3 I. CH NH HP LP .3 II. CH NH HP KHÔNG LP .3 III. HOÁN V  3 IV. T  HP .3 § 2. PH NG PHÁP SINH (GENERATE) 5 I. SINH CÁC DÃY NH  PHÂN  DÀI N .6 II. LI T KÊ CÁC TP CON K PHN T 7 III. LI T KÊ CÁC HOÁN V .9 § 3. THU T TOÁN QUAY LUI . 12 I. LI T KÊ CÁC DÃY NH PHÂN  DÀI N .13 II. LI T KÊ CÁC TP CON K PHN T 14 III. LI T KÊ CÁC CHNH HP KHÔNG LP CHP K 15 IV. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH S  .16 V. BÀI TOÁN X P HU .18 § 4. K  THUT NHÁNH CN 22 I. BÀI TOÁN T I U 22 II. S  BÙNG N T HP .22 III. MÔ HÌNH K  THUT NHÁNH CN .22 IV. BÀI TOÁN NG I DU LCH .23 V. DÃY ABC 25 Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 2z § 0. GII THIU Trong thc t, có mt s bài toán yêu cu ch rõ: trong mt tp các đi tng cho trc có bao nhiêu đi tng tho mãn nhng điu kin nht đnh. Bài toán đó gi là bài toán đm cu hình t hp. Trong lp các bài toán đm, có nhng bài toán còn yêu cu ch rõ nhng cu hình tìm đc tho mãn điu kin đã cho là nhng cu hình nào. Bài toán yêu cu đa ra danh sách các cu hình có th có gi là bài toán lit kê t hp.  gii bài toán lit kê, cn phi xác đnh đc mt thut toán đ có th theo đó ln lt xây dng đc tt c các cu hình đang quan tâm. Có nhiu phng pháp lit kê, nhng chúng cn phi đáp ng đc hai yêu cu di đây: • Không đc lp li mt cu hình • Không đc b sót mt cu hình Có th nói rng, phng pháp lit kê là phng k cui cùng đ gii đc mt s bài toán t hp hin nay. Khó khn chính ca phng pháp này chính là s bùng n t hp.  xây dng 1 t cu hình (con s này không phi là ln đi vi các bài toán t hp - Ví d lit kê các cách xp n≥13 ngi quanh mt bàn tròn) và gi thit rng mi thao tác xây dng mt khong 1 giây, ta phi mt quãng 31 nm mi gii xong. Tuy nhiên cùng vi s phát trin ca máy tính đin t, bng phng pháp lit kê, nhiu bài toán t hp đã tìm thy li gii. Qua đó, ta cng nên bit rng ch nên dùng phng pháp lit kê khi không còn mt phng pháp nào khác tìm ra li gii. Chính nhng n lc gii quyt các bài toán thc t không dùng phng pháp lit kê đã thúc đy s phát trin ca nhiu ngành toán hc. Cui cùng, nhng tên gi sau đây, tuy v ngha không phi đng nht, nhng trong mt s trng hp ngi ta có th dùng ln ngha ca nhau đc. ó là: • Phng pháp lit kê • Phng pháp vét cn trên tp phng án • Phng pháp duyt toàn b Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 3z § 1. NHC LI MT S KIN THC I S T HP Cho S là mt tp hu hn gm n phn t và k là mt s t nhiên. Gi X là tp các s nguyên dng t 1 đn k: X = {1, 2, ., k} I. CHNH HP LP Mi ánh x f: X → S. Cho tng ng vi mi i ∈ X, mt và ch mt phn t f(i) ∈ S. c gi là mt chnh hp lp chp k ca S. Nhng do X là tp hu hn (k phn t) nên ánh x f có th xác đnh qua bng các giá tr f(1), f(2), ., f(k). Ví d: S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. Mt ánh x f có th cho nh sau: i 123 f(i) E C E Nên ngi ta đng nht f vi dãy giá tr (f(1), f(2), ., f(k)) và coi dãy giá tr này cng là mt chnh hp lp chp k ca S. Nh ví d trên (E, C, E) là mt chnh hp lp chp 3 ca S. D dàng chng minh đc kt qu sau bng quy np hoc bng phng pháp đánh giá kh nng la chn: S chnh hp lp chp k ca tp gm n phn t: k k n nA = II. CHNH HP KHÔNG LP Khi f là đn ánh có ngha là vi ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói mt cách d hiu, khi dãy giá tr f(1), f(2), ., f(k) gm các phn t thuc S khác nhau đôi mt thì f đc gi là mt chnh hp không lp chp k ca S. Ví d mt chnh hp không lp (C, A, E): i 123 f(i) C A E S chnh hp không lp chp k ca tp gm n phn t: )!kn( !n )1kn) .(2n)(1n(nA k n − =+−−−= III. HOÁN V Khi k = n. Mt chnh hp không lp chp n ca S đc gi là mt hoán v các phn t ca S. Ví d: mt hoán v: (A, D, C, E, B, F) ca S = {A, B, C, D, E, F} i123456 f(i) A D C E B F  ý rng khi k = n thì s phn t ca tp X = {1, 2, , n} đúng bng s phn t ca S. Do tính cht đôi mt khác nhau nên dãy f(1), f(2), ., f(n) s lit kê đc ht các phn t trong S. Nh vy f là toàn ánh. Mt khác do gi thit f là chnh hp không lp nên f là đn ánh. Ta có tng ng 1-1 gia các phn t ca X và S, do đó f là song ánh. Vy nên ta có th đnh ngha mt hoán v ca S là mt song ánh gia {1, 2, ., n} và S. S hoán v ca tp gm n phn t = s chnh hp không lp chp n: !nP n = IV. T HP Mt tp con gm k phn t ca S đc gi là mt t hp chp k ca S. Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 4z Ly mt tp con k phn t ca S, xét tt c k! hoán v ca tp con này. D thy rng các hoán v đó là các chnh hp không lp chp k ca S. Ví d ly tp {A, B, C} là tp con ca tp S trong ví d trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), . là các chnh hp không lp chp 3 ca S. iu đó tc là khi lit kê tt c các chnh hp không lp chp k thì mi t hp chp k s đc tính k! ln. Vy: S t hp chp k ca tp gm n phn t: )!kn(!k !n !k A C k n k n − == S tp con ca tp n phn t: nnn n 1 n 0 n 2)11(C .CC =+=+++ Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 5z § 2. PHNG PHÁP SINH (GENERATE) Phng pháp sinh có th áp dng đ gii bài toán lit kê t hp đt ra nu nh hai điu kin sau tho mãn: 1. Có th xác đnh đc mt th t trên tp các cu hình t hp cn lit kê. T đó có th xác đnh đc cu hình đu tiên và cu hình cui cùng trong th t đã xác đnh 2. Xây dng đc thut toán t cu hình cha phi cu hình cui, sinh ra đc cu hình k tip nó. Phng pháp sinh có th mô t nh sau: <Xây dng cu hình đu tiên>; repeat <a ra cu hình đang có>; <T cu hình đang có sinh ra cu hình k tip nu còn>; until <ht cu hình>; Th t t đin Trên các kiu d liu đn gin chun, ngi ta thng nói ti khái nim th t. Ví d trên kiu s thì có quan h: 1 < 2; 2 < 3; 3 < 10; ., trên kiu ký t Char thì cng có quan h 'A' < 'B'; 'C' < 'c' . Xét quan h th t toàn phn "nh hn hoc bng" ký hiu "≤" trên mt tp hp S, là quan h hai ngôi tho mãn bn tính cht: Vi ∀a, b, c ∈ S • Tính ph bin: Hoc là a ≤ b, hoc b ≤ a; • Tính phn x: a ≤ a • Tính phn đi xng: Nu a ≤ b và b ≤ a thì bt buc a = b. • Tính bc cu: Nu có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c. Trong trng hp a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hiu "<" cho gn, (ta ngm hiu các ký hiu nh ≥, >, khi phi đnh ngha) Ví d nh quan h "≤" trên các s nguyên cng nh trên các kiu vô hng, lit kê là quan h th t toàn phn. Trên các dãy hu hn, ngi ta cng xác đnh mt quan h th t: Xét a = (a 1 , a 2 , ., a n ) và b = (b 1 , b 2 , ., b n ); trên các phn t ca a 1 , ., a n , b 1 , ., b n đã có quan h th t "≤". Khi đó a ≤ b nu nh • Hoc a i = b i vi ∀i: 1 ≤ i ≤ n. • Hoc tn ti mt s nguyên dng k: 1 ≤ k < n đ: a 1 = b 1 a 2 = b 2 . a k-1 = b k-1 a k = b k a k+1 < b k+1 Trong trng hp này, ta có th vit a < b. Th t đó gi là th t t đin trên các dãy đ dài n. Khi đ dài hai dãy a và b không bng nhau, ngi ta cng xác đnh đc th t t đin. Bng cách thêm vào cui dãy a hoc dãy b nhng phn t đc bit gi là phn t ∅ đ đ dài ca a và b bng Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 6z nhau, và coi nhng phn t ∅ này nh hn tt c các phn t khác, ta li đa v xác đnh th t t đin ca hai dãy cùng đ dài. Ví d: • (1, 2, 3, 4) < (5, 6) • (a, b, c) < (a, b, c, d) • 'calculator' < 'computer' I. SINH CÁC DÃY NH PHÂN Đ DÀI N Mt dãy nh phân đ dài n là mt dãy x = x 1 x 2 .x n trong đó x i ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n). D thy: mt dãy nh phân x đ dài n là biu din nh phân ca mt giá tr nguyên p(x) nào đó nm trong đon [0, 2 n - 1]. S các dãy nh phân đ dài n = s các s nguyên ∈ [0, 2 n - 1] = 2 n . Ta s lp chng trình lit kê các dãy nh phân theo th t t đin có ngha là s lit kê ln lt các dãy nh phân biu din các s nguyên theo th t 0, 1, ., 2 n -1. Ví d: Khi n = 3, các dãy nh phân đ dài 3 đc lit kê nh sau: p(x)01234567 x 000 001 010 011 100 101 110 111 Nh vy dãy đu tiên s là 00 .0 và dãy cui cùng s là 11 .1. Nhn xét rng nu dãy x = (x 1 , x 2 , ., x n ) là dãy đang có và không phi dãy cui cùng thì dãy k tip s nhn đc bng cách cng thêm 1 ( theo c s 2 có nh) vào dãy hin ti. Ví d khi n = 8: Dãy đang có: 10010000 Dãy đang có: 10010111 cng thêm 1: + 1 cng thêm 1: + 1   Dãy mi: 10010001 Dãy mi: 10011000 Nh vy k thut sinh cu hình k tip t cu hình hin ti có th mô t nh sau: Xét t cui dãy v đu (xét t hàng đn v lên), gp s 0 đu tiên thì thay nó bng s 1 và đt tt c các phn t phía sau v trí đó bng 0. i := n; while (i > 0) and (x i = 1) do i := i - 1; if i > 0 then begin x i := 1; for j := i + 1 to n do x j := 0; end; D liu vào (Input): nhp t file vn bn BSTR.INP cha s nguyên dng n ≤ 30 Kt qu ra(Output): ghi ra file vn bn BSTR.OUT các dãy nh phân đ dài n. BSTR.INP BSTR.OUT 3 000 001 010 011 100 101 110 111 PROG02_1.PAS * Thut toán sinh lit kê các dãy nh phân đ dài n program Binary_Strings; const max = 30; Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 7z var x: array[1 max] of Integer; n, i: Integer; begin {nh ngha li thit b nhp/xut chun} Assign(Input, 'BSTR.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'BSTR.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n); FillChar(x, SizeOf(x), 0); {C u hình ban đu x 1 = x 2 = . = x n := 0} repeat {Thu t toán sinh} for i := 1 to n do Write(x[i]); {In ra c u hình hin ti} WriteLn; i := n; {x i là ph n t cui dãy, lùi dn i cho ti khi gp s 0 hoc khi i = 0 thì dng} while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i); if i > 0 then {Ch a gp phi cu hình 11 .1} begin x[i] := 1; {Thay x i b ng s 1} FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0); {t x i + 1 = x i + 2 = . = x n := 0} end; until i = 0; {ã ht cu hình} {óng thit b nhp xut chun, thc ra không cn vì BP s t đng đóng Input và Output trc khi thoát chng trình} Close(Input); Close(Output); end. II. LIT KÊ CÁC TP CON K PHN T Ta s lp chng trình lit kê các tp con k phn t ca tp {1, 2, ., n} theo th t t đin Ví d: vi n = 5, k = 3, ta phi lit kê đ 10 tp con: 1.{1, 2, 3} 2.{1, 2, 4} 3.{1, 2, 5} 4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5} 6.{1, 4, 5} 7.{2, 3, 4} 8.{2, 3, 5} 9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5} Nh vy tp con đu tiên (cu hình khi to) là {1, 2, ., k}. Cu hình kt thúc là {n - k + 1, n - k + 2, ., n}. Nhn xét: Ta s in ra tp con bng cách in ra ln lt các phn t ca nó theo th t tng dn. T đó, ta có nhn xét nu x = {x 1 , x 2 , ., x k } và x 1 < x 2 < . < x k thì gii hn trên (giá tr ln nht có th nhn) ca x k là n, ca x k-1 là n - 1, ca x k-2 là n - 2 . C th: gii hn trên ca x i = n - k + i; Còn tt nhiên, gii hn di ca x i (giá tr nh nht x i có th nhn) là x i-1 + 1. Nh vy nu ta đang có mt dãy x đi din cho mt tp con, nu x là cu hình kt thúc có ngha là tt c các phn t trong x đu đã đt ti gii hn trên thì quá trình sinh kt thúc, nu không thì ta phi sinh ra mt dãy x mi tng dn tho mãn va đ ln hn dãy c theo ngha không có mt tp con k phn t nào chen gia chúng khi sp th t t đin. Ví d: n = 9, k = 6. Cu hình đang có x = {1, 2, 6, 7, 8, 9}. Các phn t x 3 đn x 6 đã đt ti gii hn trên nên đ sinh cu hình mi ta không th sinh bng cách tng mt phn t trong s các x 6 , x 5 , x 4 , x 3 lên đc, ta phi tng x 2 = 2 lên thành x 2 = 3. c cu hình mi là x = {1, 3, 6, 7, 8, 9}. Cu hình này đã tho mãn ln hn cu hình trc nhng cha tho mãn tính cht va đ ln mun vy ta li thay x 3 , x 4 , x 5 , x 6 bng các gii hn di ca nó. Tc là: • x 3 := x 2 + 1 = 4 • x 4 := x 3 + 1 = 5 • x 5 := x 4 + 1 = 6 • x 6 := x 5 + 1 = 7 Ta đc cu hình mi x = {1, 3, 4, 5, 6, 7} là cu hình k tip. Nu mun tìm tip, ta li nhn thy rng x 6 = 7 cha đt gii hn trên, nh vy ch cn tng x 6 lên 1 là đc x = {1, 3, 4, 5, 6, 8}. Vy k thut sinh tp con k tip t tp đã có x có th xây dng nh sau: Bài toán lit kê Lê Minh Hoàng { 8z • Tìm t cui dãy lên đu cho ti khi gp mt phn t x i cha đt gii hn trên n - k + i. i := n; while (i > 0) and (x i = n - k + i) do i := i - 1; (1, 2, 6, 7, 8, 9); • Nu tìm thy: if i > 0 then ♦ Tng x i đó lên 1. x i := x i + 1; (1, 3, 6, 7, 8, 9) ♦ t tt c các phn t phía sau x i bng gii hn di: for j := i + 1 to k do x j := x j-1 + 1; (1, 3, 4, 5, 6, 7) Input: file vn bn SUBSET.INP cha hai s nguyên dng n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 30) cách nhau ít nht mt du cách Output: file vn bn SUBSET.OUT các tp con k phn t ca tp {1, 2, ., n} SUBSET.INP SUBSET.OUT 5 3 {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 2, 5} {1, 3, 4} {1, 3, 5} {1, 4, 5} {2, 3, 4} {2, 3, 5} {2, 4, 5} {3, 4, 5} PROG02_2.PAS * Thut toán sinh lit kê các tp con k phn t program Combinations; const max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n, k, i, j: Integer; begin {nh ngha li thit b nhp/xut chun} Assign(Input, 'SUBSET.INP'); Reset(Input); Assign(Output, 'SUBSET.OUT'); Rewrite(Output); ReadLn(n, k); for i := 1 to k do x[i] := i; {x 1 := 1; x 2 := 2; . ; x 3 := k (C u hình khi to)} Count := 0; {Bi n đm} ――repeat {In ra c u hình hin ti} Write('{'); for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], ', '); WriteLn(x[k], '}'); {Sinh ti p} i := k; {x i là ph n t cui dãy, lùi dn i cho ti khi gp mt x i ch a đt gii hn trên n - k + i} while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i); if i > 0 then― {N u cha lùi đn 0 có ngha là cha phi cu hình kt thúc} ―― begin Inc(x[i]); {Tng x i lên 1, t các phn t đng sau x i b ng gii hn di ca nó} for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1; end; until i = 0; {Lùi đn tn 0 có ngha là tt c các phn t đã đt gii hn trên - ht cu hình} Close(Input); Close(Output); end. [...]... sinh c u hình k ti p cho m i bài toán u n gi n nh trên (Sinh các ch nh h p không l p ch p k theo th t t i n ch ng h n) Ta sang m t chuyên m c sau nói n m t ph ng pháp li t kê có tính ph d ng cao h n, gi i các bài toán li t kê ph c t p h n ó là: Thu t toán quay lui (Back tracking) Lê Minh Hoàng { 12z Bài toán li t kê §3 THU T TOÁN QUAY LUI Thu t toán quay lui dùng gi i bài toán li t kê các c u hình... N KHI TI N HÀNH GI I CÁC BÀI TOÁN TIN H C NH BÀI TOÁN Input → Process → Output (D li u vào → X lý → K t qu ra) Vi c xác nh bài toán t c là ph i xác nh xem ta ph i gi i quy t v n gì?, v i gi thi t nào ã cho và l i gi i c n ph i t nh ng yêu c u nào Khác v i bài toán thu n tuý toán h c ch c n xác nh rõ gi thi t và k t lu n ch không c n xác nh yêu c u v l i gi i, ôi khi nh ng bài toán tin h c ng d ng trong... tích c a các s ó là l n nh t Trên th c t , ta nên xét m t vài tr ng h p c th thông qua ó hi u c bài toán rõ h n và th y c các thao tác c n ph i ti n hành i v i nh ng bài toán n gi n, ôi khi ch c n qua ví d là ta ã có th a v m t bài toán quen thu c gi i II TÌM C U TRÚC D LI U BI U DI N BÀI TOÁN Khi gi i m t bài toán, ta c n ph i nh ngh a t p h p d li u bi u di n tình tr ng c th Vi c l a ch n này tu thu... trong máy tính u c tính b ng ph ng pháp x p x c a gi i tích s Xác nh úng yêu c u bài toán là r t quan tr ng b i nó nh h ng t i cách th c gi i quy t và ch t l ng c a l i gi i M t bài toán th c t th ng cho b i nh ng thông tin khá m h và hình th c, ta ph i phát bi u l i m t cách chính xác và ch t ch hi u úng bài toán Ví d : • Bài toán: M t d án có n ng i tham gia th o lu n, h mu n chia thành các nhóm và... K THU T NHÁNH C N I BÀI TOÁN T I U M t trong nh ng bài toán t ra trong th c t là vi c tìm ra m t nghi m tho mãn m t s i u ki n nào ó, và nghi m ó là t t nh t theo m t ch tiêu c th , nghiên c u l i gi i các l p bài toán t i u thu c v l nh v c quy ho ch toán h c Tuy nhiên c ng c n ph i nói r ng trong nhi u tr ng h p chúng ta ch a th xây d ng m t thu t toán nào th c s h u hi u gi i bài toán, mà cho t i... t nh bài 5 nh ng ch li t kê các t p con có max - min ≤ T (T cho tr c) 7 M t dãy (x1, x2, , xn) g i là m t hoán v hoàn toàn c a t p {1, 2, , n} n u nó là m t hoán v và tho mãn xi ≠ i v i ∀i: 1 ≤ i ≤ n Hãy vi t ch ng trình li t kê t t c các hoán v hoàn toàn c a t p trên (n vào t bàn phím) 8 S a l i th t c in k t qu (PrintResult) trong bài x p h u có th v hình bàn c và các cách t h u ra màn hình 9 Bài. .. Chuy n t t c các bài t p trong bài tr c ang vi t b ng sinh tu n t sang quay lui 11 Xét s giao thông g m n nút giao thông ánh s t 1 t i n và m o n ng n i chúng, m i o n ng n i 2 nút giao thông Hãy nh p d li u v m ng l i giao thông ó, nh p s hi u hai nút giao thông s và d Hãy in ra t t c các cách i t s t i d mà m i cách i không c qua nút giao thông nào quá m t l n Lê Minh Hoàng { 22z Bài toán li t kê... các giá tr nguyên t xi-1 + 1 n n - k + i Qua ó ta có th th y tính ph d ng c a thu t toán quay lui: mô hình cài t có th thích h p cho nhi u bài toán, khác v i ph ng pháp sinh tu n t , v i m i bài toán l i ph i có m t thu t toán sinh k ti p riêng làm cho vi c cài t m i bài m t khác, bên c nh ó, không ph i thu t toán sinh k ti p nào c ng d cài t III LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K li t kê các ch nh... du l ch xu t phát t thành ph 1, mu n i th m t t c các thành ph còn l i m i thành ph úng 1 l n và cu i cùng quay l i thành ph 1 Hãy ch ra cho ng i ó hành trình v i chi phí ít nh t Bài toán ó g i là bài toán ng i du l ch hay bài toán hành trình c a m t th ng gia (Traveling Salesman) Cách gi i ây gi a xi và xi+1: hai thành ph liên 1) Hành trình c n tìm có d ng (x1 = 1, x2, , xn, xn+1 = 1) ti p trong hành... thay bài toán là tìm xâu ít ký t 'B' nh t mà v n vi t ch ng trình t ng t nh trên thì ch ng trình s ch y ch m h n chút ít Lý do: th t c Try trên s th l n l t các giá tr 'A', 'B', r i m i n 'C' Có ngh a ngay trong cách tìm, nó ã ti t ki m s d ng ký t 'C' nh t nên trong ph n l n các b d li u nó nhanh chóng tìm ra l i gi i h n so v i bài toán t ng ng tìm xâu ít ký t 'B' nh t Chính vì v y mà n u nh bài yêu . tho mãn nhng điu kin nht đnh. Bài toán đó gi là bài toán đm cu hình t hp. Trong lp các bài toán đm, có nhng bài toán còn yêu cu ch rõ nhng. cho là nhng cu hình nào. Bài toán yêu cu đa ra danh sách các cu hình có th có gi là bài toán lit kê t hp.  gii bài toán lit kê, cn phi