ơ clít nhà toán học nước ngoài nguyễn minh sang thư viện tư liệu giáo dục

Biết rằng tâm sai của đường Elip là e gần bằng 0,5.. Hãy tính chiều cao của đường hầm đó.[r]

1

3

1.Định nghĩa

2.Phương trình tắc Elip

7 M

F1 F2 x

y

O

(E)

1.ĐỊNH NGHĨA

Cho hai điểm cố định F1F2, với F1F2=2c (c>0)

Đường Elip tập hợp điểm M cho MF1 + MF2 = 2a (a>c)

F1 ’ F2 : tiêu điểm Elip F1F2 : tiêu cự Elip

2.Phương trình tắc Elip

F1 (-c;0) F2 ( c;0)

M

F1 F2 x

y

O

(E) Giả sử M(x;y) (E) 

1

2 2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

M E MF MF a

c x y c x y a

   

9

2.Phương trình tắc Elip

F1 (-c;0)

F2 ( c;0) Giả sử M(x;y) (E) 

        2 2 2 ( ; ) ( ; )

MF c x y MF c x y

MF c x y

MF c x y

                  Ta có Do

 2  2

2 2

1 ( ) ( )

MF  MF    c x   y   c x   y 

M

F1 F2 x

y

O

2.Phương trình tắc Elip

2

1

1 2

4

( )( ) (1)

MF MF cx

MF MF MF MF cx

 

   

Ta lại có: MF1+MF2 =2a (2) Từ (1) (2) ta có:

11

2

cx

MF a

a cx

MF a

a

 

 

M

F1 F2 x

y

O

MF1, MF2 : Bán kính qua tiêu điểm M

2.Phương trình tắc Elip

2.Phương trình tắc Elip

Ta có

   

cx

MF a c x y

a          2 2 cx

hay a x c y

a          

2 2

2

1 c x y a c

a

 

      

13

2.Phương trình tắc Elip

2

2 2

2

a c

x y a c

a

  

     

 

2

2 2 1 ( )

x y

a a c

   



Đặt b2 c2  a2

2

2

( ) x y 1

a b

2.Phương trình tắc Elip

 

2

2 1 0

x y

a b

a  b   

Điểm M(x;y) thỏa

Thì MF1 a cx ; MF2 a cx

a a

   

Do MF1 +MF2 =2a Vậy M thuộc Elip (E)

17 2.Phương trình tắc Elip

 

2

2 1 0

x y

a b

a  b   

Phương trình

là phương trình tắc Elip (E)

M

F1 F2 x

y

M

F1 F2 x

y

O

 

2

2 1 0

x y

a b

a  b   

Elip (E) :

F1(-c;0), F2(c;0): tiêu điểm (E) (c2=a2– b2)

F1F2 = 2c : tiêu cự (E)

1 cx MF a a cx MF a a    

19

Ví dụ 1 2

1 ( )

25

x y

E

 

Ta có : a=5 b=3

Suy c  a2  b2  25 4  Tiêu điểm (E): F1(-4;0), F2(4;0) Tiêu cự (E): F1F2= 2c=8

Bán kính qua tiêu điểm M x y( ; ) ( ): E

1

4

5 ;

5

cx x cx x

MF a MF a

a a

M

F1 F2 x

y

O

25

Ví dụ

Viết phương trình tắc Elip qua

(3 3;2) , (3;2 3)

Phương trình tắc Elip có dạng:

 

2

2 ( )

x y

a b E

a  b   

Ta có

2

27

(3 3;2) ( ) 1(1)

M E

a b

   

2

9 12

(3;2 3) ( ) (2)

N E

a b

27

Từ (1) (2) ta có

2 36 ; 16

a  b 

Vậy phương trình (E):

2

1 36 16

x y

3.HÌNH DẠNG CỦA ELIP

3a) TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ELIP (E)

Cho (E)  

2

2 1 0

x y

a b

a  b   

0

M(x ; ) ( )y  E

Điểm

Hỏi điểm:

có nằm (E) khơng?

1 0 0 0

M (-x ; );M (x ; );M (-x ; )y  y  y

30 M

F1 F2 x

y

O

Kết luận

 

2 2

( ) :E x y 1 a b 0

a  b   

M

F1 F2 x

y

O

3.HÌNH DẠNG CỦA ELIP

32 M

F1 F2 x

y

O

3.HÌNH DẠNG CỦA ELIP

c)Tâm sai Elip (E)

Tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn Elip gọi tâm sai Elip

Kí hiệu : e

c e

a

Ta có : < e <

2

2

1

b a c

e

a a



  

Do

Nếu e bé Elip “béo” Nếu e lớn Elip “gầy”

34

Một đường hầm xuyên qua núi có

chiếu rộng 20m, mặt cắt đường hầm có dạng Elip (Hình 84) Biết tâm sai đường Elip e gần 0,5 Hãy tính chiều cao đường hầm

Giải:

Gọi chiều cao đường hầm b Nữa trục lớn Elip a = 10m

Elip co tiêu cự Chiều cao hầm là:

. 5( ) c a e  m

2 8,7 ( )

36

3d) Elip phép co đường trịn:

3.HÌNH DẠNG CỦA ELIP

Bài tốn

Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) x2 + y2 = a2 số k (0<k<1) Với

Điểm M(x;y) (C), lấy điểm M’(x’;y’) cho x= x’ y’=ky

c) Elip phép co đường trịn:

Giải:

Ta có x = x’; y = y’ Suy x = x’ ; y = y’/k

2 2

( )

M  C  x  y a

38

Đặt b = ka

2

2 1

x y

a  b 

Do M’ thuộc (E) có phương trình

Ta có: 2

2

' '

(*) x y

a b

  

Vậy : Phép co trục hoành theo hệ số k biến đường tròn thành Elip (E)

Tiêu điểm Tiêu cự

Bán kính qua tiêu M thuộc (E)

Trục đối xứng Tâm đối xứng

HCN sở Tâm sai

 

2

2

( ) :E x y a b

40

Tiêu điểm F1 (-c;0) , F2 ( c;0) (c2 = a2 – b2 )

Tiêu cự

Bán kính qua tiêu M thuộc (E)

Trục đối xứng Tâm đối xứng

Tiêu điểm F1 (-c;0) , F2 ( c;0) (c2 = a2 – b2 )

Tiêu cự F1 F2 =2c Bán kính qua tiêu

M thuộc (E) Trục đối xứng

Tâm đối xứng HCN sở

42

Tiêu điểm F1 (-c;0) , F2 ( c;0) (c2 = a2 – b2 )

Tiêu cự F1 F2 =2c Bán kính qua tiêu

M thuộc (E) MFMF1 = a+cx/a

2 = a-cx/a

Trục đối xứng Tâm đối xứng

Tiêu điểm F1 (-c;0) , F2 ( c;0) (c2 = a2 – b2 )

Tiêu cự F1 F2 =2c Bán kính qua tiêu

M thuộc (E) MFMF1 = a+cx/a

2 = a-cx/a

Trục đối xứng Tâm đối xứng

Ox; Oy O(0;0) HCN sở

44

Tiêu điểm F1 (-c;0) , F2 ( c;0) (c2 = a2 – b2 )

Tiêu cự F1 F2 =2c Bán kính qua tiêu

M thuộc (E) MFMF1 = a+cx/a

2 = a-cx/a

Trục đối xứng Tâm đối xứng

Ox; Oy O(0;0)

Tiêu điểm F1 (-c;0) , F2 ( c;0) (c2 = a2 – b2 )

Tiêu cự F1 F2 =2c Bán kính qua tiêu

M thuộc (E) MFMF1 = a+cx/a

2 = a-cx/a

Trục đối xứng Tâm đối xứng

Ox; Oy O(0;0)

HCN sở P(-a;b) Q(a;b) S(-a;-b) R(a;-b)