Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng slide phương pháp số _ bài 03 _trị riêng và véc tơ riêng của ma trận vuông
PHƯƠNG PHÁP SỐ Bài 3. Trị riêng và véc-tơ riêng của ma trận vuông Trị riêng và véc-tơ riêng Trị riêng và véc-tơ riêng 1 1 Phương pháp lũy thừa Phương pháp lũy thừa 2 2 Phương pháp xuống thang Phương pháp xuống thang 3 3 Trường hợp ma trận A xác định dương Trường hợp ma trận A xác định dương 4 4 Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng Tr riêng và véc-t riêngị ơ Định nghĩa: Cho một ma trận vuông A cấp n . Số được gọi là giá trị riêng (eigenvalue) và véc-tơ được gọi là véc-tơ riêng (eigenvector) của A, nếu thỏa mãn điều kiện: hay Lưu ý: Bài toán tìm và gọi là bài toán tìm trị riêng và véc-tơ riêng • Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 3 [ ] 1 1 1 1 1 1 ? m n n p m p n n n n n n n n n n n n A B C A x x E x x E x λ λ × × × × × × × × × × × × × = ⇒ × = = × ⇒ × = × × Tr riêng và véc-t riêngị ơ Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 4 Nhận xét: là hệ phương trình ẩn Hệ phương trình trên có nghiệm tầm thường Nếu thì là nghiệm duy nhất → điều kiện để hệ có nghiệm là . • Tr riêng và véc-t riêngị ơ Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 5 Nhận xét (tiếp): là đa thức bậc của . Phương trình có nghiệm (thực hoặc phức): , là trị riêng của A Tập hợp các trị riêng gọi là phổ và gọi là bán kính phổ của A. • 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λ λ λ − − − = − L L L L L L L Tr riêng và véc-t riêngị ơ Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 6 Định lý: Nếu ma trận A đối xứng thì các trị riêng là thực, các véc-tơ riêng ứng với trị riêng khác nhau là véc-tơ thực, trực giao và độc lập tuyến tính. Trực giao: Độc lập tuyến tính: 1 2 3 1 4 5 , 2 4 6 3 5 6 ij ji x y A a a i j z t = = ∀ 0 i j x x i j× = ∀ ≠ ur uur 1 1 2 2 1 2 0 0 n n n k x k x k x k k k + + + = ⇔ = = = = r r r r L L Tr riêng và véc-t riêngị ơ Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 7 Nhận xét: Có thể tìm trị riêng bằng cách giải phương trình Nhưng nếu lớn thì việc giải phương trình là không khả thi Khi đó, cần dùng phương pháp khác. • Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng Ph ng pháp lũy th aươ ừ Định lý 1: Nếu là véc-tơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng (tức ) thì với mọi , cũng là véc-tơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng (tức ). Chứng minh: • Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A v Av v av A v av α α α λ λ α λ = = = ⇒ = n Ph ng pháp lũy th aươ ừ Định lý 2: Nếu là véc-tơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng (tức ) thì với mọi , cũng là véc-tơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng (tức ). Chứng minh: • Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 3 1 1 1 1 k k k k k k k k k Av v A v A Av A v Av v v A v A A v A v Av v v A v v A v v A A v A v v v A v λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + + = = = = = = = = = = = = = ⇒ = = = = < . PHƯƠNG PHÁP SỐ Bài 3. Trị riêng và véc-tơ riêng của ma trận vuông Trị riêng và véc-tơ riêng Trị riêng và véc-tơ riêng 1 1 Phương pháp lũy thừa Phương. Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 11 Ph ng pháp lũy th aươ ừ Phương pháp số - Bài 4: Trị riêng và véc-tơ riêng 12 Sắp các trị riêng theo