-1- Mẫu 02/MTSK-QLCN CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập-Tự do-Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số: 1.Tên sáng kiến: Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường sử dụng dành cho học sinh lớp 7,8,9 số toán áp dụng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sử dụng số phương phápchứng minh ba điểm thẳng hàng để giải số dạng tập dành cho học sinh lớp 7,8,9 Mô tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừa tượng cao, tính logíc đồng thời mơn tốn cịn môn công cụ hổ trợ cho môn học khác.Với mơn hình học mơn khoa học rèn luyện cho học sinh khả đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt rèn luyện học sinh khá, giỏi Nâng cao lực tự duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt cách tìm lời giải tập tốn mơn hình học có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo mơn hình học phải biết rèn luyện lực tư trừu tượng phán đốn logic Qua năm cơng tác giảng dạy trường tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân người thầy cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách giải Đặc biệt qua năm giảng dạy thực tế trường việc có học sinh giỏi mơn Tốn điều khó, nhiên có nhiều nguyên nhân có khách quan chủ quan Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua số Toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động tư sáng tạo Chính q trình dạy tơi cố gắng dạy cho HS cách định hướng phương pháp giải tập trước dạng Bài toán chứng minh thẳng hàng dạng toán quen thuộc, đề thi học sinh giỏi Nhưng gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ lúng túng Để loại bỏ lúng -2- túng ấy, số năm giảng dạy, tìm hiểu học hỏi tơi đúc kết số hướng để giúp học sinh tiếp cận toán chứng minh thẳng hàng, kèm theo số ví dụ minh họa nhằm để củng cố kiến thức cho HS, nhằm nâng cao kết học tập HS HS giỏi.Sau mong đồng nghiệp tham khảo, góp ý kiến 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: 3.2.1 Mục đích giải pháp: Cung cấp số phương pháp thường sử dụng để chứng minh ba điểm thằng hàng nhằm hướng dẫn giúp HS thuận lợi việc giải toán 3.2.2.Nội dung giải pháp: I PHƢƠNG PHÁP a) Phương pháp sử dụng góc “ bù” ABC b) Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Lớp 7) Cho tam giác ABC vng A D điểm cạnh BC (D khác B,C) Vẽ điểm M cho AB tia phân giác góc DAM, vẽ điểm N cho AC tia phân giác góc DAN Chứng minh ba điểm M,A,N thẳng hàng Ta cóBAD CAD Dó 2 (DAM DAM N e ân M A ND A MD A N1 V a äy b a ñ i e åm M,A,N t h a ún g h a øn g Ví dụ 2( lớp 8) : Cho tam giác ABC vuông A M điểm cạnh BC Gọi D điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng AB, E điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng AC Chứng minh D, A, E thẳng hàng Hướng dẫn giải Ta có M D đối xứng với qua đường thẳng AB => AB đường trung trực đoạn thẳng DM => ABC cân A Nên AB đường phân giác góc DAM Do : D A M Chứng minh tương tự có E A M Mà BAM CAM BAC 90 Do DAEDAMEAM2BAM2CAM Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng  Ví dụ (lớp 9): Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M cung nhỏ BC E, F thứ tự điểm đối xứng M qua AB, AC, gọi H  trực tâm ABC Chứng minh E, H, F thẳng hàng Hƣớng dẫn Giải Gọi B’ giao điểm BH AC; A’ giao điểm AH BC Tứ giác HA’CB’ nội tiếp H1 A'CB' Tứ giác AHBE nội tiếp EHB EAB Tương tự ta có: EHBH1 = ACB ABC BAC 180 EHF 180 a) Phương pháp sử dụng tiên đề Ơ- clit đường thẳng song song Tiên đề Ơclít: Qua điểm đường thẳng kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cho A B b) Một số ví dụ: Ví dụ 3: (lớp 7) Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn giải OA = OC (vì O trung điểm AC) Xét AOD COD có: (hai góc đối đỉnh) AOD COB x B X M OD = OB (vì O trung điểm BD) Vậy AOD = Suy ra: Do DAB AD = BC ( điểm AM) Vậy Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng Ví dụ 4(lớp 8)  Cho ABC nhọn, đường cao AH, BD CE G hình chiếu H AB, BD, CE AC Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng Hƣớng dẫn Giải + Từ (gt) MH //CE MN // ED + Chứng minh tương tự ta có: PQ // ED (2) + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng HAC HAB ta có: AH2=AQ.AC=AM.AB AQ AM  AB AC mà AB  (vì DAB ∽ EAC (g.g)) AQ AM AD AE (định lý Talét đảo) Kết hợp với (1), (2) ta có M, N, Q thẳng hàng M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Do M, N, P, Q thẳng hàng III PHƢƠNG PHÁP hay AQ a) Phương pháp sử dụng tiên đề đường thẳng vng góc Chứng minh hai đường thẳng qua điểm vng góc -6- với đường thẳng cho trước: A B C a b)Một số ví dụ: Ví dụ 5: (lớp 7) Cho ABC, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC Vẽ AH vng góc BC ( H BC) Trên đoạn DE lấy điểm K cho BH = DK chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng BÀI GIẢI Có ADE = ABC (vì AE = AC, AD = AB, D B DE // BC AHB = AKD (vì B= AD, BH= DK, D AKD AK mà AH Ví dụ (lớp 9): Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM b) BC Vẽ hai đườn tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng - Chứng minh AM , PM, QM vng góc BC - AP, AQ tia phân giác góc BAC Hướng dẫn giải HC // DB (cùng vng góc với AD) (2 góc nội tiếp chắn N B1 C1 N -8- Tứ giác AFCN nội tiếp A1 Hay A A (2 góc nội tiếp chắn FNC FNE DE ) mà NC NE thuộc nửa mặt phẳng bờ DN tia NC & NE trùng N, C, E thẳng hàng V PHƢƠNG PHÁP a) Phƣơng pháp sử dụng thuộc đối tượng: Một số phương pháp chứng minh thường sử dụng như:  đoạn thẳng A Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực A thuộc đường trung trực MN B B thuộc đường trung trực MN C N C thuộc đường trung trực MN  Chứng minh ba điểm thuộc tia phân giác góc: BA tia phân giác CA tia phân giác x A y  y Áp dụng đường trung tuyến tam giác phải qua trọng tâm G trọng tâm tam giác ABC AM trung tuyến tam giác ABC => A, B, C thẳng hàng G C B M  Chứng minh đường phân giác tam giác qua giao điểm chung chúng: I giao điểm đường phân B,C giác AD phân giác  D thẳng hàng I C B D -9-  Chứng minh đường cao tam giác qua trực tâm tam giác đó: H trực tâm => A, H, D ba điểm thẳng hàng  Chứng minh đường trung trực cạnh qua giao điểm hai đường trung trực hai cạnh lại: O giao điểm đường trung trực cạnh AC BC EF đường trung trực cạnh AB => E, F,O thẳng hàng  Mỗi đoạn thẳng có trung điểm Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ Là trung điểm BD K’ K A, K, C thẳng hàng b) Một số ví dụ: Ví dụ 8: Cho ba tam giác cân ABC, DBC EBC có chung đáy BC Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng BÀI GIẢI ABC cân A suy AB = AC DBC cân D suy DB = DC D D thuộc đường trung trực BC (2) EBC cân E suy EB = EC E thuộc đường trung trực BC (3) Từ (1), (2), (3) suy ba điểm A, D, E thẳng hàng B C E Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A C cắt I Các đường phân giác góc ngồi đỉnh A C cắt K Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng BÀI GIẢI -10- -Vì K thuộc đường phân giác góc ngồi A nên K cách hai cạnh Ax AC (1) -Vì K thuộc đường phân giác góc ngồi C nên K cách hai cạnh Cy AC (2) Từ (1) vàC(2) suy K cách cạnh Ax Cy Hay K cách hai cạnh BA BC I giao điểm hai tia phân giác A , C nên: BI tia phân giác B (gt) => Ba điểm B, I, K thẳng hàng Ví dụ 10 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng BÀI GIẢI Cách :KẻME BME BM = CN (gt), Do đó: Suy ra: ME = NF Gọi K’ giao điểm BC MN ’ MEK le ME // FN) Vậy MEK’ = Do đó: MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K ’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng Cách Kẻ ME // AC (E Mà ACB Do đó: MB = ME kết hợp với giả th Gọi K’ giao điểm BC MN ΔMEK’ ΔNCK’ có: (so le ME //AC) ' K ME ' K NC ME = CN M (chứng minh trên) B N MEK Do : ΔMEK’ = ΔNCK’ ( Vậy K’ trung điểm MN, m Do ba điểm B,K,C thẳng Lưu ý: Cả hai cách giải đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết sai VI PHƢƠNG PHÁP a) Phƣơng pháp thêm điểm: Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng xác định thêm điểm D khác A, B, C sau chứng minh hai ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng b) Một số ví dụ Ví dụ 11 (lớp 8) Cho hình chữ nhật ABCD có O giao điểm đường chéo Điểm M đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H hình chiếu điểm E BC, vẽ hình chữ nhật EHCF Chứng minh M, H, F thẳng hàng Giải Gọi I giao điểm HF CE H; I; F thẳng hàng Cần chứng minh: M, I, F thẳng hàng MAME (t/c hình chữ nhật) AE(gt) O AO C  OM đường trung bình ACE OM // CE Mà ODC nhật) OCD M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng OCD & ICF IFC -12- Ví dụ 12 (lớp 9) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O) Gọi E giao điểm AB CD Gọi F giao điểm AC BD Các tiếp tuyến với (O) B C cắt M Chứng minh E, M, F thẳng hàng Giải A B K D E M F C Gọi K giao điểm đường tròn (B, D, E) đường trịn (F, D, C), (K khơng trùng D) Ta chứng minh K, E, M thẳng hàng K, F, M thẳng hàng Tứ giác BKDE DKFC nội tiếp (suy từ gt) BKC BKD AED DFC Mặt khác: A E D (sđ B A D C Tứ giác BKCM nội tiếp Mà BCM B E (1) BKM Tương tự ta có: ) CKF CKM tia KF KM trùng K, F, M thẳng hàng Kết hợp với (1) ta có E, M, F thẳng hàng  MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG SƢU TẦM Bài 1: Chứng minh trực tâm tam giác nằm đường thẳng nối hai tiếp điểm hai tiếp tuyến kẻ từ đỉnh đến đường trịn đường kính cạnh nối hai đỉnh cịn lại tam giác (Chinese 1996) Giải Xét ABC có đường cao AF, BD, CE cắt H , kẻ AM AN hai tiếp tuyến A -13- đường trịn (O) đường kính BC (M, N tiếp điểm) M,A,N,F,O thuộc đường tròn đường kính AO AFN ANM ADH ~ AFC, AND ~ ANC AH.AF = AD.AC = AN B (*) C F O AH AN ANH Kết hợp với (*) ta có: + Nếu ABC vng B C H M H N ta có điều phải chứng minh * Việc chứng minh điểm M, H, N thẳng hàng nói đề cập đến nội dung câu 4.b đề thi HSG cấp tỉnh năm 2012 – 2013 tỉnh Vĩnh Phúc Bài 2: Từ điểm D nằm ngồi đường trịn (O) đường kính BC, kẻ hai tiếp tuyến DE DF với (O) (E, F tiếp điểm) Trên đường thẳng EF lấy điểm A A phía ngồi (O) kẻ tiếp tuyến AN với (O) ( N tiếp điểm) Chứng minh D, N, H thẳng hàng (H trực tâm ABC) Giải Kẻ tiếp tuyến AM ( M (O)) Gọi giao điểm AO MN I AN2 = AE.AF E D M B Mà AN = AI.AO ( Hệ thức tam giác vuông) O AE.AF = AI.AO F D,E,I,O,F thuộc đường trịn đường kính OD AIE Mặt khác M,H,N thẳng hàng (Kết tập 1) D,N,H thẳng hàng Bài 3: (đường thẳng Sim sơn) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm tuỳ ý thuộc đường tròn (O) Gọi A1, B1 C1 thứ tự hình chiếu M BC, CA, AB.Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng Giải Khơng tính tổng qt giả sử M Ta có A (Hai góc nội tiếp chắn cung M A1C O (2 góc nội tiếp chắn cung B1C) B1 A B C Mặt khác A C BMCB1MC1 Kết hợp với chứng minh M B A1 C A1, B1, C1 * Đường thẳng chứa ba điểm A1, B1, C1 gọi đường thẳng Simsơn tam giác ABC ứng với điểm M * Nếu M trùng với đỉnh tam giác ABC đường thẳng Simsơn đường cao tương ứng Bài Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với H trực tâm , M điểm tuỳ ý thuộc (O) Chứng minh đường thẳng Sim sơn ứng với điểm M qua trung điểm MH Giải A B2 C2 C M -15- Đường thẳng Sim son tam giác ABC ứng với điểm M đường thẳng qua A1, B1, C1 Lấy điểm B2, C2 đối xứng với M qua AC, AB Ta có A M B A C B (Hai góc nội tiếp chắn cung AB) Mà A M B AC B ( Tính chất đối xứng trục) Và ACB BHD C2HB BHD AC2B C2AB (Hai góc có cạnh tương ứng vng góc) Tứ giác AC2BH nội tiếp ( Hai góc nội tiếp chắn cung BC2) Tương tự ta có: C2; H; B2 thẳng hàng B1C1 đường trung bình tam giác MB2C2 B1C1 qua trung điểm MH Trên định hướng nhằm giúp cho học sinh làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Đồng thời qua giới thiệu số cách chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 6,7,8 số toán tham khảo dành cho học sinh giỏi Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần phân tích kỹ đề để học sinh tìm phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai lập luận quanh co dẫn đến sai lầm đáng tiếc 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau thời gian giảng dạy học hỏi nghiên cứu, thân thấy dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng kiến thức quan trọng tất học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững vấn đề vể lý thuyết hình học từ lớp dẫn dắt phát triển hình thành kỹ chứng minh tốn hình học lên lớp 3.4 Hiệu lợi ích thu đƣợc dự kiến thu đƣợc áp dụng giải pháp: Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều cách lập luận trình bày học sinh từ học sinh lớp ,7 học sinh đầu cấp.Với dạng khơng có quy tắc tổng qt, song sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự, học sinh tự liên hệ được.Từ học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt nhận dạng toán liên quan đến vấn đè chứng minh ba điểm -16- thẳng hàng xoá cảm giác khó phức tạp ban đầu Qua rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy dạng tốn thật phong phú khơng đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học môn Với việc đổi phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực , phát huy tính độc lập học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi chốc lát mà trình , lâu dài bước từ thấp đến cao Mục tiêu cuối hướng dẫn học sinh biết cách giải toán , học toán vận dụng toán học vào môn khác vào thực tế Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy Rất mong nhận góp ý bổ sung chân tình bạn đồng nghiệp để năm học tới tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu nghiệp giáo dục 3.5 Tài liệu kèm theo gồm: không ... trung điểm MH Trên định hướng nhằm giúp cho học sinh làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Đồng thời qua giới thiệu số cách chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 6,7,8 số toán. .. tia NC & NE trùng N, C, E thẳng hàng V PHƢƠNG PHÁP a) Phƣơng pháp sử dụng thuộc đối tượng: Một số phương pháp chứng minh thường sử dụng như:  đoạn thẳng A Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực... số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết sai VI PHƢƠNG PHÁP a) Phƣơng pháp thêm điểm: Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng