Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P)... Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P)..[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỢT - NĂM 2014
Mơn TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I Phần chung cho thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm): Cho hàm số y x 3 3mx1 (Cm). 1. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =
2. Tìm tất giá trị m để (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích ΔIAB
với I(1;1)
Câu II (2,0 điểm):
1 Giải phương trình: 3sinx cosx 2 cos 2x sin 2x0.
2 Giải hệ phương trình:
2 3
2
( , )
2
x x y x y
x y R
x y
.
Câu III (2,0 điểm): Tính tích phân:
2
1
2
ln 1
x x x
I dx
x
Câu IV (2,0 điểm): Cho S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB =a, AD = a 3(a > 0), mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD) vng góc với đáy, SD tạo với (ABCD) góc 600
1 Tính thể tích S.ABCD
2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC
Câu V (2,0 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
2
a b c b c
Tìm giá trị nhỏ
biểu thức: 2
1 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 ) P
a b c a b c
II Phần riêng (3,0 điểm): (Thí sinh làm hai phần: phần A phần B)
Phần A
Câu 1a (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang ABCD với hai đáy AB CD Biết B(3;3), C(5;-3), gọi I giao điểm AC BD Biết I nằm đường thẳng Δ: 2x + y – = 0, CI = 2BI, diện tích tam giác ACB 12, hoành độ I dương hoành độ A âm Tìm tọa độ A D
Câu 2a (1,0 điểm): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; ) mặt phẳng (P): x + y + z + = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với (P) Biết (Q) cắt Ox, Oy M, N cho OM = ON 0.
Câu 3a (1,0 điểm):Tìm hệ số x20 khai triển nhị thức Newton biểu thức
2
1 ( )
n
P x x
x
với n
nguyên dương thỏa mãn: 11 21 22 2100
n n n
n n n
C C C
Phần B
Câu 1b (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác kẻ từ A D
3 2;
2
, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
;1 I
Tìm tọa độ đỉnh B C
Câu 2b (1,0 điểm): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A
1 ;0; 2
, (P): 2x + 2y – z + = mặt cầu
(S): (x1)2(y1)2(z2)2 1 Viết phương trình mp ( ) qua A, vng góc với (P) tiếp xúc với
(2)Câu 3b (1,0 điểm) : Giải hệ phương trình:
2
2
log ( 7) 2.8x 2y 17.2y x
y x
Hết
-ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM – mơn TỐN – THI THỬ ĐỢT 2
Câu Đáp án Điểm
I (2,0 điểm)
Cho hàm số y x 3 3mx1 (Cm).
1 HS tự giải 1đ
2. Tìm tất giá trị m để (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích ΔIAB bằng 2 với I(1;1)
' 3 3 ; ' 0 (1)
y x m y x m
(Cm)có hai điểm cực trị A, B <=> PT (1) có nghiệm phân biệt <=> m > 0 0,25
Khi đó: A m; 2 m m1 , B m m m;2 1 => Ptđt AB: y2mx1 hay
2mx y 1 0
Ta có:
2
2
2
4 , ; ( 0)
4
m m
AB m m d I AB Do m
m m
0,25
1
; 4
2 4 1
4
2 2( )
ABI
m
S AB d I AB m m
m m m
m m m TM
V
0,25
Kết luận: m = 0,25
II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3sinx cosx 2 cos 2x sin 2x0.
Phương trình cho tương đương:
2
3sin 2sin cos cos (1 2sin ) 2sin 3sin cos (1 2sin ) (sin 1)(2sin 1) cos (1 2sin ) (2sin 1)(sin cos 1)
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
0,5
1
sin (1)
2
sin cos (2) x
x x
2
(1) ( )
7
x k
k Z
x k
(3)(2) sin
( )
2
x x k
k Z
x k
0,25
Kết luận: Các họ nghiệm phương trình là:
7
2 ; ; ; ( )
6
x k x k x k x k k Z
2. Giải hệ phương trình:
2 3
2
( , )
2
x x y x y
x y R
x y
.
ĐK: 2 x y x 2 y2 0(*)
0,25
0,25
0,25
0,25 C1: Pt 2x 2 x y x 2 y2 1 <=> 2 x y x 2 y2 1 2x
<=> 2 2
2 (1 )
x
x y x y x
<=> 2
2
5 (2)
x
x x y y
Mặt khác từ 2x3 2y31 => y < x Thế 2 x3 2y3 vào (2) ta được:
2x3 5x23x2y3y2 y2x3 5x23x2(y1)3 5(y1)23(y1) (3)
Do
1 x
từ 2y32x31 =>
5
6 y
Xét hàm số f u( ) 2 u3 5u23u với
5 u
f u'( ) 6 u210u 3 nên hàm f u( ) đồng biến liên tục
5
( ; )
6
, từ (3) <=> x = y +
Thế vào pt: 2x3 2y31 =>
3
3 2( 1) 6
3 y
y y y y
y
-)Với
3 y
=> x >
1 2 (loại)
-)Với
3 3
6
y x
(4)Vậy hệ có nghiệm
3 3 ( ; ) ;
6
x y
C2: Từ đk (*) Khi hệ tương đương
2
3
1
5
2
x
x x y y
x y
3
3 3
2
2 2 5
( 1) (2 3) (2 ) (4)
x x x y y y x x x y y y
x y y y x y y
Tacó:2y2(2y 3)x(2y2 y)x x(2 3y 3)y y(2 1).Do
1
(2 3) 0, (2 1)
y x x x y y y
nên (4) <=> x = y + Thế vào pt
3
2x 2y 1 ta đc nghiệm :
3 3
,
6
x y III
(1,0
điểm) Tính tích phân
2
1
2
ln 1
x x x
I dx
x
Đặt
2
2 2
ln
1 1
dx
u x x du
x x
dv dx
v x
x
0,25
Khi
1
2
0
1 ln 2.ln (1 0) 2.ln
I x x x dx 0,5
(5)IV (1,0 điểm)
E
S
M
A D O a B a C
1. Gọi OACBD Do (SBD) (SAC) vng góc với (ABCD) => SO
(ABCD)
=> SO đường cao hình chóp S.ABCD
OD hình chiếu SD lên (ABCD) =>
0
;( ) 60
SD ABCD SDO
Ta có: AC2 AD2DC2 4a2 AC2aBD2aOD a
=> SO OD tan 600 a
0,25
3
1
3
3
S ABCD ABCD
V S SO a a a a 0,25
2 Gọi M trung điểm SD => SB // OM => SB // (ACM) =>
; ;( ) ;( )
d SB AC d SB ACM d B ACM
Do O trung điểm BD => d B ACM ;( ) d D ACM ;( ) =d
Gọi DE(ABCD OM), DE E (ACM) ( ACE) DE SO a
0,25
2 2 2 2
1 1 1 1 15
3 3
a d d DA DC DE a a a a
Vậy
15 ( ; )
5 a d SB AC
0,25
V (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
2
a b c b c
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
1 1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 ) P
a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
1
(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) P
a b c a b c
Do
2 2
(b c ) 2 b c
nên từ điều kiện ta suy ra:
(6)
2 2
( ) 2 ( )
a b c a b c a b c b c
a
Cũng theo bất đẳng thức Cơ-si ta lại có:
2
2
2
1 (1 )
(1 )(1 ) (2 )
4
a
b c b c
a a
Do đó:
2
2 3
2
(1 ) (1 ) ( 1)
a a a a a
P
a a a
0,25
Xét hàm số:
3
2
( )
( 1)
a a a
f a
a
với a > 0
Ta có:
' '
4
2(5 1)
( ) ; ( )
( 1)
a
f a f a a
a
Lập bảng biến thiên ta có:
1 91 ( )
5 108 Pf a f
0,25
Vậy giá trị nhỏ P
91
108, giá trị đạt
;
5
a b c 0,25
Câu
1a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang ABCD với hai đáy AB CD Biết B(3;3), C(5;-3),gọi I giao điểm AC BD Biết I nằm đường thẳng Δ: 2x + y – = 0, CI = 2BI, diện tích tam giác ACB 12, hoành độ I dương hoành độ A âm Tìm tọa độ A D
A B(3;3) d I
D C(5;-3)
( ;3 )
I V I t t với t > Từ CI = 2BI
2
1
3 5
( ) t
t t
t loai
(1;1)
I
0,25
(1;1) (4; 4) : 0( ') 1.3 1.3
( ; ) 2
2
12 ( ;; ) 24 ABC
I IC IC x y
d B AC
S AC d B AC AC
V
uur
V
0,25
(7)Câu 2a
=>
2 11( )
( 5) 36 ( 1;3)
1 x L x A x A(-1 ;3)
( 1;3) (4;0)
( 2; 2) :
/ / :
A AB
BI BI x y
DC AB DC y
uuur uur
Tọa độ điểm D nghiệm hệ :
0
( 3; 3) x y D y
Vậy A(-1 ;3) D(-3 ;-3)
0,25
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; ) (P): x + y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với (P) Biết (Q) cắt Ox, Oy M, N cho OM = ON 0.
Gọi
2 2
( ) :Q ax by cz d 0 a b c 0 (3; 2;2) ( ) 2 A Q a b c d ( ) ( )Q P a b c
0,25 Gọi ;0;0 ( ) 0, ( ) 0; ;0 d M
M Q Ox a
d
N Q Oy d
N b
OM= ON0
0,25
Do
2
0; d d
d OM ON a b
a b
0,25
-) a = b => c = -2a, d = -1, chọn a = => (Q): x y 2z1 0 -) a = -b, tương tự ta có: (Q): -x + y + =
Vậy có hai mp (Q) là: (Q): x y 2z1 0 (Q): -x + y + =
0,25
Câu
3a Tìm hệ số
20
x khai triển nhị thức Newton biểu thức
2
1 ( )
n
P x x
x
với n nguyên
dương thỏa mãn: 11 21 22 2100
n n n
n n n
C C C
2 1
n n C
;
n
k n k k n
n n n
k
C C C
Ta có:
1 2 100
2 2
0 1 101
2 2 2 101
2
50
n n n
n n n
n n
n n n n
n
C C C
C C C C
n 0,25
Với n = 50
50 50
2 150
50
0
1
( ) k k
k
P x x C x
x 0,25
Số hạng chứa x20 5k150 20 k34 0,25
Vậy hệ số số hạng chứa x20 C5034 0,25
(8)1b
Câu 2b
từ A D
3 2;
2
, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
;1 I
Tìm tọa độ đỉnh B và
C
A
I
B D C IA=
5
E
Gọi đường tròn ngoại tiếp VABC (C) =>
2
2
1 125
( ) : ( 1)
2
C x y
Gọi EAD( )C Do BAECAE E điểm »BC
0,25
AD: x = => Tọa độ E nghiệm hệ :
2
2
1 125
( 1)
(2; 4)
2
2
x y
E x
;E=(2;6) (loai :trùng A)
0,25
(9)E(2;-4) =>
5 ; IE
uur
.BC qua D có vtpt
2
(1; 2) : 5
nr IEuur BC x y
Tọa độ B C nghiệm hệ:
2
2
1 125 (5;0), ( 3; 4) ( 1)
2
(5;0), ( 3; 4)
B C
x y
C B
x y
Kết luận:
(5;0), ( 3; 4) (5;0), ( 3; 4)
B C
C B
0,25
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A
1 ;0; 2
, (P): 2x + 2y – z + = mặt cầu (S):
2 2
(x1) (y1) (z2) 1. Viết PT mp( ) qua A, vng góc với (P) tiếp xúc với (S).
Pt ( ) có dạng : axby cz d 0 (a2b2c2 0) Do
1
( )
2 2
a c A a c d d ( ) ( ) P 2a2b c 0
2 a c
b
0,25
Do ( ) tiếp xúc với mc (S) có tâm I(1;1;-2) có bán kính R =
;( ) 1 4 8 4 5
d I a c a ac c
7a2 4ac 11c2 0
11 a c
a c
0,5
)a c
, chọn c= => a = => d = 0,
1
( ) : 2
b x y z 11
)
7
a c
, chọn c = -7 => ( ) : 22 x 29y14z18 0
0,25
Vậy có hai phương trình mp ( ) :2 x y 2z0 ( ) : 22 x 29y14z18 0
Câu 3b
Giải hệ phương trình:
2
2
log ( 7) 2.8x 2y 17.2y x
y x
ĐK: y + 3x + > Hệ tương đương:
6
2
3 (1) 2.8x y 17.2y x (2)
x y
0,25
Từ (1) y 1 x Thế vào (2): => 2.23x23 3 x 17 (3) 0,25
Đặt 23x t t( 0),(3) trở thành:
2
8
2 17 1
2 t
t t
t
0,25
-
) ( )
1
) ( )
2
t x y TM
t x y TM
(10)Vậy nghiệm hệ
1 ( ; ) (1; 2), ;2
3 x y