BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (Tiết 3) (Tiết 3) KiÓm tra bµi cò Chứng minh các bất đẳng thức sau abba 2.1 ≥+ với mọi a, b không âm với với mọi a, b không âm bcbaca −+−≤− .3 với mọi a, b, c )())(( 2. 2 xyba aybx byax +≥++ Mục tiêu tiết học Qua tiết học học sinh cần: 1. Về kiến thức: - Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm. - Biết bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm. 2. Về kĩ năng: - Biết vận dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm vào việc chứng minh một số bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân a) Đối với hai số không âm: Định lý: Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có ab ba ≥ + 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Nghĩa là: trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng Ta thường gọi là bất đẳng thức Côsi Chứng minh định lí chính là bài 1 bài tập về nhà, ta chỉ cần chia tiếp hai vế cho 2 Ngoài dạng đã nêu ta còn có thể sử dụng BĐT Côsi ở một số dạng khác như: abba 2.1 ≥+ . 4)(.3 2 abba ≥+ 2 2 .2       + ≤ ba ab Hoàn thành hoạt động 2 (SGK) 222 baHBAHAB OD + = + == abHCbaHBAHHC =⇒== 2 Trong hình 4.1, cho AH = a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của a và b A D O H C B 2 ab n nª Do ba CDCH + ≤≤ Chứng minh Hệ quả 1 Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau Ý nghĩa hình học Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. 2 cm1 Hệ quả 2 Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau Ý nghĩa hình học Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất 2 cm1 Hãy chứng minh hệ quả 1? Chứng minh: Đặt S = x + y. Áp dụng bđt cô-si ta có: x y S xy + ≤ = 2 2 Do đó S xy ≤ 2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi S x y= = 2 Vậy tích xy đạt giá trị Max bằng S 2 4 khi và chỉ khi S x y= = 2 Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau Hoàn thành ví dụ 4 (SGK) .6≥ + + + + + b ac a cb c ba b a b c a c a b c b c a b ac a cb c ba +++++= + + + + + :cãTa       ++       ++       += c a a c b c c b a b b a Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thì Chứng minh: 6222 =⋅+⋅+⋅≥ c a a c b c c b a b b a [...]... nhng bt ng thc mi Tỡm hiu thờm v bt ng thc C si AM GM cú rt nhiu cỏch chng minh, trong ú cỏch chng minh bng quy np ca nh toỏn hc li lc ngi Phỏp C si (Augustin Louis Cauchy) oc coi l hay nht Vỡ th nhiu ngi ó lm tng l do C si sỏng to ra Trong cỏc sỏch ca Vit Nam thng hay gi AM GM l BT C si, vỡ th cỏi tờn gi ny ó tr nờn quen thuc vi a s giỏo viờn v hc sinh Vit Nam Bi tp v nh 1 Bi tp s 12, 13 trang... thuc vi a s giỏo viờn v hc sinh Vit Nam Bi tp v nh 1 Bi tp s 12, 13 trang 110 SGK 2 Bi tp phn luyn tp trang 112 SGK 3 Phỏt biu cỏc h qu v ý ngha hỡnh hc ca BT C si cho ba s tng t nh ca BT C si cho hai s 4 S dng BT C si cho hai s chng minh BT C si cho ba s Gii bi 1 Ta cú a + b 2 ab = ( a b )2 0 a + b 2 ab Gii bi 2 Ta cú (ax + by )(bx + ay ) (a + b)2 xy (1) abx 2 + (a 2 + b 2 ) xy + aby 2 (a 2... bt ng thc C si Bt ng thc v trung bỡnh cng v trung bỡnh nhõn cú tờn quc t l AM GM (Arithmetic Means and Geometric Means) AM-GM cú th coi l mt viờn kim cng trong bt ng thc c in Thm chớ cú rt nhiu bi toỏn m ụi khi phng phỏp hin i phi dng chõn thỡ nh mt phộp mu, AM-GM li th hin s kỡ diu ca mỡnh AM - GM l bt ng thc quan trng nht, oc s dng nhiu nht trong chng trỡnh Toỏn THPT v cỏc kỡ thi tuyn sinh i hc,... 3 x 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + với x > 0 là f ( 3) = 2 3 x Vớ d: Chng minh sau ỳng hay sai? 1 1 1 a + 2 a = 2 a + 2, a 0 a a a Sai, vỡ cha cú iu kin a > 0 Bài tập Hóy s dng BT C si cho hai s gii cỏc bi toỏn sau 1 1 1 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng (a + b) + 4 a b 2 2 a b 2 Cho a, b > 0 Chứng minh rằng + a+b b a 3 Cho x [3;6] Tỡm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = ( x + 3)(6 . nhà toán học lỗi lạc người Pháp C si (Augustin Louis Cauchy) đựoc coi là hay nhất. Vì thế nhiều người đã lầm tưởng là do C si sáng tạo ra. Trong các sách. – GM là BĐT C si, vì thế cái tên gọi này đã trở nên quen thuộc với đa số giáo viên và học sinh Việt Nam. Tìm hiểu thêm về bất đẳng thức C si Tìm hiểu thêm