TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I fÂ(x) 0, "x ẻ I b) Neỏu f nghũch bieỏn treõn khoaỷng I thỡ fÂ(x) Ê 0, "x ẻ I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x ẻ I (fÂ(x) = taùi moọt soỏ hửừu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x) Ê 0, "x ẻ I (fÂ(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến treõn I c) Neỏu fÂ(x) = 0, "x ẻ I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y¢ Tìm điểm mà y¢ = y¢ không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 +x4 a) y = - x + x + b) y = d) y = x - x + x - e) y = (4 - x )( x - 1)2 f) y = x - x + x - i) y = g) y = x - 2x2 -1 h) y = - x - x + k) y = 2x -1 x +5 l) y = x + x + 26 n) y = x+2 x -1 2- x o) y = - x + 1- x Trang c) y = x - x + x + x -2 10 10 m) y = - 1- x x - 15 x + p) y = 3x Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = -6 x + x - x - d) y = 2x -1 x b) y = e) y = x2 -1 c) y = x2 - x ỉ p pư g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ìD > ï · x1 < x2 < Û í P > ïỵS < ìD > ï · < x1 < x2 Û í P > ïỵS > · x1 < < x2 Û P < 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: · Tính y¢ · Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: ìa ¹ íD > ỵ (1) Trang Trần Só Tùng Khảo sát hàm số · Biến đổi x1 - x2 = d thaønh ( x1 + x2 )2 - x1 x2 = d (2) · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + x + 13 x2 + 2x - d) y = x +1 b) y = x3 - 3x2 + 9x + e) y = x - sin(3 x + 1) c) y = 2x -1 x+2 x - mx - f) y = x-m Bài Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = -5 x + cot( x - 1) b) y = cos x - x c) y = sin x - cos x - 2 x Bài Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x - 3mx + (m + 2) x - m b) y = d) y = mx + x+m e) y = x mx - 2x +1 c) y = x+m x-m x - mx - x-m f) y = x - mx + 3m x - 2m Bài Tìm m để hàm số: a) y = x + x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài b) y = x - mx + 2mx - 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = - x + (m - 1) x + (m + 3) x - đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x - (m + 1) x + đồng biến khoảng (1; +¥) b) y = x - 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + đồng biến treõn khoaỷng (2; +Ơ) c) y = x+4 (m ±2) đồng biến khoảng (1; +¥) x+m d) y = x+m đồng biến khoảng (–1; +¥) x-m x - 2mx + 3m đồng biến khoảng (1; +¥) e) y = x - 2m f) y = -2 x - x + m nghòch biến khoảng 2x +1 Trang ỉ ỗ - ; +Ơ ữ ố ứ Khaỷo sát hàm số Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: · Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc c) x < tan x, với < x < b) p 2 p sin x + tan x > x, với < x < 3 d) sin x + tan x > x, với < x < p Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan a a p < , với < a < b < tan b b c) a - tan a < b - tan b, với < a < b < b) a - sin a < b - sin b, với < a < b < p p Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: x3 x3 x5 b) x < sin x < x - + , với x > 6 120 2x p a) sin x > , với < x < p Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) e x > + x , với x > c) ln(1 + x ) - ln x > b) ln(1 + x ) < x , với x > ( , với x > 1+ x ) d) + x ln x + + x ³ + x Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan 550 > 1, b) < sin 20 < 20 HD: a) tan 550 = tan(450 + 10 ) Xét hàm số f ( x ) = c) log2 > log3 1+ x 1- x b) Xét hàm số f ( x ) = x - x æ 1ư ỉ 1ư f(x) đồng biến khoaỷng ỗ - ; ữ vaứ ,sin 20 , ẻ ỗ - ; ữ ố 2ứ 20 è 2 ø c) Xét hàm số f ( x ) = log x ( x + 1) với x > Trang Trần Só Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: · Chọn nghiệm x0 phương trình · Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hoành độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Bài Giải phương trình sau: a) x + x-5 = b) x + x - - x + = c) x + x - + x + + x + 16 = 14 d) x + 15 = x - + x + Bài Giải phương trình sau: a) x +1 + x + + x + = b) ln( x - 4) = - x c) x + x = 5x d) x + x + 5x = 38 Bài Giải bất phương trình sau: a) x + + x - + x - + 13 x - < b) x + x + x + + x + x < 35 Bài Giải hệ phương trình sau: ì2 x + = y + y + y ï a) í2 y + = z3 + z2 + z ï2 z + = x + x + x ỵ ì x = y3 + y + y - ï b) í y = z3 + z2 + z - ïz = x3 + x + x - ỵ ìtan x - tan y = y - x ï c) í 5p ïỵ2 x + 3y = ì y = x - 12 x + ï d) í z3 = y - 12 y + ï x = z2 - 12 z + ỵ HD: a, b) Xét hàm số f (t ) = t + t + t c) Xét hàm số f(t) = tant + t d) Xét hàm số f (t ) = 6t - 12t + Trang Khảo sát hàm số Trần Só Tùng II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D Ì R) x0 Ỵ D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) Ì D x0 Ỵ (a; b) cho f(x) < f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) Ì D x0 Ỵ (a; b) cho f(x) > f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f¢ (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f¢¢ (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f¢¢ (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí · Tìm f¢ (x) · Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm đạo hàm · Xét dấu f¢ (x) Nếu f¢ (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí · Tính f¢ (x) · Giải phương trình f¢ (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) · Tính f¢¢ (x) f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f¢¢ (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f¢¢ (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Trang Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y = x - x b) y = x - x + x - 1 c) y = - x + x - 15 x f) y = - d) y = x4 - x2 + e) y = x - x + g) y = - x2 + 3x + x+2 h) y = 3x2 + x + x +1 i) y = x4 + x2 + 2 x - x - 15 x -3 Bài Tìm cực trị hàm số sau: 4x2 + x - a) y = ( x - 2)3 ( x + 1)4 b) y = d) y = x x - e) y = x - x + x2 + x - c) y = 3x2 + x + x2 + x + f) y = x + x - x Baøi Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x +1 a) y = x + b) y = d) y = x - x + + ln x e) y = x - sin x c) y = e x + 4e - x f) y = x - ln(1 + x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f¢ (x0) = x0 đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f¢ (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: · Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị Û Phương trình y¢ = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx02 + cx + d + y( x0 ) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y¢ ax + bx + c P( x ) · Hàm số y = = (aaÂạ 0) coự cửùc trũ Phửụng trỡnh y = coù hai a' x + b' Q( x ) b' a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x0 ) y( x0 ) = hoaëc y( x0 ) = Q( x ) Q '( x0 ) nghieäm phân biệt khác - · Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai · Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Trang Khảo sát hàm số Trần Só Tùng Bài Chứng minh hàm số sau có cực đại, cực tiểu: a) y = x - 3mx + 3(m - 1) x - m c) y = x + m(m - 1) x - m + x-m b) y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + d) y = x + mx - m + x - m +1 Bài Tìm m để hàm soá: a) y = (m + 2) x + x + mx - có cực đại, cực tiểu b) y = x - 3(m - 1) x + (2m - 3m + 2) x - m(m - 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x - 3mx + (m - 1) x + đạt cực đại x = d) y = -mx + 2(m - 2) x + m - coù cực đại x = x - 2mx + đạt cực tiểu x = x -m x - (m + 1) x - m + 4m - f) y = coù cực đại, cực tiểu x -1 e) y = g) y = x2 - x + m có giá trị cực đại x -1 Bài Tìm m để hàm số sau cực trị: a) y = x - x + 3mx + 3m + c) y = - x + mx + x -3 b) y = mx + 3mx - (m - 1) x - d) y = x - (m + 1) x - m + 4m - x -1 Bài Tìm a, b, c, d để hàm soá: a) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = c) y = x + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x -1 ax + bx + ab d) y = đạt cực trị x = x = bx + a e) y = ax + x + b đạt cực đại x = x2 + Bài Tìm m để hàm số : a) y = x + 2(m - 1) x + (m - 4m + 1) x - 2(m + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x - mx + mx - đạt cực trị hai ñieåm x1, x2 cho: x1 - x2 ³ 1 c) y = mx - (m - 1) x + 3(m - 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 3 x1 + x2 = b) y = Trang Trần Só Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm m để hàm số : a) y = x + mx - m + có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x - m +1 x - (m + 1) x - m + 4m - có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực x -1 tiểu đạt giá trị nhỏ b) y = c) y = - x + 3x + m có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoaû M - m = x-4 d) y = x + 3x + m - có yCĐ - yCT < 12 x+2 Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y = - x + mx - coù hai điểm cực trị A, B AB = 900m 729 b) y = x - mx + x + m coù điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x + mx + m - có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh x-m hai điểm cực trị luôn nằm phía trục hoành c) y = d) y = x + mx có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1- x - x + mx + có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường e) y = x -1 thẳng y = 2x f) y = x2 + 2x + m + có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ x-m Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y = x + mx - 12 x - 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x - 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x - 3mx + 4m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x - y + = x + (2m + 1) x + m + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng x +1 (d): x - 3y - = d) y = Baøi Tìm m để đồ thị hàm số : x - (m + 1) x + 2m - coù hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x-m phẳng toạ độ a) y = mx + (4m + 1) x + 32m + 2m b) y = có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x + 2m hai điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ Trang ... Só Tùng Khảo sát hàm số CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K ("x1, x2 ẻ K, x1 < x2 ị f(x1) < f(x2) Hàm số... = ì y = x - 12 x + ï d) í z3 = y - 12 y + ï x = z2 - 12 z + ỵ HD: a, b) Xét hàm số f (t ) = t + t + t c) Xét hàm số f(t) = tant + t d) Xét hàm số f (t ) = 6t - 12t + Trang Khảo sát hàm số Trần... Tùng VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số · Tìm tập xác định hàm số · Xét biến thiên hàm số: + Tính y¢ + Tìm điểm đạo hàm y¢ không xác