Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai : 2 ax bx c 0(2)+ + = Tóm tắt lý thuyết A/ Giải và biện luận: Phương trình 2 ax bx c 0(2)+ + = - a 0 = : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0. - a 0≠ : Đặt 2 b 4ac∆ = − + 0 : ∆ < pt(2) vô nghiệm. + 0∆ = : pt(2) có nghiệm kép b x 2a = − . + 0∆ > : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt b x 2a − + ∆ = ; b x 2a − − ∆ = Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình. B/ Hệ thức Vi-et  Hai số 1 2 x ;x là hai nghiệm của phương trình 2 ax bx c 0(2)+ + = khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức: 1 2 1 2 b c x x va` x .x a a + = − = .  Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét: - Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: 2 X SX P 0− + = ( Điều kiện tồn tại hai số trên là 2 S 4P 0− ≥ ) - Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức 2 f(x) ax bx c= + + có hai nghiệm 1 2 x ;x thì nó có thể phân tích thành nhân tử 1 2 f(x) a(x x )(x x )= − − - Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai: + 1 2 1 2 b c S x x ;P x .x . a a = + = − = = + 2 2 2 1 2 x x S 2P+ = − + 3 3 3 1 2 x x S 3SP+ = − C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình: Cho phương trình 2 ax bx c 0(2)+ + = . Đặt 1 2 1 2 b c S x x ;P x .x a a = + = − = = trong đó 1 2 x ;x là 2 nghiệm của phương trình (2) 1/ Pt(2) vô nghiệm a 0 b 0 c 0 a 0 0   =   =     ≠ ⇔     ≠   ∆ <    2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm a 0 b 0 a 0 0   =  ≠   ⇔   ≠   ∆ =    3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt 2 a 0 b 4ac 0  ≠  ⇔  ∆ = − >   4/Pt(2) có VSN a 0 b 0 c 0  =  ⇔ =   =  5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu 1 2 x .x 0 P 0⇔ < ⇔ < 6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương 1 2 0 0 x x P 0 S 0  ∆ ≥  ⇔ < ≤ ⇔ >   >  7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm 1 2 0 x x 0 P 0 S 0  ∆ ≥  ⇔ ≤ < ⇔ >   <  8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương 1 2 1 2 1 2 a 0 a 0; x>0 a 0 0 x 0 x c S 0 x 0 x x 0 b P 0 P 0 x 0 x 0 S 0   ≠  =     = ∆ =      < <      > ⇔ ⇔ ∨ = − >      = >      = < = ∧ >      >    9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm 1 2 1 2 1 2 a 0 a 0; x<0 a 0 0 x 0 x c S 0 x 0 x x 0 b P 0 P 0 x 0 x 0 S 0   ≠  =     = ∆ =      < <      < ⇔ ⇔ ∨ = − <      = <      = < = ∧ <      <    10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương 1 2 1 2 a 0 a 0 a 0; x>0 c x 0 0 x 0 x b S 0 P 0 x x 0 P 0 S 0   =  ≠    =    = − > ∆ ≥    ⇔ ≤ < ⇔ ∨    >     ≤ ≥ >    >    >   11/Pt(2) có nghiệm kép a 0 b x 2a 0  ≠ ⇔ ∧ = −  ∆ =  12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm 1 2 1 2 a 0 a 0 a 0; x>0 c x 0 0 x 0 x b S 0 P 0 x x 0 P 0 S 0   =  ≠    =    = − > ∆ ≥    ⇔ ≤ < ⇔ ∨    >     ≤ ≥ >    >    >   Các dạng bài tập áp dụng: I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2: Phương pháp: - Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình). - Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai. - Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 5 3x 2 5 x 3 x + − + = + Giải Điều kiện: x 3 x 0≠ − ∧ ≠ 2 Pt (2x 5)x (3x 2)(x 3) 4x(x 3) x 6(nhan) x 6 x 6(nhan) ⇔ + + − + = +  = ⇔ − ⇔   = −  Nghiệm phương trình x 6= ± Bài tập: Giải các phương trình 1/ 2 2x 1 x 1 3x 7 x 2 x 3 x 5x 6 + + − − = − − − + 2/ 2 2x 1 x 1 5x 1 x 4 x 1 x 5x 4 + + + − = − − − + II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình: Ví dụ: Giải và biện luận phương trình 2 (m 2)x 2(m 1)x m 5 0− − + + − = Giải * 1 m 2 0 m 2 : Pt 6x 3 0 x 2 − = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = − * 2 m 2 0 m 2 : ' (m 1) (m 2)(m 5) 9m 9 9(m 1)− ≠ ⇔ ≠ ∆ = + − − − = − = − + ' 0 9(m 1) 0 m 1∆ < ⇔ − < ⇔ < : Phương trình vô nghiệm. + ' 0 9(m 1) 0 m 1∆ = ⇔ − = ⇔ = : Phương trình có nghiệm kép m 1 x 2 m 2 + = = − − . + ' 0 9(m 1) 0 m 1∆ > ⇔ − > ⇔ > : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt m 1 3 m 1 x m 2 m 1 3 m 1 x m 2  + + − =  −  ⇔  + − − =   − Kết luận: + m < 1: Phương trình vô nghiệm + m = 1: phương trình có nghiệm x = -2 + m = 2: phương trình có nghiệm 1 x 2 = − + 1 m 2 : < ≠ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m 1 3 m 1 x m 2 m 1 3 m 1 x m 2  + + − =  −   + − − =   − Bài tập áp dụng: 1/ 2 (m 1)x (2m 3)x m 2 0− + − + + = 2/ 2 (m 1)x 2(m 2)x m 4 0+ − + + + = 3/ 2 (m 1)x 2(m 1)x 3m 1 0− − + − − = 4/ 2 (m 1)x (2 m)x 1 0− + − − = III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình 2 . 0a x bx c+ + = có hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm: Phương pháp: tính 2 4b ac∆ = − nếu 0 ∆ ≥ thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x 2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ( ) 25 4 4 0 41 4 0 41 4 m m m ∆ = − − > ⇔ − > ⇔ < Ví dụ 2: cho phương trình x 2 -2( m + 1 )x +4m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn điều kiện 1 2 2 1 5 2 x x x x + = Giải a) Ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 4 2 1 1 0 m m m m m ∆ = + − = − + = − ≥ b) Theo vi ét ta có 1 2 1 2 x .x 2( 1);x x 4m m= + + = ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 5 5 2 2 4 2.2( 1) 5 2( 1) 2 4 2.2( 1) 5( 1); 1 4 9 9 0; 81 144 225, 15 x x x x x x x x x x m m m m m m m m m + − + = ⇔ = − + ⇔ = + ⇔ − + = + ≠ − ⇔ − − = ∆ = + = ∆ = 1 9 15 24 3; 8 8 m + ⇒ = = = 2 9 15 3 8 4 m − − = = Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình x 2 + ( 2m – 1 )x – m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m b) Tìm m để 2 2 1 2 1 2 6A x x x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất Bài tập 2:Cho phương trình bậc hai x 2 – 2(m + 1)x + m 2 + 3 = 0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn 2 2 1 2 x +x 8= Bài tập 3: Tìm các giá trò của m để các nghiệm của phương trình a) ( ) 2 2 5 0+ − + + =x m x m Thoả mãn 2 2 1 2 10x x+ = b) 2 ( 1) 0x mx m− + − = Thoả mãn ( ) 1 2 1 2 2 19 0x x x x+ + − = Bài tập 4: Cho phương trình ( ) 2 3 2( 2) 0x m x m− + + + = a) Với giá trò nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn 1 2 2x x= c) Chứng tỏ rằng A = ( ) 1 2 1 2 2 x x x x + − độc lập với m Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x 2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0 a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để 1 2 1 1 5 x x + = c) Tìm hệ thức giữa x 1 và x 2 độc lập với m giải HD: c) 2 4 2 4 4 2 2 4 4 4 m m S S m m m − − = ⇒ − = − = − − − (1) 1 1 3 1 1 4 4 4 m m P P m m m − − = ⇒ − = − = − − − (2) Lấy (1) chia cho (2) ta có: ( ) ( ) 2 4 3 2 4 1 1 3 − = ⇒ − = − − S S P P 1 2 1 2 3 4 2 0 3( ) 4 2 0⇒ − − = ⇒ + − − =S P x x x x II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Phương pháp tính ∆ rồi xét ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép Ví dụ 1:Tìm m để phương trình 2 2 3 (2 1) 0x mx m m− + − − = có nghiệm kép tìm n kép đó Giải ( ) 2 2 2 2 2 9 4 2 1 9 8 4 4 ( 2)m m m m m m m∆ = − − − = − + + = + Phương trình có nghiệm kép khi 2 ( 2) 0 2m m∆ = + = ⇒ = − Nghiệm kép đó là 1 2 3 6 3 2 2 m x x − = = = = − Bài tập: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó 2 2 2 3 2 2 ) 2( 2) 9 0 )( 4) 2 2 0 )( 1) ( 1) 0 )( 3) 0 a mx m b m x mx m c m x m x m m d m x mx m + + + = − − + − = + − + − = + − + = IV/ Dạng : Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau 2 1 0x mx+ + = và 2 0x x m+ + = có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó Giải Giả sử x 0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có 2 0 0 1 0x mx+ + = và 2 0 0 0x x m+ + = Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x 0 – 1) = 0 a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x 2 + x +1 = 0 Phương trình này vô nghiệm do 3 0∆ = − < Vậy 1m ≠ do đó x 0 = 1 Thay x 0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2 -Với m = -2 thì phương trình x 2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x 1 = x 2 = 1 Phương trình x 2 +x – 2 = 0 có nghiệm x 3 = 1; x 4 = -2 Vậy nghiệm chung x 0 = 1 Bài tập 1: với giá trị nào của m thì hai phương trình sau 2 2 (3 1) 9 0x m x+ + − = và 2 6 (7 1) 19 0x m x+ − − = có ít nhất một nghiệm chung tìm nhiệm chung đó. Bài tập 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung 2 ( 2) 0x x m+ + − = và 2 ( 2) 8 0x m x+ − + = V/ Dạng : Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện. Ví dụ: Định m để phương trình 2 x 2(m 1)x 2m 1 0− − + + = có 2 nghiệm bằng nhau và tìm nghiệm đó. Giải: phương trình đã cho có nghiệm kép 2 ' (m 1) (2m 1) 0⇔ ∆ = − − + = 2 m 0 m 4m 0 m 4  = ⇔ − = ⇔  =  Với m 0 x m 1 1= ⇔ = − = − Với m 4 x 4 1 3= ⇔ = − = Vậy m = 0 thì nghiệm x = -1 m = 4 thì nghiệm x = 3 Bài tập 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. 1/ 2 mx 2(m 3)x m 1 0− + + + = 2/ 2 (1 4m)x 4mx m 3 0+ − + − = 3/ 2 (m 2)x mx 2m 3 0− − + − = Bài tập 2: Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm với mọi m thuộc R 1/ 2 x 2(m 1)x 4m 3 0− + + − = 2/ 2 2 2x 2(m 1)x m m 0− + + + − = 3/ 2 2 2 (2m 1)x 2(m 4)x 1 0+ − + + = 4/ 2 x (2m 7)x 2m 0+ − − = Bài tập 3: Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm với mọi m thuộc R 1/ 2 2 2x 2(m 3)x m 3m 5 0+ + + + + = 2/ 2 2 3x 2(3m 2)x 3m 4m 3 0− + + + + = 3/ 2 2 4 2 (m 1)x (m 2m 1)x 1 0+ + + + + = . − + II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình: Ví dụ: Giải và biện luận phương trình 2 (m 2)x 2(m 1)x m 5 0− − + + − = Giải * 1 m 2 0 m 2 : Pt 6x 3 0 x 2. Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai : 2 ax bx c 0(2)+ + = Tóm tắt lý thuyết A/ Giải và biện luận: Phương trình 2 ax bx c