Tài kiệu ôn thi tốt nghiệp môn Toán năm học 2011 - 2012

Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù).. Böôùc 4: Keát luaä[r]

Chuyên đề 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1 (a b+ )2=a2+2ab b+ 2 a2+b2 =(a+b)2−2ab 2 (a b− )2 =a2−2ab b+ 2 a2+b2 =(a−b)2+2ab 3 a2−b2 (= a b a b+ )( − )

4 (a b+ )3=a3+3a b2 +3ab2+b3 a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b) 5 (a b− )3=a3−3a b2 +3ab2−b3

6 a3+b3=(a b a+ )( 2−ab b+ 2)

7 a3−b3=(a b a− )( 2+ab b+ 2)

8 (a+b+c =a +b +c +2ab+2ac+2bc)2 2 2 2

A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Nhắc lại:

1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng

a) Chuyển vế biểu thức từ vế sang vế (nhớđổi dấu biểu thức)

b) Nhân hoặc chia hai vế phương trình với số (khác 0) với biểu thức

(khác không)

c) Thay thế biểu thức biểu thức khác với biểu thức

Lưu ý:

+ Chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phịng nghiệm

+ Bình phương hai vế phương trình đề phịng dư nghiệm

2) Các bước giải phương trình

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có)

Bước 4: Kết luận

I Giaûi biện luận phương trình ax+b=0:

1 Dạng : ax + b = (1)

  

soá tham : b a,

số ẩn : x Giải biện luận:

Ta có : (1) ⇔ax = -b (2) Biện luận:

• Nếu a ≠0 (2) ⇔

a b x=−

• Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b

* Nếu b ≠0 phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại :

• a ≠0 : phương trình (1) có nghiệm

a b

x=− • a = b ≠0 : phương trình (1) vơ nghiệm • a = b = : phương trình (1) nghiệm với x Điều kiện nghiệm số phương trình:

Định lý: Xét phương trình ax + b = (1) ta có:

• (1) có nghiệm ⇔ a ≠0 • (1) vô nghieäm ⇔

  

≠ =

0 b a

• (1) nghiệm với x ⇔   

= =

0 b a

II.Giaûi biện luận phương trình ax2+bx+c=0:

1 Daïng: 0

ax +bx c+ = (1)    soá tham : c , b a, số ẩn : x Giải biện luận phương trình :

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a =0 (1) phương trình bậc : bx + c =

• b ≠0 : phương trình (1) có nghiệm

b c

x=− • b = c ≠0 : phương trình (1) vơ nghiệm • b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a≠0 (1) phương trình bậc hai có

Biệt số 4

b ac

∆ = − ( ' '2 với b'

2 b b ac

∆ = − = )

Biện luận:

Nếu ∆ <0 pt (1) vô nghiệm

Nếu ∆ =0 pt (1) có nghiệm số kép 1 2

2 b x x a = = − ( ' b x x a = = − ) Nếu ∆ >0 pt (1) có hai nghiệm phân biệt 1,2

2 b x a − ± ∆ = ( ' ' 1,2 b x a − ± ∆ = )

3 Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai:

Định lý : Xét phương trình : ax2+bx c+ =0 (1)

Pt (1) vô nghiệm ⇔      ≠ = = 0 c b a    < ∆ ≠ 0 a

Pt (1) có nghiệm kép ⇔    = ∆ ≠ 0 a

Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔    > ∆ ≠ 0 a

Pt (1) có hai nghiệm ⇔    ≥ ∆ ≠ 0 a

Pt (1) nghiệm với x ⇔      = = = 0 c b a Đặc biệt

4 Định lý VIÉT phương trình bậc hai:

Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2+bx c+ =0 ( a≠0) có hai nghiệm x1, x2

     

= =

− = + =

a c x x P

a b x x S

2

2

Định lý đảo : Nếu có hai số ,α β mà α +β =S α β =P ( ) P

S ≥ ,α β nghiệm phương trình

x2 - Sx + P = Chú ý:

Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c=0 pt (1) có hai nghiệm 1 x2

c x

a

= =

Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c=0 pt (1) có hai nghiệm 1 x2

c x

a

= − = −

5 Daáu nghiệm số phương trình bậc hai:

Dựa vào định lý Viét ta suy định lý sau: Định lý: Xét phương trình bậc hai : 0

ax +bx c+ = (1) ( a≠0) Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt

> P > S > ∆

 

⇔ 

 

Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt

> P > S < ∆

 

⇔ 

  Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < II Phương trình trùng phươngï:

1.Dạng : 0 ( a )

ax +bx + =c ≠ (1) 2.Cách giải:

Đặt ẩn phụ : t = x2 (t ≥0) Ta phương trình: at2 +bt+c=0 (2)

Giải pt (2) tìm t Thay t tìm vào t = x2 để tìm x

Tùy theo số nghiệm phương trình (2) mà ta suy số nghiệm phương trình (1)

III Phương trình bậc ba:

Daïng: 0

ax +bx +cx d+ = (1) (a≠0)

Cách giải: Áp dụng biết nghiệm phương trình (1) Bước 1: Nhẩm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm x = x0

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân

tử đưa pt (1) dạng tích số :

Sơ đồ

Trong đó:

a=A, x A + =b B, x B c0 + =C, x0.C+ =d

(1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) =

2

0 (2)

x x

Ax Bx C

=



⇔ 

+ + =



Bước 3: Giải phương trình (2) tìm nghiệm cịn lại ( có)

a b c d

x0 A B C (soá 0)

B BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Bất phương trình bậc nhất:

1 Dạng : ax+b>0 (1) (hoặc ≥,<,≤)

Nhắc lại: Các phép biến đổi tương đương bất phương trình thường sử dụng:

1) Chuyển vếmột biểu thức bpt từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức) 2) Nhân chia hai vế bpt với số biểu thức khác Ghi nhớ quan trọng:

+ Âmthì đổi chiều

+ Dươngthì khơng đổi chiều

3) Thay thế biểu thức bpt biểu thức khác với biểu thức Giải biện luận:

Ta coù : (1)⇔ax>−b (2) Biện luận:

• Nếu a>0

a b x>− ⇔ ) ( • Nếu a<0

a b x<− ⇔ ) (

• Nếu a=0 (2) trở thành : 0.x>−b

* b≤0 bpt vô nghiệm

* b>0 bpt nghiệm với x II Dấu nhị thức bậc nhất:

1 Dạng: f(x)=ax+b (a ≠0) Bảng xét dấu nhị thức:

x −∞

a b

− +∞ ax+b Trái dấu với a Cùng dấu với a

III Dấu tam thức bậc hai:

1 Dạng: f(x)=ax2 +bx+c (a≠0) Bảng xét dấu tam thức bậc hai:

3 Điều kiện không đổi dấu tam thức:

Định lý: Cho tam thức bậc hai: f(x)=ax2 +bx+c (a ≠0)

•    > < ∆ ⇔ ∈ ∀ > a R x ) (x f •    < < ∆ ⇔ ∈ ∀ < a R x ) (x f •    > ≤ ∆ ⇔ ∈ ∀ ≥ a R x ) (x f •    < ≤ ∆ ⇔ ∈ ∀ ≤ a R x ) (x f

IV Bất phương trình bậc hai:

1 Dạng: ax2+bx+c>0 ( ≥,<,≤)

2 Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai vế trái chọn nghiệm thích hợp

x −∞ x1 x2 + ∞ f(x) Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a

x ∞ − a b 2 − +∞ f(x) Cùng dấu a Cùng dấu a

x −∞ + ∞ f(x) Cùng dấu a

V Các phương trình, bất phương trình căn thức cơ bản cách giải: * Dạng : A B A (hoặc B )

A B ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥  = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = = = 

* Daïng : A B B 02 A B ≥ ≥≥ ≥  = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = == = 

* Daïng :

2

A

A B B

A B

 ≥≥≥≥ 

< ⇔ > << ⇔⇔ >> < ⇔ >



< << <



* Daïng 4:

2 A B A B B A B  ≥≥≥≥   < < < <   > ⇔ >> ⇔⇔ > ⇔ 

≥ ≥ ≥ ≥    >>>>  Minh họa: (TN-2010)

VI Các phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản cách giải: * Daïng : 2

B A B

A = ⇔ = , A = B ⇔ A=±B

* Daïng :

   = ≥ ⇔

= 2 2

B A B B

A ,

   ± = ≥ ⇔ = B A B B A * Daïng 3: A B B2 2

A B

>



< ⇔

<

 ,

B

A B

B A B

>



< ⇔

− < <



* Daïng 4:

        > ≥ < ⇔ > 2 0 B A B B B

A ,

B

A B B

A B A B

<

 

> ⇔ ≥

 < − ∨ > 

Chuyên đề 2: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM

A Giới hạn

1 Các giới hạn cơ bản:

1) x x0 lim C C

→ = (C số)

2) 0

xlim f(x)→x0 =f(x ) (f(x0) phải xác định)

3) x

lim C C

→∞ = , x lim

x

→∞ = , x k

lim

x

→∞ = , x k C

lim

x

→∞ =

Một vài giới hạn đặc biệt

a) k

xlim x→+∞ = +∞ với k nguyên dương

b) k

xlim x→−∞ = −∞ với k là số lẻ

a) k

xlim x→−∞ = +∞ với klà số chẵn.

2 Các quy tắc tính giới hạn:

1) [ ]

xlim f(x) g(x)→x0 ± =xlim f(x)→x0 ±xlim g(x)→x0

2) [ ]

xlim f(x).g(x)→x0 =xlim f(x) lim g(x)→x0 x→x0

3) →

→ →   =     x x0 x x0 x x0 lim f(x) f(x) lim

g(x) lim g(x) Quy tắc 1: Nếu

0

xlim f (x)→x = ±∞ x x0

lim g(x) L

→ = ≠ x x0[ ]

lim f (x).g(x) ?

→ = cho bảng sau:

0

xlim f (x)→x = ±∞ D

ấu L [ ]

0

xlim f (x).g(x)→x +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − +∞ −∞ −∞ +∞

(Quy tắc nầy cho trường hợp sau: x→x ; x+0 →x ; x−0 → +∞; x→ −∞) Quy tắc 2: Nếu

0

xlim f (x) L 0→x = ≠ x x0

lim g(x)

→ = g(x) 0> g(x) 0< với x I\∈ { }x0 ,

I khoảng chứa x0

0

x x f (x)

lim ?

g(x)

→ = cho bảng sau:

Dấu L Dấu g(x)

0 x x f (x) lim g(x) → + + − − + − + − +∞ −∞ −∞ +∞

(Quy tắc nầy cho trường hợp sau: x→x ; x+0 →x ; x−0 → +∞; x→ −∞)

3 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tính giới hạn sau

a) ( )

xlim→−∞ −x +3x −4x 2+ b) ( )

3

xlim x→+∞ +3x +4

c) ( )

xlim→−∞ −x +2x +3 d)

4 x x lim x 2 →+∞   − +    

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau

a) x 2x lim x →−∞ +

− b) x

2 x lim 2x →+∞ − + a) x 2x lim x + → +

− b)

x 2 x lim 2x −   → −    − + Ví dụ 3: Tính giới hạn sau

a)

2 x

2x 3x lim

x 2x

→+∞

− −

− b)

2

x

2x 3x

lim 2x x →+∞  − −  −   −   a) x

x 2x lim

x −

→

− −

− b)

2

x

x 2x lim x + → − − −

B Liên tục Các định nghĩa:

• Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) x0∈(a; b) Hàm số f gọi liên tục điểm x0

0

xlim f (x) f (x )→x = • Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a; b)

Hàm số f gọi liên tục khoảng (a; b) liên tục điểm thuộc khoảng (a; b) • Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định đoạn [a; b]

Hàm số f gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục khoảng (a; b) x a x b

lim f (x) f (a) lim f (x) f (b)

+ − → → =   = 

Định lý:

1) Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm

2) Hàmđa thức hàm phân thức hữu tỷ (thương hai đa thức) liên tục tập xác định chúng

(tức liên tục điểm thuộc tập xác định chúng)

3) Các hàm lượng giác y sin x, y cos x, y tan x, y cot x= = = = liên tục tập xác định chúng C Đạo hàm

1) Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm:

Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x0∈(a; b)

Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0, ký hiệu f'(x0) hay y'(x0) giới hạn hữu hạn (nếu có)

→

− −

0 x x0 0

f(x) f(x ) lim

x x

0 x x0

0

f(x) f(x ) f '(x ) lim

x x

→

− =

−

2 Ý nghĩa hình học đạo hàm:

• Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 f'(x0) (C) đồ thị hàm số M (x ;f(x )) (C)0 0 0 ∈ ∆ tiếp tuyến (C) M

a) Ý nghĩa hình học đạo hàm:

• Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 hệ số góc k tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm

0 0

M (x ;f(x ))

0

k f '(x )= (k tan= α với α =(ox;∆)) b) Phương trình tiếp tuyến:

• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0;f(x0)) là:

0 0

y f '(x )(x x ) f(x )= − +

hay: y −y0 =k x( −x0) đó :

0

0

y f(x ) k f '(x )

=

 

=

 3 Các quy tắc tính đạo hàm:

Đạo hàm tổng hiệu tích thương hàm số a Đạo hàm tổng ( hiệu ): (u±v)′ =u′±v′ b Đạo hàm tích:

( )u.v ′ =u′.v+u.v′ Đặc biệt (C.u)′ =C.u′ Với C số c Đạo hàm thương:

2 v

v u v u v

u ′ − ′

= ′     

 Đặc biệt

2

1

v v

′ −  

=  

 

′

 

= −

 

 

C C.v'

v v

d Đạo hàm hàm số hợp:

Cho hai hàm số y=f( )u u=g( )x y=f[g( )x ] gọi hàm hợp hai hàm số trên, đó: y′x =y′u.u′x

(C): y=f(x)

0

x x

0

f(x ) y

0

M ∆

3 Đạo hàm hàm số bản: ( )C′ =0 ( C số ) ( )x ' 1= (C.x ' C) =

Với u một hàm số

( )xn ′ n.xn 1−

= (n N, n 2∈ ≥ ) ( )un ′ n.u un 1− ′ = 1 x x ′   = −  

  (x 0)≠

1 u u u ′ ′   = −     ( ) x x = ′

(x 0> ) ( )

u u u ′ = ′

(sinx)′ =cosx (sinu)′ =u′cosu

(cosx)′ =−sinx (cosu)′ =−u′sinu

( )

2

tan x tan x

cos x ′

= = + (tan u) u2 (1 tan u).u2 cos u

′ ′

′

= = +

( ) ( )

2

cot x cot x

sin x ′

= − = − + (cot u) u2 (1 cot u u2 ) sin u

′ ′

′

= − = − +

( )2

d cx b c d a d cx b ax + − = ′       + +

( )2

1 1 1 1 2 b x a c a b b x b a x a a b x a c bx ax + − + + = ′       + + +

Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau

= − + − − = − −

− − −

=

+ +

4

3 2

2

1 x

1) y x 4x 5x 11 2) y x

3 2

2x 3x 2x

3) y= 4) y

3x 2x

Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau:

= + = +

− = +

1) y 2sin x sin2x 2) y 3cos2x cosx

4 x

3) y= 2sinx sin x 4) y sin x

3

Ví dụ : Tìm đạo hàm hàm số sau:

= + + = + − −

1) y x 2x 2) y x x 3) y= x x 4) ( − ) 2+

1 2 − = x x y

Ví dụ 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y=x 4−x 2)

1 + + = x x y

3) y= x−2+ 4−x 4) y= x+ 2−x2

Ví dụ 5: Tính f '(x) giải phương trình f '(x) 0= biết

1) f (x) 2x= 3+3x2−36x 10− 2) f (x) x= 4−2x2+3 3)

2

x 2x f (x)

x

+ +

=

+ 4)

2 x 8x f (x)

x

− +

=

+

Ví dụ 6: Tính f '(x) lập bảng xét dấu f '(x) biết

1) f (x) 1x3 3x2 5

4

= − + 2) f (x)= −x4+8x2+6 3) f (x) 3x

1 x + =

− 4)

2

x x f (x)

x − + =

−

Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số

1) y x= 3−3x 2+ tại điểm (C) có hồnh độ bằng 2) y x= 4−2x2 tại điểm (C) có tung độ bằng 3) y 2x

2x + =

− giao điểm (C) với trục tung

Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số

1) y x= 3−3x 2+ biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng

2) y x= 4−2x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 24x= 3) y 2x

2x + =

− biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

y x

2 =

C VI PHÂN

Nếu hàm số f có đạo hàm f' tích f '(x) x∆ gọi vi phân hàm số y f (x)= , ký hiệu

df (x) f '(x) x= ∆ (1) Đặc biệt với hàm số y x= ta có dx=( )x ' x∆ = ∆x nên (1) viết thành:

df (x) f '(x).dx= hay dy f '(x).dx=

-Hết -

Chuyên đề 3: KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm đa thức Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn

Chương trình Cơ bản + Nâng cao Hàm số y ax= 3+bx2+cx d a 0+ ( ≠ )

1) Tập xác định: D=

2) Sự biến thiên:

• a) Chiều biến thiên:

+ y' ?=

y' 0= ⇔x ?= + Xét dấu y':

x −∞ ? +∞ y' ?

- Kết luận khoảng đơn điệu hàm số

• b) Cực trị: kết luận cực trị hàm số • c) Giới hạn:

xlim y ?→−∞ = xlim y ?→+∞ =

(Chỉ nêu kết khơng cần giải thích chi tiết)

• d) Bảng biến thiên:

x -∞ ? +∞ y' ?

y ?

(Bảng biến thiên phải đầy đủ chi tiết)

3) Đồ thị:

Giao điểm đồ thị với trục tọa độ:

+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒y ?= + Giao điểm với Ox (nếu có): y 0= ⇔x ?=

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8 -6 -4 -2

x y

2 Hàm số y ax= 4+bx2+c a 0( ≠ )

1) Tập xác định: D=

2) Sự biến thiên:

• a) Chiều biến thiên:

+ y' ?=

y' 0= ⇔x ?= + Xét dấu y'

x −∞ ? +∞ y' ?

- Kết luận khoảng đơn điệu hàm số

• b) Cực trị: kết luận cực trị hàm số • c) Giới hạn:

xlim y ?→−∞ = xlim y ?→+∞ =

(Chỉ nêu kết khơng cần giải thích chi tiết)

• d) Bảng biến thiên:

x -∞ ? +∞ y' ?

y ?

(Bảng biến thiên phải đầy đủ chi tiết)

3) Đồ thị:

Giao điểm đồ thị với trục tọa độ:

+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒y ?=

+ Giao điểm với Ox (nếu có): y 0= ⇔x ?=

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8 -6 -4 -2

x y

Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ Dựa vào chương trình SGK + đáp án của BGD để biên soạn

Chương trình Cơ bản + Nâng cao Hàm số = + ( ≠ − ≠ )

+

ax b

y c 0, ad bc

cx d

1) Tập xác định: D \ d

c

 

= − 

 

2) Sự biến thiên:

• a) Chiều biến thiên:

+

( )2

ad bc y'

cx d

− =

+ ; kết luận y' 0< y' 0> với

d x

c

≠ − - Kết luận khoảng đơn điệu hàm số

• b) Cực trị: hàm số khơng có cực trị • c) Giới hạn tiệm cận:

+

− +

   

→ −  → − 

   

= = ⇒ = −

d d

x x

c c

d lim y ? vaø lim y ? x

c tiệm cận đứng +

→−∞ = →+∞ =

⇒ =

x x

a a a

lim y vaø lim y y

c c c tiệm cận ngang (Chỉ nêu kết khơng cần giải thích chi tiết)

• d) Bảng biến thiên:

x

-∞ d

c

− +∞ y' ? ?

y ? ?

(Bảng biến thiên phải đầy đủ chi tiết)

3) Đồ thị:

Giao điểm đồ thị với trục tọa độ:

+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒y ?= + Giao điểm với Ox: y 0= ⇔x ?=

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8 -6 -4 -2

x y

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số sau

1) y x= 3+3x2−4 2) y= −x3+3x2−4 3) y= −x3+3x2−4x 2+ 4) y x= 3−3x2+4x 2− 5) y x= 3−3x2+3x 2− 6) y= −x3+3x2−3x 2+ 7) 2 2

3

y= x − x+ 8) y= −x3+3x+1 9) 3

y= x −x 10) 3 3 9

y=x − x + x− Bài 2: Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số sau

1) y x= 4−2x2−3 2) y= −x4+2x2+3 3) y= −x4−2x2+3 4) y x= 4+2x2−3 5) 3

4

y= x − x + 6)

2

2

x

y= −x − 7) ( 1)2

y= x − 8) 8

y= x −x Bài 3: Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số sau

1) y 2x x

− =

− 2)

1 x y

x − =

+ 3)

4

x y

x + =

− 4)

2

x y

x − =

− − 5)

2

x y

x − − =

− 6)

3

x y

x − =

− Bài 4: Cho hàm số y x= 3−(2m x+ ) 2+(m2−3m x 4+ ) +

1) Tìm m đểđồ thị hàm sốđã cho có điểm cực đại điểm cực tiểu

2) Tìm m đểđồ thị hàm sốđã cho có điểm cực đại điểm cực tiểu hai phía trục tung Bài 5: Cho hàm số y 1x3 mx2 (m x) (2m 1)

3

= + + + − +

Tìm m đểđồ thị hàm sốđã cho đồng biến

Bài 6: (TN 2011)

Chuyên đề 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT GIÁO KHOA

I) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y f x= ( ) xác định tập hợp D

• Số M gọi GTLN hàm số y f x= ( ) tập D điều sau thỏa mãn

( )

( )

0

i) f x M x D ii) x D : f x M

 ≤ ∀ ∈

 ∃ ∈ =



Ký hiệu: ( )

x D M Max f x

∈

=

• Số m gọi GTNN hàm số y f x= ( ) tập D điều sau thỏa mãn

( )

( )

0

i) f x m x D ii) x D : f x m

 ≥ ∀ ∈

 ∃ ∈ =



Ký hiệu: ( )

x D m f x

∈ = Minh họa:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10

-5 -4 -3 -2 -1

x y

y=f(x)=x3-3x+4

-5/2 3/2

m=33/8 M=6

D=[-5/2;3/2]

• Quy ước: Ta quy ước nói GTLN hay GTNN hàm số f mà khơng nói "trên tập D" ta hiểu

là GTLN hay GTNN TẬP XÁC ĐỊNH

• Đối với GTLN GTNN hàm nhiều biến có định nghĩa tương tự

II) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN:

1) Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa) Một số kiến thức thường dùng:

a) ( ) ( )2

2

b f x ax bx c a x

a a

∆

= + + = + −

b) Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số a, b khơng âm (a, b 0≥ ) ta ln có: a b ab

+ ≥ Dấu "=" xảy a b=

2) Phương pháp : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (hay phương pháp miền giá trị) Một số kiến thức thường dùng:

a) Phương trình ax2+bx c a 0+ = ( ≠ ) có nghiệm ⇔ ∆ ≥0

b) Phương trình a cos x bsin x c a, b 0+ = ( ≠ ) có nghiệm⇔a2+b2 ≥c2

Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định biểu thức dạng y f x= ( ) • Tập xác định hàm sốđược định nghĩa : D={x∈|f(x) có nghĩa}

• Tập giá trị hàm sốđược định nghĩa : T = { y∈|Phương trình f(x) = y có nghiệm x D∈ } Do ta tìm tập giá trị T hàm số ta tìm đựơc GTLN GTNN hàm sốđó

3) Phương pháp : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích) • Điều kiện tồn tại GTLN GTNN:

Định lý: Hàm sốliên tục đoạn [a; b]thì đạt GTLN GTNN đoạn

(Weierstrass 2)

• Phương pháp chung:Muốn tìm GTLN GTNN hàm số y f x= ( ) miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN hàm số D dựa vào BBT suy kết

• Phương pháp riêng:

• Chú ý: Phải kiểm tra tính liên tục hàm số y f x= ( ) đoạn [a; b], tránh áp dụng cách hình thức

B THỰC HÀNH GIẢI TOÁN

1) Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm GTLN hàm số f x( )= −2x2 +8x 1+

Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số f x( )= 2x2−4x 12 + Ví dụ 3: Tìm GTNN hàm số sau

a) f x( ) x x = +

− với x∈(1;+∞) b) f (x) x

x

= − +

−

2) Phương pháp : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình Ví dụ : Tìm GTLN GTNN hàm số

2

x x y

x x + + =

− + Ví dụ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số y sin x

2 cos x + =

+ 3) Phương pháp : Sử dụng đạo hàm

Ví dụ 1: Tìm GTLN GTNN hàm số sau:

3

a) y x= −3x −9x 35+ đoạn [−4, 4] b) y x x

− =

+ đoạn [0; 2] c) y s in2x x= − đoạn ;

2 π π

 

−

 

 

2 d) y x= + x− e) y= 2025 2011− x đoạn [ ]0;1 f)

1

x y

x + =

− đoạn [ ]0;1 g)

1

x x

y

x

− +

= −

− đoạn [2;6] h)

2x

y= −x e đoạn [−1;0] Ví dụ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số

a) y 2sin x 4sin x3

= − đoạn [0;π] b) y cos x cos x 5= − +

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP CÁC NĂM

Năm 2009 Năm 2008

Năm 2007

Chuyên đề 5: CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN

CĨ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.BÀI TỐN : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số :

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)

=

 

=



(C1) (C2) điểm chung (C1) (C2) cắt (C1) (C2) tiếp xúc

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1)

* Tùy theo soá nghiệm phương trình (1) mà ta kết luận sốđiểm chung

hai đồ thị (C1) vaø (C2)

Lưu ý:

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2)

Chú ý :

* (1) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) điểm điểm chung * (1) có n nghiệm ⇔ (C1) (C2) có n điểm chung

Chú ý :

* Nghiệm x0 phương trình (1) hoành độ điểm chung (C1) (C2) Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) y0 = g(x0)

Áp dụng:

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y x= 2+ −x 2 đường thẳng y x 2= + Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm hai đường cong (C): y x= 2−4 (C'): y= −x2−2x Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y 1x3 x2

3

= − đường thẳng (d) : y 3x

3

= +

x

y y y

x x

O O

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

1

x x2

1

M y2 M2

y M0

) (C2

) (C1

x y

0

y

0

Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C):

1

+ − =

x x

y đường thẳng (d):y=−3x−1 Bài 5:Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y= x đường thẳng (d) : y x 2= −

Dạng 2: Tìm tham sốđể hai đồ thị cắt tại 2( 3, 4) điểm phân biệt

Baøi : Cho hàm số y 2x

x

+ =

+ Tìm tất giá trị tham số m đểđường thẳng y mx 2= + cắt đồ thị hàm sốđã cho hai điểm phân biệt

Baøi : Cho hàm số y 2x

x

− =

− Tìm tất giá trị tham số m đểđường thẳng y mx 2= + cắt đồ thị hàm sốđã cho hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y=(x−1)(x2+mx m+ ) (1)

Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y=x3+3x2+mx m+ −2 (1)

Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 5: Cho hàm số y=x4−mx2+m−1 (1)

Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt

Dành riêng cho chương trình nâng cao

Điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số : Định lý : Cho hai đồ thị

2

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)

=

 

=



(C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : ' ' f(x) g(x) f (x) g (x)

=

 

=

 có nghiệm

Bài 1: Chứng minh hai đường cong (C) : y x3 5x

4

= + − (C') : y x= 2+ −x tiếp xúc nhau.tại

điểm

Bài 2: Tìm k đểđường thẳng (d) : y kx= tiếp xúc với đường cong (C) : y x= 3+3x 12 +

Bài 3: Tìm k đểđường thẳng (d) : y k x 7= ( − )− tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x= 3− 2+2 Bài 4: Tìm k đểđường thẳng (d) : y k x 3= ( + )+ tiếp xúc với đường cong (C) : y 2x

x

+ =

+ Bài 2: Tìm k đểđường thẳng (d) : y k x 5= ( + ) tiếp xúc với đường cong

2

x x

(C) : y

x

− − =

+ M

O ∆

) (C1

) (C2

y

x

2.BAØI TOÁN 2: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

a Daïng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ;y ) (C)0 0 ∈

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng:

y - y0 = k ( x - x0 ) hay y f '(x )(x x ) f(x )= − +

Trong : x0 : hồnh độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm y0 = f(x0)

k : hệ số góc tiếp tuyến tính cơng thức : k = f'(x 0) Áp dụng:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số = −3 +3

x x

y điểm đồ thị cĩ hồnh độ x 2= Bài 2:Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2x

x

+ =

+ điểm đồ thị cĩ hồnh độ x= −3 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 3x

x

− =

+ điểm đồ thị có tung độ y= −2 Bài 4: Cho hàm số y= −2x3+3x 12− (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (1) điểm

(C) có hồnh x0, biết y''(x ) 00 =

Bài 5: Cho hàm số y=x4−8x2+12 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tung độ tiếp điểm

12

y=

b Daïng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

(C): y=f(x)

0

x x

0 y

y

0

M ∆

(C): y=f(x)

0

x x

0 y

y

0

M ∆

Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C tiếp điểm tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình : f x'( )0 =k, từ suy y0 = f x( )0 =? Bước 3: Thay yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y= −x3+3x bi

ết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k= −9 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2x

x

+ =

− biết tiếp tuyến có hệ số góc −5

Chú ý :Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến songsong, tiếp

tuyến vng góc với đường thẳng cho trước

Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng (∆) có phương trình dạng : y= ax+b hệ số góc (∆) là:

k∆ =a

Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) ( )∆1 ∆2 Khi đó:

∆ ∆ ( ) ∆ ∆

∆ ∆ ⇔ = ∆ ≠ ∆

∆ ⊥ ∆ ⇔ = −

1 2

1 2

1

/ / k k k k Áp dụng:

Bài 3: Cho đường cong (C): 2

3

y= x + x − x−

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2

Bài 4: Cho đường cong (C): = + −

2x y

2x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng ( ) : y∆ = 1x+3

2

Bài 5: Cho đường cong (C): = − − −

x y

2 x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng ( ) : y 4x 2012 ∆ = + (C): y=f(x)

∆ x y

a k =−1/

O

b ax y= + ∆2 :

(C): y=f(x)

x y

a k=

b ax y= +

1 ∆

2 ∆

c Daïng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp : Ta tiến hành theo bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) điểm M0(x0;y0) ( )∈ C

( ) :d y= f '( )(x0 x−x0)+ f x( )0 (*)

Bước 2: Định x0 để (d) qua điểm A(xA;yA) Ta có:

(d) qua điểm A(xA;yA) ⇔ yA = f '( )(x0 xA−x0)+ f x( )0 (1)

Bước 3: Giải pt (1) tìm x0 Thay x0 tìm vào (*) ta pttt cần tìm Áp dụng:

Bài 6: Cho đường cong (C): = +3 +4

x x y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1)

Bài 7: Cho đường cong (C): x y

x

− =

−

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0)

Phương pháp dành cho chương trình nâng cao

Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A có hệ số

góc k cơng thức:

y y− A =k x x( − A) ⇔ y=k x x( − A)+yA (*) Bước 2: Định k để (∆) tiếp xúc với (C) Ta có:

tiếp xúc (C) hệ f(x)=k(x-x )' A có nghiệm (1) f ( )

A

y

x k

+



∆ ⇔ 

=



Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm

x y

A A A

A k x x y k x x y y

y− = − ⇔ = − +

∆: ( ) ( )

O

) ; (xA yA A

) ( :

)

(C y= f x

3.BÀI TỐN 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1):y=f(x) (C2):y=g(x)

Bài tốn : Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình dạng : f(x) = m (*)

Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: ( ) : ( ) : (C) đồ thi cố đinh

( ) : : ( ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;m)

• =

• ∆ = ∆

C y f x

y m

Bước 2: Vẽ (C) (∆) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm (∆) (C)

Từ suy số nghiệm phương trình (*)

Minh họa:

Áp dụng:

Bài 1: 1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y= −x3+3x2−4

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: −x3+3x2− =4 m

3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x3−3x2+ −2 m 0= Bài 2: 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số y 2x= 3−6x 1+

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3−6x m 0+ − = Bài 3: 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số y x= 3+3x2

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3+3x2+m 0=

Bài 4: 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số y= −x4 +2x2 y

x

) ( :

)

(C y = f x

) ; ( m

1

m

2

m

m y = ∆

O y

x

x

) (C1

) (C2

2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 −2x2+m 0= Bài 5: 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số y x= 3−3x2+2

2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt, có hai nghiệm lớn

x 3x3− + =2 3m

Bài 6: 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số y 3x= −x3

2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 3x2−x3+3m 0=

Bài 7: 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số y 8x= −x4 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 −8x2 =m Bài 8: 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số y=(x 12− )2

2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 −x2 +m x 1= 2− -Hết -

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP CÁC NĂM

Năm 2011

Năm 2010

Năm 2009

Năm 2008

Năm 2007

Năm 2006

Chuyên đề 6: HAØM SỐ MŨ - HÀM SỐ LƠGARÍT I LŨY THỪA

1 Các định nghóa:

• n

n thừa số

a ==== a.a a (n Z ,n 1,a R)∈∈∈∈ ++++ ≥≥≥≥ ∈∈∈∈ • a1====a ∀∀∀∀a

• a0 ====1 ∀ ≠∀ ≠∀ ≠∀ ≠a • a n 1n

a

− −−

− ==== (n Z , n 1,a R / )∈∈∈∈ ++++ ≥≥≥≥ ∈∈∈∈ {{{{ }}}}

•

m

n m n

a ==== a ( a 0;m Z,n N,n 2>>>> ∈∈∈∈ ∈∈∈∈ ≥≥≥≥ ) •

m n

m n m n

1

a

a a

− −− −

= =

= =

= =

= =

2 Các tính chất :

• a am n ====am n++++ •

m

m n n

a a

a

− −− − = = = =

• (a )m n ====(a )n m ====am.n • (a.b)n ====a bn n

•

n n

n

a a

( ) b ==== b

II LÔGARIT

1 Định nghĩa: Với a > , a ≠1 b >

log ba = α= α= α= α ⇔⇔⇔⇔dn aαααα ====b

Điều kiện có nghóa: logab có nghóa

0 a a b

>

 

≠

  > 

2 Các tính chất :

• log 0a ==== • log a 1a ==== • log aa αααα = α= α= α= α • alog ba ====b

• log (b b ) log ba 1 2 ==== a 1++++log ba 2

• a a 1 a 2

2

b

log ( ) log b log b

b ==== −−−− Đặc biệt :

1

loga logab b = −

• log ba αααα = α= α= α= α.log ba Đặc biệt : log ba ====2 log ba

log n 1log b

n b

a = a

3 Cơng thức đổi số :

• a c

c

log b log b

log a = == = * Hệ quả:

• a

b

1 log b

log a =

==

= vaø a

a

1

log ααααb==== log b α α α

α

III HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

1 Hàm số lũy thừa: Dạng : y=xα (α∈)

+ Tập xác định hàm số lũy thừa y=xα tùy thuộc vào giá trị α Cụ thể • Với α nguyên dương, tập xác định D R====

• Với α nguyên âm không, tập xác định D R \ 0==== {{{{ }}}} • Với α không nguyên , tập xác định D====((((0;+∞+∞+∞+∞))))

+ Đạo hàm hàm số lũy thừa:

( )' 1 '

xα =αxα− u

( )'

uα =αuα− (v

ới u hàm số)

2 Haøm số mũ: Dạng : y a==== x ( a > , a≠1 ) • Tập xác định : D R====

• Tập giá trị : T R==== ++++ ( ax >>>>0 ∀ ∈∀ ∈∀ ∈∀ ∈x R ) • Tính đơn điệu:

* a > : y a==== x đồng biến R * < a < : y a==== x nghịch biến R • Đồ thị hàm số mũ :

Minh họa:

• Đạo hàm hàm số mũ:

( )x ' x

e =e ( )x ' x.ln

a =a a

( )u ' u '

e =e u (với u hàm số) ( )au '=au ln 'a u (với u hàm số)

3 Hàm số logarít: Daïng y log x==== a ( a > , a ≠ ) • Tập xác định : D R= +

• Tập giá trị T R = • Tính đơn điệu:

* a > : y log x==== a đồng biến R+

* < a < : y log x==== a nghịch biến R+ • Đồ thị hàm số lơgarít:

Minh họa:

a>1

y=ax y

x

1

0<a<1 y=ax y

x

1

0<a<1

y=logax

1 x

y

O

f(x)=2^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

x

y f(x)=(1/2)^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

x y

y=2x y=

x

     

2

1 x

y y

x

O O

a>1

y=logax

1

y

x O

• Đạo hàm hàm số lôgarit:

(lnx)'

x

= (ln x)' x = (lnu)' u'

u

= (lnu)' u' u

= (với u hàm số)

(log )' ln

a x

x a

= (log )' ln

a x

x a =

(log )' ' ln

a

u u

u a

= (log )' ' ln

a

u u

u a

= (với u hàm số)

4 Các định lý cơ bản:

Định lý 1: Với < a ≠1 : aM = aN ⇔ M = N

Định lý 2: Với < a <1 : aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến) Định lý 3: Với a > : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) Định lý 4: Với < a ≠1 M > 0;N > : loga M = loga N ⇔ M = N Định lý 5: Với < a <1 : loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

f(x)=ln(x)/ln(1/2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

x y

y=log2x

x y

x y

f(x)=ln(x)/ln(2)

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

x y

x y

2 log =

1

O 1

O

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG

Dạng bản: ax =m (1)

• m 0≤ : phương trình (1) vơ nghiệm • m 0> : ax =m⇔x log m= a

Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM = aN

(Phương pháp đưa về cơ số)

Ví dụ: Giải phương trình 5x2−5x+8 =25 Thực hành 1: Giải phương trình sau :

1) 9x+1= 272x+1 2) 2x2−3x 2+ 4

= 3)

2 3

7 11

11

x− x−

   

=

   

   

4) + =

2

x 3x

5 625 5) 3 6

2x − x+ 16

= 6)

2 2 3

1

7

x x x − −

+  

=

 

 

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ: Giải phương trình

1) 32x+8- 4.3x+5+ 27 = 2) (7 3+ ) (x+ 3− )x =14 Thực hành 2: Giải phương trình sau :

1) 9x 10.3x

− + = 2) 25x 3.5x 10 + − =

3) 2.16x 17.4x

− + = 4) 4x+1 9.2x

− + =

5) 4x−3.2x+1+ =8 0 6) 9x 10.3x 9 0

− + =

Thực hành 3: Giaûi phương trình sau :

1) 3x 31−x 4

+ = 2) 2x 23−x

− − =

3) 6.9 -13.6 + 6.4 = 0x x x 4) 2.22x 9.14x 7.72x 0

− + =

V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG

Dạng bản: log x ma = (1)

• ∀ ∈m : log x ma = ⇔x a= m

1 Phương pháp 1:Biến đổi phương trình dạng : log M log Na ==== a (đồng số)

Ví dụ: Giải phương trình

1) log 53( x+3)=2

2) log x - + log x -1 = 32(((( )))) 2(((( )))) 3) 1( ) 1( ) 1 ( )

2 2

log x− +1 log x + −1 log 7−x =1

Thực hành 4: Giải phương trình sau :

1) log4(x+3)−log2(x+7)+ =2 2) log3x+log3(x+2)− =1

3) ( ) ( )

7

7

log x +2 +log 8−x =0 4) 3( ) 1( )

log 2x−7 +log x+5 =0 Thực hành 5: Giải phương trình sau :

1) log2(x−5)+log2(x+2)=3 2) ( ) ( )

3

log x − −x =log 2x+5 3) log5x=log5(x+6)−log5(x+2) 4) 3( ) 1( )

3

log 2x−7 +log x+5 =0

2 Phương pháp 2:Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ: Giải phương trình 22

2 4log x + log x =

Thực hành 6: Giải phương trình sau : 1)

2

log x−log x− =6 2) 3log32x=10 log3x−3

3)

2

log x−5log x+ =4 4) log52 x−4 log5x+ =3

VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG

Phương pháp 1:Biến đổi phương trình dạng : aM < aN ( , ,

≤ > ≥)

Ví dụ: Giải bất phương trình

1) 3 4 1

2x + x− 4x−

> 2)

− − + +   >     4x 11 x 6x

1 2

2 3) ( ) ( )

1 3

2

5 6

x x − +

+ > −

Thực hành 7: Giải bất phương trình sau :

1) 23 6x− >1 2) 3x -x2 < 9

3) 3

2−x + x

< 4)

2

2

7

9

x− x  

≥

 

 

Phương pháp 2:Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số

Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) 22x+6 2x+7 17

+ > 2) 31 1

3

x x x+ x+

− <

−

Thực hành 8: Giaûi phương trình sau :

1) 2 - 3.22x x+2+ 32 < 0 2) 2x +23 x−−−− ≤9

++ ≤≤

+ ≤ 3) 9x 5.3x − + <

4) 9x <2.3x+3 5) 52x 1+ >5x +4 6) 16x 20.4x 64

− + ≥

7) 4x 2x+2 32

> +

VII CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : log M log Na < a (≤ > ≥, , )

Ví dụ: Giải bất phương trình

1) log 2((((x -1 > log - x +1)))) 2(((( )))) 2) 3( − )+ ( + )≤

3

2 log 4x log 2x

3) 2( − )− > 1 −

8

log x 2 log 3x 4) 1

2 log x x − < + Thực hành 9: Giải bất phương trình sau :

1)

2

log (x + −x 2) log (x 3)> + 2) log (4x 11) log (x0,5 + < 0,5 2+6x 8)+

3)

1

3

log (x −6x 5) log (2 x) 0+ + − ≥ 4) 1 1( ) 2

2

log x log x log 0+ − + ≤ Thực hành 10: Giải bất phương trình sau :

1) log 4x 33( − )<2 2) log0,5(x2 −5x 6+ )≥ −1

3) 1( + )≤ 1( 2− − )

3

log 2x log x x 4) log 7x 12( + )≥log 10x 11x 2( 2− + )

5) ( )

3

log x −2x > −1

Thực hành 11: Giải bất phương trình sau : 1) + >

−

2x

log

x 2)

− ≤ + 3x log x

3) + ≤

+ 0,5

2x

log

x 4)

− > + 3x log x

5) 1

2

log

1

x x

− <

+

Phương pháp 2:Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Thực hành 12: Giải bất phương trình

1)

2

log x log x 0+ − ≤ 2) log22 x−17 log2 x+ ≤4 3)

3 3

3.log x−14.log x+ >3 4) log2x+2 log 0x − ≤

-Hết -

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP CÁC NĂM

Năm 2011 Năm 2010 Năm 2009 Năm 2008 Năm 2007 Năm 2006

Chuyên đề 7: TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG A) Tĩm tắt kiến thức cơ bản:

Để học tốt chương tích phân, em học sinh cần nhớ kiến thức sau :

1) Bảng nguyên hàm:

Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số

hợp đơn giản Nguyên hàm chàm số hủợa nhp ững

C x

dx= +

∫

( 1)

1 ≠ + + = + ∫ α α α αdx x C

x

( 0)

ln + ≠ =

∫ x C x

x dx

C e dx

ex = x +

∫

(0 1)

ln + < ≠

=

∫ C a

a a dx a x x C x

xdx= +

∫cos sin

C x

xdx=− +

∫sin cos

C x dx

x = +

∫ tan cos C x dx

x =− +

∫ cot

sin

2

tanxdx= −ln cosx +c

∫

cotxdx=ln sinx +c

∫

kdx=kx C+

∫

( ) ( ) ( 1)

1 1 ≠ + + + = + + ∫ α α α α C b ax a dx b ax

( 0)

ln ≠ + + = +

∫ ax b C x

a b ax dx C e a dx

eax+b = ax+b +

∫

( ) (ax b) C

a dx b

ax+ = + +

∫cos 1sin

( ) (ax b) C

a dx b

ax+ =− + +

∫sin 1cos

(ax+b)dx= a (ax+b)+C

∫ 1tan

cos

2

(ax+b)dx=−a (ax+b)+C

∫ 1cot

sin

2

C u

du= +

∫

( 1)

1 ≠ + + = + ∫ α α α αdu u C

u

( 0)

ln + ≠ =

∫ u C u

u du

C e du

eu = u +

∫

(0 1)

ln + < ≠

=

∫ C a

a a dx a u u C u

udu= +

∫cos sin

C u

udu=− +

∫sin cos

C u du

u = +

∫ tan cos C u du

u =− +

∫ cot

sin

2

Bảng tính nguyên hàm bản

Bảng Bảng

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( số) ax + C

xα 1 x C α α + + +

(ax b+ )α

a

1 ( ) 1 ax b C α α + + + + x

ln x +C

ax b+ lna ax b+ +C

x a ln x a C a+ ax b A +

+ + ln ax b A C a A x

e ex+C eax b+ 1eax b C

a

+ +

sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos(ax b) C

a

− + +

cosx sinx + C cos(ax+b) sin(ax b) C

a + +

2 cos x

tanx + C

2

cos (ax b+ ) tan(a ax b+ )+C

1 sin x

-cotx + C

2

sin (ax b+ ) −1 cot(a ax b+ )+C '( )

( ) u x

u x

ln ( )u x +C

tanx −ln cosx +C

cotx ln sinx +C

2) Các tính chất tích phân:

Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [a; b]

• ( )

a

a

f x dx=

∫ ; ( ) ( )

b a

a b

f x dx= − f x dx

∫ ∫

• ( )

b

a

k f x dx=

∫ ( )

b

a

k f x dx∫ ( k số)

• [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x ±g x dx= f x dx± g x dx

∫ ∫ ∫

• ( ) ( ) ( )

b c b

f x dx= f x dx+ f x dx

∫ ∫ ∫ ( với a < c < b )

3) Các công thức lượng giác:

a) Công thức nhân đôi:

* sin2a = 2sina.cosa

* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a

b) Công thức hạ bậc:

* sin2a = 1 cos

2

a − * cos2a = 1 cos

2

a +

c) Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

* cos cos 1[cos( ) cos( )]

a b= a+b + a b− * sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

a b= a+b + a b− * sin sin 1[cos( ) cos( )]

2

a b= − a+b − a b−

4) Các công thức về lũy thừa căn bậc n:

Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : *

1 n a = an

m

n m n

a =a

* n n n a b = a b;

n n n

a a

b b = * a0 = 1; a1 = a ; a-n = 1n

a * a aα. β = aα β+ ; a a

a

α

α β β

− = * (a b )α =a bα α; a a

b b

α α

α

 

=

   

* ( ) aα β =aα β

5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

* a2 – b2 = (a+b)(a – b)

* ( )2 2 2

a±b =a ± ab b+

* 3 ( )( . 2)

a ±b = a±b a ∓a b b+ * ( )3 3 2 2 3

3

a±b =a ± a b+ ab ±b

B) Bài tập rèn luyện:

I) Tìm nguyên hàm

1) 10

2

x x x

dx x

− + +

−

∫ 2) 2

2011 2010dx

x − x+

∫ 3) 2(3 )10 x −x dx

∫ 4) 2 x dx x+ x −

∫ 5) ∫sin cosx xdx

II)Tính tích phân cơ bản

Bài 1: Tính tích phân

1) I1 =

1

3

0

(3x−1) dx

∫ 2) ( )

4

0

5

I =∫ x− dx 3) I2 =

2

0

x e− + dx

∫

4) I3 =

0

1 2x 1dx

− − +

∫

Bài 2: Tính tích phân

1) J1 = ( )

2

2

0

1

x + dx

∫ 2) J2 =

1 x dx x + −

∫ 3) J3 =

8 6 x x dx x + ∫

Bài 3: Tính tích phân

1) K1 =

0

s in3 cosx xdx π

∫ 2) K2 =

2

0

cos 2xdx π

∫ 3) K3 =

2

0

1

x

e − − dx

∫ Các tập tự luyện:

Tính tích phân:

1) L = ∫ − +

1

0

2

4 3 2)

(x x dx 2) I = ∫4 −

6 sin sin π π dx x

x 3) J =

dx x x

∫1 −+

2

4) K = dx x

x x

∫2 −

2 5

5) M = ∫

12 sin sin π xdx

x 6) N =

4

1

x− dx

∫

7) P =

sin 3xdx π

∫ 8) Q =

tan xdx π

∫ 9) R =

/4

2

/6sin cos

dx

x x

π

π

∫

10)

0

sin cos 2

x

E x dx

π

 

=  + 

 

∫ 11) 2( )

sin cos

F x x dx

π

=∫ +

III)Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( ) b

a

f x dx

∫

1) Loại 1: Tiến hành theo bước

+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy dx = u’(t)dt

+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận mới + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính

Bài 1: Tính tích phân 1) I1 =

1

2

1−x xdx.

∫ 2) I1 =

2

0

4−x dx

∫ 3) I2 =

2

1 9+x dx

∫

2) Loại 2: Tiến hành theo bước

+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy du = u’(x)dx

+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới α β α =u(a) β = u(b)

+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính Bài 1: Tính tích phân

1) J1 =

2

1

x

xe dx

∫ 2) J2 = 1 ln e x dx x +

∫ 3) J3 =

1

3

0

( 1)

x x − dx

∫

4) J4 =

2

2

4−x xdx.

∫ 5) J5 =

/2

4

cos (1 sin )

x dx x

π +

∫ 6) J6 = ∫ + x xdx cos sin π

Các tập tự luyện:

Bài 1: Tính tích phân:

1) I1 =∫ x − x dx

0

2

3 8. 2) I

2 = e xdx x ∫ − . .

3) I3 = ∫

+ e x dx x ) ln (

4) I4 = ∫ + 21

0 x2 dx

5) I5 = ∫

+ x x e dx e

6) I6 =

2010

0

( 1) x x− dx

∫

Bài 2: Tính tích phân:

1) I1 =

0

(2sinx 3) cosxdx π

+

∫ 2) I2 =

2

1

3

x x + dx

∫ 3) I3 = x dx x x + + + ∫

4) I4 =

2 tan cos x dx x π +

∫ 5) I5 =

2 1 3ln ln e x xdx x +

∫ 6) I6 = 1 x x e dx e − ∫

IV)Phương pháp tích phân từng phần:

• Cơng thức:

b b

b a

a a

udv=uv − vdu

∫ ∫

• Các dạng bản: Giả sử cần tính ( ) ( ) b

a

I =∫P x Q x dx Dạng

hàm P(x):

Đa thức Q(x): sinkx hay

coskx

P(x): Đa thức Q(x):ekx

P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b)

P(x): Đa thức Q(x): 12

sin x hay

1 cos x Cách

đặt

* u = P(x)

* dv Phần

lại biểu thức

dưới dấu tích phân

* u = P(x)

* dv Phần

lại biểu thức

dưới dấu tích

phân

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx * u = P(x) * dv Phần cịn lại

của biểu thức dấu

tích phân

Bài 1: Tính tích phân 1) I1 =

/4

0

2 cos 2x xdx π

∫ 2) I2 =

2

0

( 1) x x+ e dx

∫ 3) I3 =

2

2 ln(x x−1)dx

∫

4) I4 = ∫ cos π x

xdx 5) I

5 =

2

lnxdx x

∫ 6) I6 =

1

1

( 3) x

x e dx

− +

∫ Các tập tự luyện:

Tính tích phân:

1) I1 = ∫ −

e xdx x ln )

( 2) I2 = ∫

4 cos π x xdx

3) I3 = 2 ln e x dx x ∫

4) I4=

0

.cos sin

x x xdx

π

∫ 5) I5 = lnx dx x

∫ 6) I6 = ∫

1

0

dx e x

7) I7 =

ln

e

x xdx

∫ 8) I8 = sin x e xdx π ∫

V) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích:

1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết:

•••• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b

y = (trục hoành) được tính bởi: S = ( )

b

a

f x dx

∫ (1)

•••• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a;

x= b được tính bởi: S = ( ) ( )

b

a

f x −g x dx

∫ (2)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x =

Giải:

• Gọi S diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ( ) b

a

f x dx

∫ S =

2

0

x − dx

∫

• Phương trình: x2 -1= ⇔x = ±1 , nghiệm x = ∈[0;2] • Vậy S =

1

0

(x −1)dx

∫ +

2

1

(x −1)dx

∫ = ( ) x x − + ( ) x x

− = (đvdt)

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = – x2 y = x

Giải:

• Cận a,b nghiệm phương trình: – x2 = x ⇔x2 + x – = ⇔ x = x = -2 • Gọi S diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ( ) ( )

b

a

f x −g x dx

∫ S =

1

2

2

x x dx

−

+ −

• Vậy S =

2

2

2

x x dx

− + − ∫ = 2

(x x 2)dx − + − ∫ = 2 x x x −

+ − =

2 (đvdt)

* Lưu ý: Chỉ có thểđưa dấu trị tuyệt đối ngồi tích phân hàm số dấu tích phân không đổi dấu

trên [a; b]

2) Thể tích vật thể trịn xoay: Cơ sở lí thuyết:

Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn bởi đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = 2( )

b

a

f x dx π∫ (3)

Ví dụ 3:

a) Cho hình phẳng giới hạn đường y = 2x – x2 y = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh

ra hình phẳng quay quanh trục Ox.,

Giải:

• Phương trình 2x – x2 = ⇔ x = x =

• Gọi V thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V = 2( ) b

a

f x dx

π∫

Ta có V = 2 2

0

(2x x ) dx (4x 4x x dx)

π∫ − =π∫ − + = 4 ( ) x x x

π − + = 16 15

π

(đvtt)

b) Cho hình phẳng giới hạn đường y = – x2 y = x3 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh

bởi hình phẳng quay quanh trục Ox

Giải:

• Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = x = –1

• Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường

y = – x2, x = 0, x = –1 trục Ox hình phẳng quay quanh Ox:

Có V1 =

2

1

( x ) dx π

− −

∫ =1

5 π

• Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường

y = x3, x = 0, x = -1 trục Ox…:

Có V2 =

3

1

( )x dx π

−

∫ = 1

7π

Vậy thể tích V cần tính là: V = V1−V2 =

35π (đvtt)

Chú ý: Khi tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hai đường y = f(x) y = g(x) quay quanh trục

Ox, học sinh ngộ nhận dùng công thức ( ( ) ( ))2 b

a

V =π∫ f x −g x dx dẫn đến kết sai KQs : V =

105π đvtt

• Các tập tự luyện:

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = – x2 + 4x trục hoành KQ: S =

3 32 đvdt 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 0, sin , 0,

2

y= y= − x x= x=π

KQ: S = đvdt

3)Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường (P): y = – x2 y = – x – KQ: S =

2 9 đvdt

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox [1; 3] KQs: S = 200 đvdt

5) Tính thể tích hình trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox:

a) (P): y 2 = 8x vaø x = KQ: 16

π đvtt

b) y = x2 y = 3x KQ:

5

162π ñvtt

c) y = sin

x

; y = 0; x = 0; x = π

KQ: 2

π − đvtt

6) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y=0,y=x2+1,x=0,x=1 Tính thể tích vật thểđược tạo nên

hình (H) quay quanh trục ox

7) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y=0,y=x2−2,x=0,x=1 Tính thể tích vật thểđược tạo nên

hình (H) quay quanh trục ox

8) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường ( ) :C y=x3−3x2+3x−9, y=0,x=0 Tính thể tích vật thểđược

tạo nên hình (H) quay quanh trục ox

9) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y=0,y=2x−x2 Tính thể tích vật thểđược tạo nên hình (H)

khi quay quanh trục ox

VI) Đề thi tốt nghiệp THPT năm trước có liên quan đến tích phân:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y2 = 2x +1 y = x -1

(TNTHPT năm 2001 – 2002 )

Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y =

1 x x x x x 2 + + − +

+ , bieát

F(1) =

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=

2 x 12 x 10 x 2 + −

− trục hoành Ox (TNTHPT năm 2002 – 2003 )

Bài 3: Cho hàm số y =

1x3 – x2 (C).Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường y = 0, x =0, x = quay quanh trục Ox

(TNTHPT năm 2003 – 2004 )

Bài 4: Tính tích phân: I = ∫ + /

0

2 ).cos . sin ( π dx x x x

(TNTHPT năm 2004 – 2005 )

Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số :

y = ex, y = đường thẳng x = b Tính tích phân: I = ∫

− / cos sin π dx x x

(TNTHPT năm 2005– 2006)

Bài 6: Tính tích phân J = ∫ e dx x x ln

(TNTHPT năm 2006– 2007)

Bài 7: Tính tích phân I

1

2

1

(1 )

x x dx

−

=∫ − (TNTHPT năm 2007– 2008)

Bài 8: Tính tích phân I =

(1 cos )

x x dx

π +

∫ (TNTHPT năm 2008– 2009)

Bài 9: Tính tích phân I

1

2

0

( 1)

x x dx

=∫ − (TNTHPT năm 2009– 2010)

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP CÁC NĂM

Năm 2011

Năm 2010

Năm 2009 Năm 2008

Năm 2007

Năm 2006

Chuyên đề 8: SỐ PHỨC

A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYEÁT

1 Số phức biểu thức dạng a + bi, a, b số thực số i thỏa mãn 1

i = − Kí hiệu z a bi= +

•••• i: đơn vị ảo, •••• a: phần thực, •••• b: phần ảo

Chú ý:

• z a 0i a= + = gọi số thực (a∈⊂)

• z bi bi= + = gọi số ảo (hay số ảo)

• 0 0i= + vừa số thực vừa số ảo Biểu diễn hình học số phức:

• M(a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔⇔⇔⇔ z = a + bi

2 Hai số phức Cho hai số phức z a bi= + z ' a ' b 'i= + với a, b, a ', b '∈

a a ' z z '

b b ' =  = ⇔

= 

3 Cộng trừ số phức Cho hai số phức z a bi= + z ' a ' b 'i= + với a, b,a ', b '∈

( ) ( )

z z '+ = a a '+ + b b ' i+

( ) ( )

z z '− = a a '− + b b ' i−

4 Nhân hai số phức Cho hai số phức z a bi= + z ' a ' b 'i= + với a, b,a ', b '∈

( ) ( )

z.z '= aa ' bb '− + ab ' a 'b i+ Môđun số phức z = a + bi

• z = a2+b2 = OM

5 Số phức liên hợp số phức z = a + bi z a bi= − • z=z

• z = z • z+ =z 2a

• z z =a2+b2 = z2

x y

a b

O

M

x y

a b

O

M

7 Chia hai số phức

Cho hai số phức z a bi= + z ' a ' b 'i= + với a, b, a ', b '∈

oThương z’ chia cho z (z≠0):

2 2 2

' ' '

z z z z z ac bd ad bc i

z z z z a b a b

+ −

= = = +

+ +

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Căn bậc hai số phức

o z 0= coù bậc hai

o z a= số thực dương có bậc ± a oz a= số thực âm có bậc hai ± a i

2 Phương trình bậc ax + b = (a, b, c số phức cho trước, a ≠0): Giải tương tự phương trình bậc

với hệ số thực

3 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c laø

số thực cho trước, a ≠0) Tính ∆ =b2−4ac

o∆ >0: Phương trình có hai nghiệm phân bieät thực

1 b x , 2a − ± ∆ =

o∆ <0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức

1 b i x , 2a − ± ∆ =

o∆=0: Phương trình có nghiệm kép x b

2a = − II RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau

1) z=(2 4+ i)(3 5− i)+7 3( − i) 2) z= +3 2i+(1+i)2 3) z= +1 4i+(1−i)3 4) z=(1 2− i)(2+i)2 5) z=(4 3− i)2+(2+i)2

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau 1)

3 i z i + =

+ 2) ( )( )

3 i z i i + = + −

3) (2 )2 i z i i − = + −

+ 4) ( )

2 i z i i + = − − − 5)

4 i z i − =

+ 6) ( )2

2 i z i + = + Bài 3: Tìm mơđun số phức sau

1) z= −4 3i+(1−i)3 2) z=(1− 2i)2+3i 3) z= −1 3i+(1 2− i)2 4)

( )( ) i z i i − = − +

5) z=(4 3− i)2+(1 2+ i)3 Bài 4:

1) 2x yi 2i x yi 4i+ − + = − + + 2) (1−i)2−2 1x( −i)+y=0

3) (x+yi)2 = −5 12i 4) (1+i)(x+yi) (+ 1−i)2 = −2 3i Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức

1) 2iz+ =3 5z+4i 2) (3 2− i z) + − = +1 i i 3) (3 2i)z 5i 3i− + + = − 4) z 3i 2i

4 3i− + − = − Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức

1) 3 2 0

z + + =z 2) z2−4z+ =7

3) 2 5 4 0

z − z+ = 4) z2+ + =z

Bài 7: Giải phương trình sau tập số phức

1) z4 – 5z2 – = 2) z4 +7z2 – =

3) z4 – 8z2 – = 4) z4 + 6z2 + 25 =

Bài 8: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

1) z i+ = z 3i− − ; 2) z 1+ ≤

3) z+ −3 4i =2 4) z− − <1 i 5) z− +2 3i =5

Bài 9: Cho số phức ( ) ( )

( )

2

2

5

1

i i

z

i

+ − −

=

− Hãy tính z

Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn (z+ −i 3)( i−4)=5i+6 ĐỀ THI TRONG CÁC NĂM QUA

Bài 1. Giải phương trình 2x2−5x+ =4 tập số phức. TN THPT – 2006 Đáp số: 1 5 7 4 4

x = + i; 2 5 7

4 4

x = − i

Bài 2. Giải phương trình x2−4x+ =7 tập số phức.

TN THPT – 2007 (lần 1) Đáp số: x1 = +2 3i; x2= −2 3i

Bài 3. Giải phương trình x2−6x+25 0= tập số phức.

TN THPT – 2007 (lần 2) Đáp số: x1= +3 4i; x2 = −3 4i

Bài 4. Tìm giá trị biểu thức:

2

(1 ) (1 )

P= + i + − i TN THPT – 2008 (lần 1) Đáp số: P= −4

Bài 5. Giải phương trình x2−2x+ =2 tập số phức.

TN THPT – 2008 (lần 2) Đáp số: x1 = +1 i; x2 = −1 i

Bài 6. Giải phương trình 8z2−4z+ =1 tập số phức. TN THPT – 2009 (CB) Đáp số: 1 1 1

4 4

x = + i; 2

1 1 4 4

x = − i

Bài 7. Giải phương trình 2z2+6z+ =5 tập số phức. TN THPT – 2010 (GDTX) Đáp số: 1 3 1 2 2

x = − + i; 2 3 1

2 2

x = − − i

Bài 8. Cho hai số phức: z1= +1 2i, z2= −2 3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1−2z2

TN THPT – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – ; Phần ảo

Bài 9. Cho hai số phức: z1= +2 5i, z2= −3 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z z1 2 TN THPT – 2010 (NC) Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo

Bài 10. Gọi z, z hai nghiệm phức phương trình z2+2z+10 0= Tính giá trị biểu thức A=|z |2+|z |2.

ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20

Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn |z−(2+i) |= 10 z z=25.

ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số: z = + 4i ∨ z =

Bài 12. Trong mặt phẳng toạđộ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện |z−(3 ) | 2− i = .

ĐH Khối D – 2009 Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – ), bán kính R =

Bài 13. Cho số phức z thỏa mãn: (1+i) (22 −i z) = + +8 i (1 )+ i z Xác định phần thực phần ảo z. CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực – ; Phần ảo

Bài 14. Tìm phần ảo số phức z, biết: z=( 2+i) (12 − )i

ĐH Khối A – 2010 (CB) Đáp số: − 2

Bài 15. Cho số phức z thỏa mãn:

3

(1 )

i z

i

− =

− Tìm mơđun z iz+ .

ĐH Khối A – 2010 (NC) Đáp số:

Bài 16. Trong mặt phẳng toạđộ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện |z i− | | (1= +i z) |.

ĐH Khối B – 2010 (CB) Đáp số: đường trịn x2+(y+1 )2 =2

Bài 17. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | |z = z2 số ảo.

ĐH Khối D – 2010 Đáp số: z1 = + i; z2 = – i; z2 = –1 –i; z4 = –1+ i

Bài 18. Cho số phức z thỏa mãn: (2 )− i z+(4+i z) = − +(1 )i Xác định phần thực phần ảo z. CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – ; Phần ảo

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP CÁC NĂM

Năm 2011

Năm 2010

Năm 2009

Năm 2008 Năm 2007 Năm 2006

c b

a M

H C

B A

Chuyên đề 9: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC

ÔN TẬP 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10

1 Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ∆ABCvuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC2 = AB2+AC2

b) BA2 =BH.BC; CA2 =CH.CB

c) AB AC = BC AH

d) 2

1 1

1

AC AB

AH = +

e) BC = 2AM

f) sinB b, osc B c, tanB b, cotB c

a a c b

= = = =

g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a =

sin cos

b b

B = C ,

b = c tanB = c.cot C

2.Hệ thức lượng tam giác thường:

* Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin: 2

sin sin sin

a b c

R

A = B = C =

3 Các cơng thức tính diện tích:

a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: 1

2

S = a.ha =

1 .

sin . .( )( )( )

2 4

a b c

a b C p r p p a p b p c R

= = = − − − với

2

a b c p= + + Đặc biệt : ∆ABC vuông ở A : 1 .

2

S = AB AC

b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S = 12(chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : 1

2

S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

f/ Diện tích hình trịn : S=π.R2

4 Các hệ thức quan trọng tam giác đều:

ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A.QUAN HỆ SONG SONG

§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I Định nghĩa:

Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với nếu chúng khơng có điểm chung

a//(P) a (P)⇔ ∩ =∅

a

(P)

II.Các định lý:

ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)

d (P)

d / /a d / /(P) a (P)

 ⊄



⇒ 

 ⊂



d

a (P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a

a/ /(P)

a (Q) d/ /a

(P) (Q) d

 

⊂ ⇒



 ∩ =



d a (Q)

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với một đường thẳng giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

(P) (Q) d

(P)/ /a d/ /a (Q)/ /a

 ∩ =



⇒ 

 

a d

Q P

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song song với nếu chúng khơng có điểm chung

(P)/ /(Q) (P) (Q)⇔ ∩ =∅

Q P

II.Các định lý:

ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với nhau

a,b (P)

a b I (P)/ /(Q)

a/ /(Q),b/ /(Q)

 ⊂



∩ = ⇒

  

I b

a

Q P

ĐL2: Nếu một đường

thẳng nằm một hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng kia

(P) / /(Q)

a / /(Q) a (P)



⇒ 

⊂



a

Q P

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) phải cắt (Q) các giao tuyến của chúng song song

(P) / /(Q)

(R) (P) a a / /b (R) (Q) b

 

∩ = ⇒



 ∩ =

 b

a R

Q P

B.QUAN HỆ VNG GĨC

§1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

I.Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi vuông góc với một mặt phẳng nếu vng góc với mọi đường thẳng nằm mặt phẳng đó

⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂

a mp(P) a b, b (P)

Hệ quả:

 ⊥

⇒ ⊥



⊂



a mp(P) a b

b mp(P) P c

a

II Các định lý:

ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b cùng nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P)

d a,d b

a,b mp(P) d mp(P) a,b caét nhau

 ⊥ ⊥  ⊂ ⇒ ⊥    d a b P

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ của a (P)

⊥

⊥

⇔ ⊥

⊂ a mp(P),b mp(P) b a b a'

a' a

b P

§2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

I.Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi vng góc với nếu góc giữa chúng bằng 900

II Các định lý:

ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng khác hai mặt phẳng đó vng góc với

a mp(P) mp(Q) mp(P) a mp(Q)  ⊥ ⇒ ⊥  ⊂  Q P a

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau bất cứ đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến của (P) (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q)

(P) (Q)

(P) (Q) d a (Q) a (P),a d

 ⊥  ∩ = ⇒ ⊥   ⊂ ⊥  d Q P a

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau A một điểm trong (P) đường thẳng a đi qua điểm A vng góc với (Q) sẽ nằm (P)

(P) (Q)

A (P) a (P)

A a a (Q)  ⊥  ∈  ⇒ ⊂  ∈   ⊥  A Q P a

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba

(P) (Q) a

(P) (R) a (R)

(Q) (R)

 ∩ =



⊥ ⇒ ⊥



 ⊥



a

R

Q P

§3.KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách giữa hai điểm M H, trong đó H hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

a H O

H O

P

2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ một điểm đó của a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

P

3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ mặt phẳng đến mặt phẳng

d((P);(Q)) = OH

H O

Q P

4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó

d(a;b) = AB

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

B A

b a

§4.GĨC

1 Góc giữa hai đường thẳng a b

là góc giữa hai đường thẳng a’ b’ cùng đi qua một điểm lần lượt phương với a b

b' b

a' a

2 Góc giữa đường thẳng a khơng

vng góc với mặt phẳng (P)

là góc giữa a hình chiếu a’ của trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói rằng góc giữa đường thẳng a mp(P) 900

P a' a

3 Góc giữa hai mặt phẳng

là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó

Hoặc góc giữa đường thẳng nằm trong mặt phẳng vng góc với giao tuyến tại điểm

b a

Q P

P Q

a b

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích của đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) của (H) mp(P’)

S' Scos= ϕ

trong đó ϕlà góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’)

ϕ ϕ ϕ

ϕ C

B A

S

C CÁC HÌNH ĐA DIỆN

§1 Hình chóp

1 Hình chóp:

Cho đa giác A1A2 An một điểm S nằm mặt phẳng chứa đa giác đó Nối S với đỉnh A1, A2, ,An đềđược n tam giác: SA1A2, SA2A3, ,SAnA1 Hình gồm n tam giác đó đa giác A1A2 An gọi hình chóp được ký hiệu S.A1A2 An

2 Hình chóp đều:

• Một hình chóp được gọi hình chóp đều nếu đáy của đa giác đều cạnh bên bằng nhau

• Một hình chóp được gọi hình chóp đều nếu đáy của đa giác đều có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tứ giác đều + Trong một hình chóp đều

- Các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau

- Các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau

§2 Hình lăng trụ

1 Hình lăng trụ:

Hình hợp bởi hình bình hành A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ,AnA1A'1A'2 và hai đa giác A1A2 An, A'1A'2 A'n gọi hình lăng trụ hoặc lăng trụ, ký hiệu A1A2 An.A'1A'2 A'n

+ Trong một hình lăng trụ - Các cạnh bên bằng nhau;

- Các mặt bên hình bình hành; - Hai đáy hai đa giác bằng

2 Hình hộp: hình lăng trụ có đáy

hình bình hành

+ Trong một hình hộp

- Các mặt bên hình bình hành; - Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

3 Hình lăng trụ đứng: hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy

+ Trong hình lăng trụđứng - Độ dài cạnh bên chiều cao; - Các mặt bên hình chữ nhật

4 Hình lăng trụ đều: hình lăng trụ

đứng có đáy đa giác đều

+ Trong hình lăng trụđều - Độ dài cạnh bên chiều cao; - Các mặt bên hình chữ nhật bằng

5 Hình hộp đứng: hình lăng trụ

đứng có đáy hình bình hành

6 Hình hộp chữ nhật: hình hộp

đứng có đáy hình chữ nhật

7 Hình lập phương: hình hộp chữ nhật có tất cả cạnh bằng

Chuyên đề 10: THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

A TĨM TẮT GIÁO KHOA

I Thể tích khối đa diện

1 Thể tích của khối chóp

• Định lý: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là:

1

V .B.h

3

=

2 Thể tích của khối lăng trụ

• Định lý: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là:

V B.h=

B THỰC HÀNH GIẢI TOÁN

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3: Bài 4:

Bài 5:

Bài 6: Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB=600, BC=a,

3

SA=a Gọi M trung điểm SB Tính thể tích khối chóp MABC

Bài 10:

Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B BC =a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc

hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 11:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng C, AC=a, AB=2a, SA vng góc với đáy Góc mặt

phẳng (SAB) mặt phẳng (SBC) 600 Gọi H, K hình chiếu A lên SB SC Chứng minh AK ⊥HK tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 12:

Cho hình chóp SABC có SB=SC =BC=CA=a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể

tích khối chóp S.ABC

Bài 13:

Khối chóp SABC có hai mặt phẳng (SBC) (ABC) vng góc với SB=SC=a, 600

ASB=BSC=CSA= Gọi M trung điểm SA Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 14:

Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB=a 2, (SAC) (⊥ ABC) Trong SAC tam

giác cân S ASC =1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 15 :

Đáy ABC hình chóp S.ABC tam giác vuông cân (BA BC)= Cạnh bên SA vng góc với mặt

phẳng đáy có độ dài a Cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Tính diện tích tồn phần hình

chóp

Bài 16:

Đáy ABC hình lăng trụ ABC.A'B'C' tam giác cạnh a Góc cạnh bên hình lăng trụ mặt đáy 300 Hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H

cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' Bài 17:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên nghiêng với đáy góc 600, độ dài cạnh đáy BC 3, AC 4, AB 5= = = Tính thể tích V khối chóp S.ABC

Bài 18:

Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, cạnh đáy BC a, BAC 60= = Các cạnh bên nghiêng đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 19:

Cho tứ diện SABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), hai mặt bên SAB SBC vng góc với

nhau, SB a 2, BSC 45 , ASB= = = α; 0( < α <900) Tính thể tích khối tứ diện đã cho Bài 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a BC, =2a đường cao hình chóp SA=3a

1) Tính diện tích xung quanh hình chóp cho

2) Xác định tâm tính theo a bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABCD

Bài 21:

Bài 22:

Bài 23:

Bài 24:

Bài 25:

Bài 26:

Bài 27:

Bài 28:

Chuyên đề 11: MẶT CẦU

A TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Mặt cầu khái niệm liên qua đến mặt cầu

1 Mặt cầu

• Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cốđịnh khoảng không đổi R (R>0)

gọi mặt cầu tâm O bán kính R Ký hiệu: S O; R)( )

S O; R)( ) {= M | OM R= }

• Nếu hai điểm C, D nằm mặt cầu S O; R)( ) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu • Dây cung AB qua tâm O gọi đường kính mặt cầu Khi độ dài đường kính 2R • Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu

2 Điểm nằm nằm mặt cầu

Cho mặt cầu tâm O bán kính R A điểm khơng gian • Nếu OA R= ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S O; R)( )

• Nếu OA R< ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S O; R)( ) • Nếu OA R> ta nói điểm A nằm ngồi mặt cầu S O; R)( )

Khối cầu: Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S O; R)( ) với điểm nằm mặt cầu gọi

khối cầu hình cầu tâm O bán kính R

Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

• Mặt cầu có bán kính R có diện tích là:

2

S = π4 R

• Khối cầu bán kính R có bán kính là:

3

V 4 R

3

= π

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện hình đa

diện gọi nội tiếp mặt cầu

Một số kiến thức cơ bản có liên quan

M: điểm nhìn đoạn AB góc vng

0 AB

AMB 90 MI

I la trung diem AB 2

 = ⇒

=

∆: đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB

M∈ ∆ ⇔ MA MB=

α: mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB

M∈ α ⇔ MA MB=

∆: trục tam giác ABC

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đa giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác được gọi trục của đa giác

M∈ ∆ ⇔ MA MB MC= =

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều ?

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều ?

B THỰC HÀNH GIẢI TOÁN

Bài

Bài

Bài

Bài

Bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, AB=2a, mặt bên ABC tam

giác mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Xác định tâm tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP CÁC NĂM

Năm 2011

Năm 2010

Năm 2009

Năm 2008

Năm 2007

Năm 2006

Chuyên đề 12: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tọa độ điểm véc tơ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

1 M x( M;yM;zM)⇔OM = x iM+y jM+z kM

2 a =( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ a=a i1+a j2+a k3

2. Biểu thức tọa độ phép toán véc tơ

Trong không gian Oxyz Cho a =( ; ; )a a a1 2 3 và b=( ; ; )b b b1 2 3 ta có

a b± =(a1±b a1; 2±b a2; 3±b3)

k a =(ka ka ka1; 2; 3)

1 2 3

a b

a b a b

a b =

 

= ⇔ =

 =



a bcùng phương

1

2

3

:

a kb

k R a kb a kb

a kb

=

 

⇔ ∃ ∈ = ⇔ =



=



Cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) AB=(xB −xA;yB −y zA; B −zA)

M trung điểm AB M    



 + + +

2 ; ;

B A B A B

A x y y z z x

3. Tích vơ hướng ứng dụng

Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hướng của a=( ; ; )a a a1 2 3 và b=( ; ; )b b b1

là:

a b = a b c os(a; )b =a b1 1+a b2 2+a b3

2

1

a = a +a +a

( )2 ( )2 ( )2

B A B A B A

AB= x −x + y −y + z −z

12 22 2 23

1 3

. . .

s( , )

.

a b a b a b co a b

a a a b b b

+ +

=

+ + + + (với a≠0 ,b≠0

)

a b vng góc ⇔a b1 1 +a b2 2+a b3 3 =0

4. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2

Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2-D >

là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính 2 r= A +B +C −D

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

B. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:

• n ≠ 0 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) ⇔ n ⊥ (α) 2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

* Định nghĩa: Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với

A2+B2+C2

≠ được gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = có véctơ pháp tuyến n=( ; ; )A B C

• Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận n=( ; ; )A B C

làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =

• Nếu (P) có cặp vectơ a=( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 2 3 = b b b1 2 3 khơng phương có giá song song hoặc nằm (P) vectơ pháp tuyến của (P) được xác định n = 3 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 1 a a a a a a

, ; ; ( ; ; )

b b b b b b

a b   a b a b a b a b a b a b

  =  = − − −  

 

* Các trường hợp riêng của phương trình măt phẳng

Trong không gian Oxyz cho mp(α): Ax + By + Cz + D = Khi đó:

D = chỉ (α)đi qua gốc tọa độ

A=0 ,B≠0 ,C ≠0, D ≠0 chỉ ( )α song song với trục Ox

A=0 ,B = ,C≠0, D ≠0 chỉ ( )α song song mp (Oxy ) A,B,C,D≠0 Đặt a D , b D , c D

A B C

= − = − = − Khi đó ( ) : x y z

a b c

α + + =

(Các trường hợp lại xét tương tự) 3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho (α1): A1x+B1y+C1 z+D1 = 0, (α2): A2x+B2y+C2z+D2 =

( )

1 1; ;1 n = A B C

n2 =(A B C2; ;2 2) lần lượt VTPT của ( )α1 ( )α2 Khi đó

(α1) cắt (α2) ⇔ n1 ≠k n2 ⇔(A B C1; ;1 2)≠k A B C( 2; ;2 2)

(α1) // (α2) ⇔

( 1 2) ( 2 2)

1

1

1

; ; ; ;

A B C k A B C n k n

D kD D kD

 =  =

 

⇔

 

≠

≠ 

 



(α1) ≡ (α2) ⇔

( 1 2) ( 2 2)

1

1

1

; ; ; ;

A B C k A B C n k n

D kD D kD

 =  =

 

⇔

 

=

= 

 



Đặc biệt

(α1) ⊥ (α2) ⇔n n1 = ⇔0 A A1 2+B B1 2+C C1 =0

4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = cho công thức :

0 0

0 2 2 2

Ax By Cz D d(M , )

A B C

+ + +

α =

+ +

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

C. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Phương trình tham số của đường thẳng:

* Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) có vec tơ chỉ phương a =( ; ; )a a a1 2 3 :

0

0

0

(t R) x x a t

y y a t z z a t

= +

 

= + ∈



 = + 

* Nếu a1, a2 , a3đều khác khơng Phương trình đường thẳng∆ viết dưới dạng tắc như sau:

0

1

x x y y z z

a a a

− − −

= =

2. Vị trí tương đối của đường thẳng mặt phẳng

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng ' ' 1 ' ' 2 ' '

0 3

' : ': ' ' o o o o o x x a t x x a t

d y y a t d y y a t

z z a t z z a t

 = + = +    = + = +    = +  = +  

d có vtcp a=(a1;a2;a3)đi qua M(xo;yozo); d’có vtcp ( ; ; ')

3 ' ' ' a a a

a = đi qua M’(xo;yozo);

a. a, a' phương

d // d’⇔

    ∉ = ' ' d M a k a

d ≡ d’ ⇔

    ∈ = ' ' d M a k a

b. a, a' không phương

' ' 1 ' ' 2 ' '

0 3

' ' ' o o o o o x a t x a t y a t y a t z a t z a t

 + = +  + = +   + = +  (I)

d cắt d’ ⇔ Hệ Phương trình (I) có một nghiệm

d chéo d’⇔ Hệ Phương trình (I) vơ nghiệm

2 Vị trí tương đối của đường thẳng mặt phẳng

Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D =

1 : o o x x a t

d y y a t

z z a t

= +   = +   = + 

pt: A(xo+a1t) + B(yo+a2t) + C(z0+a3t) + D = (1)

Phương trình (1) vơ nghiệm d // (α)

Phương trình (1) có một nghiệm d cắt (α)

Phương trình (1) có vơ số nghiệm d⊂(α)

Đặc biệt :

(d) ⊥ (α ) ⇔ a n, phương

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Bài 12:

Bài 13:

Bài 14:

Bài 15:

Bài 16:

Cho hai đường thẳng lần lược có phương trình ( ):

2

x y

d − = − = +z

− ( )

0

' :

5 x

d y t

z t

=

 

= +



 = − − 

Viết phương trình mặt phẳng ( )α song song cách hai đường thẳng Bài 17:

Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+2y+ −z 12 0= hai điểm A(3; 4; ,− ) (B −1;0; 4− ) Viết phương trình

mặt cầu (S) qua hai điểm A, B tiếp xúc với mặt phẳng (P) Bài 18: (TN 2011)

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TNPT

-

I Tìm hiểu về dịng máy tính học sinh sử dụng :

570MS 500ES 570ES 570ES PLUS

Các dịng máy tính học sinh sử dụng có đầy dủ phép tốn hổ trợ chương trình tốn

bậc trung học phổ thơng

Các dịng máy CASIO ES có giao diện thân thiện, giúp học sinh dễ thao tác sử dụng

Riêng dịng máy tính CASIO 570ES PLUS cho số vô tỷ (số chứa căn) thích hợp cho

học sinh (học sinh sử dụng nhiều)

II.Nhóm thao tác yêu cầu đối với học sinh lớp 12 cần nắm vững :

1.Nhóm phương trình, hệ phương trình:

• Giải phương trình bậc hai :

Ví dụ : Giải phương trình x2 +6x+8=0

Kết x=−2 ; x=−4 • Giải phương trình bậc ba :

Ví dụ : Giải phương trình x3 −6x2 +11x−6=0

Kết x=1 ; x=2 ; x=3 • Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :

Ví dụ : Giải hệ phương trình   

= +

= −

48

2

y x

y x

Kết x=6 ; y=2

• Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn :

Ví dụ : Giải hệ phương trình     

= + + −

= − +

= + +

6

9

10

z y x

z y x

z y x Các nhóm sử dụng CASIO cho lớp 12

Phương trình, Hệ phương trình Tính giá trị biểu thức chứa biến Giải phương trình mũ, logarit

Tính đạo hàm, tích phân Số phức

Độ dài véctơ, tích vơ hướng, tích có hướng

Kết x=3 ; y=2 ; z=1

• Giải phương trình sử dụng chức năng SOLVE :

Rất hữu ích cần nhẫm nghiệm, đốn nghiệm, tìm nghiệm phương trình chưa tìm hướng giải

Ví dụ : Giải phương trình 10−x− 2x+4 =0

Kết x=6

2.Nhóm tính giá trị của một biểu thức:

• Tính trực tiếp:

Ví dụ : Cho

3

2

5

+ +

+ − − + =

x x x

x

y , tính y(2)=?

Kết

3 11 666666667 ,

3 )

( = =

y

• Tính với biến thay đổi : Nhập hàm, sử dụng phím CALC, nhập biến

Ví dụ : Cho

3

2

5

+ +

+ − − + =

x x x

x

y , tính y(2)=? y(1)=?

Kết

3 11 666666667 ,

3 )

( = =

y

Kết y(1)=1,845034826

3.Nhóm giải phương trình mủ logarít:

Ví dụ : giải phương trình 4x −3.2x+1+8=0

Kết x=1; x=2

4.Nhóm tính đạo hàm, tính tích phân:

• Tính giá trịđạo hàm tại một điểm:

Bài tốn: Tính đạo hàm hàm số y = f(x) x = x0

Cú pháp: d\dx(hàm số, giá trị x) hoặc ( )

0

) (x x x f

dx d

=

Nếu ta nhập sai hàm số f(x) không liên tục x0 máy báo lỗi “ Math ERROR”

.Đối với phần lớn hàm số ta nhập sai hàm số f(x) liên tục x0 mà khơng có đạo hàm

tại x0 máy thơng báo “ Time Out ”

Nếu f(x) có dạng lượng giác cài đặt máy mode R (tính theo đơn vị radian)

Nếu giá trị phương án có số vơ tỉ cài đặt hiển thịở chếđộ fix-

Ví dụ : Cho hàm số

4

− + − =

x x x

y Tính giá trị /(5)=? y

Kết y/(5)=−8

• Tính tích phân xác định của hàm số:

Cú pháp ∫ ( hàm số, a, b) hoặc ∫

b

a

dx x f( )

Ví dụ : Tính tích phân =∫ e

xdx x I

1 ln

Kết

2 194529316

,

2 + =

= e

I

5.Nhóm số phức :

• Các phép tốn đại số với số phức:

Ví dụ : Thực phép tốn

i i i i z

4

) ( )

(

− + − + =

Kết z i

5 10

3 + =

• Giải phương trình bậc hai(hệ số thực) nghiệm phức:

Ví dụ : giải phương trình z2 −2z+10=0

Kết z1 =1+3i z2 =1−3i • Tính modun acgumen số phức:

Ví dụ : Tìm modun cuả số phức z=3+4i

Kết r=5

Ví dụ : Tìm acgumen cuả số phức z= 3+i

Kết α =300

4.Nhóm tính độ dài vectơ, tích có hướng, tích vơ hướng:

• Tính độ dài vectơ:

Ví dụ : Tính độ dài =(1;2;2)

→ a

• Tính tích vơ hướng hai vectơ :

Ví dụ : Cho =(1; 2; 2)

→

a =(3; −4;5) →

b Tính

→ →

b a

Kết =5 → →

b a

• Tính tích có hướng hai vectơ :

Ví dụ : Cho =(1; 2; 2)

→

a =(3; −4;5) →

b Tính   → →

b a

Kết =(18;1;−10)

   → →

b a

III.Một số ý sử dụng máy tính CASIO :

Nếu f(x) có dạng lượng giác cài đặt máy mode R (tính theo đơn vị radian) Nếu giá trịở phương án có số vơ tỉ cài đặt hiển thịở chếđộ fix-

Một điểm mạnh máy tính CASIO FX 570ES hàm số dấu tích phân có thểđặt dấu

giá trị tuyệt đối nên việc tính diện tích hình phẳng thuận lợi

Ln xố nhớ khơng dùng đến để tránh sai sót q trình tính tốn

IV.Phân tích cách sử dụng máy tính CASIO cho thi TNTHPT-2011:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2011 - Mơn thi: TỐN-Giáo dục trung học phổ thơng

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao để

-

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số

1

1

− + =

x x y

1.Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2.Xác định toạđộ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y =x+2

1 Dùng lệnh CALC học sinh có thể tính giá trị của hàm số tại điểm x=?để tìm một sốđiểm

đặc biệt để vẽđồ thị hảm số

2 Dùng lệnh về giải phương trình.(Giải phương trình bậc hoặc phím SOLVE)

Câu 2: (3điểm)

1.Giải phương trình 72x+1−8.7x ++1=0

Dùng lệnh về giải phương trình.(Giải phương trình bậc hoặc phím SOLVE) Dùng lệnh SOLVE dể dàng tìm được nghiệm của phương trình x=0; x=−1 Giúp học sinh kiểm tra lại kết quả làm của

2.Tính tích phân ∫ +

e

dx x

x

ln

Dùng chức năng tính tích phân, tính trực tiếp từ máy ta được kết quả

15 38

Học sinh dễ dàng kiểm tra lại kết quả làm của

3 Xác định giá trị tham số m để hàm số y=x3 −2x2 +mx+1 đạt cực tiểu x=1

Sau tìm được giá trị m=1, học sinh có thể sử dụng chức năng tính giá trị của đạo hàm tại điểm

1 =

x để kiểm tra kết quả có phải đạo hàm bằng ?

Câu : (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D với AD = CD

=a, AB = 3a Cạnh bên SA vng góc với đáy cạnh bên SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối

chóp S.ABCD theo a

Với câu này, máy tính chỉ tham gia vào tính căn bậc hai, giá trị lượng giác…

II PHẦN RIÊNG- PHẦN TỰ CHỌN ( 3 điểm)

Thí sinh chỉđược làm một hai phần(phần hoặc phần 2)

1. Theo chương trình Chuẩn (3,0 điểm)

Câu 4a : (2 điểm)Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho điểm A(3;1;0)và mặt phẳng (P) có phương

trình 2x+2y−z+1=0

1) Tính khoảng cách từđiểm Ađến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q)đi qua điểm A

song song mặt phẳng (Q).

2) Xác định toạđộ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (P).

Sử dụng phép tính cơ bản hoặc chức năng tính tốn véc tơđể hỗ trợ

Câu 5b : (1 điểm) Giải phương trình (1−i)z+(2−i)z=4−5i tập số phức

Sử dụng phép tính cơ bản về số phức học sinh có thể dễ dàng tìm được nghiệm của phương

trình.

2 Theo chương trình Nâng cao (3,0 điểm)

Câu 4b :(2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;3), B(−1;−2;1), C(−1;0;2)

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

2) Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từđỉnh A

Sử dụng phép tính cơ bản hoặc chức năng tính tốn véc tơđể hỗ trợ

Câu 5b :(1 điểm) Giải phương trình ( − )2 +4=0 i

z tập số phức

Sử dụng phép tính cơ bản về số phức

3 ĐỀ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ SỐ

(Diễn tập năm 2009)

I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số y 2x

x

+ =

−

1 Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm (C) có tung độ y= −3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hoành trục tung

Câu (3,0 điểm)

1 Giải phương trình: 1( ) 1( ) 1 ( ) ( )

2 2

log x− +1 log x+ −1 log 7−x =1 x∈R

2 Tính tích phân: ( )

2

4

I sin x cos xdx

π

=∫ +

3 Cho tập hợp D={x∈| 2x2 +3x− ≤9 0} Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm

số y =x3−3x+3 D

Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông

B, AB=a 3, AC=2a, góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) 600 Gọi M trung điểm AC Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từđiểm M đến mặt phẳng (SBC) II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Học sinh học chương trình chỉđược làm phần dành riêng cho chương trình (phần phần 2) 1 Theo chương trình Chuẩn

Câu 4.a (2.0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

( )1

x y z

d :

2

− = + = − , ( )

2

x y z

d :

3 2

− = − = −

− điểm A(1; 1;1)−

1 Chứng minh ( )d1 ( )d2 cắt

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ( )d1 ( )d2 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P)

Câu 5.a (1.0 điểm) Tìm mơđun số phức ( )

3

1 2i i

z

1 i + − − =

+ 2 Theo chương trình Nâng cao

Câu 4.b (2.0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

( )1

x y z

d :

1

− −

= = ( )d :2 x y z

1 1

− = + = − −

1 Chứng minh ( )d1 ( )d2 chéo

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ( )d1 song song với ( )d2 Tính khoảng cách ( )d1 ( )d2

Câu 5.b (1.0 điểm) Tính viết kết dạng đại số số phức

8

1 i z

1 i  +    =  

 −

  Hết

ĐỀ SỐ

(Diễn tập năm 2010)

I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH(7,0 điểm) Câu 1(3,0 điểm). Cho hàm số y= −x3−3x2+4

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3+3x2+m− =4

Câu 2(3,0 điểm)

1) Giải phương trình log23x−8log3 x+ =3

2) Tính tích phân I = 2

1

ln +

∫e x xdx

x

3) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số ( ) +2(4 )

= x −

f x e x x đoạn 3; 2

 

 

 

Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh B, AC a= , cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Gọi G trọng tâm

của tam giác SAB, tính thể tích khối chóp G.ABC theo a

II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉđược chọn một hai phần (phần cho chương trình chuẩn 4a,5a; phần cho

chương trình nâng cao 4b,5b)

1 Theo chương trình Chuẩn:

Câu 4a (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; -5) đường thẳng (d) có phương trình:

x y z

2

− +

= =

−

1) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng (d)

Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng (P) đường thẳng (d)

2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) qua hai điểm A O

Câu 5a (1,0 điểm) Giải phương trình (z+2)2+2(z+2) 0+ = tập số phức

2 Theo chương trình Nâng cao:

Câu 4b (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đường thẳng (d) có phương trình:

(S):x2+y2+z2−8x 6y 4z 15 0+ − + = (d): x y z

3

+ +

= =

−

1) Xác định tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng (d)

2) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) vng góc với (d)

Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình z2−(4 2i z 4i 0− ) + − = tập số phức

-Hết -

ĐỀ SỐ

(Diễn tập năm 2011)

I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH(7,0 điểm)

Câu 1(3,0 điểm). Cho hàm số 11

4

y= − x + x + có đồ thị (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=6x+2011

Câu 2(3,0 điểm)

1) Giải bất phương trình 1( 2− + )≥ 1

2

log x 3x log

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn đường

( 2)3

0, , 0,

1

x

y y x x

x

= = − = =

+

3) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos 2x+2sinx+2m− =3 có nghiệm x ;5 6 π π

 

∈ − 

 

Câu 3(1,0 điểm).Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt

phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC, khoảng cách AA’ BC

a

Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A’B’C’ theo a

II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)Thí sinh chỉđược làm một hai phần (phần hoặc phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn:

Câu 4a (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình:

(S):x2+y2+z2−2x 2y 2z 22 0− − − = , (P): 3x 2y 6z 28 0− + − =

1) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I mặt cầu (S) vng góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ hình chiếu

vng góc điểm I mặt phẳng (P)

2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có chu vi 8π

Câu 5a (1,0 điểm) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình (z−2)2−2(z+2) 13 0+ =

Tính giá trị biểu thức P=z12+z22

2 Theo chương trình Nâng cao:

Câu 4b (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đường thẳng d có phương trình:

(S):x2+y2+z2+2x 4y 6z 0− − − = , d: x y z

1

− −

= =

1) Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua tâm I mặt cầu (S) vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ hình

chiếu vng góc điểm I đường thẳng d

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có chu vi 8π

Câu 5b (1,0 điểm).Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z2−2 i z 2i 0( + ) + + =

Tính giá trị biểu thức P= z12+ z2

-Hết -

26 ĐỀ THI ÔN TẬP TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

SỞ GD & ĐT KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thơng

Đề số 01 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = −(1 x) (42 −x)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị ( )C hàm sốđã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C giao điểm ( )C với trục hồnh 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x3−6x2 +9x − +4 m =0 Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 22x+1−3.2x − =2 2) Tính tích phân:

1

0

(1 ) x

I = ∫ +x e dx

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y =e xx( 2− −x 1) đoạn [0;2] Câu III (1,0 điểm):

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích

hình chóp

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉđược chọn một hai phần dưới đây 1 Theo chương trình chuẩn

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạđộOxyz, cho A(2; 0; 1), (1; 2; 3), (0;1;2)− B − C

1) Chứng minh điểm A,B,C khơng thẳng hàng.Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2) Tìm toạđộ hình chiếu vng góc gốc toạđộO lên mặt phẳng (ABC)

Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp số phức z biết rằng: z +2z = +6 2i

2 Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạđộOxyz cho A(2; 0; 1), (1; 2; 3), (0;1;2)− B − C

1) Chứng minh điểm A,B,C khơng thẳng hàng.Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC

86

SỞ GD & ĐT KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thông

Đề số 02 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y =x3−3x2 +3x

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị ( )C hàm sốđã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình

y = x

Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 6.4x −5.6x −6.9x =0 2) Tính tích phân:

0

(1 cos )

I x xdx

π

= ∫ +

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y =e xx( −3) đoạn [–2;2] Câu III (1,0 điểm):

Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân (BA = BC), cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy có độ dài a 3, cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Tính diện tích tồn phần hình chóp II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉđược chọn một hai phần dưới đây

1 Theo chương trình chuẩn

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạđộOxyz cho điểm A(2;1;1) hai đường thẳng

,

1 2

: :

1 2

x y z x y z

d − = + = + d′ − = − = +

− − −

1) Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua điểm Ađồng thời vng góc với đường thẳng d

2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d′

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau tập số phức:

4

( )z −2( )z − =8 2 Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho mp(P) mặt cầu (S) có phương trình ( ) :P x −2y+2z + =1 ( ) :S x2 +y2 +z2 – 4x +6y+6z +17=0 1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng

2) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dạng lượng giác

2

z

i

= + - Hết -

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = − +x4 4x2−3

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị ( )C hàm sốđã cho

2) Dựa vào ( )C , biện luận số nghiệm phương trình: x4−4x2 + +3 2m =0 3) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C điểm ( )C có hồnh độ Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 7x +2.71−x − =9 2) Tính tích phân:

2

(1 ln ) e

e

I = ∫ + x xdx

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:

2

2

1

x x

y

x

+ + =

+ đoạn [−12;2]

Câu III (1,0 điểm):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, SA = 2a Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉđược chọn một hai phần dưới đây 1 Theo chương trình chuẩn

Câu IVa (2,0 điểm): Trong khơng gian với hệ toạđộ ( , , , )O i j k

, cho OI =2i +3j −2k

mặt phẳng ( )P có

phương trình: x −2y−2z− =9

1) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm điểm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

2) Viết phương trình mp( )Q song song với mp( )P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( )S

Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây:

3 4 3 1

y =x − x + x − y= −2x +1 2 Theo chương trình nâng cao

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) đường thẳng d có phương

trình:

1

x − y− z

= =

1) Hãy tìm toạđộ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc vớiđường thẳng d

Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ pt log4 log4 log 94 20

x y

x y

 + = + 

 + − = 

88

SỞ GD & ĐT KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thông

Đề số 04 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:

1

x y

x

− =

−

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị ( )C hàm sốđã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc – Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: log22x −log (4 )4 x2 − =5 2) Tính tích phân:

0

sin cos cos

x x

I dx

x

π

+ = ∫

3) Tìm giá trị tham sốmđể hàm số sau đạt cực tiểu điểm x =2

3 2

3 ( 1)

y =x − mx + m − x +

Câu III (1,0 điểm):

Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, BAC= 300 ,SA = AC = a SA vng góc với mặt

phẳng (ABC).Tính VS.ABC khoảng cách từAđến mặt phẳng (SBC)

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉđược chọn một hai phần dưới đây 1 Theo chương trình chuẩn

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ ( , , , )O i j k

, cho OM =3i +2k

, mặt cầu ( )S có phương

trình: (x −1)2+(y+2)2 +(z −3)2 =9

1) Xác định toạđộ tâm I bán kính mặt cầu ( )S Chứng minh điểm M nằm mặt cầu, từđó

viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu M

2) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I của mặt cầu, song song với mặt phẳng ( )α , đồng thời vng góc với đường thẳng :

3 1

x + y− z −

∆ = =