Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 34

(THCS §Æng Thai Mai, TP.. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB.. Kh«ng khÝ nãng hÇm hËp khiÕn th¸m tö ngñ kh«ng ®­îc ngon giÊc. Ngµi c¶nh s¸t tr­ëng thµnh phè ®ang rÊt cÇn sù hç trî cña th¸m [r]

1 l KÕt qu¶ :

Lập phép tính !

l Kì :

l Các biểu thức số sau sử dụng đến bốn chữ số 4, kí hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, bậc hai, dấu ngoặc đơn có giá trị 24

l Chỉ có hai bạn đưa đủ 16 biểu thức số hoàn toàn khác Ngồi ta cịn tạo

được nhiều biểu thức tương tự cách hoán vị, đảo dấu cộng trừ, thêm dấu ngoặc đơn, thay  (4), thay

Một số bạn khơng đọc kĩ đề tốn nên đưa số biểu thức số có chứa số mũ

Các bạn thưởng kì : Đinh Huệ Quyên, 9A1, THCS Phả Lại, Chí Linh, Hải Dương; Dương

Hoµng H­ng, 8B, THCS LÝ

Nhật Quang, Đô Lương ;

Tăng Hồng Trường, 9A,

THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn Ch©u, NghƯ An; Hå

Thanh Sơn, 8A2, THCS

Hồng Bàng, Hồng Bàng,

Hải Phòng ; Phạm Việt An, 8B, THCS Vĩnh Tường, Vnh Tng, Vnh

Phúc ; Lâm Tiến Phát,

9A1, THCS Trần Hưng Đạo, TP Quảng NgÃi,

Quảng Ng·i

Anh Compa

4  4.

9) ( 4 4) 10) ( 4 4) 11) (4 4) 12) (4 4) 13) (4 4) 14) (44 4) : 15) (4 4) 4 16) (4 4) ( 4)

  

  

     

  



  

  

1) 4 4 2) 4 4 3) 44 : 4 4) ( 4 4) 5) (4 4) 6) ( 4 4) 7) (4 : 4) 8) (4 4)

  

  



  

  

  

 

  

Bánh chưng An gói khơng phải hình vng mà tứ giác ! Sau chia cạnh thành phần cắt bánh thành phần hình vẽ, An cam kết diện tích phần (tơ đậm) diện tích bánh Các bạn có cho An nói khơng ?

phạm tuấn khải

(11 Phù Đổng, Hồng Bàng, Hải Phßng)

2

Từ tốn quen thuộc

phan thµnh nam

(Sinh viên trường ĐHKHTN, ĐHQG TP Hồ Chí Minh) Các bạn “say toán” thân mến, bạn

“săn lùng” tốn để “thử sức”, bạn có tự hỏi nguồn gốc tốn hay khơng ? Các bạn có biết tốn gặp khơng phải “từ trời rơi xuống” mà đặt từ toán biết với “một chút” ý tưởng sáng tạo hay khơng ?

“Truy tìm” đến “bài tốn gốc” đồng nghĩa với việc bạn khám phá “một chút” ý tưởng sáng tạo Khơng dừng lại, ta cịn tiếp tục phát tốn dựa ý tưởng Chúng ta toán quen thuộc

Bài toán : Gọi x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :

xyz (x y z)(y z x)(z x y)

lTheo hướng suy nghĩ dùng ẩn phụ,

ta đặt x b c ; y c a ; z a b bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

(b + c )(c + a)(a + b) 8abc Do x, y, z độ dài ba cạnh tam giác nên x y z ; y z x ; z x y dương, suy a, b, c số dương

Bµi toán 1trở thành :

Bi toỏn (*) : Cho a, b, c số dương Chứng minh :

(b + c )(c + a)(a + b) 8abc

Bài toán (*) quen thuộc, sử

dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh

Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có :

Ba bất đẳng thức có hai vế dương, nhân theo vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh

lNhư toán 1cũng chứng

minh toán (*)chính toán gốc

ca toán Với ý tưởng đặt x b  c ;

y c a ; z a b, t bi toỏn (*)ta ó cú

bài toán 1, toán chứng minh bất

ng thc tam giác thú vị Khi có tốn (*), quay li v nhỡn k

bài toán bạn thấy cần điều

kin x, y, z dương đủ Ta có tốn :

Bài toán : Cho x, y, z số dương Chứng minh :

xyz (x y z)(y z x)(z x y)

Lêi gi¶i :ThËt vậy, x, y, z ba cạnh tam giác ta có toán

Giả sử x, y, z không ba cạnh tam giác xảy khả :

x y z ; y z x ; z x y Víi x y z ta cã :

x y z y z y z 2y 0 ; y z x y z y z 0 ; z x y z y z y 2z 0

Suy (x y z)(y z x)(z x y) 0

xyz 0 (x y z)(y z x)(z x y) Tương tự với trường hợp lại Vậy bất đẳng thức chứng minh

lTiếp tục “đưa” ý tưởng vào toán (*)với

ba số dương a, b, c Đặt S a b c ta có :

(S c)(S b)(S a) (a b)(c a)(b c)

8abc ; (1) a b ab ; b c bc ; c a ca.     

3

Với số dương b c, c a, a b ta lại có : (S c)(S b)(S a) [(b c) (c a)]  [(a b) (b c)] [(a b) (c a)]

8(a b)(b c)(c a) 64abc (2) Nh©n theo tõng vÕ (1) vµ (2) suy : (S2c2)(S2b2)(S2a2) 83a2b2c2

Ta có toán sau :

Bi toỏn : Cho a, b, c số dương S a b c Chứng minh :

lCác bạn ngạc nhiên thấy hai

bài tốn thi vơ địch quốc tế IMO gần xuất phát từ toán (*)

Bài toán (IMO năm 2000): Cho a, b, c ba số dương có tích

Chøng minh r»ng :

Lời giải : Do abc 1 nên tồn ba số x, y, z dương cho

chẳng hạn Như bất

ng thc cn chng minh quy :

Theo toán 2, bất đẳng thức chứng minh

Bài toán (IMO năm 2001): Cho a, b, c số dương Chng minh rng :

Lời giải :Đặt

Ta có x, y, z dương bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z 1

Do

Tương tự ta có suy :

Mặt khác, S x y z

mâu thuẫn với đẳng thức

VËy x y z 1, toán chứng minh

lĐể kết thúc, mời bạn hÃy suy nghĩ

bài tập sau :

Bi :Cho a, b, c số dương Chứng minh : 8abc 1

Ghi : Đề nghị tác giả cho biết địa xác để tịa soạn liên hệ

1 1 2.

a b c 1     

2 2

2 2

3

2 2

1 1 1 1

x y z

S 1 S 1 S 1 ,

x y z

                                   

2 2

1 1 1 1 8

x y z

 

      

   

   

2 2

1 1 8ca 1; 1 8ab, y   b z   c

2 2

1 1 8bc 1 8bc ;

x a x a

      2 2 a a x x a 8bc a 8bc      2 b c

y ; z

b 8ca c 8ab

   a x ; a 8bc  

2 2

a b c 1.

a 8bc  b 8ca  c 8ab 

x z 1 y x 1 z y 1 1

y y z z x x

(x z y)(x y z)(y z x) xyz

         

   

 

       

1 x 1; y ; z c

a

  

x y z

a ; b ; c ,

y z x

  

1 1

a b c 1

b c a

         

   

   

2 2

3

2 2

S 1 S 1 S 1

a b c

   

      

   

4

Một sơ suất nhỏ ?

Từ suy nghĩ chủ quan ! l Kì :

l Kết : (TTT2 sè 32)

1) Kết luận phương trình :

|x23| |5 x2| a 3 (1) vô nghiệm a 3, rõ ràng khơng ổn ! Có thể với a  phương trình vơ nghiệm

Điều kiện a  điều kiện đủ để phương trình vơ nghiệm, mà khơng iu

kiện cần(điều kiện nêu mạnh)

2) Li gii ỳng :

Đặt t x20 (1) trë thµnh :

|t 3| |5 t| a 3 (2)

Trường hợp :0 t 3 (2) trở thành 2t a 3

Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t 3 5 a 11

Trường hợp :3 t 5 (2) trở thành a 3 a 5

Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t 5 a 5

Trường hợp :t 5 (2) trở thành 11 a

0

2

  

11 a t

2

 

Trong mét cuèn s¸ch cã mét toán lời giải sau :

Bi toán : Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC (M khác B M khác C) Dựng MD vng góc với AB, ME vng góc với AC (D thuộc AB, E thuộc AC) Xác định vị trí M để diện tích tam giác MDE lớn

Lêi gi¶i :

Do ABC nên SABCSABMSACM

Suy

h lµ chiỊu cao cđa ABC

Dùng EH vu«ng gãc víi MD (H thuộc đường thẳng MD),

khụng i (ỏp dụng bất đẳng thức Cô-si cho độ dài đoạn thng ME v MD)

Đẳng thức xảy MD ME EH

M trùng H, trung điểm BC Vậy với M trung điểm BC diện tích MDE đạt giá trị lớn

T«i thỏa hiệp với lời giải thắc mắc học sinh Các bạn nghĩ ?

m huy ụng

(Đội IV, Hòa Bình hạ, Tân Tiến, Văn Giang, H­ng Yªn)

2

ME MD 1(ME MD) 1h

2 8



   

MDE EH MD

S

2



 

ABC

2S

MD ME h,

AB

  

MD AB ME AC AB (MD ME)

2 2

5 l KÕt qu¶ :

v Kì :

(TTT2 sè 32) (TTT2 sè 32)

Trơng tưởng đơn giản nghĩ khó bạn cho kết khác

Bài : Bí : “Thêm đơn vị vào số giảthì số thật”

Sè gi¶ : 1 1 ? Sè thËt : 2 2 6

Vậy : Số giả : 1 1 5là đáp số

Bài :Bí : “Bớt đơn vị số giảthì số thật”

Sè gi¶ : 1 1 ?

Sè thËt : 0 0 0

Vậy : Số giả : 1 1 1là đáp số

Nhận xét : Bài khó Tuy nhiên có bạn giải với cách lập luận khác, phần thưởng kì Đó bạn : Vương Thị Tố Uyên, 12/202 Nguyễn Lương Bằng, TP Hải Dương, Hải Dương; Trần Anh Ngọc, đội II, Liên Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Trần Thị Ngân, 8H, THCS Phan Huy Chú, Thạch Hà, Hà Tĩnh

NguyÔn Đăng Quang

Chọn hình hình A, B, C, D điền vào dấu chấm hỏi cho hợp l«gic

2t 8 a 3

Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t 5 a 5

Tóm lại : Phương trình (1) có nghiệm

(2) cã nghiƯm t 0 a 5

Từ có kết luận : Phương trình (1) vơ nghiệm a 5

3) Có thể dùng phương pháp đồ thị để giải toán

4) Mét sè b¹n chøng minh : |x23| |5 x2| 2

và suy phương trình có nghiệm a

a Các bạn lưu ý : Nếu

thế a điều kiện cần

5) Xin tuyờn dng cỏc bạn sau có nhận xét xác ngắn gọn : Nguyễn

Trường Giang, 7A2, THCS Giấy Phong

Ch©u, hun Phï Ninh, Phó Thä ;

Ngun Vân Anh, 8B, THCS Từ Sơn, Bắc

Ninh ; Vị Minh Trang, 9/2, THCS Lª Q

Đơn, TP Hải Dương, Hải Dương; Nguyễn

Thanh Tïng, 7B5, THCS Chu Văn An,

Ngụ Quyn, Hi Phũng; Trn Thỳy Hằng, 9B, THCS Nguyễn Tuấn Thiện, Hương Sơn, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thúc Vũ Hoàng, 9D, THCS Nguyễn Huệ, TX ụng H,

Quảng Trị

Anh kính lúp

a 5



 

a t

2

  

6 lĐặt câu hỏi ngược lại với kết

to¸n 4, nÕu chu vi tam gi¸c IBM b»ng hai

lần cạnh hình vng, khơng đổi số đo có 45okhơng ? Ta có tốn :

Bài tốn : Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên cạnh AB BC lấy điểm I M cho chu vi tam giác IBM 2a

Chøng minh r»ng :

Lêi gi¶i :

Dựng DL DI DH MI, tương tự

to¸n 4ta cã DI DL, suy CDL ADI

CL AI Mặt khác :

Chu vi IBM b»ng 2a hay BM MI IM

BA BC BI IA BM MC suy IM IA MC CL MC ML

 IDM  LDM (c.c.c)

lVới ta thấy DH CD không đổi (IDM  LDM), từ tìm quỹ tích điểm H ;

có độ lớn tỉ lệ thuận với độ dài MI, dễ thấy giá trị lớn MI a ta xác định c giỏ tr ln nht ca SDIM

Bài toán : Cho hình vuông ABCD, quay xung quanh D (I thuộc cạnh AB, M thuộc BC) Tìm quỹ tích chân đường cao H hạ từ D tam giác DMI

Hướng dẫn : Dễ thấy H chạy phần tư đường trịn tâm D bán kính AD, giới hạn hình vng ABCD

Bài tốn : Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a quay xung quanh D (I thuộc canh AB, M thuc BC)

Tìm giá trị lớn SDIM

Lêi gi¶i :

Trước hết ta tìm giá trị lớn MI Xét BIM ta có :

BI BM MI MI BI BM 2a suy MI  a MI đạt giá trị lớn a I A ; M B I B ; M C

Khi DH IM a giá trị lớn

 o

IDM 45

 o

IDM 45

DIM 1

S DH MI a MI,

2

   

 o

IDM 45

  90o o

LDM IDM 45

2

   

 o

IDM 45 

 IDM

SUY LUẬN VÀ PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TỐN

NGƯT võ ngọc phan

(THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghƯ An)

7

SDIMlµ

l Dựng đường phụ, sử dụng tính chất mà phát để giải số tốn hình vng

Bài tốn : Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB ; AD đặt điểm I ; E cho AE AI Điểm H thuộc đoạn DI cho AH vng góc với DI

Chøng minh r»ng : HC vuông góc với HE

Lời giải :

Kéo dài AH, cắt BC M Theo tính chất 1th× AM DI Suy BM AI (ABM  DAI)

BM AE (cïng b»ng AI) DE CM

 DCME hình chữ nhật (đường tròn ngoại tiếp có đường kính DM, CE) Từ giả thiết ta suy HD vuông góc với HM nên H thuộc đường tròn đường kính DM, đường tròn ®­êng kÝnh CE Suy HC vu«ng gãc víi HE

l ởbài toán trên, I trung điểm AB liệu có điều đặc biệt xảy khơng ? Chúng ta theo dõi tốn sau

Bài tốn : Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Điểm H thuộc đoạn DI cho AH vng góc với DI

1) Chøng minh : tam giác CHD cân ; 2) Tính diện tích tam giác CHD

Lời giải :

1) Gọi E trung điểm AD Suy AI DE  DAI  CDE

 CE  DI  CE vu«ng gãc víi DI (tÝnh

chÊt 2) CE // AH giao điểm K CE

và DI trung điểm DH (KE đường trung bình DAH)

CK trung trực DH

CHD cân C

2) Ta có SCHDCK DK (1) Xét EDC vuông D, ta cã :

CE2CD2DE2

CD2CK CE (2)

XÐt DKC vuông K, ta có :

DK2CD2CK2 (3)

Tõ (1) ; (2) ; (3) suy : SCHDCK DK

lXung quanh toán hình vuông trên, nhiều câu hỏi thú vị giải nhờ tính chất mà phát Đề nghị bạn hÃy lµm bµi tËp sau :

Bài tập : Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a quay xung quanh D (I thuộc canh AB, M thuộc BC) Tìm giá trị nhỏ SDIM

 o

IDM 45

2

2 a

2

1a DK a.

5  

2

CD

CK a

CE

  

2

5a CE 5a ;

4  

2

8

Cuộc thi vô địch Toán Quốc gia

ma-lai-xi-a

Tiếp theo TTT2 số 33, tiếp tục tuyển chọn giới thiệu với bạn đọc số toán phù hợp với học sinh THCS nước ta kì thi vơ địch Tốn Quốc gia Ma-lai-xi-a, năm 1998, 1999, 2000

Bài (năm 1998) : Cho hàm số f xác định tập số nguyên dương Tính f(1998), biết f thỏa mãn điều kiện : f(1) 999 f(1) f(2)  f(n) n2f(n)

Bài 2(năm 1999): Giải hệ phương trình

Bài (năm 2000) : Cho ba đường tròn bán kính đơn vị tiếp xúc ngồi với Một đường tròn lớn hơn, tiếp xúc với ba đường trịn Tính diện tích đường trịn lớn

Bài (năm 2000) : Chứng minh 22p22qkhơng thể số phương với p, q số tự nhiên

1 1999

3 3 4

1 1999 1999

x x x 1999

x x x x x x

    



       

(Tiếp theo kì trc)

ThS.Nguyễn Văn Nho (NXBGD)

Bt ng thc Bu-nhi-a-cốp-ski cịn có nhiều tên gọi khác Cơ-si-Svác; Svác;

C«-si-Bu-nhi-a-cèp-ski;

Bu-nhi-a-cốp-ski-Cơ-si-Svác Sở dĩ

các tên tuổi vừa kể chứng minh công cụ riêng họ, đến nhiều kết quan trọng khác

VÝch-to Y-a-kốp-lép-vích Bu-nhi-a-cốp-ski sinh ngày 16 tháng 12 năm 1804 Vi-nít-sa,

U-crai-na; ngày 12 tháng 12 năm 1889

tại San-Pê-téc-bua, nước Nga Ông

xuất 150 cơng trình quan trọng Tốn học Cơ học Ông phát biểu chứng minh bất đẳng thức Cô-si-Svácđầu tiên, chuyên khảo bất đẳng thức tích phân vào năm 1859, xảy trước cơng trình (độc lập) Svác năm Về mặt lịch sử, có nhiều lí mà cơng thức không gắn liền với tên tuổi người phát minh trước mà lại gắn với tên tuổi người phát minh sau Tuy nhiên,

trường hợp Bu-nhi-a-cốp-ski, người ta nói lí đáng buồn vào lúc đó,

Hướng dẫn giải kì trước (TTT2 số 33)

Bµi : Khi a b số nguyên lẻ, ta có a2và b2 chia cho cïng cã sè d­ lµ suy a2b2chia cho d­

Suy a2b2khơng thể số phương số phương chia cho có số dư (bạn đọc tự kiểm tra)

Bài : Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có

Bµi : Ta cã f(x) f(x 3).f(x 3) suy f(x 3) f(x 6).f(x)

f(x 6).f(x 3).f(x 3)

f(x 6).f(x 3) 1

1

f(x) 1 f(x 18)

f(x 9)

f(x 9)

    



 

1 f(x 3)

f(x 6)

  



2 2

ac bd  (a b )(c d ) 1.

9

Ngồi hình thức gửi lời giải Tòa soạn qua Bưu điện, thư điện tử trước đây, Tốn Tuổi thơ tổ chức hình thức giải đố tin nhắn điện thoại qua số 986 Cuộc thi qua Tin nhắn tổng kết riêng bốc thăm giải đặc biệt chung cho chuyên mục

Sau chuyên mục nhận thêm lời giải qua tin nhắn hướng dẫn cách tham gia :

1 Đo trí thông minh

Bài : Nếu bạn xác định hình A, B, C, D hình đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn :

3T2 IQ B1 tên hìnhvà gửi đến 986

Ví dụ :Nếu bạn chọn hình A, hÃy soạn tin nh¾n :

3T2 IQ B1 Avà gửi đến 986

Bài : Tương tự 1, bạn soạn tin nhắn :

3T2 IQ B2 tên hìnhvà gửi đến 986

VÝ dơ :NÕu b¹n chän hình A, hÃy soạn tin nhắn :

3T2 IQ B2 Avà gửi đến 986

2 Ph¸ ¸n cïng thám tử Sê-Lốc-Cốc

Nu bn ó tỡm th phạm vụ trộm soạn tin nhắn :

3T2 PA đáp ánvà gửi đến 986 A : Cô La-ta ; B : Cậu em Uyn-xơ ; C : Ơng La-ta-sơ

VÝ dơ :NÕu b¹n chän Cô La-ta, hÃy soạn tin nhắn :

3T2 PA Av gi n 986

3 Không văn

Bạn tìm từ tượng thanhthích hợp để sửa lại câu thơ “Đàn lợn cạp cạp suốt ngày” “Ngơn ngữ lồi” soạn tin nhắn :

3T2 V đáp ánvà gửi đến 986

Ví dụ : Nếu bạn nghĩ đáp án “chiêm chiếp” đúng, soạn tin nhắn :

3T2 V CHIEMCHIEPvà gửi đến 986

4 Vào thăm vườn Anh

Nếu đáp án bạn từ, chữ hay điều đó, soạn tin nhắn :

3T2 VA đáp ánvà gửi đến 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “night” bạn nhắn tin :

3T2 VA NIGHTvà gửi đến 986

5 Rừng Cười

Hãy giải đáp câu “Chăm cối tốt tươi” cách soạn tin nhắn :

3T2 RC đáp ánvà gửi đến 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “lo”, nhắn tin :

3T2 RC LOvà gửi đến 986

Chú ý :Cuộc chơi chưa dành cho số máy hệ thống 090 Cuộc chơi không hạn chế số tin nhắn giải đáp cho câu đố Tòa soạn công bố số máy trúng thưởng (số máy nhắn tin đến số 986) Mong bạn hưởng ứng hình thức thi qua tin nhắn tới số 986!

10

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP TỈNH HẢI DƯƠNG (2004-2005)Hướng dẫn giải đề kì trước

(TTT2 sè 33)

Bài :1) Theo định lí Vi-ét ta có : x1x2 2004 ; x3x4 2005 ; x1x2x3x41 Mặt khác :

(x1x3)(x2x3)(x1x4)(x2x4) (x1x2(x1x2)x3x32)(x1x2(x1x2)x4x42)

(1 2004x3x32)(1 2004x4x42) (x322005x31 4009x3)(x42 2005x41 x4)

(4009x3)(x4) 4009x3x44009 (do x3, x4là nghiệm phương trình x22005x 1 0) 2) Phương trình (a2b21)x22(ac bd 1)x c2d2 1 0 ln có nghiệm khi

vµ chØ ’ 0 (ac bd 1)2(a2b21)(c2d2 1) 0

(ac bd 1)2(a2b21)(c2d2 1) (*) Do a2b2< nên : Nếu c2d2 1 (*) hiển nhiên ;

Nếu c2d2 < 1, đặt u 1 a2b2và v 1 c2d2(0 < u 1 < v 1) Ta có : (*) (1 ac bd)2(1 a2b2)(1 c2d2) (2 2ac 2bd)24uv

((a2b2u) (c2d2v) 2ac 2bd)24uv (do a2b2u c2d2v 1)

((a c)2(b d)2u v)24uv,

là bất đẳng thức ((a c)2(b d)2u v)2(u v)24uv với a, b, c, d với u, v dương Vậy (*) bất đẳng thức đúng, phương trình (*) ln có nghim

Bài :Gọi d ƯCLN(m, n) suy m2, n2, mn cïng chia hÕt cho d2

Do số nguyên nên m2n2m n chia hÕt cho d2.

Suy m n chia hÕt cho d2m n d2

Bµi :1) Do MN // CD nên

mặt khác (cùng chắn ), suy hay CD phân giác

Tng t, CD phân giác Suy A E đối xứng qua CD (các bạn tự chứng minh) AE CD

2) Do PQ // CD nªn AE PQ (*) Gọi I giao điểm AB CD

AID DIB (chung

cùng chắn ), suy Tương tự, IC2IA.IB, suy IC2ID2IC ID Ta có AI, CP, DQ đồng quy B, PQ // CD I trung điểm CD, A thuộc PQ suy A trung điểm PQ

2

ID IB ID IA.IB. IA ID  



DB

 

IAD IDB 

AID



ECA



EDA ;

 

EDC CDA



DA

 

CDA DNA

 

EDC ENA,

m n d

  

2

m n m n m n

n  m   mn 

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN - TỈNH BÌNH ĐỊNH

(NAấM HOẽC 2005-2006)

Môn thi : Toán chung - Thời gian làm : 150 phút

Câu :(1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức :

với

Câu :(1,5 điểm)

Gii phng trỡnh :

Câu :(3,0 điểm)

Cho hàm số y  x2có đồ thị (P) hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ

1 vµ

a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Vẽ đồ thị (P) tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có din tớch ln nht

Câu :(3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H Phân giác góc A cắt đường tròn (O) M Kẻ đường cao AK cđa tam gi¸c Chøng minh r»ng :

a) Đường thẳng OM qua trung điểm N BC

b) Các góc c) AH 2NO

Câu :(1,0 điểm) Tính tổng :

S 1.2 2.3 3.4  n(n 1)



MAO



KAM

2

x 4x x 8  

1 b

2

 

1 a

2

 

1

A

a b

 

 

Kết hợp với (*) suy AE trung trực PQ EPQ tam giác cân E

Bài :Giải hệ phương trình :

V× x y 1, ta cã :

x5y5(x5x2y3x3y2y5) (x2y3x3y2)

(x3y3)(x2y2) x2y2(x y)

(x y)(x2xy y2)(x2y2) x2y2

((x y)23xy)((x y)22xy) x2y2

(1 3xy)(1 2xy) x2y2

5(xy)25xy 1 11

Do x5y511 5(xy)25xy 10 0

(xy)2xy 2 0 

Suy hệ phương trình tng ng

với : hay x, y

nghiệm hai phương trình t2t 1 0 t2t 2 0

Phương trình t2 t   vơ nghiệm ; phương trình t2t 1 0 có hai nghiệm Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x ; y) : 1; ; 1;

2 2

       

   

   

   

1 5



x y xy

     

x y xy 1

    

xy xy

     

5

x y

x y 11

  

  



12

l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

Bài 1(32) :Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 Đặt trước số dấu “cộng” dấu “trừ” thực phép tính tổng A Tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận

Lêi gi¶i : Ta cã

A1 2 3  2005 

2005 1003, lµ mét sè lỴ

Nếu thay dấu “cộng” trước số a tổng dấu “trừ” giá trị Asẽ giảm 2a, Avẫn

sè lỴ

Suy ra, đặt trước số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 dấu “cộng” dấu “trừ” thực phép tính để tổng A A ln mt s l

Vì A số nguyên nên giá trị không âm nhỏ A phải không nhá h¬n

Ta cã :

A 1 (2 3 4 5) (6 7 8 9) 

(2002 2003 2004 2005) Vậy giá trị không âm nhỏ A

Nhn xét : 1) Lời giải hoàn chỉnh trường hợp để A nhận giá trị 1, số bạn thiếu điều quan trọng

2) Bài toán trường hợp toán tổng quát, áp dụng với n số tự nhiên liên tiếp từ đến n Có hai trường hợp xảy cho toán tổng quát tổng Alẻ

hoặc chẵn, giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận tương ứng Luôn ví dụ cho trường hợp cụ thể, thỏa mãn toán tổng quát (đề nghị bạn c t kim tra)

3) Các bạn có lời giải tốt : Tập thể

lớp 8A, THCS Tiên Du, Bắc Ninh; Nguyễn

Duy Hưng, 7A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc

Yên, Vĩnh Phúc ; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng

Yên ; Bùi Thành Long, 8A2, THCS L©m

Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trương Thành Cơng, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn Mạnh Đạt, 6C, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây ;

Ngun ThÞ Thoa, 7A1, THCS thÞ trấn Quán

Hành, Nghi Lộc, Nghệ An

nguyn anh quân Bài 2(32) :Cho f(x) ax2 bx c thỏa mãn : f(3) < 10 ; f(1) > ; f(1) < 1 Hãy xác định dấu hệ số a

Lời giải (của bạn Nguyễn Phương Thảo, 7D, THCS Qch Xn Kỳ, Hồn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình) :

Ta cã :

Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta : 8a < 11

Nhận xét : 1) Bài toán khơng khó, hầu hết bạn làm đúng, có 14 bạn làm sai Một số bạn (làm sai) mắc phải sai lầm : Trừ hai bất đẳng thức chiều, cộng hai bt ng thc ngc chiu

2) Các bạn sau có lời giải tốt : Triệu

Thị Ngân Hà, 8A1 ; Trần Hòa Bình, 9A1 ;

Trần Văn Thành, 9A2, THCS Lâm Thao,

Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Cao Thắng, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong ;

Nguyễn Mạnh Hưng, 10A1, THPT Lý Thái

Tổ, Từ Sơn ; Đào Thanh Tùng, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Hoàng

Thị Quỳnh, bố Hoàng Văn Liên, Phố

Mới, Hoằng Vinh, Ho»ng Hãa, Thanh Hãa;

NguyÔn Ngäc Chinh, 9A, THCS Hå Xu©n

Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Phùng Đức

Thắng, 8B, THCS thị trấn Kì Anh, Hà Tĩnh;

11

a

8

   

f( 3) 10 9a 3b c 10 (1) f( 1) 2a 2b 2c (2) f(1) a b c (3)

      

 

       

 

       

 

2005 2006

13

Nguyễn Phước Vĩnh, 7M, THCS Nguyễn

Huệ, TX Đông Hà ; Nguyễn Thị Thanh Thủy, 9C, THCS Lê Lợi, Cam Lộ, Quảng

Trị; Lê ThÞ L·m Thóy, 91, THCS Ngun Tri

Phương, TP Hu, Tha Thiờn - Hu ;

Phạm Minh Quân, 82, THCS Ngun Du,

Phan ThiÕt, B×nh Thn

Trần Hữu Nam Bài 3(32) :Giải phương trình :

(x 2005)6(x 2006)81 (1)

Lời giải :Ta thấy x 2005 x 2006 hai nghiệm phương trình (1) Ta chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm Thật :

l NÕu x  2005 th× 2006  x  1, suy (2006 x)8(x 2006)81

(x 2005)6(x 2006)81, m©u thuÉn víi (1)

lNÕu 2005 x 2006 th× x 2005 1 vµ 2006 x 1, suy

(x 2005)6(x 2006)8(x 2005)6

(2006  x)8 (x  2005)  (2006  x)  1, m©u thn víi (1)

l NÕu x  2006 th× x  2005  1, suy (x 2005)61

(x 2005)6(x 2006)81, m©u thn víi (1)

Tóm lại : Phương trình (1) có hai

nghiƯm lµ x 2005 vµ x 2006

Nhận xét : 1) Cũng với cách giải tương tự, số bạn đặt giải tốn tổng qt sau : Giải phương trình :

(x n)2m(x n 1)2k1, với m, k * 2) Có nhiều bạn gửi Tịa soạn, tất giải Sau bạn có lời giải gọn cả, có đặt giải toán tổng quát : Nguyễn Mạnh Hưng, 10A1, THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh; Đậu Phi Lực,

Hồ Hữu Quân, Phạm Việt Hùng, 8C ;

Nguyễn Anh TuÊn, 9A, THCS Hå Xu©n

Hương, Quỳnh Lưu ; Dương Hồng Hưng, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương,

NghƯ An ; Ngun Ngäc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng ; Nguyễn Văn Hiếu, 9D5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền,

Hải Phòng ; Võ Văn Tuấn, 9A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk

Nguyễn Văn Mạnh Bài 4(32) :Cho

vi số nguyên dương n không vượt 2004 Chứng minh :

a1a2a3 a2005<

Lêi gi¶i :Ta cã

2(n 1)an1(2n 1)an

an2nan2(n 1)an1

Do a1a2a3 a2005 (2a14a2) (4a26a3)  (4010.a2005

4012.a2006) 2a14012.a2006

1 4012.a2006 (1)

Từ giả thiết, chứng minh quy nạp theo n ta có an0 với số nguyên dương n Bởi vậy, từ (1) ta suy :

a1a2a3 a20051

Nhận xét : Một số bạn giải theo cách khác, không đơn giản lời giải Các bạn sau có lời giải tốt : Nguyễn Thị Hồng

Nguyên, 9B, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh

Phúc; Nguyễn Hữu Ngọc Linh, 8A2, THCS

Võng Xuyên, Phú Thọ, Hà Tây ; Nguyễn

Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng

Bàng, Hải Phòng; Đào Mạnh Linh, 7B ; Hồ

Hữu Quân, Nguyễn Duy Mạnh, 8C, THCS

Hồ Xuân Hương ; Tăng Hồng Trường, 9A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An;

Bùi Mai Thảo, 9C, THCS Yên Trấn, Đức

Thọ ; Trần Đức Thiện, 9G, THCS thị trấn, Kì Anh, Hà Tĩnh; Võ Trần Tâm, 7E, THCS thị trấn Gio Linh ; Lª Anh Tn, 7D, THCS Ngun H ; Nguyễn Thị Thanh Thủy, 9C, THCS Lê Lợi, Cam Lộ, Quảng Trị ; Trịnh

Thị Thủy Tiên, 7H, THCS TrÇn Phó,

TP Quảng Ngãi ; Phạm Hồng Lê Giang, 9G, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế,

Thõa Thiên - Huế

Nguyễn Minh Đức

n 2n n

a a

2n

    

 

1 n 2n n

a ; a a

2  2n 2 

   



14 Bµi 5(32) : Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC Các đường tròn đường kính AM, BC cắt N (khác B) BN cắt CD L Chứng minh r»ng : ML vu«ng gãc víi AC

Lêi giải : (của bạn Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)

Đặt E AC LM

Ta cã (cïng phơ víi ) ; (cïng ch¾n ), suy

 NCL NAM

Từ dễ dàng suy NCA NLM

 tø giác AMEN nội tiếp

(vì AM đường kính

của đường tròn qua năm điểm A, N, E, M, B) VËy AC vu«ng gãc víi ML

Nhận xét : 1) Đây toán bản, phối hợp hai phần kiến thức : tam giác đồng dạng tứ giác nội tiếp

2) Các bạn tham gia giải cho lời giải Xin nêu tên số bạn có lời giải tốt :

Kim Thanh Tú, 9E, THCS thị trấn Quỳ Hợp,

Quỳ Hợp, Nghệ An; Vũ Thị Vân Anh, 9A1, THCS Hồng Bàng, Hải Phòng ; Nguyễn

Kim Hùng, 9A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc,

Vĩnh Phúc ; Trần Trí Hiệp, 9G, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hµ TÜnh ; Phan Minh TiÕn, 10A3, THPT Chu Văn An, TX Phan Rang, Tháp Chàm, Ninh Thuận

Ngun Minh Hµ

  o

AEM ANM 90 

 

CAN LMN

 

NCD NAM



MN

 

NBC NAM



NCB

 

NCD NBC

Thi giải toán qua thư

Nguyn Phng Tho, 7D, THCS

Quách Xuân Kỳ, Hoàn LÃo, Bố Trạch,

Quảng Bình; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên;

Hồ Hữu Quân, 8C, THCS Hồ Xuân

Hng, Qunh Lưu, Nghệ An ; Phạm

Minh Qu©n, 82, THCS Nguyễn Du, Phan

Thiết, Bình Thuận ; Nguyễn Thị Thanh Thủy, 9C, THCS Lê Lợi, Cam Lộ, Quảng

Trị ; Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần

Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng ;

Nguyễn Cao Thắng, 9A, THCS Yên

Phong, Yên Phong,Bắc Ninh; Nguyễn

Thị Hồng Nguyên, 9B, THCS Yên Lạc,

Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Triệu Thị Ngân Hà, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,

Phú Thọ; Nguyễn Hữu Ngọc Linh, 8A2, THCS Võng Xuyên, Phú Thọ, Hà Tây ;

Trần Trí Hiệp, 9G, THCS thị trấn Kì Anh,

Kì Anh, Hà Tĩnh; Trương Thành Cơng, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương,

15

(mục Thách đấu, TTT2 số 32)

Bài toán khơng q khó, nhiên có võ sĩ bước vào đấu Tất võ sĩ “chơi” chuẩn xác Tôi phải cân nhắc nhiều với ba tiêu chuẩn sau :

- Không sử dụng hàm lượng giác góc tù (khái niệm chưa có chương trình hình học THCS)

- Giải hoàn chỉnh vấn đề “khi xảy ng thc

- Trình bày gọn gàng, sáng sđa

Cuối tơi tìm võ sĩ đăng quang trận đấu Đó võ sĩ

Nguyễn Tiến Hưởng, 9B, THCS Quỳnh Hải,

Quỳnh Phụ, Thái Bình Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải võ sĩ Hưởng

Trước hết xin phát biểu (không chứng minh) hai bổ đề đơn giản

Bổ đề :Cho tam giác ABC, ta có :

Đẳng thức xảy

B :Vi mi a, b ta cú :

Đẳng thức x¶y a b

Trở lại việc giải tốn thách đấu (hình 1)

H×nh

Ta có (theo bổ đề 1)

Tãm l¹i : (1)

Tương tự : (2)

(3) (4) Tõ (1), (2), (3), (4) dƠ dµng suy :

(*) Đẳng thức xảy (*) đẳng thức xảy (1), (2), (3), (4)

vµ O trung điểm AC, BD ABCD hình chữ nhËt

Nhận xét : - Nhu cầu chứng minh bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) xuất tự nhiên

(Xem tiÕp trang 21)

    o

A B C D 90

    

1

S(XYZT) S(ABCD)



1

S(OTX) S(DAB)



1

S(OZT) S(CDA)



1

S(OYZ) S(BCD)



1

S(OXY) S(ABC)

 2

1 2S(OAB) 2S(OBC) AB BC

S(OAB) S(OBC)

AB BC S(OAB) S(OBC)

2 (theo ) 2S(ABC)

1 (S(OAB) S(OBC)) (theo ) S(ABC)

1 S (ABC) S(ABC) S(ABC)

  

  

   

  

  

bổ đề bổ đề

1

S(OXY) OX OY

 

2

1 ab (a b)

4

 

 o

BAC 90

 

1

S(ABC) AB AC

16

VỤ MẤT TRỘM CHIẾC VÒNG KIM CƯƠNG

Đã hai ngày nay, khơng hiểu có cố mà tồn thành phố nơi thám tử Sê-Lốc-Cốc làm việc bị cắt điện Khơng khí nóng hầm hập khiến thám tử ngủ khơng ngon giấc Sáng sớm tỉnh dậy, ông định tắm cho sảng khối Khi ơng vừa chuẩn bị xong khăn tắm quần áo ngồi cửa có tiếng cịi tơ Thì ra, xe cảnh sát thành phố Ngài trung tá Ai-đơ bước :

- Chào ngài thám tử !

- Chào anh Ai-đơ ! Mới sáng sớm đến tìm tơi, phải lại có vụ án vừa xảy ?

- Vâng, ! Tại khách sạn Pha Lê, quý bà La-li vừa bị vòng kim cương Ngài cảnh sát trưởng thành phố cần hỗ trợ thám tử Xin t vui lũng !

Được rồi, anh -Thám tử Sê-Lốc-Cốc vui vỴ nhËn lêi

Sau đó, hai người lên xe đến khách sạn Pha Lê Cùng lúc đó, ngài cảnh trưởng thành phố có mặt

Hiện trường phòng số 13 tầng khách sạn Mọi đồ đạc phòng ngăn nắp, gọn gàng

khơng có lục lọi Chỉ hộp gỗ khảm trai để bàn bị mở toang Thám tử Sê-Lốc-Cốc hỏi ngài cảnh sát trưởng :

- Đây có phải hộp đựng vịng kim cương bà La-li khơng ?

- Đúng !

- Theo quan sát suy luận tơi kẻ trộm không đâu xa, phải người biết rõ bà La-li đựng vòng hộp - Thám t nhn nh

Rồi ông tiến phía bà La-li, hỏi tiếp : - Bà kể lại chi tiết chuyện cho nghe không ?

- Thưa, Lúc đó, xuống cầu thang khách sạn để mua bữa sáng tơi sực nhớ chưa đóng cửa phịng Tơi vội chạy lên thấy cánh cửa phịng mở toang Vào phịng, tơi thấy hộp bị mở vịng qúy khơng cánh mà bay Tơi cuống cuồng gọi điện cho cảnh sát

- Theo bà biết bà để vịng hộp gỗ ?

- Thưa thám tử, có ba người quen tơi thơi Đó em gái La-ta, cậu em họ Uyn-xơ ông ruột La-ta-sơ

- Bà gọi người đến Nguyễn Thị Hồng Hà

17

Tiếng hí hươu cao cổ

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 32)

Có lẽ bạn đọc TTT yêu động vật nên am hiểu đời sống tập tính chúng Đa số dự thi có câu trả lời : Hươu cao cổ khơng hí lời kể Sác-lơ Một số bạn biết rõ : Hươu cao cổ vốn coi lồi động vật câm lặng nhất, chúng khơng phát âm

Phần thưởng kì trao cho năm bạn có tên sau : Phm Th

Vân Trang, 6A1, THCS Hai Bà Trưng,

TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Hán Duy Long, 7C, THCS Thanh Thđy, La Phï, Thanh Thđy, Phó Thọ; Vũ Ngọc Tiến, 8B, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn,

Thanh Hóa ; Trần Thị Thu Hoài, 9G, THCS §Ỉng Thai Mai, Vinh, NghƯ An;

Dương Phúc Ngun, 7D, THCS

Quách Xuân Kì, Hoàn LÃo, Bố Trạch,

Quảng Bình

Thỏm t Sờ-Lc-Cc c khụng ? Tơi cần gặp họ để hỏi

sè ®iỊu

- Thưa vâng, gọi điện cho ba người Họ khách sạn mà

Một lúc sau, ba người có mặt Người thám tử Sê-Lốc-Cốc hỏi La-ta Cơ có dáng người cao với mái tóc nâu mượt mà

- Thưa La-ta, lúc xảy vụ trộm vòng, làm gì, đâu ?

- D¹ thưa, tắm nhà tắm Trời nóng quá, tắm lâu

Tip theo, tử hỏi anh Uyn-xơ : - Còn anh, anh làm lúc ? - Thưa thám tử, tơi xem TV ban

cơng hóng gió cho đỡ núng

- Thế ? Tôi thích ban công vào lúc sáng sớm - Thám tử gật gù

Cuối ông La-sa-tô :

- Tơi đứng ban cơng hóng mát Tơi có nhìn thấy anh Uyn-xơ ban cơng phòng bên cạnh

Sau nghe xong ba người, thám tử Sê-Lốc-Cốc nghiêm mặt :

- Tôi biết thủ phạm Hắn tay nhanh lại để lộ sơ hở Đó

18

Đi tìm bất đẳng thức tổng quát

Trên TTT2 số 26 chứng minh bất đẳng thức (BĐT) sau :

Với a, b, c ba số dương, ta có : (1) Với số cách nhìn thơng thường để mở rộng BĐT xét hệ số ; số mũ ; số biến, tơi tìm số BĐT mở rộng BĐT tổng quát BĐT (1) lNhìn BĐT (1) dạng :

ta dự kiến mở rộng (1) sau : (2) với a, b, c, m, n số dương

Dựa vào chứng minh (2), in TTT2 số 27 ta dễ dàng chứng minh :

(3) với a, b, c dương ; m, n, p không âm không đồng thời (khi p 0 ta có (2)) lNhìn BĐT (1) dạng :

ta dù kiÕn mét më réng kh¸c cđa (1) lµ :

(4) với a, b, c dương, n số tự nhiên lớn lNhìn BĐT (1) dạng :

ta tiÕp tôc cã hai më rộng khác (1) :

(5)

(6) Điều kiện (5) (6) a1, a2, , an dương, n số tự nhiên lớn

lCuối cùng, bạn dễ dàng nhận BĐT trường hợp đặc biệt BĐT sau :

n

1 2 m m m n

2

1 m 1 m n

m

1 2 m m

a

p a p a p a p a

a

p a p a p a p a a

p a p a p a

                

n n

1 n

a a a a

a a a  n

  

 

   

2

1

2 n

a a

a a   a a a   a 

1 n

a a a ;

  



2 2

1 n

2 3

a a a

a a a a  a a

2 2

1 3

2 3 1

a a a a a a

a a a a a a

 

  

  

n n n n n n

a b c a b c

b c c a a b

    

  

  

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

    

  

  

a b c m n p 



 

2 2

m n p m n p m n p

a b c

b c a c a b  a b c 

2 2

a b c a b c

mb nc mc na ma nb      m n 

2 2

a b c a b c ,

1.b 1.c 1.c 1.a 1.a 1.b       1 1

2 2

a b c a b c

b c c a a b       2

lª hữu điền khuê

19

(7) với a1, a2, , amdương ; p1, p2, , pmkhông âm không đồng thời ; m số tự nhiên lớn ; n số tự nhiên lớn

Chứng minh : Để chứng minh BĐT trên, ta cần chứng minh BĐT (7) đủ :

áp dụng BĐT Cơ-si cho hai số dương ta có

Tương tự với m 1 số hạng lại vế trái (7), cộng theo vế m BĐT ta :

(*) A vế trái BĐT (7) ;

Ta sÏ chøng minh B (p1p2 pm) 

(**) Trước hết, với x, y dương n số tự nhiên lớn ta có :

(n 1)xn 2y (n 2)xn 1yn - (***)

Thật vậy, chia hai vế (***) cho xn 1 đặt (t > 0) ta có :

(***) (n 1)t (n 2) tn 1

n 2 tn - 1nt t 0

(tn 1t) nt n 2 2t 0 t(tn 21) (t 1)(n 2) 0

(t 1)(tn 2tn 3 t (n 2)) 0

(t 1)(tn 21 tn 31  t 1) 0, BĐT với t >

Vậy (***) ỳng

áp dụng (***) ta dễ dàng có (**) :

Từ (*) (**) suy B§T (7)

n n

n 2

1

n n n n

1 m 1 m

(n 2)a a

a a ;

n

a a a a a a ;

                 y t x 

n n n

1 m

(a  a  a ).

   

n n n 1 2 m

n n n 2 m

n n n

m m

p (a a a a a a ) p (a a a a a a )

p (a a a )

                     n

1 2 m m m n

2 m 1 m n

m 1 2 m m

B a (p a p a p a p a ) a (p a p a p a p a ) a (p a p a p a )

                    2 m

B (p p p )



  

n n n

1 m

1 m

(a a a ) A

p p p

     

 

  

n

1 2 m m m n

1 2 m m m

1 m n 1 m

a

p a p a p a p a a (p a p a p a p a )

(p p p ) a

2 ;

p p p

                    

n n n

1 m

1 m

a a a p p p

     



  

lNgười thách đấu :

NguyÔn Anh Hoµng, THCS Ngun Du, Qn 1, TP Hå ChÝ Minh

lBài toán thách đấu : Giả sử p, q hai nghiệm phân biệt phương trình

x4ax3bx2ax 1 0 tháa m·n p.q 3 Chøng minh r»ng 9a248b 160

lXuÊt xø :S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu :trước ngày 15 - 01 - 2006

20

Thêm số sai lầm khi giải phương trình vô tỉ Bµi viÕt nµy mong muốn bổ sung

thêm cho cẩm nang sai lÇm

thường gặp giải phương trình vơ tỉmà

tác giả Nguyễn Đức Tấn nêu TTT2 số 24, nhằm giúp bạn học sinh lớp hạn chế tối đa sai lầm gặp dạng tốn

Ví dụ : Giải phương trình :

(1)

Lời giải sai :Ta có (1) tương đương với Vậy (1) có nghiệm : x 3

Nhận xét :Các bạn nghĩ nghiệm phương trình (1)

Ghi nhí r»ng :

Như vậy, lời giải bỏ sót điều kiện B 0 xét thiếu trường hợp A  B

Ví dụ : Giải phương trình

(2)

Lời giải sai :Ta có (2) tương đương với

VËy (3) cã nghiƯm lµ : x 3 vµ x 7

Nhận xét :Lời giải thỏa mãn với hai nghiệm tìm mà khơng ngờ phương trình (3) cịn có nghiệm x 2

Ghi nhí r»ng :

Lời giải xét thiếu trường hợp A 0

Ví dụ : Giải phương trình

(3)

Lời giải sai :Ta có (3) tương đương với

Vậy phương trình cho vơ nghim

Nhận xét :Dễ dàng nhận ra, lời giải trªn

2

x x

x x

x x x (x 1)

   

 

     

        

2

x (x 2)(x 1) x

x x x x x 1

        

      

x x x x 1  

2 A

A B A B A B A A B A

 



  

 



2

x x x

x (x 4) x

x

x 9x 14

       

   

 

  

  



x

x x

 

     

2

(x 3)(x 3)(x 2) (x 3)(x 4) (x 3) (x 2) (x 3)(x 4) (x 3) x (x 3)(x 4) (x 3)( x x 4)

     

     

     

     

2

(x 3)(x   x 6) x 7x 12.

2 B

A B A B

A B

       



1 x

3

 

2

(2x 1)   x 2x x 2    x

2

4x 4x x 2.  

T¹ Quang H­ng

21

sai từ biến đổi đầu tiên, muốn trục mẫu số vế trái, đưa bình phương khỏi bậc hai mà không để dấu giá trị tuyệt đối

Ghi nhí r»ng :

Do xét thiếu trường hợp A 0 ; B 0 nên lời giải làm nghiệm x  3

Ví dụ : Giải phương trình

(4)

Lời giải sai :Ta có (4) tương đương với

Vậy phương trình cho vô nghiệm

Nhận xét :Lời giải làm cho phương trình có nghiệm trở thành vơ nghiệm ! Nghiệm x  14

Ghi nhí r»ng :

Lời giải xét thiếu trường hợp : A 0 ; B 0

Giải phương trình vơ tỉ dạng tốn có nhiều “bẫy” Vì ngồi việc phải nắm kiến thức liên quan, cẩn thận yếu tố quan trọng giúp bạn tránh sai lm ỏng tic

Chúc bạn thành công

AB A ; B A

B

B AB A ; B 0.

  

   

  



2

2

(x 5)(x 2) x x

(x 5)(x 2) (x 2)

x

x 3x 10 x 4x

x x

3x 4x 10 x 14

   

    

   

     

    



   

 

 

    

 

x

(x 5) x

x 5

   



AB A ; B

A AB B

B B AB A ; B 0.

B



 



  

  



(TiÕp theo trang 15)

- Ngoài cách chứng minh trên, bất đẳng thức (1) cịn chứng minh cách khác thú vị (hình 2)

H×nh

Lấy E, F thuộc cạnh AB, BC cho OE // CB, OF // AB

Từ toán 1trong viết Thêm ví

dụ phát triển kết (TTT2 số 22,

trang 24) ta cã : (5) Mặt khác ta có

S(OEF) (vì YF // OE) (6)

Tõ (5), (6) suy :

Lời bình :Trong lời giải trên, bạn Hưởng sử dụng linh hoạt bổ đề

Ngun Minh Hµ

1

S(OXY) S(ABC)



 o

1 OE OY (v× OX OE)

S(OEY) (v× EOY 90 )

  

 

1

S(OXY) OX OY

 

1

S(OEF) S(ABC)

22

phiỈu dú thi

Cuộc thi giải toán máy tính CASIO

Họ tên :

Địa :

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005

ẵậ thi kệ thử mừội hai

(Bài giải gửi trước ngày 16-01-2006)

đơn vị tài trợ : cơng ty cổ phần xuất nhập bình tây

KẾT QUẢ KÌ THỨ MƯỜI

Bµi 1.Trơc mẫu số ta có :

suy A23 số tự nhiên Tính Casio fx-500MS:

A

1 5 ; 2 3

2   2  

Bài Trong đợt khảo sát chất lượng đầu năm, điểm ba lớp 7A, 7B, 7C cho bảng sau :

1.1 Tính điểm trung bình lớp 1.2 Tính độ lệch tiêu chuẩn, phương sai lớp

1.3 Xếp hạng chất lượng theo điểm lớp

Lương Văn Bá

(THCS Nghĩa Phương, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi)

Bµi 2.Gọi a hệ số số hạng chứa x8 khai triĨn (x3  x2  1)9 TÝnh tỉng chữ số a5

Vũ Văn Chính

(THCS Toàn Thắng, Tiên LÃng, Hải Phòng)

Bài 3.Cho d·y sè :

13, 25, 43, , 3(n2n) 3.1 Gọi Snlà tổng n số hạng đầu tiªn cđa d·y TÝnh S15, S16, S19, S20

3.2 Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Sn

3.3 Chứng minh dãy cho, số hạng lập phương số tự nhiờn

Tạ Minh Hiếu

(THCS Yên Lạc, Yên L¹c, VÜnh Phóc)

Bài Tìm số tự nhiờn tha phng trỡnh x22y22377

Trần Xuân Uy

(13 Hoàng Ngân, Nam Định)

Bi Vit phân số sau dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn (dùng máy tính bỏ túi để tìm chu kì số thập phân vơ hạn tun hon) :

Nguyễn Đình Thế

(THCS Ninh Xá, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh) 17 34 64 85 88 91 92 ; ; ; ; ; ; .

23

1

2

3 Tuy nhiên, nên coi kết tính máy ỏp s gn ỳng

Bài 2.Số có chữ số gồm chữ số mà chia hết cho phải có dạng Vì số chữ số nhiều số chữ số nên số chữ số sáu số a1, a2, a3, a4, a5, a6chỉ 4, 5, Vì A chia hết số chữ số sáu số là (số chữ số lµ 2) Suy a1, a2, a3, a4, a5, a6lµ hoán vị số {3, 3, 3, 3, 2, 2}

ThÝ dơ, 32323332 2693611 3 4

Bµi Đặt A 20032003, B 2,0032003, ta có A 2,0032003106009;

B (2,00310)2002,0033và (dùng máy) 2,003101039,464096 Suy :

B 10402002,00331,0420010600

2,003320497,96313 10600

Mặt khác, B 10392002,00331,039200

106002,003316910,34077 10600 VËy 16910 10600B 20497 10600 suy B cã 605 ch÷ sè A cã 6614 ch÷ sè

Bài 4.Bổ đề :Cho a, b, c 0 ; a b c 0

Khi Êy (b¹n

đọc tự chứng minh)

¸p dơng :

Suy

Víi k 2005 ta cã :

Nhận xét : Khơng cần thiết dùng máy tính để đáp số gần

Bài 5.Ta có 2821128(1 23) 482 Vậy để 282112nlà số phương 28  211  2n  k2 hay 2n k2 482

(k  48)(k  48) Suy k  48  2p vµ k 48 2q Ta cã 2q2p2p(2qp1)

(k 48) (k 48) 96 25.3 VËy p 5, q 3 hay n 12

Víi n 12 th× 282112126400 802 Tính Casio fx-500MS:

Khai báo công thøc :

2 10

Lần lượt khai báo X (X 1, 2, , 12) dùng để trở công thức trên, sau bấm phím ta a1280 Vậy n 12

Nhận xét :Kì có 26 bạn đạt điểm tối đa Mười bạn có cách giải tốt trình bày cẩn thận, đầy đủ : Nguyễn Quang Hưng, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình ; Nguyễn

Ngọc Long, 7A, THCS Thuận Thành, Bắc

Ninh ; Nguyễn Quang Chức, 9B, THCS Thị

trấn Bố Hạ, Yên Thế ; Nguyễn Thành Hải, 10 Toán, THPT chuyên B¾c Giang, B¾c Giang;

Trần Lê Lưu Phương, Lê Thị Lãm Thúy, 91,

THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế , Thừa Thiên - Huế; Lê Nguyễn Quang Minh, 9A1, THCS Hai Bà Trưng, Phúc Yên, Vĩnh Phúc;

Nguyễn Minh Công, 7A11, THCS Giảng Võ,

Ba ỡnh, Hà Nội ; Phạm Ngọc Dương, 8B, THCS Liên Hòa, Kim Thành, Hải Dương ;

L­u ThÞ Dung, 10 Toán, THPT chuyên Quảng

Bình, Đồng Hới, Quảng Bình

TS Tạ Duy Phượng

  ) X ALPHA ^  ^  ^ (

8 11 n n

a  2 2

2005 1 2003

S 2003 2003

2 2005 4010

   

2

1 1 1

1 1

2 3

(k 1) k

1 1

(k 2)

(k 1) k k

                                

k 12 12 12 12

S 1

2 3

      

2

1 1

1

n n n (n 1)

    

 

2

2 2

1 1 1 ;

m n n m

m n ( n m)

 

      



 

 

2 2

1 1

m n (n m) 

2 2

1 1 1

a b c

a b c

 

     

 

1

So với nước châu Âu, Toán học nước châu phát triển chậm Sự quan tâm nhà Toán học Phương Đông chủ yếu dừng lại ngành Hình học, Đại số Số học

ởNhật Bản, Toán học thực phát triển từ kỉ 18, 19, toán giới thiệu phần nhỏ kho tàng “những toán cổ” xuất giai đoạn Các bạn học sinh bậc THCS giải chúng dựa định lí hay tính chất hình học mà bạn biết

§Ĩ thn tiƯn viƯc trình bày, ta quy ước khái niệm xâu đường tròn sau :

Xâu đường tròn (O1; r1) ; (O2; r2) ; ;

(On; rn) lµ tËp hợp n đường tròn mà (O1;

r1) tiếp xúc ngoµi víi (O2; r2), (O2; r2) tiÕp

xóc ngoµi víi (O3 ; r3), (O3 ; r3) tiÕp xóc

ngoµi víi (O4; r4), , (On-1; rn-1) tiÕp xóc

ngoµi víi (On; rn), (On; rn) tiÕp xóc ngoµi

víi (O1; r1)

Ví dụ : Hình xâu đường tròn

(O1), (O2), (O3), (O4)

Bài tốn : Một xâu đường trịn (O1; R) ; (O2; r) ; (O3; r) ; (O4; R) tiếp xúc ngồi với đường trịn (O ; t), hình

TÝnh t theo R vµ r

Bài tốn : Một xâu đường trịn (O1; r1) ; (O2; r2) ; (O3; r3) ; (O4; r4) tiếp xúc với đường tròn (O ; R), hình Tính r4 theo R, r1, r2, r3

Bài tốn : Một xâu đường trịn (O1; r1) ; (O2; r2) ; (O3; r3) Đường thẳng d1là tiếp tuyến chung (O2) (O3) Đường thẳng d2 tiếp tuyến (O1) Hai đường trịn ngồi (O ; a) (O’ ; b) tiếp xúc ngồi với xâu đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2, hình Tính r1theo r2và r3

24

Các tốn năm đường tròn

25 Bài tốn : Bốn tiếp tuyến đường trịn (O ; r) tiếp xúc với bốn đường tròn (O1; r1) ; (O2; r2) ; (O3; r3) ; (O4; r4), hình Chứng minh : r1r3r2r4

Bài tốn : Bốn đường tròn (O2; r2) ; (O3; r3) ; (O4; r4) ; (O5; r5) tiếp xúc với đường tròn (O1 ; r1) Các đường tròn lại tiếp xúc với hình thang vng ABCD (vng C D), hình

Chøng minh r»ng :

Bài tốn : Bốn đường trịn (O2; r2) ; (O3; r3) ; (O4; r4) ; (O5; r5) tiếp xúc ngồi với đường trịn (O1; r1) hai tiếp tuyến d1, d2của đường trịn (O1; r1), hình

Chøng minh r»ng :

Bài toán : Hai đường tròn (O ; a) (O’ ; b) tiếp xúc d tuyếp tuyến chung hai đường tròn Một xâu đường tròn (O1; r1) ; (O2; r2) ; (O3; r3) tiếp xúc với hai đường tròn đường thẳng d, hình

TÝnh a, b, r1theo r2vµ r3

Bài tốn : Hai đường trịn (O ; a) (O’ ; b) tiếp xúc d tuyếp tuyến chung hai đường tròn Ba đường tròn (O1; r1) ; (O2; r2) ; (O3; r3) tiếp xúc với hai đường tròn đường thẳng d, hình

Chøng minh r»ng :

Chúc bạn thành công việc giải chùm tốn năm đường trịn Đề nghị bạn gửi lời giải tòa soạn TTT trao thưởng cho bạn có lời giải đúng, đủ nhanh

3

1 1 a r r

2 5

2

r r r r

r r

r r r r



  

  

1

r r  r

3

26

1) Trước hết khẳng định, để giải tốn quỹ tích phương pháp thuận đảo, ta cần có bước giới hạn bước giới hạn phải có trước làm phần đảo

2) Mọi cố gắng TS Nguyễn Minh H khng nh :

+ Đường thẳng EI nằm dải mặt phẳng chắn hai đường thẳng song song (bài toán 1)

+ OZ OZ1v OZ OZ3để suy Z thuộc đoạn Z1Z3(bài toán 2)

Như giới hạn vị trí điểm I Z ?

3) Chúng ta đừng lầm tưởng việc tìm giới hạn quỹ tích xét vị trí “tới hạn” điểm cho Cách làm dẫn đến dự đoán sai lầm TS Nguyễn Minh Hà tốn Việc tìm giới hạn cho quỹ tích thiết phải có, không ta làm phần đảo Vấn đề giới hạn cách hay cách khác, giới hn ỳng hay sai,

Bài toán 2của TS Nguyễn Minh Hà đưa

ra l mt vớ d bổ ích để minh họa cho cách tìm giới hạn sai ta quan tâm đến điểm “tới hạn”

4) TS Nguyễn Minh Hà ví việc tìm giới hạn tốn quỹ tích việc tìm “ma” khẳng định : “Có mađâu mà tranh luận” ! Riêng tơi lại khẳng định có ma, tơi chưa nhìn thấy ma ! Xong khái niệm có đầu nghĩa khái niệm tồn

Cuối cùng, lần xin khẳng nh :

Không thể vĩnh biệt giới hạn !

LTS : Việc sử dụng thao tác giới hạn lời giải tốn quỹ tích phương pháp thuận đảo nhiều giáo viên học sinh coi hiển nhiên, khẳng định nhiều sách Tốn

Tuy nhiên, khơng phải khơng có lí TS Nguyễn Minh Hà đặt cho cho người ba câu hỏi :

- Thế thao tác giới hạn ? - Thao tác giới hạn sử dụng trường hợp nào, có ?

- Thao tác giới hạn đặt vị trí lời giải, có ?

Bài “Vĩnh biệt giới hạn” thể quan điểm, cho khơng cần có thao tác giới hạn lời giải tốn quỹ tích phương pháp thuận đảo Bài viết nhiều bạn đọc quan tâm có nhiều ý kiến phản hồi khác nhau, đồng tình, khơng đồng tình

Mong bn trao i tip

Nguyễn Khánh Nguyên,

Phải biết đặc điểm riêng loài cá sửa Bạn NHML (Hà Nội) viết “Cá mè lóc ngược lách luồn xa - Cá rô ăn ao nhà” sai Cá rô sống tầng nước Cá mè sống tầng trên, gần mặt nước, câu thơ phải “Cá rơ lóc ngược lách luồn xa - Cá mè ăn ao nhà” “Ai biết nhiều cá ?”được sửa lại sau :

Cá chầyđỏ mt khúc thm

Cá chépđưa tiễn Táo Quân chầu trời

Cá ngựa làm thuốc tuyệt vời

Cỏ vng b cho ngi ngm chi

Cá bốngcô Tấm chăm nuôi

Cỏ heobin c cu ngi nguy nan

Cá voito gian

Cá chạchtrơn nhẵn chui bùn sâu

Cá cờphong phú sắc màu

Cá trêngạnh sắc, bẹp đầu thân trơn

Cá chuối“đắm đuối con”

Cá rơlóc ngược lách lun i xa

Cá mèăn ao nhà

Cá chuồnmặt biển là bay

Cỏ mcphun nc en sỡ

Cá nócăn phải dễ viện liền

Cá súbán nhiều tiền

Cá mập hÃn miền khơi xa

Các bạn trao giải kì : Mẫn Thị

ánh Ngọc, Mẫn Thị Hải Yến, 7B, THCS Yên

Phong, Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh;

Nguyn Duy Linh, 8A, THCS Vĩnh Tường,

VÜnh Phóc ; Hå Thị Trâm Anh, 8C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Lê Thùy Linh, 190 Trần Phú, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh;

Nguyễn Hồng Hạnh, 7C, THCS Hà Nội

-Amsterdam, Hà Nội

Ph Bình Ngụn ng cỏc lồil Kì :

27

lKÕt qu¶ : Ai biết nhiều cá ? (TTT2 sè 32)

“Ngơn ngữ” nhiều lồi vật “tụ tập” thơ Tuy nhiên, am hiểu động vật, chắn bạn thấy cần phải sửa lại nhiều chỗ thơ Nào, sửa bn nhộ !

Gà rừng gáy sáng be be Dê cất tiếng le te gọi bầy

Đàn lợn cạp cạp suốt ngày Gà cục tác chạy đầy mặt sân

Ve ve cu gáy nghe gần

Chó sủa ộp ộp nhiều lần đêm Trên cnh eng ộc ting chim

ụt ịt trâu mẹ gäi t×m nghÐ

Gà mẹ chiêm chiếp thật ồn Trong làng gà gáy dồn vo ve

Õch kªu chÝu chÝt sau hÌ

Con ve đón hạ cúc cu giọng buồn Lợn ông chuồng Chó mẹ nghé ọ ln mồm đau

Cún tập sủa meo meo Vịt đàn ủn ỉn nghnh u gi

Lợn la ăng ẳng gào Đàn ong vỡ tổ bay vào o o Tiếng gà gáy vo vo

Te te tiếng muỗi chuyện trò bên tai

Trng Hi

28 Trần Đăng Khoa :

Th hay tt nhiên có nhiều người thuộc lưu truyền rộng rãi Nhưng thơ dễ thuộc nhiều người thuộc chưa hay Chú thuộc thơ, thường đọc lần thuộc Loại thơ thường hai thái cực Hoặc cực hay cực dở Thơ Bút Tre không nằm hai dạng Phải xếp Bút Tre vào chiếu riêng Đó dịng thơ dân gian Đọc cười Nhưng Bút Tre lại người có thực Tên thật ơng Đặng Văn Đăng Ơng sinh năm 1910 năm 1987 Trong nhiều năm, ông giữ trọng trách Trưởng Ty Văn hóa tỉnh Phú Thọ Đó cán tận tụy, nhân dân tin cậy đặc biệt yêu mến Ông có cơng ghi lại câu nói bất hủ Bác Hồ Đền Hùng : “Các Vua Hùng có công dựng nước Bác cháu ta phải giữ lấy nước” Những lúc rỗi rãi, xuống sở, ông hay làm thơ Thơ ông thường nệ theo vần Và muốn giữ vần, để thật có vần, nhiều ơng phải bẻ câu, bóp chữ, chí cưỡng chữ, miễn nhét cho vừa khuôn vần Chính mà chữ hóa dị dạng, nhiều biến nghĩa, tạo thành tiếng cười thật vui vẻ Việc làm Bút Tre vơ tình khởi nguồn dòng thơ ca dân gian đại Người ta thường đọc cho nghe uống rượu lúc giải trí Nhưng

bài hay nhất, buồn cười lại thường Bút Tre, mà Bút Tre rởm Đó thi sĩ thứ thiệt nhại theo giọng Bút Tre Dòng thơ ngày lớn phong phú

Gần đây, đến trại sáng tác văn học Tam Đảo, lại nghe dân chúng truyền thơ Bút Tre viết khu nghỉ mát Nhưng truy hóa thơ Trần Lê Văn, nhà thơ lão thành tiếng Bác Trần Lê Văn thầy giáo, nhiều năm đứng bục giảng Bác thầy dạy nhà thơ nhà phê bình thơ tiếng Vũ Quần Phương Bài thơ m u nh sau :

Không Tam Đao (Tam Đảo) Đi chẳng biết chỗ mµ ngu (ngđ)

Và thế, cụ Bút Tre tạo trường phái thơ, dạng thơ ảnh hưởng đến thi sĩ khác Đây thơ “Công trường lao động” :

Công nhân họ hát họ ca

Cụng trng õu phải ca xoang Đấy việc khó hn

Trái tim anh thợ vui vầy Là hội mở thắm hây hây

Cụng trng õu phải đầy hội vui Công trường chẳng bùi hát Anh thợ nề bác kiên gan

Ai đọc thơ bảo thơ Bút Tre Nhưng khơng, thơ nhà thơ lớn tiếng cháu

Chú Khoa ơi, người ta bảo : “Thơ thơ dễ thuộc” Thơ Bút Tre có nhiều người thuộc, có phải thơ hay khơng ? Chú có bình luận ơng Bút Tre thơ Bút Tre ?

Đỗ BảO DƯƠNG

29

l Kết : Toỏn tui th

l Kì nµy :

(TTT2 sè 32)

Lần hàng dọc ô chữ Vườn Anh từ Tiếng Việt Nhưng hẳn bạn khơng thắc mắc đâu từ

TOáN TuổI THƠ ! 11 từ hàng ngang khái niệm Toán học thân quen với bạn c ca Toỏn Tui th

Giải nghĩa từ hàng ngang từ xuống :

CENTROID Trng tõm ; ROOT -Căn số ; SQUARE - Hình vng ; ANGEL - Góc ; TRIANGEL - Tam giác ; LOCUS - Quỹ tích ; BINOMIAL - Nhị thức ; RADIUS - Bán kính ; EQUATION - Phương trình ; GRAPH - Đồ thị ; PROPORTION - Tỉ lệ thức Ngoài cịn có số đáp án khác Các bạn tìm xem ! Chúc mừng năm bạn nhận quà tặng kì : Lê Thị Hồng Hạnh, 9A1, THCS Lê Thanh Nghị, Gia Lộc,

Hải Dương ; Phan Thị Thanh Thảo, 8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường,

VÜnh Phóc ; Lª Phong Vị, 10K, THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Krông Păk, Đắk Lắk ; Nguyễn ThÞ NhËt

Trang, 91, THCS Nguyễn Tri Phương,

TP Huế, Thừa Thiên - Huế; Hoàng

Lan Phng, 9A, THCS Hà Nội

-Amsterdam, Hµ Néi

Chủ Vườn

Ô chữ :

What is it that appears twice in a moment, once in a minute but not a single time in a day ?

30

CÈn thËn tõng tÝ tõng li

Nâng niu chu đáo chăm bạn ? Chm gỡ cõy ci tt ti ?

Chăm sớm tối chẳng ngơi tay làm ? Chăm công viÖc rÊt ham

Tập trung cao độ đam mê nhiều ? Chăm chẳng kể sớm chiều

Canh cánh việc điều chẳng quên ? Chăm gỡ sm ti thng xuyờn

Bữa ăn, giấc ngủ bên mẹ già ? Chăm trẻ nhỏ nhµ

Nặng tình thương mến đà lớn khơn ?

Nguyễn Thị Liễu

(9C, THCS Hòa Tiến, Yên Phong, Bắc Ninh)

Thông minh nghe giảng hiểu nhanh Thông thuộc liền mạch làm nhanh

khụng dng Thông bạch đạo phật thường dùng Thông tư văn lệnh chung biết liền

Thông suốt không vướng, không phiền Thông báo tin tức lan truyền khắp nơi

Thông gió thoáng khí gió bay

Thụng tho nm vững khéo tay thực hành Thông tin đài báo phát

Thông đồng thoả thuận tôi, anh làm Thông thái hiểu biết luận bàn

Thông thương buôn bán dễ dàng bạn Năm phần thưởng gửi tận nơi

Năm thảo dân giỏi cười thật to !

Ban thưởng :Đinh Phương Dung, 9A, THCS Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam ;

Ngun Ngäc H¹nh Ch©u, 91, THCS

Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế; Nguyễn Đăng Nguyên, mẹ Trịnh Trị Hoa, GV trường THCS Tam Anh, Núi Thành, Quảng Nam ; Nguyn

Hoàng Mỹ Linh, 7A11, THCS Giảng Võ,

Ba Đình, Hà Nội ; Lê Dương Trường

Giang, 7C, THCS Lý Thường Kiệt, Hà

Trung, Thanh Hãa

Vua TÕu

31 Hái :Tại lên lớp

m ch em cịn xấu ? Anh có đánh giá người qua chữ viết không ?

Nguyễn Trường Chinh

(Lộc Mỹ, Nghi Xuân, Nghi Lộc, Nghệ An)

Đáp :

Tại em không chịu luyện rèn Cho nên chữ xấu lem nhem

thế Nhìn chữ anh đoán Đây nét chữ tay

cÈu th¶ !

Hỏi : Mỗi em có ý định viết gửi TTT bạn em lại bảo : “Cậu gửi làm khơng đăng đâu” Nhưng em nghĩ : “Khơng khơng ta làm” Anh nghĩ ?

NguyÔn Thanh Tïng

(7C, THCS Phan Bi Chõu, T K, Hi Dng)

Đáp :

Cảm ơn em tâm Lần bạn phi

khâm phục Tùng Viết ta góp sức chung Toán Tuổi thơ tới vùng

gần xa

Hái : Em cao 146 cm, nỈng 20.500 gam, học lực làng nhàng Sinh nhật lần thứ 15 vừa em nhận câu :

Bạn chê : Gió thổi bay Cô trách : Học chẳng hay ! Bố buồn : Càng Mẹ than : Sống lắt lay Đây có phải thơ không ? Em bị ám mÃi Cứu em với ! Hiện em sống lay lắt

Phạm Minh Đức

(9A1, THCS Trng Vng,

Mê Linh, Vĩnh Phúc)

Đáp :

Tui i va mi mi lm Thõn cũn phỏt mnh,

tài phát dần Tội lay lắt khổ thân Cứ rèn luyện tốt phần

là vui !

Hỏi :Anh Phó ! Tại Toán Tuổi thơ không mở thêm chuyên mục Thế kỉ

âm nhạc có phải sợ tốn

giấy không ?

Quên ghi tên Đáp :

Tốn giấy chẳng sợ đâu Chỉ sợ tốn hầu bao

Ti vi có mục Nhớ ghi phát, em ngồi

mµ xem

Hỏi :Đồ đệ thích mơn Văn, người lại khun trai không nên di theo đường Văn Sư phụ nghĩ ?

Vò TuÊn Anh

(8A, THCS Vĩnh Sơn,

Vnh Tng, Vnh Phỳc)

Đáp :

Nguyễn Công Hoan với Nguyễn Tuân Nam Cao, Nguyễn Khải, tần ngần ngạc nhiên Ngô Tất Tố

buồn phiền Con đường Văn học

dành riêng giíi nµo ?

Hỏi :Nhiều lần em xin bố em cho em cắt tóc ngắn cho thoải mái Nhưng bố em không cho mắng em Bố em bảo : “Người gái Việt Nam đẹp đẹp mái tóc thơi” Anh “kíu” em với !

TrÇn Thị Hải Yến

(8A, THCS Vnh Tng, Vnh Phỳc)

Đáp :

Tóc dài hay ngắn chẳng Khuôn mặt em hợp kiểu

m thụi Cho mái tóc đẹp Nhưng mà nết cần

32

1(34) : Find all positive integers nsuch that 2n153 is the

square of an integer

2(34) :Let a, b, cbe positive real numbers such that abc= 1, find the smallest value of the expression

3(34) : Show that if p is the product of 2005 first prime numbers, then none of the two numbers p 1 and p1 is a perfect number

4(34) :Given a circle with center Oand radius R, let ABand CD be the perpendicular diameters of the circle If Mis a variable point on the circle, find the maximum value of the product

PMA.MB.MC.MD

5(34) : Suppose that A and B are two fixed points on the circle (O) Find the locus of M such that the line segment AM intersects the circle again at C, distinct from A, and AMMCCB

2 2 2 2 2

     

a b c b c a c a b

P

c a b

CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION

English version translated by Pham Van Thuan

Bài 1(34) : Tìm tất số nguyên dương n cho 2n153 bình phương số nguyên

Trần xuân ỏng

(THPT chuyên Lê Hồng Phong,

Nam Định)

Bài 2(34) :Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức

Cao minh quang

(THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

2 2 2 2 2

a b c b c a c a b

P

c a b

     

  

Bài 3(34) :Chứng minh khơng có số hai số sau : p 1 p 1 số phương với p tích 2005 số nguyên tố

nguyễn danh ninh

(Hà Đông, Hà Tây)

Bài 5(34) : Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) hai đIểm A, B cố định nằm đường trịn Tìm quỹ tích điểm M cho đoạn thẳng AM có điểm chung thứ hai C (khác A) với đường tròn (O) AM MC CB

nguyễn đăng phất

(ĐHSP Hà Nội)

Bài 4(34) :AB CD hai đường kính vuông góc với đường tròn tâm O, bán kính R M điểm thuộc (O ; R) Tìm giá trị lớn P MA.MB.MC.MD

trần xuân uy