Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 37

RÊt mong b¹n ®äc tÝch cùc h­ëng øng tham gia cuéc thi.. Ban tæ chøc cuéc thi..[r]

1

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 35)

DỰNG HÌNH VNG lKì :

(TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) (TTT2 số 35) Cho trước tứ giác ABCD

(hình vẽ) Hãy dựng hình vng có diện tích với tứ giác

Vũ Hằng (Xóm 4A, Trình Trung Tây, An Ninh, Tiền Hải, Thái Bình)

Cú nhiu cỏch xỏc nh ba đường thẳng có đồng quy hay khơng điều kiện không xác định giao điểm chúng toán đưa Xin giới thiệu số cách :

Cách (sử dụng tính chất ba đường cao tam giác đồng quy) Lấy điểm Athuộc a, qua A kẻ AHvng góc với c H, AHcắt btại I Qua I kẻ IKvng góc với atại K, IK cắt c C Ta có a, b, c đồng quy AC vuông góc với b

Cách (sử dụng phép đối xứng trục)Dựng đường thẳng dvng góc với brồi dựng đường thẳng a’, c’lần lượt đối xứng với a, c qua d Ta có a, b, c đồng quy a’, b, c’ đồng quy

Cách (sử dụng phép đối xứng tâm) Tương tự cách (lấy tâm đối xứng Onằm b)

Cách (sử dụng tính chất hai đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường) Trên blấy điểm B, qua dựng đường thẳng song song với a, c, cắt c, a C, A Gọi giao điểm ACvà b M Ta có a, b, c đồng quy Mlà trung điểm AC

Cách 5.(sử dụng định lí Ta-lét)Kẻ hai đường thẳng song song d1, d2, cắt a, b, ctạo hai hình thang nhỏ có giao điểm đường chéo M, N Ta có a, b, c đồng quy MN// d1// d2

Các bạn thưởng kì : Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương; Hoàng Thị Thu Hiền, 8E, THCS Lê Mao, TP Vinh ; Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An ; Hồng Văn Nghĩa, xóm 2, Đơng Trung, Trung Đông, Trực Ninh, Nam Định ; Võ Thị Ngọc Lưu, 86, THCS Trần Phú, Tam Đàn, Phú Ninh, Quảng Nam

2 Trên TTT2 số 2, tác giả Nguyễn Đức Tấn khẳng định : “khai thác toán sách giáo khoa đem đến cho nhiều điều thú vị sâu sắc” Hệ thống tập SGK bản, chọn lọc kĩ lưỡng, hàm chứa nhiều vấn đề để học tập, khai thác, phát triển Để học tốt mơn tốn, nhng bi SGK

Chẳng hạn, xét tập 11 trang 104 SGK Toán 9, tập 1:

Bài tốn (bài tập 11).Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CHDK

Lêi gi¶i

Tõ giả thiết ta có AH// BK(cùng vuông góc với CD), suy ABKHlà hình thang

Gọi I trung điểm HK, ta có OI đường trung bình hình thang ABKH nên OI// AH, suy OICDIcũng trung điểm CDCHDK

lbi toỏn trờn, ta chứng minh CHDK cách chứng minh CD HK có trung điểm (điều khơng CD HKcùng nằm đường thẳng) Hoàn

toàn tương tự, ta chứng minh toán sau đề xuất toán đảo Bài tốn Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CDkhơng cắt đường kính AB Các đường thẳng vng góc với CD, qua C Dlần lượt cắt ABtại Hvà K Chứng minh AHBK

Bài toán (bài toán đảo toán 2) Trên đường kính AB (O) lấy hai điểm H, K cho AH  BK Qua H, K vẽ hai đường thẳng song song, cắt (O) C, D (C, D nằm phía đường thẳng AB) Chứng minh HC, KDcùng vng góc với CD

lTiếp tục để ý đến chi tiết “dây CD khơng cắt đường kính AB” tốn Tại phải có giả thiết ? Câu trả lời “dễ kiếm”là toán trường hợp dây CDbất kì

3 (b»ng hc CD)

Trường hợp Dây CD khơng cắt AB, trường hợp tốn

Trường hợp Dây CDcắt ABtại điểm G

Ta sÏ chøng minh CD vµ HK cã cïng trung ®iĨm ThËt vËy :

Qua O kẻ đường thẳng vng góc với CD, cắt CDvà AKlần lượt I, J Như I trung điểm CDvà IJ// KB// AH(cùng vng góc với CD) Vì Olà trung điểm ABnên OJlà đường trung bình tam giác ABK, suy J trung điểm AK Từ ta lại có IJlà đường trung bình tam giác KAH, suy Ilà trung điểm HK Suy CDvà HKcó trung điểm ICHDK

VËy CHDKvíi dây CDbất kì

lNhng cỏch nhỡn khỏc v toán thường cho ta cách phát biểu khác khau tốn ngược lại, từ hình thành phẩm chất nhạy bén cho người làm toán Hai toán sau cách phát biểu khác toán Bài toán Cho tứ giác ACBD nội tiếp đường trịn đường kính AB Chứng minh hình chiếu vng góc cặp cạnh đối tứ giác đường chéo CDbằng Bài tốn 6.Cho ba điểm A, G, Bđơi khác nhau, thẳng hàng theo thứ tự đường trịn (O), (O1), (O2) có đường kính AB, AG, BG Qua Gvẽ cát tuyến cắt (O) C, Dvà cắt (O1), (O2) H, K Chứng minh CHDK Việc “mổ xẻ” toán 1ở “bước dạo đầu” Hi vọng bạn học nhiều điều thông qua tập SGK

Thể lệ thi

THEÁ GIễÙI QUANH TA Đơn vị tổ chức : Công ty Bản đồ -Tranh ảnh Giáo khoa Tạp chí Tốn Tuổi thơ, thuộc Nhà xuất Giáo dục

Mục đích thi : Tạo sân chơi tìm hiểu kiến thức qua đồ tranh ảnh giáo khoa

Đối tượng dự thi : Tất học sinh bậc THCS THPT

Hình thức dự thi : Cuộc thi kéo dài 10 tháng, tháng có câu đố đăng tạp chí Toán Tuổi thơ từ tháng đến tháng 12 năm 2006 Bài dự thi giải câu đố gửi Công ty Bản đồ -Tranh ảnh Giáo khoa (45 Hàng Chuối, Hà Nội) Thời hạn gửi không 30 ngày kể từ ngày phát hành Tạp chí (ngày 15 hàng tháng)

Giải thưởng :

+ Từng thángđều có tặng phẩm cho 10 cá nhân đơn vị (danh sách bạn thưởng kì đăng với đáp án cách sau kì)

+ Tổng kết 10 tháng gồm có 18 giải cá nhân giải tập thể (cho đơn vị lớp trường có nhiều dự thi đạt chất lượng tốt) :

l3 giải cá nhân, giải trị giá 1.000.000 đồng

l giải nhì cá nhân, giải trị giá 400.000 đồng

l giải ba cá nhân, giải trị giá 200.000 đồng

l giải tập thể, giải trị giá 1.000.000 đồng

l giải nhì tập thể, giải trị giá 500.000 đồng

l giải ba tập thể, giải trị giá 300.000 đồng

Các cá nhân tập thể đạt giải nhận Bằng chứng nhận Ban Tổ chức Rất mong bạn đọc tích cực hưởng ứng tham gia thi

4

l Keát quaû : (TTT2 sè 35)

l Kỡ naứy : Bài toán sau nằm đề thi toán kì thi quan trọng Bài tốn Cho tam giác ABC có AB  cm, AC  cm, BC  cm Về bên tam giác, vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB, AC Một đường thẳng d di động qua A, cắt hai nửa đường tròn đường kính AB, AClần lượt M, N(khác A) Tìm giá trị lớn chu vi tứ giác BCNM

Một số học sinh “giải được” toán với đáp số “đẹp”, lời giải sau :

Lời giải.Gọi Ilà trung điểm BC Tam giác ABCvuông A(vì AB2AC2 BC2) nên BC2AI

VÏ BE  CN(E  CN), dƠ thÊy tø gi¸c BMNElà hình chữ nhật suy MNBEBC

Gọi Dlà trung điểm MN Ta có IDlà đường trung bình cđa h×nh thang BMNC, suy MBNC2ID2AIBC

Do chu vi tứ giác BCNM không vượt BCBCBC15 (cm)

Đẳng thức xảy E trùng với Cvà Dtrùng với A

Vậy giá trị lớn chu vi tứ giác BCNMlà 15 cm

HÃy thử tìm hiểu lời giải cho biết ý kiến mình, bạn

nguyễn đức tấn(TP Hồ Chí Minh)

Lời giải mắc sai lầm bước lập luận : F(x, y) đạt giá trị nhỏ a(x1)2và b(xy)2(yx)2đồng thời đạt giá trị nhỏ Lập luận giá trị nhỏ đạt giá trị biến Rõ ràng ađạt GTNN x 1, bđạt GTNN x yyx0, tức xy0

Lời giải sau :

Biến đổi F(x, y) 3x2 2x 2y2

Đẳng thức xảy vµ chØ ,

y  Vậy GTNN F(x, y) , đạt , y0

Xin trao thưởng cho bạn có lập luận tốt : Hồng Văn Cơng, 7B, THCS Phạm Huy Thông, Ân Thi, Hưng Yên ; Trần Thị Hải Anh, 8A, THCS Liên Bảo, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ; Tạ Thanh Thủy, 9C, THCS Thanh Thủy, Thanh Thủy, Phú Thọ ; Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An

Anh KÝnh Lóp

3 x  

2

1 x  

2

2

1 2

3

3 3

x y

     

 

 

ĐÁP SỐ “ĐẸP” ?

5

v Kì :

l KÕt qu¶ : HÌNH CUỐI LÀ HÌNH NÀO ? (TTT2 sè 35)

TTT đăng giải bạn Võ Quang Dũng, 8B, THCS bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnhvà bạn Nguyễn Bá Tuấn Anh, 8A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghƯ An:

Bµi

Quy luật tìm Đáp án chắn D nha Bởi hình một, hai, ba có Số trục đối xứng một, hai, ba D có bốn trục, rõ Phù hợp quy luật Cuối em chúc sang tuổi Báo nhiều bè bạn khắp gần xa

Bµi

Hình trục đối xứng Hình tương tự thật hay Hình khơng Hình cuối hình B !

Ngồi hai bạn Quang Dũngvà Tuấn Anh, bạn sau thưởng : Lê Thị Thanh Hằng, 9C, THCS Thị Trấn Hà Trung ; Nguyễn Thị Kiều Linh, 9C, THCS Kiều Phú, Quc Oai, H Tõy

Nguyễn Đăng Quang Bạn hÃy cho biÕt thø tù cña phÐp tÝnh

điền vào ô vuông từ xuống để dịng kết có ý nghĩa ?

1 Năm Năm sinh = ? Vận tốc trung bình Thời gian = ? Sè kĐo Sè b¹n = ?

4.SÜ sè líp năm ngoái Số bạn vào = ?

6

NGHIỆM NGUYÊN - NGHIỆM HỮU TỈ

CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

lĐầu tiên, ta xem xét điều kiện cần đủ để phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ

Định lí Phương trình bậc hai : ax2bxc0 (a *, b; c) có nghiệm hữu tỉ  b24ac số phương

Chøng minh

+ Điều kiện cần Nếu phương trình (*) có nghiệm số hữu tỉ số hữu tỉ Đặt (với p; q, q0 (p, q) 1) Suy q2 p2 q2chia hết cho p2

Mặt khác, (p, q) 1 suy (p2, q2) 1  chia hết cho p2  p2q21 q1   p2là số phương + Điều kiện đủ.Đảo lại, b24ac d2 số phương phương trình (*) có nghiệm rõ ràng số hữu tỉ lĐịnh lí sau cho phép ta tìm nghiệm hữu tỉ (nếu có) phương trình bậc hai

Định lí Nếu (p; q, q 0 (p, q) 1) nghiệm hữu tỉ phương trình bậc hai ax2bxc0 (a *, b; c) qlà ước avà plà ước c

Chứng minh.Thay vào phương trình (*) ta có

ap2bpqcq20 ap2 q(bpcq) suy ap2chia hÕt cho qqlà ước a (vì (p, q) 1)

Tương tự cq2  p(ap bq) suy p ước c

l Ta thấy nghiệm nguyên trường hợp đặc biệt nghiệm hữu tỉ (khi a1) lMột số ví dụ minh họa

Ví dụ Cho a, b, clà số nguyên lẻ Chứng minh phương trình bậc hai ax2bxc0 khơng có nghiệm hữu tỉ

Lời giải Cách Giả sử phương trình cho có nghiệm hữu tỉ, theo định lí b24acm2là số phương

Suy b2m24ac

Vì b2lẻ, 4acchẵn nên m2phải số lẻ Ta lại biết bình phương số lẻ chia cho có số dư nên b2m2 chia hết cho ; aclà số lẻ nên 4ackhông chia hết cho Điều mâu thuẫn với b2m24ac

Vậy phương trình ax2  bx  c  với a, b, clà số nguyên lẻ khơng có nghiệm hữu tỉ

Cách Giả sử phương trình cho có nghiệm hữu tỉ (p ; q, q 0 (p, q) 1), theo định lí 2thì qlà ước a plà ước c

Vì a, c lẻ nên q, p lẻ, suy ap2, bpq, cq2lẻ ap2bpq cq2lẻ, khác Điều mâu thuẫn với giả thiết x0 pq

0  p

x q

2

2

p  p 

a b c

q q

0  p

x q

0  p

x q

1;   b d2

x

a

  p q 

1;   b2

x

a

giáp trần quân(Sinh viên trường ĐHQG Hà Nội) Trong viết ta xét phương trình bậc hai :

7 nghiệm hữu tỉ phương trình cho Từ suy điều phải chứng minh

Chú ý Kết cịn với đa thức bậc với hệ số số nguyên lẻ

Ví dụ Tìm tất số nguyên a để phương trình sau có nghiệm ngun :

x2(3 2a)x40 a0 Lời giải Theo định lí 1, trước hết để phương trình có nghiệm hữu tỉ phải có  n2là số phương

(3 2a)24(40 a) n2 4a216a151 n2 (2a4)2n2167

(2a4 n)(2a4 n) 167

{2a4 n; 2a4 n} {1 ; 167} hc {1 ; 167} (vì 167 số nguyên tố)

Suy a 40 a  44 Thử lại, ta thấy chúng thỏa mãn điều kiện đề Vậy số ngun acần tìm 40 ; 44 Tuy nhiên có tốn khơng cần sử dụng hai định lí phát biểu

Ví dụ Tìm tất cặp số tự nhiên (m, n) để phương trình x2mnxmn0 có nghiệm ngun

Hướng dẫn.Giả sử phương trình có hai nghiệm ngun x1x2 Theo định lí Vi-ét ta có x1x2mnvà x1x2mn

Ta cã (x11)(x21) x1x2(x1x2) 1, (m1)(n1) mn(mn) 1, suy (x11)(x21) (m1)(n1) 2

Nếu m0 n0 ngược lại Khi phương trình có nghiệm nguyên x0 Nếu m1 n1, suy x11 x21, có ba khả xảy :

+ (x11)(x21) 1 suy (m; n) (2 ; 2) ; + (x11)(x21) 2 suy (m; n) (1 ; 5) hc (5 ; 1) ;

+ (x11)(x21) 0 suy (m; n) (2 ; 3) hc (3 ; 2)

Vậy có tất cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mãn điều kiện đề : (0 ; 0), (2 ; 2), (1 ; 5), (5 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2)

Ví dụ 4.Tìm m để phương trình sau có

nghiệm nguyên : 2x22mxm21 0 Lời giải Ta thấy x  x0 nghiệm phương trình tồn msao cho :

2x022mx0m21 0

phương trình m2 2x0m 2x021  có nghiệm ẩn m

 ’m0  x021 0  1 x0 1 Do x0x0{1 ; ; 1} Ta có : x00 m 1 ;

x0 1 m22m1 0 m 1 ; x01 m22m1 0 m1

Vậy phương trình có nghiệm ngun m 1

Điều kiện cần đủ để phương trình bậc hai có nghiệm ngun cịn ứng dụng vào việc giải tốn sau

Ví dụ Chứng minh với số nguyên n ta có n2 n2 không chia hết cho 49

Lời giải.Giả sử n2n2 49k(k), nghĩa phương trình n2n2 49k 0 với đối số nphải có nghiệm nguyên  nphải số phương

1 4(2 49k) h2196k7 h2 7(28k1) h2, suy 28k1 phải chia hết cho 7, điều vô lí

Vậy n2n2 49k, điều phải chứng minh lBµi tËp vËn dơng

Bài Cho a, blà số nguyên Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm hữu tỉ : x23ax3(b21) 0

Bài Tìm tất số nguyên a để phương trình sau có nghiệm ngun :

x2(a5)x5a2 0.

Bài Tìm tất số nguyên a để phương trình sau có nghiệm ngun :

x2ax198 a

8 Ru-ma-ni (Romania) đất nước có truyền thống Tốn học lâu đời, nơi sinh nhiều nhà toán học tiếng giới Lô-ba-sép-xki (Lobachevsky), Gau-xơ (Gauss), , nơi gặp gỡ nhiều thí sinh IMO kì thi IMO 1959, 1960, 1969, 1978, 1999

Hội Toán học Ru-ma-ni (Romanian Mathematical Society)thành lập năm 1910, đến có 8000 hội viên Những hoạt động bật Hi gm cú :

Sáng lập kì thi học sinh giỏi quốc gia (tổ chức lần vào năm 1950) ;

xut, ng tham gia sỏng lập kì thi tốn quốc tế IMO (tổ chức lần năm 1959 Ru-ma-ni) ;

Xuất tạp chí Tốn học Gazeta, diễn đàn lớn người yêu Toán Trong số số tiếp theo, giới thiệu bạn số thi vơ địch Tốn quốc gia Ru-ma-ni năm 1999, 2000 Các toán tuyển chọn, cải biên để phù hợp với học sinh giỏi THCS nước ta

Bài (Problem 7.1, 1999) Xác định độ dài ba cạnh tam giác vng, biết chúng ba số ngun tích độ dài hai cạnh góc vng ba lần chu vi

Ghi Problem 7.1 toán số đề thi dành cho học sinh lớp 7, hệ phổ thơng 10 năm

Bµi (Problem 7.3, 1999) Cho từ giác

lồi ABCD với

Hai tia ADvà BCcắt E, hai tia AB DCcắt F Chứng minh :

a) AB.DEBC.CE; b)

Bài 3(Problem 7.4, 1999) Cho tam giác ABC, hai điểm D, Elần lượt nằm cạnh BC AB, F nằm cạnh ACsao cho EFsong song với BC, Gnằm cạnh BCsao cho EGsong song với AD Gọi M, N trung điểm AD BC Chứng minh :

a)

b) Trung điểm FG nằm đường thẳng MN

Bài 4(Problem 8.4, 1999, cải biên) Chứng minh với số nguyên xvà y, biểu thức sau không nhận giá trị 77 :

Nx5x4y13x3y213x2y336xy436y5. 1;

 

EF EG BC AD

2 1( ).

2

 

AC AD AF AB AE

  .

ABC ACD

 

BAC CAD

CUỘC THI OLYMPIC TOÁN HỌC CỦA NƯỚC ANH

9 Bµi 1.(Problem 7, 1965)

Đặt f(x) xx3x9x27x81x243 Phần dư chia đa thức cho x1 số k, xác định : f(x) (x1)g(x) k, với g(x) đa thức Cho x1, ta kf(1) 6

Tương tự, phần dư chia f(x) cho x21 có dạng axb, f(x) (x21)h(x)  ax b, với h(x) đa thức Suy f(1) ab, 6 f(1)  ab Từ đó, a6, b0, phần dư 6x

Bµi 2.(Problem 8, 1965)

NÕu b vµ x tháa m·n x2  bx   x2xbth× (b1)(x1) 0

Suy b1 x1 Khi b1 ta x2x 1 0, phương trình khơng có nghiệm thực Khi x1 suy b 2

Vậy có b  2 thỏa mãn điều kiện đề

Bµi 3.(Problem 9, 1965)

Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương ta có : (xy)(yz)(z x)

Do trường hợp x  y  z không xảy nên bất đẳng thức không tồn dấu bằng, suy điều phải chứng minh

Bµi 4.(Problem 1, 1966)

Biến đổi ta có ,

đẳng thức xảy x 0 Do giá trị lớn nht ca f(x) bng

Đặt ux21 x2u1

Đặt

5v2v1 5(v0,1)20,95 0,95 Đẳng thức xảy v 0,1 u10 x3

Vậy giá trị nhỏ cđa f(x) 0,95 Bµi (Problem 10, 1966)

+ Nếu Xvà Y đứng chung hàng ngang X người cao hàng ngang nên Xcao Y

+ Nếu Xvà Yđứng chung hàng dọc Ylà người thấp hàng dọc nên Xcao Y

+ Nếu Xvà Ykhông đứng chung hàng ngang hàng dọc, gọi Zlà người đứng hàng ngang với X đứng hàng dọc với Y Như lập luận trên, ta thấy Xcao Zvà Zcao Y Suy Xvẫn cao hn Y

Tóm lại, Xcao Y Bài (Problem 11(a), 1966)

Lấy số nguyên chia cho 100, số dư 0, 1, , 99 Chia tập số dư thành 51 tËp hỵp nh­ sau : hai tËp mét phần tử {0} {50}, 49 tập, tập gåm hai phÇn tư : {1, 99}, {2, 98}, , {49, 51}

Bây giờ, xét 52 số nguyên tùy ý cho trước Xét số nguyên tùy ý chọn từ 52 số Rõ ràng chia cho 100, số có số dư thuộc 51 tập nói Nhưng có đến 52 số, nên phải có hai số có số dư thuộc tập Khi đó, rõ ràng hai số có tổng hiệu bội 100

2 1 5

1 ( )

1v

v

v u f v

u v

v       

2

2

( 1) ( 1) 5

( ) u u u u

f u

u u

     

  

4

4

4

( ) 5

2

x x f x

x x 

  

 

2 xy yz zx 8xyz

   

10

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10, năm học 2005 - 2006

trường THPT khiếu Trần Phú, Hải Phòng

Bài 1 Điều kiện để P xác định : xy0 ; x  1 ; y1 Rút gọn ta c Pxxyy

2 P2 (x1)(y1) Vì x y nguyên nên ta tìm :

(x; y) {(2 ; 0) ; (0 ; 2)}

Bài Khi m2, phương trình (1) trở thành x(x28x) 0 cú nghim x0 hoc x

2 Đáp số : m<

+ Với m 2, phương trình (1) khơng có nghiệm dương nên khơng thỏa mãn

+ Với m> 2, nghiệm x2 m< Mặt khác (2) có ’xm212 > 0, S 2(m2) < 0, P4m8 > 0, nên (2) có hai nghiệm âm tức (1) khơng có nghiệm dương Do m> khơng thỏa mãn

+ Với m< 2, nghiệm x2 m> Mặt khác (2) có P4m8 < nên (2) có hai nghiệm trái dấu Vì m < nên t(2 m)  m20, suy x2 mkhông phải nghiệm (2) Vậy với m < (1) có hai nghiệm dương nghiệm âm thỏa bi toỏn

Bài Đáp số : m hc m  2 Ta cã

nên hệ có nghiệm m 1, nghiệm hệ x1 ; y  m1 Do y2x(m1)21 m0 ; m 2 áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có :

Víi mäi x> 1, ta lại có

áp dụng

iu ny ta cú T ú

suy điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy abc4 Bài Xét hai tam giác ABMvà NBM, ta có AB đường kính (O) nên M trung điểm

cung nhá AC nªn suy

Suy tam giác BAN cân B

Ta lại có ABCM tứ giác nội tiếp nên suy tam giác MCN cân M

2 Từ kết cïng víi gi¶ thiÕt MQ MBta suy hai tam giác MQNvà MBC (c.g.c), suy QN BC Mặt khác ta có ACvuông góc với BCnên BA2BC.BQBC(BNQN) BC(ABBC) BC(BC2R) 4R2BC

Bµi Ta cã {1 ; ; ; ; 2n} {1 ; ; ; ; 2n1}  {2.1 ; 2.2 ; 2.3 ; ; 2.2n 1} Tỉng c¸c ­íc số lẻ lớn số 2.1 ; 2.2 ; 2.3 ; ; 2.2n 1 ( 1)  R

    ,

MCN MAB MNB

  .

MAB MNB

  ,

ABM NBM

  90 ;o

AMB NMB

3

3 4.4.4 12

M  

2

( 2) 4,

1

   

 x x

x

3

3

1 1

a b c M

a b c

   

  

3

1 1

3

1 1

a b c

b c a

a b c

b c a

  

  

  

  

1 ( 1)

     

 

       

 

mx y m x m

x y m y x m

2

2 (1)

( ) 2( 2) (2)

x m

t x x m x m  

  

      

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUN, TỈNH THÁI BÌNH, NĂM HỌC 2005 - 2006

Dành cho học sinh thi vào chuyên Toán - Tin, thời gian làm 150 phỳt Bài 1.(3,0 đim)

1 Gii phng trỡnh :

2 Trong hệ trục tọa độ Oxyhãy tìm đường thẳng y2x1 điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện :

Bài 2.(2,5 điểm) Cho phương trình :

(m1)x2(m 1)xm3 0 (mlµ tham sè)

Tìm tất giá trị mđể phương trình có nghiệm số nguyên Cho số , ,  Đặt a    , b, c

Chứng minh phương trình sau cú nghim :

x22ax3b0 ; ax22bx3c0 Bài 3.(3,0 điểm)

Cho tam gi¸c ABC

1 Gọi Mlà trung điểm AC Cho biết BM  AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, Elà điểm đối xứng M qua C Chứng minh DMvng góc vi BE

2 Lấy điểm Obất kì nằm tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, ABtheo thứ tự điểm D, E, F Chøng minh r»ng :

Bµi (0,75 ®iĨm)

Xét đa thức P(x) x3ax2bxc Q(x) x2x2005 Biết phương trình P(x) 0 có nghiệm phân biệt, cịn phương trình P(Q(x)) 0 vơ nghiệm

Chøng minh P(2005) > Bài (0,75 điểm)

Có hay khơng 2005 điểm phân biệt mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù

1 64

a)

b) 1 64

OD OE OF AD BE CF

AD BE CF

OD OE OF

  

      

   

   

25 6 0.

y y x x

1

   

x x x

chính tổng ước số lẻ lớn cđa c¸c sè ; ; ; ; 2n 1nên tổng này

chính S(n1) Suy :

S(n) 1 3 5  (221) S(n1) S(n1) 4n 1S(n1) Từ công thức quy nạp ta chứng minh S(n)

2 Qua B, kẻ đường thẳng dsong song với đường thẳng d, cắt CC1 C Lấy M thuộc dsao cho ABMMlà hình bình hành Kẻ MH vuông góc với BC t¹i H Ta cã : AM.B1C1  BM’.BC’  BC.BH  k > 0,

không đổi Suy H cố định  M’ thuộc đường thẳng qua H, vuông góc với BC(cố định) Mcũng thuộc đường thẳng cố định (vng góc với BC)

4 2.

3

n

1

(1 1)2



12 l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ Bµi (35).BiÕt r»ng xvà y số tự

nhiên có 2005 chữ số Số xchỉ viết chữ số số ychỉ viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ số tích xyvà tổng chữ số x2

Lời giải.Theo ta cã :

Do :

Tỉng c¸c chữ số xylà :

2004 2004 18045

Tổng chữ số x2là : 2004 9 8 1 18045

VËy tỉng c¸c chữ số xyvà tổng chữ số x2bằng

Nhận xét 1) Với cách chứng minh trên, hai bạn Đồn Thu Hồng, 9/2, THCS Lê Q Đơn, TP Hải Dương Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương chứng minh toán tổng quát toán cho : “Với x y số tự nhiên có nchữ số (n*) Số xchỉ viết chữ số số ychỉ viết chữ số a (1  a  9) Khi tổng chữ số tích xy tổng chữ số x2 bằng 9n(không phụ thuộc vào giá trị a)”

2) Có đơng bạn tham gia giải

này hầu hết bạn giải Ngồi hai bạn nói trên, bạn sau có lời giải gọn gàng : Nguyễn Thị Mĩ Hằng, 7A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Nguyễn Quang Huy, 9B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây; Kim Huyền Trang, 6A1 ; Nguyễn Thị Hồng Vân ; Nguyễn Thị

ánh Nguyệt, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Phan Phú Nguyên, 6A, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Lê Mạnh Thắng, 7B9, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng

Trần Hữu Nam Bài (35).Hãy xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm :

(1) Lời giải

Điều kiện cần

Chỳ ý, nu (x, y, z) nghiệm (1) (x, y, z) nghiệm (1), (1) có nghiệm z z, suy z0 Nếu (x, y, 0) nghiệm (1) (y, x, 0) nghiệm (1), (1) có nghiệm y x

Thay y xvµ z0 vµo (1) ta cã :

Bëi vËy  (4x2 4x)  2(2x2  2x)  4a3 2a6a3 Suy

Điều kiện đủ

Với , hệ phương trình (1) trở thành (2)

2

2 2

4 2 ( )

1 xy x y z x y x y z x y

               a 

1 a 

2

4 4

2

x x a

x x a

        

2 2

4 2 ( )

xy x y z x y a x y z x y a

              

2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè

99 99 (100 1) 99 99 900

x  

  



    

2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2004 ch÷ sè 2004 ch÷ sè

99 99 9800 01      

2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè

99 88 (100 1) 88 88 800

xy  

  



    

2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè 2004 ch÷ sè 2004 ch÷ sè

88 88 8711 12      

2005 ch÷ sè 2005 ch÷ sè

13 Ta sÏ chøng minh (2) cã nghiÖm nhÊt ThËt vËy

Víi x, y, znh­ trªn ta cã 4xy2x2y 4z2(xy) 1

VËy lµ nghiƯm

nhÊt cđa (2)

Kết luận.Hệ phương trình (1) có nghiệm

Nhận xét Một số bạn có nhận xét vội vàng lµ nÕu (x, y, z) lµ mét nghiƯm cđa (1) (y, x, z) nghiệm (1) Các bạn sau có lời giải tốt : Nguyễn ThÞ MÜ H»ng, 7A3 ; Ngun Ngäc H­ng, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Nguyễn Ngọc Long, 7A, THCS huyện Thuận Thành, Bắc Ninh ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa; Đậu Công Thành, 8C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Mai Trung Nghĩa, 9B, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa

Nguyễn Minh Đức Bài (35)

Cho Tính

Lời giải.Xét to¸n më réng :

Cho (a0)

TÝnh theo avµ b

Ta cã

suy

a22aMM2x2y2(x2b)(y2b)  

2x2y2b(x2y2) b2

 (1)

Ta l¹i cã M2x2(y2b) y2(x2b)  

2x2y2b(x2y2)  (2) Trõ theo tõng vÕ (1) vµ (2) ta suy :

a22aMb2 Bài (35)là trường hợp đặc biệt (ab1) tốn trên, M0

Nhận xét.Bài tốn quen thuộc với bạn có nhiều bạn tham gia giải giải Một số bạn giải hai cách có nhận xét để mở rộng toán Tuy nhiên, tất bạn chưa đến mở rộng Các bạn tiêu biểu : Hoàng Thị Thu Hiền, 8E, THCS Lê Mao, TP Vinh, Nghệ An ; Bùi Thanh Sơn, 9A5, THCS Quang Trung, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Vương Bằng Việt, 9/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh ; Trần Quốc Luật, 9C, THCS Nguyễn Tuấn Thiện, Hương Sơn, Hà Tĩnh; Nguyễn Xuân Thiện, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình ; Ngơ Việt Hùng, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng ;

2 2 a b M a    2

2xy x b y b(  )(  )

2

2xy x( b y)( b)

2

2xy x( b y)( b)

2

2xy x( b y)( b)

2

2 2

(a M ) xy (x b y)( b)

 

2

( )( ) ,

xy x b y b M

    

2

x y b y x b

   

2

( )( )

a xy  x b y  b

2

M x y  b y x b

2

x x b y y b a

      

  

  

2 1 1.

M x y  y x 

2 1 1 1.

x x y y

      

  

  

1 a  1 ; 1 ; 0

2

x   y  z 

2 2

2

2

1 0

4

1 0

2

1 ; 1 ; 0.

2

x x y y z

x y z

x y z

                                     

2 2

14 Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa An, Ninh Giang ; Vũ Thanh Tú, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ; Võ Văn Tuấn, 9A5, THCS Nguyễn Du, KRơng Buk, Đắk Lắk ; Kim Đình Sơn, 8D, THCS Liên Bảo, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Phạm Minh Quân, 82, THCS Nguyễn Du, Phan Thiết, Bình Thuận; Võ Trần Tâm, 7E, THCS Thị Trấn Gio Linh, Gio Linh, Quảng Trị; Phạm Thái Hồng, 9A9, THCS Ngơ Sĩ Liên, Hồn Kiếm, Hà Nội; Lê Trọng Tín, 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh ; Nguyễn Tiến Mạnh, 9A1, THCS Thị Trấn Thanh Ba II, Thanh Ba, Phú Thọ

Nguyễn Anh Quân Bài (35).Cho tam giác ABC, AB< AC Các điểm M, Nlần lượt thuộc cạnh AB, AC cho BM  CN Gọi giao điểm BNvà CMlà O Đường thẳng qua O, song song với phân giác góc BAC cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự X, Y Chứng minh : BXCA; CYBA

Lêi gi¶i (cđa bạn Võ Văn Tuấn, 9A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk)

Dựng hình bình hành ABDC Đặt E giao MCvà BD Ta có :

(vì BE// CN)

(v× CNBM) (v× BM// DC) Suy DO phân giác góc BDC (*) DO song song phân giác góc BAC (vì ABDClà hình bình hành) DO®i qua X, Y

 (so le)  (theo (*))

BXDcân BBXBDBXCA (vì ABDClà hình bình hµnh)

Tương tự ta có tam giácCYD cân C, suy CYCDCYBA

Nhận xét 1) Bài toán không khó có bạn tham gia gi¶i Cã lêi gi¶i sai, mét sè lêi gi¶i dài

2) Cỏc bn sau õy cú li giải tốt : Nguyễn Xuân Thiện, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình; Nguyễn Ngọc Trung, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ; Tạ Quang Sơn, 9A2, THCS Trưng Vương, Thanh Lâm, Mê Linh, Vĩnh Phúc; Đỗ Đức Hiếu, 8C, THCS Lê Thánh Tơng, Thọ Xn, Thanh Hóa

Nguyễn Minh Hà Bài (35) Các đường trung tuyến tam giác khơng cân ABCkẻ từ A, B, Ccắt đường trịn ngoại tiếp tam giác điểm M, N, P Chứng minh : Nếu MN  MP ta có , BCa, CAb, ABc

Lời giải.Giả sử Glà trọng tâm tam giác ABC Vì ACG PMGvà NMG ABG nên

T (1), (2) ng thời kết hợp với giả thiết MNMPta :

(1) ; (2)

MP MG MN MG

AC CG AB  BG

2

2

2 b c a  



BDX

 

BXD CDX

DE DC  BE

BM 

15 Từ tính chất trọng tâm tam giác cơng thức đường trung tuyến (TTT2 số 24) ta có : Biến đổi, rút gọn hệ thức ta đến (b2c2)(2a2b2c2) 0, suy

(®pcm)

Nhận xét Có bạn gửi lời giải cho toán Sau bạn có lời giải : Nguyễn Ngọc Long, 7A, THCS huyện Thuận Thành, Thuận Thành, Bắc Ninh ; Nguyễn Đình Quân, 9A, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây ; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Đoàn Thu Hồng, 9/2, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Nguyễn Xuân Thiện, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Võ Văn Tuấn, 9A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk; Khưu Viết Sang, 9A3, THCS Chánh Hưng, P.2, Q.3, TP H Chớ Minh

Nguyễn Văn Mạnh

2

2

2 b c a  

2 2

2 22 22 2

c c a b

b b a c

 



 

2

2

, dẫn đến

AB BG AB BG

AC CG AC CG

Thi giải toán qua thư

Các bạn thưởng kì này

16

Vốn chỗ quen biết từ lâu, hôm nhân chuyến dự hội thảo khoa học, kĩ sư địa chất Minh Hoàng mời thám tử Sê-Lốc-Cốc du lịch với Đến Huế - nơi hội thảo tổ chức, kĩ sư Minh Hoàng thám tử thuê phòng khách sạn nhỏ bên dòng Hương Giang khách sạn với hai người cịn có bốn vị khách du lịch Đó ơng Lích-xi, ơng Vích-to, Ni-na anh Mích Cả bốn người đến th phịng từ hai hơm trước họ tham quan số cảnh đẹp

Vì đến sớm ngày so với lịch tổ chức hội thảo nên kĩ sư Minh Hồng có thời gian chơi thám tử Sê-Lốc-Cốc Ngày trơi qua thật bổ ích thú

vị Thám tử thật vui mừng lần ơng chiêm ngưỡng vẻ đẹp vừa cổ kính, vừa thơ mộng cố đô Huế Hai người chơi đến chiều ăn cơm tối lại tiếp đến khuya

Sáng sớm hôm sau, thám tử cịn chưa kịp ăn sáng kĩ sư Minh Hoàng gõ cửa

- Thưa thám tử, máy tính xách tay tơi bị ! Biết bao tài liệu quan trọng để tham dự hội thảo khơng cịn ! Trong tất cơng trình nghiên cứu tơi !

- Thật ? Anh phát bị vµo lóc nµo ?

17

Ba kẻ tình nghi

l KÕt qu¶ : (TTT2 số 35) tính đâu Chiều tối qua, thÊy nã

còn nguyên va li Trước ngủ tơi khơng kiểm tra

- Vậy kẻ gian lấy vào buổi tối, chơi Mà anh báo cho người quản lí khách sạn chưa ?

- Ch­a ¹

- Vậy anh báo

Mt lỳc sau, người quản lí khách sạn đưa vị khách du lịch đến gặp thám tử :

- Thưa thám tử, ba vị khách trọ khách sạn : ơng Lích-xi, Ni-na anh Mích Riêng ơng Vích-to đêm qua khơng khách sạn Hình ông tỉnh khác chơi

- Chào vị ! Tôi thám tử Sê-Lốc-Cốc, bạn kĩ sư Minh Hoàng, trọ khách sạn Xin vị vui lịng cho biết, tối hơm qua cỏc v ó lm gỡ, õu ?

Đầu tiên ông Lích-xi :

- Ti qua tụi dạo, ngắm trăng Trăng xứ Huế đẹp ! Đến gần 10 đêm ngủ Nhân viên lễ tân làm chứng cho tơi

Tiếp theo cô Ni-na :

- Tối qua mệt ban ngày nhiều Tôi nhà, xem TV ngủ sớm

Cuối cïng lµ anh MÝch :

- Tơi dạo, ngắm trăng bên bờ sông, ngồi nghỉ, gọi điện cho bạn gái học Mỹ - Xin lỗi, xin anh cho biết anh nói chuyện ?

- Chúng hỏi thăm sức khỏe, công việc Tơi kể vẻ đẹp Huế, kể ngắm trăng Thật thú vị bên Mỹ, lúc ngắm trăng nhớ đến

Nghe đến đây, thám tử Sê-Lốc-Cốc nghiêm mặt :

- Anh Mích, mời anh theo tơi đến đồn công an để làm rõ thêm số iu

Mích ngơ ngác không hiểu gì, ta phải làm theo lời thám tử Các thám tử Tuổi Hồng giải thích Sê-Lốc-Cốc lại nghi Mích kẻ gian ?

Lần này, nhiều bạn tham gia gửi dự thi, lại khơng nhiều bạn có câu trả lời xác Vụ trộm xảy sau Trung thu khoảng tuần, tức từ ngày 22, 23 âm lịch trở Trăng cuối tháng mọc muộn “Hai mốt nửa đêm / Hai hai gà gáy / Hai ba cáy mò” Vậy mà tên Dũng lại nói say sưa ngắm trăng khoảng từ đến tối Còn nhiều bạn đọc TTT có lẽ khơng đọc kĩ đề nên cho : vụ trộm xảy vào đêm Trung thu, trăng phải tròn vành vạnh, tên Dũng lại nói ngắm trăng lưỡi liềm

Phần thưởng kì trao cho năm bạn có tên sau : Nguyễn Thị Quỳnh Hoa, bố Nguyễn Quý Bình, GV THCS Lý Tự Trọng, TP Lào Cai, Lào Cai ; Nguyễn Thị Kim Anh, 9A, THCS Tản Đà, Ba Vì,

Hà Tây ; Đinh Thị Phương Thảo, 6A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang,

Hải Dương ; Lê Thế Vinh, 7B, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn,

Thanh Hóa ; Nguyễn Ngô Trúc Quỳnh, D59 khu Văn Thánh, TP Phan ThiÕt, B×nh ThuËn

18

ĐÁNH GIÁ HAI CÁCH GIẢI CỦA MỘT BÀI TỐN

Theo tơi việc tìm thêm lời giải cho tốn có ích việc so sánh cách giải Bởi tốn có nhiều cách giải cách giải hay cách giải kia, nhiên việc đánh giá phụ thuộc vào nhiều yếu tố Các bạn theo dõi toán với hai cỏch gii sau õy :

Bài toán.Cho a, b, cthuộc [0 ; 1] thỏa mÃn abc Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc P a2b2c2

Lêi gi¶i

Cách 1.Do a, b, cthuộc [0 ; 1] nên ta cã (1 a)(1 b)(1 c) abc0

1 abbcca(abc) Ta lại có (abc)2P2QP1 suy P Đẳng thức xảy {a; b; c} {0 ; ; 1}

Vậy Pđạt giá trị lớn l

Cách 2.Do a, b, ccó vai trò nhau, không làm tính tổng quát, giả sử c b a, theo gi¶ thiÕt ta cã cthuéc [0 ; ] cßn athuéc [ ; 1]

Suy (a )(a1) 0  (*)

Víi bthuéc [0 ; ] th× Pa2b2c2

Víi bthc [ ; 1] ta cã b2 suy P a2b2c2

Tóm lại, ta có kết luận cách Nếu dừng lại việc giải tốn rõ ràng cách 1gọn gàng đơn giản cách Tuy nhiên khía cạnh ứng dụng, mở rộng tốn ngược lại, với cách bạn dễ dàng tìm giá trị lớn biểu thức an bn  cn, với n2

Víi n3 ta cã Ra3b3c3 Tõ (*) suy

Cũng xét hai trường hợp b trên, ta tìm giá trị lớn Rlà

Các bạn giải cụ thể cho trường hợp n3 nbất kì, xem tập

9

3 1 3

2 2 a 2 2a 4a

     

 

3 3

2 2

a a a   a  a

 

3( ) 1 5.

2

P a b c

     

3 3

2a 2b 2c

    

3

2b2

2

3 1 1( )

2 2 2

1

1

2 2

a b c a a b c

        

   

1

2

2

a  a

2

1

2

5

2 

1 Q ab bc ca

    

3

19

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI BảY

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI CHÍN

lNgười thách đấu

Nguyễn Đăng Phất, ĐHSP Hà Nội lBài toán thách đấu Cho cung trịn AB chứa góc  ; AB  c Tìm cung (khơng kể hai đầu mút Avà B) tất ba điểm C1, C2, C3sao cho

BC1AC2BC2AC3BC3AC1d, d độ dài đoạn thẳng cho trước Biện luận

lXuÊt xø S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu Trước ngày 15 - 04 - 2006

Lời giải.Trước hết ta có :

đúng với số thực x, y, z, u, v, s Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

x2u2y2v2z2s22(xyuv) 2(xzus) 2(yzvs)

(xyz)2(uvs)2, suy (1) chứng minh áp dụng vào toán ta có :

Theo bất đẳng thức Cơ-si ta lại có : (xyx)23(xyyzzx) ;

Từ ta có :

Từ (2) suy (ng

thức xảy abc2) Vậy giá trị nhỏ Slà

Nhận xét.Bất đẳng thức (1) bất đẳng thức Min-cốp-xki cho sáu số Các bạn giải sử dụng đến bất đẳng thức (2) Võ sĩ xứng đáng chọn đăng quang kì bạn Phạm Quang Thịnh, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên Nguyễn minh đức

3 17  17 36

4 2

  

S

2

1 1

1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 9

6 (2)

2( )

                                                       b c c a a b

b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b

a b b c a b b c c a

3

1 1 (x y z) 3 xyz 9.

x y z xyz

              2

1 1

( )

1 1

36                           

a b c

b c c a a b

b c c a a b

2 2

        

S a b c b c a c a b

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 ( )( )

2 ( )( ) ( )( )

                    

 

 

 x u y v z s  x u

y v z s x u y v

x u z s y v z s

2 2 2

2

( ) ( ) (1)

     

     

x u y v z s

20 Phương trình bậc hai nội dung quan trọng Chương trình Tốn phổ thơng Phương trình bậc hai chứa tham số có nhiều dạng, thường xun xuất kì thi học sinh lớp Sau số dạng thường gặp

lDạng toán liên quan đến số nghiệm

của phương trình bậc hai Các bạn cần thạo việc tính xét dấu biệt thức

Ví dụ 1.Xác định tham số mđể phương trình mx2(m1)x2 0 có nghiệm

Lời giải Với m  0, phương trình có nghiệm x 2

Với m  0, phương trình có nghiệm



Tóm lại : Phương trình có nghiệm

Ví dụ 2.Chứng minh phương trình a(xb)(xc) b(xa)(xc) c(xa)(xb) 0 ln có nghiệm với tham số a, b, c

Lời giải.Phương trình tương đương với : (abc)x22(abbcca)x3abc0 Với a bc 0, phương trình có dạng 2(abbcca)x3abc, :

Nếu ab bc  ca 0, phương trình có nghiệm

NÕu abbcca0, suy a2b2c20

abc0 (vì (abc)20), phương trình có dạng 0x0, thỏa mãn với x Với abc0, ta có :

’x(abbcca)23abc(abc)

suy phương trình cho có nghiệm Tóm lại, phương trình cho ln có nghiệm với tham số a, b, c

l Dạng toán mối liên hệ

nghim phương trình bậc hai Các bạn cần nắm vững định lí Vi-ét

Ví dụ 3.Tìm mđể hai nghiệm phương trình x22(m1)x2m3 0 thỏa mãn điều kiện (x1x2)24

Lời giải.Phương trình có hai nghiệm  ’x0 (m1)22m3 0 m22 0 

Khi đó, theo định lí Vi-ét ta có (x1x2)2 (x1x2)24x1x24(m1)24(2m3), suy thỏa mãn điều kiện ’x0 Ví dụ Tìm m để phương trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu :

(m1)x2(m3)xm2 0 Lời giải.Phương trình có hai nghiệm trái dấu (m1)(m 2) < 1 < m<

Lưu ý Phương trình bậc hai ax2bxc0 có hai nghiệm :

3,

  m

2   

  

m m

2 2

1 ( ) ( ) ( )

2 

 ab ac  ac bc  bc ab 

3 ;

2( )



abc x

ab bc ca hc

m  m 

5

0

m m    

   

2

0

0 [ ( 1)] 8 0

x

m m

m m

  

 

  

   



 

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ

21 Tr¸i dÊu ac<

Cïng dÊu

Cùng dấu dương, thêm điều kiện S> Cùng dấu âm, thêm điều kiện S<

Ví dụ 5.Cho phương trình :

(m2)x22(m2)x2(m 1) 0 Khi phương trình có nghiệm, tìm mối liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc tham số m

Lời giải Điều kiện để phương trình có nghiệm ’x0

(m2)22(m1)(m 2) 0  m210m0 (m5)225 0 m10

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có : Suy S 4P  hay (x1x2) 4x1x26

lMột số dạng toán kh¸c

Ví dụ 6.Tìm tất giá trị tham số m để tổng hai nghiệm phương trình sau đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ :

(m2m1)x2(m2m1)x2 0 Lời giải.Ta có ac 2(m2m1) < với m nên phương trình ln có hai nghiệm (trái dấu) Theo định lí Vi-ét, ta có phương trình (S1)m2(S1)m S1 0 (*) phải có nghiệm ẩn m

Víi S1 th× (*) cã nghiƯm m0 Víi S1 th× (*) cã nghiƯm  m0 (S1)24(S1)20

Suy giá trị lớn Slà 3, (*) có nghiệm kép m1 ; giá trị nhỏ Slà (*) có nghiệm kép m 1

VËy m{1 ; 1}

Ví dụ 7.Cho ba phương trình :

ax2(abc)x b0 ; (1) bx2(abc)x c0 ; (2) cx2(abc)x a0 (3) Chứng minh có phương trình có nghiệm

Lêi gi¶i.Ta cã (1)(abc)28ab; (2)(abc)28bc; (3)(abc)28ca Suy (1) (2) (3)

VËy cã Ýt ba biệt thức không âm, suy điều phải chứng minh

lBài tập làm thêm

Bài Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm với ab> |c| |ab| < c:

a2x2(a2b2c2)xb20 Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với a, b, c tham số :

(xa)(xb) (xb)(xc) (xc)(xa) 0 Bài Cho phương trình :

(m  1)x2  2(m  4)x  m   Khi phương trình có nghiệm, tìm mối liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc tham số m

Bài Cho phương trình x2(k1)xk0

Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (nếu có) Tính Ax12x22theo k Tìm giá trị kđể biểu thức Ađạt giá trị nhỏ Bài Tìm a b để hai phương trình sau tương đương : x2(3a2b)x4 0 ; x2(2a3b)x 2b0

2 2

3 ( ) ( ) ( )

2 

 a b  b c  c a 

4 9

1,

1 3.

3   S

2

1 2 1,

1  

  

 

m m

S x x

m m

1 2 22 22

   

 

m P x x

m m

1 2 24 2;

    

 

m S x x

m m

22

giải toán máy tính ®iƯn tư casio THỬ TAØI

Bài Cách Vì đa thức f(x) có tất hệ số số nguyên không âm 84  4096 > 2003 nên f(x) phải đa thức có bậc nhỏ

VËy f(x) a3x3a2x2a1x1a0 VËy f(8) a383a282a18 a02003, hay 8(a382a28 a1) a0250 8 3

V× a08 nªn a03 Suy 8(a382a28) a131 8 2 Suy a12 TiÕp tôc a38 a23 8 7

VËy a27 vµ a33 hay f(x) 3x37x22x3

Cách Khi dùng hệ số (BASE) để làm phép chia, ta phần ngun Vì sử dụng hệ số (BASE) Casio fx-570MS để tìm số dư phần nguyên sau :

Bấm : để vào số 10 :

§­a 2003 vào : 2003 Tìm dư thứ (a03) :

8 (3d) (*) Tìm thương chia 2003 cho 8, sau đưa vào ổ :

8 (**)

Tiếp tục lấy thương chia cho để dư (a1), tìm thương sau :

Bấm phím để đưa dịng (*), sau bấm , kết (a12), lại bấm phím

, (**), sau bấm , số dư đưa vào Tiếp tục đáp số Kết : f(x) 3x37x22x3

Cách 3.Vì f(8) a383a282a18 a0 2003 nên (a a a a3 8)  2003 hay

A

 





A STO SHIFT



A ALPHA

A

 

)



A ALPHA (



A ALPHA

A STO SHIFT A

3 MODE MODE

Bµi 1.Cho a02005 vµ , n 0, 1, 2,

1.1 Với n  1, 2, 3, 4, 5, tính [an] (phần nguyên an, tức số nguyên lớn không vượt an)

1.2 Chøng minh r»ng [an]  2005  n víi mäi n1003

Bµi Cho d·y sè :

, n1, 2, 2.1 H·y tÝnh xn, n 1, 2, 3, , 15 víi x01 ; x03

2.2.Chứng minh dãy số tuần hồn với x0cho trước bất kì, tức tồn số N nguyên dương cho với x0 dãy {xn} xác định ta có : xn Nxnvới n1, 2, 3,

Bài 3.Giả sử {an} dãy xác định sau : a0a15,

, n1, 2,

3.1 TÝnh an víi n  1, 2, 3, 4, vµ víi n1, 2, , 10

3.2.Chứng minh số phương với n

1

n

a 

6

n

a 

1

98

n n n a a

a    

1

3

n n

n

x x

x

  



2

1 n1

n n

a a

a



l Kì này

23 biểu diễn 2003 số

Đổi số 10 sang số : 2003 (3723o) Vậy f(x) 3x37x22x3

Cách 4.Vì f(8) 2003 nên f(x) chia cho x8 dư 2003 (Định lý B¬-du)

Do f(x) a0x3a1x2a2x1a3 (x8)(b0x2b1xb2) 2003

Sử dụng sơ đồ Horner ta đến đáp s f(x) 3x37x22x3

Bài Cách 1.Trên Casio fx-500MS:

1

3

5

7

(0.632118055) ( )

C¸ch 2.Ta cã

TÝnh trªn Casio fx-500MS:

1

5

( )

Lời bình.Làm tốn (rút gọn trước) hay Bài 3.Đặt

Víi 20349 < n< 47238 ta cã 351429 < 4789655 27n< 4240232 hay 3514229 < A3 < 4240232,

tøc lµ 152,034921 < A< 161,8563987 Do Alà số tự nhiên nên AchØ cã thĨ b»ng mét c¸c sè 153 ; 154 ; 155 ; ; 160 ; 161

Vì nên

Khai bỏo cụng thc tớnh n : 4789655 27 Tính n: Bấm phím , máy hỏi : A? Lần lượt khai báo Avà bấm phím : 153 (44743,62963 : loi)

Lặp lại , khai báo A bấm : 154 (42125,59259 : loại)

155 (39473,333 : lo¹i) 156 (36786,62963 : lo¹i) 157 (34065,25926 : lo¹i) 158 (31309)

159 (28517,62963 : lo¹i) 160 (25960,92593 : lo¹i) 161 (22828,6667 : lo¹i)

Vậy có số n  31039 khoảng (20349 < n < 47238) để

158 số tự nhiên Nhận xét Nhiều bạn biết kết hợp tốt suy luận tốn học cơng cụ máy tính Các bạn thưởng kì Hồng Minh Thắng, 10A1, THPT Phan Bội Châu, TP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Mạnh Hưng, 10A1, THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn Xuân Hùng, 9B, THCS Thị Trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang ; Phan Kim Quyết, 9A, THCS Thị Trấn Sông Thao, Cẩm Khê, Phú Thọ; Bùi Văn Do, 92, THCS Trần Cao Vân, TP Huế, Thừa Thiên - Huế Tạ Duy Phượng

34789655 27

A  n

         CALC   CALC  ) x SHIFT A ALPHA  ( 4789655 27 A

n 

34789655 27

A  n

34789655 27

A  n

3641 5760ab/c SHIFT x!  ab/c SHIFT x! 

 ! x SHIFT ab/c  ! x SHIFT ab/c

1 1 1 1 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

2! 4! 6! 8!

A        

   

3641 5760 / d c SHIFT   x ! x SHIFT   x ! x SHIFT   x ! x SHIFT   x ! x SHIFT   x ! x SHIFT   x ! x SHIFT   x ! x SHIFT   x ! x SHIFT OCT  DEC MODE MODE

3

24

CƠNG THỨC TÍNH TỔ HỢP CHẬP K T N PHN T

lMở đầu

Va qua bạn Trịnh Quốc Bảo, lớp 12A4, trường THPT Hồng Quang, TP Hải Dương có gửi viết tới tịa soạn Bạn Bảo có nêu vài tốn sau :

Bài toán 1.Cho 10 điểm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có đường thẳng tạo nối cặp điểm chúng đường thẳng

Cũng với tốn 1, bạn Bảo có suy nghĩ cho trường hợp “xấu” xảy thực tế có điểm điểm cho thẳng hàng với Chẳng hạn, bạn Bảo đặt toán sau :

Bài toán 2.Cho 10 điểm mặt phẳng, có điểm thẳng hàng, ngồi có điểm 10 điểm thẳng hàng, chúng điểm nói Hỏi có đường thẳng tạo nối cặp điểm chúng đường thẳng

Bài toán 3.Cho 10 điểm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác nhận điểm chúng làm đỉnh

Bài tốn 4.Cho 10 điểm mặt phẳng, có điểm thẳng hàng, ngồi có điểm 10 điểm thẳng hàng, chúng điểm nói Hỏi có tam giác nhận điểm chúng làm đỉnh

Những toán bạn Bảo đặt tốn tổ hợp Những tốn tính số cách chọn kphần tử từ tập hợp nphần tử cho Trong toán 1, đường thẳng tương ứng với cặp phần tử tập hợp cho Trong toán 3,

một tam giác phần tử tập hợp cho Ta đặt câu hỏi tổng quát sau :

Bài toán Cho trước tập hợp A gồm nphần tử số tự nhiên kn Hỏi có cách chọn k phần tử từ tập hợp A

Ví dụ 1.Cho trước tập hợp A{1 ; ; ; 4} Số cách chọn phần tử từ Alà 6, cặp {1 ; 2},

{1 ; 3}, {1 ; 4}, {2 ; 3}, {2 ; 4}, {3 ; 4}

Như số đường thẳng qua điểm mà ú khụng cú

điểm thẳng hàng

Ví dụ 2.Cho trước tập hợp A{1 ; ; ; 4} Số cách chọn phần tử từ A 4, cặp {1 ; ; 3},

{1 ; ; 4}, {1 ; ; 4}, {2 ; ; 4}

Như số tam giác nhận điểm cho làm đỉnh

Kh«ng chØ cã øng

dụng cho tốn hình học nêu trên, cơng thức tính tổ hợp sử dụng nhiều dạng tốn khác ; khơng sử dụng toán học khoa học kĩ thuật mà sử dụng đời sống, chẳng hạn lĩnh vực xổ số có trị chơi phải chọn số 49 số cho trước để trúng số độc đắc

25 lC«ng thøc tÝnh tỉ hỵp

Tổ hợp chập k từ nphần tử kí hiệu , số cách chọn kphần tử từ tập hợp nphần tử cho trước

Số cách chọn số từ 49 số cho trước

Để tính , ta định nghĩa số n! (ngiai thừa) sau :

1) 0! 1,

2) (n1)! n!(n1)

Định lí

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Trước hết ta kiểm tra thấy kết luận cho n 1 Giả sử

đúng với kn

Ta xét tốn tính số cách chọn kphần tử từ n1 phần tử A{1 ; ; ; n; n1} Trong trường hợp k  n  1, rõ ràng có cách chọn n1 phần tử từ A, kết luận cho trường hợp kn1 Trong trường hợp kn, có tập hợp kphần tử khơng chứa phần tử n1 có tập hợp kphần tử có chứa phần tử n1 Tức Theo gi

thiết quy nạp ta có

, suy

Suy kết luận cho trường hợp kn

Vậy kết luận với kn1 Túm li

công thức chứng minh

Bây dùng cơng thức tính tổ hợp để tìm đáp số tốn bạn Bảo đặt Trong toán 1, đường thẳng xác định cặp điểm 10 điểm số đường thẳng số tập hợp phần tử tập hợp gồm 10 phần tử cho :

Trong toán 2, số đường thẳng tạo điểm thẳng hàng (lẽ

ng thẳng) mà nên số đường thẳng thu 45 6 1 40 Tương tự vậy, số tam giác có đỉnh 10

điểm cho

Trong trường hợp có điểm chúng thẳng hàng theo điều kiện nêu tốn 4, phải bớt từ số 120 tam giác nói số tam giác tam giác bị suy biến tạo từ đỉnh đỉnh thẳng hàng đó, tức có 116 tam giác Tóm lại, cơng thức tổ hợp công thức sử dụng phổ biến phép đếm liên quan đến việc chọn nhóm phần tử từ tập hợp cho trước Đề nghị bạn giải hai toán nhỏ sau : Bài tốn 6.Có cách chọn số 49 số cho trước

Bài toán 7.Hãy tính số giao điểm nhiều đường chéo đa giác lồi có 2006 đỉnh

k n C 4 C 

10 3!7!10! 120

C  

2

C 

2

10 2!(10 2)!10! 10.9 452

C   

 k n C ! !( )! k n n C

k n k 



1

! ! ( 1)!

!( )! ( 1)!( 1)! !( 1)!

k k k n n n

C C C

n n n

k n k k n k k n k

               !

( 1)!( 1)!

k

n n

C

k n k

     ! !( )! k n n C

k n k 



1

k k k n n n

C  C C 

1 k n C  k n C

1 ( 1)!(( 1)!1 1)!

n

n n

C

n n n

        ! !( )! k n n C

k n k   ! !( )! k n n C

26

KÕt qu¶

(TTT2 sè 35)

1 Đo trí thông minh

Bn hóy xỏc nh thứ tự bốn phép tính Cộng, Trừ, Nhân, Chia phải điền vào ô vuông câu từ câu đến câu soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 IQ B1 dãy bốn phép tính đúnggửi đến số 986

L­u ý : Khi viết tin nhắn, bạn sử dụng chữ Cbiểu thị cho phép cộng ; chữ T biểu thị cho phép trừ ; chữ N biểu thị cho phép nhân ; chữ CH biểu thị cho phép chia

Ví dụ :Nếu bạn thấy câu phải điền phép cộng, câu phải điền phép trừ, câu phải điền phép nhân câu phải điền phép chia, soạn tin nhắn 3T2 IQ B1 CTNCHgửi đến s 986

2 Không văn

Bn tìm từ thích hợp để sửa lại câu thơ “Bánh dầy tròn, mỏng, giòn, thơm”cho thật chuẩn soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 V đáp ángửi đến số 986 Ví dụ :Nếu đáp án bạn “cuốn”, nhắn tin nhắn 3T2 V CUONgửi đến số 986

3 Vào thăm vườn Anh Bạn tìm từ hàng ngang thứ hai từ xuống soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 VA đáp ángửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “book”, soạn tin nhắn 3T2 VA BOOKgửi đến số 986

4 Rừng Cười

Hãy giải đáp câu “Cây đất sét làm ?” soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 RC đáp ángửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “si”, soạn tin nhắn 3T2 RC SIgửi đến số 986

Kì này

- Giải đặc biệt :Số máy 0915898232 - Giải khuyến khích :

1 Sè m¸y 0919127600; Sè m¸y 0983855673; Sè m¸y 0912652105

27

lKÕt qu¶ :

(TTT2 sè 35)

AI THÍCH ĂN BÁNH ?

l Kì :

Thơ năm Tuất nhiều bạn hưởng ứng Rất tiếc, số không nhiều Bạn TLNT (Đà Nẵng) viết : “Chó săn quen sống bầy đàn rừng hoang” sai chó săn khơng sống rừng hoang Chó sống với người, người huấn luyện để rượt đuổi mồi săn bắt Câu thơ từ “săn” phải thay từ “sói” Bài thơ sửa sau :

Chó xồmlông xù Chó ngaoâm phủ trị hồn ác nhân

Chó dạixin lại gần

Chú sóiquen sống bầy đàn rừng hoang Chó hoangkhơng chủ lang thang Chó săntheo lệnh hăng đuổi mồi

Chã xiÕcdiƠn trß tut vêi

Chó vệnlơng xám nhiều người thích ni Chó đávơ tri suốt đời

Chó nhàcùng chủ vui chơi hiền Chó mựclơng màu đen tuyền Chó đốmlơng trắng đốm đen xen vào

Chó sứchạm mạnh ngã nhào Chó bơngtrẻ nhỏ xếp vào đồ chơi

Chó cảnhquyến luyến người ni Chó biểnrất giỏi lặn bơi kiếm mồi

Năm bạn trao giải kì : Đinh Thị Phương Thảo, 6A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ; Nguyễn Trà

Bánh đúc xơi nếp giã

X­a Lang Liªu biÕu vua cha hài lòng Bánh ú phổ biến nhiều vùng Gạo nếp ngon gói dong, tròn, dài

Bánh trôi bột mỳ bọc

Nhõn tht hp núng, nhiều người thích ăn Bánh nướng ngồi bột nhân Rán giòn, đường bọc thêm phần ngon

Bánh dầy tròn, mỏng, giòn thơm Bẻ miếng, cháu chia

Bánh bánh người nghèo Đổ mẹt, ăn nhiều vơ tư

B¸nh tét bánh Trung thu Ngày rằm tháng tám trẻ thơ làm quà

Bánh cốm-bánh Tết nhà Bày bàn thờ, cúng ông bà tổ tông

Bỏnh bao có miếng đường Đã nữ sĩ Xuân Hương vịnh

Bánh chưng hình chóp mặt lồi Hai cỏi kp li thnh ụi, cho hng

Bánh đa bét tr¸ng máng tang

Nước chấm cà cuống, ăn thêm ngon Bánh rán dùng lúa nếp non

Rang, giã, tách hạt dẻo thơm bùi Phạm Đình Mai (Tập thể Nghĩa Tân, Hà Nội) Giang, 7B5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng ; Trịnh Thị Minh Ngọc, số nhà 02, tổ 43, P Bồ Xuyên, TP Thái Bình, Thái Bình; Lương Trà My, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc

28

Trần Đăng Khoa :

K niệm với cậu Vàng, có lần kể tạp chí Tốn Tuổi thơ rồi, nên khơng nhắc lại Cịn chuyện thơ “Gửi bạn Chi Lê” đơn giản Tháng Tư năm 1966, thấy báo Đội số 524 in thơ bạn Mi-ray-a Hi-li-mét 12 tuổi Chi Lê Bài thơ có tên : “Bức thư ngỏ gửi Việt Nam” Chú thuộc nguyên văn : “Việt Nam - Đẹp tựa dòng suối - Trái tim hồng - Chảy máu - Bởi sống bạn - Đau thương bom đạn - Của kẻ giết người - Nhưng đôi bàn tay - Vẫn không ngừng tranh đấu Người bạn nhỏ Việt Nam -Vắng nụ cười môi - Bạn khơng có bát cơm - Để xua đói xanh người - Bạn thiếu cốc nước - Để đuổi khát - Việt Nam ! - Việt Nam yêu dấu - Tôi dù cách xa - Nhưng gần gũi với nhau, người tranh đấu Tôi kêu gào thiết tha -Cả giới đòi thét vang : - Tự - Hạnh phúc - Cho Việt Nam” Bạn bè lớp bảo : “Khoa ơi, mày phải làm thơ trả lời người bạn Phải cảm ơn cậu yêu đất nước mình, phải nói để cậu biết rằng, chúng tớ khơng sợ giặc Mỹ Chúng tớ có đói, khơng phải đói đến mức khơng cười Chúng tớ cười hát Dế mèn vuốt râu” Thế viết lớp đọc cho bạn nghe buổi sinh hoạt Đội cuối chiều thứ bảy Bài thơ đầu lấy tên : “Tôi nghe thơ bạn” Nhưng sau đó, bạn góp ý : “Cậu phải đổi Gửi bạn Chi Lê Cái tên hợp, thư cậu trả lời bạn cậu có nói đến chuyện nghe thơ bạn đâu” Chú thấy bạn bè thật thông minh “Tôi chưa gặp bạn lần - Mà nghe thơ bạn lòng bồi hồi - Bạn yêu đất nước tơi - Trong dịng

suối, mây trời xanh xanh - Yêu bao bạn nhỏ hiền lành - Nụ cười nở, đói xanh người ” Bức thư thơ mở đầu Chú tóm tắt ý thơ người bạn nước Chú gửi báo Thiếu niên Tiền phong Ngay sau tuần, thơ đăng Nhưng anh chị biên tập chữa cho chữ : “Yêu bao bạn nhỏ hiền lành - Nụ cười nở, mắt xanh ánh trời” Câu thơ sửa thành tranh luận “Mắt bọn có xanh qi đâu Mắt xanh mũi lõ Tây Các anh chị tịa soạn biến bọn thành Tây lai rồi” “Khơng phải đâu ! Không phải mắt xanh Mắt in ánh trời xanh thơi !” “ừ, hay thật ! Phải Mình có đói thật, khơng nói đói Thiếu nhi Việt Nam phải đàng hồng !” Sau này, cịn nhiều thơ hình thành từ “gợi ý” tờ báo Đội Năm ấy, giành giải thơ thi sáng tác “Tuổi nhỏ chống Mỹ cứu nước” Rồi đoạt hai giải thi sau, khơng phải mà đứng chung giải bạn Cẩm Thơ, Hoàng Hiếu Nhân, Chu Hồng Quý Những năm ấy, xuất hàng loạt nhà thơ nhí tiếng Những thi sau nữa, vượt lứa tuổi tham gia Các bạn bè câu lạc thơ Chim Họa Mi bảo : “Cậu tuổi thi chúng tớ tham gia Phải “vét” hết giải báo Đội làng mình” Quả năm ấy, bạn nhỏ làng “xông lên” giành nhiều giải thưởng Tòa soạn phải đánh ô tô chở hết tác giả lên Hà Nội lĩnh giải Trong số tác giả đoạt giải cao, có Trần Kim Dũng, bạn nhỏ tật nguyền, bị mù hai mắt Sau thơ “Hương nhãn” đoạt giải Trần Kim Dũng đưa vào sách giáo khoa

Chó Khoa ¬i ! Chú viết thơ ? Cháu biết có thơ Sao không Vàng Chú gọi chó Vàng, quý Chú có kỉ niệm với Vàng không ? Chú kể cho cháu nghe xuất xứ thơ Gửi bạn Chi Lê

Đặng Thị Tường Vi

29 l KÕt qu¶ :

CHIM TRONG VƯỜN ANH

(TTT2 số 35)

PHOỉNG TH NGHIEM

Kì :

Trên hàng ngang ô chữ dụng cụ mà người hay dùng phịng thí nghiệm Bạn tìm xem !

Huỳnh Thị Phương Thanh (Hiệu ảnh Tiên, thôn Phong Thử 1, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam)

Ô chữ :

Đón xuân - năm Tuất, thời điểm chia tay năm cũ năm Dậu -năm họ nhà chim, hội tụ Vườn Anh

Hàng ngang (từ xuống dưới) : WAGTAIL - chim chìa vơi ; COOT - chim sâm cầm ; SHRIKE - chim bách ; FALCON - chim ưng ; PARROT - vẹt ; SPARROW - chim sẻ ; EAGLE - chim đại bàng

Hµng däc (từ trái sang phải): CANARY chim hoàng yến ; WOODPECKER -chim gâ kiÕn ; SWIFT - -chim Ðn ; CRANE - chim sÕu ; LARK - chim chiỊn chiƯn ; GANNET - chim ó biển

Chúc mừng năm bạn nhận quà kì : Ngô Ngọc Khánh Huyền, 6C, THCS Trần Quốc Toản, Tuy Hòa, Phú Yên; Nguyễn Thị Mỹ Hằng, 7A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Nguyễn Thị Thảo, 7C, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Trần Quỳnh Giao, 72, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng ; Nguyễn Thị Sơn Hà, 9A, THCS Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh

Chủ Vườn

- Why the birds fly south in winter ? - Because it’s too far to walk Hồng Bắc (Hà Nội)

30

Cây ?

l Kì :

(TTT2 số 35) lKết :

Đố bạn kể tên

ỏnh thy S ng ng đầu : Cây nhuộm sắc nâu ?

Cây tỏa bóng sống lâu đình chùa ? Cây “sâu sắc” chua ? Cây thơm ngát, bn tm ao ?

Cây lấp lánh trời cao ?

Cây cho nhựa pha màu điểm tô ? Cây mở gió lùa vô ?

Cây lấn biển thân nhô bÃi lầy ? Cây rừng vắng tru hoài ? Cây mê mẩn buông dài rễ ?

Cõy gỡ t sét làm ? Cây em bé, cụ già cn luụn ?

Cây giặc bắn điên cuồng ? Cây cỏ, lóng suông, dáng gầy ?

Cây ăn quả, bò dây ?

Cây tách vỏ chắc, dày làm chăn ? Cây hạt ép dầu ăn ?

Cõy gỡ v nhum lưới đen, trám thuyền ? Trương Hải (33A, quốc lộ 60, khu phố I, p.6, TP Mỹ Tho, Tiền Giang)

Đại Việt tên nước thời

Đại hội gặp gỡ người giỏi giang Đại lí hiệu lớn bán hàng

Đại khái cách học vội vàng nên Đại thắng vang dội trăm miền Đại đồng nhân loi sng trờn ton cu

Đại thụ lớn sèng l©u

Đại tướng tài giỏi đứng đầu tồn quân Đại biểu đại diện nhân dân

Đại việc lớn trăm ngàn người lo Đại thành toán pháp Đại lượng đo đếm đủ vừa không sai

Đại lộ đường phố rộng dài

i bng thống trị mn lồi khơng Đại dịch lây bệnh cộng đồng

Đại bác vũ khí cơng kẻ thù Gửi nhanh hết từ

Danh sách khen thưởng ! Ban thưởng :Trần Nguyễn Khánh Hịa, 9B, THCS bán cơng Xn Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Hà Thị Tú Phượng, 8D, THCS Phong Châu, TX Phú Thọ, Phú Thọ; Bùi Thị Lành, 9C, THCS Đại Hà, Kiến Thụy, Hải Phòng ; Nguyễn Thị Ngoan, 9C, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Thị Ngọc Mai, 9A, THCS Tôn Quang Phiệt, Thanh Chương, Nghệ An

Hỏi : Không hiểu em học lớp mà đầu em tồn nghĩ vẩn vơ tương lai Anh có biết khơng ? Em lo sợ lm !

Ngô Thị Lệ Quyên (8E, THCS Bình An, Can Lộc, Hà Tĩnh) Đáp :

Trong u nghĩ tới tương lai Rứa điều tốt, nỏ sai chi mồ Nhưng mà nghĩ quẩn mô mô Rất hại đó, nhờ

khun giùm Hỏi : Cặp sách em khơng may bị hỏng Em liền nói với mẹ để xin mua cặp sách mẹ em khơng khơng cho mà lại cịn mắng em không tiết kiệm Em buồn Mickey

(Phú Thọ) Đáp :

Cặp hỏng hỏng ? Nếu em sửa được, lẽ

phải mua ? Mẹ mắng xin thua Xin em đừng có phân bua

thêm buồn Hỏi :Em ước mơ trở thành : nhà thiên văn học, thám tử, nhà ngoại giao Bây em lại ước mơ trở thành kiến trúc sư Nhưng bố mẹ em bảo không nên theo nghề kiến

tróc s­ Theo anh, em nªn chän nghỊ ?

Bồ câu trắng

(Phng An Tõn, TX An Khê, Gia Lai) Đáp :

Ước mơ chuyện bình thường Phía trước có đường cho em Nhưng mà phải

tÝnh xem Kh¶ có luyện rèn

nờn khụng ? Hi : Lớp bọn em may áo đồng phục Lên lớp 9, nhà trường lại yêu cầu may thêm áo giống hệt áo lớp Em thấy lãng phí q ! Cịn anh ?

Phạm Minh Đức (9A1, THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc) Đáp :

Chắc nhà trường sợ : Tuổi em dễ đổi thay bề Mặc áo chật bạn chê Bắt may áo có đâu ?

Hỏi : Em gửi nhiều cho TTT mà chẳng đăng nên thất vọng ! Anh động viên em khụng ?

Bùi Thị Tâm (8B, THCS thị trấn Quỳnh Côi, Quỳnh Phụ, Thái Bình)

Đáp :

Thất vọng ? Thất vọng làm ? Bài hay chắn tức

được đăng Động viên em :

HÃy thật hăng Viết hay ! Cứ

vit bi ! Hi : Em thng “dính” tới nhiều vụ việc lớp nên lớp có chuyện họ đổ cho em, em khơng liên quan Anh “kíu” em với !

Thành viên nhóm KB3T

(7A7, THCS Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang) Đáp :

Dng nhiu tin án” em Mọi người chắn dễ “quen” nghi ngờ “Cải tà quy chính” Lịng tin lấy lại mơ yên lòng

32 1(37) Prove that the remainder of a division of a prime number by 30 is either or a prime number

2(37) Find all triples of positive real numbers x, y, and zsolving the system of equations

3(37).Given the function f(x) x33x2 3x3, prove that

4(37).Let Obe a point interior to triangle ABC Let BO, and CO intersect AC and ABrespectively at Mand N Construct the parallelograms OMEN and OBFC Prove

that A, E, Fare collinear and

5(37).Given a semicircle with diameter ABc2R, find points C1, C2, C3(distinct from A, B) on the semicircle such that BC1  AC2  BC2  AC3  BC3  AC1  d, where dis a given length of a line segment Analyze all possible cases

AE AM AN OM ON AF  AB AC  OB OC

2006 2005

2005 2004

f f 

   

6,

1 1 2 .

x y z

x y z xyz   

 

     

Bµi (37).Chøng minh r»ng sè d­ phÐp chia mét số nguyên tố cho 30 số nguyên tè

nguyễn danh ninh(Hà Đông, Hà Tây) Bài (37).Tìm tất số thực dương x, y, zthỏa mãn hệ phương trình :

Trần minh hiền(THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước)

1 1 2 .

x y z

x y z xyz   

 

     

Bµi (37).Cho f(x) x33x23x3 Chøng minh r»ng :

trần phương nam(TP Mỹ Tho, Tiền Giang)

2006 2005

2005 2004

f f 

   

Bµi (37).Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác BO, COtheo thứ tự cắt AC, ABtại M, N Dựng hình bình hành OMEN, OBFC Chứng minh : A, E, Fthẳng hàng

nguyễn Minh hà(ĐHSP Hµ Néi) AE AM AN OM ON AF  AB AC  OB OC Bµi (37) Cho nưa

đường trịn đường kính AB c  2R Tìm nửa đường trịn (khơng kể hai đầu mút Avà B) tất ba điểm C1, C2, C3sao cho BC1AC2BC2AC3 BC3AC1d, d độ dài đoạn thẳng cho trước Biện luận

nguyÔn đăng phất (ĐHSP Hà Nội)