Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai năm 2018 - 2019

Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô? Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người. N[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN LỚP

NĂM HỌC : 2018-2019

Câu Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Có thể lập số tự nhiên có chữ số đơi khác lớn 2019

Câu a) Chứng minh với số nguyên n,số A3n3 15n chia hết cho 18 b) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đoàn kết tỉnh Gia Lai Nếu ô tô chở 12 người thừa người Nếu bớt tơ số học sinh đồn chia cho tơ cịn lại Hỏi có học sinh tham quan có tơ? Biết tơ chở không 16 người

Câu 1) Một nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác có chiều cao độ dài cạnh đáy 20 cm cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Tính thể tích hộp

2) Cho đường tròn O R; và điểm I cố đinhk nằm bên đường tròn (I khác O) Qua điểm I dựng hai cung ABvà CD.Gọi M N P Q, , , trung điểm

, , , IA IB IC ID

a) Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , thuộc đường tròn

b) Giả sử dây cung ABvà CDthay đổi vng góc với I Xác định vị trí dây cung ABvà CDsao cho tứ giác MNPQcó diện tích lớn

Câu

a) Giải hệ phương trình  

   

3

4

1 5

5 10

x y y x

x x y x y y

         



   



b) Cho , ,x y z0thỏa mãn x2  y2z2 2xyz1 Tìm GTLN Pxy yzzx2xyz

ĐÁP ÁN Câu

Gọi số cần lập có dạng abcd 2019với a b c d, , ,  ;2 a 9,0b c d, , 9

Xét a2nếu b0thì ta có số từ 2031 đến 2098 Có cách chọn c, có cách chọn d Do có 7.7 49 số thỏa mãn Nếu b0thì có số từ 2103đến 2198 Có cách chọn b, cách chọn c cách chọn d Do có 8.8.7448số thỏa mãn

Xét a3thì có số từ 3012 đến 9876, có cách chọn a, cách chọn b , cách chọn c cách chịn d, có: 7.9.8.73528số thỏa mãn

Vậy có tất 49 448 3528  4025số thỏa mãn toán Câu

a) Ta có: A3n3 3n18n3n1 n n 1 18nchia hết cho 18

b) Gọi số ô tô a ĐK: a ,a1.Vì bớt tơ số học sinh đồn chia cho tơ cịn lại, nghĩa 12a1 a 1 12a 1 13 a1

     

13 a a U(13) 1;13 a 2;14

       

Với a2thì số học sinh 25 em, bớt tơ cịn xe chở 25 em (quá 16 em) vô lý

Câu

1) Ta có đáy nến nội tiếp hình chữ nhật ABCD hình vẽ Khi ABCDlà mặt đáy hình hộp chữ nhật có chiêu cao chiều cao nến h20cm Ta có: BCEF 2EH 2KE.sinEKH 2.1.sin 600 

2 2.1 AN KM  MI  

Vậy thể tích hộp AB BC h 40 3(cm3)

H

B

C D

A

F E

I

2)

a) Ta có MI MA QI, QDnên MQlà đường trung bình AIDMQ/ /AD Tương tự NPlà đường trung bình BICNP/ /BC

Do NMQBADNPQnên tứ giác MPNQnội tiếp b) Kẻ OH  ABtại H OK CDtại K

Ta có ABCDOHIKlà hình chữ nhật

Do 2  2  2 2  2

4 4

AB CD  BH CK  R OH R OK  R OI

Diện tích tứ giác MPNQlà  

2 2 2

2 16

AB CD

MN PQ  AB CD    R OI

khơng đổi GTLN diện tích tứ giác MPNQlà

2

2

R OI

, ABCD

Câu

K H P

M

N

Q

B

D O C

a) ĐKXĐ: x 1;y2;x132y      5 9 1 x 1 39

Từ phương trình 5x4 xy2 10x3 y y

      

3

5x x 2y x x 2y x x 2y 5x

        

Xét x0thay vào phương trình thứ ta 2 y  2 y 4

2

8 16 4y 16 y y 0(tmdk)

        

Xét 2y xthay vào phương trình thứ ta

  

1 4

x   x x x 

Đặt   

2

5

1 4

2

t x     x t x x   Ta có phương trình:   

2 15 3

t  t   t t   t

  

0

1 3

3

2

x y

x x x x

x y                   

Vậy phương trình có nghiệm    ; 0;0 ; 3; x y    

 

 

b) Theo nguyên lý Dirichle số 2x1;2y1;2z1bao tồn số dấu Giả sử 2x1;2y1cùng dấu Khi

2x1 2 y  1 2x y4xy1

 

2 z z x y xyz

    Từ giả thiết x2  y2 z2 2xyz  1 z2 x2  y2 2xyz

 

2 2

2 z

xy xyz xy z xy 

      Do 1

2 2 z z Pxyyzzx xyz   

Vậy GTLNcủa P

2 Đạt

1 x  y z

Câu

- Nếu có số dư giống Khi phải có số chia cho có số dư 0,1,2 nên tổng chúng chia hết cho

- Nếu có số dư giống Khi tổng chúng chia hết cho Ta chia 17 số có khoảng từ đến 907 thành nhóm: Nhóm I gồm số, nhóm II gồm số nhóm III gồm số Mỗi nhóm ln tồn số có tổng chia hết cho Giả sử tổng số nhóm ,3 ,3a b c a b c , ,  *  Còn lại