Đang tải... (xem toàn văn)
Trên mặt phẳng lấy 21 điểm bất kỳ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng; mỗi điểm được tô bởi 1 trong 4 màu: đỏ, cam, vàng và lục.. Các đoạn thẳng nối 2 trong 21 điểm dó được tô bởi[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN Câu (5,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức : 13
5
x x x
A
x x x x
với x0;x4;x9 Giả sử alà nghiệm âm phương trình 3x2 2x 2 0.Khơng giải
phương trình, tính giá trị biểu thức
3 4
P a a a
Câu (5,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2
2
2 7
x y x
y x y
2 Giải phương trình: 3x2 652 17x 2x1 Câu (2,0 điểm)
Cho số thực dương thỏa mãn ab2 bc2ca2 4abc0.Chứng minh:
4
b c a
a b c Câu 4.(6,0 điểm)
1 Cho hình vng ABCD,lấy điểm E cạnh BC E B C, ;đường thẳng qua B vng góc với DEcắt DE H cắt CD K Gọi M giao điểm DB
và AH
a) Chứng minh ba điểm E K M, , thẳng hàng
b) Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp CHM
2 Cho tam giác ABC P, điểm cạnh BC(P khác Bvà C); Q, R hai điểm đối xứng với Pqua AC, AB Lấy điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQRsao cho AM song song với BC.Chứng minh đường thẳng
PM qua điểm cố định Pthay đổi cạnh BC
Câu (2,0 điểm)
1 Trên mặt phẳng lấy 21 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng; điểm tơ màu: đỏ, cam, vàng lục Các đoạn thẳng nối 21 điểm dó tơ hai màu chàm tím Xét tam giác có ba đỉnh thuộc điểm cho, chứng minh tồn tam giác có đỉnh màu ba cạnh màu
2 Giả sử n ,n2.Xét số tự nhiên dạng an 11 1được viết nchữ số Chứng minh anlà số nguyên tố nlà ước an 1
(2)Câu
2 13 2 13
1
5 3 2
2 13 3 2 6 2
2
3
x x x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x x x x
2.Từ giả thiết ta có 3a2 2 2a a 03a4 4 2a2a2suy
2
4
3 4 2
2 2 2
P a a a a a
a a
Câu
1 Trừ vế theo vế hai phương trình ta có:
3 7 7
3
x y
x y x y
y x
TH1: x y y x,thay y xvào phương trình (1) ta được:
2 0
7 7 x y x x y
TH2:
y x Thay
y x vào phương trình (1) ta được: 9x2 21x980 Phương trình vơ nghiệm
Vậy x y; 0;0 ; 7; 7 Điều kiện xác định
2
x
Phương trình cho tương đương với phương trình:
2 2
8 2 25 40
2
9
x
x x
x x x
x x x
Đối chiếu điều kiện phương trình có hai nghiệm 5; 25 40
x x
Câu
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
2 2 2
2 ; ;
ab bc bc ab bc ca ca bc ca ab bc ca
(3)Câu 1)
a) Xét tam giác BDK,ta có: DH BK BC, DK BC, cắt DH E Suy E trực tâm tam giác BDK.Để chứng minh M E K, , thẳng hàng ta cần chứng minh MK BD
Tứ giác ABHDcó BADBHD900nên nội tiếp suy BHABDA45 Tứ giác DMHKcó MDK BHM 450nên nội tiếp
Lại có, DHK 900(gt) nên DMK DHK 900(cùng chắn cung DK) Ta có điều phải chứng minh
b) Tứ giác CEHKnội tiếp (ECK EHK 90 )0 ECH EKH (1) Tứ giác CKBM nội tiếp suy EKH BCM ECM (2)
Từ (1) , (2) suy ECH ECM.Do đó, EC đường phân giác MCH.Chứng minh tương tự, ta có MElà đường phân giác CMH
Vì E giao điểm hai đường phân giác góc M C tam giác CHM nên ta có điều phải chứng minh
M
K H
C D
A B
(4)2)
Gọi N giao điểm RBvà QC; O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có ARN AQR1800nên Nnằm đường tròn w ngoại tiếp tam giác AQR Đường tròn w ' ngoại tiếp tam giác BCNcắt w điểm thứ hai G
Từ RBG QCGGPlà phân giác BGC
0
180 180
BNC RNQ BAC BOC nên O nằm w '
Mà OBOCnên GO phân giác BGCvà , ,G P Othẳng hàng Ta có , ,
N O Athẳng hàng
G
N Q
R
A
(5)Gọi M'là giao điểm thứ hai GOvới w
Ta có: AM G' ANGONGOPCMPCAM'/ /BCM'M
Do , ,G P Ovà M thẳng hàng Vậy MP qua O cố định Câu
1) Vì có 21 điểm tơ màu mà 21 4.5 1 nên theo nguyên lý Dirichle tồn điểm tơ màu
Gọi điểm màu A B C D E F, , , , , Từ điểm A ta kẻ với điểm lại đoạn thẳng, đoạn tô màu có đoạn tơ màu Khơng tính tổng qt , giả sử đoạn AB, AC, AD tô màu tím Trong đoạn nối ba điểm , ,B C Dnếu có đoạn màu tím, giả sử BD tam giác ABDlà tam giác cần tìm Nếu đoạn nối ba điểm B, C, D khơng có đoạn màu tím tam giác BCDlà tam giác cần tìm
2 Trước hết ta chứng minh : anlà số nguyên tố nlà số nguyên tố Giả sử nlà hợp số, nbq b q; , ,1b q, n Khi đó:
11 11 10q b 10q b 11
n
bq chu so q chu so
a hợp số, trái với giả thiết nên n số nguyên tố
Tiếp tục ta có: 10 1 10 10 10 10 (1)
9
n n
n n
a
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10n 10 n (2) Nếu n3thì an 111 3khơng thỏa mãn giả thiết