Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 143

Gi¶ sö hai nhãm A vµ B cã tæng khèi lðîng b»ng nhau, vµ tæng khèi lðîng c¸c ®ång xu trong nhãm C lín h¬n tæng khèi lðîng c¸c ®ång xu trong nhãm D.. Ta sÏ so s¸nh tæng khèi lðîng c¸c ®ång[r]

2 Một số công thức tổng quát

Với a, n th×

Chøng minh Ta cã

Mét sè vÝ dơ minh häa VÝ dơ 1.Thùc hiƯn phÐp tÝnh Lêi giải áp dụng (1) ta có

Ví dụ 2.Thực phép tính

Lời giải áp dụng công thức (1) ta cã

VÝ dơ TÝnh tỉng cđa 100 số hạng dÃy phân số sau

Lêi gi¶i Ta cã 1.6; 66 6.11; 176 11.16; 336 16.21;

MÉu sè cđa ph©n số thứ 100 (99.5 1)(99.5 6) 496.501 áp dụng (1) ta cã

1 1 1

A

6 66 176 336 496.501

1 1

1.6 6.11 11.16 496.501

1 5

5 1.6 6.11 11.16 496.501

1 1 1 1 1

5 6 11 11 16 496 501

1 1 100.

5 501 501

1 1; ; ; ; 66 176 336

2 2

P

1.3 3.5 5.7 99.101 1 1 1 1

1 3 5 99 101

1 100

1

101 101

2 2

P

1.3 3.5 5.7 99.101

1 1

S

1.2 2.3 3.4 100.101

1 1 1 1

1 2 3 100 101

1 100. 101 101

1 1

S

1.2 2.3 3.4 100.101

n (a n) a a n a

a(a n) a(a n) a(a n) a(a n) 1

a a n 2n a(a n)(a 2n)

a 2n a

a(a n)(a 2n) a(a n)(a 2n)

1 .

a(a n) (a n)(a 2n) n 1 , (1) a(a n) a a n

2n 1 (2)

a(a n)(a 2n) a(a n) (a n)(a 2n)

Một số dạng tốn

PHÂN SỐ VIET THEO QUY LUAT hà văn nhân

(GV THCS Ho»ng Xu©n, Ho»ng Hãa, Thanh Hãa)

3 Ví dụ 4.Thực phép tính

Lời giải.áp dơng (2) ta cã

VÝ dơ 5.Thùc hiƯn phÐp tÝnh Lêi gi¶i.Ta cã

VÝ dơ 6.Thùc hiƯn phÐp tính

Lời giải.Ta có

Bài tập

Bài 1.Tìm số tự nhiên x biết rằng:

Bài 2.Chứng minh r»ng

Bµi 3.Thùc hiƯn phÐp tÝnh

Bµi 4.Chøng minh r»ng víi n th×

1 1 n

b)

3.7 7.11 11.15 (4n 1)(4n 3) 4n

1 1 n

a) ;

2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 2) 6n 2014 2014 2014 2014

e) E

1.3.5 3.5.7 5.7.9 49.51.53

4 4

d) D ;

8.13 13.18 18.23 253.258

10 10 10 10

c) C ;

7.12 12.17 17.22 502.507

1 1

b) B ;

6.10 10.14 14.18 402.406

3 3

a) A ;

5.8 8.11 11.14 2006.2009

2 2

1 1

b)

2 100

1 1

a)100

2 100

1 99 ;

2 100

1 1 15

e)

3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 93

7 4 4 29

d) ;

x 5.9 9.13 13.17 41.45 45

x 1 1

c) ;

2008 10 15 21 120

1 1 101

b) ;

5.8 8.11 11.14 x(x 3) 1540

1 1 1998

a) ;

3 10 x(x 1) 2000 20 27 35 1325

M

21 28 36 1326 40 54 70 2650 42 56 72 2652 5.8 6.9 7.10 50.53 6.7 7.8 8.9 51.52 5.6.7 50 8.9.10 53 6.7.8 51 7.8.9 52

5 53 265 51 357

1 1

M 1

21 28 36 1326

2 2

3 15 9999

A

4 16 10000 1.3 2.4 3.5 99.101

2 100

1.2.3 99 3.4.5 101 2.3.4 100 2.3.4 100

1 101 101 100 200

3 15 9999

A

4 16 10000

2 2

2B

1.2.3 2.3.4 3.4.5 99.100.101

1 1 1

1.2 2.3 2.3 3.4 99.100 100.101

1 50.101 5049

1.2 100.101 100.101 10100 5049

B

20200

1 1

B

4 ẻlêi giời ệở ệẽng, ệẳt BC x thừ CH a x vộ chử H thuéc ệoỰn thỬng BC Lêi giời ệã xĐt thiạu trđêng hĩp H nỪm ngoội ệoỰn thỬng BC Lêi giời ệóng TH1.H thuéc ệoỰn thỬng BC Khi ệã giời nhđ bội ệở cho, ta ệđĩc

TH2.H thuộc tia đối tia CB

Khi ệã CH x a Giời tđểng tù, ta còng tÝnh ệđĩc TH3.H thuéc tia ệèi cựa tia BC

Khi ệã CH x a Giời tđểng tù, ta ệđĩc

Nhận xét Nhiều bạn gửi lời giải khơng chia

ệóng cịc trđêng hĩp Mét sè bỰn giời quị dội Mét sè bỰn nhẵm lÉn vÒ vỡ trÝ cựa H trến BC so sịnh sè ệo cịc gãc B, C vắi 90o Lđu ý rỪng

thừ H B nến BH Khi thừ H C nến BH a Cờ hai vỡ trÝ nộy cựa H vÉn ệóng trđêng hĩp nến khềng cẵn xĐt riếng ẻ trđêng hĩp vộ 3, tđểng ụng vắi cịc gãc C hay B tỉ Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Thẹn ậừnh Phong, 9C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa; PhỰm Thỡ Minh Lý, 9A1, THCS Trđng Vđểng, ậỰi Thỡnh, Mế Linh, Hộ Néi;Ngề Thỡ nh HiÒn, 8D, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc

anh kÝnh lóp o

C 90

o B 90

2 2

b a c

BH

2a 2

a c b

BH

2a

2 2

a c b

BH

2a

Bài toán.Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M bên tứ giác cho biểu thức P MA MB MC MD đạt giá trị nh nht

Lời giải.Xét tam giác MAC ta có MA MC AC XÐt tam gi¸c MBD ta cã MB MD BD

Do P MA MB MC MD (MA MC) (MB MD) AC BD Bởi không tồn điểm M để biểu thức P đạt giá trị nhỏ

Theo bạn lời giải chða?

trÇn anh tn(GV THCS Phó Phóc, Lý Nhân, Hà Nam) (TTT2 số 141)

KHONG CO GIA TRỊ NHỎ NHẤT

TÌM CHIỀU DÀI ĐOẠN THẲNG

Điều lệ thi đăng TTT2 số 140 Câu hỏi đăng số tạp chí năm 2015 Câu 1.Khi gia nhập ASEAN, Việt Nam trở thành thành viên thứ hiệp hội này? Câu 2.Nêu tên thủ đô 10 quốc gia ASEAN

Câu 3.Liệt kê diện tích 10 quốc gia ASEAN (sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn)

BTC

5

(TTT2 sè 141) NhẺn xĐt.Quy luẺt kừ nộy tđểng ệèi dÔ nhđng khị

thú vị, đông bạn tham gia gửi cho đáp án Tuy nhiên, hầu hết bạn nêu kết phép tính mà khơng đặt tên cho hỡnh nờu rừ quy lut

Quy luật.Đặt tên ô hình nh sau

Cc số (trong ề tđểng ụng) ẻ hừnh thụ nhÊt vộ hừnh thụ hai cã tÝnh chÊt: a e c d b f

Theo quy luật đó, số cần điền vào ô trống d (16 14) 22

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn: NguyÔn Thỡ nh My, Triỷu Phđểng Uyến, Trẵn ậan Trđêng, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; ậộo Vẽn Hiạu, 6A2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; NguyÔn nh Linh, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc Cịc bỰn sau ệđĩc khen: Hoộng Bờo Ngẹn, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; NguyÔn Thỡ Dung, 9E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Ngun ậừnh Cềng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Lế Quang Hoộn, 7A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; Phan Trẵn Hđắng, 9A, THCS Quịch Xuẹn Kú, Bè TrỰch, Qung Bnh

nguyễn Xuân Bình QUY LUAT Kè LAẽ

Bµi 1.D·y sè Fibonacci tháa m·n tÝnh chÊt tỉng hai sè liªn tiÕp b»ng sè tiÕp theo cđa d·y: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

Biết dãy số sau liên quan đến dãy số Fibonacci, tìm số tiếp theo: 2, 3, 5, 7, 10, 14,

Bài 2.Tìm phân số dÃy ph©n sè:

ệộo ịnh dđểng(HS 10A5, THPT chuyến Vỵnh Phóc) 1 1, , , , ,

2 25 121 Từ dãy số FIBONACCI

(TTT2 số 140) Bài Các số tự nhiên có trị tuyệt đối nhỏ

2014 gåm cã 4027 sè lµ: 2013, 2012, , 1, 0, 1, ., 2012, 2013 Các số có tổng Tổng cần tìm 4027 8110378

Bµi 2.Ta cã |x 10| |x 6| |x 2014| x 2014 x 2008 2008 |3y 8| DÊu xảy x 10

Bài 3.Ta cã 10001000 M 1001 1002 1003 1001000

Suy

Vậy ba chữ số bên trái cđa M lµ 100 Bµi 4.Ta cã

VẺy giị trỡ nhá nhÊt cựa A lộ x Bội 5.Gải O lộ giao ệiÓm cựa AC vộ BD Vỳ AH CD tỰi H Trến tia ệèi cựa tia HA lÊy ệiÓm E cho HE HA Ta chụng minh ệđĩc cịc tam giịc CAE vộ AHO ệÒu, tam giịc ADH vuềng cẹn tỰi H, tam giịc HDO cẹn tỰi H

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt vộ ệđĩc thđẻng kừ nộy: TỰ Lế Ngảc Sịng, NguyÔn Hăng Sển, 8A, trđêng THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam; NguyÔn Quang Huy, 8A6, THCS Cẵu GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi; Lế Hoộng Phóc, 8C, THCS Phan Chu Trinh, TP Buền Ma Thuét, ậớk Lớk

NguyÔn Ngäc Minh o o

o

o o o

OHC 90 60

Do BDC 15

2

DBC 45 15 30 17

4

4

2

21 4x 215x 17 17

A x

4

x 4(x 4)

3000 ch÷ sè 3000 ch÷ sè 100000 00 M 1001001 100

8

y

3

6 iờ sỏ cã sịu ngđêi gẳp mét cuéc héi thờo Trong nhọng ngđêi ệã, cã thÓ cã nhọng cẳp hai ngđêi quen hoẳc khềng quen Ta coi rỪng nạu A quen B thừ B còng quen A vộ nạu A khềng quen B thừ B còng khềng quen A

Mét bội toịn khị quen thuéc lộ chụng minh rỪng sịu ngđêi ệã, luền chản ệđĩc ba ngđêi hoẳc ệềi mét quen nhau, hoẳc ệềi mét khềng quen

ậÓ chụng minh bội toịn nộy, ta vỳ lôc giịc ABCDEF, vắi ệửnh lộ ệỰi diỷn cựa ngđêi vộ nạu hai ngđêi quen thừ ệoỰn thỬng nèi hai ệiĨm lộ ệđêng nĐt liỊn Ngđĩc lỰi, nạu hai ngđêi khềng quen thừ ệoỰn thỬng nèi hai ệiĨm lộ ệđêng nĐt ệụt

Từ A, có đoạn thẳng nối đến điểm B, C, D, E, F Ta thấy có đoạn thẳng vẽ nét liền nét đứt

Giờ sỏ AB, AC, AD vỳ bỪng nĐt liÒn Khi ệã, nạu cã mét ba ệoỰn thỬng BC, BD, CD vỳ bỪng nĐt liÒn, chỬng hỰn lộ BC thừ ba ngđêi A, B, C ệềi mét quen Ngđĩc lỰi, nạu BC, BD, CD cỉng vỳ bỪng nĐt ệụt thừ ba ngđêi B, C, D ệềi mét khềng quen

Tõ vÝ dô trến, ta kÝ hiỷu R(3, 3) ệÓ biÓu thỡ rỪng tõ mét nhãm ngđêi, luền từm ệđĩc Ýt nhÊt ba ngđêi quen hoẳc ba ngđêi khềng quen Ta

thÊy tõ nẽm ngđêi thừ khềng thÓ từm ệđĩc R(3, 3) hừnh vỳ sau Bi vy R(3, 3)

Đơn giản R (2, 2)

B¹n h·y chøng minh r»ng R (4, 4) 18

ẻ ệẹy, kÝ hiỷu R lộ ệẳt tến theo nhộ toịn hảc Frank Ramsey, ngđêi ệở nghiến cụu vÊn ệÒ nộy tõ nhọng nẽm 1920

Bội toịn tững quịt từm R(a, b) n lộ rÊt khã: Từm sè ngđêi n nhá nhÊt ệÓ n ngđêi bÊt kừ, luền từm ệđĩc hoẳc a ngđêi ệềi mét quen hoẳc b ngđêi ệềi mét khềng quen ChỬng hỰn viỷc từm R(5, 5) còng chđa cã ệịp sè thĨ Ngđêi ta mắi chụng minh ệđĩc rỪng ệã lộ mét sè nỪm giọa 42 vộ 49

Ngộy nay, vắi sù trĩ gióp cựa mịy tÝnh, ngđêi ta cã thĨ vỳ ệă thỡ vỊ mèi quan hỷ giọa mét nhãm găm n ngđêi vộ thỏ hạt cịc trđêng hĩp ệÓ từm xem n bỪng R(a, b) nộo Tuy vẺy, bội toịn tững quịt vÉn cưn bá ngá

BÀI TỐN người quen nhau

7 Câu (2 điểm)

1 Chứng tỏ (với n ) áp dụng kết trên, hÃy tính giá trị biểu thức Cho dÃy tỉ số

HÃy tính giá trị biểu thức Câu (2 điểm)

Vi mi số nguyến dđểng n, ệẳt ệã kÝ hiỷu [a] lộ sè nguyến lắn nhÊt khềng vđĩt quị a

1 TÝnh S1, S2, S3, , S6

2 Gi¶ sö a, n Chøng minh r»ng:

a) NÕu n a b) Nếu n không chia hết cho a a Câu (2 điểm)

1 Cho số nguyên a, b, c Chứng tỏ rằng, tổng sau số chẵn: a) S |a b| (a b); b) R ||a b| c| (a b c)

2 Cho đa thức f(x) có hƯ sè nguyªn tháa m·n f(3).f(4) Chøng minh r»ng đa thức f(x) nghiệm nguyên

Câu (3 ®iĨm)

1 Cho ABC cã A 90o, ệđêng cao AH, ệđêng phẹn giịc AD cựa gãc HAC cớt ệđêng phẹn giịc BE cựa gãc ABC tỰi G Chụng minh rỪng BG AG

2 Cho ABC c©n A có A 80o Lấy điểm I ABC cho IAC 10o, ICA 20o TÝnh sè ®o cđa CBI

Câu (1 điểm)

Một cu b tinh nghỡch lÊy mét mờnh bừa cớt lộm mờnh hoẳc 11 mờnh Cịc mờnh nhẺn ệđĩc cẺu Êy lỰi cớt thộnh mờnh hoẳc 11 mờnh nhá hển CẺu ta mong rỪng cụ lộm nhđ thạ ệạn mét lóc nộo ệã sỳ nhẺn ệđĩc sè mờnh lộ 2014 Hái rỪng cẺu Êy cã thùc hiỷn ệđĩc mong muèn ệã khềng? Vừ sao?

n n

a a

n n 1;

a a

n n n n n

S ,

1 n

2 2013

2 2

1 2013

(a a a a )

B

a 2a 3a 2013a 2013

2

a a

a a .

a a a a

2.2012

A 1 1 1

1

1 2 3 2012 n(n 1)

1 n

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP CẤP HUYỆN Thời gian làm bài:120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

8 B Đề thi đồng đội

1 ậÓ ệđĩc kạt quờ lộ lắn nhÊt thừ dÊu trõ phời ệẳt ệỪng trđắc cẳp dÊu ngoẳc ệã, kạt quờ ẻ bến dÊu ngoẳc phời lộ sè ẹm vộ sè trõ cã giị trỡ tuyỷt ệèi lắn nhÊt

Có hai cách đặt dấu ngoặc

2 2 2 2 2 2) 24 hoẳc 2 2 2 2 2) 36 VẺy giị trỡ lắn nhÊt cã thÓ cựa biÓu thục nhẺn ệđĩc lộ 36

2

Trong hừnh vỳ ta cã 18 sè ệđĩc viạt 18 ề vuềng Cụ hai sè cã tững lộ mét sè chÝnh phđểng thừ ta nèi hai ề vuềng chụa hai sè ệã vắi bẻi mét ệoỰn thỬng Cã cẳp sè ệẵu tiến lộ (18, 7), (17, 8) vộ (16, 9) Tiạp ệã lộ cịc cẳp sè sau: (2, 14), (11, 5), (4, 12), (13, 3), (6, 10) vộ (15, 1) 3.Bớt ệẵu tõ cịc hừnh vuềng cã ệé dội cỰnh lộ cm, chóng ta cã thÓ xịc ệỡnh ệđĩc ệé dội cỰnh cựa cịc tam giịc vuềng cẹn ệđĩc tề mộu Tững diỷn tÝch cựa cịc tam giịc vuềng cẹn ệđĩc tề mộu lộ 4.Chó ý rỪng mÌo tuữi cã thĨ ệđĩc bÊt cụ gia ệừnh nộo nhẺn nuềi Con mÌo tuữi cã thÓ ệđĩc cịc gia ệừnh sèng ẻ cịc cẽn sè hoẳc 12 nhẺn nuềi Chóng ta xĐt hai trđêng hĩp:

* Trđêng hĩp Con mÌo tuữi ệđĩc gia ệừnh ẻ cẽn sè 12 nhẺn nuềi

Con mÌo tuữi ệđĩc nhẺn nuềi bẻi gia ệừnh ẻ cẽn sè vộ mÌo tuữi ệđĩc nhẺn nuềi bẻi gia ệừnh ẻ cẽn sè Do ệã mÌo tuữi ệđĩc nhẺn nuềi bẻi gia ệừnh ẻ cẽn sè hoẳc sè Cã cịch nhẺn nuềi

* Trđêng hĩp Con mÌo tuữi ệđĩc gia ệừnh ẻ cẽn sè nhẺn nuềi

Con mÌo tuữi ệđĩc nhẺn nuềi bẻi gia ệừnh ẻ cẽn sè hoẳc 12 Gia ệừnh ẻ cẽn sè 12 hoẳc sè cưn lỰi cã cịch nhẺn nuềi cịc mÌo tuữi, tuữi vộ tuữi Mét hai gia ệừnh cưn lỰi cã cịch nhẺn nuềi mét mÌo cưn lỰi, gia ệừnh cuèi cỉng chử cã mét cịch nhẺn nuềi mÌo cưn lỰi Do ệã cã cịch nhẺn nuềi VẺy cã cịch nhẺn nuềi cịc mÌo theo bờng sau:

2 2 2

1(9 4 ) 81cm

DTH(Dịch giới thiu) LỜI GIẢI ĐỀ THI OLYMPIC

TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI HAØN QUỐC

(KIMC 2014)

Junior Section

Con mÌo ti

Con mÌo ti

Con mÌo ti

Con mÌo tuổi

Con mèo tuổi Căn hộ

số Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố 12 Căn hộsố Căn hộ

số Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố 12 Căn hộsố Căn hộ

số 12 Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố Căn hộ

số Căn hộsố 12 Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố Căn hộ

số Căn hộsố Căn hộsố 12 Căn hộsố Căn hộsố Căn hộ

số Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố 12 Căn hộ

số Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố Căn hộsố 12 Căn hộ

9 5.ậÓ ệđĩc sè nhá nhÊt thừ sè ệã phời cã chọ sè tẺn cỉng bến trịi lộ vộ ệỪng sau sè ệã cã cộng nhiÒu sè cộng tèt Ta bớt ệẵu tõ sè 100 ta cã sè 1001011, sè nộy chia hạt cho 11 ậÓ ệđĩc sè bĐ hển nọa ta bớt ệẵu tõ sè 1000, ta ệđĩc sè 1000100, sè nộy khềng chia hạt cho 11 VẺy sè nhá nhÊt cẵn từm lộ 1001011

6.a) Cã tam giịc ệÒu cã ệé dội cỰnh khịc ệđĩc thÓ hiỷn hừnh vỳ sau

b) Cã tam giịc ệÒu cã ệé dội cỰnh lắn nhÊt Cã tam giịc ệÒu cã ệé dội cỰnh tiạp theo lộ trung ệiÓm cịc cỰnh cựa hừnh lơc giịc ệỊu lắn nhÊt XĐt ệé dội cỰnh tiạp theo mét ba ệửnh cựa tam giịc ệã lộ ệửnh cựa hừnh lơc giịc ệỊu lắn nhÊt nến cã tam giịc Tam giịc cã ệé dội cỰnh tiạp theo lộ tam giịc cã ệửnh lộ ệửnh cựa lơc giịc ệỊu lắn nhÊt hoẳc cã mét ệửnh lộ trung ệiĨm cựa hừnh lơc giịc ệỊu ệã nến cã 12 tam giịc Tam giịc cã ệé dội cỰnh tiạp theo lộ tam giịc cã ệửnh lộ ệửnh cựa lơc giịc ệỊu lắn nhÊt hoẳc cã mét ệửnh lộ trung ệiĨm cựa hừnh lơc giịc ệÒu ệã nến cã 12 tam giịc Cã 24 tam giịc cã ệé dội cỰnh nhá nhÊt ậiÓm cao nhÊt ệéi A cã thÓ cã ệéi A thua ệéi B, hưa vắi ệéi C vộ thớng hai ệéi cưn lỰi lộ 3 ệiÓm ậiÓm thÊp nhÊt ệéi B cã thÓ cã lộ 1 ệiÓm Vừ ệéi A ệđĩc ệiÓm cao nhÊt nến ệéi A ệđĩc ệiÓm vộ ệéi B ệđĩc ệiÓm Vừ ệiÓm cựa cịc ệéi khịc nến ệéi C hưa trẺn vộ ệđĩc ệiÓm (Vừ sè ệiÓm cựa ệéi C nhá hển vộ Ýt ệiÓm hển ệéi D) Do ệã ệéi D ệđĩc ệiÓm Tục lộ ệéi D thớng ệéi E ậéi E thua trẺn vộ cã trẺn hưa vắi ệéi B vộ C VẺy ệéi E ệđĩc ệiÓm Trđắc hạt ta từm vỡ trÝ cựa ệiÓm P ệÓ cịc tam giịc ệã cã diỷn tÝch khềng nhá hển cm2 Gải O lộ tẹm cựa hừnh vuềng vộ M lộ trung ệiÓm cựa CD Gải P lộ trung ệiÓm cựa OM Khi ệã SPBC SPDA vộ SPAB SPCD

Ta cã SPAC SPBD 2SPOD SPCD

Giả sử tồn điểm P nằm hình vng cho giá trị lớn diện tích tam giác có diện tích bé tam giác lớn cm2 Chẳng hạn điểm P nằm cạnh tam giác COD Khi

Do điều giả sử sai

VËy giá trị lớn diện tích tam gi¸c cã diƯn tÝch bÐ nhÊt c¸c tam giác PAB, PBC, PCD, PDA, PAC PBD cm2

9.Sè cã hai chọ sè lộ béi cựa 19 hoẳc 23 lộ cịc sè: 19, 23, 38, 46, 57, 69, 76, 92 vộ 95 Ta cã mét chu kừ (57, 76, 69, 95) ệđĩc lẳp ệi lẳp lỰi Sè 19 vộ 46 chử cã thÓ ệụng ẻ vỡ trÝ ệẵu tiến cựa dởy ệã, sè 38 chử cã thÓ ẻ tẺn cỉng cựa dởy sè ệã vộ cã hai sè ệụng trđắc nã lộ 23 vộ 92 Vừ sè thụ 2014 lộ 23 nến sè thụ 2013 lộ 92 vộ sè thụ 2012 lộ 69 Vừ 2014 503 nến sè cẵn từm lộ sè ệẵu tiến chu kừ (95, 57, 76, 69) tục lộ sè 95

10.Ta chia cịc ệăng xu ệở cho thộnh nhãm A, B, C vộ D, mẫi nhãm cã ệăng xu vộ ệem cẹn tõng nhãm ệăng xu ệã Ta xĐt trđêng hĩp * Trđêng hĩp Cờ nhãm ệăng xu ệã cã tững khèi lđĩng bỪng Khi ệã tững khèi lđĩng hai ệăng xu thẺt bỪng tững khèi lđĩng hai ệăng xu

* Trđêng hĩp Chử cã hai nhãm ệăng xu cã tững khèi lđĩng bỪng Giờ sỏ hai nhãm A vộ B cã tững khèi lđĩng bỪng nhau, vộ tững khèi lđĩng cịc ệăng xu nhãm C lắn hển tững khèi lđĩng cịc ệăng xu nhãm D Khi ệã cờ hai ệăng xu ệÒu thuéc nhãm C vộ nhãm D Ta sỳ so sịnh tững khèi lđĩng cịc ệăng xu hai nhãm A vộ B vắi tững khèi lđĩng cịc ệăng xu hai nhãm C vộ D Tõ ệã ta sỳ cã cẹu trờ lêi

PCD POC POD PCD PAC PBD

16 S S S

1

S S S 4 16 (v« lÝ)

2

10

Bài 1.Từ Do

Bài 2.a) Điều kiện x

Cách 1.Đặt (u, v 0)

Ta cã

Từ (u 1)2 nên u (thỏa mãn) Suy x2 x

(vì x 1)

Cách 2.áp dụng BĐT AM - GM cho hai số không âm, ta cã

Tõ ệã ta từm ệđĩc

b) Ta cã x2 y2 xy x (x y)2 xy x (x y)2 (x y) (xy y 5) Đặt u x y, v xy y

Ta ệđĩc

Tõ (1) u vµ Thay vµo (2) ta suy u3 u2 2u (u 2)(u2 u 4)

u (v×

Do

y2 y Tõ ệã ta từm ệđĩc

Bội 3.a) Vừ a b c nến a b c 2c hay 2c c Tđểng tù a 1, b

Suy (1 a)(1 b)(1 c)

abc ab bc ca (a b c) abc ab bc ca

Do a2 b2 c2 2abc a2 b2 c2 2(ab bc ca 1) (a b c)2 2

Mẳt khịc, ịp dông bÊt ệỬng thục AM - GM cho ba sè dđểng, ta cã

3 a b c (1 a)(1 b)(1 c)

3 27

26 abc ab bc ca (a b c)

27 28

abc ab bc ca 27

3 5 5

(x; y) ; , ;

2 2

x y x y

xy y ( y)y y

v

u

2

2 15

u u u 0)

2

8

v

u

2

uv (1)

u u v (2)

1

x

2

1 1

x x (x 1)

x x x x

1 x 1 x 1 x.

2 x x

1 x x x

x 1

2u x x u

x x

2

u v x u v x

x u v

u v x x

1

u x , v

x x 2

1 a a

a a a a

2 2

a 6a a a a

8 2 2 2

a a a a 2.

2 2 2 a a a

2 a

4a 2(1 a) a

2

(Đề đăng TTT2 số 142)Năm häc 2013 - 2014

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN LỚP 9

11 Do a2 b2 c2 2abc a2 b2 c2 2(ab bc ca (a b c)2

Đẳng thức xảy vµ chØ b) Víi x, y lµ hai sè thùc bÊt k×, ta cã

(x y)2 2xy x2 y2; (x y)2 2(x2 y2) ịp dông hai kạt quờ trến, ta ệđĩc

(a2 b2 c2)2 Suy

Viạt hai bÊt ệỬng thục tđểng tù răi céng li theo v, ta c pcm

Đẳng thức xảy vµ chØ a b c Bµi

a) Ta thÊy MBD MAC (g.g)

Tđểng tù Mộ AC AB BC nến MA MB MC b) Vừ MBD MAC nến

Tđểng tù Do ệã

c) Kẻ BH AM (H AM) Đặt MB x, MC y Vì ABM có góc A, M nhọn nên H nằm cạnh AM

Xét BMH có Suy

Theo định lí Pythagore ta có AH2 BH2 AB2

Do MA2 MB2 MC2 (x y)2 x2 y2 2(x2 y2 xy) 6R2

d) Ta cã MA4 MB4 MC4 (x y)4 x4 y4 [(x2 y2 xy) xy]2 [(x2 y2 xy) xy]2 2(xy)2

(3R2 xy)2 (3R2 xy)2 2(xy)2 18R4 Bài 5.a) Vì nên tứ giác BPNC nội tiếp Suy

Mặt khác

Do ú nờn AK PN

b) Ta cã 2SABC 2(SOPAN SOMBP SONCM) OA.PN OB.MP OC.MN R.CMNP, với CMNPlà chu vi tam giác MNP

Từ CMNPlớn SABClớn Khi A trung điểm cung lớn BC

o ANP KAC 90

o o

KAC 90 AKC 90 B ANP B

o BNC BPC 90

2

2 2

x y x (R 3) x y xy 3R

2

x x

AH AM MH (x y) y

2

BM x BM x

MH , BH

2 2

MD MD CD BD CD BD BC MB MC AB AC AB AB AB

MD CD MB AB

MD BD MC AC MB MC BD CD BC

MA MA AB AB

MC CD MA AB

MB BD MA AC

3

3 a a a2

a (b c) a a(b c) a b c

2

4

2

4

4 2

(b c) a a(b c) a 2[a(b c)]

2

(b c) (b c)

a [a(b c)] a

4

2

a b c

3 56 52 27 27 28)

12

Bội 1(141).BỰn An vỳ mét sè tia chung gèc A BỰn Bừnh vỳ mét sè tia chung gèc B Biạt bỰn Bừnh vỳ nhiỊu hển bỰn An ệóng tia vộ tững sè gãc hai bỰn vỳ ệđĩc lộ 100 Hái mẫi bỰn ệở vỳ bao nhiếu tia? Lêi giời.Gải sè tia bỰn An vỳ lộ n (vắi n , n 2) Suy sè tia bỰn Bừnh vỳ lộ n

Sè gãc bỰn An vỳ ệđĩc lộ Sè gãc bỰn Bừnh vỳ ệđĩc lộ

Vừ tững sè gãc hai bỰn vỳ ệđĩc lộ 100 nến ta cã hay n2 100

Do n 10 (thỏa mãn)

Vậy số tia bạn An vẽ 10, số tia bạn Bình vẽ 11

NhẺn xĐt ậẹy lộ mét bội toịn khị quen thuéc nến cã gẵn 100 bỰn tham gia giời vộ ệỊu giời ệóng Tuy nhiến cã mét sè bỰn quến khềng ghi ệỡa chử cựa mừnh Cịc bỰn sau cã bội giời sỰch vộ trừnh bộy ệứp hển cịc bỰn khịc: ậẳng Phđểng Anh, Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 7C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; Chu TuÊn Nghỵa, 7C, THCS BỰch LiÔu, Yến Thộnh; Hă Xuẹn Viỷt Anh, 7A, THCS Hă Xuẹn Hđểng, Quúnh Lđu; NguyÔn Thỡ Trộ My, 6A, THCS thỡ trÊn Nghỵa ậộn, Nghỵa ậộn, Nghỷ An;Trẵn ậừnh Hoan, 6/1; NguyÔn Sủ Huẹn, 7/4, THCS Lế Vẽn Thiếm, TP Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh; TỰ Viỷt Hoộn, 7C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; Ngun Thu HiỊn, Bỉi Hđểng Giang, Ngun Họu Trung Kiến, 7A3; Khững Doởn Hđng, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; NguyÔn Sển Lẹm, 7A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả

Phïng kim dung

Bài 2(141).Cho tam giác ABC có Dựng điểm D bên ngồi tam giác ABC cho ACD tam giác

Chøng minh r»ng AB2 BC2 BD2 Lêi gi¶i.Ta xÐt khả sau Khả

V phía ngồi ABC tam giác BCE Ta thấy ABE tam giác vng B

Theo định lí Pytago, ta có AB2 BE2 AE2 (1) Mặt khác, BC EC, CD CA,

nªn

BCD ECA (c.g.c) BD AE (2) Tõ (1) vµ (2) suy AB2 BC2 BD2

Khả Khi

Vỳ phÝa ngoội ABC tam giịc ệÒu ABE răi chụng minh tđểng tù nhđ khờ nẽng 1, ta ệđĩc AB2 BC2 CE2 BD2(ệpcm)

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế Ngảc Hoa, NguyÔn Quèc Huy, Chu Thỡ Thanh, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; NguyÔn Hđểng Giang, Lế Thỡ Vẹn Anh, 7E, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa; Hoộng Hộ My, 7A, THCS Chu Vẽn An, Nga Sển, Thanh Hãa;Vò ậục Dòng, 7A, THCS Hă Xuẹn Hđểng, Quúnh Lđu, Nghỷ An; NguyÔn Tỉng Lẹm, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,Phó Thả

hå quang vinh

Bội 3(141).Giời hỷ phđểng trừnh

Lêi gi¶i §iỊu kiƯn x 0, y 1, z

x y (1) y z (2) z x (3)

o BAC 30

o ACB 120

o

BCD ECA ( 60 ACB)

o ACB 120

o B 30

n(n 1) (n 1)n 100

2

(n 1)n n(n 1)

13 Ta thÊy nÕu x th× y 2, z

NÕu x th× tõ (1) suy y Víi y 2, tõ (2) suy z

Víi x 1, z không thỏa mÃn (3) Nếu x từ (1) suy y

Víi y 2, tõ (2) suy z

Víi x 1, z không thỏa mÃn (3) Vậy (x; y; z) (1; 2; 3)

NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn khềng khã vộ cã nhiÒu cịch giời Cịch giời trến ệẹy lộ ngớn gản hển cờ Vắi cịch giời nộy, ta cã thÓ khịi quịt bội toịn sau: Hỷ phđểng trnh dng

sẽ vô nghiệm có nghiệm nhÊt

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Hoộng ChÝ Hiạu, 9A6, THCS Lđểng Thạ Vinh, TP Thịi Bừnh, Thịi Bừnh;Trẵn Thỡ Thóy Hộ, 8C, THCS Liến Hđểng, Vị Quang, Hộ Tỵnh;Ngun Tỉng Lẹm, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh;Trẵn Quèc LẺp, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Khời Hđng, 9D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa;TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;NguyÔn Lế Sển, 9A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc

ngun anh dịNG

Bội 4(141) Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn xy yz zx Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục

Lêi giời.ịp dông bÊt ệỬng thục AM - GM cho cịc sè thùc dđểng, ta cã

Tđểng tù:

Céng theo vạ ba bÊt ệỬng thục ta ệđĩc

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwars, ta có

Ta chøng minh R

Thật vậy, R 2(x y z)2 x2 y2 z2 (x y z) 18 x2 y2 z2 x y z Bất đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức quen thuộc

x2 y2 z2 xy yz zx vµ

Do P P x y z Vậy Pmin

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn bÊt ệỬng thục khềng quị khã vừ thạ cã nhiÒu bỰn tham gia giời bội MÊu chèt cựa bội toịn lộ kỵ thuẺt chản ệiÓm rểi vộ khỏ cẽn ẻ mÉu thục Hẵu hạt cịc bỰn tham gia giời ệÒu ệóng, mét sè bội biạn ệữi dội mắi ệi ệạn ệiÒu phời chụng minh Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng vộ ngớn gản: TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A; ậoộn Ngảc Hiạu, 9B, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam; PhỰm Thỡ Minh Lý, 9A1, THCS Trđng Vđểng, Mế Linh, Hộ Néi;Lế ậừnh Linh, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An;NguyÔn Trung ậục, Lế Quang Bờo, 9A, THCS Yến Phong; NguyÔn Thu Thựy, 9A5, THCS NguyÔn ậẽng ậỰo, TP Bớc Ninh, Bớc Ninh; Hoộng ậục ThuẺn, Hă Quang Huy, 9A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả; NguyÔn Lế Sển, 9A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc; Lế Hoộng Phóc, 9C, THCS Phan Chu Trinh, TP Buền Ma ThuẺt, ậớk Lớk;Vâ NguyÔn ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ TrÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnh; Trẵn Thỡ Thu Hộ, 9B, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Hoộng ChÝ Hiạu, 9A6, THCS Lđểng Thạ Vinh, TP Thi Bnh, Thi Bnh

cao văn Dũng

Bi 5(141).Tững cựa sè thùc khềng ẹm bỪng Chụng minh rỪng ta cã thÓ xạp sè nộy trến mét ệđêng trưn cho tững cịc tÝch cựa cẳp sè ệụng cỰnh khềng lắn hển

Lời giải.Giả sử khơng có cách xếp thỏa mãn tổng tích cặp số đứng cạnh khơng lớn Nghĩa với cách xếp ta có tổng tích cặp số đứng cạnh lớn

Gọi số thực a, b, c, d e Ta có a b c d e

Ta xét hai cách xếp a, b, c, d, e a, c, e, b, d vòng tròn

1 5

x y z 3(xy yz zx) 3.3

2 2(x y z)2

Q R

x y z (x y z) 18

2 2

22x 22y 22z

P Q

x x y y z z

2 2

2

3

y 2y , z 2z .

y y z z

y z

3

2

2

2

x (x 2)(x 2x 4)

x x 2x x x

2

x 2x .

x x

x

2 2

3 3

x y z

P

x y z

1 1

2 2

3 3

x a y b c

y a z b c

14 Khi ab bc cd de ea

ac ce eb bd da

Mặt khác ta có (a b c d e)2

a2 b2 c2 d2 e2 2(ab ac ad ae bc bd be cd ce de)

2(ab bc cd de ea) 2(ac ce eb bd da) 3(ab bc cd de ea) 2(ac ce eb bd

da) mẫu thuẫn

Chứng tỏ điều giả sử sai, suy ®pcm

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn hay vộ khã BỰn TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi -Amsterdam, Hộ Néi ệở sỏ dông phđểng phịp phờn chụng nhđ lêi giời trến nhđng sỏ dông thiạt phờn chụng ệÓ suy

a2 b2 c2 d2 e2 mâu thuẫn với việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho số để a2 b2 c2 d2 e2

Ngoội bỰn Sịng, cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Vđểng Tiạn ậỰt, 9C, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa,Hộ Néi; Ngun Sển Lẹm, 7A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả; NguyÔn Ngảc Lan, 9A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh trỡnh hoội dđểng

Bội 6(141).Cho hừnh vuềng ABCD Cịc ệiÓm E, F lẵn lđĩt thuéc cỰnh AB, BC cho EF AE CF Dùng hừnh chọ nhẺt EBFG AC cớt EG tỰi M, DE cớt FG tỰi N Dùng MP AD (P AD) Chụng minh rỪng NP // AC

Lời giải Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AK CF Gọi Q giao điểm AC FN Vì AK CF, AD CD, nên

KAD FCD (c.g.c) DK DF

KÕt hỵp víi EK EA AK EA FC EF, suy DEK DEF (c.c.c)

KÕt hỵp víi EA // NF, suy

KÕt hỵp víi EK EF, suy EK EF NF (1) Vì ABC vuông cân B BA // FQ nên FQC vuông cân F

KÕt hỵp víi KAD FCD, suy KA FC FQ (2) Tõ (1) vµ (2), chó ý r»ng AEMP hình chữ nhật, suy PM AE EK KA NF FQ NQ KÕt hỵp víi PM // NQ, suy PMQN hình bình hành Vậy NP // QM hay NP // AC

Nhận xét Ngoài cách giải trên, cịn giải cách sử dụng định lí Pytago

Xin tến mét sè bỰn cã lêi giời tèt: TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;NguyÔn Lế Sển, 9A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc; Lế ậừnh Linh, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An;Trẵn Thỡ Thóy Hộ, 8C, THCS Liến Hđểng, Vị Quang, Hộ Tỵnh; Trẵn Quèc LẺp, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Trẵn Nhđ Qnh, Hoộng Thỡ Thđểng, 8D; Ngun Khời Hđng, 9D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa

ngun minh hµ FNE KED FED FEN

o

KAD 90 FCD 1,

5

1

3 1:

5

2 2 2 2 2

a b b c c d d e e a

2 2 2

1

1

15 Bài toán Cho 2015 số thực Biết tổng số tùy ý 2015 số cho lớn tổng số tùy ý 2011 số lại Chứng minh tổng số tùy ý 2015 số cho lớn tổng số tùy ý 2012 số lại

nguyễn đức tấn(TP Hồ Chí Minh)

DÃY SỐ LẠ

DỰNG TỨ GIÁC (TTT2 sè 141)

Phẹn tÝch.Giờ sỏ dùng ệđĩc tụ giịc ABCD tháa mởn yếu cẵu bội toịn

Ta thÊy MN lộ ệđêng trung bừnh cựa ABC nến

Do ệã ta cã sè ệo ba cỰnh cựa ABC nến sỳ dùng ệđĩc tam giịc nộy

Dùng h×nh

- Dùng ABC biạt AB a, BC b, AC 2m - Dùng nỏa ệđêng trưn tẹm C, bịn kÝnh c khịc phÝa B so vắi AC LÊy ệiÓm D bÊt kừ trến nỏa ệđêng trưn cho D, B, C khềng thỬng hộng vộ D, A cỉng phÝa so vắi BC

BiÖn luËn

- Ta dùng ệđĩc ABC vộ chử a b 2m, a 2m b, b 2m a

Do ệã nạu a b 2m hoẳc a 2m b hoẳc b 2m a thừ ABC khềng dùng ệđĩc

- Vừ PQ lộ ệđêng trung bừnh cựa ACD nến Do ệã nạu n m thừ bội toịn khềng dùng ệđĩc NhẺn xĐt.Mét sè bỰn giời bội toịn nộy ệở thiạu biỷn luẺn Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn Ngảc Lan, 9A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; ậẫ Linh Chi, 9A2, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả

ANh com pa

PQ AC hay n m

1

MN AC hay AC 2m

Cịc bỰn sau giời ệóng thạ cê kừ 66: Phan Vẽn Tội, 6B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;NguyÔn Quèc Huy, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Dđểng Lẹm Anh, 8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong; Vò Quang Phong, 8A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;Vò Ngảc Quang Huy, 9D, THCS Sển Tẹy, TX Sển Tẹy, Hộ Néi

Lª Thanh Tó

Trắng trước chiếu hết sau nước

LÊ THANH TÚ

16 ềm trêi ẹm u suèt tõ sịng Cộng vÒ chiỊu, bẵu trêi cộng ờm ệỰm Mắi hển rđìi mộ cụ nhđ ệở tèi “Hõm! RĐt mđắt thạ nộy, cã lỳ mừnh nến vỊ sắm mét chót!” - thịm tỏ Sếlềccềc nghỵ thẵm răi quyạt ệỡnh khãa cỏa vẽn phưng ậóng lóc ệã, chuềng nãi luền vắi thịm tỏ vÒ mèi nghi ngê cựa mừnh ệèi vắi ệụa chịu tến lộ Giền Nghe ềng Ben trừnh bộy, thịm tỏ cịng nghiếng vỊ hđắng nghi ngê nộy Răi, khềng quờn giị rĐt, thịm tỏ véi tắi nhộ Giền ậi hạt hĨm nhá sẹu hun hót, cuèi cỉng thịm tỏ còng tắi nểi Trêi u ịm, hai bến ngâ lỰi toộn nhộ cao tẵng nến tõ ngoội nhừn vộo, ngềi nhộ cựa Giền rÊt tèi Thịm tỏ bÊm chuềng Giền mẻ cỏa mêi thịm tỏ vộo nhộ Sau vội lêi chộo hái, thịm tỏ bớt ệẵu cẹu chuyỷn: - Anh Giền, ta vộo viỷc luền nhĐ! Lóc gẵn giê, tục lộ cịch ệẹy chõng 40 phót, ềng Ben bịo cho tềi lộ kĐt sớt nhộ ềng Êy võa bỡ phị khoờng nỏa tiạng trđắc ệã Nhđ vẺy lộ cã thÓ kĨ

gian tay lúc Anh kể cho tơi nghe anh làm khoảng thời gian từ lúc đến bây giờ?

- Thða th¸m tư, rÐt nên nhà Ngài hỏi vợ mà xem Cô xem TV phòng bªn

Giền ệđa thịm tỏ sang Trong ịnh sịng mê mê cựa bãng ệÌn trang trÝ trến tđêng, thịm tỏ thÊy vĩ Giền ệang chẽm chó xem TV Cề ta chử gẺt ệẵu chộo thịm tỏ răi lỰi tẺp trung vộo mộn hừnh em vội ệiÒu

BÊy giê vĩ Giền mắi quay Cẽn phưng quị tèi - Anh cã thĨ bẺt ệÌn lến cho sịng ệđĩc khềng? - Mong ngội thềng cờm, ệÌn bỡ háng ba hềm răi mộ tềi lđêi quị, chđa ệi mua bãng mắi ệđĩc Hềm thÊy trêi tèi quị, ệỡnh thay nhđng lỰi ngỰi rĐt, thạ lộ

Thịm tỏ cđêi răi quay sang hái vĩ Giền: - Cề cã biạt tõ lóc giê chiỊu ệạn giê, cề ệở lộm gừ, ẻ ệẹu?

TỰ LAØM

17 - DỰ thđa, chóng tềi chử ẻ nhộ thềi Ự Mét ngộy ẹm u nhđ hềm thừ chỬng cã hụng thó ệđêng

- Thế hai vợ chồng làm khoảng thời gian đó?

- Thða, tơi chuẩn bị vài ăn nhẹ để hai vợ chồng ăn vặt Rét nhanh đói mà - Cịn chồng thỡ sao?

- Anh may quần áo - Sao cơ? Giôn biết cắt may à?

- Vâng Đó sở thích anh mà Lúc rảnh rỗi, anh Giôn tự cắt may quần áo cho hai vợ chồng Cái bàn bên cửa sổ bàn cắt may

Nh×n theo tay vợ Giôn chỉ, thám tử thấy cạnh cửa sổ có bàn, bàn có máy khâu nho nhỏ vải

Vợ Giôn nói thêm:

- Lúc anh vừa may xong cho tơi áo khốc Khi ngài bấm chng, anh thùa khuyết

Nghe đến đây, thám tử nghiêm mặt nói:

- Anh Giơn ạ, tốt anh thú thật chuyện Càng sớm tốt, đừng để đến lúc bác anh phải báo cảnh sát

* Hai vĩ Giền ngể ngịc, khềng hiÓu tỰi thịm tỏ ệở phịt hiỷn ệđĩc sù gian dèi? Cịc bỰn hởy giời thÝch giỉm!

Lêi khai gian dèi cựa anh chộng Brad ệở bỡ tÊt cờ cịc thịm tỏ Tuữi Hăng phịt hiỷn: Ngao khềng hÒ sinh sèng ẻ sềng suèi, vẺy thừ lộm cã chuyỷn mua ệẳc sờn ngao ẻ suèi ậị Trớng ệđĩc Nhê hiÓu biạt thùc tạ cuéc sèng mộ kừ nộy tÊt cờ cịc bỰn ệÒu lộm ệóng Anh chộng Brad ệở gian dèi lỰi cưn thiạu kiạn thục thùc tạ nến ệở tù lộm lé mừnh Phẵn thđẻng kừ nộy ệđĩc gỏi tắi: Trẵn Hời Nam,

6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;ậinh Vẽn Hiạu, 6E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Ngun NhẺt Nam, 6A1, THCS Cẵu GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;Hoộng ậớc Huy Hoộng, 6C, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; Trẵn Ngảc Hđng, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Th, H Tnh

Thám tử Sêlôccôc

19 Fractions

In a fraction , n is the numerator and d is the denominator The denominator of a fraction can never be 0, because division by is not defined Two fractions are said to be equivalent if they represent the same number For example, and

are equivalent since they both represent the number In each case, the fraction is reduced to lowest terms by dividing both the numerator and the denominator by their greatest common divisor (GCD) The GCD of and 18 is and GCD of and 27 is

Addition and subtraction of fractions

Two fractions with the same denominator can be added or subtracted by performing the required operation with the numerators, leaving the denominators the same For example,

and

If two fractions not have the same denominator, express them as equivalent fractions with the same denominator For example, to add and , multiply the numerator and denominator of the first fraction by and the numerator and denominator of the second fraction by 5, obtaining and ,

respectively;

For the new denominator, choosing the least common multiple (LCM) of the denominators usually lessens the work For , the LCM of and is (not 18), so

Bạn hÃy dịch đoạn Sau từ vựng bạn cần

4 Maths terms

fraction ph©n sè

numerator tư sè

denominator mÉu sè

not defined không định nghĩa, nghĩa

equivalent tđểng ệđểng

case trđêng hĩp

reduced to ệđĩc rót gản

lowest terms dỰng tèi giờn greatest common divisor đắc chung lắn nhÊt least common multiple béi chung nhá nhÊt

addition céng

subtraction trõ

multiply nh©n

operation phÐp tÝnh, phÐp toán Tạp chí chờ dịch bạn gửi tặng suất quà cho bạn dịch tốt nhÊt

2 2 6 6

3

21 25 46 35 35 35

25 35 21

35

5

5 5

7 7

3 4

5 5

2

27

4 18 n

d

ARITHMETIC

Vị Kim Thđy

20

Đường cong

Kappa

Phđểng trừnh hỷ tảa ệé Descartes vuềng gãc:

y2(x2 y2) a2x2. Phđểng trừnh hỷ tảa ệé cùc:

r acot

Cịc ệđêng cong Kappa còng ệđĩc gải lộ ệđêng cong cựa Gutschoven Nã lẵn ệẵu tiến ệđĩc nghiến cụu bẻi G van Gutschoven (1629 - 1695) khoờng nẽm 1662

Cịc ệđêng cong nộy còng ệđĩc cịc nhộ toịn hảc Newton, Johann Bernoulli vộ Sluze nghiến cụu

Trong hừnh vỳ OC a, d lộ mét ệđêng thỬng qua C song vắi Ox Vắi mẫi ệiÓm D trến d, ta lÊy ệiÓm P thuéc tia OD cho OP CD. ậđêng cong Kappa ệđĩc ệỡnh nghỵa lộ tẺp hĩp cc iểm P thỏa mn OP CD.

Hoàng Nguyên Linh

Sè nguyến lộ mét sè nộo ệã thuéc tẺp hĩp { , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Nạu x vộ y lộ hai sè nguyến vộ x 0, thừ x lộ sè chia (hay đắc sè) cựa y vắi ệiÒu kiỷn tăn tỰi sè nguyến n tháa mởn y xn Trong trđêng hĩp nộy y chia hạt cho x hay y lộ mét béi sè cựa x VÝ dô, lộ đắc cựa 18 vừ 18 6.3 Nạu x vộ y lộ cịc sè nguyến dđểng, thừ tăn tỰi nhÊt hai sè nguyến q vộ r gải lộ thđểng vộ sè dđ tđểng ụng cho y xq r vộ r x VÝ dô, 18 chia cho 5, ệđĩc thđểng lộ vộ cưn dđ vừ 18 5.3

Chó ý rỪng y chia hạt cho x nạu vộ chử nạu r bỪng VÝ dô, 16 cã sè dđ lộ chia cho bẻi vừ 16 chia hạt cho Ngoội ra, chó ý rỪng chia mét sè nguyến nhá hển cho mét sè nguyến lắn hển thừ ệđĩc thđểng lộ vộ sè dđ lộ sè nguyến nhá hển VÝ dô, chia cho thừ ệđĩc thđểng lộ vộ sè dđ lộ vừ 5.0

Cã rÊt nhiÒu bỰn gỏi bội dỡch vÒ Tưa soỰn vộ ệÒu dỡch tđểng ệèi chÝnh xịc, cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy vừ cã bội dỡch sắm nhÊt vộ sịt nhÊt: NguyÔn Thỡ Ngảc nh, 6E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; TỰ Thỡ Thu Hoộn, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc; Ngun Thỡ Minh Thu, 7A1, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Vò Ngảc nh, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; PhỰm ậục Dịng, 7C, THPT chuyến Hộ Néi -Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;ậinh Thỡ HuyÒn Trang, 7A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Ngun Hun Phđểng, 7C, THCS Lế Họu LẺp, HẺu Léc, Thanh Hãa; ậđêng Minh Quẹn, 6C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An; ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh

21 NhẺn xĐt Bội toịn nộy hểi lỰ Trong cịc vâ sỵ nhẺn lêi thịch ệÊu, chử cã vâ sỵ NguyÔn Minh Hiạu, 9D, THCS Vỵnh Yến, TP Vỵnh Yến, Vỵnh Phóccã lêi giời tèt nhÊt Vâ sỵ Hiạu lộ ngđêi ệẽng quang trẺn ệÊu nộy Lêi giời cựa vâ sỵ Hiạu vÒ cẽn bờn gièng lêi giời dđắi ệẹy

Ta xét hai bổ đề sau

Bữ ệÒ Nạu ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ABC tiạp xóc vắi BC tỰi D thừ

(Bạn đọc tự chứng minh)

Bữ ệÒ Nạu MP, NQ theo thụ tù lộ tiạp tuyạn chung ngoội, tiạp tuyạn chung cựa cịc ệđêng trưn (O1), (O2) (M, N thuéc (O1) vộ P, Q thuéc (O2)) thừ MN, PQ, O1O2ệăng quy

Bạn đọc chứng minh dựa vào hình vẽ, với S MP NQ, T MN O1O2, T’ PQ O1O2, H MN O1S, K PQ O2S chứng minh T’ T dựa vào định lí Talét để có

Suy T’ T hay MN, PQ, O1O2 đồng quy Trở lại giải toán thách đấu.Gọi D hình chiếu I BC Theo bổ đề 1, ta có

VËy DZ MX (1)

Theo bổ để S thuộc I1I2

Vì r1 r2và I1X BC, I2Z BC nên XI1I2Z hình chữ nhật Do I1I2 // XZ

Mà MI2// XY nên MXSI2 hình bình hành Do XM SI2 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy SI2 DZ

Kết hợp với XI1I2Z hình chữ nhật, suy SD BC KÕt hỵp víi ID BC, suy IS BC

ngun minh hµ CA CB AB

DZ CD CZ

2

CA CM AM MB MA AB MX

2

1 1

2 2

T’O KS HO TO .

T’O KO SO TO

BA BC AC CA CB AB

BD , CD

2

Ngđêi thịch ệÊu: Trẵn Quang Hỉng, GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Khoa hảc Tù nhiến Hộ Néi

Bội toịn thịch ệÊu: Trong hừnh vỳ, cịc ệđêng trưn tẹm O, I, J ệỊu tiạp xóc vắi cịc cỰnh cựa hừnh chọ nhẺt ABCD vộ tiạp xóc vắi ệđêng thỬng CE Biạt hai ệđêng trưn tẹm I, J cã cỉng bịn kÝnh, tÝnh

XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn: Trđắc ngộy 08.2.2014 theo dÊu bđu ệiỷn

AB AD

22

BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM

với biến số số tự nhiên

ậộo Huy Trđêng

(GV THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc) rong đề thi học sinh giỏi lớp thi

vộo lắp 10 THPT chuyến, bội toịn chụng minh bÊt ệỬng thục (BậT) hay cùc trỡ thđêng lộ bội toịn khã ậÓ giời bội toịn nộy, ta thđêng hay sỏ dơng BậT AM - GM

B§T AM - GM

Với số thực không âm x1, x2, , xn ta có Ngoài việc sử dụng BĐT AM - GM với biến số số thực không âm, ta gặp toán với biến số số tự nhiên Bài viết giúp bạn củng cố thêm kiến thức BĐT AM - GM với biến số tự nhiên

Bài toán 1.Cho x, y z số tự nhiên thỏa mÃn x y z 2010 Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức P xyz

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số thực khơng âm, ta có

Đẳng thức xảy x y z 670 VËy Pmax 6703khi x y z 670

Bài toán Cho x, y z sè tù nhiªn tháa m·n x y z 2008

Tìm giá trị lớn P xyz

Nhn xét.Ta áp dụng BĐT AM - GM nhð tốn x y z khơng phải số tự nhiên

Cẹu hái ệẳt ra.Phời chẽng, ta khềng thĨ ịp dơng ệđĩc BậT AM - GM cho sè thùc khềng ẹm vộo bội toịn nộy? Nạu ịp dông ệđĩc BậT AM - GM thừ ịp dơng nhđ thạ nộo? ậĨ trờ lêi cẹu hái nộy mêi cịc bỰn theo dâi cịch lộm sau:

Bằng suy luận ta thấy P đạt GTLN biến dồn gần (bằng nhau

1 đơn vị) Ta có lời giải sau

Lời giải Do vai trị bình đẳng x, y z, ta giả sử x y z

Vì x, y, z x y z 2008 nên không xảy khả x y z

Do ú Suy

(do áp dụng BĐT AM - GM với số thực không âm)

(do áp dụng BĐT AM - GM với số thực không âm)

Đẳng thức xảy chØ

VẺy Pmax 670.6692, ệỰt ệđĩc vộ chử (x; y; z) (670; 669; 669) vộ cịc hon v

Bài toán Cho x, y z số tự nhiên thỏa mÃn x y z 2009 Tìm giá trị lớn biểu thức P xyz

NhẺn xĐt.BỪng suy luẺn tđểng tù bội toịn ta cã cịch giời cho bội toịn nộy nhđ sau

x 670

669x 2008 x x 670

670 y z 669.

y z

x y z 2008 3

2 670 1 2008 x

669 670

670 1 2008 670 670.669

669 670

3 670 669x 2008 x 2008 x.

669 670 2

670 669x . 2008 x 669 670

2

y z 2008 x

P xyz x x

2

2008

x 670

3

2008 , 3

3 x y z

P xyz 670

3

1 n n n x x x x x x

23 Lời giải Do vai trò bình đẳng x, y z, ta giả sử x y z

V× x, y, z x y z 2009 nên

Suy

Đẳng thức xảy x y 670 vµ z 669

VẺy Pmax 669.6702, ệỰt ệđĩc vộ chử (x; y ; z) (670; 670; 669) vộ cịc hoịn vỡ

NhẺn xĐt BỪng cịch tđểng tù, cịc bỰn hởy giời bội toịn sau

Bội toịn 4.Cho trđắc sè nguyến dđểng n Giờ sỏ x, y vộ z lộ nhọng sè tù nhiến thay ệữi tháa mởn x y z n Từm giị trỡ lắn nhÊt cựa biÓu thục P xyz

3 3

2 669 2009 z 2009 z 670z.

670 2 669

669 2009 z 670z

670 669

669 2009 z

670 669

669 2009 669 669.670

670 669

2

x y 2009 z

P xyz z z

2

2009

z 669

3

Câu 1.(1,5 điểm)Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn điều kiện (a b c)2 a2 b2 c2 Chứng minh

Cẹu 2.(2 ệiÓm)Giời phđểng trừnh Cẹu 3.(1,5 ệiÓm) Giời hỷ phđểng trừnh

Cẹu 4.(1,5 ệiÓm)Cho x, y lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn x y Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục

Cẹu 5.(2,5 ệiÓm)Cho tam giịc ABC vuềng tỰi B Trến tia AB lÊy ệiÓm D cho AD 3AB ậđêng thỬng qua D vuềng gãc vắi CD cớt ệđêng thỬng qua A vuềng gãc vắi AC tỰi E Chụng minh EBD lộ tam giịc cẹn

Cẹu 6.(1 ệiÓm)BỰn Nam cẵn thiạt kạ mét logo nhđ hừnh vỳ Hái bỰn Nam cã thÓ thiạt kạ ệđĩc logo nộy tõ mét miạng bừa hừnh vuềng cã cỰnh bỪng 40 cm ệđĩc hay khềng? Biạt rỪng cịc hừnh vuềng nhá cã cỰnh bỪng 16 cm

2 2 4x y

P

xy x xy y

x xy y 17 y yz z 23 z zx x 11

2

1 2.

x

x (x 1)

2 2

2a 2b c

a 2bc b 2ca c 2ab

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỐN LỚP 9

QUẬN GÒ VẤP, TP HỒ CHÍ MINH

24

INTERNATIONAL

MATHEMATICAL OLYMPIAD

Outline of Solutions

13

Since

we have A 60o As a result we have

and BOC 60o 120o

Hence B, H, I, O, C are concyclic Let D be a point on AC such that ABD is equilateral Then we have HIO 180o HBO 60o C DBC Applying cosine law in BCD (with BD and DC 7), we have

and so

14 Let [PQR] denote the area of PQR and [ABE] x Then

and

This yields and similarly

Using Menelaus’ Theorem, we have or

This gives

Similarly, implies or

This gives

Using the relation [ABH] [AHE] [BHE] [ABE], we have This simplifies to the quadratic equation x2 2x 14 0, which has a unique positive solution 15

4x 3x

2 x

x x

BH 3x

BHE BGE

BG x

BH x

HG

BH x 4 1

HG x x BH GA EF

HG AE FB

AH 4x

AHE AFE

AF x

AH x

HF

AH FB EG 1, i.e AH x 1

HF BE GA HF x x

GE 3x

BGE ABE

AE x

FE 4x

AFE ABE

BE x

ABE

AG AF x

GE FC CBE

ABE

BF BG x

FE GD ADE

2

23

sin HIO sin DBC

26 26

2 2

8 13 23

cos DBC

2(8)(13) 26

o o o

o

o o

BHC 180 60 120 , 60

BIC 90 120 ,

2

2 2

8 15 13

cosA ,

2(8)(15)

ThS.Phïng Kim Dung

(Tữ trđẻng tữ toịn trđêng THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam) Sđu tẵm vộ giắi thiỷu

25 Remark.The condition that CD is tangent to the circumcircle of ABE is not needed In fact it can be shown that subject to the remaining given conditions such tangency must hold

15

Extend CA to D so that AD AI Join IB, IC and ID Then we have BC AC AI AC AD CD It follows that IBC and IDC are congruent and so BAC IAC ADI IBC ABC Let BAC x

The and

It follows that which gives x 96.5o

16

Let and d be the length of PQ Then we have

Since MN 1, we have

Similarly, and this

gives

It follows that

To find the maximum value of d, we rewrite the above as a quadratic equation in r, namely, 12dr2 (17d 7)r 5d Since r is a real number, the discriminant must be non-negative, i.e (17d 7)2 4(12d)(5d) Bearing in mind that d 1, solving the inequality gives

and it is easy to check that such maximum is indeed attainable (by choosing the corresponding value of r which determines the position of C) 17.Since 50688 29 99, we must have m n

2k 99 where k is one of 0, 2, 4, 6, Forgetting about m n for the moment, there are 2k 99 choices of m for each k, as m can range from to 2k 99 This leads to a total of (20 22 24

26 28) 99 33764 pairs of (m, n) Among these, pairs violate the condition m n, as m n is possible only when k is 2, 4, or Hence the answer is 33764 33760

Kì sau đăng tiếp 17 15 d

7

1

d PQ

r 12r

NP

r AMC

MP AM CM r

NP BNC AN CN

5

NQ

12r BMC

MQ BM CM 12r

NQ BNC BN CN

CM r CN

o o

x x

x 13 180 ,

2

o x ACB 13

2 x

26 Bµi 19NS.Ta cã 27000001 3003

(300 1)(3002 300 1)

301(3002 2.300 900) 301(3012 302) 301(301 30)(301 30) 301.271.331

7.43.271.331

Do ệã sè 27000001 cã (1 1)(1 1)(1 1)(1 1) 16 đắc lộ: 1, 7, 43, 271, 331, 7.43, 7.271, 7.331, 43.271, 43.331, 271.331, 7.43.271, 43.271.331, 7.43 331, 43.271.331, 7.43.271.331

Tững cịc đắc tù nhiến cựa 27000001 lộ 31787008 NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến: ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Vâ NguyÔn ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ trÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnh;NguyÔn Thỡ Thờo Vy, 8A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Ngh An

Bài 20NS.ĐKXĐ x

Đặt ĐK: a, b

Ta có a2 b2

Phđểng trừnh biạn ệữi thộnh

(a3 1)(b 1)2 2(a 1)2(a 1)

Tõ ệã a b nến phđểng trừnh cã nghiỷm x NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến: NguyÔn Thỡ Dung, 9E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Vâ Ngun ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ trÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnh

Bµi 21NS Ta có

Mà AB CD nên MB MD

Nhn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến: Vâ NguyÔn ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ trÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnh; Hoộng Thu Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX Tõ Sển, Bớc Ninh; Trẵn Thỡ Tđêng Vy, 9B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Lế Thuẵn Phđểng Uyến, 8A, THCS Phan Huy Chó, ThỰch Hộ, Hộ Tỵnh

Chử cã bỰn Vâ NguyÔn ậan Phđểng, 8A3, THCS Thỡ trÊn Phỉ Mủ, Phỉ Mủ, Bừnh ậỡnhệđĩc khen kừ nộy

Ngun Ngäc H©n

BM FM DM BA FA DC a x 1, b x

Bội 25NS.Từm cịc nghiỷm nguyến cựa phđểng trừnh 4x4 8x3 36x2 3y2 6x2y2 4x 19

trỡnh phong quang (GV THCS Quờng LỰc, Nho Quan, Ninh Bừnh) Bội 26NS.Cho x, y lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn x y Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biĨu thục

ngun vẽn dđểng (GV THCS Giao Thiỷn, Giao Thựy, Nam ậỡnh) Bội 27NS.Cho hai ệđêng trưn (O) vộ (O’) cớt ẻ A vộ B ậđêng thỬng qua A cớt ệđêng trưn (O) tỰi C vộ cớt ệđêng trưn (O’) tỰi D (C vộ D khịc A) Gải M, N lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa cung BC, BD khềng chụa A Chụng minh rỪng MK vung góc vi KN

Trần bá linh(SV lớp Marketing 1, K34, Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh)

2

A

3xy y

27

Vui cười

- Này, hôm nọ em xem trộm nhật kí của chị phải không?

- À Mà chị biết?

- Thì chị đọc nhật kí em, thấy em viết

- Em đầu ngõ mua hộ chị cân xồi Mẹ dặn chị tí phải mang xồi đến nhà bà ngoại.

- Mua loại chị?

- Loại chọn quả nhỏ Quả to nặng lắm, chị không xách được.

?!?

- Có cách để răng khơng bị sâu không chị nhỉ?

- Đánh sau ăn trước khi ngủ.

- Thế ngày em phải đánh răng đến chục lần mất!

NGUYỄN VŨ CƯƠNG

- Lạ thật! Tại sao Trái Đất lại hình cầu chị nhỉ?

- Chắc để dễ làm địa cầu mà.

- Có cách để khơng bị theo vết xe đổ người khác không chị?

- Quá đơn giản! Đừng đi xe đạp xong.

28

hịng 12 võa răi tỰp chÝ Toịn hảc vộ Tuữi trĨ kử niỷm 50 nẽm Nẽm nay Toịn Tuữi thể kử niỷm 15 nẽm sè ệẵu tiến Dỡp nộy lộ lóc thÝch hĩp kÓ vắi cịc bỰn chuyỷn lộm bịo ngộy xđa Gải lộ thêi xđa thừ còng chđa xa lớm Nhđng ệã lộ lóc nhiỊu bỰn nhá ệảc bịo bẹy giê chđa ệêi cể Thạ thừ còng ệịng gải lộ “ngộy xỏa, ngộy xđa” răi. Bẹy giê thừ ngđêi ngđêi lộm bịo, nhộ nhộ lộm bịo Nộo bịo giÊy, bịo hừnh, bịo mỰng Bội viạt nộy chử nãi vÒ bịo giÊy theo nghỵa ban ệẵu cựa tõ bịo mộ thềi.

Sau số ngày đắn đo, ngày 23.4.1991 tôi tới 70 Trần Hðng Đạo, Hà Nội nhận làm biên tập cho tờ Tốn học Tuổi trẻ Nơi là Phịng Tạp chí trực thuộc Viện Khoa học Việt Nam Có 10 tờ tạp chí làm việc 2 phịng rộng chừng 50 m2 Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ lúc có bàn làm

Ngề ậỰt Tụ lóc ệã 55 tuữi lộ Phã Tững biến tẺp lộ thự trđẻng mắi cựa tềi vộ tềi lộ nhẹn viến, biến tẺp viến, phãng viến nhÊt cựa trong nghÒ bịo: mẽng sĐt lộ phẵn cè ệỡnh ẻ ệẵu tê bịo gải lộ tến cựa bịo, vi nhĐtlộ cịc hừnh vỳ lẳp ệi lẳp lỰi ẻ cịc sè ệĨ thĨ hiỷn tõng chuyến mơc, xi nhế lộ lộ néi dung thÓ hiỷn cịc thềng tin cể bờn ệÓ ngđêi quờn lÝ vộ ệéc giờ hiĨu vỊ tê bịo, fi lế lộ mét nĐt kĨ thỬng, tia lộ sè lđĩng phịt hộnh mẫi kừ, tÝt lộ tến cựa bội, bềng lộ bờn in thỏ ệÓ biến tẺp viến sỏa lẫi, can lộ bờn ệđa nhộ in ệÓ tõ ệã bừnh bờn tục lộ sớp xạp cho chửnh cịc chọ, tÝt bội, hừnh vỳ Sau ệã phểi bờntục tỰo bờn kim loỰi (kỳm) ệÓ cã thÓ in hộng vỰn bờn gièng nhau Nhđng tềi lỰi hểi ệi quị thêi gian vÒ sau răi Lóc ệã bịo Toịn hảc vộ Tuữi trĨ (THTT) vÉn cưn in bỪng cịch sớp chọ chừ Viỷc nộy sỳ nãi sau Tềi ệđĩc hđắng dÉn cịch biến tẺp, cớt dịn bờn thờo Cịc cềng thục toịn kÓ cờ cịc chọ ệụng mét mừnh ệÒu ệđĩc gỰch chẹn nĐt ệĨ hiĨu lộ italic(in nghiếng). Cịc tiĨu mơc ệđĩc gỰch chẹn nĐt ệÓ hiÓu lộbold(in ệẺm) KÝ hiỷu chử cịi viỷc xãa bá. Sau biến tẺp vộ gỰch chẹn xong bờn thờo ệđĩc chuyÓn ệi ệịnh mịy Sau ệã lỰi ệảc lỰi bờn thờo mắi theo bờn gèc viạt tay, tõng dưng, tõng chọ Tiạp ệã lộ lộm maket tục lộ xạp ệẳt bội vẻ, hừnh vỳ vộo cịc vỡ trÝ cựa tõng trang Biến tẺp viến phời ệạm sè chọ ệÓ hừnh

THỜI XƯA

THỜI XƯA

làm báo nào?

làm báo nào?

29

dung bội, hừnh chiạm nhọng chẫ nộo mẫi trang Bội dội quị sè chọ phời cớt bắt Mét cuèn sữ giÊy trớng nhá 16 trang ệđĩc gÊp ệÓ maket ệđĩc thÓ hiỷn trến ệã Thụ tù in mộu xanh (hoẳc ệá) cựa cịc trang ệđĩc thÓ hiỷn nhđ sau:

1 4, 8, 12, 13 16 2, 6, 10, 11 14, 15 Tức trang in màu đỏ trang trên dịng kẻ sơ đồ màu đỏ (trang 16 trang cuối màu đỏ) Nếu trang in màu xanh trang 3, 6, , 15 đều màu xanh.

Maket cỉng bờn ệịnh mịy ệđĩc ệđa ệạn nhộ in Cềng nhẹn sỳ nhẳt tõng chọ bỪng chừ xạp thộnh bờn ệđa lến khuền in Trđắc ệã phời ệđa hừnh vỳ cho ngđêi chuyến khớc gẫ, khớc hừnh Hừnh ệđĩc khớc ệã còng ệđĩc bã thộnh mét khèi vỡ trÝ ệở quy ệỡnh vộ cè ệỡnh bỪng dẹy cho khái xế lỷch Thạ nến nạu cịc bỰn xem tê bịo cò ngộy xđa thÊy cã nhọng khoờng giÊy ệĨ trớng lộ bẻi lóc ệạm chọ ệở khềng sịt nến ghĐp chọ vộo cưn thõa giÊy Hăi ệã mịy vi tÝnh mắi bớt ệẵu thẹm nhẺp vộo nghÒ in, xuÊt bờn Viỷc thay ệữi co chọ, giởn trang, giởn dưng trẻ nến dÔ dộng. Viỷc xãa mét sè chọ cỉng ệển giờn Ngđêi lộm biến tẺp khềng phời lo cớt, dịn, ghĐp lỰi tõng mờnh giÊy nhđ xđa nọa BỰn còng Ýt thÊy cịc bịo cưn yếu cẵu bờn thờo phời viạt trến giÊy mét mẳt Cịc thuẺt ngọ: chạ bờn, cẽn trịi, cẽn phời, mẳc ệỡnh, ệêi cỉng mịy vi tÝnh lộm ệữi mắi cềng viỷc cựa nghÒ biến tẺp, in, phịt hộnh vộ lộm phong phó Tiạng Viỷt Tõ nhuẺn bót mét bội bịo hộo, 5 hộo ệạn 500 000 ệ, 000 000 ệ cho nhọng bội viạt hay ệở lộ bđắc tiạn dội cựa nhẺn thục vÒ vai trư cựa bịo chÝ Nẽm 1992 THTT chun vỊ NXB Giịo dơc Tềi cịng ngỰc

nhiến lộ mừnh ệở lộm biến tẺp, sỏa bềng, bãc phong bừ, chia bội giời cựa hảc sinh, lến danh sịch giời bội, ệđa bội cho céng tịc viến chÊm, ệđa bội ệịnh mịy, ệạn nhộ in, lÊy lỰi bội, trờ nhuẺn bót, gỏi bịo biạu, tữ chục hảp, thanh toịn hảp, chử thỡ mộu in, ệẳt khớc hừnh, lộm cềng vẽn phịt hộnh, ệi cềng tịc tÊt tẵn tẺt cịc viỷc nhđ thạ mộ chử cã ngđêi suèt tõ 1991 ệạn 1997 vộ sè lđĩng phịt hộnh mẫi thịng tõ 1500 bờn ệÈy lến tắi 20 100 bờn. Răi lẵn lđĩt nẽm 1997 TS Lế Thèng NhÊt, NguyÔn Thỡ Oanh, 1998 Vị Anh Thđ, TS Ngun Viỷt Hời vỊ thếm Bé mịy tỰp chÝ Toịn hảc vộ Tuữi trĨ dẵn tẽng lến ệạn 6, cã lóc lộ ngđêi Sè lđĩng phịt hộnh ệỰt ệạn cùc ệiÓm lộ 32 000 bờn mét kừ vộo nẽm 2003. Ngộy lộm bịo thẺt nhộn vắi vộn cềng nghỷ mắi KÓ chuyỷn ngđêi xđa lộm bịo ệÓ bỰn ệảc nhá tuữi hiÓu vÒ nghÒ bịo, giời ệịp ệđĩc nhọng thớc mớc từnh cê cã tay tê bịo giÊy ệen nhđ mộu mùc in ệđĩc in bỪng cềng nghỷ ti pề xa.

Câu hỏi kì này:

1.Bn cú bit số Toán Tuổi thơ dành cho tiểu học đời ngày nào?

30 Cẹy bộng, cẹy phđĩng bao nẽm táa bãng xuèng sẹn trđêng

Sẹn trđêng lộ nểi vui ệỉa giê chểi, bao lắp hảc trư cđêi nãi, ệÓ cẹy bộng, cẹy phđĩng thếm vui Răi cã ngộy mừnh xa trđêng, xa mờnh sẹn cỉng cẹy bộng, cẹy phđĩng vắi bao kử niỷm thuẻ hảc trư Mờnh sẹn Êy cã cưn vđểng nớng ngộy nhẺp hảc, cã cưn ệảng mđa trến nhọng vưm lị ngộy chia tay Mừnh cụ hái mộ biạt nhọng ệiÒu Êy, tõ lẹu ệở theo bỰn theo bÌ ệi khớp phđểng trêi ệĨ nhọng cẹu trờ lêi cụ ngẹn mởi cỉng thêi gian

Cã lóc nộo mừnh quay lỰi ngềi trđêng cị vắi mờnh sẹn Êy khềng nhử? Biạt ệẹu bãng thẵy, bãng bỰn, bãng mừnh vÉn cưn lung linh trến mẫi vđềng cá, trn mi hng cy

Để gặp lại mà thấy gần hoài niệm, bùi ti häc trß

Để thấy u mảnh sân ngày hị reo xả láng khơng nghĩ đến lúc lại trầm lắng, ðu tð nhớ

Nạu chđa vỊ ệđĩc thừ cịng gải lến mét cẹu: NHắ LớM- cho bắt vớng vĨ, quỰnh hiu, nhđ lóc nộy

SÂN TRƯỜNG

BẠN CÓ BIẾT?

10 HOẠT ĐỘNG CHÍNH NĂM 2014 CỦA TỐN TUỔI TH

Nguyễn Đức Quang

(Phó Tổng biên tập báo Thiếu niên Tiền phong)

1 Tổ chức thành công Olympic Toán Tuổi thơ toàn quốc Đắk Lắk với 34 tỉnh thành tham gia Kỉ niệm 10 năm Olympic Toán Tuổi thơ Phối hợp với Công ty Cổ phần đầu t phát triển Giáo dục Đà Nẵng tổ chức Hội thảo Toán Tuổi thơ miÒn Trung

3 Phèi hĩp vắi Vẽn phưng Héi ệăng Qc gia Giịo dơc vộ Phịt triĨn nhẹn lùc, Vô Giịo dôc Trung hảc, NXB Kim ậăng, tẺp ệoộn TH True Milk, cềng ty Thịi Hộ Books, cềng ty cữ phẵn VPP Hăng Hộ, Phưng GD&ậT quẺn Ba ậừnh vộ trđêng THCS MỰc ậỵnh Chi, THCS NguyÔn Cềng Trụ tữ chục LÔ phịt ệéng hảc sinh ệảc sịch - bịo, nẹng cao nẽng lùc tù hảc

4 Đến với Sở Giáo dục Đào tạo Sơn La, Điện Biên để hiểu thêm nhu cầu độc gi

vùng Tây Bắc

5 Hp mt Hi đồng biên tập, cộng tác viên dịp ngày Báo chí Việt Nam 21.6

6 Hợp tác với Smart Ebook, Trung tâm toán POMath, VTV live để đða nội dung TTT lên điện thoại di động, VTV

7 ậẳt ệỰi diỷn chÝnh thục tỰi TP Hă ChÝ Minh Tham gia lộm cềng tịc tõ thiỷn tỰi phđêng Khđểng Trung, Q Thanh Xuẹn, Hộ Néi, chđểng trừnh “Tiạp bđắc cho em ệạn trđêng” vộ ựng Trờng Sa

9 Hỗ trợ thi Olympic cấp tỉnh Hà Tĩnh, Đà Nẵng, Đắk Lắk, Thái B×nh

31

Hái: Anh Phã ểi! Nạu em viạt cẹu hái gỏi “Rubic hái ệịp” vộo cỉng tê giÊy thừ cã c khng ?

Nguyễn Đăng Mạnh

(9D, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh)

Đáp:

Em viạt cờ 10 cẹu Cỉng gỏi cho anh Phã Thừ cịng lộ ệđĩc ệã Riếng gỏi cho mơc khịc Phời viạt riếng nhắ chđa GiÊy chử viạt mét mẳt Nhắ ệiỊn tến tõng tê.

Hái: Em mn gưi thơ phải ghi gửi cho chuyên mục anh?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Rằng thơ gửi mục thơ Toán gửi toán chờ chi đây

Rubic Hỏi Đáp hay

Gửi cho anh Phó đăng tức thì Thơ đâu gửi gấp

Hỏi:Khi lộm bội em cã ệđĩc viạt tớt khềng Ự?

Đặng Quang Dũng

(6A, THCS Vnh Tờng, Vnh Tờng, Vnh Phúc)

Đáp:

Em ừng nn vit tt Trõ nhọng tõ quị quen TÊt cờ ệỊu hiĨu ệđĩc Thi cộng nến viạt râ Trõ tõ dỉng nhiÒu lẵn Thừ cịng cẵn chó thÝch Lẵn viạt tớt ệẵu tiến VÝ dơ Tửnh Vỵnh Phóc Mẻ ngoẳc: (TVP).

Hái:Anh Phã ểi! Giờ sỏ mét bỰn chĐp bội cựa em răi gỏi vÒ tưa soỰn dù thi vộ nạu bội ệã ệđĩc ệẽng thừ tến tịc sỳ lộ tến em hay tn bn ý?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Em cho bạn khác xem Làm tòa báo biết Chỉ viết Cứ đăng lên Em nhớ giữ quyền Bài m×nh, m×nh m×nh biÕt.

32

Bội 1(143).Cho n lộ mét sè nguyến dđểng tháa mởn n vộ 2n ệăng thêi lộ hai sè chÝnh phđểng (Sè chÝnh phđểng lộ bừnh phđểng cựa mét sè nguyến) Chụng minh rỪng n chia hạt cho 24

Lđu lý tđẻng (GV THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả) Bội 2(143).Từm cịc bé sè nguyến tè tháa mởn tÝch cựa cịc sè ệã bỪng 10 lẵn tững cựa chóng

trẵn bị linh (SV Marketing 1, K34, ậỰi hảc Kinh tạ TP Hă ChÝ Minh) Bội 3(143).Giời phđểng trừnh

Thịi nhẺt phđĩng (GV THCS NguyÔn Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa) Bội 4(143).Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục

nguyÔn ệục trđêng (GV THCS ậa Tèn, Gia Lẹm, Hộ Néi) Bội 5(143) Hởy mề tờ mét cịch râ rộng ệă thỡ sau

vò kim thựy Bội 6(143).Cho tam giịc ABC vuềng cẹn tỰi A, néi tiạp ệđêng trưn tẹm O M lộ ệiÓm thay ệữi trến cung nhá AB Vỳ AD MC (D MC) Xịc ệỡnh vỡ trÝ cựa M ệÓ tững MB MD ệỰt giị trỡ nhá nhÊt, lắn nhÊt nguyÔn ệục tÊn (TP Hă ChÝ Minh)

2 2 2

P 2x 3xy 4y 2y 3yz 4z 2z 3zx 4x

xy yz zx

2

x x x x

1(143).Letnbe a positive integer such that n and 2n are both perfect squares (A perfect square is the square of an integer) Prove that nis divisible by 24

2(143).Find all sets of prime numbers such that the product of the numbers in the set equals ten times their sum

3(143).Solve the following equation

4(143).Letx,y, and zbe positive real numbers such that Find the minimum value of the expression

5(143).Describe the following graph clearly

6(143) Given an isosceles right triangle ABC with the right angle at A, and its circumcircle centered at O.Mis a point moving on the minor arc AB Let Dbe a point on MCsuch that AD MC Determine the positions of the point Msuch that the sum MB MDis at its minimum and maximum values

2 2 2

2 4

P x xy y y yz z z zx x

1

xy yz zx

2 2 2.

x x x x