Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 182

The line going through point A and C is parallel to the x-axis (point C is on the right of point A) and the point C’s x-coordinate is twice that of point A’s. The x-coordinate of poi[r]

ột số tốn hình học lớp có sử dụng kiến thức đ−ờng trung bình tam giác Các em học sinh giỏi lớp phải chứng minh bổ đề tr−ớc sử dụng Bài viết trình bày kiến thức về đ−ờng trung bình tam giác số bài toán vận dụng

Định nghĩa. Đ−ờng trung bình tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác đó.

Bổ đề Đ−ờng trung bình tam giác song song nửa cạnh thứ ba tam giác

Chøng minh XÐt tam gi¸c ABC cã M, N thứ tự trung điểm AB, AC Ta sÏ chøng minh MN // BC vµ MN=BC

2

C¸ch VÏ MN’ // BC (N’ thuéc AC), vÏ N’D // AB (D thuéc BC)

Ta cã ΔBDN’ =ΔN’MB (g.c.g)

Suy DN’ = MB = MA BD = N’M (1) Từ có ΔAMN’ =ΔN’DC (g.c.g) Suy MN’ = DC N’A = N’C (2) Do N’ trùng với N, từ MN // BC

Tõ (1) vµ (2) suy BD = MN = DC hay =BC

MN

2

Cách Trên tia đối tia NM lấy điểm D cho ND = NM

Ta có ΔCND =ΔANM (c.g.c) Suy CD = AM = BM NCDn=A.l Do AB // CD

Ta lại có ΔBMC =ΔDCM (c.g.c) Suy BC = DM MCBn =NMC n Do MN // BC MN=BC

2

Cách Kẻ AH, BI, CK vng góc với MN (H, I, K thuộc MN)

DƠ dµng chøng minh ΔBIM =ΔAHM; ΔAHN = ΔCKN

Suy BI = AH = CK IM = HM; HN = KN Do MN=BC

2 Từ ΔBIK =ΔKCB Suy BKIn=KBC IK n = BC

Do MN // BC

C¸ch Gäi H, D, E thứ tự hình chiếu vuông góc A, M, N BC

M

đờng trung bình

của tam giác

Thái nhật phợng

Gäi M, N thø tù lµ trung điểm cạnh huyền tam giác vuông AHB, AHC th× MH = MA = MB; NH = NA = NC

Suy MN đ−ờng trung trực AH, từ MN ⊥ AH

Mà BC ⊥ AH Do MN // BC

C¸c tam gi¸c c©n BMH, CNH cã MD ⊥ BH; NE ⊥ HC nªn DB = DH; EH = EC

Suy DE=BC

Mặt khác ΔDMN =ΔNED (g.c.g) Do MN=ED=BC

2

Bài toán Cho tam giác nhọn ABC có đ−ờng trung tuyến AM, đ−ờng cao BH Qua A kẻ đ−ờng thẳng vng góc với AM cắt BH D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = AD Chứng minh CE ⊥ AB Lời giải

Trên tia đối tia AB lấy điểm F cho AF = AB Theo Bổ đề AM đ−ờng trung bình ΔBCF nên AM // CF, mà EA ⊥ AM nên EA ⊥ CF (1)

Ta cã ΔAEF =ΔADB (c.g.c) Suy AEFn=ADB n

Do EF // BD, mà CA ⊥ BD nên CA ⊥ EF (2)

Tõ (1) vµ (2) suy A lµ trực tâm tam giác CEF

Vậy FA CE hay CE ⊥ AB

Bài toán Cho tam giác ABC vuông A Vẽ tam giác ABD (C D nằm khác phía AB) Gọi H hình chiếu C BD, M trung điểm BC Hãy so sánh CH DM

Lêi gi¶i

Gọi K trung điểm BH, kết hợp với M trung điểm BC, theo Bổ đề, ta có MK đ−ờng trung bình ΔBHC, MK // CH MK=CH (1)

2

Mµ CH ⊥ DH nªn MK ⊥ DH

Vì ΔABC vng A có MB = MC nên MA = MB Do ΔMAD =ΔMBD (c.c.c)

Suy ADMn=BDM n

V× MKD vuông K có KDMn=30 nên o =DM

MK (2)

Tõ (1) vµ (2) suy CH = DM Bµi tËp vËn dơng

Bài Cho ABC (AB < AC) Trên cạnh AB, AC thứ tự lấy điểm D, E cho BD = CE Gäi M, N thø tù lµ trung ®iĨm cđa DE, BC Chøng minh r»ng MN song song với tia phân giác góc BAC

Bài Cho ABC có BC = 2AB Lấy điểm D c¹nh BC cho BD= AB

2 Chøng minh r»ng AC = 2AD

ài toán chứng minh đ−ờng thẳng hay đ−ờng tròn qua điểm cố định dạng tốn hay khó th−ờng xuất đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9, thi vào lớp 10 tr−ờng THPT Bài viết giúp bạn nắm rõ hơn ph−ơng pháp giải dạng toán

Ph−ơng pháp dự đoán điểm cố định Để giải dạng toán ta cần dự đoán đ−ợc điểm cố định mà đ−ờng thẳng đ−ờng trịn đang xét ln qua Muốn dự đoán đ−ợc điểm cố định ta cần vẽ hai vị trí đ−ờng thẳng đ−ờng trịn Sau chúng ta xét số toán minh họa

Bài toán Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đ−ờng tròn (O) Gọi M (khác A, C) điểm cung BC (có chứa A) đ−ờng tròn (O) Các tia BA, CM cắt D, tia MA, CB cắt E Gọi N giao điểm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác CDE đ−ờng tròn (O) (N khác C) Gọi K trung điểm DE Chứng minh đ−ờng thẳng NK qua điểm cố định M di động cung BC có chứa A

H−ớng dẫn Ta vẽ hai vị trí điểm M nhận thấy NK qua điểm cố định A. Lời giải Xét M thuộc cung AC (xét t−ơng tự M thuộc cung AB)

Gäi T giao điểm NA DE Ta có

n=n

TAD BAN (đối đỉnh); TDNn =NCE ( BAN).n =n

Suy TADn=TDN n

Do ΔTAD ΔTDN (g.g) Suy TA = TD⇒TA.TN=TD

TD TN

Mặt khác TAEn =MAN (đối đỉnh); n

n=n

TEN MAN (cïng bï víi DCN) n Suy TAEn =TEN.n

Do ΔTAE ΔTEN (g.g) Suy TA = TE⇒TA.TN=TE

TE TN Ta cã TD2=

TA.TN = TE2

Suy TD = TE, từ T K trùng Do N, K, A thẳng hàng

Vậy đ−ờng thẳng NK qua điểm A cố định

Bài toán Cho tam giác ABC (Al<90 )o cân A nội tiếp đ−ờng tròn (O; R) Gọi M (khác B) điểm cung AB không chứa điểm C Vẽ BD vng góc với MC D Vẽ CE vng góc với MB E Gọi K giao điểm BD CE Chứng minh đ−ờng phân giác góc CKD ln qua điểm cố định điểm M di động cung AB không chứa điểm C

H−ớng dẫn Ta vẽ hai vị trí M dự đốn đ−ờng phân giác góc CKD ln qua một điểm cố định H trực tâm tam giác ABC. Lời giải

B

chứng minh đ−ờng thẳng, đ−ờng trịn ln qua điểm cố định

Nguyễn Đức Tấn

Gọi H trực tâm tam giác ABC Vẽ đờng kính BN đờng tròn (O)

Dễ thấy MK // AH // NC, MN // CK AN // CH nên tứ giác MNCK, ANCH hình bình hành

Suy MK = NC = AH

Do tứ giác MAHK hình bình hành Suy AMKn+MKH 180 n= o

Mà DMK MKDn n+ =90o nên AMC DKH 90 n n+ = o Ta có nAMC BAH+n=nABC BAH+n =90 o Do n n

n

= =BAC

DKH BAH

2 Mà DKCn=BMCn =BAC n Từ ta có n

n

=DKC

DKH

2

Suy KH tia phân giác góc CKD Vậy đ−ờng phân giác góc CKD ln qua điểm cố định H

Bài toán Cho hai đ−ờng tròn (O) (O’) cắt A B Đ−ờng thẳng d qua A cắt đ−ờng tròn (O) (O’) thứ tự C D (A nằm C D) Chứng minh đ−ờng trung trực đoạn thẳng CD qua điểm cố định đ−ờng thẳng d di động nh−ng ln qua A

H−íng dÉn VÏ thªm đờng thẳng d vuông góc với AB A, d cắt đờng tròn (O) (O) thứ tự C D Các đờng trung trực của CD CD cắt K Ta dự ®o¸n

n o

=

ABK 90 Từ ta phát đ−ợc điểm cố định trung điểm K MN với AM AN thứ tự đ−ờng kính đ−ờng trịn (O) (O’). Lời giải

VÏ ®−êng kính AM đờng tròn (O) đờng kính AN đờng tròn (O)

Ta cú M, N c định ACMn=90 ; ADNo n =90o nên CM // DN

Ta có tứ giác CDNM hình thang vu«ng

Gọi I, K thứ tự trung điểm CD, MN Khi IK đ−ờng trung bình hình thang CDNM K cố định

Vì IK // CM // DN MC ⊥ CD nên IK ⊥ CD Do IK đ−ờng trung trực CD

Vậy đ−ờng trung trực CD qua điểm cố định K trung điểm MN

Bài toán Cho đoạn thẳng BC cố định Lấy điểm A cho tam giác ABC nhọn AB ≠ AC Đ−ờng trịn (O) đ−ờng kính BC cắt cạnh AB, AC thứ tự D, E Gọi M giao điểm tia phân giác góc BAC DOE Đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác BDM cắt cạnh BC N Chứng minh đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác EMN ln qua điểm cố định điểm A di động cho ΔABC nhọn

H−íng dÉn VÏ hai vÞ trí A ta dự đoán đờng tròn ngoại tiếp tam giác EMN qua điểm C.

Lời giải

Trên cạnh AB lấy điểm K cho AK = AE Ta cã ΔAKM =ΔAEM (c.g.c)

Suy MK = ME, AKMn=AEM n Ta l¹i cã ΔOMD =ΔOME (c.g.c) Suy MD = ME

Do MK = ME = MD

Suy tam giác MDK cân M Do MKDn=MDA n

Suy MDAn+AEMn =MKDn+nAKM 180 = o Từ suy tứ giác EMDA nội tiếp

Do MNC MECn+n=MDB MDAn +n=180 o Vậy đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác EMN qua điểm cố định C

BC M, đ−ờng thẳng qua M song song với AC cắt AB N Chứng minh đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác TAN qua điểm cố định khác A điểm T di động tia đối tia AC

H−ớng dẫn Vẽ thêm điểm T’ tia đối của tia AC (T’ khác T), tiếp tục vẽ điểm M’, N’, ta thấy đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác TAN T’A’N’ cắt A O (O tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Lời giải

Gọi O tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC O cố định

Tõ AB = AC vµ OB = OA = OC suy

n n n n

OBA=OAB=OAC=OCA

Mặt khác OBN OBAn+n=180o =OACn+OAT.n Do OBNn=OAT n

Ta có NMBn=ACB (vì MN // AC), n NBMn=ABC n (đối đỉnh) ABCn=ACB nên n NMBn=NBM.n Do ΔNBM cân N, từ NB = NM Vì tứ giác MTAN hình bình hành nên TA = NM = NB

XÐt ΔOBN vµ ΔOAT cã OB = OA, OBNn=OAT; n NB = TA

Suy ΔOBN =ΔOAT (c.g.c) Do ONAn=OTA.n

Suy tø gi¸c TAON néi tiÕp

Vậy đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác TAN ln qua điểm O cố định khác A

Bµi toán Cho tam giác ABC đờng thẳng d không song song không cắt cạnh tam giác Đờng tròn (O) qua B C, cắt đờng thẳng d D E Chứng

minh đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác ADE ln qua điểm cố định đ−ờng tròn (O) di động ln qua B C

H−íng dÉn Vẽ thêm đờng tròn (O) qua B, C (O khác O) cắt đờng thẳng d D, E Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE Đờng tròn cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE N, ta dự đoán N thuộc MA (M giao điểm BC d).

Lêi gi¶i

Gọi M giao điểm BC d, ta có M cố định

XÐt ΔMCE vµ ΔMDB cã n

CME chung; MCEn=MDB n Do ΔMCE ΔMDB (g.g)

Suy MC=ME⇒ME.MD=MB.MC

MD MB (1)

Gọi N giao điểm MA đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Chøng minh t−¬ng tù: ME.MD = MN.MA (2) Tõ (1) vµ (2) suy MN.MA = MC.MB Suy MN=MC.MB

MA khơng đổi Do điểm N cố định

Vậy đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác ADE ln qua điểm cố định N khác A

Bµi tËp vËn dơng

Bài Cho đ−ờng trịn (O) Vẽ hai đ−ờng kính AB, CD Tiếp tuyến đ−ờng tròn B cắt AC M MD cắt đ−ờng tròn (O) E (E khác D) AE cắt BC N Chứng minh đ−ờng thẳng MN qua điểm cố định hai đ−ờng kính AB, CD thay đổi

sè nµo nhØ? (TTT2 sè 179)

Quy luật Bài Số nửa hình tròn hai lần tổng số nửa dới hình trßn céng víi

Theo quy luật đó,

? = 2[ + 11 + (−7)] + = 29 Bài Dãy số cho dãy

13 − 1; 13 + 1; 23 − 2; 23 + 2; 33 − 3; 33 + 3; 43 − 4;

VËy sè cßn thiÕu lµ 43 + = 68

Nhận xét Quy luật hai kì t−ơng đối khó nên có bạn có đáp án Xin trao th−ởng cho bạn: Nguyễn Công Hải, Hạ Hiền L−ơng, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Đặng Huyền Trang, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Ngh An

NGUYễN XUÂN BìNH

Trần Phơng Mai, 7B, THCS Hồ Xuân Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An; Lê Anh Quân, 6D, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Công Hải, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phó Thä; Ngun H÷u Tn Nam, 9A1, THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Quang Chiến, 9A, THCS Quang Sơn, TP Tam Điệp, Ninh Bình; Nguyễn Sĩ Huy, Vũ Hải Sơn, THCS Kiến Quốc, Kiến Thụy, Hải Phòng; Trần Ngọc Sơn, 8B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Huỳnh Nguyên Phúc, 9A1, THCS Mỹ Lộc, Phú Mỹ, Bình Định

bạn điền số no? Bài HÃy điền số thích hợp vào chỗ trống cho hợp lôgic

10; 15; 23; 31; 41; Bài Điền số thích hợp vào chỗ (?) cho hợp lôgic

Nguyễn Tú ấn(TP Hå ChÝ Minh)

Mỗi đội có 60 phút để trả lời 10 câu hỏi Các câu 1, 3, 5, 7, cần ghi đáp số Các câu 2, 4, 6, 8, 10 cần ghi lời giải 1 Cho =

+

x x

9

f(x)

9 TÝnh

1 2015 2016

f f f f

2017 2017 2017 2017

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 Trong tam giác ABC, điểm M nằm A vµ B cho AM : MB = : Các điểm N P nằm C vµ M cho CN : NM = : 2, CP : PM = : C¸c đoạn thẳng AN BC cắt điểm Q Các đoạn thẳng PQ AC cắt điểm L T×m tØ sè CL : LA

3 T×m sè nguyªn lín nhÊt p cho 142017+ 22017

chia hÕt cho 2p

4 Trong h×nh ngũ giác ABCDE, điểm M, P, N Q tơng ứng trung điểm AB, BC, CD DE Lấy điểm K L tơng

ứng trung điểm QP MN, nh− hình vẽ bên d−ới Nếu KL = 25 cm, tìm độ dài EA tính theo đơn vị cm

5 Cho x y số nguyên dơng thỏa m·n < x < y < 2018 Cã cặp số (x, y) thỏa mÃn x2+

20182= y2+

20172 ? đề thi toán học trẻ quốc tế

philipPines (Itmo) 2017

Đề thi đồng đội

ThS phïng kim dung

(GV THPT Hà Nội - Amsterdam, Q Cầu Giấy, Hà Néi) ThS Cai ViÖt Long

6 Cho điểm A, B, C, D E nằm đờng tròn Dây AC đờng kính đờng tròn, nh hình vẽ dới Nếu ABE n =

n=n

EBD DBC , BE = 16 cm BD = 12 cm , tìm diƯn tÝch cđa ngị gi¸c ABCDE

7 Một l−ới vng kích cỡ 10 ì 10 đ−ợc cắt làm 33 hình chữ nhật kích cỡ ì ì hình vng đơn vị kích cỡ ì Có vị trí khác vng đơn vị kích cỡ ì 1, khơng xét khả l−ới vng kích cỡ 10 ì 10 xoay đối xứng trục

8 Chứng minh bất đẳng thức:

π × + × + + × <1002

99 101 98 102 199

9 Một máy tính chọn ngẫu nhiên điểm khác hình d−ới (tất điểm đ−ợc chọn nh− nhau) Cho p

q xác xuất chọn đ−ợc tam giác với điểm cho (p, q∈`, q≠0) (phân số p

q đợc viết dới dạng phân số tối giản) (xác suất tỉ số số cách chọn đợc ba điểm tạo thành tam giác tổng số tất cách chọn điểm bất kì) Tìm tổng p vµ q

đề thi tìm kiếm ti nng

toán học trẻ việt nam 2017 lớp (myts)

phạm văn thuận

(Trung tâm Toán Khoa học Hexagon) 1 Đồ thị hàm số y = |x| cắt đờng thẳng

y = 10 hai điểm (a, b) (c, d) Tính giá trÞ cđa a + b + c + d

2 TØ lƯ chiỊu dµi, chiỊu réng vµ chiỊu cao bể chứa nớc hình hộp chữ nhật : : Tổng diện tích sáu mặt bể 112 m2 Tính thể tích bể

3 Cho tam giác ABC Phân giác góc ABC ACB cắt t¹i D

BiÕt r»ng ∠BDC = 114o , tính CAB

4 Xét cặp số nguyên dơng (a, b) tháa m·n ®iỊu kiƯn ab

ba = 72 Hỏi a + b nhận giá trị lớn bao nhiªu?

5 Hình d−ới vẽ truyền động gồm ba bánh Giả sử bánh A có 16 răng, bánh B có 22 răng, bánh C có 10 Bánh A quay với vận tốc 60 vòng phút Hỏi bánh C quay vịng phút?

6 Trong hình d−ới, ABC tam giác cân đỉnh A, với AB = AC = cm Điểm D nằm

tia BC cho AD = cm Biết BC = cm, tính độ dài BD

7 XÐt cỈp sè thùc x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn =

x y

3 vµ xy

2 = 600 Tính giá trị biểu thức |10x 3y|

8 Hạnh cân nhắc mua hai điện thoại từ hai nhà cung cấp viễn thông Hãng thứ bán điện thoại giá 120$ thu phí tháng 30$ cho thời gian gọi định mức mà bạn Hạnh đăng kí Hãng thứ hai bán điện thoại loại giá 40$ nh−ng thu phí 40$ tháng cho định mức gọi mà Hạnh đăng kí Hỏi sau tháng tổng chi phí mà Hạnh phải trả hai công ty nhau?

9 Tìm số tự nhiên N nhỏ có bảy chữ số mà hai chữ số nµo gièng nhau, biÕt r»ng N chia hÕt cho tổng chữ số chia hết cho

11 XÐt ba sè thực x, y, z thỏa mÃn điều kiện x = =y z

2 vµ − = z

x y

12 T×m giá trị lớn biểu thức yz x

12 Cho k l hai đ−ờng thẳng song song Lấy điểm phân biệt đ−ờng thẳng k điểm đ−ờng thẳng l Hỏi vẽ đ−ợc tất tam giác mà tam giác có ba đỉnh ba s 16 im ny?

13 Tìm hai chữ số tËn cïng cña sè A = (1 + + + + 2016 + 2017)2

14 Trong hình dới, ABC tam giác vuông A Lấy hai điểm D, E cạnh AC cho ∠ACB = ∠CBE = ∠ABD = 19o

BiÕt r»ng =

AE m ,

CD n m, n hai số nguyên tố Tính 3m + 5n

15 Tìm số tự nhiên N nhỏ có ba chữ số, chia hết cho 77 tất chữ số N số lẻ

16 Trong hình bên, ABCDEF hình lục giác (có sáu cạnh nhau, sáu góc nhau) Điểm G nằm cạnh AF cho GF=2AF

3 BiÕt diện tích hình lục giác 120 cm2

, tính diện tích phần tô đậm

17 Cú chín thẻ, thẻ ghi chữ số từ đến Hỏi có cách chn

bảy thẻ cho tổng số ghi thẻ chia hết cho 3?

18 Sỏu ng−ời soạn văn bản, làm việc ngày giờ, hoàn thiện thảo sách 16 ngày Hỏi ng−ời làm cơng việc hết ngày hoàn thành, biết ng−ời làm việc ngày suất họ nh− nhau? 19 Hỏi 100 số tự nhiên liên tiếp có nhiều số ngun tố?

20 TÝnh tỉng sè ®o cđa chÝn gãc h×nh vÏ: ∠A + ∠B + ∠C + + ∠H + ∠I

21 Hình lập ph−ơng có đỉnh 12 cạnh Bạn Dũng viết lên tám đỉnh hình lập ph−ơng số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, cho có nhiều cạnh mà tổng hai số hai đầu mút cạnh số lẻ Hỏi có cạnh nh− cách viết bạn Dng?

22 Có cặp số nguyên dơng (x, y) cho 1 ?

x + =y 2020

23 Tìm số nguyên d−ơng N nhỏ nhất, chia hết cho 99 tất chữ số N chẵn

ơm đó, thám tử Sêlơccơc chuẩn bị quê chơi nhận đ−ợc điện thoại ông Minh - bạn thân từ thuở nhỏ Ông Minh nhờ thám tử tới nhà ng−ời bạn ông ngoại ô Thám tử đành gác chuyến quê để

Một lúc sau, ông Minh đến đón thám tử hai ng−ời vội vã lờn ng

Trên đờng đi, ông Minh kể sơ qua cho th¸m tư:

- Bà Mai bạn tơi sống đứa con, cậu trai riêng chồng, cịn gái chung Cách lâu, ơng chồng tai nạn giao thơng Bà dần ngi ngoai sau nỗi đau nhiên lại bị trộm, hình nh− kỉ vật quý ngày tr−ớc ông chồng tặng bà Ti quỏ!

Thám tử Sêlôccôc gật đầu vẻ thông cảm: - Tôi cố gắng tìm kẻ khả nghi cách nhanh Nếu ông biết chuyện xảy nh

thế kể cho đi!

Thế ông Minh kể cho thám tử tất ông biết xung quanh vụ trộm Thám tử chăm nghe với vẻ suy nghĩ tập trung

Tới nơi, thám tử nhanh chóng trò chuyện riêng với bà Mai ít phút sau, ông bắt đầu hỏi

chuyn tt c nhng ngi có mặt nhà vào khoảng thời gian bà Mai bị trộm Những ng−ời bà giúp việc tên Hoa, ng−ời cháu họ tên Hùng cậu Bình - riêng ng−ời chồng cố

Th¸m tử hỏi lần lợt ngời, bà Hoa:

- Bà làm gì, đâu vào lúc bà chủ bị trộm?

- Lúc mua vài thứ lặt vặt hiệu tạp hóa đầu làng Ơng gặp chủ hiệu để kiểm tra

TiÕp theo lµ cËu Hïng:

- Th−a thám tử, cháu mê mải xem phim khoa học nghe tiếng bà Mai kêu lên hốt hoảng Cháu vội chạy đến phòng bà - Thế à? Cậu đứa cháu ngoan Mà cậu xem phim thế?

- Phim lồi koala Lần cháu đ−ợc thấy cảnh koala lọt lòng, nằm cạnh mẹ, chăm ti mẹ Nhìn đáng yêu làm sao! Cháu −ớc lần đ−ợc đến châu Phi để tận mắt ngắm nhìn lồi vật dễ th−ơng

Cuèi cïng cậu Bình:

- Lỳc ú chỏu ang v−ờn Cháu trồng luống rau nên hay nhổ cỏ, t−ới tắm Bà Hoa biết rõ việc cháu v−ờn lúc bác

- Cháu trồng rau thế? - Su hào, cải bắp, cải cúc

- Toàn loại rau bác thích Hôm bác tới, cháu nấu cho bác ăn với nhé!

- Vâng ạ! Cháu mong bác tới!

Hỏi xong ba ngời, thám tử gặp riêng ông Minh:

- Tụi bt đầu nghi ngờ ng−ời Ông nên bảo bà Mai khéo léo nói chuyện với ng−ời Nếu ng−ời khơng thành khẩn ta nhờ cảnh sát

Ơng Minh nghĩ mà ch−a đốn đ−ợc thám tử Sêlôccôc nghi ngờ ai? Các thám tử Tuổi Hồng giúp ơng đ−ợc khơng?

(TTT2 sè 179)

Mãn quμ cña th¸m tư

Khá nhiều bạn tham gia giải câu đố thám tử Sêlôccôc nh−ng tiếc, ch−a bạn giải Các bạn ch−a ý đến chi tiết “Cơ bé ra ngồi phịng khách thấy t−ờng treo một tranh vẽ nhiều loài hoa: hoa huệ, hoa quỳnh, hoa sen, hoa h−ơng Rồi nhớ điều đó, Hà lật giở lại sách” (Tức sách lồi hoa mà bé say s−a đọc) Nh− số loài hoa tranh “gợi ý” cho Hà sau bé đọc sách để tra cứu thêm lồi hoa Rồi bé kết luận: câu đố thám tử nói HOA SEN

Các thám tử Tuổi Hồng l−u ý nhé: cần đọc thật kĩ, suy nghĩ, phán đoán từ nhiều góc độ, lật lật lại vấn đề “phá án” đ−ợc Phần th−ởng kì đ−ợc để dành cho kì sau!

Th¸m tư Sêlôccôc

1.Êxg5+ fxg5 2.Ôh5#

Các bạn đợc thởng kì này: Nguyễn Thành Nam, 8B, Trờng THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Nguyễn Thu Hiền, 8A3, THCS Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình; Nguyễn Văn Bửu, 7/2, THCS Nguyễn Du, Điện Phơng, Điện Bàn, Quảng Nam; Trần Đức Anh, 6/1, THCS Lê Văn Thiêm, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Trần Phơng Mai, 7B, THCS Hồ Xuân Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An

ài viết nêu vài ví dụ việc xác định vị trí có liên quan tới Tốn học để thấy Tốn học ln đồng hành sống th−ờng ngày

1 Trong Tốn học, để xác định vị trí điểm mặt phẳng tọa độ ta dùng cặp gồm số hoành độ tung độ Ví dụ: tọa độ A(−1; 1), B(2; 4) Từ việc xác định tọa độ điểm, ta vẽ đ−ợc đồ thị hàm số qua im ú, v biu

2 Để tìm chỗ ngồi vào rạp, ngời xem phim nhìn số ghế vé Ví dụ vé có ghi Số ghế: H1 có nghĩa chỗ ngồi cđa ng−êi cã vÐ nµy lµ ghÕ ë d·y H vµ thø tù d·y lµ sè

3 Quan sát bàn cờ vua vua đen cột a hàng 7, vua trắng vị trí a5, t−ợng trắng vị trí a8, tốt trắng vị trớ c7 Nh xỏc nh c

vị trí quân cờ mà kì thủ ghi lại bớc ván cờ

4 Mi địa điểm đồ địa lí đ−ợc xác định cặp gồm số kinh độ vĩ độ, đ−ợc gọi tọa độ địa lí

Chẳng hạn: Tọa độ địa lí mũi Cà Mau 104o40’ Đ, 8o30’ B có nghĩa mũi Cà Mau kinh độ 104o

40’ phía Đông kinh tuyến gốc (đi qua đài thiên văn Greenwich n−ớc Anh) vĩ độ 8o

30’ phía Bắc vĩ tuyến gốc (xích đạo)

Từ cách xác định vị trí điểm mà tàu gặp nạn phát tín hiệu SOS tọa độ nơi gặp nạn để tàu cứu hộ đến vị trí cứu hộ kịp thi

(Kì sau đăng tiếp) B

Xác định vị trí điểm

Th¸i Nhật Phợng

chào 2018! (TTT2 số 179)

Xét phơng trình

+ − = −

x x 82 x 2017 (1) §KX§: x ≥ 82

Ta cã

⇔ + − + − − + − =

− −

⇔ + + − =

+ + − +

(1) ( x 45) (44 x 82) 2018 x x 2018 2018 x

2018 x x 45 x 82 44

⎛ ⎞

⇔ − ⎜ − + =⎟

− + + +

⎝ ⎠

1

(2018 x) (2)

x 82 44 x 45 V× x ≥ 82 th× >

+ +

x 45 > − + x 82 44 > nªn

− +

x 82 44 + − + +

x 45 > Do (2) xảy 2018 − x = 0, x = 2018

Thử lại

Vậy ph−ơng trình cho có nghiệm

Nhận xét Cách khác. Từ x ≥ 82 x + > x − 82, đặt y = x − 2017 y > (1) trở thành y+2024 − y 1935 + = y Bình ph−ơng hai vế ph−ơng trình biến đổi tiếp dẫn đến ph−ơng trình bậc bốn mà tổng hệ số 0, ph−ơng trình có nghiệm y = Từ đ−a ph−ơng trình tích có nhân tử y − nhân tử bậc ba Do ta có y = ph−ơng trình bậc ba vơ nghiệm Tuy nhiên cách giải dài phức tạp

Các bạn sau có lời giải đúng, đ−ợc th−ởng kì này: Nguyễn Thị Diệu Linh, 8I, Vũ Huyền Trang, 8H, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Vũ Minh Khải, Nguyễn Công Hải, Đào Nhân Độ, Nguyễn Công Hùng, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Quang Chiến, 9A, THCS Quang Sơn, TP Tam Điệp, Ninh Bỡnh

Anh Compa có khối lập phơng? Bài toán Có 343 khối lập phơng ì ì1 đen trắng xếp chồng lên tạo thành khối lập phơng lớn ì ì cho mặt khối lập phơng tiếp giáp với mặt khác màu khối lập phơng khác Hỏi số khối lập phơng đen bao nhiêu?

Bài 1(179) Cho dÃy số tù nhiªn sau: 1; 2; 3; ; 2018 Hái dÃy số có số không chia hÕt cho Ýt nhÊt mét c¸c sè 5, 8?

Lời giải Gọi S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7 lần lợt số hạng chia hÕt cho 5; 7; 8; 35; 40; 56 vµ 280

Ta cã

S1 = (2015 − 5) : + = 403 S2 = (2016 − 7) : + = 288 S3 = (2016 − 8) : + = 252 S4 = (1995 − 35) : 35 + = 57 S5 = (2000 − 40) : 40 + = 50 S6 = (2016 − 56) : 56 + = 36 S7 = (1960 − 280) : 280 + =

Số số tự nhiên không chia hết cho Ýt nhÊt mét c¸c sè 5; 7; lµ

2018 − (403 + 288 + 252 − 57 − 50 − 36 + 7)

= 1211

Nhận xét Đây toán tìm số số hạng có điều kiện chia hết quen thuộc, bạn có lời giải xác ngắn gọn: Nguyễn Duy Khôi Nguyên, 6H, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Lê Anh Quân, 6D, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Trần Quang Đạt, 7A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä

Phïng Kim dung

Bài 2(179) Cho tam giác ABC với lA=105 ;o = o

B 45 §−êng trung tuyến BM tam giác ABC cắt tia phân giác ACBn I Tính BAI.n

Lời giải

Vì Al=105 ; o B=45 nên o ACBn=30 o Kẻ đờng cao AH ABC

Ta có AHB vuông cân H MA = MC = MH

Vì HACn=60 nên o ΔAHM Do HB = HA = HM = CM Suy

n n o n n o

MHC=MCH=30 ; HBM=HMB=15 Mà ICBn=15 nên IB o = IC

Xét ΔIBH vµ ΔICM cã

IB = IC; BH = MC; IBH ICM 15 n= n= o Suy ΔIBH =ΔICM (c.g.c)

Do IH = IM

Từ ΔAIH =ΔAIM (c.c.c) Suy IAH IAMn =n =30 o Do BAIn=45o +30o =75 o

Thanh Lam, 7A, THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn Ch©u, NghƯ An

Hå Quang vinh

Bài 3(179) Giải hệ phơng trình

+ + =

⎪ ⎨

+ + + = +

⎪⎩3

x y z 2017

(x 3)(y 3)(z 3) xyz

Lời giải Điều kiÖn: x, y, z≥0

áp dụng bất đẳng thc AM-GM cho ba s

không âm, ta cã

+ + +

= + + + + + + +

≥ + + + = +3 (x 3)(y 3)(z 3)

27 9(x y z) 3(xy yz zx) xyz 27 27 xyz (xyz) xyz (3 xyz) Suy 3(x+3 y)( +3 z)( +3) +3 3xyz Đẳng thức xảy x = y = z Nh phơng trình thứ hai hệ tơng đơng với x = y = z

Thay vào phơng trình thứ nhất, ta đợc

= = 2017

3 x 2017 x

9

Vậy hệ phơng trình có nghiệm

= = = 2017

x y z

9

Nhận xét Bản chất toán chứng minh với x, y, z ≥ ta có bất đẳng thức

( + )( + )( + )≥ +3 x 3 y 3 z 3 3 xyz Đẳng thức xảy x = y = z Hầu hết bạn gửi giải theo cách Các bạn sau có giải tốt: Nguyễn Hữu Tuấn Nam, Vũ Tiến Hải, 9A1, THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Quang Chiến, 9A, THCS Quang Sơn, TP Tam Điệp, Ninh Bình; Trần Phơng Mai, 7B, THCS Hồ Xuân Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An; Nguyễn Cao Hùng, Nguyễn Công Hải, Đào Nhân Độ, Đặng Thái Tuấn, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;

Vũ Hải Sơn, Nguyễn Sỹ Huy, 9A, THCS Kiến Quốc, Kiến Thụy, Hải Phòng

nguyễn anh dũng

Bài 4(179) Cho số thực d−¬ng a, b, c tháa m·n abc = Chøng minh r»ng

− + − + − ≥

+ + +

a b c

0

b c a

Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với

− + + − + + − + ≥

2 2

(a 1)(c 1) (b 1)(a 1) (c 1)(b 1)

⇔ + + + + + ≥ + + +

2 2 2

(a b c ) (a c b a c b)

3 (a b c) (1)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

+ + + + + ≥ + +

2 2

a b c 2a 2b 2c Mµ a+ + ≥b c abc3 =3

Suy a2+b2+c2 ≥ + +a b c (2)

+ + ≥ =

2 2 2

a c b a c b a c.b a.c b (3) Từ (2), (3) suy (1) Suy đpcm Đẳng thức xảy a = b = c =

Nhận xét Đây toán không khó, có nhiều bạn tham gia giải Các bạn sau có lời giải tốt: Nguyễn Thị Quỳnh Chi, 8A1, THCS Yên Phong; Nguyễn Hữu Tuấn Nam, 9A1, THCS Thị Trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Phùng Đăng Dơng, 7C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Nguyễn Công Hải, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Ngọc Sơn, Phạm Huỳnh; 8B, Nguyễn An Na, 9A THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Hồng Khánh Lâm, 8E, THCS Đặng Thai Mai; Lê Văn Mạnh, 8B THCS Lý Nhật Quang; Lê Hồng Nghĩa, 9B, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Huỳnh Nguyên Phúc, 9A1, THCS Mỹ Lộc, Phú Mỹ, Bình Định; Nguyễn Hữu Quyền, 9C, THCS Nhữ Bá Sỹ, Bút Sơn, Thanh Hóa

Bài 5(179) Cho miếng giấy hình vng kích th−ớc m ì n vng Ng−ời ta nối đỉnh ô vuông đơn vị đoạn thẳng không cắt để chia miếng giấy thành tam giác đơn Tam giác đơn tam giác không chứa đỉnh ô vuông đơn vị khác (ba đỉnh nó) bên cạnh Hãy tính số tam giác đơn thu đ−ợc

Lời giải Số đỉnh đỉnh ô vuông đơn vị mạng l−ới (m 1)(n 1) đỉnh, + + số đỉnh bên hỡnh ch nht

ì

m n ô vuông lµ (m 1)(n 1) − −

Suy số đỉnh biên khơng kể góc hình chữ nhật

+ + − − − − = + −

(m 1)(n 1) (m 1)(n 1) 2(m n 2) Vậy tổng góc đỉnh ô vuông đơn vị miếng giấy

o o

o o

(m 1)(n 1) 360 2(m n 2) 180 90 m.n.360

− − × + + − × + × =

XÐt mét c¸ch chia miÕng giÊy kÝch th−íc

×

m n vng thành tam giác đơn cách Kí hiệu số tam giác đơn thu đ−ợc x

Tổng góc x tam giác đơn o

x.180

Mặt khác, ta thấy tổng góc tam giác tổng góc đỉnh vng đơn vị miếng giấy Suy x.180o =m.n.360 ,o từ x =2mn Vậy số tam giác đơn thu đ−ợc 2mn

Nhận xét Đây tốn tổ hợp với nội dung bảng vng Trong lời giải có sử dụng yếu tố bất biến tổng góc hình tam giác đơn thu đ−ợc sau phép chia Từ lời giải ta rút đ−ợc nhận xét số tam giác đơn thu đ−ợc chia miếng giấy theo yêu cầu đề không phụ thuộc vào cách vẽ đoạn thẳng

Một số bạn gửi lời giải đ−a đ−ợc đáp số nh−ng hiểu sai cách xác định đoạn thẳng nối đỉnh ô vuông đơn vị

trịnh hoài dơng

Bi 6(179) Cho tam giỏc ABC với AB < AC, M trung điểm BC Gọi H hình chiếu B AM Lấy điểm Q tia đối tia AM cho AQ = 4MH Gọi D giao điểm AC BQ Chứng minh tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ADQ nằm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác DBC Lời giải Gọi I tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ADQ; N, K theo thứ tự hình chiếu I, C AM

Ta có ΔMBH =ΔMCK (g.c.g) NA = NQ Từ đó, ý AQ = 4MH; NA = NQ, suy BH = CK; NH = AK; QH = NK

Do ΔBNH =ΔCAK; ΔBQH =ΔCNK Điều có nghĩa Nm1=A ; Qm m1 1=N (1) m2 Từ (1) suy

n= m+m =m+m =m+m =n

2 1 2

BDC A Q A N N N BNC (2)

Tõ (1) vµ (2), chó ý r»ng ID = IA; IN ⊥ QA,

n n n n n

m m m m n

o

o o

1 1

1 suy BDI BDC CDI BDC 90 DIA

2

N N 90 Q N 90 BNI (3)

= + = + − = + + − = + =

Từ (2) (3) suy tứ giác DBCN BDNI nội tiếp

Vậy tứ giác DBCI nội tiếp, suy đpcm Nhận xét Các bạn sau cã lêi gi¶i tèt: Ngun SÜ Huy, Vị H¶i Sơn, THCS Kiến Quốc, Kiến Thụy, Hải Phòng

The area of a triangle in a coordinate system

ThS D−¬ng thu trang (Gmath Education)

TS Đỗ Đức Thành (GV Trờng liên cấp Tiểu học THCS Ngôi Sao Hà Nội) 1 The area of a triangle

• The coordinates of three points are given Given the coordinates of the three vertices of a triangle ABC, the area can be found by the formula below

A B C B C A C A B

x (y y ) x (y y ) x (y y ) Area

2

− + − + −

=

The two vertical bars mean “absolute value” This means that it is always positive even if the formula produced a negative result Polygons can never have a negative area • The lengths of three sides are given A method for calculating the area of a triangle when you know the lengths of all three sides Let a, b, c be the lengths of the sides of a triangle The area is given by:

Area= p(p−a)(p b)(p− −c)

in which p is half of the perimeter: p a b c + + = 2 Example

As shown in the coordinates system, three points A, B, C of a triangle ABC are respectively: Point A(15, 15); Point B(23, 30); Point C(46, 15)

15(30 15) 23(15 15) 46(15 30) Area

2 232.50

− + − + −

= =

3 Exercise

Three points A, B, C are located on a coordinate system forming a triangle The coordinate of A is (4, 6) The line going through point A and C is parallel to the x-axis (point C is on the right of point A) and the point C’s x-coordinate is twice that of point A’s The x-coordinate of point B is the same as that of the midpoint of segment AC and the y-coordinate of point B is thrice the y-coordinate of point A Find the area of the triangle ABC

4 Technical terms

Triangle Tam gi¸c

Absolute value Giá trị tuyệt đối

Length ChiỊu dµi

Area DiÖn tÝch

Perimeter Chu vi Respectively T−ơng ứng Located on Đ−ợc đặt Parallel to Song song với

Thrice GÊp ba lÇn

(TTT2 sè 179)

Introduction to Cartesian Coordinates Nhận xét ở bạn tìm tọa

độ trung điểm đoạn thẳng AB với A(20; 30) B(2; 4) M(11; 17)

ở ta cần tìm tọa độ đỉnh C, D

hình chữ nhật ABCD cho A(2; 5) B(10; 5) Các bạn nêu nghiệm, tốn có hai nghiệm C1(10; 11); D1(2; 11) C2(10; −1); D2(2; −1), từ tâm hình chữ nhật t−ơng ứng M1(6; 8); M2(6; 2)

rong đề thi tuyển sinh đại học năm tr−ớc th−ờng có câu khó giải hệ ph−ơng trình bất đẳng thức Bài viết xin giới thiệu số tốn giải hệ ph−ơng trình đề thi đại học mà cách giải chỉ cần dùng kiến thức trung học sở Bài toán Giải hệ ph−ơng trình

2

2 2

5x y 4xy 3y 2(x y) (1)

xy(x y ) (x y) (2)

⎧ − + − + =

⎪ ⎨

+ + = +

⎪⎩

(§Ị thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2011)

Lời giải Đặt u = x + y, v = xy th× tõ (2) suy v(u2 − 2v) + = u2 ⇔ (v − 1)(u2 − 2v − 2) =

= ⎡ ⇔⎢ = + ⎢⎣ v u 2v

* XÐt v = th× x=

y (y = không nghiệm phơng trình) thay vào (1) ®−ỵc y = ±1

* XÐt u2 = 2v + x2 + y2 = Kết hợp với (1) ta đợc (x 2y)(xy 1) =

Sau thử lại, hệ phơng trình có nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (−1; −1); ⎛⎜⎜ ⎞ ⎛⎟ ⎜⎟ ⎜− − ⎞⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 10 10 10 10

; ; ;

5 5

Bài toán Giải hệ phơng trình

3

2

x 3x 9x 22 y 3y 9y (1)

1

x y x y (2)

2 ⎧ − − + = + − ⎪ ⎨ + − + = ⎪ ⎩

(§Ị thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2012)

Lời giải Hệ phơng trình tơng đơng với

2

2 2

(x y 2)[(x 1) (x 1)(y 1) (y 1) 12]

(x 1) (y 1) x y

⎧ − − − + − + ⎪⎪ + + − = ⎨ ⎪ − + + + + = ⎪⎩

Ta chứng minh đợc

2+ + + − 2− < (x 1) (x 1)(y 1) (y 1) 12

Giải tiếp thử lại ta đợc hệ phơng trình có nghiệm (x; y) − ⎞ ⎛⎟ ⎜ − ⎞⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 3

; ; ;

2 2

Bài toán Giải hệ phơng trình

+ + + = ⎪ ⎨ ⎪ + − + − + = ⎩ 4 2

x x y y (1)

x 2x(y 1) y 6y (2)

(§Ị thi tun sinh Đại học khối A - A1,

năm 2013)

Lời giải ĐKXĐ: x

Tõ (2) suy 4y = (x2 + y − 1)2 ≥ Tõ (1) ta cã

+ +4 − = 4+ +4 + − x x y (y 1) Xét x > y4 + xét x < y4 + không thỏa mãn

Suy x = y4 + 1, kÕt hỵp víi 4y = (x2 + y 1)2, giải thử lại ta đợc hệ phơng trình có nghiệm (x; y) (1; 0); (2; 1)

Bài toán Giải hệ phơng trình

+ = ⎨ ⎪ − − = − ⎩

x 12 y y(12 x ) 12 (1)

x 8x y (2)

(§Ị thi tuyển sinh Đại học khối A - A1,

năm 2014)

Lời giải ĐKXĐ: 2 ≤ ≤x 3; y≤12

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

− + −

+ − + −

≤ + =

2

2

x 12 y y(12 x ) x 12 y y 12 x

12

2

Suy x ≥ vµ y = 12 − x2

KÕt hỵp víi (2) cã

⎡ + ⎤ − ⎢ + + + ⎥= ⎢ + − ⎥ ⎣ ⎦ 2 2(x 3)

(x 3) x 3x

1 10 x

Sau thử lại, hệ phơng trình có nghiệm (x; y) (3; 3)

T

giải hệ ph−ơng trình đề thi đại học kiến thức toán

ë trung häc sở

Tạ Thập

Trn đấu thứ trăm năm m−ơi mốt (TTT2 số 179) Đặt BP CQ AR= = =x; BPR CQP ARQn n n= = =

Giả sử tam giác ABC hai góc

Không tính tổng quát, giả sử n n n> >

BAC CBA ACB (1)

Tõ (1), chó ý r»ng ARQn=BPRn =CQP, suy n AQR BRP CPQ.n n n< <

Từ đó, lại ý CQPn=nARQ=BPR,n suy RQP PRQ QPR.n n n> >

Do RP PQ QR.> > (2)

Vì AR=BP=CQ=x ARQn=BPRn =CQPn

= nên dựng đợc tam giác XOQ’,

XOR’, XOP’ theo thø tù b»ng c¸c tam gi¸c ARQ, BPR, CQP cho c¸c tia OQ’, OR’, OP’ trïng (3)

Tõ (1) vµ (3) suy OXQn n n’>OXR’>OXP ’

Do Q O R O P O.’ > ’ > ’

KÕt hỵp víi (3) suy Q R R P PQ.> > (4) Tõ (2) vµ (4) suy mâu thuẫn

Vậy tam giác ABC có hai góc Không tính tổng quát, giả sử

n n=

BAC CBA (5)

Ta chứng minh đ−ợc ΔARQ= ΔBPR (g.c.g) Do AQ BR.=

Kết hợp với CQ BP,= suy AC=AB Do CBA ACB.n n= (6)

Từ (5) (6) suy tam giác ABC

Nhận xét. Có ba bạn tham gia giải Tiếc bạn giải sai, bạn phải dùng định lí hàm số sin, bạn phải chia

qu¸ nhiỊu tr−êng hợp Không có võ sĩ

ng quang trận đấu này, phần th−ởng xin gác lại kì sau

Ngun Minh Hµ

Trận đấu thứ trăm năm m−ơi ba

Ng−ời thách đấu: Trần Quang Hùng, GV THPT chuyên Đại học KHTN Hà Nội

Bài tốn thách đấu: Cho hình thang cân ABDC (AB // CD AB > CD) nội tiếp đ−ờng tròn tâm O cho tâm O nằm ngồi hình thang Gọi N giao điểm AD BC Vẽ bán kính OP qua N, cắt AB M Gọi r bán kính đ−ờng trịn tiếp xúc với đoạn thẳng ND, đoạn thẳng NB đ−ờng tròn (O) Chứng minh 1

Xét hàm số y = f(x) xác định với ∀ x ∈ (a; b), x1, x2∈(a; b)

Nếu x1 ≤ x2 màf(x1) ≤ f(x2) hàm số f(x) là hàm số đồng biến (a; b)

NÕu x1 ≤ x2 mµ f(x1) f(x2) hàm số f(x) là hàm sè nghÞch biÕn (a; b)

Mệnh đề. Nếu hàm số y = f(x) đồng biến hoặc nghịch biến (a; b) f(x1) = f(x2) x1= x2

Một ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình hai ẩn là sử dụng mệnh đề để chuyển giải ph−ơng trình n

Sau số toán minh họa. Bài toán Giải hệ phơng trình

⎧ + + − − = ⎪ ⎨ + + − = ⎪⎩ 2

(4x 1)x (y 3) 2y (1)

4x y 4x (2)

Lời giải ĐKXĐ: x3; y5

4 Ta cã

⇔ + = − + −

⇔ + = − + −

2

2

(1) (4x 1)2x (5 2y 1) 2y

[(2x) 1].2x [( 2y) 1] 2y (3) XÐt hµm sè f(t) = (t2 + 1)t = t3 + t, víi mäi sè thùc t1, t2 t1 t2

= + − +

= − + −

= − + + + ≤

3

1 1 2

3

1 2

2

1 1 2

f(t ) f(t ) (t t ) (t t ) (t t ) (t t )

(t t )(t t t t 1) Suy f(t1) ≤ f(t2)

Do hàm số y = f(x) đồng biến R

áp dụng mệnh đề vào (3) ta đ−ợc f(u) = f(v)

nªn u = v

Do = − ⇒ = − ≥

2 4x

2x 2y y , x

2 Tõ x

4

≤ , suy 2y = 4x2> Thay vào (2) ta đợc

2 2 4x

4x 4x

2 ⎛ − ⎞ +⎜⎜ ⎟⎟ + − − = ⎝ ⎠ ⇔ − − + − = ⇔ − + + − − = 4

4x 6x 4x

4

4x 6x 2( 4x 1)

4

2

(2x 1)(2x 1)(4x 5) 4(1 2x)

4 4x

(2x 1)(5 4x )

(1 2x)

4 4x

1

1 2x x y

2 − + − − ⇔ + = − + ⎡ + − ⎤ ⇔ − ⎢ + ⎥= − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⇔ − = ⇔ = ⇒ =

Thử lại thấy

Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

1 ;

Bài toán Giải hệ phơng tr×nh

⎧ + + − = ⎪

⎨

+ + − =

⎪⎩

x y (1)

y x (2)

Lời giải ĐKXĐ: 1 x 7, −1 ≤ y ≤ Tõ (1), (2) suy

+ + − = + + −

⇔ + − − = + − −

x y y x

x x y y (3) XÐt hµm sè

= + − −

f(t) t t víi −1 ≤ t ≤ Víi mäi sè thùc t1, t2 vµ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ th×

1 1 2

1 2

1 2

1 2

1

1 2

f(t ) f(t ) ( t t ) ( t t ) ( t t 1) ( t t )

t t t t

t t t t

1

(t t )

t t t t

− = + − − − + − − = + − + − − − − − − = + + + + − + − ⎛ ⎞ = − ⎜⎜ + ⎟⎟≤ + + + − + − ⎝ ⎠

giải hệ ph−ơng trình ph−ơng pháp chứng minh hàm số đồng biến, nghịch bin

nguyễn văn thịnh

1 f(t ) f(t )

⇒ ≤

Suy hàm số y = f(t) đồng biến −1 ≤ t ≤

áp dụng mệnh đề vào (3) suy f(u) = f(v)

nên u = v Do

+ + − = ⇔ + − =

⇔ − = ⇔ = ⇒ =

x x (x 1)(7 x) (x 3) x y

Th li thy ỳng

Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) (3; 3) Bài toán Giải hệ phơng trình

+ = ⎪

⎨

⎪ + − − − + =

⎩

3

2 2

x y 3y 3x (1)

x x 2y y (2)

Lời giải ĐKXĐ: |x| 1; |y 1| ≤ Ta cã

⇔ − − = − − − −

(1) x 3x (y 1) 3(y 1) (3) XÐt hµm sè f(t) = t3−

3t − víi |t| ≤ Víi mäi sè thùc t1, t2 vµ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ th×

− = − − − − −

= − − −

= − + + − ≥

⇒ ≥

3

1 1 2

3

1 2

2

1 1 2

1

f(t ) f(t ) (t 3t 2) (t 3t 2) (t t ) 3(t t )

(t t )(t t t t 3) f(t ) f(t )

Suy hàm số y = f(t) nghịch biến −1 ≤ t ≤

áp dụng mệnh đề vào (3) suy f(x) = f(y − 1),

từ x = y − Thay vào (2) ta đ−ợc

+ − − − + =

⇔ − − + =

⇔ − + − + =

⇔ − + =

⇔ = ⇒ =

2 2

2

2

2

x x x

x x

(1 x ) x ( x 1)

x y Thử lại thấy

VËy hƯ ph−¬ng trình có nghiệm (x; y) (0; 1) Bài toán Giải hệ phơng trình

+ + − − + = ⎪ ⎨ ⎪ + − + − + = ⎩ 4 2

x x y y (1)

x 2x(y 1) y 6y (2)

Lời giải ĐKXĐ: |x| ≥ Tõ (2) suy 4y = (x + y 1)2

nên y Đặt z=4x (z − ≥ 0) th× tõ (1) suy

+ + = + +

4

z z y y (3) XÐt hµm sè f(t)= t4+ +2 t, t≥0 Víi mäi sè thực t1, t2 t1 t2

− = + + − + + = − + + − + − = − + + + + ⎛ + + ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ + ⎟≤ + + + ⎝ ⎠ ⇒ ≥ 4

1 1 2

4

1 2

4 2 4 2

1 2

1

4

1

1

f(t ) f(t ) ( t t ) ( t t ) (t t ) ( t t 2)

t t (t t )

t t

(t t )(t t )

(t t )

t t

f(t ) f(t )

Suy hµm sè y = f(t) nghÞch biÕn t ≥

áp dụng mệnh đề vào (3) suy f(z) = f(y), từ

đó z = y

Tøc lµ y=4x 1− x=y4 +1 Thay vào (2) ta đợc

(y4+ 1)2+

2(y4+

1)(y − 1) + y2−

6y + =

⇔ y(y7+ 2y4+ y − 4) = NÕu y = th× x = NÕu y7+

2y4 +

y − = (y − 1)(y6+ y5+

y4+ 3y3+

3y2+

3y + 4) = y = ⇒ x = Thử lại thấy

Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) (1; 0); (2; 1)

Các bạn hÃy thực hành giải tập sau nhé

Bài Giải hệ phơng trình + = + − ⎪ ⎨ + − + = ⎪ ⎩

3

2

x 3y 9x 22 y 3y 9y

1

x y x y

2

Bài Giải hệ phơng trình

+ − =

⎪ ⎨

− + + = − + + + +

⎪⎩

(53 5x) 10 x (5y 48) y 2x y x 2x y 11 2x 66 Bài Giải hệ phơng trình

+ = + − −

⎪ ⎨

− + + = − − − −

⎪⎩

(1 y) x y x (x y 1) y

2x 3x 6y x 2y 4x 5y Bài Giải hệ phơng trình

+ + − + = − − + ⎪ ⎨ ⎪ + − + + = − ⎩ 2 2

ếu có dịp ngắm nhìn đèo Khau Phạ từ cao, hẳn bạn hiểu đèo tiếng lại đ−ợc ví nh− Đèo Khau Phạ cung đ−ờng v−ợt qua núi Khau Phạ - núi thuộc dãy Hoàng Liên Sơn miền Tây Bắc n−ớc ta Đỉnh Khau Phạ đỉnh núi cao địa phận tỉnh Yên Bái (khoảng 1500 m so với mực n−ớc biển) Trong ngôn ngữ đồng bào dân tộc Thái, Khau Phạ nghĩa Sừng Trời Nếu bạn thắc mắc ng−ời Thái lại gọi nh− nhìn ảnh chụp đỉnh núi Khau Phạ từ cao Bạn thấy biển mây mênh mơng mờ mịt đỉnh núi nhịn nhọn, nh− sừng nhô lên Và bạn t−ởng t−ợng tiếp nhé: Cung đ−ờng dài gần 30 km đ−ợc xây dựng bám theo s−ờn núi quanh co gấp khúc, có chỗ thoai thoải, có chỗ lại gần nh− dựng đứng Từ cao nhìn xuống, đèo màu sáng bật xanh sẫm núi rừng, giống hệt nh− dải lụa mềm mại

Dải lụa mùa đẹp, nh−ng ấn t−ợng mùa xuân mùa thu Xuân về, hoa rừng đua nở, s−ờn núi nh−

bức tranh đ−ợc dệt từ muôn màu muôn sắc Tiếng chim hót ríu ran với mây giăng huyền ảo khiến tranh thêm phần thơ mộng Thu sang, lúa d−ới chân đèo vào mùa thu hoạch Từ đèo nhìn xuống, ruộng bậc thang giống hệt đợt sóng vàng nhấp nhơ, nhấp nhơ núi đồi xanh ngắt Đơi lúc, sóng vàng óng lại ẩn sau mây trắng bồng bềnh Bức tranh mùa vàng tuyệt vời cịn đ−ợc tơ điểm thêm hình ảnh ng−ời dân hồ hởi gặt lúa, vui mừng nâng niu thành lao động… Chẳng phải ngẫu nhiên mà nhiều năm nay, vào mùa lúa chín, đỉnh đèo Khau Phạ lại trở thành nơi diễn Lễ hội dù l−ợn “Bay mùa vàng”, thu hút đông khách tham quan Mùa hè, đèo Khau Phạ, bạn nghe thấy tiếng thác ào, tiếng suối róc rách từ xa vẳng lại Cịn mùa đơng, nhiệt độ núi lạnh, mây phủ kín nh− giăng may mắn, bạn gặp băng giá

Đồng bào dân tộc Mông gọi đỉnh Khau Phạ Đở Chua, nghĩa đỉnh núi có nhiều gió Với ng−ời Mông, nơi linh thiêng đất trời gặp nhau, nên muốn cầu mong điều tốt lành, hay cầu m−a thuận gió hịa, mùa màng bội thu, họ th−ờng lên đỉnh đèo để cầu khấn

Với ng−ời đất Việt, v−ợt đèo Khau Phạ - đèo đ−ợc lọt vào nhóm “Tứ đại đèo” Việt Nam - không đ−ợc chiêm ng−ỡng vẻ đẹp hùng vĩ nên thơ núi rừng, mà thực cảm phục ng−ời xây dựng nên cung đ−ờng hiểm trở

N

Nh− d¶i lơa mây

Đông Nguyễn

s vô tỉ đ−ợc phát

nh− thÕ nào

PGS TS Lê quốc hán

(GV Khoa Toán Đại học Vinh, Nghệ An)

1 TRƯờNG PH¸I Sè HäC PYTHAGORAS

Tên tuổi Pythagoras gắn liền với định lí hình học mang tên ơng: trong tam giác vng, bình ph−ơng cạnh huyền tổng bình ph−ơng hai cạnh góc vng. Tuy nhiên câu chuyện li kì ơng lại gắn với số học

Pythagoras sinh khoảng năm 570 tr−ớc cơng ngun hịn đảo Samos phía đơng biển Aegea Sau thời gian du lịch nhiều n−ớc, ông đến cảng biển Crotona Đại Hy Lạp (nay thuộc miền nam Italia) lập nên tr−ờng phái triết học gọi Tr−ờng phái Pythagoras tiếng học viện nghiên cứu triết học, toán học, khoa học tự nhiên

TriÕt häc cđa tr−êng ph¸i Pythagoras dựa thừa nhận số nguyên nguyên nhân thuộc tính khác ngời vật chất Điều dẫn tới tán dơng nghiên cứu tính chất số học cña

các số Tuy đạt đ−ợc số thành tựu Lí thuyết số nh−ng họ tạo sở thuyết thần bí số sau Họ gọi hai số nguyên d−ơng cặp số bạn bè tổng −ớc thực số số kia, chẳng hạn hai số 284 220 cặp số có tính chất Cặp số ẩn chứa nét huyền bí họ cho hai bùa có số gắn chặt tình bạn hai ng−ời mang chúng Vì số nguyên sau trở nên giữ vai trò quan trọng ma thuật, phù thủy, chiêm tinh lấy số tử vi Một ví dụ khác họ đ−a khái niệm số hoàn chỉnh, số nguyên d−ơng tổng −ớc thực Số số hồn chỉnh = + + Từ họ lí giải Th−ợng đế tạo nên vũ trụ ny ỳng sỏu ngy (!)

2 ĐịNH Lí PYTHAGORAS Và CáC Bộ BA PYTHAGORAS

Sau có nhiều cách chứng minh định lí đ−ợc tìm thấy Trong lần xuất thứ hai sách Mệnh đề Pythagoras của mình, E S Loomis thu thập phân loại 371 cách chứng minh định lí tiếng

Từ định lí Pythagoras, vấn đề đặt tìm ba số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 +b2 =c Một ba a, b, c nh−

vậy đ−ợc gọi bộ ba Pythagoras (chẳng hạn 3, 4, 5) Có thể chứng tỏ ba 2kmn, k(m2 −n ), k(m2 +n ) k số nguyên d−ơng m, n hai số tự nhiên nguyên tố (m > n) vét kiệt ba Pythagoras

3 KH¸M PH¸ RA C¸C ĐạI LƯợNG VÔ Tỉ

Cỏc s nguyờn ó đ−ợc trừu t−ợng hóa từ q trình đếm tập hợp hữu hạn đồ vật Những nhu cầu hàng ngày địi hỏi ng−ời ngồi việc đếm vật riêng lẻ phải đo l−ờng đại l−ợng khác nh− chiều dài, trọng l−ợng thời gian Để thỏa mãn nhu cầu đo l−ờng đơn giản cần đến phân số chiều dài chẳng hạn, nhiều không biểu diễn đ−ợc số nguyên đơn vị Từ dẫn đến khái niệm số hữu tỉ p

q lµ tØ sè cđa hai sè nguyªn p, q víi q ≠ Sè nguyªn xem trờng hợp riêng số hữu tØ mÉu sè q =

Nh− biết, việc biểu diễn số hữu tỉ trục số đơn giản Lúc đầu ng−ời ta nhầm t−ởng tất điểm biểu diễn tập hợp số hữu tỉ lấp đầy trục số Tuy nhiên sau môn sinh tr−ờng phái Pythagoras phát có điểm trục số khơng ứng với số hữu tỉ Chẳng hạn khơng có số hữu tỉ trục số ứng với điểm P trục số cách gốc O khoảng đ−ờng chéo hình vng có cạnh đơn vị Họ gọi số số vô tỉ

Việc phát loại số lạ làm cho môn sinh tr−ờng phái Pythagoras kinh ngạc bối rối, trái với học thuyết họ vật vũ trụ phụ thuộc vào số nguyên (số hữu tỉ chẳng qua tỉ số hai số nguyên), nh−ng số vơ tỉ khơng phải Vụ "xì căng đan lôgic" lớn ng−ời ta bắt mơn sinh tr−ờng phái Pythagoras phải giữ kín mang theo bí mật xuống mồ Nh−ng có mơn sinh tên Hippasus tiết lộ bí mật ngồi nên bị ném xuống biển Cũng có dị khác cho Hippasus bị đuổi khỏi cộng đồng Pythagoras mộ đ−ợc dựng lên cho kẻ "nghịch đạo" dù y ch−a chết

4 Sù PH¸T TRIĨN TIÕP THEO

Thực môn sinh tr−ờng phái Pythagoras phát số vô tỉ Mãi sau (khoảng 425 tr−ớc cơng ngun) Theodorus Cyrene chứng tỏ đ−ợc 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 số vơ tỉ Sau vào khoảng năm 370 tr−ớc cơng ngun, vụ "xì căng đan lơgic" đ−ợc giải học trò xuất sắc Plato tên Eudoxus môn sinh Pythagoras tên Archytas, ông đ−a định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ

Một môn sinh Pythagoras Theaetetus chứng tỏ đ−ợc n khơng phải bình ph−ơng số hữu tỉ n số vơ tỉ Phải thời gian sau ng−ời ta tìm số vơ tỉ khơng có dạng na Chẳng hạn, số π tỉ số chu vi đ−ờng kính đ−ờng trịn, hay số e đ−ợc xác định biểu thức e= + +1 1 + + +

1! 2! n!

(TTT2 sè 179)

Cuéc thi giải toán dnh cho nữ sinh

Bài 22NS.Ta có

3 2

2

4(a b ) 4(a b)(a ab b ) P (2a b) 3b P

+ = + − +

⎡ ⎤ ⇒ = ⎣ − + ⎦ >

⇒ >

⇒ = = >

− + ⎛ − ⎞ +

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 2

2

P

a ab b b 3b

a

2

2

3 3

(a b)(a b) (a b) 4(a b ) P a b

⇒ + − ≥

⇒ + ≤ + =

⇒ = + ≤

• P = a=3+ 21; b=3− 21

6 hc

− +

=3 21 = 21⋅

a ; b

6

• P = a = b = VËy P∈{ }1;

Nhận xét Các bạn có lời giải đúng: Trần Thị Yến Khanh, Hạ Hiền L−ơng, Đào Ph−ơng Anh, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Vũ Huyền Trang, 8H, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Th;

Nguyễn Thị Mai Anh, 9D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

Bài 23NS.ĐKXĐ: x0

2

3 3

27 18

Ta cã

x x

x x

2x 7x 33x x(2x 7x 33)

⎛ ⎞

+ + =⎜ + ⎟ + + >

⎝ ⎠

⇒ − + − = − − + >

Mµ − + = ⎛⎜ − ⎞⎟ + >

⎝ ⎠

2

2 215

2x 7x 33 x

4

⇒x<0

Đặt a=32x3−7x2+33x, ph−ơng trình cho t−ơng đ−ơng với ax2+5x2+6x+27=0

2

2

2

2

2 x (a 6) (x 3)(9 x) x (2x 7x 33x 216)

(x 3)(9 x) a 6a 36

13 407 x x

4

(x 3) x

(a 3) 27

⇔ + + + − = − + + ⇔ + + − = − + ⎡ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎜ − ⎟ + ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎥ ⎢ ⎥ ⇔ + + − = ⎢ − + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⇔(x+3)A=0 ⇔ + =x (v× x < nªn A > 0) ⇔ = −x (tháa m·n)

Vậy ph−ơng trình cho có tập nghiệm

{ }

= −

S

Bài 30NS Cho đ−ờng tròn (O), điểm A cố định bên ngồi đ−ờng trịn Vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ACD đ−ờng tròn (Tia AC nằm hai tia AB AO) Vẽ BH ⊥ OA H Gọi M hình chiếu vng góc điểm O đ−ờng phân giác góc DCH Chứng minh M ln nằm đ−ờng tròn cố định cát tuyến ACD thay đổi

T¹ ThËp(TP Hå ChÝ Minh)

Bài 28NS Giải phơng trình nghiệm nguyên |x2

2xy + y2+

3x − 2y − 1| + = 2x − |x2−

3x + 2|

Lại Quang Thọ

(Phòng Giáo dục Đào tạo Tam Dơng, Tam Dơng, Vĩnh Phúc) Bài 29NS Giải phơng trình

+ + + + =

2

6x 8x 2 x 3x

Nhận xét Bạn có lời giải đúng: Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ

Bµi 24 NS.

n= n= o

HIM KIH 90 ,IMH IHK (cïng phô n= n IHM ) n

⇒ΔHIM ΔKHM (g.g)

⇒IM=HM

IH HK mµ 2HM = MN (quan hệ vuông góc đờng kính dây), 2HK = HA Suy IM MN IM IH

IH =HA ⇒MN=HA

Mµ IMN IHA n= n

Do ΔIMN ΔIHA (c.g.c)

n n

⇒INM=IAH ⇒AIHN tứ giác nội tiếp Vậy đ−ờng tròn ngoại tiếp ΔHIN qua điểm cố định A

Nhận xét Các bạn có lời giải đúng: Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, Lê Thị Ph−ơng Lan, Phạm Thùy Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Mai Anh, 9D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

Nguyễn Hiệp C−ời v−ờn anh Đọc hai mẩu đối thoại vui này, bạn bật c−ời giải thích bạn c−ời nhé!

L−u ý: Chủ V−ờn không yêu cầu dịch tiếng Việt, yêu cầu nói rõ điểm đoạn khiến bạn cảm thấy buồn c−ời Bạn có thể giải thích điều tiếng Việt gạch chân từ “gây c−ời” đó.

* Teacher: − John, why are you doing your math multiplication on the floor? John: − You told me to it without using the tables

** Teacher: − Donald, what is the chemical formula for water? Donald: − H I J K L M N O

Teacher: − What are you talking about? Donald: − Yesterday you said it's H to O

−íc cã ë khắp nơi xung quanh Hàng ngày, ai cịng dïng n−íc Ng−êi ta cã thĨ cho nớc mà không tính toán Nớc thật bình thờng có mà kì diệu? Không phải đâu bạn nhé!

6 Để có ấm nớc sôi, bạn phải đun lâu Nh

vậy tức để nóng lên, n−ớc cần l−ợng nhiệt khơng nhỏ Chính nhờ đặc tính mà n−ớc ao hồ, sông biển không bị sôi sùng sục lên d−ới sức nóng thiêu đốt Mặt Trời Nếu n−ớc cần chút nhiệt sơi sống Trái Đất nhỉ?

6 Để bốc hơi, n−ớc cịn cần l−ợng nhiệt lớn nhiều Nhờ đặc tính nên nguồn n−ớc Trái Đất không bị cạn kiệt ánh nắng có chói chang đến đâu ngày trung bình có tới nghìn tỷ n−ớc bốc thành

6 Khi gặp lạnh, vật co lại, riêng n−ớc nở Vì có đặc tính nên băng (n−ớc đá) n−ớc Giả sử băng chìm d−ới đáy n−ớc nhỉ? Hoặc n−ớc dâng lên, tràn ngập khắp nơi; mùa lạnh, băng đóng từ d−ới đáy sơng hồ lên mặt n−ớc Cuộc sống loài d−ới n−ớc sao? Con ng−ời mn lồi lấy đâu n−ớc mà sử dụng?

6 N−ớc chất tồn tự nhiên d−ới dạng khác nhau: chất lỏng (n−ớc), chất rắn (băng đá) chất khí (s−ơng mù, mây) Nếu khơng có đặc điểm thì: Trái Đất tồn n−ớc n−ớc (vì phần lớn l−ợng n−ớc Trái Đất nằm khối băng khổng lồ); Trái Đất nằm im lìm băng tuyết; Trái Đất chìm s−ơng mù mây

6 N−ớc có biệt tài biết “leo” ng−ợc, biết “bò” chéo, “bò” ngang “đ−ờng ống” siêu tí hon (hiện t−ợng mao dẫn - sau bạn đ−ợc học) Nhờ đặc tính mà cối hút đ−ợc n−ớc từ d−ới đất để sinh sôi, phát triển

6 N−ớc biệt tài hịa tan nhiều chất Nhờ đặc tính mà mn lồi động vật, thực vật hấp thụ đ−ợc ôxy chất dinh d−ỡng cần thiết cho sống Theo nhà khoa học l−ợng d−ỡng chất có n−ớc biển Atlantic sánh ngang với 20 nghìn vụ mùa đồng ruộng

6 N−ớc thành phần chủ yếu thể tất loài Cá: 75%, sứa: 99%, khoai tây: 76%, táo: 85%, cà chua: 90%, d−a chuột: 95%, d−a hấu: 96% Cơ thể ng−ời vậy, trẻ em: 86%, ng−ời già: 50% (riêng não, n−ớc chiếm 80%) Chính mà mn lồi bị chết thiếu n−ớc

6 MỈc dù nớc bao phủ tới 2/3 diện tích Trái §Êt nh−ng ng−êi l¹i chØ cã thĨ sư dơng lợng siêu nhỏ, chủ yếu nớc Lợng nớc quý giá bị ô nhiễm cạn kiƯt dÇn sù thiÕu ý thøc cđa ng−êi

6 Khơng có n−ớc khơng có sống nh−ng n−ớc lại nguồn ni d−ỡng lây truyền mầm bệnh Hầu hết dịch bệnh nguy hiểm lây lan qua n−ớc

6 RÊt nhiều điều kì diệu nớc chờ bạn tìm hiểu, khám phá Còn bây giờ, bạn hÃy ghi nhớ cách ứng xử khôn ngoan với n−íc nhÐ

- ¡n chÝn, ng s«i

- Uống đủ n−ớc Khi bị sốt hay tiêu chảy, bù n−ớc kẻo nguy hiểm đến tính mạng

- Rưa tay, t¾m géi b»ng n−íc s¹ch

- Dùng n−ớc tiết kiệm, cách đơn giản khơng mở vịi nc quỏ to

- Không vứt rác xuống cèng r·nh, ao hå, s«ng biĨn

- Học cách phòng chống tai họa nớc gây ra (®i n−íc, lị lơt )

N

Nhân Ngày nớc giới 22/3 - WORLD WATER DAY 22 March

n−íc thËt k× diƯu!

thi

câu lạc ttt

thái nhật phợng

Dơng Thu Trang(dịch)

K× 15

CLB1 Find x, y such that they are integers and satisfy the following equation:

2x2 + 13 = y2

CLB2 Given two real numbers x, y such that − =

2

3xy x 297; 3x y2 −y3 = −54 Find A =x3+y3

CLB3 Find the natural numbers a, b such that (a+b)+ −(a b)+ab+ =a 1575

b

CLB4 Find the minimum value of the following expression + + + + + = + + ( ) ( ) ( ) ,

a b c b c a c a b

T

ab bc ca

(a, b, c are positive)

CLB5 M, N, P are taken on the side AB, BC, CA of a triangle ABC such that MA = 2MB, NB = 2NC, PC = 2PA E, F are intersection points of AN with BP and CM, respectively D is the intersection point of BP and CM Prove that SDEF = SBDM+ SCFN + SAEP

(TTT2 số 179)

Câu lạc Toán Tuổi thơ

1 Vì lỗi chế nên 21829 31239 đ−ợc in thành 21829 31239, mong bạn đọc thông cảm.

Ta cã 21829 = (231 )59

vµ 31239 = (321 )59

231 = 2.(23

)10 = 2.810

; 321 = 3.(32

)10 = 3.910 Do 231< 321, từ 21829< 31239

2 Ta cã

2

3 3

1 3.2017 3.2017

M

2018 2016 (1 2017) (2017 1)

+ +

= =

− + − −

2

3 2

1 3.2017 3.2017

2.1 6.1.2017 2(1 3.2017 )

+ +

= = =

+ +

3 Ta cã x35 = x3

(x32 − 1) + x(x2 + 1) − x V× x32 − = (x4

)8 − #

(x4 − 1) = (x2 − 1)(x2 + 1) nªn x32 − #

(x2 + 1) Vậy đa thức d x

4 Víi c¸c sè thùc a, b, c tháa m·n a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc

Do từ 1 x = +y z có

1 1

0

x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎜+ − ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

3 3 2

1 1 1

3

x y z x y z

1 1 xy zx yz

3 xyz

x y z z y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟ + −⎜ ⎟ + −⎜ ⎟ = ⎜− ⎟ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ − − = ⇒ + − = 5

Đặt CH = x >

Vì ABC HAC (g.g) nên AC2 = CH.BC ⇔ 82 = x(x + 3,6)

⇔ x2 + 3,6x − 64 = ⇔ (x + 10)(x − 6,4) = ⇔ x = 6,4

Theo định lí Pythagoras ta có = 2− = − =

AH AC CH 6, 4,8 cm Suy

= = =

ABC

1

S AH.BC 4,8.10 24 (cm )

2

Nhận xét Các bạn sau có lời giải tốt đợc thởng kì này: Trịnh Duy Minh, 8C, THCS TrÇn Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Vũ Minh Khải, Nguyễn Công Hải, 8A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä; Ngun Thu Hiền, 8A3, THCS Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa B×nh

Hỏi: Anh ơi! Em thấy anh xuất đặn TTT, hình nh− anh chẳng nghỉ phải Bây đầu xuân, anh mà không tranh thủ du xn tiếc

Ph¹m Hång Mai

(THCS Thuận Châu, Thuận Châu, Sơn La) Đáp:

Anh mà mải du xuân Th từ, biết phần cho ai?

Đến hè ngày rộng tháng dài Anh chí du vài chỗ xa

Quê em tận Sơn La

Biết đâu anh ghé nhà thăm em

Hi: Anh i! Trc Tt em đ−ợc bố mẹ mua cho áo khoác đẹp, đôi giày siêu cute Mới diện đ−ợc mt hai ln thỡ tri ó

ấm hẳn lên Em chả hội diện Hic hic!

Lê Đức Minh

(THCS Yờn Phong, Yên Phong, Bắc Ninh) Đáp: Để anh nhờ bác Google tìm kiếm Nàng Bân anh chuyển “tâm t−” em cho bà Hi vọng bà đan thêm áo len để em có thêm vài đợt rét Nàng Bân mà diện giày diện áo, nhé!

Hỏi: Sau thời gian vắng bóng, vừa em thấy Chủ V−ờn Tiếng Anh quay trở lại Anh bật mí cho em biết Chủ V−ờn Anh hay l Ch khụng?

Một bạn quên ghi tên (THCS Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình) Đáp: ốiối! Anh mà làm

l bí mật Chủ V−ờn lại “vắng bóng” mất thơi Tr−ớc trở lại, anh Chủ V−ờn giao kèo nh−

C¸c líp &

Bài 1(182). Tìm chữ số thập

phõn thứ n sau dấu phẩy phép chia 13 cho 23, n số chữ số số đ−ợc viết liên tiếp hai số 22018

số 52018 Tạ Minh Hiếu (GV THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

Bài 2(182). Cho tam giác nhọn ABC có AB <

BC < CA Vẽ đờng cao BH, CK cña

ΔABC Trên tia đối tia BH lấy điểm E cho BE = AC, tia đối tia CK lấy điểm F cho CF = AB Hãy so sánh BF CE

Ngun Kh¸nh Nguyên (Số 3/29E đờng Đà Nẵng, Hải Phòng)

Các lớp THCS Bài 3(182) Giải hệ phơng trình

3 2

2

x 6x 2y 15x 5y 21 x y xy 7x 6y 14

⎧ − + + + =

⎪ ⎨

+ + − − + =

⎪⎩

bùi hải quang (GV THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ) Bài 4(182) Cho số thực d−¬ng a, b, c tháa m·n abc = Chøng minh r»ng

ab bc ca

a b c

b c a

+ + +

+ + ≥ + +

+ + +

cao minh quang (GV THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm,

Vĩnh Long) Bài 5(182) Một khu rừng hình vng với cạnh a mét, đ−ợc trồng theo mạng l−ới ô vng m ì m Trong đ−ợc trồng đỉnh ô vuông, kể đ−ợc trồng đỉnh cạnh khu v−ờn hình vng Khi khai thác gỗ, ng−ời ta muốn đốn số cho từ vị trí bị đốn khơng nhìn thấy bị đốn khác Hỏi đốn tối đa tr−ờng hợp sau:

a) a = 100; b) a = 101

Vũ đình hịa (GV tr−ờng Đại học S− phạm H Ni)

Bài 6(182) Cho ABC

vuông A với AB < AC Giả sử tồn hai đờng tròn (P) (Q) có bán kính

bằng tiếp xúc với cho đờng tròn (P) tiếp xúc với cạnh AB cạnh BC, đờng tròn (Q) tiếp xúc với cạnh AC cạnh BC Gọi M, N thứ tự tiếp điểm BC với đờng tròn (P) (Q) Chứng minh tia phân giác góc BAC qua trung ®iĨm cđa MN

l−u lý t−ëng (GV THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ)

1(182).Find the nth

digit after the decimal point of the quotient in the division 13 divided by 23

in which n is the number of digits when we

put 22018

adjacent to 52018

2(182).Given an acute triangle ABC with AB<

BC < CA BH, CK are the altitude of the triangle On the opposite ray of ray BH, E is taken such that BE =AC On the opposite ray of ray CK, F is taken such that CF = AB Compare BF and CE

3(182) Solve the following system of equations:

3 2

2

6 15 21

7 14

⎧ − + + + =

⎪ ⎨

+ + − − + =

⎪⎩

x x y x y

x y xy x y

4(182) Given a, b, c > such that abc =

Prove that:

1 1

1 1

+ + +

+ + ≥ + +

+ + +

ab bc ca

a b c

b c a

5(182) A square forest with side of a m is

made of m × m unit square grid Trees are planted at the vertex of the unit squares They are also planted at the vertices on the side of the forest The tree is chopped such that from the vertex with chopped trees, other chopped trees cannot be seen What is the maximum number of chopped trees in each below case: a) a = 100;

b) a = 101

6(182) Given a right triangle ABC with ∠A = 90o