Đề thi và lời giải chi tiết Kỳ thi HSG lớp 9 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018

6 0 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 24/02/2021, 06:39

Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuôn[r] (1)ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: Rút gọn biểu thức P a 2018 a 2018 a 1. a 1 a 2 a 1 2 a              Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x yxyz2, xyzyz. Chứng minh đẳng thức     2 2 x x z x z . y z y y z        Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcdabcab a 4321. Câu 4: Cho hệ phương trình ( m )x y 2 x 2 y 2         (m tham số x, y ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) trong x, y số nguyên Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3. Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB12cm, AC16cm. Gọi I giao điểm các đường phân giác tam giác ABC, Mlà trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc 0 BAD50 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DNBH AD b) Tính số đo góc MON Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ). Gọi A điểm thay đổi đường trịn (O) (điểm A khơng trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O) điểm H ln nằm đường trịn cố định Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 2 a  b c Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 . 3 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a          Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích 1. 3 (2)LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: Rút gọn biểu thức P a 2018 a 2018 a 1. a 1 a 2 a 1 2 a              Điều kiện: a 0 a 1      Khi đó: 2 a 2018 a 2018 a 1 P ( a 1 ) ( a 1 )( a 1 ) 2 a              2 ( a 2018 )( a 1 ) ( a 2018 )( a 1 ) a 1 . ( a 1 ) ( a 1 ) 2 a          2 2.2017 a a 1 . ( a 1 ) ( a 1 ) 2 a     2017 a 1   Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn   2 x y xyz , xyzyz. Chứng minh đẳng thức     2 2 x x z x z . y z y y z        Ta có:         2 2 2 2 2 2 x x z x y z y x z y y z x y z x y z                          2 2 x 2 y z x z x z 2 x y z y z y z                xy zz2 x2 x 2 y2 y 2 z2 z        x z . y z    Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcdabcab a 4321. Ta có: abcdabcab a 43211111a111b11c d 4321  1a,b,c,d 1 a 9,0b,c,d9 nên 32141111a4321 a 3   Thay vào (1) ta được: 111b 11c  d 988  2 Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 b 8 Thay vào (2) ta được: 11c d 10091 11c 100 c 9 d1 Câu 4: Cho hệ phương trình ( m )x y 2 x 2 y 2         (m tham số x, y ẩn số) (3) Từ phương trình thứ hai ta có: x 2 2 y vào phương trình thứ được: ( m 1)( 2 2 y ) y 2 ( 2m )y 2m 4     (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên ( ) có nghiệm y số nguyên Với m 2m 3  0 ( ) có nghiệm y 2m 4 2m 3    1 1 2m 3    2m 3 1 y 2m 3 1           m 2 m 1       Vậy có giá trị m thoả mãn 1; 2 Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3. Điều kiện xác định 1 x 0 4 x 1 *  4 x 0            Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với: 52 1x 4 x 9  1x 4 x 2  1 x 4 x4x23x0   x x 3 0    x 0 x 3        Đối chiếu với điều kiện (*) ta x0; x 3. Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB12cm, AC16cm. Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Ta có BCAB2AC220cm Gọi E giao điểm BI với AC Theo tính chất đường phân giác ta có: AE EC AE EC 1 AB BC AB BC 2      BC EC 10cm 2    Ta có ICE ICM( c g c ) do:ECMC10; ICEICM; IC chung Suy ra: IECIMCIEAIMB Mặt khác IBMIBAhai tam giác IBM , ABE đồng dạng 0 BIM BAE 90 BI MI      Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD500, O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DNBH AD (4) a) Ta có MBHADN ,MHBAND MBH  ∽ADN MB BH AD DN   MB.DNBH AD ( 1) b) Ta có:OHBAOD BH OB DO.OB BH AD 2  DO AD      Từ (1) (2) ta có: MB.DN DO.OB MB OB DO DN    Ta lại có: MBO1800CBD1800CDBODN nên MBO∽ODNOMBNOD. Từ suy ra: MON1800MOBNOD1800MOBOMB0 0 180 OBC 115    Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường trịn (O) (điểm A khơng trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên ODBC,OMAC Ta có: ODCOMC900 Bốn điểm O, D, C, M nằm đường trịn ( I ) có tâm I (5)Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường trịn ( I ) Nếu HE,HB : - Với M  E BHE900 - VớiME, DM BHDMH900 Khi 0 DMEDMH90H ,M ,E thẳng hàng Suy BHE900 Vậy ta ln có: BHE900 HEhoặc HBdo H thuộc đường trịn đường kính BE cố định Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 2 a  b c Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 . 3 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a          Với x, y,z0 ta có : x  y z 3 xyz3 , 1 1 1 33 1 x   y z xyz   1 1 1 x y z 9 x y z            1 1 1 1 1 x y z 9 x y z             Đẳng thức xảy khi x y z Ta có: 5a22ab2b2( 2ab )2( ab )2( 2ab )2 2 2 1 1 1 1 1 1 2a b 9 a a b 5a 2ab 2b               Đẳng thức xảy khiab Tương tự: 2 2 1 1 1 1 1 1 2b c 9 b b c 5b 2bc 2c              Đẳng thức xảy khibc 2 2 1 1 1 1 1 1 2c a 9 c c a 5c 2ca 2a              Đẳng thức xảy khica Do đó: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 9 a b c 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a                  1 1 1 1 2 3 a b c 3          Đẳng thức xảy rakhi a b c 3 2    Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích 1. 3 Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy (6)Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt S, E, K cho SCDSK3SABKS Từ SCDSK3SABKS ta suy được:DSCK3 AS BK   1 a AS a BK 3 AS BK AS BK a 2          1 EM a 4   suy E cố định d qua E Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN GP HQ a 4    Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có 2018 1 505 4      
- Xem thêm -

Xem thêm: Đề thi và lời giải chi tiết Kỳ thi HSG lớp 9 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018, Đề thi và lời giải chi tiết Kỳ thi HSG lớp 9 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018