Đang tải... (xem toàn văn)
Find the smallest positive integer which is twice the square of a natural number and three times the cube of another natural number.. Find the area of trapezoid ABCD.[r]
(1)(2)(3)(4)Một số cách giải cho toán
trong kì thi IMO 2018
Nguyễn văn b¶n
Tr−ờng THCS Thanh Yên, Điện Biên Việc sử dụng kiến thức THCS để giải số
bài tốn kì thi Olympic tốn quốc tế xa lạ với bạn đọc Xin chia sẻ với bạn lời giải toán kì thi IMO 2018 tổ chức Romania
Bài tốn Cho (O) đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC Các điểm D E lần l−ợt nằm đoạn thẳng AB AC cho AD = AE Các đ−ờng trung trực BD CE cắt cung nhỏ AB AC (O) điểm F G t−ơng ứng Chứng minh đ−ờng thẳng DE FG song song Cách Tr−ớc tiên ta xét hai bổ đề sau: Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đ−ờng tròn (O) Đ−ờng trung trực AB, AC cắt cung nhỏ AB, AC lần l−ợt P, Q PQ cắt AB, AC lần l−ợt I, J Khi tam giác AIJ cân A
Chøng minh: Gäi M, N lần lợt trung điểm AB, AC
Tam giác OQP cân O nên
= = ⇒ =
OPQ OQP PIM QJN AIJ AJI
Bổ đề Cho điểm nh− hình vẽ Biết OA // O’D; OB // O’C Khoảng cách từ OA, OB t−ơng ứng tới O’D, O’C Khi AB // CD
Chøng minh: DÔ thÊy hai tam giác OAB OCD cân O O
Tứ giác EOKO hình thoi nên OO phân giác hai góc AOB, DO C hay OO’ lµ trung trùc cđa AB vµ CD
Suy AB // CD Trở lại toán
(5)Ta có MN, LJ lần lợt đờng trung bình tam giác DBE ABE
Do MN // LJ // BE MN LJ= = 1BE Suy tứ giác MNJL hình bình hành Từ ta có ML NJ= = AD
2
Tơng tự tứ giác PNIK hình bình hành, ta có
= = AE
PK NI
2
Mà AD = AE nên ML = PK Suy F’G’ // FG (theo bổ đề 2)
Lại có OF’ OG’ trung trực AB AC nên theo bổ đề F’G’ // DE
Từ suy DE song song trùng với FG
C¸ch
Gäi M, N lần lợt giao điểm thứ hai GE, FD với đờng tròn (O)
Do F thuộc trung trùc cđa BD nªn ta cã
= = = ⇒ =
ADN FDB FBD AND AD AN T−¬ng tù G thc trung trùc cđa CE nªn
= = = ⇒ =
AEM GEC GCE AME AE AM
Mµ AD = AE nªn AM = AN = AD = AE
Do tứ giác MDEN nội tiếp đ−ờng trịn tâm A bán kính AD
Suy MED MND (cïng ch¾n cung MD) = Mặt khác MND MGF (cùng chắn cung MF = đờng tròn tâm O)
T ú ta có MED MGF, mà hai góc = vị trí đồng vị nên ta suy DE song song với FG
C¸ch
Gọi M, N lần l−ợt điểm đối xứng D, E qua AF AG
Ta cã FM = FD = FB
vµ MAF DAF; = AMF ADF =
Từ AMF ABF ADF BDF 180 + = + = o Suy tứ giác ABFM nội tiếp, M thuộc đ−ờng trịn (O)
Chøng minh t−¬ng tù ta cịng cã N thuộc đờng tròn (O)
Vì AM = AD = AE = AN nên tứ giác MDEN nội tiếp đờng tròn tâm A
Suy MND MED (cùng ch¾n cung MD); =
= =
AGM AGN AGE ⇒ G, E, M thẳng hàng Từ ta có MED MNF MGF = =
Suy DE song song víi FG
(6)Kì ny Bê gì? Bê theo mẹ bò?
Bê vỡ lở ng−ời c−ời? Bê tệ nạn ăn chơi? Bê thơm phức để mi n?
Bê từ sắt, xi măng?
Bê mà Mỹ quăng bom nhiều? Bê nhớ uống liều? Bê ăn hỏi điều tất nhiên?
Bê bát đĩa để trên? Bê mà đánh vần lên bờ?
Thần dân Toán Tuổi thơ Giải nhanh, giải chờ Trẫm khao!
VUA TÕU
(TTT2 số 203) Đi gì? Đi thi đề khó loay hoay Đi tàu biển dễ say vơ
§i chơi nhìn ngắm ung dung Đi ngủ báo thức vïng dËy lu«n
Đi viếng nét mặt thấy buồn Đi đám c−ới thấy chủ hôn t−ng bừng
Đi xe đèn đỏ phải dừng Đi chợ thực phẩm mua b−ng nhà
Đi đấu muốn thắng ta
Đi giày/dép phải chọn đôi Đi máy bay, d−ới mây trôi Đi học vào lớp để ngi lng nghe
Đi phải bớc hè
Đi nắng/ma nón mũ, ô che mái đầu
Nhận xét Kì Vua Tếu ban thởng cho bốn thần dân có tên sau đây: Trần Hữu Nhân, 6A, THCS Bình Thịnh, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Đoàn Nguyên Vũ, 6B, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn TiÕn Dịng, 7A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä; §inh Thu Giang, 7A2, THCS VÜnh Yªn, VÜnh Yªn, VÜnh Phóc
(7)h×nh nμo phï hợp? Cho bìa nh sau:
Gp tm bìa để tạo thành khối lập ph−ơng thu c hỡnh no di õy?
Đỗ thị thúy ngọc Phòng Giáo dục Trung học, Sở GD&ĐT Ninh Bình (Su tầm giới thiệu)
thiếu số nào? (TTT2 sè 203)
Quy luật Trong tam giác lớn, lấy số chia cho tổng số đỉnh số đáy bên trái đ−ợc số đáy bên phải Theo quy luật đó, ta có:
? = 75 : (8 + 7) = Vậy số thiếu
Nhn xét Quy luật kì t−ơng đối dễ, tất bạn tìm đ−ợc kết đúng, nhiều bạn diễn đạt ch−a thật xác Xin trao th−ởng cho bạn nhỏ tuổi: Nguyễn Tuấn Phong, 6A, THCS Hàn Thuyên, L−ơng Tài, Bắc Ninh; Đoàn Nguyên Vũ, 6B, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Đăng Quang, 6B, THCS Lý Nhật Quang, Đô L−ơng, Nghệ An; Võ Sỹ Quốc Anh, 6/1, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh; Trần Hữu Nhân, 6A, THCS Bình Thịnh, Đức Thọ, Hà Tnh
Các bạn sau đợc tuyên dơng: Bùi Kim Chóc, 9A3, THCS GiÊy Phong Ch©u, Phï Ninh, Phó Thä; Trịnh Ngọc Khanh, 7A2, THCS Mộc Lỵ, Mộc Châu, Sơn La; Trần Trung Phúc, 8A4, THCS Ngô Gia Tự, Hồng Bàng, Hải Phòng; Nguyễn Hoàng Long, 7B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Phạm Đình Thiên Bảo, 8C, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
(8)Các bạn hÃy giải toán sau tiếng Anh gửi tòa soạn nhé! Năm bạn có giải tốt đợc nhận quà
Problem 12(206) Three boys agree to divide a jar of marbles as follows: The first boy takes one more than half the marbles The second boy takes one third of the remaining marbles The third boy takes the marbles still left out in the bag Prove that the original number of marbles (found in the bag in the beginning) should have been two more than a multiple of
TS Đỗ ĐứC THàNH Trờng liên cấp Tiểu học THCS Ngôi Sao Hà Nội Problem 10(203)
We have: 24 = 16 which ends in 6,
22020 = (24)505 It is easily seen that two numbers ending in when multiplied give another number ending in as well
Thus the last digit in 22020 is Hence in =⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2020 2020
2020
2
,
10 the last digit of the decimal representation will also be
Nhận xét Chúc mừng bạn sau có lời giải tốt đ−ợc th−ởng kì này: Trần Minh Hồng, 7E, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn Phạm Thanh Nga, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Trung Phúc, 8A4, THCS Ngơ Gia Tự, Hồng Bàng, Hải Phịng; Trần Nam Hải, 8A3, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam nh
Đỗ ĐứC THàNH Một số cách giải
(TiÕp theo trang 3) C¸ch Gọi I, J lần lợt hai điểm thuộc cung nhá AG, AF cho IG = CG, JF = BF Gọi H, K lần lợt giao điểm FG víi AB, AC Do JF = BF nªn JAF BAF.=
Tứ giác ABFJ nội tiếp nên
= o− = o− =
AJF 180 ABF 180 BDF ADF
Do JFA DFA= mà JF = BF = DF nên ΔAJF = ΔADF (c.g.c) ⇒AJ = AD
T−¬ng tù ta cịng cã AI = AE hay AJ = AD = AE = AI
Suy AHK= 1(s® BF s® AG)+
= + +
= + +
= + =
1
(s® BF s® AI s® IG)
1
(s® JF s® AJ s® CG)
1
(s® AF s® CG) AKH
Từ tam giác ADE AHK cân A nên DE song song với FG
Nhận xột Bài tốn có phát biểu đẹp, nhẹ nhàng thú vị Các điểm t−ơng đối rời rạc đề rõ ràng đòi hỏi phải dựng thêm điểm phụ để kết nối giả thiết lại, nên cách tiếp cận phong phú đa dạng - Nếu giả thiết đổi lại vị trí điểm F, G cung lớn AB, AC kết
(9)lời giải hoàn ho cha? nguyn xuõn bỡnh
Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Bài toán Cô Mai có miếng vải hình tam
giỏc vuụng, cụ mun ct ming vải để đ−ợc khăn tay hình chữ nhật Em giúp cô Mai cách cắt để đ−ợc khăn tay có diện tích lớn
Một bạn có lời giải nh− sau:
Gi¶ sư miếng vải tam giác ABC vuông A Ta cần dựng hình chữ nhật AMPN
cho din tích hình chữ nhật AMPN lớn nhất, tức tìm vị trí P BC để tích PM.PN lớn
Ta cã PM=BP PN, =PC CA BC BA BC ⇒PM PN+ =BP+ PC=BC=1
CA BA BC BC BC Do PM PN
CA BA lín nhÊt vµ chØ PM PN BP PC
PB PC CA BA= ⇔BC BC= ⇔ =
Vậy hình chữ nhật AMPN có diện tích lớn P trung điểm BC Theo bạn, lời giải hoàn hảo ch−a?
(TTT2 số 203)
Tồn hay không tồn tại?
Nhận xét: Cách suy luận bạn khơng đúng, đẳng thức khơng xảy giá trị nh−ng xảy giá trị khác
Lời giải đúng:
= 2+ 2+ + + + + +1 a b P a b a b
a b b a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟ ⎜+ + ⎟+ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 a b 1 1 a b
2a 2b b a a b
≥ +1 2+ 2+ + 1.2 ab
≥ + + = +
+
2
1
3 2 3
a b
Đẳng thức xảy chØ
2
1 a b
a , b , , a b 1; 2a 2b b a
a 0; b
= = = + =
> >
2 a b
2 ⇔ = =
VËy gi¸ trị nhỏ P 3 + = =
a b
Nhận xét Đây toán quen thuộc, đa số học sinh gặp sai lầm tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số, chứng minh bất đẳng thức mà không đ−ợc giá trị biến số để đẳng thức xảy ra, dẫn đến kết luận sai Kì có nhiều bạn tham gia giải đ−ợc lỗi sai có lời giải Các bạn sau có lời giải tốt, đ−ợc th−ởng kì này: Nguyễn Trung Kiên, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thị Chi Mai, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Bùi Kim Chúc, 9A3, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh; Phùng Đăng D−ơng, 9C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Trần Trung Phúc, 8A4, THCS Ngô Gia Tự, Hồng Bàng, Hải Phòng
(10)BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD 2018-2019
vâ quèc b¸ cÈn
Trờng Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội (Dịch vµ giíi thiƯu)
Junior Balkan Mathematical Olympiad (JBMO) kì thi truyền thống đ−ợc tổ chức năm n−ớc vùng Balkan, năm 1997 Đối t−ợng tham dự kì thi em học sinh d−ới 16 tuổi
Ban đầu có 10 n−ớc thành viên thuộc vùng Balkan tham gia Những năm gần đây, quy mơ kì thi đ−ợc mở rộng thành 17 n−ớc với đội khách mời đến từ n−ớc không thuộc vùng Balkan nh− Saudi Arabia, Philippines, Pháp, …
C¸ch thøc tỉ chức kì thi giống với kì thi Olympic Toán Quèc tÕ (IMO):
Mỗi năm kì thi có n−ớc thành viên đăng cai tổ chức kì thi Mỗi đội tham dự có thí sinh
Các n−ớc tham dự gửi đề đề nghị đến ban tổ chức Học sinh n−ớc khơng đ−ợc biết đến đề đề nghị Nếu có gian lận n−ớc hủy kết cấm thi năm
Sẽ có hội đồng giám khảo Hội đồng xây dựng đề thi từ biểu chung tr−ởng đoàn n−ớc tham dự dựa đề đề nghị gửi
Các tr−ởng đoàn dịch đề thi tiếng n−ớc (tr−ởng đồn bị cách li khỏi học sinh tr−ớc kì thi) Học sinh làm tiếng n−ớc
Mỗi tốn đ−ợc làm giấy riêng có tổ chấm riêng cho Các thi đ−ợc scan lại Sau tr−ởng đồn chấm cho học sinh n−ớc đối
chiếu kết chấm tổ, thống nht i n kt qu chung
Điểm khác biệt hai kì thi có lẽ chỗ: JBMO có ngày thi với toán (làm 30 phút), 10 điểm
Đây kì thi với chất l−ợng chuyên môn cao Trong số này, giới thiệu đề thi hai năm gần đến với bạn đọc Đáp án đăng vào số
JBMO 2018
Bài Tìm tất cặp số nguyên (m, n) thỏa mÃn m5 n5= 16mn
Bµi Cho n sè tù nhiên có ba chữ số thỏa mÃn:
Mỗi số có tổng chữ số Không có số chứa chữ số
Hai số n số có chữ số hàng đơn vị khác
Hai sè bÊt k× n số có chữ số hàng chục khác
Hai sè bÊt k× n sè cã chữ số hàng trăm khác
Tỡm giỏ tr lớn n để tồn n số nh−
Bài Cho số nguyên k lớn số nguyên lẻ n lớn 2018 Giả sử tồn số hữu tỉ khác không x1, x2, , xn không đồng
+ = + = = n+
1
2
k k k
x x
x x x x
(11)Bài Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ lần l−ợt điểm đối xứng với điểm A, B, C qua cạnh BC, CA, AB Gọi A1 giao điểm thứ hai đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACC’ ABB’ Các điểm B
1, C1 đ−ợc xác định theo cách t−ơng tự Chứng minh ba đ−ờng thẳng AA1, BB1 CC1 ng quy
JBMO 2019
Bài Tìm tất số nguyên tố p cho tồn ba số nguyên dơng x, y, z thỏa mÃn xp + yp + zp − x − y − z tích ba số nguyên tố phân biệt
Bài Cho hai số thực phân biệt a, b số thực dơng c thỏa mÃn
a4 − 2019a = b4 − 2019b = c Chøng minh r»ng − c<ab <
Bµi Cho tam giác ABC với AB < AC, trực tâm H Đờng trung trực cạnh BC cắt đờng thẳng AB AC theo thứ tự P, Q Gọi M, N lần lợt trung điểm đoạn thẳng BC PQ Chứng minh giao điểm hai đờng thẳng HM AN thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bi Cho bảng vng kích th−ớc ì 100 (bảng gồm hàng 100 cột) Ng−ời ta tô đen n ô vuông đơn vị bảng cho ô vng đơn vị bảng có tối đa hai vng kề với đ−ợc tơ đen (hai vng đ−ợc gọi kề chúng có cạnh chung) Tìm giá trị lớn n
(TTT2 sè 203)
Món quà Tết kèm thử trí thơng minh Thám tử Sê Lốc Cốc nói với ng−ời bạn gái nh− sau: “Em khóa thêm ổ khóa vào hộp gửi lại cho ng−ời bạn, đừng gửi chìa khóa Khi ng−ời bạn nhận đ−ợc hộp quà chắn mở ổ khóa bạn khóa, gửi lại hộp cho em Tất nhiên quà đ−ợc giữ bí mật cịn ổ khóa em mà Đến em nhận đ−ợc hộp quà việc mở lấy quà, đơn giản phải khơng nào” Điểm bất ngờ lí thú câu chuyện chi tiết muốn mở ổ khóa mà lại khóa thêm ổ khóa vào
Nhận xét Thật đáng tiếc có khơng bạn “vội vàng” khẳng định hộp có gắn sẵn khóa q Món q đồ vật trang trí Các bạn quên câu chuyện có nhắc tới quà hộp, quà đ−ơng nhiên “bí mật”, ng−ời nhận ch−a mở đ−ợc hộp quà Chỉ có bạn sau “đọc” đ−ợc suy nghĩ nh− câu nói thám tử Sê Lốc Cốc, xứng đáng nhận quà: Nguyễn Thị Ph−ơng Thúy, 6A6, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh,
Phó Thä; Phan Minh Tâm, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Lê Phan Quỳnh Anh, 6B, THCS Hoàng Xuân HÃn, §øc Thä,
Hµ TÜnh
(12)Ai ng−ời đến từ vùng dịch CoVid-19?
TrÇn Phơng Nam(Su tầm viết lại)
iữa ngày nớc chống dịch Covid-19 nh chống giặc, lo cho chuyên mục nên nhắn tin qua messenger liên lạc với thám tử Sê Lốc Cốc:
- Thám tử đâu? Lại định “kiếm bài” cho bạn đọc Toán Tuổi thơ
Ngay tức khắc, thám tử nhắn lại:
- Mỡnh ang nơi an toàn! Quốc gia ch−a có dấu hiệu Covid-19 tràn sang Nh−ng lại có chuyện liên quan tới Covid-19 đấy!
T«i thùc sù sung sớng nhắn ngay:
- Chuyện có liên quan tới phá án không? Thám tử nhắn mặt cời dòng chữ: - Biết cậu kiếm cho chuyên mục nên chuyện không liên quan phá án tớ nhắc với bạn làm gì? Tối rảnh tay tí sÏ gưi mail cho cËu
Nhìn đồng hồ 4h00’ PM, tức phải chờ vài tiếng Tuy nhiên phấn khởi chuyện phá án từ Sê Lốc Cốc liên quan tới Covid-19 điều thật bất ngờ
Ăn cơm tối xong, vội vã “check mail” Suýt mừng reo lên rồi! Mọi phải nghe gõ, xin “copy nguyên xi” để bạn đọc nhé!
Chào Phơng Nam!
Sỏng nay, cỳ in thoi u tiên gọi đến khơng phải từ cảnh sát mà từ Trung tâm Y tế thành phố sống Khơng hiểu họ có số máy khó hiểu họ lại gọi đến Sau vài câu chào hỏi, họ yêu cầu đến gấp để giúp họ Chắc họ khơng muốn báo cảnh sát mà lại nhờ thám tử t− nh− xử lí
Đến nơi, ng−ời đứng cổng hỏi luôn:
- Ngài Sê Lốc Cốc phải không?
Vừa dẫn vào cầu thang máy, ngời vừa nói:
- Sếp chờ ngài Ngài thật nhanh Đúng tác phong thám tử!
Tt nhiên c−ời Thang dừng tầng 17, theo ng−ời đến phòng
(13)Một phụ nữ đứng tuổi vội vã b−ớc để kịp bắt tay b−ớc vào Bà ta nói nhanh:
- Chào thám tử! Ngài đến thật kịp thời Một chuyến bay đến sân bay thành phố có dừng chuyển tiếp quốc gia có dịch Covid-19, đất n−ớc chúng tơi ch−a có dấu hiệu dịch xuất nh−ng phải cảnh giác Trung tâm đ−ợc lệnh phối hợp hải quan đo thân nhiệt tất hành khách có vị khách thân nhiệt cao đ−ợc đ−a khu cách li để xem xét Bây ngài giúp xem xét vị khách đ−ợc khơng? Mình vừa b−ớc lại ghế mà bà ta hiệu mời tơi ngồi vừa nói:
- ThÕ mà lại nghĩ có vụ án Mà vụ án Kết luận chuyện nghiêm trọng việc phá án, có phải không bà? Bà ta vui vỴ:
- Cảnh giác điều khơng thừa Thám tử uống n−ớc ta ln Mình uống nhanh cốc n−ớc đứng lên: - Nào! Ta
Xe bà giám đốc Trung tâm l−ợn phía ngoại theo đ−ờng ôm lấy đồi Khi xe dừng lại khu nhà, liếc nhìn đồng hồ, nghĩ: Xe 35 phút tức nơi cách Trung tâm Y tế khoảng 45 km
Mình bà giám đốc đ−ợc nhân viên bảo vệ đ−a vào phịng rộng Một chút sau có ng−ời đ−a ng−ời vào, vị khỏch m b núi
Bà nói với vị kh¸ch:
- Mong vị thơng cảm bất tiện mà gây Đ−ơng nhiên, chúng tơi nhanh chóng giải phóng vị đủ yên tâm, xoá hết nghi ngờ Tất nhiên vị báo chi tiết cho hành trình Nh−ng có điều chúng tơi ch−a xác minh đ−ợc thông tin từ vị Thám tử Sê Lốc Cốc giúp việc xác minh ny
Bà ta đa mắt ý bảo thực việc cần làm
Xin cm n cu hộp trang y tế mà cậu tặng may túi có mang theo Mình vừa lấy đ−a cho vị khách nói:
- Chắc vị biết trang y tế Việt Nam mà anh bạn tặng Mời vị đeo trang mà đ−a cho cỏc v
Cả vị khách nhìn trang chút đeo nhanh theo yêu cầu
Nhìn vị đeo trang, bảo bà giỏm c:
- Tôi nghi có vị mà Bà giải phóng vị
Ngi m tụi nghi ng nhỡn tụi định nói nh−ng sau lại im lặng
Bà giám đốc ngạc nhiên:
- Lµm mµ thám tử kết luận nhanh thế? Mình nói:
- Tôi giải thích cho bà sau
on cui câu chuyện, cậu không cần biết Cậu đăng ln nội dung th− lên Tạp chí Tốn Tuổi thơ để bạn nhỏ thử tài nói thêm chút, ng−ời bị nghi đến bên cạnh mình, nói nhỏ:
- Thám tử q giỏi! Nh−ng tơi nghĩ ch−a bị lây nhiễm có đến từ quốc gia có dịch Cả n−ớc đ−ợc phổ biến đầy đủ công việc nhằm phịng chống dịch Mình c−ời, vỗ vai bt tay:
- Ngài chịu khó cách li 14 ngày nhé! Chúng ta gặp lại sau
(14)những yêu cầu cần đạt lớp 8 MạCH KIếN THứC “Đại số”
Biểu thức đại số
+Đa thức nhiều biến Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức nhiều biến
Nhn biết đ−ợc khái niệm đơn thức, đa thức nhiu bin
Tính đợc giá trị đa thức biết giá trị biến
Thực đ−ợc việc thu gọn đơn thức, đa thức
– Thực đ−ợc phép nhân đơn thức với đa thức phép chia hết đơn thức cho đơn thức
– Thực đ−ợc phép tính: phép cộng, phép trừ, phép nhân đa thức nhiều biến tr−ờng hợp đơn giản
– Thực đ−ợc phép chia hết đa thức cho đơn thức tr−ờng hợp đơn giản
+Hằng đẳng thức đáng nhớ
– Nhận biết đ−ợc khái niệm: đồng thức, đẳng thức
– Mơ tả đ−ợc đẳng thức: bình ph−ơng tổng hiệu; hiệu hai bình ph−ơng; lập ph−ơng tổng hiệu; tổng hiệu hai lập ph−ơng
– Vận dụng đ−ợc đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử dạng: vận dụng trực tiếp đẳng thức; vận dụng đẳng thức thơng qua nhóm hạng tử đặt nhân tử chung
+ Phân thức đại số Tính chất phân thức đại số Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số
– Nhận biết đ−ợc khái niệm phân thức đại số: định nghĩa; điều kiện xác định; giá trị phân thức đại số; hai phân thức
– Mơ tả đ−ợc tính chất phân thức đại số
– Thực đ−ợc phép tính: phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia hai phân thức đại số
– Vận dụng đ−ợc tính chất giao hốn, kết hợp, phân phối phép nhân phép cộng, quy tắc dấu ngoặc với phân thức đại số tính tốn
Hàm số đồ thị + Hàm số đồ thị
– Nhận biết đ−ợc mơ hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số
– Tính đ−ợc giá trị hàm số hàm số xác định cơng thức
– Xác định đ−ợc toạ độ điểm mặt phẳng toạ độ; xác định đ−ợc điểm mặt phẳng toạ độ biết toạ độ
– Nhận biết đ−ợc đồ thị hàm số
+ Hàm số bậc y = ax + b (a khác 0) đồ thị Hệ số góc đ−ờng thẳng y = ax + b (a khác 0)
Thiết lập đợc bảng giá trị hàm số bËc nhÊt y =ax +b (a kh¸c 0)
– Vẽ đ−ợc đồ thị hàm số bậc y =ax +
b (a kh¸c 0)
– NhËn biết đợc khái niệm hệ số góc đờng thẳng y =ax +b (a kh¸c 0)
– Sử dụng đ−ợc hệ số góc đ−ờng thẳng để nhận biết giải thích đ−ợc cắt song song hai đ−ờng thẳng cho tr−ớc – Vận dụng đ−ợc hàm số bậc đồ thị vào giải số tốn thực tiễn (ví dụ: tốn chuyển động Vật lí, ) Ph−ơng trình
+ Phơng trình bậc
Hiểu đợc khái niệm phơng trình bậc ẩn cách gi¶i
– Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với ph−ơng trình bậc (ví dụ: toán liên quan đến chuyển động Vật lí, tốn liên quan đến Hố học, )
MạCH KIếN THứC HìNH HọC Và ĐO LƯờNG
H×nh häc trùc quan
(15)+ Hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác
– Mô tả (đỉnh, mặt đáy, mặt bên, cạnh bên), tạo lập đ−ợc hình chóp tam giác hình chóp tứ giác
– Tính đ−ợc diện tích xung quanh, thể tích hình chóp tam giác hình chóp tứ giác
– Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với việc tính thể tích, diện tích xung quanh hình chóp tam giác hình chóp tứ giác (ví dụ: tính thể tích diện tích xung quanh số đồ vật quen thuộc có dạng hình chóp tam giác hình chóp tứ giác đều, )
Hình học phẳng
Định lí Pythagoras + §Þnh lÝ Pythagoras
– Giải thích đ−ợc định lí Pythagoras
– Tính đ−ợc độ dài cạnh tam giác vng cách sử dụng định lí Pythagoras
– Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Pythagoras (ví dụ: Tính khoảng cách hai vị trí)
Tø gi¸c + Tứ giác
Mô tả đợc tứ giác, tø gi¸c låi
– Giải thích đ−ợc định lí tổng góc tứ giác lồi 360o
+ Tính chất dấu hiệu nhận biết tứ giác đặc biệt
– Giải thích đ−ợc tính chất góc kề đáy, cạnh bên, đ−ờng chéo hình thang cân – Nhận biết đ−ợc dấu hiệu để hình thang hình thang cân (ví dụ: Hình thang có hai đ−ờng chéo hình thang cân) – Giải thích đ−ợc tính chất cạnh đối, góc đối, đ−ờng chéo hình bình hành
– Nhận biết đ−ợc dấu hiệu để tứ giác hình bình hành (ví dụ: Tứ giác có hai đ−ờng chéo cắt trung điểm đ−ờng hình bình hành)
– Gi¶i thÝch đợc tính chất hai đờng chéo hình chữ nhËt
– Nhận biết đ−ợc dấu hiệu để hình bình hành hình chữ nhật (ví dụ: Hình bình hành có hai đ−ờng chéo hình chữ nhật) – Giải thích đ−ợc tính chất đ−ờng chéo hình thoi
– Nhận biết đ−ợc dấu hiệu để hình bình hành hình thoi (ví dụ: Hình bình hành có hai đ−ờng chéo vng góc vi l hỡnh thoi)
Giải thích đợc tính chất hai đờng chéo hình vuông
– Nhận biết đ−ợc dấu hiệu để hình chữ nhật hình vng (ví dụ: Hình chữ nhật có hai đ−ờng chéo vng góc với hình vng)
Định lí Thales tam giác + Định lí Thales tam gi¸c
– Giải thích đ−ợc định lí Thales tam giác (định lí thuận đảo)
– Mơ tả đ−ợc định nghĩa đ−ờng trung bình tam giác Giải thích đ−ợc tính chất đ−ờng trung bỡnh ca tam giỏc
Giải thích đợc tính chất đờng phân giác tam giác
Tính đ−ợc độ dài đoạn thẳng cách sử dụng định lí Thales
– Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thales (ví dụ: Tính khoảng cách hai vị trí)
Hình đồng dạng + Tam giác đồng dạng
– Mô tả đ−ợc định nghĩa hai tam giác đồng dạng
– Giải thích đ−ợc tr−ờng hợp đồng dạng hai tam giác, hai tam giác vuông – Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với việc vận dụng kiến thức hai tam giác đồng dạng (ví dụ: tính độ dài đ−ờng cao hạ xuống cạnh huyền tam giác vuông cách sử dụng mối quan hệ đ−ờng cao với tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng lên cạnh huyền; đo gián tiếp chiều cao vật; tính khoảng cách hai vị trí có vị trí khơng thể tới đ−ợc, )
+ Hình đồng dạng
– Nhận biết đ−ợc hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự), hình đồng dạng qua hình ảnh cụ thể
– Nhận biết đ−ợc vẻ đẹp tự nhiên, nghệ thuật, kiến trúc, cơng nghệ chế tạo, biểu qua hình ng dng
Thực hành phòng máy tính với phần mềm toán học (nếu nhà trờng có điều kiện thùc hiÖn)
– Sử dụng phần mềm để hỗ trợ việc học kiến thức hình học
– Thực hành sử dụng phần mềm để vẽ hình thiết kế đồ hoạ liên quan đến hình đồng dạng
(16)Kì 49
Bạn hÃy thay chữ khác chữ sè kh¸c cho
+ =
PHONG CHONG CORONA
LÊ anh tuấn (Quỳnh Đôi, Quỳnh Lu, NghƯ An)
K× 47 (TTT2 sè 203)
Ta cã 10 TY 99 ≤ ≤
Suy 1921 CANH 2020 TY 2010 ≤ = − Vì CANH số phơng mà
= < <
43 1849 1921 1936 =442<2010 2025 45 nªn < =
= =
CANH 1936 44 Suy TY 2020 CANH = −
=2020 1936 84 − = VËy CANH TY +
=1936 84 44+ = 2+84 2020 =
Nhận xét Đề kì khơng khó nên có nhiều bạn giải Các bạn sau có lời giải trình bày đẹp đ−ợc th−ởng kì này: Đỗ Thành Nam, 6A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc; Trần Hữu Nhân, 6A, THCS Bình Thịnh, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Minh Trí, 6A4, THCS Ngơ Sĩ Liờn, Q Hon Kim, H Ni;
Nguyễn Đăng Quang, 6B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng, Nghệ An; Lơng Hà Phúc, 6A5, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ
Các bạn sau có lời giải tốt đợc khen: Trần Đình An, Lê Phan Quỳnh Anh, Đoàn Hiển Đan, 6B, Đoàn Minh Đức, 7A, Phạm Đình Thiên Bảo, 8C, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ; Võ Sỹ Quốc Anh, 6/1, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Bùi Kim Chúc, Vũ Đình Hoàng, 9A3, Nguyễn Sơn Hải, 7A4, Ngun Phóc H−ng, 7A1, THCS GiÊy Phong Ch©u, Phï Ninh; Hoàng Minh Vũ,
7D, THCS Văn Lang, TP Việt Trì; Nguyễn Duy Anh, Quản Tiến Anh, Nguyễn Tiến Dũng,
Dơng Nguyên Khánh, Đỗ Ngọc Tiến, 7A3,
Ph¹m TrÝ Dịng, 7A2, Ph¹m NghÜa HiƯp, 6A3,
Ngun Phạm Thanh Nga, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Huy Hoàng Sơn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc;
Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, TP VÜnh Yªn; Ngun Hång Nam, 7A, THCS Lý Tù Träng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Sỹ Bách, Nguyễn Kim Mạnh, 7D, Lê Khắc Hng, 7A, Phạm Viết Thịnh, 8C, Nguyễn Hải Triều, Lê Anh Tuấn, 6B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Phan Thùy Trâm, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành; Đậu Phơng Anh, 6D, Phan Hữu Cờng, Phan Quang Triết, 7B, Lê Hữu Uy, 6B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Đồng Đức Mạnh, 8A3, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Hữu Niêm, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Hoàng Long, 7B, Lê Phú Quang, 7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Trần Trung Phúc, 8A4, THCS Ngô Gia Tự, Hồng Bàng, Hải Phòng
(17)dựng trực tâm tam giác
Bài toán Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Chỉ dùng compa, hÃy dựng trực tâm tam giác ABC
Đoàn văn trúc
Trờng THCS Nguyễn TrÃi, Mộ Đức, Quảng NgÃi
(TTT2 số 203)
Trung điểm trung trực
Li gii C hai bạn nói
Ta sÏ chøng minh trung trực DE qua tâm O đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm I DE nằm đờng trung bình MN tam giác ABC (xem hình vẽ)
Thật vậy, gọi M, N lần lợt trung điểm cña AB, AC
Do AD + AE = AB nªn ta cã
= = AB−
NE MD AE
XÐt ΔONE vµ ΔOMD cã ON = OM,
= = o
ONE OMD 90 , NE = MD Suy ΔONE =ΔOMD (c.g.c) Do OE = OD EON DOM =
Mặt khác, gọi I trung điểm DE Ta cã OIE ONE 90 = = o
Suy tứ giác OIEN nội tiếp đờng tròn đờng kính OE nên EIN EON= (cùng chắn cung NE)
Tơng tự, tứ giác OIMD nội tiếp đờng tròn đờng kính OD nên DIM DOM (cùng =
chắn cung MD)
Mµ EON DOM= ⇒EIN DIM.=
Suy I, M, N thẳng hàng
Vy trung im I DE di chuyển MN cố định
Lại có, tứ giác OIEN tứ giác OIMD néi tiÕp nªn IOE INE ACB, = =
= =
IOD IMA ABC
Suy EAD EOD EAD IOE IOD + = + + =BAC ACB ABC 180 + + = o
Do tứ giác AEOD nội tiếp
Vậy đ−ờng trung trực DE qua điểm O cố định O thuộc đ−ờng tròn qua ba điểm A, D, E
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đ−ợc th−ởng kì này:
Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn Phạm Thanh Nga, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Ngô Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghƯ An;
Ngun Trung Kiªn, 8A1, Lê Đăng Quang,
9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, B¾c Ninh
(18)Bài 1(203) Có số tự nhiên bội 3, viết chữ số 0, 1, số có khơng q chữ số?
Lêi giải (Theo lời giải bạn Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh)
Các số lập đợc có dạng abcdef với a, b, c, d, e, f ∈ {0; 1; 2} vµ (a + b + c + d + e + f) Ta thấy chữ số a, b, c, d có cách chọn Với cách chọn chữ số e có cách chọn chữ số f
f = a + b + c + d + e ≡ (mod 3) f = a + b + c + d + e ≡ (mod 3) f = a + b + c + d + e ≡ (mod 3) Do lập đ−ợc tất số số thỏa mãn đề 35.1 = 243 số
Có thể diễn đạt ngắn gọn cách giải nh− sau: Ta thêm vào chữ số chữ số cho số tự nhiên ta có đủ chữ số Nếu năm chữ số số đ−ợc xác định chữ số cuối hàng đơn vị ln đ−ợc xác định để thu đ−ợc số bội Số − x x khác x = 0, x số d− phép chia tổng năm chữ số cho
Vậy số số cần tìm 35 = 243 số
Nhận xét Đây toán hay kiến thức bản, nhiên có bạn tham gia giải Ngoài bạn Trần Minh Hoàng, bạn sau có lời giải tốt: Phạm Đăng Việt Bách, 6C4, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy; Nguyễn Minh Trí, 6A4, THCS Ngô Sĩ Liên, Q Hoàn Kiếm, Hà Nội
Cao văn dũng
Bài 2(203) Chøng minh r»ng 1999 sè tù nhiªn liªn tiếp có số mà tổng chữ sè cđa nã chia hÕt cho 27
Lêi gi¶i Giả sử 1999 số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + 2; …; n + 1998
Xét 1000 số tự nhiên dãy n; n + 1; n + 2; …; n + 999 Trong 1000 số phải có số chia hết cho 1000, gọi số m (m ≤ n + 999)
Khi m A000 (A số tự nhiên) = Kí hiệu S(m) tổng chữ số số m Đặt S(m) = t Xét dãy 27 số tự nhiên sau
A001, A002, , A009 A091, A092, , A099 A991, A992, , A999
Ta có A999 n 999 999 n 1998≤ + + = + nên 27 số tự nhiên thuộc dãy số cho Lại có tổng chữ số 27 số tự nhiên lần l−ợt t + 1; t + 2; ; t + 9; t +10; t + 11; ; t + 18; t + 19; t + 20; ; t + 27 Trong 27 số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hết cho 27 Nghĩa 1999 số tự nhiên cho có số mà tổng chữ số chia hết cho 27
(19)Hoµng, 7E, THCS Ngun TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh
phùng kim dung
Bài 3(203) Ba bạn Toán, Tuổi, Thơ phải hoàn thành công việc Để hoàn thành công việc này, Toán làm mình, số ngày cần thiết nhiều gấp a lần Tuổi Thơ làm chung Tơng tự, Tuổi làm mình, số ngày cần thiết nhiều gấp b lần Toán Thơ làm chung, Thơ làm mình, số ngày cần thiết nhiều gấp c lần Toán Tuổi làm chung TÝnh
= + +
+ + +
1 1
T
a b c
Lêi gi¶i Gäi x, y, z tơng ứng số phần công việc mà Toán, Tuổi, Thơ làm đợc (x, y, z số hữu tỉ dơng) Theo giả thiết ta cã y + z = ax, z + x = by, x + y = cz Suy
+ + +
+ = + = ⇒ =
+ + +
y z x y z x
a 1
x x a x y z
T−¬ng tù = =
+ + + + + +
1 y z
,
b x y z c x y z Do
+ +
= + + = =
+ + + + +
1 1 x y z
T
a b c x y z
Nhận xét Đây toán suy luận đơn giản Các bạn sau có lời giải đúng: Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Sĩ Bách, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô L−ơng; Nguyễn Gia Bảo, Phan Hữu C−ờng, Phan Quang Triết, 7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn Anh Th−, 7A1, THCS Kế An, Kế Sách, Sóc Trăng
nguyễn minh đức
Bµi 4(203) Cho tam giác ABC cân A có
= o
A 100 I giao điểm đờng phân giác tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho BD = BC Đờng thẳng BI
cắt AC E, DE cắt BC F Chøng minh IF vu«ng gãc víi AB
Lêi giải Từ giả thiết tam giác ABC cân A vµ A 100 suy = o
− −
= =180o A =180o 100o = o
ABC ACB 40
2
V× BD = BC, nên tam giác BCD cân B suy BCD BDC= =180o−ABC
2
=180o−40o =70 o
Theo giả thiết BE phân giác tam giác BCD cân B nên EC = ED Suy
= = − = o− o = o
EDC ECD BCD ACB 70 40 30 Do
= − = o− o = o
BDF BDC EDC 70 30 40 Từ ta có tam giác BFD cân F hay FB = FD, mà IB = IC = ID
Suy FI đờng trung trực BD, hay FI vu«ng gãc víi AB
(20)Hữu Cờng, Nguyễn Gia Bảo, 7B, Hoàng Anh Dũng, 7G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Phùng Khánh Linh, 7A1, THCS Nghi Hơng, TX Cửa Lò, Nghệ An; Võ Thị Phơng Linh, 7/2, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, Hµ TÜnh
hå quang vinh
Bài 5(203) Tìm số M lớn cho ta có bất đẳng thức x2≥M x x[ ] { } thỏa mãn với số thực x (trong [ ]x , x{ }t−ơng ứng kí hiệu phần nguyên phần thập phân x) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có x2= ([x] + {x})2≥ 4[x]{x}
Suy bất đẳng thức cho với x M = (1)
Ta chứng minh bất đẳng thức M >
Thật vậy, giả sử tồn Mo > cho bất đẳng thức x2 ≥M [x] {x} với số o⋅ ⋅ thực x
Đặt Mo = + a với a > 0, bất đẳng thức đ−ợc viết lại thành
( )
≥ + ⋅ ⋅
⇔ + ≥ + ⋅ ⋅
2
2 x (4 a) [x] {x}
[x] {x} (4 a) [x] {x}
( ) ( ) ⇔ + − ⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ ⇔ − ≥ ⋅ ⋅ 2
[x] {x} [x] {x} a [x] {x} [x] {x} a [x] {x}
Chän sè thùc x cho [x] = vµ
{x}
a =
+ (sè x nh− tồn
0
a < <
+ )
Bất đẳng thức trở thành
⎛ ⎞ − ≥ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ 1 a.1
a a
⇔ ≥
+
+
a a
a ( a 1)
⇔ ≥
+
1
a (v« lÝ)
Do đó, bất đẳng thức cho thỏa mãn với x M > (2)
Từ (1) (2), ta suy số lớn thỏa mãn yêu cầu đề M =
Nhận xét Một số bạn chọn x = + a với < a < viết bất đẳng thức d−ới dạng a2 − (M − 2)a + ≥ 0, ∀0 < a <1
Sau suy biệt thức Δcủa đa thức bậc hai vế trái khơng d−ơng Từ suy M ≤ Tiếc rằng, lí luận ch−a chặt chẽ Có vẻ nh− bạn muốn sử dụng định lí: Điều kiện cần đủ để đa thức f(x) = ax2 +
bx + c (a0) nhận giá trị không ©m víi mäi sè thùc x lµ ⎧⎨ >
Δ ≤ ⎩
a 0
Tuy nhiên, tr−ờng hợp toán này, biến a bị chặn nên khẳng định định lí ch−a
Do vậy, để lời giải đ−ợc chặt chẽ, cần bổ sung số lí giải cho rõ ràng Một số bạn khác mắc lỗi sai viết bất đẳng thức d−ới dạng (A(x))2 ≥ M.B(x) khẳng định để bất đẳng thức với x phải có M.B(x) ≤
Bài có bạn giải Các bạn sau có lời giải tốt: D−ơng Hồng Sơn, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xn, Hà Tĩnh; Ngơ Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
Vâ quèc b¸ cẩn
Bài 6(203) Giải hệ phơng trình
− + − = + ⎪⎪ − + − = + ⎨ ⎪ − + − = + ⎪⎩ 3
x 7x x y
y 7y y z
z 7z z x
Lời giải ĐKXĐ x 2; y ≥ 2; z ≥
Kh«ng mÊt tổng quát giả sử x = max{x, y, z} NÕu x ≥ y ≥ z th× x + ≥ y +
Từ suy
− + − ≥ − + −
3
(21)⇔z3−x3+7x 7z− + z 2− − x 0− ≥ −
⇔ − + + − + ≥
− + −
2 z x
(z x)(z xz x 7)
z x
⎛ ⎞
⇔ − ⎜ + + − + ⎟≥
− + −
⎝ ⎠
2
(z x) z xz x (1)
z x Vì x 2; z nên
+ + − + >
− + −
2
z xz x
z x
Do từ (1) ta có x = z Suy x = y = z Nếu x ≥ z ≥ y, chứng minh t−ơng tự ta đ−ợc x = y = z
VËy ta lu«n cã x = y = z
Thay vào phơng trình thứ hệ ta đợc
− + − = +
3
x 7x x x
⇔x3−9x x 3+ − + x − − = −
⇔ − + − + =
− +
2 x
x(x 9) (x 3)
x
⎛ ⎞
⇔ − ⎜ + + + ⎟=
− +
⎝ ⎠
2
(x 3) x 3x
x ⇔ =x
(V× x 2≥ nªn + + + > − +
2
x 3x
x ) Suy x = y = z = Thử lại thỏa mãn Vậy hệ ph−ơng trình cho có nghiệm (x; y; z) = (3; 3; 3)
Nhận xét Có nhiều bạn tham gia giải bài, số bạn xét không tổng quát giả sử x ≥ y ≥ z dẫn đến lời giải ch−a đầy đủ Các bạn sau có lời giải tốt: Lê Đăng Quang, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Tuấn D−ơng, 9D5, THCS Chu Văn An, Q Ngô Quyền, Hải Phịng; Bùi Kim Chúc, Vũ Đình Hồng, 9A3, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh; Nguyễn Phạm Thanh Nga, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Phùng Đăng D−ơng, 9C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Nguyễn Anh Th−, 7A1, THCS K An, K Sỏch, Súc
Trăng; Nguyễn Lê Nhật Giang, 9A1, THCS Nguyễn Công Trứ, Q Ba Đình; Lê Duy Anh, Dơng Hồng Sơn, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội
nguyễn ngọc hân
Bài 7(203) Cho số thực dơng a, b, c, d tháa m·n abcd = Chøng minh r»ng
+
+ + + + + +
+ + ≤
+ + + + + +
4 4 4
4 4 4
1
1 a b c b c d
1
1
1 c d a d a b
Lời giải áp dụng bất đẳng thức
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx víi mäi sè thùc x, y, z ta thu đợc kết
+ + + +
≥ + +
4 4 2 2 2
2 2
a b c a b b c c a
ab c abc a bc Suy
+ 4+ 4+ 4≥ + + 2+
1 a b c abcd ab c abc a bc Do a, b, c, d số dơng nên ta cã
( )
≤
+ + + + + +
= =
+ + + + + +
4 4 2
1
1 a b c abcd ab c abc a bc
abcd d
(1) abc a b c d a b c d T−¬ng tù ta còng cã
≤ + + + + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + + + +
4 4
4 4
4 4
1 a
(2) a b c d
1 b c d
1 b
(3) a b c d
1 c d a
1 c
(4) a b c d
1 d a a
Céng vÕ víi vÕ (1), (2), (3) vµ (4) ta ®−ỵc +
+ + + + + +
+ + ≤
+ + + + + +
4 4 4
4 4 4
1
1 a b c b c d
1
1
1 c d a d a b
Đẳng thức xảy a = b = c = d =
(22)NguyÔn Lơng Uy, Lê Duy Anh, Dơng Hồng Sơn, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội; Nguyễn Tuấn Đạt, 8A, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam Nông; Trần Thị Yến Khanh, 9A3, THCS L©m Thao; Ngun Tn Minh, 9D, THCS Thọ Sơn; Trần Minh Khôi, 9C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Trơng Quang Mạnh, 9D, Nguyễn Chi Mai, 8E, Nguyễn Duy Khôi Nguyên, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Lê Thành Trung, 9D, THCS Điện Biên, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Hữu Niêm, Đỗ Văn Tài, Nguyễn Trung Kiên, Lê Đăng Quang, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Tuấn Dơng, 9D5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng
trịnh hoài dƯơng
Bài 8(203) Cho tam giác ABC cã
= o
BAC 120 , (I) đ−ờng tròn nội tiếp Gọi D, E, F theo thứ tự tiếp điểm (I) với BC, CA, AB L điểm đối xứng D qua EF Chứng minh BLC 90 = o
Lêi gi¶i
Gọi P, Q theo thứ tự điểm đối xứng B, C qua EF; H, K theo thứ tự giao điểm EF với BP, CQ
V× BAC 120= o AE = AF nên
o AFE AEF 30 = =
Do BFH CEK 30 = = o
Kết hợp với P, Q điểm đối xứng B, C qua EF, suy tam giác BPF, CQE Do BP = BF = BD, CQ = CE = CD
Từ đó, ý phép đối xứng trục bảo tồn số đo góc BP // CQ, ta có biến đổi góc nh− sau:
o
o o
o
o o BLC PDQ 180 BDP CDQ
180 PBD 180 QCD 180
2
PBD QCD 180
90
2
= = − −
− −
= − −
+
= = =
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Nguyễn Lê Nhật Giang, 9A1, THCS Nguyễn Công Trứ, Q Ba Đình; D−ơng Hồng Sơn, Đỗ Hồng Nhật Nam, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội
trÇn quang hùng
Đợc thởng kì này
Thi giải toán qua th−
(23)Trận đấu thứ trăm Bảy m−ơi
Ng−ời thách đấu: Nguyễn Văn Huyện, Ph−ờng Thảo Điền, Quận 2,
TP Hå ChÝ Minh
Bài toán thách đấu: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
Chøng minh r»ng + + + ≤
+ + + + + +
a b c 12abc
3
b c c a a b (a b)(b c)(c a)
Thời hạn: Trớc ngày 08.04.2020 theo dấu b−u ®iƯn
Trận đấu thứ trăm sáu m−ơi tỏm (TTT2 s 203)
Đề Giải phơng trình
− + = 3− + +
2
7x 13x 2x 3x 3x x
Lời giải Nhận xét x =
nghiệm phơng trình
Xét x 0, chia hai vế phơng trình cho x3 ta đợc
+ = + +
2
7 13
2
x x x x x
Đặt t=
x Phơng trình trở thµnh
− + = + −
3 2
8t 13t 7t t 3t
⇔ − + − + −
= + − + + −
3
3
2
(8t 12t 6t 1) 2(2t 1)
(t 3t 3) t 3t
⇔ − + −
= + − + + −
3
3
2
(2t 1) 2(2t 1)
(t 3t 3) t 3t
Ta cã nhËn xÐt sau:
Nếu a > b a3> b3⇒ a3+ 2a > b3+ 2b Nếu a < b a3< b3⇒ a3+ 2a < b3+ 2b Do a3+ 2a = b3+ 2b ⇒a = b
Từ ta có 2t 1− =3 2t +3t − ⇔(2t 1)− 3−(t2+ −3t 3) 0= ⇔8t3−13t2+3t 0+ = ⇔ −(t 1)(8t2−5t 2) 0− =
⎧ + − ⎫
⎪ ⎪
⇔ ∈⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
5 89 89
t 1; ;
16 16
Do ∈⎧⎪⎨ − + − − ⎫⎪⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
5 89 89
x 1; ;
4
Nhận xét Đây toán giải
phơng trình dạng bản, hay Có
hai võ sĩ xứng đáng đ−ợc đăng
quang trận đấu này: Đỗ Văn Tài, 9A1,
THCS Yªn Phong, Yên Phong, Bắc Ninh;
Nguyễn Bùi Đại Hiệp, 9A, THCS Nguyễn
Hiền, Nam Trực, Nam Định
nguyễn minh §øc
Cách đặt mua tạp chí năm 2020 Đặt b−u điện VNPT: Tạp chí
Toán Tuổi thơ 1: C169; Tạp chí Toán
Tuổi thơ 2: C169.1; Tổng tập Toán Tuổi
thơ năm 2018: C169.2; Tổng tập Toán
Tuổi thơ năm 2018: C169.3; Tổng tập
Toán Tuổi thơ năm 2017: C169.4; Tổng
tập Toán Tuổi thơ năm 2017: C169.5
(24)phng phỏp ng bậc
trong chứng minh bất đẳng thức
mai văn năm
Khỏnh Hng, Yờn Khỏnh, Ninh Bình ất đẳng thức dạng tốn hay
khó, có nhiều ph−ơng pháp chứng minh cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển nh− bất đẳng thức Cauchy, Bunyakovsky, Schur, … Nh−ng ý đến bậc biến bất đẳng thức tìm cách cân ta chứng minh đ−ợc tốn khơng khó khăn
Tr−ớc tiên ta xét bất đẳng thức Schur
Cho a, b, c, t số thực dơng th× at(a − b)(a − c) + bt(b − c)(b − a) + ct(c − a)
(c − b)0
Chứng minh Không tính tổng quát, giả
sử a ≥ b ≥ c > Khi
≥ ⇒ − − ≥ − −
⇒ − − + − −
≥ − − + − −
= − ≥
t t t t
t t
t t
t
a b a (a b)(a c) b (a b)(a c)
a (a b)(a c) b (b c)(b a) b (a b)(a c) b (b c)(b a)
b (a b)
Mặt khác c (c a)(c b) t − − ≥ Từ suy
at(a − b)(a − c) + bt(b − c)(b − a) + ct(c − a)
(c b)0
Đẳng thức xảy chØ a = b = c •NÕu t = ta cã
a(a − b)(a − c) + b (b − c)(b − a) + c(c − a) (c − b) ≥ (I)
Bất đẳng thức (I) t−ơng đ−ơng với
a3 + b3+ c3 + 3abc ≥ a2b + ab2 + b2c + bc2+
c2a + ca2 (II)
•NÕu t = ta cã
a2(a − b)(a − c) + b2(b − c)(b − a) + c2(c − a)
(c − b) ≥ (III)
D−ới số toán chứng minh bất đẳng thức bng cỏch a v cựng bc
Bài toán Với a, b, c số thực thỏa mÃn a2+ b2+ c2= Chøng minh r»ng
+ + + + + ≤
3 3
a (b c) b (c a) c (a b) (1)
Lời giải Ta thấy đơn thức VT
(1) có bậc 4, ta đ−a VP bậc Từ giả thiết ta có (a2+b2 +c )2 =9 Khi ta có
⇔ + + + + + ≤
(1) 3a (b c) 3b (c a) 3c (a b) 18
⇔ + + + + +
≤ + +
3 3 3
2 2
3(a b a c b a b c c a c b)
2(a b c )
⇔ + + + + +
− + + + + + ≥
4 4 2 2 2
3 3 3
2(a b c ) 4(a b b c c a )
3(a b a c b a b c c a c b) (2) XÐt a4+b4+4a b2 −3ab(a2+b )
= + + − + = + + − + = + − − + = − + − + + = − + − − = − + − ≥
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
(a b ) 2a b 3ab(a b )
(a b )(a b 3ab) 2a b
(a b )[(a b) ab] 2a b
(a b) (a b ) ab(a b ) 2a b
(a b) (a b ) ab(a b)
(a b) (a b ab)
T−¬ng tù
+ + − + ≥
4 2 2
b c 4b c 3bc(b c ) 0;
+ + − + ≥
4 2 2
c a 4a c 3ac(a c )
Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đ−ợc 2(a4+ b4+ c4) + 4(a2b2+ b2c2+ c2a2) − 3(a3b +
a3c + b3a + b3c + c3a + c3b) ≥
Suy (2) ỳng Do ú (1) ỳng (pcm)
Bài toán Với a, b, c số thực dơng
tháa m·n a + b + c = Chøng minh r»ng
+ + + ≥ + +
4 4 3
a b c abc a b c (1)
(25)Lời giải Ta thấy bậc đơn thức VT cao bậc Nên ta đ−a đơn thức hai vế bậc
Ta cã
⇔ 4+ 4+ + ≥ 3+ 3+
(1) 2(a b c ) 2abc 2(a b c )
⇔ + + + + +
≥ + + + +
4 4
3 3
2(a b c ) (a b c)abc
(a b c)(a b c )
⇔ + + + + +
− − − − − − ≥
4 4 2
3 3 3
a b c a bc b ca c ab
a b a c b a b c c a c b
⇔ − − + − −
a (a b)(a c) b (b c)(b a) +c (c a)(c b) (đúng theo (III)) 2 − − ≥ Suy (1) (đpcm)
Bài toán Cho x, y, z sè d−¬ng tháa
m·n x + y + z = Chøng minh r»ng
+ + + ≥
3 3 15 27
x y z xyz (1)
4
Lời giải Ta thấy đơn thức VT (1)
cã bậc nên ta đa VP bậc Ta cã
+ +
⇔ 3+ 3+ 3+15 ≥(x y z)3
(1) x y z xyz
4
⇔ + + + ≥ + +
+ + + +
3 3 3
4(x y z ) 15xyz x y z
3(x y)(y z)(z x)
⇔x3+y3+z3+3xyz x y x z y z ≥ + + + + +
y x z x z y (đúng theo (II)) Suy (1) (pcm)
Bài toán Cho x, y, z số thực không
âm thỏa mÃn x + y + z = Chøng minh
+ + + ≥
2 2
x y z xyz (1)
Lêi gi¶i Ta thÊy VT cđa (1) cã bËc cao nhÊt
là bậc Do ta đ−a hai vế bậc Ta có
⇔ 2+ 2+ + ≥
(1) 27(x y z ) 27xyz 4.27
⇔ + + + + +
≥ + +
2 2
3
9(x y z)(x y z ) 27xyz
4(x y z)
⇔ + + +
≥ + + + + +
3 3
2 2 2
5(x y z ) 3xyz
3(x y x z y x y z z x z y) (2) Mặt khác theo (II) ta có
x3+y3+z3+3xyz x2y+x2z+y2x+y2z+z2x
+z2y.
Do cần chứng minh
+ +
≥ + + + + +
3 3
2 2 2
4(x y z )
2(x y x z y x y z z x z y)
⇔ − + − + − + −
+ − + − ≥
3 3
3
(x x y y y x) (y y z z z y)
(z z x x x z)
⇔(x y) (x y) (y z) (y z) − + + − + + −(z x) (z x) 2 + ≥
Suy (2) Do (1) ỳng (pcm)
Bài toán Cho x, y, z số thực dơng
thỏa mÃn x + y + z = Chøng minh
+ + − ≤
xy yz zx 2xyz (1)
27
Lời giải Đ−a đơn thức c hai v v bc
ta đợc
⇔ + + + + −
≤ + +
(1) (xy yz zx)(x y z) 2xyz
7
(x y z) 27
⇔ + + + + + +
≤ + + + + + +
2 2 2
3 3
27(x y x z y x y z z x z y) 27xyz
7(x y z ) 21(x y)(y z)(z x)
⇔ + + +
≥ + + + + +
3 3
2 2 2
7(x y z ) 15xyz
6(x y x z y x y z z x z y) MỈt kh¸c theo (II) ta cã
x3+ y3+ z3+ 3xyz≥ x2y + x2z + y2x + y2z + z2x
+ z2
y
Do cần chứng minh
2(x3 + y3 + z3)≥ x2y + x2z + y2x + y2z + z2x +
z2y
⇔ − + − + − + −
+ − + − ≥
3 3
3
(x x y y y x) (y y z z z y)
(z z x x x z)
⇔(x−y)2(x+y)+(y−z)2(y+z)+(z −x)2 +
(z+x)≥0(luôn đúng) Suy (1) ỳng (pcm)
Bài toán Cho số d−¬ng a, b, c tháa
m·n a + b + c = Chøng minh r»ng
+ + ≥
+ + +
2 2
2 2
a b c
1 (1)
a 2b b 2c c 2a
(26)+ +
+ + +
2 2
2 2
a b c
a 2b b 2c c 2a
= + +
+ + +
+ +
≥
+ + + + +
4 4
3 2 2 2
2 2
3 3 2 2 2
a b c
a 2a b b 2b c c 2c a
(a b c )
a b c 2(a b b c c a )
Ta sÏ chøng minh
+ + ≥ + +
+ + +
2 2 3
2 2 2
(a b c ) a b c
2(a b b c c a )
⇔a4+b4 +c4≥a3 +b3+c (2) 3
Ta thấy đơn thức VT (2) có bậc 4, nên ta đ−a VP bậc
Do a + b + c = nªn ta cã
⇔ + + ≥ + + + +
⇔ + +
− + + + + + ≥
4 4 3
4 4
3 3 3
(2) 3(a b c ) (a b c)(a b c )
2(a b c )
(a b a c b a b c c a c b) XÐt a4−a b b3 + 4−ab3 =a (a b) b (a b) − − −
=(a b) (a− 2+ab b ) + ≥ T−¬ng tù
− + − ≥ − + − ≥
4 4
b b c c bc 0; c c a a ca
Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đ−ợc 2(a4+ b4+ c4) − (a3b + a3c + b3a + b3c + c3a +
c3b) ≥
Suy (2) Do ú (1) ỳng (pcm)
Bài toán Cho sè d−¬ng a, b, c tháa
m·n a2+ b2+ c2= Chøng minh r»ng
+ + ≥
ab bc ca
3 (1)
c a b
Lêi gi¶i Ta thÊy VT cđa (1) cã bËc 1, cßn VP
có bậc Do ta đ−a hai vế bậc cách bình ph−ơng hai vế ta đ−ợc
+ + + + + ≥
2 2 2
2 2
2 2
a b b c c a
2(a b c )
c a b
⇔ 2 + 2 + 2 + 2+ +
2 2
a b b c c a
2(a b c )
c a b
≥3(a2+b2+c )
⇔a b2 22 +b c2 22 +c a2 22 ≥a2 +b2 +c2
c a b
Ta cã a b2 22 +b c2 22 ≥2b ;2
c a
+ ≥ + ≥
2 2 2 2
2
2 2
b c c a a b c a
2c ; 2a
a b c b
Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đ−ợc
+ + ≥ + +
2 2 2
2 2
2 2
a b b c c a
a b c
c a b
Suy (1) (đpcm) Bài tập tự luyện
Bµi Cho x, y, z số thực dơng thỏa
mÃn x + y + z = Chøng minh r»ng 5(x2+ y2+ z2) ≤ 6(x3+ y3+ z3) +
Bài Cho a, b, c số thùc d−¬ng tháa
m·n a + b + c = Chøng minh r»ng
+ + + ≥
3 3 15
a b c abc
4
Bµi Cho a, b, c số thực dơng thỏa
m·n a + b + c = Chøng minh r»ng
+ + ≥
+ + +
2 2
2 2
a b c
a b b c c a
Bµi Cho x, y, z lµ số thực dơng thỏa
mÃn x + y + z = Chøng minh r»ng 7(xy + yz + zx) ≤ + 9xyz
Bµi Cho a, b, c số thực không âm
tháa m·n a2 + b2 + c2 = Chøng minh r»ng
(27)§Ị thi häc sinh giỏi lớp TP Hà Nội Năm học 2019 - 2020
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1.(5,0 điểm)
1) Giải phơng trình (4x 2) x+ 2+2x (x+ = 2+2x 2) 4x 5.+ +
2) Cho sè thùc d−¬ng a, b, c, d tháa m·n a3+ b3+ c3= 3d3, b5+ c5+ d5= 3a5 vµ c7+ d7+
a7= 3b7 Chøng minh r»ng a = b = c = d Bài 2.(5,0 điểm)
1) Chứng minh với số tự nhiên n n2+ 3n + 11 không chia hết cho 49.
2) Tìm tất ba số nguyên dơng (x, y, p) với p số nguyên tố thỏa mÃn x2+ p2y2= 6(x + 2p)
Bài 3.(3,0 điểm)
1) Cho hai sè thùc d−¬ng x, y tháa m·n 5(x − y)2≤ (x2+ y2) Chøng minh 1 ≤ ≤x 2.
2 y
2) Cho ba sè thực dơng x, y, z thỏa mÃn điều kiện 5(x + y + z)2 14(x2+ y2+ z2) Tìm giá trị
lớn giá trị nhỏ biÓu thøc = + +
2x z
P
x 2z
Bài 4.(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < BC), ngoại tiếp đ−ờng trịn tâm I Hình chiếu điểm I lên cạnh AB, AC theo thứ tự M, N hình chiếu B lên cạnh AC Q Gọi D điểm đối xứng A qua Q, P tâm đ−ờng tròn nội tiếp tam
giác BCD R giao điểm hai đ−ờng thẳng MN, BQ 1) Chứng minh tam giác BMR BIP đồng dạng
2) Chøng minh ®−êng thẳng PR song song với đờng thẳng AC 3) Chứng minh đờng thẳng MN qua trung điểm đoạn thẳng AP
Bài 5.(1,0 điểm)
Có 15 hộp rỗng Mỗi bớc, ngời ta chọn số hộp bỏ vào hộp số viên bi cho số viên bi bỏ vào hộp lũy thừa bớc hai hép nµo cã sè bi
(28)HƯớNG DẫN GIảI đề thi
thư søc tr−íc kì thi vào 10 THPT chuyên
Năm học 2020 - 2021 Môn thi: Toán
(Đề đăng TTT2 sè 204+205) Bµi 1) Ta cã
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ + ⎟⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ + + + ⎟⎜ + ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + + + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ + + ⎟ ⎜+⎜ + + ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ +⎜⎜ + + ⎟⎟− ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ + ⎟ +⎜ + ⎟ +⎜ + ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + +
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
abc x y xy
x y xy
1 x y
xy xy
xy y x xy
1 1
(xy) x y
(xy) x y
1
x y
x y
1
(xy)
(xy)
1 1
x y xy
x y xy
a b c2−4.
Do M = a2 + b2 + c2 − abc =
2) (2x + y)3 + 2019y3 = x3y3 ⇔(2x + y)3 = y3(x3 − 2019)
NÕu 2x + y = th× y = x3 2019 =
(không tồn x nguyên) nên y = x =
NÕu 2x + y ≠ mµ (2x + y)3 = y3(x3 − 2019)
Suy x3 2019 phải lập phơng
số nguyên Đặt x3 2019 = z3
⇔ (x − z)3 + 3xz(x − z) = 2019
Ta cã 3xz(x − z) 3, 2019 nªn (x − z)3
Suy (x − z)
Do [(x − z)3 + 3xz(x − z)] mà 2019
không chia hết không tồn số nguyªn x, y tháa m·n 2x + y ≠
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên
(x; y) = (0; 0)
Bµi ⎧⎪⎨ − − = −
− + = −
⎪⎩
2
(x 2y)(y 4y)
1)
x y 2y
⎧ − − = ⎪ ⇔⎨ − + − = ⎪⎩ 2
(y 4y)(2y x)
(y 4y) (2y x)
Đặt =
=
u y 4y
v 2y x
Ta cã ⎧⎨ = ⇒⎧⎨ =
+ = =
⎩ ⎩
uv u
u v v hc
= ⎧ ⎨ = ⎩ u v
Víi ⎧⎨ == ⇒⎧⎪⎨ − = ⇔⎧⎪⎨ = +
− = = +
⎪
⎩ ⎩ ⎪⎩
2
u y 4y x 2
v 2y x y
hc ⎧⎪⎨ = −
= − ⎪⎩
x 2
y
Víi ⎧⎨ == ⇒⎧⎪⎨ − = ⇔⎧⎪⎨ = +
− = = +
⎪
⎩ ⎩ ⎪⎩
2
u y 4y x
v 2y x 1 y 2 6
hc ⎧⎪⎨ = −
= − ⎪⎩
x
y
2) Δ =(2m + 4)2 + 17 > Theo định lí Vi-ét ta có
+ = − + ⎧ ⇒ + − = ⎨ = − − ⎩
1 2
1
x x 2m
5x 5x 2x x 21 (1)
x x 5m
Theo gi¶ thiÕt x1 − x2 = x12 ⇔ x2 = x1 − x12 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã
− + − = ⇔ =
⇒ = − = −
3
1 1
2
2 1
2x 7x 10x 21 x
x x x
Bµi 1) Ta cã
− −
− = a b (ab 1)3 34 4 = a b4 44 4a b3
(29)⎛ + ⎞ −
⎜ ⎟
⎜ ⎟ + −
⎝ ⎠
= =
2
3
3
6 3
4 4
a b a b
2 a b 2a b
a b 4a b
− −
= (a3 4 4b )3 =| a3 2 2b |3
4a b 2a b số hữu tỉ
2)
Trờn tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = AB
XÐt ΔCDE vµ ΔBDA cã EC = AB, =
ECD ABD(vì tứ giác ABDC nội tiếp),
CD = BD (vì AD phân gi¸c cđa BAC)
Suy ΔCDE = ΔBDA (c.g.c) nên DE = DA
Tam giác ADE có AE < AD + DE
⇔AB + AC < AD + AD = 2AD
Bµi
Gọi H giao điểm OA BC H cố định
Ta cã AM.AN = AH.AO =AB2
Suy ΔAMH ΔAON (c.g.c) nªn =
AHM ANO
Từ ta có tứ giỏc MNOH ni tip
Do I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác OMN nên IH = IO
Vậy I nằm đ−ờng thẳng c nh l ng
trung trực đoạn thẳng HO
Ta l¹i cã AHM ANO OMN OHN = = =
Suy BHM BHN dẫn đến BC phân giác =
cña gãc MHN
= =
EMN EON HMN
2 dẫn đến ME phân
gi¸c cđa gãc HMN
Tơng tự ND phân giác góc HNM
Từ suy BC, DN, ME ba đ−ờng phân
giác tam giác HMN nên chúng đồng quy Bài 1) Ta có
+ + +
≤ a2 b2 ≤ a2 b2 c2 = ⇒ − ≤
ab ab
2
Do M2=[(a b).1 c(1 ab)] + + −
≤ + + + −
= + − + = − +
= − + ≤ ⇒− ≤ ≤
2 2
2 3 2
2
[(a b) c ][1 (1 ab) ]
(2 2ab)(a b 2ab 2) 2a b 2a b
2a b (ab 1) 4 M
Vậy giá trị nhỏ M chẳng hạn (a; b; c) = (1; 1; 0), giá trị lớn M
là chẳng hạn (a; b; c) = (1; 1; 0)
2) Kẻ đờng kính đờng tròn song
song với cạnh AB hình vuông ABCD
Chiếu đờng kính cạnh AB
Tổng độ dài đ−ờng kính
× =1
2019 1009,5
2
Do tổng độ di cỏc hỡnh chiu cng bng 1009,5
Mặt khác AB = nên tồn điểm, chẳng hạn điểm T thuộc cạnh AB thuộc 1010 hình chiếu
Đờng vuông góc với AB T giao víi Ýt nhÊt
(30)K× nμy spring Flowers
ngun thÞ nh− ý
Tr−êng THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
Trong khu vờn nhỏ này, 12 loài hoa đua khoe sắc dới
nắng xuân Bạn có biết chúng loài hoa không?
Kết quả tìm bệnh (TTT2 số 203) Sức khỏe vốn quý Để sống khỏe mạnh, ta
cn xõy dng thói quen sinh hoạt điều độ, ăn uống vệ sinh, khoa học vận động thể chất phù hợp Bên cạnh đó, ta cần tìm hiểu loại bệnh biện pháp phịng ngừa Chúng ta tìm hiu v mt s cn bnh
trong ô chữ Vờn Anh
Hàng ngang: COLD - Cảm lạnh; FLU - Cúm; TOOTHACHE - Đau răng; HEADACHE - Đau đầu; SORE EYES - Đau mắt
Hàng dọc: COUGH - Ho; EARACHE - Đau tai
Hàng chéo: BACKACHE - §au l−ng; FEVER -
Sèt
Các bạn có đáp án đúng, trình bày
đẹp đ−ợc nhn qu tng ca Ch
Vờn: Nguyễn Văn Cờng, 7A1,
THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh;
Đặng Anh Th, 6C, THCS Nguyễn Hiền,
Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Duy Anh,
7A3, THCS Lâm Thao, L©m Thao, Phó Thä;
Ngun Ngäc Linh, 6D, THCS Đặng Thai
Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Phơng
Chi, 6A1, THCS VÜnh Yªn, TP VÜnh Yªn,
Vĩnh Phúc; Nguyễn Hoàng Long, 7B, THCS
Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa
Để phòng chống Covid-19 nh
bệnh dịch khác, Chủ Vờn mong bạn giữ
gìn vệ sinh, thờng xuyên rửa tay xà
phòng, không đa tay lên mặt, nhá m¾t, nhá
mịi, sóc miƯng b»ng n−íc mi, ¨n chÝn,
uống sôi, đeo trang đến nơi đông
ng−ời tập thể dục thể thao đặn Chúc
các bạn gia đình mạnh khỏe
(31)đề thi câu lạc b ttt
Nguyễn Đức Tấn Kì 33
CLB1 Given that 13 + 23 + 33 + … + 193
= 36100 Find the value of 13+ 23+ 33+ 63+ 93
+ … + 573
CLB2 Given a, b and c non-zezo such that
= = + + +
ab bc ca
a b b c c a Find the value of the expression =
+ +
2 6
ab c
M
a b c
CLB3 Find the smallest positive integer which is twice the square of a natural number and three times the cube of another natural number
CLB4 Given isosceles trapezoid ABCD (AB // CD) where AC is perpendicular to BD, altitude AH and AH = cm Find the area of trapezoid ABCD
CLB5 Given quadrilateral ABCD E and F are the midpoints of BC and CD respectively Show that < +
ABCD
S (AE AF)
2
đỗ đức thành(dịch)
K× 31 (TTT2 sè 203)
CLB1.Ta cã−(x + y + z) = (x − y − z) + (y − z
− x) + (z − x − y) = 20 + 11 + 2019 = 2050 Suy x + y + z =−2050 Do
+ + + − − − + ⎧ = = = − ⎪ ⎪ + + + − − − + ⎪ = = = − ⎨ ⎪ ⎪ = + + + − − =− + = − ⎪ ⎩
(x y z) (x y z) 2050 20
x 1015
2
(x y z) (y x z) 2050 11
y 1019,5
2
(x y z) (z x y) 2050 2019
z 15,5
2
CLB2 Đặt
+ + +
= = =
− − −
2a b 2b c 2c a
x , y , z
a b b c c a
Ta cã (x 1)(y 1)(z 1) (x 2)(y 2)(z 2) + + + = − − −
⇔3(xy yz zx) 3(x y z)+ + − + + = −9 Do M = xy + yz + zx − x y z =3
CLB3.Đặt = + >
+
2
5m 5n
T
3m 2n (v× m, n ∈N
*)
XÐt m + n ≥ ta cã
3m2+ 2n2> 2(m2+ n2) ≥ (m+n)2≥ 5m + 5n
Do T khơng số tự nhiên Khi m + n ≤ Ta có bảng sau:
m 1 2
n
T 15 11 20 11 15 14 20 29 VËy m = n = hc m = n = T số nguyên
CLB4.4x3+ 6x2+ 3x + 63 =
⇔8x3+ 12x2+ 6x + 126 =
⇔8x3+ 12x2+ 6x + =−125
⇔(2x + 1)3= (−5)3⇔ 2x + =−5 ⇔ x =−3.
CLB5 Vẽ DE vu«ng gãc với AC E
Ta cã DCE BAC ABC 15= + = o +45o =60 o nªn CDE 30= o⇒CD CE.=
Theo giả thiết CD = 2BC
Suy BC = CE hay tam giác BCE cân ti C Do CBE CEB= =DCE= 60o =30 o
2
Dn n tam giác BED cân E nên EB = ED
Mặt khác EBA =ABC CBE 45− = o−30 o
=15o= BAE nªn tam giác AEB cân E Do ó EA = EB = ED⇒EAD EDA 45 = = o
Vậy BAD BAC EAD 15= + = o+45o =60 o
NhËn xÐt ChØ cã mét bạn cã lời giải tốt c thởng kì này: Phan Thùy Trâm, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Ngh An
(32)Hỏi: Sau Tết chúng em nghỉ tuần để phòng chống dịch Covid-19 Hồi anh học “bị” nghỉ học nh− khơng ạ?
Ngun Q
(6B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng, Nghệ An)
Đáp:
Chuyn ny tht him hoi Thời anh bom đạn nh−ng nghỉ đâu
Tránh bom nấp dới hầm sâu Cha phải nghỉ lâu
Hỏi: Anh cho em câu thơ phòng dịch Covid-19 không ạ?
Trịnh N K
(7A3, THCS Mộc Lỵ, Mộc Châu, Sơn La)
Đáp:
Đi phải rưa tay
Đi cần phải tránh đơng ng−ời Khẩu trang đeo em ơi!
Nghi nhiÔm phải khám kịp thời, kẻo nguy
Hỏi: Nghỉ học nh kịp hoàn thành năm học nh năm trớc ạ?
Nguyễn A T
(8A1, THCS Kế An, Kế Sách, Sóc Trăng)
Đáp:
Chuyn ny em ch lo gỡ Mc thi gian ó lựi i my tun
Dịch hết học chuyên cần
Chng trỡnh mi phn cho em
Hỏi: Theo anh, sau đợt nghỉ dài liệu học trở lại chúng em có gặp khó khăn khơng? Chúng em cần phải chuẩn bị nh− để trở lại học đ−ợc bình th−ờng?
Lª V
(8A1, THCS Yªn Phong, Yên Phong, Bắc Ninh
Đáp:
Nu nh dy muộn quen Thế phải rèn lại thụi
Đồng hồ báo thức kêu
Đừng ngđ n−íng n÷a nh− håi võa qua!
(33)Các lớp & Bài 1(206) Tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2020 phân số d−ới phân số tối giản
+ + + +
2
1
; ; ;
n 672n n 672n
+ +
2
2020
n 672n 2022
NguyÔn ngäc hïng
(Trờng THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh)
Bài 2(206) Chia số 1, 2, 3, , 300 thµnh 75 nhãm Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt nhóm có ba số số đo ba cạnh tam giác
Tạ thập
(TP Hồ ChÝ Minh)
Bµi 3(206) Cho hµm sè f(x) x= + TÝnh
tæng = + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
S f(0) f f
2021 2021
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2019 2020
f f f f(1)
2021 2021 2021
Cao ngäc toản
(Trờng THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế)
Bài 4(206) Cho tam giác ABC có
= o = o
ABC 45 , ACB 15 Trên tia phân giác BAC, lấy ®iÓm D cho
= o
ACD 75 Chứng minh tam giác BCD
tam giỏc u
Thái nhật phƯợNG
(Trờng THCS Nguyễn Văn Trỗi,Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)
1(206) Find the smallest natural number n such that all of the following 2018 fractions are irreducible
+ + + +
2
1
; ; ;
n 672n n 672n
+ +
2
2020
n 672n 2022
2(206) Grouping numbers from to 300 into 75 groups Prove that there is at least group containing numbers that are the side lengths of a triangle
3(206) Given the function f(x) x= + Find
the sum = + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
S f(0) f f
2021 2021
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2019 2020
f f f f(1)
2021 2021 2021
4(206) Given triangle ABC where
∠ABC 45 , ACB 15 Point D on the = o ∠ = o
internal bisector of ∠BAC, such that
∠ACD 75 Prove that BCD is an = o
(34)Các lớp THCS Bài 5(206) Tìm tất số nguyên a, b, c
lớn thỏa mÃn + +
2
a b
,
2 số
nguyên tè vµ (a2+ 1)(b2+ 1) = 2(c2+ 1) vâ quốc bá cẩn
(Trờng Archimedes Academy, Q Cầu Giấy,
Hà Nội) Bài 6(206) Giải hệ phơng trình
⎧ + + = − +
⎪ ⎨
⎪ − + + − + = − +
⎩
3
2 2
x 3x 8y 6xy 6y
x 2y x 4y x 3y
Hoàng lê nhật tùng
(SV K61, S phạm Toán, ĐHQG Hà Nội)
Bài 7(206) Cho x, y, z số thùc d−¬ng Chøng minh r»ng
x2+ y2+ z2+ xyz + 2(xy + yz + zx)
Nguyễn Đức trờng
(TrờngTHCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội)
Bài 8(206).Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng
tròn tâm O E giao điểm AC BD Gọi M, N theo thứ tự tâm đ−ờng tròn nội tiếp tam giác BCE, DCE P, Q theo thứ tự tâm đ−ờng tròn bàng tiếp đối diện đỉnh E tam giác ADE, ABE Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp đ−ợc đ−ờng trịn
ngun minh hµ (Hµ Néi)
5(206) Find all the values of a, b and c
greater than such that + +
2
a b
,
2 are
primes and (a2+ 1)(b2+ 1) = 2(c2+ 1)
6(206) Solve the following system of
equations
⎧ + + = − +
⎪ ⎨
⎪ − + + − + = − +
⎩
3
2 2
x 3x 8y 6xy 6y
x 2y x 4y x 3y
7(206) Given three positive real numbers x, y and z Show that
x2+ y2+ z2+ xyz + 2(xy + yz + zx)
(35)(36)