Đang tải... (xem toàn văn)
Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh
(1)Dayhoctoan.vn
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CHUẨN CẤU TRÚC MINH HỌA
ĐỀ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2020 MÔN: TOÁN
Đề
Câu Từ nhóm học sinh gồm nam 11 nữ, có cách Chọn học sinh?
A 18 B 48 C. D 8
Lời giải Chọn A
Số cách chọn 1học sinh từ nhóm gồm 18 học sinh 18
Câu Cho cấp số nhân (𝑢𝑛) với 𝑢1 = 𝑢2 = −16 Công bội cấp số nhân cho
A −8 B − C. D −𝟏
𝟖 Lời giải
Chọn A
Ta có 𝑢2= 𝑢1 𝑞 ⇒ 𝑞 =𝑢𝑢2 1=
−16
2 = −8
Câu Diện tích xung quanh hình trụ có độ dài đường sinh 𝑙 bán kính đáy 𝑟
A 4𝜋𝑟𝑙 B 2𝜋𝑟𝑙 C 𝜋𝑟𝑙 D 1
3𝜋𝑟𝑙 Lời giải
Chọn B
Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh hình trụ
Câu Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có bảng biến thiên sau
Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?
A (1 ; +∞) B (−∞; −1 ) C (−1 ; 1) D (0 ; 1)
Lời giải
ChọnA
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số cho Nghịch biến khoảng (−1; 0) (1; +∞)
Câu Cho khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phương cho
A 64 B 16 C 36 D 72
Lời giải Chọn A
Thể tích khối lập phương có cạnh 𝑉 = 43 = 64
Câu Nghiệm phương trình log3(2𝑥 + 1) = là:
A 𝑥 = B 𝑥 = C 𝑥 =9
2 D 𝑥 = Lời giải
Chọn D
(2)Ta có log3(2𝑥 + 1) = ⇔ {𝑥 > −1
2 2𝑥 + = 32
⇔ {𝑥 > −1
2
𝑥 = ⇔ 𝑥 = Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 =
Câu Nếu ∫12𝑓(𝑥)d𝑥 = ∫23𝑓(𝑥)d𝑥= ∫13𝑓(𝑥)d𝑥
A −3 B −1 C 1 D 3
Lời giải Chọn D
Ta có ∫13𝑓(𝑥)d𝑥=∫12𝑓(𝑥)d𝑥+∫23𝑓(𝑥)d𝑥= + =
Câu Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực đại hàm số cho
A 2 B 3 C 0 D −4
Lời giải Chọn A
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực tiểu hàm số cho
Câu Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số sau đây?
A 𝒚 = 𝒙𝟑− 𝟑𝒙 + 𝟐 B 𝒚 = 𝒙𝟑− 𝟐𝒙 + 𝟐
C 𝒚 = −𝒙𝟑+ 𝟑𝒙 + 𝟐. D 𝒚 = 𝒙𝟑+ 𝟑𝒙 + 𝟐 Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị suy hàm số có hệ số bậc ba 𝑎 > Loại phương án C
Đồ thị hàm số qua điểm (1; 0), thay vào ba phương án lại, có phương án A thỏa mãn
Câu 10 Với 𝑎; 𝑏 số thực dương tùy ý, log2(𝑎2 𝑏) bằng:
A 2 + log2𝑎 B 2log2𝑎 + log2𝑏 C 2log2𝑎 − log2𝑏 D 1
2log2𝑎 Lời giải
Chọn B
Với 𝑎 > 0; 𝑏 > 0; 𝑎 ≠ Với 𝛼 Ta có cơng thức: log𝑎𝑏𝛼 = 𝛼log𝑎𝑏 Vậy: log2𝑎2𝑏 = 2log
2𝑎 + log2𝑏
(3)A −cos𝑥 + 3𝑥2+ 𝐶 B cos𝑥 + 3𝑥2+ 𝐶 C sin𝑥 + 6𝑥2+ 𝐶 D −sin𝑥 + 𝐶 Lời giải
Chọn A
Ta có ∫𝑓(𝑥)d𝑥 =∫(sin𝑥 + 6𝑥)d𝑥 = −cos𝑥 + 3𝑥2+ 𝐶
Câu 12 Môđun số phức + 3𝑖
A 5 B √3 C √5 D 3
Lời giải Chọn A
Ta có |4 + 3𝑖|=√42+ 32=√25 =
Câu 13 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, hình chiếu vng góc điểm 𝑀(2 ; −2 ; 1) mặt phẳng (𝑂𝑦𝑧)
có tọa độ
A (2 ; ; 1) B (2 ; −2 ; 0) C (0 ; −2 ; 1) D (0 ; ; 1) Lời giải
Chọn C
Ta có hình chiếu điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0) mặt phẳng (𝑂𝑦𝑧) điểm 𝑀′(0 ; 𝑦0 ; 𝑧0) Do hình chiếu điểm 𝑀(2 ; −2 ; 1) mặt phẳng (𝑂𝑦𝑧) điểm 𝑀′(0; −2 ; 1)
Câu 14 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt cầu (𝑆): (𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 22)2+ (𝑧 − 4)2 = 25 Tâm (𝑆) có tọa độ
A (−1 ; 22 ; 4) B (1 ; ; 3) C (−1 ; ; −3) D (1 ; −2 ; 3) Lời giải
Chọn A
Mặt cầu (𝑆): (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2+(𝑧 − 𝑐)2 = 𝑅2 có tâm 𝐼(𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐)
Suy ra, mặt cầu (𝑆): (𝑥 − 1)2+(𝑦 + 2)2+(𝑧 − 3)2= 16 có tâm 𝐼(1 ; −2 ; 3)
Câu 15 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho mặt phẳng (𝛼): 8𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 + = Vectơ vectơ pháp tuyến (𝛼)?
A 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (4 ; ; −3).2 B 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (2 ; −4 ; 1).3 C 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (3 ; −4 ; 1).1 D 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (3 ; ; −4) 4 Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng (𝛼): 8𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 + = có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (4 ; ; −3) 2
Câu 16 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, điểm thuộc đường thẳng 𝑑:𝑥−2
−1 = 𝑦+12
6 = 𝑧−10
3 ?
A 𝑃(2 ; −1 ; 10) B 𝑄(−2 ; 12 ; −10). C 𝑁(−1 ; ; 2) D 𝑃(−1 ; ; 3) Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm 𝑃(2 ; −1 ; 10) thỏa 2−2 −1 = −12+12
3 = 10−10
3 = Vậy điểm 𝑃(2 ; −1 ; 10) thuộc đường thẳng yêu cầu
Câu 17 Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ Góc hai mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) (𝐴𝐶𝐶′𝐴′) bằng:
A 60° B 45° C 90° D 30°
Lời giải
(4)Ta có: 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶
𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐴′}⇒ 𝐵𝐷 ⊥ (𝐴𝐶𝐶′𝐴′) ⇒ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⊥ (𝐴𝐶𝐶′𝐴′)
Câu 18 Cho hàm số𝑦 = 𝑓(𝑥)liên tục trênℝvà có bảng xét dấu 𝑓′(𝑥) sau:
Kết luận sau
A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có điểm cực đại C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số có điểm cực tiểu
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng xét dấu, ta có:
𝑓′(𝑥)đổi dấu lần qua điểm 1,3,4 Suy loại phương án A
𝑓′(𝑥)đổi dấu từ âm sang dương qua điểm 1,4 đổi dấu từ dương sang âm qua điểm Suy hàm số có điểm cực tiểu
Câu 19 Giá trị lớn hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 2𝑥2+ 𝑥 − đoạn [0; 2] bằng
A max
[0;2]𝑓(𝑥) = − 50
27 B max[0;2]𝑓(𝑥) = −2 C max[0;2]𝑓(𝑥) = D max[0;2]𝑓(𝑥) = Lời giải
Chọn D
Hàm số 𝑓(𝑥) xác định liên tục đoạn [0; 2] 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2− 4𝑥 +
𝑓′(𝑥) = ⇔ 3𝑥2 − 4𝑥 + = ⇔ [𝑥 = ∈ [0; 2] 𝑥 =1
3 ∈ [0; 2] 𝑦(0) = −2; 𝑦(1) = −2; 𝑦 (1
3) = − 50
27; 𝑦(2) = Vậy max
[0;2]𝑓(𝑥) =
Câu 20 Cho 𝑎, 𝑏 số dương (𝑏 ≠ 1) Ta có log√𝑏(√𝑎 𝑏)
A 1
2+ log𝑏𝑎 B 2+
1
2log𝑏𝑎 C.log𝑏𝑎 + D 2 + log𝑎𝑏 Lời giải
Chọn C
Ta có: log√𝑏(√𝑎 𝑏) = log 𝑏
1 2𝑎
1 2+ log
𝑏
2𝑏 = log𝑏𝑎 +
Câu 21 Tập nghiệm bất phương trình (1
3) 𝑥2+2𝑥
> 27
A −3 < 𝑥 < B 1 < 𝑥 < C −1 < 𝑥 < D 𝑥 < −3; 𝑥 > Lời giải
Chọn A
D'
C' B'
C
A D
B
A'
0
0 + + +
4
2 +∞
1 x
f '(x)
(5)(1 3)
𝑥2+2𝑥 >
27⇔ ( 3)
𝑥2+2𝑥 > (1
3)
⇔ 𝑥2 + 2𝑥 < ⇔ 𝑥2+ 2𝑥 − < ⇔ −3 < 𝑥 <
Câu 22 Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50𝜋 độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy Tính bán kính 𝑟 đường tròn đáy
A 𝑟 = B 𝑟 = 5√𝜋 C 𝑟 = 5√2𝜋
2 D 𝑟 = 5√2
2 Lời giải
Chọn D
Theo giả thiết : 𝑙 = 2𝑟
Ta có : 𝑆𝑥𝑞 = 2𝜋𝑟𝑙 = 50𝜋 ⇔ 2𝑟2 = 25 ⇒ 𝑟 =5√22
Câu 23 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định liên tục nửa khoảng (−∞; −2] [2; +∞), có bảng
biến thiên hình bên
Số nghiệm thực phương trình 4𝑓(𝑥) − =
A 1 B 3 C 2 D 0
Lời giải
Chọn A
Ta có 4𝑓(𝑥) − = ⇔ 𝑓(𝑥) =9
Từ BBT ta thấy phương trình có nghiệm
Câu 24 Tìm họ nguyên hàm 𝐹(𝑥) hàm số 𝑓(𝑥) =𝑥−1
𝑥2 , 𝑥 ≠ 0?
A 𝐹(𝑥) = ln𝑥 +1
𝑥+ 𝐶 B 𝐹(𝑥) = ln|𝑥| − 𝑥+ 𝐶
C 𝐹(𝑥) = −ln|𝑥| +1
𝑥+ 𝐶 D 𝐹(𝑥) = ln|𝑥| + 𝑥+ 𝐶 Lời giải
Chọn D
Xét 𝐹(𝑥) = ∫𝑥−1𝑥2 dx = ∫ 𝑥−1
𝑥2 d𝑥 = ∫( 𝑥−
1
𝑥2)d𝑥 = ∫
𝑥dx − ∫
𝑥2d𝑥 = ln|𝑥| + 𝑥+ 𝐶
Câu 25 Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức 𝑆 = 𝐴 𝑒𝑁𝑟 Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số năm giữ nguyên đầu năm 2020 dân số tỉnh nằm khoảng nào?
A (1.281.600; 1.281.700) B.(1.281.700; 1.281.800) C (1.281.800; 1.281.900) D (1.281.900; 1.282.000)
Lời giải Chọn B
Áp dụng công thức 𝑆 = 𝐴 𝑒𝑁𝑟 từ đầu năm 2010 đến đầu năm 2015 ta có: 1153600 = 1038229 𝑒5𝑟 ⇔ 𝑟 =1
5ln
1153600 1038229
Đầu năm 2020 dân số tỉnh Bắc Ninh 𝑆 = 1038229 𝑒10.15ln11536001038229 ≈ 1281792người
(6)A 2√3𝑎3. B 4√3𝑎3. C 2√3𝑎3
3 D
4√3𝑎3 Lời giải
Chọn A
Gọi 𝐼 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 Ta có: 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷, 𝐵𝐼 =𝐵𝐷 =
𝑎√3
2 Xét tam giác vuông 𝐵𝐴𝐼 vuông 𝐼: 𝐴𝐼2 = 𝐵𝐴2 − 𝐵𝐼2 = 𝑎2− (𝑎√3
2 )
= 𝑎2−3𝑎2 =
𝑎2
4 ⇒ 𝐴𝐼 = 𝑎
2 ⇒ 𝐴𝐶 = 𝑎 Diện tích hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷= 2S𝛥𝐴𝐵𝐶= 2.12𝐵𝐼 𝐴𝐶 = 2.12𝑎√32 𝑎 =𝑎
2√3 Vậy: 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴′ =𝑎
2√3
2 4𝑎 = 2√3𝑎 3
Câu 27 Cho hàm số 𝑦 =𝑥3−2𝑥2+1010𝑥−2020
𝑥3−8 Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số
A. B 2 C 4 D 3
Lời giải
Chọn A
TXĐ: 𝐷 = ℝ\{2} lim
𝑥→±∞𝑦 = ⇒ 𝑦 = tiệm cận ngang lim
𝑥→2+𝑦 = lim𝑥→2+
(𝑥−2)(𝑥2+1010)
(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4)= lim𝑥→2+
𝑥2+1010 𝑥2+2𝑥+4=
169 lim
𝑥→2−𝑦 = lim𝑥→2−
(𝑥−2)(𝑥2+1010)
(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4)= lim𝑥→2−
𝑥2+1010 𝑥2+2𝑥+4=
(7)Nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng
Câu 28 Cho hàm số 𝑦 =𝑎𝑥+𝑏
𝑥+𝑐 có đồ thị hình vẽ 𝑎, 𝑏, 𝑐 số nguyên Giá trị biểu thức 𝑇 = 𝑎 − 3𝑏 + 2𝑐 bằng:
A 𝑇 = 12 B 𝑇 = 10 C 𝑇 = −7 D 𝑇 = −9 Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số hình vẽ có tiệm cận ngang đường thẳng 𝑦 = −1 mà lim
𝑥→+∞𝑦 = 𝑎, lim
𝑥→−∞𝑦 = 𝑎 nên đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang đường thẳng 𝑦 = 𝑎 suy 𝑎 = −1 Suy 𝑦 =−𝑥+𝑏
𝑥+𝑐
Đồ thị hàm số qua điểm 𝐴(0 ; −2), 𝐵(2 ; 0) suy { 𝑏 𝑐 = −2 =−2+𝑏
2+𝑐
⇔ {𝑏 = 𝑐 = −1 𝑇 = 𝑎 − 3𝑏 + 2𝑐 = −1 − − = −9
Câu 29 Diện tích phần hình phẳng tơ đen hình vẽ bên tính theo cơng thức
đây?
A ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))d𝑥−23 B.∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥−23
C ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))d𝑥−20 +∫ (g(𝑥) − 𝑓(𝑥))d𝑥03 D.∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥−20 +∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥03 #Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) ta có diện tích phần hình phẳng tơ đen hình vẽ bên tính là:
𝑆 = ∫|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥
−2
= ∫|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥
−2
+ ∫|𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥
0
= ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥
−2
+ ∫(𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥
(8)Câu 30 Gọi 𝑧1, 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧2− 4𝑧 + = Giá trị 𝑧12+ 𝑧 22
A. 6 B 8 C 16 D 26
Lời giải
Chọn A
Vì 𝑧1, 𝑧2 nghiệm phương trình 𝑧2− 4𝑧 + = nên ta có: {
𝑧1+ 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 = Khi đó: 𝑧12+ 𝑧
22 = (𝑧1+ 𝑧2)2− 2𝑧1𝑧2 = 16 − 10 =
Câu 31 Số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧̅ = − 2𝑖 biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm ?
A 𝑄(−1; −2) B 𝑀(1; 2) C 𝑃(−1; 2) D 𝑁(1; −2) Lời giải
Chọn B
Vì 𝑧̅ = − 2𝑖 ⇒ 𝑧 = 𝑧̅̅ = + 2𝑖 Do điểm biểu diễn số phức 𝑧 (1; 2)
Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai vectơ 𝑎 = (−2; −3; 1), 𝑏⃗ = (1; 0; 1) Tính cos (𝑎 , 𝑏⃗ )
A.cos (𝑎 , 𝑏⃗ ) = −1
2√7 B cos (𝑎 , 𝑏⃗ ) =
2√7 C cos (𝑎 , 𝑏⃗ ) = −3
2√7 D cos (𝑎 , 𝑏⃗ ) = 2√7 Lời giải
Chọn A
Ta có: cos (𝑎 , 𝑏⃗ ) = 𝑎⃗ 𝑏⃗ |𝑎⃗ |.|𝑏⃗ |=
−2.1+−3.0+1.1
√(−2)2+(−3)2+12.√12+02+12 = −1 2√7
Câu 33 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, phương trình mặt cầu tâm 𝐼(−1; 2; 0) qua điểm 𝐴(2; −2; 0)
A (𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 2)2+ 𝑧2 = 100. B. (𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 2)2+ 𝑧2 = 5.
C (𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 2)2+ 𝑧2 = 10 D. (𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 2)2+ 𝑧2 = 25
Lời giải Chọn D
Ta có: 𝑅 = 𝐼𝐴 = √32 + 42 =
Vậy phương trình mặt cầu có dạng: (𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 2)2+ 𝑧2 = 25
Câu 34 Cho hai điểm 𝐴(1 ; −1 ; 5), 𝐵(0 ; ; 1) Mặt phẳng (𝑃)chứa 𝐴, 𝐵 song song với trục 𝑂𝑦có
phương trình
A 4𝑥 − 𝑧 + = B 4𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + = 0. C 2𝑥 + 𝑧 − = D 𝑥 + 4𝑧 − = Lời giải
Chọn A
Ta có: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1 ; ; −4)
Do mặt phẳng (𝑃)chứa 𝐴, 𝐵 song song với trục 𝑂𝑦nên vectơ pháp tuyến (𝑃) là: 𝑛⃗ = [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑗 ] = (4 ; ; −1)
Phương trình (𝑃): 4(𝑥 − 0) + 0(𝑦 − 0) − 1(𝑧 − 1) = ⇔ 4𝑥 − 𝑧 + =
Câu 35 Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, đường thẳng 𝑑: {
𝑥 = + 2𝑡 𝑦 = − 3𝑡 𝑧 = − 𝑡
, 𝑡 ∈ ℝ qua điểm 𝑄(1 ; 𝑚 ; 𝑛) Tính 𝑇 = 2𝑚 + 𝑛
A 𝑇 = B 𝑇 = −7 C 𝑇 = D 𝑇 = −1 Lời giải
Chọn C
Ta có {
1 = + 2𝑡 𝑚 = − 3𝑡 𝑛 = − 𝑡
⇒ { 𝑡 = 𝑚 = 𝑛 =
(9)Câu 36 Cho X tập hợp số tự nhiên có chữ số khác cho tổng chữ số 13 Lấy
ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất cho số lấy chia hết cho
A. 12
139 B.
3
16 C.
7
48 D. 35 144 Lời giải
Chọn D
Gọi số có chữ số khác cho tổng chữ số 13 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 Ta có tập hợp {𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ; 𝑑 ; 𝑒} ba trường hợp sau {0 ; ; ; ; 7}, {0 ; ; ; ; 6}, {0 ; ; ; ; 5} Với trường hợp có cách Chọn a, 4! cách Chọn chữ số lại suy 𝑛(𝛺) = 3.4.4! = 288
Gọi A biến cố: Số Chọn chia hết cho
TH1: {𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ; 𝑑 ; 𝑒}= {0 ; ; ; ; 7}.⇒ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 ∈ {𝑎𝑏𝑐20 ; 𝑎𝑏𝑐12; 𝑎𝑏𝑐32; 𝑎𝑏𝑐72} ; với 𝑎𝑏𝑐20 có 3! số với 𝑎𝑏𝑐12 𝑎𝑏𝑐72;𝑎𝑏𝑐32có có cách Chọn a ; cách Chọn b c nên có 12 số Nên TH1có 18 số
TH2: {𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ; 𝑑 ; 𝑒}= {0 ; ; ; ; 6} ⇒ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 ∈
{𝑎𝑏𝑐12; 𝑎𝑏𝑐16 ; 𝑎𝑏𝑐24 ; 𝑎𝑏𝑐20 ; 𝑎𝑏𝑐40 ; 𝑎𝑏𝑐60 ; 𝑎𝑏𝑐64 ; 𝑎𝑏𝑐04}
Với TH 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 ∈ {𝑎𝑏𝑐12 ; 𝑎𝑏𝑐16 ; 𝑎𝑏𝑐24 ; 𝑎𝑏𝑐64} có cách Chọn a ; cách Chọn 𝑏 𝑐 nên có số
Với TH 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 ∈ {𝑎𝑏𝑐20 ; 𝑎𝑏𝑐40 ; 𝑎𝑏𝑐60 ; 𝑎𝑏𝑐04} có 3! Cách Chọn abc Do TH2 có 40 số
TH3: {𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ; 𝑑 ; 𝑒}= {0 ; ; ; ; 5} ⇒ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 = {𝑎𝑏𝑐40; 𝑎𝑏𝑐04} có 2.3!=12 số 𝑛(𝐴) = 70 ⇒ 𝑃(𝐴) = 70
288= 35 144
Câu 37 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy hình vng, Δ𝑆𝐴𝐵 nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷có diện tích 84𝜋 (𝑐𝑚2) Khoảng cách hai đường thẳng 𝑆𝐴 𝐵𝐷
A.𝟑√𝟐𝟏𝟕 (𝑐𝑚) B.𝟐√𝟐𝟏𝟕 (𝑐𝑚) C.√𝟐𝟏𝟕 (𝑐𝑚) D.6√217 (𝑐𝑚) Lời giải
Chọn D
Gọi H trung điểm AB 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), Gọi F trọng tâm tam giác, O trung điểm AC I đỉnh hình chữ nhật OHFI OI trục đường tròn ABCD FI trục đường tròn nên tâm mặt cầu I bán kính mặt cầu IA
(10)Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥 > 𝑅2 = 𝐼𝐴2 = 𝐼𝑂2 + 𝑂𝐴2 = 𝐻𝐹2+ 𝑂𝐴2 = (𝑥√3 )
2
+ (𝑥√2 )
2
= 21 ⇒ 𝑥 =
Kẻ hình bình hành BDAJ khoảng cách hai đường thẳng SA BD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng gấp hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
Kẻ HK⊥JA K, kẻ HG vng góc với SK G HG khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng Tam giác AHK vuông cân H, AH=3 nên 𝐻𝐾 =
√2 Có 𝐻𝐺2 =
1 𝐻𝐾2+
1 𝐻𝑆2 =
2 9+
(6.√3 )
2=
27⇒ 𝐻𝐺 = 3√21
7 Vậy khoảng cách cần tính 6√21
7
Câu 38.Cho hàm số 𝑓(𝑥) xac định ℝ\ {3
2} thỏa mãn 𝑓′(𝑥) =
3−2𝑥, 𝑓(1) = 2, 𝑓(4) = −1 Khi giá trị biểu thức 𝑃 = 𝑓(−1) + 𝑓(3) bằng:
A.4 − ln15 B 1 − ln3 C.ln5
3+ D.2 − ln3 Lời giải
Chọn B Vì𝑓′(𝑥) =
3−2𝑥⇒ 𝑓(𝑥) = −ln|3 − 2𝑥| + 𝐶 = {
−ln(3 − 2𝑥) + 𝐶′ 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≤3 −ln(2𝑥 − 3) + 𝐶′′ 𝑘ℎ𝑖 𝑥 >3
2 𝑓(1) = ⇒ −ln1 + 𝐶′ = ⇒ 𝐶′ = ⇒ 𝑓(−1) = −ln5 +
𝑓(4) = −1 ⇒ −ln5 + 𝐶′′ = −1 ⇒ 𝐶′′ = −1 + ln5 ⇒ 𝑓(3) = −ln3 + ln5 − Khi đó𝑃 = 𝑓(−1) + 𝑓(3) = − ln3
Câu 39 Có giá trị nguyên tham số 𝑚 nhỏ 10 để hàm số 𝑦 = |3𝑥4− 4𝑥3− 12𝑥2+ 𝑚| nghịch biến khoảng (−∞; −1)?
A 𝟔 B 4 C 𝟑 D 5
Lời giải Chọn D
- Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 3𝑥4− 4𝑥3− 12𝑥2+ 𝑚 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 12𝑥3− 12𝑥2− 24𝑥 = 12𝑥(𝑥2 − 𝑥 − 2)
⇒ 𝑓′(𝑥) = ⇔ [
𝑥 = −1 𝑥 = 𝑥 = BBT:
Nhận thấy: hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| nghịch biến khoảng (−∞; −1) ⇔ 𝑚 − ≥ ⇔ 𝑚 ≥ Lại {𝑚 ∈ ℤ
𝑚 < 10⇒ 𝑚 ∈{5; 6; 7; 8; 9}
Vậy có giá trị 𝑚 thỏa mãn yêu cầu toán
(11)A.𝜋𝑎
3√3
3 B.
𝝅𝒂𝟑
𝟑√𝟑 C.
𝜋𝑎3√2
3 D.
𝝅𝒂𝟑 𝟑 #! Lời giải
Chọn A
Góc đường sinh đáy 60° nên thiết diện qua trục tam giác 𝑆𝐴𝐵 cạnh 2𝑎 Chiều cao khối nón ℎ = 𝑆𝐻 =2𝑎√3
2 = 𝑎√3, bán kính đáy 𝑟 =
2𝐴𝐵 = 𝑎 Thể tích khối nón cho 𝑉 =1
3𝜋𝑟
2ℎ =𝜋𝑎3√3 !
Câu 41 Cho hai phương trình: 𝑥2+ 7𝑥 + − ln(𝑥 + 4) = (1) 𝑥2− 9𝑥 + 11 − ln(5 − 𝑥) = (2) Đặt 𝑇 tổng nghiệm phân biệt hai phương trình cho, ta có
A 𝑇 = B 𝑇 = C 𝑇 = D 𝑇 = Lời giải
Chọn A
Xét phương trình (1):
Điều kiện: 𝑥 > −4, đặt𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 7𝑥 + − ln(𝑥 + 4), 𝑥 ∈ (−4; +∞) Có 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + −
𝑥+4 =
2𝑥2+15𝑥+27
𝑥+4 ; 𝑓′(𝑥) = ⇔ [
𝑥 = −3 𝑥 = −9
2 (𝑙) Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 Xét nghiệm 𝑥1, đặt 𝑡1 = − 𝑥1 ⇔ 𝑥1 = − 𝑡1, thay vào phương trình (1) ta được:
(1 − 𝑡1)2+ 7(1 − 𝑡1) + − ln(1 − 𝑡1+ 4) = ⇔ 𝑡12 − 9𝑡1+ 11 − ln(5 − 𝑡1) = Suy 𝑡1 nghiệm phương trình (2)
Tương tự 𝑡2 = − 𝑥2 nghiệm (2)
Đảo lại, 𝑡0 nghiệm (2) 𝑥0 = − 𝑡0 nghiệm Do (1) (2) có hai nghiệm phân biệt
Tổng nghiệm 𝑇 = 𝑥1+ 𝑥2+ − 𝑥1+ − 𝑥2 =
Câu 42 Để giá trị lớn hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = |𝑥3− 3𝑥 + 2𝑚 − 1| đoạn [0; 2] nhỏ
giá trị 𝑚 thuộc
A (𝟎; 𝟏) B [−𝟏; 𝟎] C (𝟏; 𝟐) D (−𝟐; −𝟏) Lời giải
Chọn A
Xét hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥 + 2𝑚 − đoạn [0; 2], ta có: 𝑦′ = 3𝑥2 − 3, 𝑦′ = ⇔ 3𝑥2− = ⇔ [𝑥 = −1
𝑥 =
Bảng biến thiên hàm số hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥 + 2𝑚 − đoạn [0; 2] x
f(x)
-3
f'(x) +
+∞
+∞
-9 -4
+∞ 𝑆
𝐴 𝐻 𝐵
2𝑎
(12)Ta ln có: 2𝑚 − < 2𝑚 − < 2𝑚 + ⇔ 𝑔(1) < 𝑔(0) < 𝑔(2) Suy ra: 𝐹 = max
[0;2]𝑓(𝑥) = max{|2𝑚 − 3|, |2𝑚 + 1|}
Nếu |2𝑚 − 3| ≤ |2𝑚 + 1| ⇔ (2𝑚 − 3)2 ≤ (2𝑚 + 1)2 ⇔ ≤ 16𝑚 ⇔ 𝑚 ≥1 𝐹 = |2𝑚 + 1| ≥ |2.1
2+ 1| ≥ Suy ra:𝐹min = ⇔ 𝑚 =1
2
Nếu |2𝑚 − 3| ≥ |2𝑚 + 1| ⇔ (2𝑚 − 3)2 ≥ (2𝑚 + 1)2 ⇔ ≥ 16𝑚 ⇔ 𝑚 ≤1 𝐹 = |2𝑚 − 3| = − 2𝑚 ≥ − 2.1
2≥ Suy ra:𝐹min = ⇔ 𝑚 =1
2 Vậy 𝑚 ∈ (0; 1)
Câu 43 Có giá trị nguyên 𝑚 thuộc đoạn [0; 18] để phương trình (𝑥 − 2)log4(𝑥 − 𝑚) = 𝑥 − có nghiệm dương?
A 16 B 19 C 17 D 18
Lời giải
Chọn C
Bài yêu cầu 𝑚 ∈ [0; 18] 𝑥 > 0, 𝑥 + 𝑚 > Xét 𝑥 = nghiệm phương trình nên với 𝑥 ≠ ta có:
(𝑥 − 2)log4(𝑥 + 𝑚) = 𝑥 − ⇔ log4(𝑥 + 𝑚) = 𝑥 − 𝑥 − ⇔ 𝑥 + 𝑚 = 4𝑥−1𝑥−2 ⇔ 𝑚 = 4
𝑥−1
𝑥−2− 𝑥 (1)
Đặt 𝑓(𝑥) = 4𝑥−1𝑥−2− 𝑥, ta quan tâm nghiệm dương nên xét 𝑓(𝑥) (0; +∞)\{2} Ta có 𝑓′(𝑥) = 4𝑥−1𝑥−2 (−1)
(𝑥−2)2 ln4 − < 0, ∀𝑥 ∈ (0; +∞)\{2} Bảng biến thiên 𝑓(𝑥)
Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm dương 𝑚 ≥ 𝑚 ≤ −2
Do 𝑚 nguyên thuộc đoạn [0; 18] nên tập giá trị 𝑚 {2; 3; 4; ; 18}, có 17 giá trị
Câu 44 Cho 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp 𝑅 thỏa mãn (𝑓′′(𝑥)𝑓(𝑥) + (𝑓′(𝑥))2+ 2(𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥))2) e𝑓2(𝑥)−2𝑥2−2𝑥−1 = 2(4𝑥2+ 4𝑥 + 2) với ∀𝑥 ∈ ℝ Biết 𝑓(0) = 1, 𝑓′(0) = 1, tính tích phân 𝐼 = ∫ (2𝑥 + 1)𝑓(𝑥)03 d𝑥
A.124
5 B. 62
5 C.
62
3 D.
124 Lời giải
2
-2 +∞
-∞ +∞
f(x)
2
(13)Chọn D
Ta có (𝑓′′(𝑥)𝑓(𝑥) + (𝑓′(𝑥))2+ 2(𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥))2) e𝑓2(𝑥)−2𝑥2−2𝑥−1
= 4(2𝑥2 + 2𝑥 + 1) ⇔ (𝑓′′(𝑥)𝑓(𝑥) + (𝑓′(𝑥))2+ 2(𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥))2) e𝑓2(𝑥)= 4(2𝑥2 + 2𝑥 + 1)e2𝑥2+2𝑥+1 ⇔ (𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e𝑓2(𝑥))′= ((2𝑥 + 1)e2𝑥2+2𝑥+1)′⇒ 𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e𝑓2(𝑥)= (2𝑥 + 1)e2𝑥2+2𝑥+1+ 𝐶1
Mà theo giả thiết có𝑓(0) = 1, 𝑓′(0) = nên có e = e + 𝐶1 ⇔ 𝐶1 = Do 𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e𝑓2(𝑥)= (2𝑥 + 1)e2𝑥2+2𝑥+1
⇔ 2𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e𝑓2(𝑥)= 2(2𝑥 + 1)e2𝑥2+2𝑥+1 ⇔ (e𝑓2(𝑥))′= (e2𝑥2+2𝑥+1)′ ⇒ e𝑓2(𝑥)= e2𝑥2+2𝑥+1+ 𝐶2
Mà theo giả thiết có 𝑓(0) = ⇒ e = e + 𝐶2 ⇔ 𝐶2 = Do 𝑓2(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 + ⇔ 𝑓(𝑥) = √2𝑥2 + 2𝑥 +
Nên có 𝐼 = ∫ (2𝑥 + 1)𝑓(𝑥)03 d𝑥 = ∫ (2𝑥 + 1)√2𝑥3 + 2𝑥 + 1
0 d𝑥 =
1 2∫ (2𝑥
2 + 2𝑥 +
0
1)12d(2𝑥2+ 2𝑥 + 1) =1 2 3(2𝑥
2 + 2𝑥 + 1)32|
= 124
Câu 45 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục ℝ có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình 𝑓(cos𝑥) = 𝑚 có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−𝜋
2; 𝜋 2) là:
A. (−2; 0] B. (−2; 0) C. [−2; 0) D. Tập rỗng
Lời giải
Chọn B
+) Đặt 𝑡 = cos𝑥 Khi 𝑥 ∈ (−𝜋 2;
𝜋
2) ⇔ 𝑡 ∈ (0; 1] +) Mỗi nghiệm 𝑡 ∈ (0; 1) cho ta nghiệm 𝑥 ∈ (−𝜋
2; 𝜋 2) +) Với 𝑡 = cho ta nghiệm 𝑥 =
Khi đó, YCBT ⇔ Phương trình 𝑓(𝑡) = 𝑚 có nghiệm 𝑡 ∈ (0; 1) Căn vào đồ thị ta có tập giá trị m cần tìm (−2; 0)
Câu 46 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm ℝ đồ thị hàm số 𝑓′(𝑥) hình vẽ
(14)A.𝒙 = −𝟏 B. 𝑥 = C.𝒙 = 𝟏 D. 𝑥 = Lời giải
Chọn B
Ta có: 𝑔′(𝑥) = 𝑓′(𝑥 − 1) +
𝑔′(𝑥) = ⇔ 𝑓′(𝑥 − 1) + = ⇔ 𝑓′(𝑥 − 1) = −1 ⇔ [
𝑥 − = 0(nghiƯmbéich½n) 𝑥 − =
𝑥 − =
⇔
[ 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 =
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) đạt cực tiểu 𝑥 =
Câu 47 Biết 𝑎 tham số thực dương khác để bất phương trình log𝑎𝑥 ≤ 𝑥 − nghiệm với 𝑥 dương Mệnh đề sau đúng?
A 𝑎 ∈ (1;5
2) B 𝑎 ∈ (
2; 3) C 𝑎 ∈ (3; 10) D 𝑎 ∈ (10; +∞) Lời giải
Chọn B Cách
Có log𝑎𝑥 ≤ 𝑥 − 1, ∀𝑥 > ⇔ log𝑎𝑥 − 𝑥 + ≤ 0, ∀𝑥 >
Xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥 − 𝑥 + 1, tập xác định 𝐷 = (0; +∞) Có 𝑓′(𝑥) =
𝑥ln𝑎− = 1−𝑥ln𝑎
𝑥ln𝑎 , 𝑓′(𝑥) = ⇔ − 𝑥ln𝑎 = ⇔ 𝑥 = ln𝑎 +Trường hợp 1: xét
ln𝑎 < ⇔ ln𝑎 < ⇔ < 𝑎 < Có 𝑓′(𝑥) =1−𝑥ln𝑎
𝑥ln𝑎 < Suy 𝑦 = 𝑓(𝑥) hàm nghịch biến (0; +∞) Bảng biến thiên
Có lim
𝑥→0+𝑓(𝑥) = +∞; 𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥) = −∞
Suy 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥 − 𝑥 + ≤ 0, ∀𝑥 > 0, không thỏa mãn Suy < 𝑎 < không thỏa mãn
+Trường hợp 2: xét
ln𝑎 > ⇔ ln𝑎 > ⇔ < 𝑎 Bảng biến thiên
+∞
-∞ _
0 +∞
y y /
(15)Dựa vào bảng biến thiên có log𝑎𝑥 − 𝑥 + ≤ 0, ∀𝑥 > ⇔ 𝑓 (
ln𝑎) ≤ ⇔ log𝑎(
1 ln𝑎) −
1
ln𝑎+ ≤ ⇔ −log𝑎(ln𝑎) −
ln𝑎+ ≤ ⇔ −ln(ln𝑎)
ln𝑎 −
ln𝑎+ ≤ ⇔ −ln(ln𝑎) + ln𝑎 − ≤ (2), đặt 𝑡 = ln𝑎, 𝑡 > (2) trở thành ln𝑡 − 𝑡 + ≥
Xét hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑡) = ln𝑡 − 𝑡 + 1, với 𝑡 > Có 𝑔′(𝑡) =1
𝑡− = 1−𝑡
𝑡 , 𝑔′(𝑡) = ⇔ 𝑡 = Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên 𝑔(𝑡) = ln𝑡 − 𝑡 + ≥ ⇔ 𝑡 = ⇔ ln𝑎 = ⇔ 𝑎 = 𝑒 ∈ (5 2; 3) Vậy 𝑎 ∈ (5
2; 3) Cách 2:
Xét (𝐶) 𝑦 = log𝑎𝑥, với 𝑥 > 0, (𝑑) 𝑦 = 𝑥 −
Nhận xét đồ thị (𝐶) 𝑦 = log𝑎𝑥, (1 < 𝑎), (𝐶′) 𝑦 = log𝑎𝑥, (0 < 𝑎 < 1)
Dựa vào đồ thị có log𝑎𝑥 ≤ 𝑥 − 1, ∀𝑥 > Suy 𝑎 >
Xét (𝐶) 𝑦 = log𝑎𝑥, với 𝑥 > 0, (𝑑) 𝑦 = 𝑥 − qua 𝐴(1; 0)
Có log𝑎𝑥 ≤ 𝑥 − 1, ∀𝑥 > Suy (𝑑) 𝑦 = 𝑥 − tiếp xúc (𝐶) 𝐴(1; 0)
+
x
y /
y
+∞ 0
_
f( 1
lna)
1 lna
-∞ -∞
-∞ -∞
1
0
_
0 +∞
g(t) g /(t)
t
(16)+Viết phương trình tiếp tuyến (Δ) với (𝐶1) 𝑦 = log𝑎𝑥, (1 < 𝑎)tại 𝐴(1; 0) Có (𝐶1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥, (1 < 𝑎), xét 𝑥 > 0,
Có 𝑓′(𝑥) =
𝑥ln𝑎⇔ 𝑓′(1) = ln𝑎 Phương trình (Δ): 𝑦 =
ln𝑎(𝑥 − 1) (Δ) ≡ (𝑑) ⇔ln𝑎1 = ⇔ 𝑎 = 𝑒 Cách 3:
Có log𝑎𝑥 ≤ 𝑥 − 1, ∀𝑥 >
Xét 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥 − 𝑥 + 1, với 𝑥 ∈ (0; +∞)
Có 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥 − 𝑥 + có đạo hàm liên tục (0; +∞) 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥 − 𝑥 + ≤ = 𝑓(1), ∀𝑥 ∈ (0; +∞)
Suy Max
(0;+∞)𝑓(𝑥) = 𝑓(1) Suy 𝑀(1; 0) điểm cực đại đồ thị (𝐶) 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥 − 𝑥 +
Có 𝑓′(𝑥) =
𝑥ln𝑎− 1, 𝑓′(1) = ⇔ ln𝑎 = ⇔ 𝑎 = 𝑒 Thử lại: 𝑎 = 𝑒 có 𝑓(𝑥) = ln𝑥 − 𝑥 + 1, với 𝑥 ∈ (0; +∞), Có 𝑓′(𝑥) =1
𝑥− = 1−𝑥
𝑥 , 𝑓′(𝑥) = ⇔ 𝑥 = Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có 𝑎 = 𝑒 log𝑎𝑥 − 𝑥 + ≤ 0, ∀𝑥 ∈ (0; +∞) Suy 𝑎 = 𝑒 thỏa mãn yêu cầu
Câu 48 Cho ∫ 𝑓(2𝑥)
0 d𝑥 = Tính 𝐼 = ∫ cos𝑥 𝑓(sin𝑥) 𝜋
2
0 d𝑥
A. 𝐼 = 2. B. 𝐼 = C. 𝐼 = −1 D. 𝐼 = −2 Lời giải Chọn A Ta có: ∫ 𝑓(2𝑥)
0 d𝑥 = ⇔
2∫ 𝑓(2𝑥)
0 d(2𝑥)= ⇔∫ 𝑓(𝑡)
0 d𝑡 = Đặt 𝑡 = sin𝑥 Ta có: d𝑡 = d(sin𝑥) = cos𝑥 d𝑥, sin0 = sin𝜋
2 = Vậy 𝐼 = ∫ cos𝑥 𝑓(sin𝑥)
𝜋
0 d𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)
1
0 d𝑡 =
Câu 49 Cho hình thang cân ABCD có cạnh đáy 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐶𝐷 = 6𝑎 cạnh bên 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 4𝑎 Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình thang quay quanh trục đối xứng
A.14√2𝜋𝑎
3
3 B.
28√2𝜋𝑎3
3 C.
26√3𝜋𝑎3
3 D.
27√3𝜋𝑎3 Lời giải Chọn C -∞ -∞ 0 _ 0 +∞ y y /
x
(17)Gọi 𝐸 giao điểm 𝐴𝐷 𝐵𝐶
Do 𝐴𝐵𝐶𝐷 hình thang có hai đáy 𝐴𝐵 𝐶𝐷 nên ta có: 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 ⇒𝐸𝐴 𝐸𝐷=
𝐴𝐵 𝐶𝐷=
1
3⇒ 𝐸𝐷 =
2𝐴𝐷 = 6𝑎
Gọi 𝐻, 𝐾 trung điểm 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, lúc đó: 𝐸𝐾 ⊥ 𝐶𝐷 𝐻𝐾 trục hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷 Ta có:𝐸𝐾 = √𝐸𝐷2− 𝐷𝐾2 = 3√3𝑎, 𝐸𝐻 =
3𝐸𝐾 = 𝑎√3
Khối tròn xoay sinh hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷 quay quanh trục phần thể tích nằm hai khối nón
+ Khối nón lớn đỉnh 𝐸, đáy đường trịn tâm 𝐾 bán kính 𝐾𝐷, đường cao 𝐸𝐾 + Khối nón nhỏ đỉnh 𝐸, đáy đường trịn tâm 𝐻 bán kính 𝐻𝐴 đường cao 𝐸𝐻 𝑉 = 𝑉1− 𝑉2 =1
3𝜋(3𝑎)
2 3√3𝑎 −1 3𝜋𝑎
2 √3𝑎 = 26√3𝜋𝑎3
Câu 50 Cho hàm số 𝑓(𝑥) có đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥) hình vẽ
Hàm số 𝑦 = 𝑓(2𝑥 − 1) +𝑥3 + 𝑥
2− 2𝑥 nghịch biến khoảng sau đây?
A (−6; −3) B (3; 6) C (6; +∞) D (−𝟏; 𝟎) Lời giải
Chọn D
Ta có 𝑦′ = 2𝑓′(2𝑥 − 1) + 𝑥2 + 2𝑥 − = 2𝑓′(2𝑥 − 1) + (𝑥 + 1)2−
Nhận xét: Hàm só 𝑦 = 𝑓(𝑥) có 𝑓′(𝑥) ≤ ⇔ −3 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓′(𝑥) ≥ ⇔ [𝑥 ≥ 𝑥 ≤ −3 Do ta xét trường hợp
Với −6 < 𝑥 < −3 ⇒ −13 < 2𝑥 − < −7 suy 𝑦′ > hàm số đồng biến Với < 𝑥 < ⇒ < 2𝑥 − < 11 suy 𝑦′ > hàm số đồng biến
Với < 𝑥 ⇒ 11 < 2𝑥 − suy 𝑦′ > hàm số đồng biến
Với −1 < 𝑥 < ⇒ −3 < 2𝑥 − < −1 nên 2𝑓′(2𝑥 − 1) ≤ < (𝑥 + 1)2 − < −2 suy 𝑦′ < hàm số đồng biến
4a
2a
6a H
B
K
D C
E
(18)