Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp giải : Dựa và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam giác đều. Chứng minh tam giác ABC cân. Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. Chứng minh tam giác [r]
(1)
Tài liệu sưu tầm
CỦNG CỐ TOÁN TẬP 1
(2)PHẦN A ĐẠI SỐ
CHUYÊN ĐỀ I SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC CHỦ ĐỀ TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Số hữu tỉ số viết dạng phân số a
b với a,b ∈ Z, b ≠0 Tập hợp
số hữu tỉ kí hiệu Q
2 Bất kì số hữu tỉ biểu diễn trục số dạng phân số có mẫu dương
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x
3 Với hai số hữu tỉ x, y ta ln có x = y, x < y, x > y Ta so sánh hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số đó:
- Nếu x < y trục số, điểm x bên trái điểm y; - Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dương; - Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm;
- Số không số hữu tỉ dương không số hữu tỉ âm II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Nhận biết quan hệ tập hợp số
Phương pháp giải: Sử dụng kí hiệu ∈, ∉,⊂ ⊃, N, Z,Q để biểu diễn mối
quan hệ số tập hợp tập hợp với
1A Điền kí hiệu thích hợp (∈ , ∉,⊂ ⊃, N, Z,Q) vào ô trống
6 N; - N; - Z; - Q;
2 −
Z;
5
− Q; Z N; N Z Q
3∉ ;
3
4∈ Z ⊂ ; Z ⊃
1B Điền kí hiệu thích hợp (∈, ∉,⊂ ⊃, N, Z,Q) vào ô trống
2 N; Q; - 11 Z;
4
− Q
3 −
Z;
3 N;
6
− Z; Z Q
2∉ ;
4
5 ∈ Q⊃
Dạng Biểu diễn số hữu tỉ
Phương pháp giải:
- Số hữu tỉ thường biểu diễn dạng phân số a
bvới a,b ∈ Z, b ≠
- Khi biểu biễn số hữu tỉ trục số, ta thường viết số dạng phân số có mẫu dương tối giản Khi mẫu phân số cho ta biết đoạn thẳng đơn vị chia thành phần
- Số hữu tỉ âm nằm bên trái điểm cách điểm khoảng giá trị tuyệt đối số hữu tỉ đó, tương tự với số hữu tỉ dương
2A a) Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: 3; ;
2
− − b) Cho phân số sau: 4 20
; ; ;
15 12 10
−
− − − Những phân số biểu diễn số hữu tỉ
(3)2B.a) Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: 1; ;
− −
b) Cho phân số sau: 14 12
; ; ;
6 21 20
− −
− − Những phân số biểu diễn số hữu tỉ
? − Dạng Tìm điền kiện để số hữu tỉ âm dương
Phương pháp giải:
- Số hữu tỉ a
b số hữu tỉ dương a, b dấu
- Số hữu tỉ a
b số hữu tỉ âm a,b khác dấu 3A.Cho số hữu tỉ
2 a
x= − Với giá trị a thì:
a) x số dương; b) x số âm; c) x không số dương không số âm 3B Cho số hữu tỉ
4 a−
= Với giá trị a thì: a) x số dương; b) x số âm;
c) x không số dương không số âm Dạng So sánh hai số hữu tỉ
Phương pháp giải:Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường thực bước sau:
Bước 1.Viết số hữu tỉ dạng phân số có mẫu dương;
Bước 2.Đưa phân số bước mẫu số (qui đồng);
Bước 3 So sánh tử phân số bước 2, phân số có tử lớn
thì lớn
Lưu ý: Ngoài phương pháp so sánh hai phân số theo cách trên, ta sử
dụng linh hoạt phương pháp khác như: So sánh trung gian, so sánh phần bù, so sánh hai phân số có tử số
4A.So sánh số hữu tỉ sau: a)
7
5; b) 11 −
9 − ; c) 2017
2016 2017
2018; d)
249 333 −
83
111 −
4B.So sánh số hữu tỉ sau:
a)
5
3; b)
9 −
11
6 ;
c) 34
35 35
34; d)
30 55 −
11 − III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5 Điền kí hiệu thích hợp (∈, ∉,⊃)vào ô trống -5 N;
3 −
Q; - Z;
5 −
Z
1
− Z;
7
− Q;
9
− N; N Q
6 Điền kí hiệu thích hợp N,Z,Q vào trống (điền tất khả có thể): 5∉ ; 12∈ ;
5
(4)Z ⊂
7
− ∉
-2 ∉ 12 ∉
7. Cho phân số 21; 14; 42 35; ; 5; 28
27 19 54 45 36
− − − − −
− − Những phân số biểu diễn số hữu tỉ
9 −
?
8.So sánh số hữu tỉ sau:
7 )
8
a 11
12; b)
2 15 −
20 − ; c) 17
16 −
3 −
; d)
21 −
27
63
9.Cho số hữu tỉ
2 a x= +
− Với giá trị a thì: a) x số dương; b) x số âm;
c) x không số dương không số âm 10. Cho hai số hữu tỉ a
b c
d ( a,b,c, d ∈Z, b > 0, d > 0) Chứng minh ad < bc
khi a b<
c d
11*. Cho số hữu tỉ x a a
−
= ( a ≠ 0) Với giá trị a x số
nguyên?
12* Cho x, y, b,d ∈N* Chứng minh a b<
c d
a b< xa yc xb yd + + < c d HƯỚNG DẪN
1A. ∈ N - ∉N -9 ∈Z - ∈Q
2
3 N
− ∉
5∈Q
− Z ⊃N N ⊂ ⊂Z Q
1
;
3∉N −5∉Z
3
4∈Q Z ⊂Q Z ⊃N
1B.Tương tự 1A Lưu ý: 1
;
2∉N 2∉Z Q⊃N Q; ⊃Z
2A.a) Học sinh tự vẽ biểu diễn b) 6;
15 10
− − 2B.Tương tự 2A
a) Học sinh tự vẽ b) 14;
21
− − 3A a) Để x số dương thì2
2
a− > .Từ tìm a>
b) Để x số âm thì2 a−
< Từ tìm a<
c) x = Ta tìm
2 a=
(5)a)
3
a> b)
3
a< c)
3 a=
4A a) ta có2 10 1; 7 =35 5=35 nên
2
7 >5
b) 11 33 8; 16
6 18 18
− − −
= =
− nên
11
6
− <
− c) Ta có 2017
2016 > 2017
1 2018< nên
2017 2017
2016> 2018
d) 249 83
333 111
− = −
4B Tương tự 4A
a) )2 1; ) 11; )34 35; ) 30
5 35 34 55 11
a > b − > c < d − =
− −
5.Tương tự 1A. 6 Tương tự 1A
Lưu ý: − ∈ − ∈5 Z; Q N; ⊂Z N; ⊂Q;
3 2
; ;1 ;1
7 Z N N Z
− ∉ − ∉ ∉ ∉
7 Tương tự 2A 21 35; ; 28
27 45 36
− −
− 8 Tương tự 4A
a)7 11
8 <12 b)
2
15 20
− >
− c)
17
16
− < −
d) 27
21 63
− = − 9 Tương tự 3A
a)
2
a< − b)
2
a>− c)
2 a= −
10 Nếu ad < bc => ad bc a c bd <bd => <b d
Ngược lại a c a.bd c.bd ad bc b< =>d b < d => <
11*. x a 4 a a −
= = − Để x số nguyên 4a=> = ± ± ±a { 1; 4}
12* Ta có : a c
b < d => ad < bc => ady < bcy => ady + abx < bcy + abx
=> a ( bx + dy) < b ( ax+ cy) => a
b < (1) xa yc xb yd
+ + Ta có: a c
b< d => ad < bc => adx < bcx => adx + cdy < bcx + cdy
=> d ( ax + cy) < c (bx + dy) => xa yc c(2) xb yd d
+ < + Từ (1) (2) suy a xa yc c
b xb yd d +
< < +
(6)I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Cộng, trừ hai số hữu tỉ
- Ta cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y cách viết chúng dạng hai phân số có mẫu dương áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số;
- Phép cộng số hữu tỉ có tính chất phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với 0, cộng với số đối
2 Quy tắc "chuyển vế"
Khi chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng dấu "+" thành dấu dấu thành dấu “-” thành dấu “+”
3 Chú ý
Trong Q ta có tổng đại số, đổi chỗ số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý tổng đại số Z
Với x, y, z ∈Q thì: x- (y - z) = x - y + z; x - y + z = x - (y - z) II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Cộng, trừ hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để cộng, trừ hai số hữu tỉ ta thực bước sau:
Bước 1.Viết hai số hữu tỉ dạng hai phân số mẫu dương;
Bước 2.Cộng, trừ hai tử, mẫu chung giữ nguyên;
Bước 3.Rút gọn kết (nếu có thể)
1A Tính
a) 1
21 14
− −
+ ; b)
9 12
−
− ;
c) 14 0, 20 − +
; d) 4, − − 1B Tính:
a) 1
16 24
− +−
; b)
8 20
− −
; c) 18 0,
10 − +
; d) 6, − −
Dạng Viết số hữu tỉ dạng tổng hiệu hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để viết số hữu tỉ dạng tổng hiệu hai số hữu tỉ ta thường thực bước sau
Bước 1.Viết số hữu tỉ dạng phân số có mẫu dương
Bước 2.Viết tử phân số thành tổng thành, hiệu hai số nguyên;
Bước 3."Tách" hai phân số có tử số nguyên tìm được;
Bước 4.Rút gọn phân số (nếu có thể)
2A.a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ
15
− dưới dạng tổng hai số hữu tỉ âm b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ
15 −
dạng hiệu hai số hữu tỉ dương 2B a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ
12
− dưới dạng tổng hai số hữu tỉ âm b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ
12
(7)Phương pháp giải: Để tính tổng hiệu nhiều số hữu tỉ ta thực thứ tự phép tính biểu thức có ngoặc khơng ngoặc Sử dụng tính chất phép cộng số hữu tỉ để tính hợp lí (nếu có thể)
3A.Thực phép tính ( hợp lí có thê): a)
12
− −
+ − ; b) 24 19 20
11 13 11 13
− + − + + −
3B Thực phép tính (hợp lí có thể): a) 3 5;
16
− −
+ − b) 25 12 25
13 17 13 17
− + − + + −
Dạng Tính tổng dãy số có quy luật
Phương pháp giải: Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm tính chất đặc trưng số hạng tổng, từ biến đổi thực phép tính
4A. a) Tính 1; 1; 1
2 3 4
A= − B= − C= −
b) Tính A + B A + B + C c) Tính nhanh:
1 1
2.3 3.4 4.5 19.20
1 1 1
99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1
D E
= + + + +
= − − − − −
4B a) Tính M = 1; 1; 1
3 N P
− = − = −
b) Tính M + N M + N + P c) Tính nhanh:
1 1
;
1.3 3.5 5.7 19.21
E= + + + +
1 1 1
99 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1
F = − − − − + −
Dạng 5: Tìm x
Phương pháp giải: Ta sử dụng quy tắc "chuyển vế" biến đổi hạng tự sang vế, số hạng chứa x sang vế khác
5A Tìm x, biết
a) 16 ;
5 − = −x 10 b)
1
20 x 10
− − =
5B.Tìm x, biết: a) 1;
3− = −x b)
1
10 x 25 50
− − =
III BÀI TẬP VỀ NHÀ 6. Tính:
a) 1 ;
2 10
− +
b)
1 1
;
12
− − −
c) 1 1;
2 23
−
− + + d)
5
(8)7.a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 11
25
− dưới dạng tổng hai số hữu tỉ âm b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 11
25
− dưới dạng tổng hai số hữu tỉ dương
8.Tìm x, biết:
a)
3
x+ = − −
; b)
7 12
4 x
−
− + =
;
c) 17
2 3
x− −− + −=
; d)
9
2 x 4
−
− − + =
9*. Tính nhanh;
1 11 13 11 )
3 11 13 15 13 11
a A= − + − + − + + − + − + − ;
1 1 1
)
9.10 8.9 7.8 2.3 1.2
b B= − − − −
HƯỚNG DẪN 1A a)
1A. a) 1
21 14 42 42 42
− +− =− +− = − Tương tự b) 19
36 −
c)
10
− d) 59
10
1B Tương tự 1A
2A Ta viết thành số sau: a) 1
15 15
− −
= + ;
15 30 30
− − −
= + ; 2
15 15 15
− −
= +
b) 1
15 15
−
= − ; 2
15 15 15
−
= − ;
15 15 15
−
= − 2B Tương tự 2A
3A a) Ta thực 20 32 54
24 24 24 24
− +− +− =− =−
b) Ta thực 24 19 20 ( 2) ( 3)
11 11 13 13
− − −
+ + + = − + − = −
3B Tương tự 3A
a) 29
16 −
; b) -3
4A a) ; ;
16 12 20
A= B= C= b) A + B =
4; A + B + C = 10
c) 1 1 1 1
2 3 19 20 20 20
C= − + − + − => = −C =
1 1 1 1
99 98 99 97 98
D= − − − − − − − − −
97
99 99
D
(9)a) 2; ;
3 15 35
M = N = P= b) M + N =
5; M + N + P =
c) 10; 16
21 33
E= F = −
5A a) Ta thực 16 27 27
5 10 10 10
x − x
− = − − = => =
b) 1 1 31
5 20 10 20 20 20
x x − x − x
− − = − => − = => = + => = 5B Tương tự 5A
a)
4
x= − b) x=
6 a)
15 b)
1
2 c)
24
23 d)
43 30 − 7 a) 11
25 25 25
− − −
= + ; 11
25 25 25
− − −
= + 11
25 25 25
− − −
= +
b) 11 13
25 25 25
− = − 11 12
25 25 25
− = − 11 97
25 50
− = − 8 a)
5
x= ; b) 149
60
x= ; c) 97
14
x= ; d) 41
6 x= − ;
9* a) 1 3 5 7 9 11 11 13
3 5 7 9 11 11 13 13 15
A= − + − + − + − + − + − +
13 15 A => =
c) Ta có 1 1 79
9.10 1.2 2.3 7.8 8.9 90
B= − + + + + => = −B
(10)I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Nhân, chia hai số hữu tỉ
- Ta nhân, chia hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;
- Phép nhân số hữu tỉ có bốn tính chất: giao hốn, kết hợp, nhân với số 1, phân phối với phép cộng phép trừ tương tự phép nhân số nguyên;
- Mỗi số hữu tỉ khác có số nghịch đảo 2 Tỉ số
Thương phép chia x cho y (với y ≠ 0) gọi tỉ số hai số x y, kí hiệu x
y x: y
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Nhân, chia hai số hữu tỉ
Phương pháp giải:Để nhân chia hai số hữu tỉ ta thực bước sau:
Bước 1.Viết hai số hữu tỉ dạng phân số;
Bước 2 Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;
Bước 3 Rút gọn kết (nếu có thể)
1A.Thực phép tính a) 1, ;
25 −
b)
3
1 ;
5 − c) 15: 21 ;
4 10
−
− d)
1
2 :
7 14
− −
1B.Thực phép tính:
4 ) 3,
21 a − −
b)
2
1 3
− c) 5:
2
−
− d)
2
8 :
5
− −
Dạng Viết số hữu tỉ dạng tích thương hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để viết số hữu tỉ dạng tích thương hai số hữu tỉ ta thực bước sau:
Bước 1.Viết số hữu tỉ dạng phân số (PS không tối giản);
Bước 2.Viết tử mẫu phân số dạng tích hai số nguyên;
Bước 3."Tách" hai phân số có tử mẫu số nguyên vừa tìm được;
Bước 4.Lập tích thương phân số
2A.Viết số hữu tỉ 25
16
− dưới dạng:
a) Tích hai số hữu tỉ có thừa số 12 −
;
b) Thương hai số hữu tỉ, số bị chia
5 −
2B.Viết số hữu tỉ
35
− dưới dạng:
a) Tích hai số hữu tỉ có thừa số −
;
b) Thương hai số hữu tỉ, số bị chia
5 −
(11)Dạng Thực phép tính với nhiều số hữu tỉ
Phương pháp giải:
- Sử dụng bốn phép tính số hữu tỉ;
- Sử dụng tính chất phép tính để tính hợp lí (nếu có thể); - Chú ý dấu kết rút gọn
3A.Thực phép tính (hợp lí có thể) a) ( 0, 25) ;
17 21 23
−
− −
b)
2 4
5 15 10 15
− −
+
;
c) 21 :3 ;
4
− −
d)
5 11
: :
6 30
−
+ + −
3B.Thực phép tính (hợp lí có thể) a) ( 0, 35) 35
14 21
−
− −
; b)
3 5
7 11 14 11
− −
+
;
c) 15 :1
3
− −
; d)
3 3
: :
4 7
− −
+ + +
Dạng Tìm x
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc "chuyển vế" biến đổi số hạng tự sang vế, số hạng chứa x sang vế khác Sau đó, sử dụng tính chất phép tính nhân, chia số hữu tỉ
4A.Tìm x biết: a)
5 2x 10
− −
+ = ; b) 5:
3+8 x=12;
c)
3
x x
− + =
; d)
3
1, :
4x 16 x
−
− + =
4B. Tìm x, biết: a)
5 6x 15
− −
+ = ; b) 7:
3+4 x=6;
c)
3
x x
+ − =
; d)
1
2, :
3x 13 x
−
− + =
Dạng Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị ngun
Phương pháp giải: Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị nguyên ta thực bước sau:
Bước 1. Tách số hữu tỉ dạng tổng hiệu số ngun
phân số (tử khơng cịn x);
Bước 2. Lập luận, tìm điều kiện để phân số có giá trị nguyên Từ dẫn
đến số hữu tỉ có giá trị nguyên 5A. Cho
3 x A x + =
−
2 x x B x + − = + a) Tính A x = l; x = 2; x =
2
b) Tìm x ∈Z để A số nguyên c) Tìm x ∈ Z để B số nguyên
d) Tìm x ∈Z để A B số nguyên 5B. Cho
2 x A x − =
+
(12)a) Tính A x = 0; x =
2; x =
b) Tìm x ∈Z để C số nguyên c) Tìm x ∈ Z để D số nguyên
d) Tìm x ∈Z để C D số nguyên IlI BÀI TẬP VỀ NHÀ
6.Thực phép tính (hợp lí có thể) a) 11 ( 30)
11 15
−
−
−
; b)
1 15 38
3 19 45
−
;
c) 13
9 11 18 11
− + −
; d)
2 3
2 :
15 17 32 17
−
7.Tìm x, biết a) 1
7−21x=3; b)
7
:
6−x =12;
c)
7
x x
− + =
; d)
5
3, 25
4x x
−
− + − =
8. Cho
1 x A x − =
−
2 2 x x B x + − = +
a) Tìm x ∈ Z để A; B số nguyên
b) Tìm x∈ Z để A B số nguyên HƯỚNG DẪN 1A a) 3
2 25 25
− − =
b) 3
5 5
− = − =− Tương tự c) 25
14 d)
1B.Tương tự 1A a)
3 b)
35
− c) 10
3 d)
2A a) 25 15
16 12
− −
= b) 25 4: 64
16 125
− −
= 2B.Tương tự 2A a)
35 25
− = −
b) 14:
35
− =− 3A a) 68 1 4
4 17 21 23 1 23 69
− − − − − − −
= =
b) 4.( 1)
15 5 15
− − −
+ = − =
c) 21 15: 21 15 24 21
4 24 1
− = − = − =
d) 11 :3 :3
6 5 30 8
−
+ + − = =
3B.Tương tự 3A a) 13
245
− b)
14
− c) 33
(13)4A.
a) 5 1 5:
2x 10 2x x 2 x
− −
= − => = => = => = ; b) 5: 5: 5:
8 x 12 x x
− −
= − ⇒ = => = =
c) Từ đề ta có x -
3= x +
5=0 Tìm x =
3 x = -2
d) Tương tự, x =
4 x =
4B.Tương tự 4A a)
25
x= ; b) 21
2 x=
c) x -
3
− x =5
4 d)x =
24
13 x = 14 25
5A
a) Thay x =1 vào A ta A =
2 − Thay x = vào A ta A = -8 Thay x =
2 vào A ta a = -19
b) ta có 3 11 11
3 3
x x
A
x x x
+ − +
= = = +
− − − Để A nguyên
11 ( x− => − ∈ ± ±3) x { 1; 11} tìm x∈{- 8;2;4;14}
c) Ta có B=
2
3 ( 3) 7
3 3
x x x x
x
x x x
+ − + −
= = −
+ + +
Tương tự ý b) Tìm x ∈{ -10;-4;-2;4} d) Để A B số nguyên x = 5B Tương tự 5A
a) x = => C = -1
2; x =
2 => C = 0; x = => C =
b) Biến đổi C = -
x+ , từ tìm x ∈{ - 7; -3; -1;3}
c) Biến đổi D = x - +
1
x+ , từ tìm x ∈ {-5;-3;-2;0;1;3}
d) x ∈ {±3}
6. a) -14 b)
9 c)
23
66 d)
3
7 Tương tự 4A 8 Tương tự 5A
CHỦ ĐỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
(14)- Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x, kí hiệu |x| khoảng cách từ điểm x đến điểm trục số
x x ≥ |x| =
-x x < - Tính chất:
+ Ta có |x| ≥ với x ∈Q Dấu “=” xảy ⇔ x = + Ta có |x| ≥ x |x| ≥ - x với x ∈ Q
+ Ta có |x| = |-x| với x ∈ Q + Với a > 0, ta có:
* |x| = a x = ± a * |x| ≤ a - a ≤ x ≤ a x < -a * |x| > a
x > a
x = y + Ta có |x| = |y|
x = -y
2 Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân
- Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân, ta viết chúng dạng phân số thập phân làm theo quy tắc phép cộng, trừ, nhân, chia phân số
- Trong thực hành, cộng, trừ, nhân hai số thập phân thường áp dụng quy tắc giá trị tuyệt đối, dấu tướng tự số nguyên
- Với x, y ∈ Q ta có: xy = |x|.|y| | |
| | x x
y = y x,y dấu
xy = -|x|.|y| | |
| | x x
y = − y x,y trái dấu
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối số hữu tỉ, tính giá trị (hoặc rút gọn) biểu thức hữu tỉ
Phương pháp giải:Ta sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x x ≥
|x| =
-x x <
1A Tính: |- 4, 8|; |0, 5|; - |- 3, 4|; |- 10|; - |- 1,6| 1B. Tính: |- 3, 2|; |l, 7|; -|- 4, 5|; |- 2l|; - |-3,5| 2A Tính giá trị biểu thức:
a) A = 3x3 - 6x2+ |x| + với
3 x=−
b) B = |x|- 2|y| với
4
(15)a) C = 6x3 - 3x2+ 2|x| + với
3 x=− ; b) D = 2|x| - 3|y| với
2
x= y = -3
3A Rút gọn biểu thức 1 :1 | |
2
P= − x − − x−
khi:
a)
3
x≥ ; b)
3 x<
3B.Rút gọn biểu thức 1 : 15 | |
4 10
P= − x − − x−
khi:
a)
3
x≥ ; b)
3 x<
Dạng Tìm giá trị biến thỏa mãn đẳng thức hữu tỉ cho trước
Phương pháp giải:Ta sử dụng số ý sau: x x ≥
* |x| =
-x x <
* |x| = a x = ± a ( với a ≥0 cho trước) a ≥
* |x| = a x = ± a
* |x| ≥ với x hữu tỉ Dấu “=” xảy x = 4A. Tìm x biết:
3
) | 2, |
4
a x− − = ; b) 2− −4 x =3;
c) | 0, |
3
x− − + =x ; d) | 1| x− x+ = 4B.Tìm x biết:
a) | |
x− − = ; b) 1
6− + =x 4;
c) | 1|
x− − + =x ; d)3 | 15 | x− x+ =
Dạng Tìm giá trị biến thỏa mãn bất đẳng thức hữu tỉ cho trước
Phương pháp giải: Ta sử dụng số ý sau: - Ta có |x| < a -a< x < a với a >
- Ta có |x| ≤ a -a ≤ x ≤ a với a > - Ta có | |x a x a
x a ≥
≥ ⇔ ≤ − với a > - Ta có với a | |x b a x b
b x a < ≤
(16)a) | 0, |
x− < ; b) | 3, |
2
x+ ≥ −
5B.Tìm x biết: a) | 1| 31
4
x− ≤ ; b) | 1|
4 x− > −
Dạng Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân
Phương pháp giải:
- Áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số thập phân - Vận dụng tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối… 6A Thực phép tính:
a) A = 1,3 + 2,5; b) B = -4,3 - 13,7 + (-5,7) - 6,3; c) C = 25.(-5).(-0,4).(-0,2) d) D = |11,4 - 3,4| + |12,4 - 15.5| 6B Thực phép tính:
a) M = 2,4 + 13,5; b) N= 5,2 + (+6,7) - (-4,8) + 2,3; c) P = 10 (-25).0,4.(-0,1); d) Q= |16,5 – 12,5|+|5,4 - 9,5| III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7.Tính giá trị biểu thức:
a)
2
P=x − − +x với x= ; b) Q = 2|x - 2| -3|1- x| với |x - 1|=4 8.Rút gọn 11 31
5 5
M = − + − −x x trường hợp sau:
a) 11
x≥ ; b)
5
x≤ ; c) 11
5< <x
9.Tìm x, biết:
a) | 1, |
4 x
− + = ; b)3 11
2− 4+ x = 4;
c) | 1|
x− − x− = ; d) | 1| 2 x− − x= 10.Tìm x biết:
a) 1
2
x− ≤ ; b) | 1, |
2
x− > −
11.Cho biết a = 2,5; b = - 6,7; c = 3,1 d = - 0,3 Hãy so sánh hiệu sau: a) a - b b - a; b) b - d d - b; c) b - c c – b
12* Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) 13
3
A= x− − ; b) 1| |
3
B= x− + − y + 13*.Tìm giá trị lớn biểu thức sau:
a) 2, 25 1|1 |
4
A= − + x ; b)
1
3 | |
2 B
x =
(17)HƯỚNG DẪN 1A Ta có : |-4,8|= 4,8 |0,5| = 0,5
- |-3,4| = -3,4; |-10| = 10; -|- 6|= -1,6 1B Tương tự 1A
2A a) Thay x = -1
3 vào biểu thức A ta
3
1 1 62
3
3 3
A= − − − + − + =
d) Tương tự | |
B= − − =
2B Tương tự 2A a)
3
2 2 20
6
3 3
− − −
− + + =
b) | |
2 − − = −
3A a) | | 37
3
x≥ => x− = x− => = − +P x
b) | | 3 27
3
x< => x− = − x=> =P x−
3B Tương tự 3A
a) 17 159
3 16
x≥ => =P − x+ b) 97
3 P 2x 16
< => = − 4A a) Từ đề ta suy |x- 2,5|=
4 Do ta có x - 2,5=
4
x - 2,5 =
4
− Tìm 13 ; 4 x∈
b) Từ đề ta suy ra
4− x =6 Tìm
13 17 ; 24 24 x∈
c) Từ đề ta suy ra|0,5x - 2|=
x+ Do ta có 0,5 x - = x +2
3
0,5x - = x -
3 Tìm
16 ;
3
x∈ −
d) Với x ≥-1 |x + 1| = x +1, thay lại đề ta có 2x - ( x + 1) = -1
2 Tìm
được x =
2 ( TM)
Với x < -1 |x + 1| = - x - thay lại vào đề ta có 2x - ( - x - 1) =
2 Tìm
được x =
2
− ( KTM) Vậy x = 1
4B Tương tự 4A a) 4;
3 x∈
b)
1
; x∈ −
(18)c) 2; x∈
d) x= 65
8
5A a) Vì | x- 0,6| <
3 nên suy -
3 < x - 0,6 <
3 Từ tìm
4 14
15< <x 15
b) Từ đề ta suy 3,
x+ ≥ , đo ta có x +
2 ≥ 3,5
hoặc x +
2 ≤-3,5 Từ tìm x ≥ x ≤-7
5B Tương tự 5A a) 17
4 x
−
≤ ≤ b) x
8
> x <1
8
6A a) A= 3,8
a) B = [( -4,3) + (-5,7)] + [(-13,7) + (-6,3)] = -30 b) B = [( -4,3) + (-5,7)] + [(-13,7) + (-6,3)] = -30
c) C = [10.( -0,1].[ (-25) (-0,4)] = -10 d) D = 11 + 0,1 = 11,1
6B Tương tự 6A a) M = 15,9 b) N = 19 c)P= 10 d)Q = 8,1 7 a) Ta tính P =
b) Ta có: |x - 1| = từ tìm x ∈{5;-3} Với x = ta tính Q = -6; Với x = -3 ta tính Q = -2
8 a) 11 43
5
x≥ =>M = x− b) 14
5
x≤ =>M = x−
c) 11 11 5< <x 5=>M = −
9 Tương tự 4A a) 7;
8 x∈
b)
5 0;
6 x∈ −
c) 3; 14 x∈
d) x =
1
10 Tương tự 5A a)
6 ≤ ≤x b) x > x < −
11. a) Tính a - b = 9,2; b - a = -9,2 nên suy a - b > b - a b) Tính b - d = -6,4; d - b = 6,4 nên suy b - d < d - b c) Tính b - c =- 9,8; c - b = 9,8 nên suy b - c < c - b 12*. a) Do
3
x− ≥ với ∀x nên suy A 13
≥ − với ∀x gái trị nhỏ A 13
4
− x =
6
b) Giá trị nhỏ B x = y =6
13*. a) Ta chứng minh A ≤2,25 với ∀x Vậy giá trị lớn A 2,25 x =
2 −
b) Ta chứng minh
(19)x =
2
CHỦ ĐỀ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Lũy thừa bậc n số hữu tỉ x, kí hiệu x”là tích n
thừa số x ( n số tự nhiên lớn 1) xn = x x x (x ∈ Q, n ∈ N, n > 1)
n
(20)- Khi số hữu tỉ x a( ,a b Z b, 0) b
= ∈ ≠ ta có :
n n n a a b b = - Chú ý: x2n≥ với ∀x ∈Q; ∀n∈ N
x2n-1 dấu với dấu x; (-x)2n = x2n (-x)2n-1 = x2n+1 2 Các phép toán lũy thừa - Tích hai lũy thừa số: xm xn = xm+n (x ∈Q, m,n ∈N) - Thương hai lũy thừa số:
xm : xn = xm-n (x ∈ Q*, m, n ∈ N, m > n) - Lũy thừa lũy thừa:
(xm)n = xm -n (x ∈ Q, m,n ∈ N) - Lũy thừa tích:
(x.y)n = xn yn (x, y ∈ Q, n ∈ N)
- Lũy thừa thương : ( , , )
n n n
x x
x y Q n N n n
= ∈ ∈
- Lũy thừa số mũ nguyên âm:
Với x ∈Q, x ≠ 0; n ∈N* ta có: n n
x x = - Hai lũy thừa nhau:
* Nếu xm
= xnthì m = n với (x ≠ 0; x ≠ ±1) * Nếu xn
= ynthì x = y nêu n lẻ, x = ± y n chẵn II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Sử dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa lũy thừa số hữu tỉ: xn = x x x (x ∈ Q, n ∈ N, n > 1) quy ước
n
x1= x với ∀x∈Q ; x0 =1 với ∀x ≠ 1A a) Tính:
4
4
2
; ; ; ( 0, 4) ; ( 1, 34)
3
−
− − − −
b) Viết tích sau dạng lũy thừa
i) 3.27.9 ii) 25.5.125; iii) 27
1B. a) Tính ;
3
4
1
; ; ; ( 0, 6) ; ( 1, 56)
3
−
− − − −
b)Viết tích sau dạng lũy thừa
i) 2.16.8 ii) 49.7.343; iii) 27 16 64
Dạng Tính tích thương hai lũy thừa số
Phương pháp giải:Ta sử dụng cơng thức tích hai lũy thừa số: xm xn = x m+ n ( x ∈Q, m, n ∈N)
(21)a) 1
; b)
2 2 − ; c) 2 35 : 24 −
; d) 25.5
-1
.50 2B.Thực phép tính:
a) 3
; b)
2 1 : ; c) 5 27 : 20 −
; d)
3
.9-1 Dạng Tìm số mũ, số lũy thừa
Phương pháp giải: Ta sử dụng tính chất sau: - Nếu xm = xnthì m = n với (x ≠ ; x ≠ ±1)
- Nếu xn = ynthì x = y n lẻ, x = ± y n chẵn - Nếu xm < xn (x >1) m < n
3A.Điền số thích hợp vào vng : a) 16
2
= ; b) 64
125
− = 3; c) 0,01 = (0,1) 3B.Điền số thích hợp vào vng :
a) 64 = ; b) 27
8
− = −
; c) 0,25=
2
4A Tìm số nguyên x, y biết:
a) ( x -1,2)2 = 4; b) (x + l)3 = -125;
c) 34-x = 27; d) ( x + 1,5)8 + (2,7 - y)10 = 0; e) 3-1 4x =
.2
3 ; f)
-x
27x = 243 4B Tìm số nguyên x, y biết:
a) ( x - 1,5)2 = 9; b) ( x -2)3 = 64;
c) 24-x = 32; d) ( x + 1,5)2 + ( y - 2,5)10 = e) 2-2.2x + 2.2x = 9.26; f) 3-2 34.3x = 37
Dạng So sánh lũy thừa
Phương pháp giải:Để so sánh lũy thừa ta thực sau:
- Biến đổi lũy thừa cần so sánh dạng có số mũ số - Có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh
5A. So sánh:
a) 224 316; b) 2300 3200; c) 715 720; 5B. So sánh:
a) -230 -320; b) (-5)9 (-2)18; c) 355 610 6A.Tìm số nguyên dương n, biết:
a) 25< 5n < 625; b) 3.27 > 3n≥ 9; c) 16 ≤ 8n≤ 64 6B. Tìm n ∈ Z, biết:
a) 49 < 7n < 343; b) < 9n≤ 243; c) 121 ≥ 11n ≥ III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7.Tính giá trị biểu thức:
(22)
a)
10
3
( 3) 15 25 ( 9)
−
− ; b)
0
3 2
2 ( 2) :
9
−
+ − + −
8.Tìm x, y, biết a) ( 5x+ 1)2 = 36
49; b)
3 2 x − = ;
c) (8x-1)2x+1 = 52x+1 ; d) ( x - 3,5)2 +
4 10 y − ≤
9 Viết số hữu tỉ 81
625 dạng lũy thừa Nêu tất cách viết
10 So sánh số sau:
a) 335 520; b) 378 232 11*.a) Cho biết l2 + 22 +32 + + 102 =385 Tính A = 32 + 62 + 92+…+ 302
b) Cho biết l3
+ 23 + 33 + … +103 = 3025 Tính B = 23 + 43 + 63 + + 203
12.* Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) A = 3n+3 + 3n+1 + 2n+2 + 2n+1 chia hết cho 6;
b) B = 3n+3 - 2n+3 + 3n+2 - 2n+1chia hết cho 10; HƯỚNG DẪN 1A a)
4 3
4
2 ( 2) 16 ( 1)
;
3 81 3 27
− − −
= = − = = −
;
2
4
5 12 144 16
1 ; ( 0, 4) ; ( 1, 34)
7 49 625
− −
− = = − = = − =
b) i) 3.27.9 = 36 ii) 25 125 = 56 iii)
6
2
3 27
=
1B Tương tự 1A a) 1 27 − = − ; 27 − = − ; 49 16 − =
(-0,6)4 = 81
625 ( 1,56)
0
=
b) i)2.16.8 = 28 ii) 49.7.343 = 76 iii)
6
3 27
4 16 64
= 2A a)
512 b)
1
25 c)
36
49 d)
2B Tương tự 2A a) b)1
3 c)
1024 243
− d)
3A a)
4 16 −
= b)
3 64 125 − − =
c) 0,01= (0,1)
3B Tương tự 3A
(23)x ∈{-0,8;3,2}
b) Từ đề ta có x = = -5, tìm x = -6 c) Từ đè bai ta có 34- x = 33
d) ta chứng minh ( x + 1,5)8
+ (2,7 - y)10≥ ∀x, y để ( x + 1,5)8 + ( 2,7 - y)10 = x + 1,5 = 2,7 - y = ) Từ tìm x = -1,5; y = 2,7
4B Tương tự 4A
a) x ∈{- 1,5; 4,5} b) x =
c) x = - d) x = -1,5 ; y = 2,5 5A a) Ta có 224 = 22.8 316 = 32.8 = 98 nên 224 < 316;
b) 2300 = (23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 nên 2300 < 3200; c) Ta có 715 < 815 mà 815 = (34)5 = 320 < 720 nên 715 < 720;
5B Tương tự 5A
a) -230 > -320 b) (-5)9 < < (-2)18 c) 355 < 610 6A a) Từ đề suy 52 < 5n < 54, tìm n =
b) Từ đề suy 34 > 3n ≥ 32, tìm n ∈{2; 3} c) Từ đề suy 24 ≤ 23n ≤ 26, tìm n = 6B Tương tự 6A
a) n∈∅ b) n = c) n ∈{0; 1; 2} 7 a)
5
− b) 74 8 a) 13;
35 35 x∈ − −
b) x =
c) 3; x∈ −
d) x=
7 ; y=
1 10
9
2 4
81 9 3
625 25 25 5
= = − = = −
10. Tương tự 5A
11* a) Ta có 12 + 22 + 32 + …102 = 385 Suy ( 12 +22 + 32 +…+102 ) 32 = 385.32 Do ta tính A = 32
+ 62 + 92 + …+302 = 3465 b) Tương tự ý a) tính B = 24200
12* a) Từ đề ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n 3.2.5 + 2n 2.3 => ĐPCM;
b) Từ đề ta có B = 3n+1
(32 + 1) - 2n+1 (22 +1) = 3n+1 10 - 2n 2.5 => ĐPCM;
CHỦ ĐỀ TỈ LỆ THỨC I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa:Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c
b =d
( a,b,c,d ∈Q; b ≠ 0, d≠ 0)
Ta có a d gọi ngoại tỉ, b c trung tỉ 2 Tính chất:
- Nếu a c
b =d = ad = bc;
(24), , , a c a b d c d b b = d c =d b =a c = a
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên
Phương pháp giải: Để thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên ta thực bước sau:
Bước 1 Viết số hữu tỉ dạng phân số tối giản;
Bước 2 Thực phép chia phân số
1A Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên: a) 12:
5 25
−
; b) 1,2 : 4,8; c) 3: 0, 45
4
1B Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên: a) 15:
5
−
; b) 1,5: 8,25; c) 5: 0, 75
8
Dạng Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ tỉ lệ thức cho trước, từ số cho trước
Phương pháp giải: Ta thực sau:
- Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước: Áp dụng tính chất Nếu ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức sau:
, , ,
a c a b d c d b b = d c =d b =a c = a
- Lập tất tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức cho trước: Từ tỉ lệ thức a c
b =d ta có
thể lâp đươc ba tỉ lệ thức khác cách:
- Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ trung tỉ: a b
c = d
- Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ ngoại tỉ: d c
b =a
- Đổi chỗ ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với nhau: d b
c = a
- Lập tỉ lệ thức từ số cho trước: Từ số cho ta lập đẳng thức
dạng ad = bc áp dụng tính chất
2A.Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không? a) 3:
5
4 :
5 ; b)
1 :
3
1 :13
4
2B. Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức khơng? a) 2:
5
4 :16
5 ; b)
1 :
3
2 :13
3
3A.a) Lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: i) 14.15 = 10 21 ii) AB.CD = 2.3 iii) AB.CD = EF.GH iv) 4.AB = 5.MN b) Lập tất tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức sau: 1,
15 3,
− −
=
c) Lập tất tỉ lệ thức có từ bơn số sau : 12 ; - ; 40 ; -10 3B.a) Lập tất tỉ lệ thức từ đẳng thức sau:
i) 13.18 = 9.26; ii) MA.PQ = 3.5; iii) MN.PQ = CD.EF ; iv) 2.AB = 7.MN b) Lập tất tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức sau: 1,
(25)c) Lập tất tỉ lê thức có từ bốn số sau : - 1; ; -25 ; 125 Dạng Tìm số hạng chưa biết tỉ lệ thức
Phương pháp giải: Ta sử dụng tính chất: Nếu a c
b =d bc a
d
= ; b ad c
= ; c ad b
= ; d bc a = 4A. a) Tìm x tỉ lệ thức:
i) 1,2: 0,8 = (- 3,6): (3x); ii) 12 : = x : 1,5; iii) x : 2,5 = 0,03 : 0,75; iv) 3,75 : x = 4,8 : 2,5 b) Tìm x, biết:
i)
5 20
x =
; ii) 60
15 x
x = ; iii)
4
x x
− = −
− ; iv)
12
32
x
x
− =
−
4B. a) Tìm x tỉ lệ thức:
i) l,8: l,3 = (-2,7):(5x); ii) 15 : = x : 3,5; iii) x: 6,5 = 0,13:0,25; iv) 5,25 : x = 3,6 : 2,4 b) Tìm x, biết:
i)
4 10
x =
; ii)
24 x
x = ; iii)
3
x x
− = −
− ; iv)
10 27
6
x
x
− =
− Dạng Chứng minh tỉ lệ thức
Phương pháp giải: Để chứng minh tỉ lệ thức a c
b =d ta thường sử dụng
trong ba cách sau:
Cách 1 Chứng tỏ ad = bc
Cách 2 Chứng tỏ a
b c
d có giá trị
Cách 3.Dùng tính chất dãy tỉ số (học sau)
5A.a) Cho tỉ lệ thức a c
b =d Chứng minh:
i) a c
a b+ =c+d ; ii)
a b a c c d b d − = +
− +
b) Cho 2
2
a b c d a b c d + = +
− − Chứng minh a c b = d
5B. a) Cho tỉ lệ thức a c
b = d Chứng minh:
i) a c b d
a b + = +
; ii) a b a b
c d c d − = +
− +
b) Cho:
3
a c a c b d b d
+ = +
+ + Chứng minh: a c b = d
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
6 Thay tỉ số số sau tỉ số số nguyên a) 1,2: 3,36; b) : 21
7 14; c)
3 : 0, 54
8
7 Lập tất tỉ lệ thức có từ đẳng thức sau: (-2) 15 = (-10) 8 Lập tất tỉ lệ thức có từ số: 3; 9; 27; 81
(26)a) :4 0, 25 :
5 5= x; b)
2 3
24 32
x+ = x−
; c) 13 76
2 17
x x
− =
+
10 Chứng minh rằng: Nếu a b c d
b c d a + = +
+ + ( c + d ≠ 0) a = c a = b + c + d = HƯỚNG DẪN
1A a) 12:
5 25
− = −
; b) 1,2:4,8 =
4 c)
3
: 0, 45
4 =3
1B Tương tự 1A a)
25 −
; b)
11 c)
5
2A a) 3: =10
4
:
5 =10 Do
3
: :
5 =5
b) : 71 =3
1
:13
4 =4 Hai tỉ số khác nên chúng không lập
thành tỉ lệ thức
2B Tương tự 2A
3A a) i) Ta có 14.15 = 10.21 từ suy tỉ lệ thức sau
14 21 14 10 15 21 15 10
; ; ;
10=15 21=15 10 =14 21=14;
ii) Tương tự 3
; ; ;
2 3
AB AB CD CD CD CD AB AB
= = = =
iii) Tương tự AB GH; AB EF CD; GH CD; EF EF = CD GH =CD EF = AB GH = AB
iv) Tương tự 5
; ; ;
4 5
AB AB MN MN
MN = = AB = AB =MN
b) Ta có 1,
15 3,
− =− từ suy tỉ lệ thức sau
5 15 3, 1, 3, 15
; ;
1, 3, 15 1,
− = = − =
− − − −
c) Từ bố số 12; -3; 40; -10 ta lập tích sau: 12 (-10) = (-3) 40, từ suy tỉ lệ thức 12 40 12 10 10 40
; ; ;
3 10 40 10 40 12 12
− − − −
= = = =
− − − −
3B Tương tự 3A
4A a) i) Từ đề ta có 3, 6.08 1,
x= − , từ tìm x = -0,8
ii) Từ đề ta có 5.x = 12.1,1,5, từ tìm x = 3,6 iii) Từ đề ta có 2, 5.0.03
0, 75
x= từ tìm 10 x=
iv) Từ đề ta có 3, 75.2, 4,8
x= từ tìm 125 64 x=
b) i) Từ đề ta có 3.5
20
x= , từ tìm x =
ii) Từ đề ta có x2= 900, từ tìm x = ±
30
iii) Từ đề ta có (-3) (2 - x) = ( 3x - 1), từ tìm
9 x= −
(27)4B Tương tự 4A a) i) 39
100
x= − ii) 105
8
x= iii) 169
50
x= iv)
2 x=
b) 18
5
x= ii) x= ±12 iii) x= -11; iv) x ∈{-4;14}
5A a) i) Theo đề ta có: a c
b =d => ad=bc=> ad + ac= bc +ac
=> a ( c = d) = c( a + b) => a c
a b+ =c+d (ĐPCM)
ii) Từ phần i) ta có a c a b+ =c+d =>
a a b c c d + =
+ (1) Chứng minh tương tự ta cóa a b
c c d − =
− (2) Từ (1) (2) suy a b a c
c d b d − = +
− + ( ĐPCM) b) 2
2
a b c d a b c d + = +
− − => ( 2a +b) (c -2b) ( 2c + d) nhân bỏ ngaowcj, thu gọn ta có bc = ad => a c
b =d ( ĐPCM)
5B Tương tự 5A 6 a) 1, : 3, 36
14
= b) : 21
7 14= c)
3 25
: 0, 54
8 =36
7 10
3 15
− =−
10 15
− = −
3
2 = 10
− −
10 15
2
− = − 8 3 27
9 =81
3
27=81
81
27=3
81 27
9 =
9 a) x=
19 b) x= 15 c) x =
10*. Ta có : a b c d a b b c b c d a c d d a
+ + + +
= => + =
+ + + + +1
=> a b c d a b c d
c d d a
+ + + + + +
=
+ +
Nếu a + b + c + d ≠0 => c + d = a +d => a = c Nếu a + b + c + d = hệ tỉ lệ thức ln Vậy a = c a + b + c + d =
CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Tính chất dãy tỉ số nhau: * a c a c a c a c
b d b d b d b d
+ −
= ⇒ = = =
+ −
* a c e a c e a c e a c e
b d f b d f b d f b d f
+ + − +
= = ⇒ = = = =
+ + − +
(Giả thiết tỉ số có nghĩa) 2) Chú ý:
Khi ta nói số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c tức là: x y z
(28)II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Tìm số chưa biết dãy tỉ số
Phương pháp giải: Để tìm số chưa biết dãy tỉ số nhau, ta thường làm sau:
Cách 1. Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau, biến đổi để xuất điều
kiện cho đề Từ tính giá trị dãy tỉ số
Cách 2 Phương pháp "đặt k" theo bước sau:
- Bước 1 Đặt x y z
k a = = =b c
- Bước 2. Rút x = a.k; y = b.k; z = c.k
- Bước 3. Thay giá trị x, y, z vào điều kiện cho đề bài, tìm
được giá trị k Từ suy giá trị x,y,z 1A. a) Cho
3 x y
= Tìm x,y biết:
i) x + y = 90 ; ii) 4x - y = 42; iii) xy = 162; iv) 2x2 - y2 = - b) Cho
2
x = =y z Tìm x, y, z biết
i) x + y + z = 30; ii) x - 2y + 3z = 22; iii) xyz = - 240; iv) x2 + 3y2 - z2 = 150 c) Cho 2x-3y + z = 42 Tìm x, y, z biết:
i)
3 13
x+ = y− = z−
; ii) ;
3 x = y y = z
− ;
iii) 6x = 4y = z; iv) x = -2y; 7y = 2z 1B a) Cho
4 x y
= Tìm x, y biết:
i) x + y = 54; ii) 3x - 2y = 8; iii) xy = 80; iv) x2 - 3y2 = - 59 b) Cho
3
x = =y z
Tìm x, y, z biết:
i) x + y + z = 56; ii) x - 2y + 3z = - 33; iii) xyz = 720; iv) x2 - 4y2 + 2z2 = - 475 c) Cho x - 2y + 3z = 56 Tìm x, y, z biết:
i) 3
7
x− = y+ = z+
; ii) ;
6
x = y x = z
− ;
iii) 3x - 4y = 2z; iv) 2x = -3y; 7y = -10z Dạng Giải toán chia theo tỉ lệ
Phương pháp giải: Để giải toán chia theo tỉ lệ, ta thường làm sau:
Bước 1.Gọi đại lượng cần tìm x, y, z (tùy đề yêu cầu)
Bước 2. Từ điều kiện toán cho, đưa dãy tỉ số
Bước 3.Sử dụng phương pháp dạng để tìm x, y, z kết luận
(29)2B. Số sản phẩm hai công nhân tỉ lệ với 8;5 Biết người thứ làm nhiều người thứ hai 60 sản phẩm Tính số sản phẩm người làm
3A Các cạnh tam giác có số đo tỉ lệ với số 3; 5; Tính cạnh tam giác biết chu vi 40,5cm
3B.Chia số 48 thành phần tỉ lệ với số 3; 5; 7;
4A. Ba lớp có tất 135 học sinh Số học sinh lớp 7A
8 số học sinh
lớp 7B, số học sinh lớp 7B 16
5 số học sinh lớp 7C Tính số học sinh lớp
4B Chia số 237 thành ba phần Biết phần thứ phần thứ hai tỉ lệ với 3: phần thứ hai phần thứ ba tỉ lệ với Tìm số
Dạng Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước
Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta thường làm sau:
Cách 1. Sử dung tính chất dãy tỉ số để biến đổi dẫn đến đẳng
thức cần chứng minh,
Cách 2.Dùng tính chất tỉ lệ thức, ad = bc a c;
b = d
Cách 3.Dùng phương pháp "đặt k” theo bước sau:
Bước 1.Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị k
Bước 2.Biểu diễn tử theo tích k với mẫu tương ứng
Bước 3. Thay giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến
một hệ thức 5A. Cho a c
b =d (Giả thiết tỉ số có nghĩa)
Chứng minh: i) a b c d
b d + = +
; ii) a b c d
a b c d + = +
− − ;
iii) 5
5
a b c d a b a d
+ +
=
− − ; iv)
2 2
2 2
( )
( )
a c a c
b d b d
+ +
=
+ +
5B. Cho a b
c =d (Giả thiết tỉ số có nghĩa)
Chứng minh: i) a c b d
c d
− −
= ; ii) a c a c
b d b d
+ −
=
+ − ;
iii) 4
3 4
a c b d a c b d
+ = +
− − ; iv)
2 2
2 2
( )
( )
a b a b
c d c d
+ = +
+ +
III BÀI TẬP VỀ NHÀ 6 Tìm số x, y, z biết a)
5 x
(30)c)
3 16
x = y
xy = 192; d)
3
x = y − x
2
- y2 = -360; e)
3
x = =y z
x + y + z = 52; f)
2
x− y+ z−
= = x - 2y + 3z = 46; g) ;
10
x y
y = z = 2x - y + 3z = 104 7. Tỉ số cạnh hình chữ nhật
5 Chu vi hình chữ nhật 42m Tính
diện tích hình chữ nhật
8 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m2 Hai cạnh tỉ lệ với Tính chiều dài, chiều rộng khu vườn
9 Số học sinh lóp 7A, 7B, 7C, 7D tỉ lệ với số 11; 12; 13 14 Biết hai lần số học sinh lớp 7B nhiều số học sinh lóp 7A 39 em Tính số học sinh lớp
10 Cho a c
b = d (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Chứng minh:
a) a 2b c 2d
b d − = −
; b) 2
3
a c b d a b b d
− = −
+ + ;
c)
2 2
2
2
( ) ( )
a b c d
a b c d
+ −
=
+ + ; d) ( a + 4c)(2b - 3d) = (b + 4d)(2a - 3c);
e)
2
2
ac a c
bd b d
− =
−
11*.Chứng minh rằng:
Nếu a + c = 2b 2bd = c (b+d) (b ≠ 0, d ≠ 0) a c b =d 12* Cho a b c a
a b c a + = +
− − Với ad = bc Chúng minh: a
= bc (Giả thiết tỉ số có nghĩa)
HƯỚNG DẪN
1A a) i)Theo tính chất dãy tỉ số ( DTSBN) ta có
90 10
3 6
x y x+y
= = = =
+ , từ tìm x = 30; y= 60 ii) Từ đề ta suy
3 12
x= =y x Áp dụng tính chất DTSBN ta có
4 42
7
3 12 12 6
x = =y x = x−y = =
− , từ tìm x = 21; y = 42 iii) Đặt
3
x y k
= = => x = 3k ; y = 6k
(31)iv) Đặt
3
x = y
= k => x = 3k ; y = 6k
Suy 2x2 - y2 = 18k2 - 36k2 = -8 => x =
3
±
Nếu k =
3=> x = 2; y =4 k = -2
3=> x = -2 ; y = -4
b) i) Áp dụng tính chất DTSBN ta có
30
3 6; 9; 15
2 5 10
x y z x y z
x y z + +
± = = = = = => = = =
+ +
ii) ta tìm 76 114 190
; ;
11 11 11
x= y= z=
iii) Đặt
2
x y z
= = = k => x = 2k ; y = 3k; z= 5k
Do xy= 2k.3k.5k = -240 => k = -2 => x = -4; y = -6; z = -10 iv) Đặt
2
x = =y z
= k => x = 2k; y= 3k; z= 5k => k = ±5 Nếu k = => x = 10; y = 15; z= 25
Nếu k = -5 => x = -10; y = -15; z = -25 c) i) ta có; theo tính chất DTSBN ta có
1 2( 1) 39 2)
3 13 2.3 3.4 13
x y z x y z
x= + = − = − = − − − + −
− + => x = 20; y= 30; z = 92 ii) Ta có
3 10
x= y => x = y
− − 10 35
y = =>z y = z
Do 42
6 10 35 12 30 35
x y z x− y+z
= = = = = −
− − − + − => x= 36; y = 60 ; z = -210 iii) Ta có 6x = 4y = z =>
12 12 12 12
x x z x y z = = => = =
Do 42
6
2 12 12
x= =y z = x− y+z = =
− + => x = 12 ; y = 18 ; z = 72 iv) Ta có ; x = -2y =>
2
x = y
− 7y = 2z => y = z
Do 42
6
4 7
x = = =y z x− y+z = = −
− − − + => x = 24 ; y= -12; z = -42 1B Tương tự 1A
a) i) x= 24 ; y- 30 ii) x = 16 ; y = 20 iii) x = 8; y =10 x =-8 ; y = -10
iv) x = ; y = x = -4 ; y= -5
b) i) x = 12 ; y= 20 ; z = 24 ii) x = -9 ; y= -15; z = -18 iii) x = ; y = 10 ; z= 12
iv) x = 15; y+ 25; z = 30 x = -15; y= -25; z= -30
(32)2A. Gọi số bi An Chi x y ( viên bi x, y ∈ *
) Teo đề
ta có
4
x y
= y - x = Áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số ta có
4 5
x = =y y−x
− = => x = 16 ; y= 20
Vậy An có 16 viên bi, Chi có 20 viên bi
2B Tương tự 2A hai người làm 160 100 sản phẩm 3A.các cạnh tam giác là: 8,1cm; 13,5cm; 18,9cm
3B.Tương tự 3A Các phần 6; 10; 14; 10
4A. Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C x; y ;z học sinh x, y, z
*
∈ )
Theo ta có x + y + z = 135; x = ; 16
8y y=15z Áp dụng tính chất DTSBN,
từ tìm x = 42 ; y= 48; z = 45
Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C 42; 48; 45 4B Tương tự 4A
Số thứ nhất, thứ hai, thứ ba 120; 72; 45 5A. i) Ta có a c a b a b a b c d
b d c d c d b d
+ + +
= => = = => = +
ii) Ta có a c a b a b a; b a b a b c d b d c d c d c d c d a b c d
+ − + +
= => = = = => => =
+ − − −
iii) Ta có 5
5 5
a c a b a b a b a b b d c d c d c d c d
+ −
= => = = = = =
+ −
Do 5
5
a b c d a b a d
+ = +
− −
iv) Ta có:
2 2
a c a c a c a c b d b d b d b d
+ +
= = => = =
+ +
=> ; 4
4
a c a b a b a b a b b d c d c a c d c d
+ −
= => = = = =
+ −
v) Ta có ; 4
4
a c a b a b a b a b b d c d c a c d c d
+ −
= => = = = =
+ −
=>
4 a b a b c d c d
+ = −
+ − => ( a- 4b) ( c + b) ( c- 4d) 5B.Tương tự 5A
6. a ) x = 66; y= 55 b) x = -20 ; y = -16 c) x = 6; y = 32 x = - 6; y = -32
d0 x = -9; y= 21 x = 9; y= 021
e) x = 12; y= 16; z = 24 f) x =9 ; y= 10; z= 19 g) x = 14; y= 20; z= 32
7.Diện tích cuả hình chữ nhật là: 90m2 8.Chiều dài: 20m, Chiều rộng: 15cm
9.Lớp 7A, 7B, 7C,7D có 33; 36;39;42 học sinh 10. a) 2 2
2
a c a b b a b a b c d b d c d d c d b d
− − −
(33)b) 20; 3
2 3
a c c a a c a b a c a b b d d b d b d b d b d b d
− + − +
= = = = = => =
− + − +
Do : 2
3
a c b d
a b b d
− = −
+ +
c) Ta có
2 2
2
4 ( )
4 ( )
a b a b a b a b c d c d b a c d
+ +
= = => = =
+ +
=>
2 2 2
2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
a c a b a b a b
b d c d c d c d
+ − +
= = = =
+ − +
Do 22 22
2
( 4) ( )
a b c d
a c d
− −
=
+ +
d) Ta có ;
2
a c a c a c a c
b d b d b d b d
− +
= = = =
− +
=>
2
a c a c b d b d
− +
=
− + => ( a + 4c) ( 2b- 3d) = ( b =4d) 2a - 3c) e)
2 2 2
2 2 2
a c ac a c a c ac a c
b d bd b d b d bd b d
− −
= => = = = => =
− −
11*. Ta có a + c = 2b=> d ( a + c) = 2bd Mà 2bd = c( b+d) nên d ( a +c) = c ( b+d) => ad +cd = bc + cd =>ad = bc => a c
b = d
12* Cách 1: Ta có a b c a
a b c a + = +
− − => ( a + b) ( c- a) = ( c + a) ( a- b) => ac - a2 + bc - ab = ac - bc + a2 - ab => a2 = bc
Cách 2: Đặt a b c a k a b c a
+ +
= =
− − ; Với
1
(1)
1 a b k
k a b a b k
+ +
= => =
− −
Tương tự a = c (2) k k − = +
Từ (1) (2) => ĐPCM
CHỦ ĐỀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN
SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN LÀM TRỊN SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Khái niệm Khi viết phân số a
b dươi dạng số thập phân ta thực phép chia a cho b
(34)- Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước Ví dụ: 37
0, 75; 1, 48 = 25 = ; …
Khi số thập phân thu gọi số thập phân hữu hạn - Phép chia a cho b không chấm dứt
Ví dụ: 17
0, 6666 ; 1, 5454 ;
3 = 11=
Tuy phép chia không chấm dứt phần thập phân kết phép chia có nhóm chữ số lặp lặp lại vơ hạn lần Ta nói số thập phân thu số thập phân vơ hạn tuần hồn nhóm chữ số lặp lặp lại phần thập phân chu kì
2 Nhận biết phân số số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn
- Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu khơng có ước ngun tố khác phân số viết dạng số thập phân hữu hạn
- Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác phân số viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hoàn
Như vậy, số hũư tỉ biểu diễn số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn Ngược lại, số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn biểu diễn số hữu tỉ
3 Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số Ta thừa nhận kết sau:
1 1
0, (1) ; 0, (01) ; 0, (001)
9 99 999
= = =
Ví dụ: Viết số thập phân sau dạng phân số tối giản a) 0,555…= 5.0,111…= 5.0,(1) = 5.1
9=9
b) 0,25454…= 2, 5454 (2 0, 5454 )
10 =10 +
1 1 14
.(2 54.0, 0101 ) 54
10 10 55
= + = + =
4 Làm tròn số Quy ước làm tròn số
- Trường hợp 1: Nếu chữ số chữ số bị bỏ nhỏ ta
giữ nguyên phận lại Trong trường hợp số nguyên ta thay chữ số bị bỏ các chữ số
- Trường hợp 2: Nếu chữ số chữ số bị bỏ lớn
bằng ta cộng thêm vào chữ số cuối phận lại Trong trường hợp số nguyên ta thay chữ số bị bỏ các chữ số
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Nhận biết phân số viết dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn
(35)1A. Trong hai phân số 16
250 −
18 390
− , phân số viết dạng số thập phân hữu hạn, phân số viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn? Giải thích ?
1B. Trong hai phân số 105
750 −
56 735
− , phân số viết dạng số thập phân hữu hạn, phân số viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn? Giải thích?
Dạng Viết tỉ số phân số dạng số thập phân
Phương pháp giải: Để viết môt tỉ số hoăc môt phân số a
b dạng số thập
phân ta làm phép chia a: b
2A.Viết số sau dạng số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn:
63 13 33
; ; ; ;
40 11 45 90 13
2B.Viết số sau dạng số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn:
608 90 20
; ; ; ;
125 22 33
Dạng Viết số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn dưới dạng phân số tối giản
Phương pháp giải: Ta sử dụng mục phần lí thuyết để biến đổi đưa số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số tốì giản
3A Viết số thập phân sau dạng phân số tối giản:
a) -0,25; b) 0,36; c) 0,76; d) -2,245 3B.Viết số thập phân sau dạng phân số tối giản:
a) -0,6; b) 0,68; c) 12,34; d) -0,245
4A Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số tối giản: a) 0,2(28); b) 1,363636…;
c) 0,441(6); d) - 2.636363
4B Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số tối giản: a) 5,(3); b) 1,4222222 ;
c) 1,(09); d) -6,(63) 5A Tính:
a) 0,1(6) + l,(3); b) 1,(3) + 0,1(2).2
11
5B Tính:
a) 0,(6) + 1,(6); b) 3,(6) + l,(36).21
5
Dạng Làm tròn số
Phương pháp giải:Sử dụng quy ước làm tròn số
- Trường hợp 1: Nếu chữ số chữ số bị bỏ nhỏ ta
(36)- Trường hợp 2: Nếu chữ số chữ số bị bỏ lớn ta cộng thêm vào chữ số phận lại Trong trường hợp số nguyên ta thay chữ số bị bỏ các chữ số
6A.a) Làm tròn chục số sau đây:
i) 146 ii) 83; iii) 47 b) Làm tròn số sau đến chữ số thập phân thứ hai: i) 1,235; ii) 3,046(8); iii) 99,9999
c) Cho biết π = 3,141592653589793238462 Hãy làm tròn số π đến chữ số thập phân;
i) Thứ hai; ii) Thứ tư; iii) Thứ mười bảy 6B a) Làm tròn số sau đến chữ số hàng trăm:
i) 12345; ii) 124995; iii) 523 b) Làm tròn số sau đến chữ số đến hàng phần nghìn:
i) 1,235; ii) 14,012(6); iii) 7,7338
c) Cho biết 3=1,732050808 Hãy làm tròn số π đến chữ số thập phân: i) Thứ nhất; ii) Thứ hai; iii) Thứ sáu
III BÀI TẬP VỂ NHÀ
7 Viết phân số sau dạng số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn:
2 15 81 45 39
; ; ; ; ; ;5 ;
15 50 36 125 72 25 70
− −
8.Viết số thập phân sau dạng phân số tối giản: 4,2; 7,16; 3,(18); 0,5(3); 0,135; 6,7(2)
9 So sánh cặp số sau:
a) 2,191 2,19; b) 5,121 5,(12); c) -4,634 -4,6(34); d) 0,0101 0,(01)
10 Một số sau làm tròn đến hàng nghìn cho kết 42000 Số lớn bao nhiêu? Nhỏ bao nhiêu?
11. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 10,34m chiều rộng 5,7m Tính chu vi diện tích mảnh vườn (làm trịn đến hàng đơn vị)
HƯỚNG DẪN 1A 16 38
250 125
− −
= =
− Mẫu khơng có ước ngun tố khác nên phân số viết dạng số thập phân hữu hạn
18 3
390 65 5.13
− −
= =
− Mẫu có ước nguyên tố 13 nên phân số viết dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
1B.Tương tự 1A. Hai viets dạng hưuc hạn vô hạn tuần hoàn 2A.63 1, 575; 0, (54);13 0, 2(8);33 0.3(6); 0, (307692)
40 = 11= 45= 90= 13=
2B.Tương tự 2A
608 90 20
4,864; 0,1(36); 2, (72); 6, (6); 0, (571428)
(37)3A. a) - 0,25 = 25
100
− =−
; b) 0,36 = 36
100=25
Tương tự c) 19
25; d)
-449 200
3B.Tương tự 3A a)
5
− b) 17
25 c)
617
50 d)
49 200 − 4A
a ) 0,02(28) = 0,02 +0, (28) 0, (07) 0, (07).4 113 100 =50= 100 =50+ 100 =50+99 25= 4950
b) 1,363636…= + 0,(36)= + 9.0,( 09) = = 4 99= +11=11
c) 0.441(6) = 53
120 d) , 636363… = -29 11
4B Tương tự 3A a) 16
3 b)
64
45 c)
12
11 d)
-73 11
5A. a) 0,1(6) + 1,93) =
6+ =3
b) 1,(3) + 0,1(2) 11 30 11= +3 90 11 =3
5B.Tương tự 5A a)7
3 b)
20
6A. a ) i) = 146 ≈150 ii) 83 ≈80 iii) 47 ≈50
b) i) 1,235 = 1,24 ii) 3,046(8) ≈3,05 iii) 99,9999≈100,000 c) i) π ≈ 3,14 ii)π ≈ 3,1416
iii) π ≈3,14159265358979324 6B.Tương tự 6A.
7 0,1(3);4 0, (571428); 0, 06;15 041(6)
15 50 36
− = = − = − =
81 45 39
0, 648; 0, 625;5 1, 008; 05(571428)
125= = 25= 70 =
8. 4, 21; 7,16 179;3(18) 35
15 25 11
= = =
0,5 ( 3) = ; 0,135 27 ; 6, 7(2) 121
15 =200 = 18
9 a ) 2,191 > 2,19 b) 5,121 < 5,(12) b) - 4,634> - 4,6(34) d) 0,0101 < 0,(01) 10. Số lớn là: 42499, nhỏ 41500
11. Chu vi ; 32m Diện tích : 59m2
CHỦ ĐỀ SỐ VÔ TỈ KHÁI NIỆM VỂ CĂN BẬC HAI SỐ THỰC
(38)Số vơ tỉ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Tập hợp số vơ tỉ kí hiệu I
2 Khái niệm bậc hai
- Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a
- Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau, số dương kí hiệu a, số âm l - a
- Số chi có bậc hai - Số âm khơng có bậc hai
3 Số thực
Số hữu tỉ số vô tỉ gọi chung số thực Tập hợp số thực kí hiệu R Ta có: N ⊂ Z ⊂Q ⊂R
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Nhận biết mối quan hệ tập hợp số
Phương pháp giải: Để nhận biết mối quan hệ tập hợp số cần phải: - Nắm vững kí hiệu tập hợp số;
- Nắm vững mối quan hệ tập hợp số học N⊂Z⊂Q⊂R 1A.Điền dấu ∈ ∉; ;⊂ vào ô trống:
- Q
3
− I 2 R 51
− Z 16 N - 16 N Q R Z Q R 1B.Điền dấu ∈ ∉; ;⊂ vào ô trống:
Q I 4 R -3,27 Q 0,3(19) I N Z I R
Dạng Tìm bậc hai số cho trước tìm số biết bậc hai
Phương pháp giải:Để tìm bậc hai số cho trước ta cần: - Sử dụng định nghĩa bậc hai
- Chú ý: Số dương có hai bậc hai hai số đối nhau, số âm khơng có bậc hai
Khi viết a ta phải có a ≥ a ≥
- Để tìm số biết bậc hai ta ý: Nếu x = a (a ≥ 0) x = a2
2A Tìm bậc hai 3; 16 2B Tìm bậc hai 5; 25 3A Điền số thích hợp vào trống:
a) = b) 169 = ; c) 2 = 14 d)
2
2 = 3B.Điền số thích hợp vào trống:
a) = b) 144 = ; c) 2 = 16 d)
2
(39)Dạng Thực phép tính
Phương pháp giải: Thực thứ tự phép tính, ý sử dụng tính chất phép tính để tính hợp lí
4A. Tính:
a) 16 4
A= − b) 0, 36 0, 09 16
B= − + −
4B Tính:
a) 25
C= − ; b) 4 0,16 0, 04 25
D= − + −
Dạng Tìm x
Phương pháp giải: Ta sử dụng tính chất Với a ≥ x2
= a x a
x a
=
= −
5A. Tìm x, biết:
a) x - x = b) 3 x−20 − =4
5B. Tìm x, biết:
a) x - x = b) 13 x−30 − =3
Dạng So sánh hai số thực
Phương pháp giải:Với a ≥ 0; b ≥ 0, ta có: * a = b a = b
* a < b a < b
6A So sánh số thực sau:
a) 25.4 25 4; b) 0, 0,7
6B So sánh số thực sau:
a) 9.16 16 ; b)
III BÀI TẬP VỀ NHÀ 7. Tính:
a) 36 − 1, 21 − 144 0, 0001
b) 0,81 0, 09
9 +
2 16
16 :
5 25 16
+
8. So sánh:
a) 15 b) 26
9.Tìm x, biết:
a) 4x2 - = b) 2x2 + 0,82 = c) 1
12 x− =6 d) ( x− =1 5)(x−6 x)=0
10* Cho ;
10
A B
x x
= =
+ −
(40)HƯỚNG DẪN 1A Điền dấu ∈ ∉ ⊂; ; vào trống ta có kết sau:
- ∈; -
3∉ ∈ -5
1 5∉
16∈ 16∉ ⊂ ⊂ ⊂
1B Tương tự 1A
2A Căn bậc hai ± 3; bậc hai 16 ±4
2B Tương tự 2A
3A a) 49=7 b) 169=13
c)
14 =14 d)
2
2
5
=
3B Tương tự 3A
4A a) 10 ; b) B = 63
20 −
4B Tương tự 4A
a) C = 14 b) D=
5
−
5A a) Từ đề bai ta có x.( x−4)=0 suy x = x- = 0.Từ tìm x ∈ { ; 16}
b) Từ đề ta có 19 x−20 = 20
TH1: 19
5 x−20= 20 , tìm x = 25
9
TH2: 19
5 x−20= 20, tìm x = −
< ( KTM) Vậy x = 25
9
5B Tương tự 5A
(41)6B Tương tự 6A
7 36= −6; 1, 21 1,1;= − 144= −12; 0, 0001=0, 01
b) 0,81 0, 09 0, 6; 16 16 : 32
9 25 16
+ = + =
8 a) 15<4 b) 26>2
9 a)
2
x= ± b)
10 x= ±
c) 36
25
x= d) x= ; x = 36
10* a) Tìm GTLN A =
10 x = 0;
b) Tìm GTLN b = x =
CHỦ ĐỀ 10 ÔN TẬP CHUYỀN ĐỀ I I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xem lại Tóm tắt lý thuyếtcác từ Bài đến Bài chương
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A So sánh số thực sau:
a) 19
13 87
65; b)
2
3
(42)a)
17 11
34; b) - 0,22(23) -0,2223
2A.Thực phép tính:
a) 0, 3
5
+ − + −
; b) ( )
3
1
0, 016 (5)
16
4
− −
2B.Thực phép tính
a) 0,
5
+ − + −
; b) ( )
3
1
1, 25 ( 4)
25 16
− −
3A Tìm x, biết:
a) 12
5x 3x 16
− = −
; b)
2
2
3x
− =
;
3B. Tìm x, biết:
a) 12
3x 2x 12
− = −
; b)
2
1
5 2x
− = ; c)
1, 25 125
5x − = −
; d)
x
+ 2x+4 = 544 4A.Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
a) 13
4
A= − +x ; b) | |
4 B= − + +x x 4B.Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau
a) 12
3
C= x+ + ; b) | | D= − + +x x 5A Tìm x, y, z biết:
a)
5 x y
= x - y = 20; b)
5
x = =y z
x - y + 2z = 16; a)
3
x = y
; 7x= 5z 4x - 3y -2z = -24 5B Tìm x, y, z biết:
a)
4
x = y
x - y = -15; b)
4
x y z
= = x - 4y + z = 21; a)
3
x y
= ; 3x= 4z 4x - 3y -2z = -24
(43)6B.Ba tổ học sinh trồng tổng cộng 179 xung quanh vườn trường Số tổ I trồng so với số tổ II trồng 6:11, so với số tổ III trồng 7:10 Hỏi tổ trồng cây?
III BÀI TẬP VỀ NHÀ 7 Thực phép tính:
a) (9.0, 08 0, 7.0, 08) 9.12, 0, 7.121 9, 49
+ − +
;
b)
5 3
4
16 10
1, 0, (3)
25 3.2 5
+
− − +
−
8 Tìm x biết:
a) 4,
4x− +5x= ; b) |3x - 2| = | 2x - 3|;
c) (x2 - 4) x = 0; d)
2
1 16
4
3x 25
− =
9. Tìm x, y, z biết: ; x = y y = z
x + y - z = 26
10 Ba lớp 7A, 7B, 7C nộp kế hoạch nhỏ Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự nộp 2kg, 3kg, 4kg Hỏi lớp có học sinh biết số kg giấy thu ba lớp tổng số học sinh lớp 130 học sinh
11 Cho số hữu tỉ x 2a a
−
= (a ≠ 0) Với giá trị a x số nguyên 12. Cho b,d ∈ N* Chứng minh a c
b < d
a a c c b b d d
+ < <
+
HƯỚNG DẪN 1A a) 19 87
13>65 b) - 2
3 > - 2,67
1B Tương tự 1A a) 11
17 <34 b) - 0,22( 23) < -0,2223
2A a) - 143
90 b)
2B Tương tự 2A a) -49
40 b)
3A a) x = 105
64 b) x=
13
;
10 x= −10
3B Tương tự 3A a) x = -49
10 b)
13 17 ; 15 15 x∈ −
c) x= 125
16 d) x =
4A GTNN A 13
5 x =
4; GTNN B 23
4 -3
5 4≤ ≤x
4B Tương tự 4A GNTT C 12
3 x= -12 ; GTNN D 29
4 -5
(44)5A a) x = 50 ; y= 30 b) 40; 24; 48
7 7
x= y= z=
c) x= 30 ; y = 20; z = 42 5B Tương tự 4A a) x = 20 ; y= 35
b) x = 28 ; y= 14 ; z = 49 c ) 48; 16; 36
5
x= y= z=
6A.Số tổ I, tổ II, tổ III trồng là: 42; 70; 48 6B Số tổ I, tổ II, tổ III trồng là: 42; 77; 60
7 a) 90 b) 271
1290
8 a) x= 150
31 b) x∈ ±{ 1}
c) x∈{0;2} d) 72 48; 5 x∈
9. x = 20 ; y = 30 ; z = 24
10 Số học sinh lớp 7A, 7B, 7C là: 60; 40; 30 học sinh 11 x 2a a
a a −
= = − Để x số nguyên 1a=> = ±a { 1}
12 Ta có; a c
b <d => ad < bc => ad + cd < bc + cd => d (a +c) < c ( b +d) => a c c
b d d +
<
+ (1)
Ta có: ad < bc => ad + ab < bc + ab => a ( b+d) < b ( a +c) => a a c
b b d + <
+ (2) Từ (1) (2) suy ra:
a a c c b b d d
+ < <
+
(45)
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ I
Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1.So sánh hai số hữu tỉ x =
5 −
y =
3
− ,ta có:
(46)Câu 2.Kết phép tính
4
− −
− là: A
8 −
; B
8 −
; C
3 −
; D.1
8
Câu 3 Giá tri x thỏa mãn x -
5=10 là:
A
10; B
4
15; C
1
2; D
2 15 −
Câu 4.Giá trị x đẳng thức
2− − =4 x là:
A
4
4; B
7 −
3 4;
C
4 −
; D
7 −
3 − Câu 5 Căn bậc hai 16 là:
A 4; B - 4; C - 4; D 196
Câu 6.Trong cặp tỉ lệ sau, cặp tỉ số lập thành tỉ lệ thức? A 3: : 6; B 0,8 ;
5: 3;
C 0,75:5
3: 2; D
5: 5: 14
Câu 7.Giá trị x thỏa mãn tỉ lệ thức:
16
x
= là:
A 6; B.-6; C 2; D Câu 8.Giá trị x;y thỏa mãn tỉ lệ thức:
16
x− y+
= 2x - y = 16 là:
A 17
2
x= y =1; B 15
2
x= y = 15; C 47
2
x= − y = -31; D
2
x= y= -15 PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài 1.Thực phép tính sau theo cách hợp lí có thể: a) 0, 5 19
16+23+ −16+23; b) (0,125).(- 4,7).(-2)
; c) 121 4: 41:
4
+ −
; d) 0,16− 0,81+ 0, 64
Bài 2 Tìm x; y; z thỏa mãn:
a) x: (- 4,2) = (1,25):(0,25); b) + |1-2x| = 5;
c)
5
x= =y z
x - 2y + z = 6; d)
2
x y z
(47)Bài 3. Tổng số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C 133 em, biết số học sinh 7A, 7B, 7C tỉ lệ với
: :
3 Hỏi lớp có học sinh
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Câu B Câu C
Câu D Câu B Câu c Câu A Câu A Câu A PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài 1. a) 45 0, 5 19 45 19 0, 5, 6+23= −16+23= 6−16+23+23+ =
b) ( 0,125) ( -4,7) (-2)8 = (0,125) (-2)3 ( -4,7) = (0,125) ( -8) (-4,7) = (-1) (-4,7)= 4,7
c) 121 4: 41: 121 4: 41:
4 4
+ − = −
= 121 41 : 83
4 4
− − = =
d) 0,16− 0,81+ 0, 64 = 0,4 - 0,9 = 0,8 = 0,3
Bài 2 a) x : ( -4.2) = (1,250 : ( 0,25) => (1, 25) ( 4, 2) (0, 25)
x
= =
−
=> x = (-4,2).5 = -21
b) + |1 - 2x| = => | - 2x | = 5- 2=
Trường hợp 1: - 2x = => 2x = - = -2 => x = -1 Trường hợp 2: - 2x = -3 => 2x = - (-3) = => x = c)
5
x y z
= = x - 2y + z =
ta có 2
5 6
x= = => =y z x y = =z x− y+z = = − =
vậy x = 2.5 = 10; y= 2.3= 6; z = 2.4= d) Ta có :
2 2 2 2 2
2 4 16
x y z x y z x y z = = => = = = = =
=>
2 2 2 2 2
2
4
4 16 18 16 18 16
x y z x y z x − y +z
= = = = = = = =
− +
=> x = ; y = ; z = x = -4; y = -6; z= -8
Bài 3.Cách 1: Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C x; y ; z Với x; y; z ∈ *
Ta có x = y + z = 133
Số học sinh 7A; 7B; 7C tỉ lệ với : :
x : y : z = 4: : =
60.2 60.3 60.4
: : 40 : 45 : 48
(48) 133
40 45 48 40 45 48 133
x = y = z = x+ +y z =
+ = = => x = 40; y = 45; z = 48 Vaayjsoos học sinh lớp 7A, 7B, 7C lượt tỉ lệ
; ;
=> 133 60
2 4 133
3 5 60
x y z x+ +y z
= = = = =
+ +
Tìm x = 40; y= 45; z= 48
(49)
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1.So sánh hai số hữu tỉ
7
x= − y=
− , ta có:
(50)Câu 2.Kết phép tính
2
− −
− là: A
4
−
B
4 C
4 D
2
Câu 3.Giá trị x phép tính 2x - 1
2=4 là:
A
4; B
3
8; C
1
2; D
3
Câu 4. Giá trị x đẳng thức
6− − =6 x
A -1
3; B 3;
C
3 −
D
1 ; −
Câu 5.Căn bậc hai :
A 3; B -3; C -3; D 81
Câu 6 Trong cặp tỉ lệ sau, cặp tỉ số lập thành tỉ lệ thức? A :3 4:8; B 0,5:2 5:
4
C 0,8 : 2:
5 D
1 :
5
2 :12
Câu 7.Giá trị x thỏa mãn tỉ lệ thức
32
x =
là: A B C 32 D 24 Câu 8.Giá trị x; y thỏa mãn tỉ lệ thức
12
x+ = y−
và 2x - y = 13 là: A x = -23
2 y = 10; B x = 21
2 y = 15;
C x = 23
2 y = 10; D x = 21
2 y = -10
PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài 1.Thực phép tính sau theo cách hợp lí có thể: a) 2, 22
14+27+ −14+27 b) (0,375).(-1,5).(-4)
c) 11 :5 :
14 14
+ −
d) 0, 04− 0, 64+ 1, 44
Bài 2 Tìm x; y; z thỏa mãn: đại gia cho e xin 500 bạc vào thư với (đéo cho cút)
a) x: (-1,2) = (3,25): (0,15); b) 15- |3 - 2x| = 11;
c)
3
x y z
= = x + 3y - 2z = 20 d) 5;
2
x y
y = z = x
(51)Bài 3. Ba tổ trồng 179 xung quanh trường Số tổ I trổng 6:11 tổ II 7:10 tổ III Hỏi tổ trồng cây?
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Câu B Câu C Câu 2.C Câu B Câu B Câu D Câu C Câu 8.C PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài Tương tự Bài Đề a) 6,5; b) -9; c) -7
5 d) 0,6
Bài Tương tự Bài Đề
a) -26; b) x= - 2; x = 5; c) x = 6; y = 10; z = 8; d) x = 10; y = 4; z = 12 x = -10; y = -4; z = -12
Bài Gọi số tổ I; II; III trồng x, y, z với x, y ,z ∈ *
Theo đề ta có ;
11 10 42 77 60
x x x y z
y z
= = = => = =
Và z + y + z = 179 Tìm x = 42; y = 77 z = 60
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CHỦ ĐỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
(52)Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx (với k số khác 0) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k
Chú ý:Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k x tỉ lệ thuận với y theo hệ
số tỉ lệ k
2.Tính chất
Nếu hai đại lượng ti lệ thuận với thì:
- Tỉ số hai giá trị tương ứng chúng không đổi:
3
1
1
m n
y y y y
k x = x = x = x =
- Tỉ số hai giá trị đại lượng tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng
1 1
2 3
; ; ; m m
n n
x y x y x y
x = y x = y x = y
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Bài tốn áp dụng công thức đại lượng tỉ lệ thuận
Phương pháp giải: Ta dùng công thức y = kx để xác định tương quan tỉ lệ thuận hai đại lượng xác định hệ số tỉ lệ
1A.Hãy viết cơng thức tính:
a) Qng đường S km theo thời gian t vật chuyển động với vận tôc 20 km/ giờ;
b) Chu vi hình vng C cm theo cạnh có độ dài a cm 1B.Hãy viết cơng thức tính:
a) Quãng đường S m theo thời gian t giây vật chuyển động với vận tốc m/giây;
b) Khối lượng m kg theo thể tích V m3 của kim loại đồng chất có khối
lượng riêng D kg / m3với D ≠
0
2A.Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1 y tỉ lệ thuận với x theo hệ
số tỉ lệ k2 Hỏi z có tỉ lệ thuận với x khơng? Nếu có tìm hệ số tỉ lệ? Biết k1 ≠0,
k2 ≠0
2B Cho biết y1tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k (k ≠ 0) y2tỉ lệ thuận với
x2theo hệ số tỉ lệ k Hỏi y1 - y2có tỉ lệ thuận với x1 - x2khơng? Nếu có tìm hệ số
tỉ lệ?
3A. Cho x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Gọi x1; x2 hai giá trị x y1
,y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 - x2= 12 y1 - y2 = -
a) Tìm hệ số tỉ lệ k y biểu diễn y theo x; b) Tính giá trị y x= -2; x =
3B Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ thuận với x = y = 12 a) Tìm hệ số tỉ lệ k y x biểu diễn y theo x;
b) Tính giá trị y x = 2; x = -4,
Dạng Dựa vào tính chất tỉ lệ thuận để tìm đại lượng
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận
4A Cho x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Gọi x1 ; x2là hai giá trị x y1;
(53)a) Tính y1 y2; b) Biểu diễn y theo x
4B. Cho x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Gọi x1, x2là hai giá trị x y1,
y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 = -0,5; x2 = -1,5 2y1 - 3y2 = 10,5
a) Tính y1 y2; b) Biểu diễn y theo x
Dạng Lập bảng giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ thuận
Phương pháp giải: Thực theo bước sau:
Bước 1.Xác định hệ số tỉ lệ k
Bước 2.Dùng cơng thức y = kx để tìm giá trị tương ứng x y
5A.Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận bảng sau
x -12 -3
y 2
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x; b) Điền số thích hợp vào trống
5B. Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Điền số thích hợp vào trống bảng sau:
x - -2
2
−
y -4
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x; b) Điền số thích hợp vào trống
6A. Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Hai giá trị x1, x2của x có hiệu
bằng hai giá trị tương ứng y1, y2của y có hiệu -
a) Hãy biểu diễn y theo x;
b) Điền số thích hợp vào ô trống bảng sau:
x - -1
y −32 -3
6B Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Hai giá trị x1, x2 x có x1 -
4x2= 16 hai giá trị tương ứng y có y1 - 4y2 = -64
a) Hãy biểu diễn y theo x
b) Điền số thích hợp vào ô trống bảng sau:
x -
y -8
Dạng Xét tương quan tỉ lệ thuận hai đại lượng biết bảng giá trị tương ứng chúng
Phương pháp giải: Ta xét xem tất thương giá trị tương ứng hai đại lượng có hay khơng
- Nếu thương đại lượng tỉ lệ thuận;
(54)V m 4,2 8,4 12,6 16,8 21
m V
a) Điền số thích hợp vào trống bảng
b) Hai đại lượng V m có tỉ lệ thuận với khơng? Vì sao? 7B Cho bảng sau:
x -5 -3 -2
y 10 -4 -12
Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ thuận khơng? Vì sao?
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
8 Cho biết y tỉ lê thuận với x theo hệ số tỉ lệ k =
4
− Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ ?
9 Cho biết x tỉ lệ thuận với y theo tỉ lệ
5
− y tỉ lệ thuận với z theo tỉ lệ
Tìm x z = 5; z = -1
5 ; z = 30?
10 Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a Biết x = -6 y = 2, tìm cơng thức biểu diễn y theo x tìm x biết y = -
11 Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a Biết x = -10 y = 15, tìm cơng thức biểu diễn y theo x tìm x biết y = -2019
12. Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ thuận với x1 -x2 = 15
y1 -y2 =
a) Tìm hệ số tỉ lệ k y x biểu diễn y theo x; b) Tính giá trị y x = 6; x = -24
13 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Khi giá trị x1, x2của x có tổng
bằng hai giá trị tương ứng y1; y2có tổng -14 Hãy biểu diễn y theo x
14 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ thuận Gọi x1; x2 hai giá trị x; gọi
y1;y2 hai giá trị tương ứng y Biết 3x1 - 2x2 = 14,4 3y1 - 2y2 = -3,6, biểu
diễn y theo x
15. Các giá trị tương ứng t S cho bảng sau:
t
S 40 80 120 160 200
S t
a ) Điền số thích hợp vào trống bảng;
(55)HƯỚNG DẪN
1A. a) S= 20t b) C = 4a 1B.Tương tự 1A a) S= 20t b) m = V.D 2A.Ta có z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1 nên z = k1y (1)
Ta có y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 nên y = k2x ( 2)
Từ (1) (2) suy z = (k1k2) x
Vậy z tỉ lệ thuận với x1 - x2theo hệ số tỉ lệ k
2B. y1 - y2tỉ lệ thuận với x1 - x2theo hệ số tỉ lệ k
3A a) Ta có y1 - y2 = kx1 - kx2 = k(x1 - x2)
Từ x1 - x2 = 12 y1 - y2 = -3 tìm k = -1
4 Vậy y = -1 4x
b) ta có x = -2 y =
2; x = y = -1
3B.Tương tự 3A
a) Tìm y =
2x
b) Khi x = y = 3; x = -4 y = -6 4A.a) Vì x y hai đại lượng tỉ lệ thuận nên
1
y y x = x
Áp dụng tính chất dãy Tỉ số có: 2
4 10 ( 10) 14
y y y −y
= = = =
− − −
=> y1 = , y2 = -5
b) y =
2x
4B.Tương tự 4A a) y1 = 1,5; y2 = 4,5 b) y= -3x
5A.Do x y hai địa lượng tỉ lệ thuận nên y = kx với k ≠0 => k = y
x
Theo đề bài, thay x = 6; y = ta suy k = =3
b) k =
3 => y =
3x Ta có kết bảng sau
x -12 -3
y -4 -1
5B Tương tự 5A a) Tìm k = -2 b) HS tự làm 6A.a) Vì x y hai địa lượng tỉ lệ thuận nên
1
y y x = x
Áp dụng tính chất dãy TSBN ta 2
1 2
3 y y y y x x x x −
= = = −
− Vậy y =
(56)b) Ta có kết bảng sau
x -3 -2 -1
y
2
3
2
3
− -3
6B Tương tự 6A a) y = -4x ; b) HS tự làm 7A. a) Các ô trống điền số 4,
b) V m hai địa lượng tỉ lệ thuận m = 4,2V
7B Tương tự 7A x y hai địa lượng tỉ lệ thuận 8.x tỉ lệ thuận với y teo hệ số tỉ lệ
3 − 9.Tương tự 2A Tìm x = -
10z
Khi z= x = -1
2; z = -
5 x= 50
Khi z = 30 x = -3
10 Khi y = - ta tìm x = 12 11. Tương tự 3B Tìm y = -3
2 Khi y = - 2019 x = 1346
12. Tương tự 3A a) y = -1
3x b) Khi x = y = -2; x = - 24 y =
13. Tương tự 3B. y = -7x 14. Tương tự 6A y = -
4x
15. Tương tự 7A. a)HS tự làm b) S= 40t
(57)
CHỦ ĐỀ MỘT SỐ BÀI TỐN VỂ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Xem lại phần Tóm tắt lý thuyếttrong Bài Chương
- Ta thường gặp hai toán sau đại lượng tỉ lệ thuận:
Bài toán 1 Toán đại lượng tỉ lệ thuận
Bài toán 2.Chia số thành phần tỉ lệ thuận với số cho trước
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Toán đại lượng tỉ lệ thuận
(58)Bước 1.Xác định tương quan, tỉ lệ thuận đại lượng;
Bước 2. Áp dụng tính chất tỉ số giá trị hai đại lượng tỉ lệ thuận
1A.Cho biết 2m dây thép nặng 50 g
a) Giả sử x mét dây thép nặng y gam Hãy biểu diễn y theo x; b) Cuộn dây thép nặng 10 kg dài mét?
1B.Cho biết nước biển chứa 25 (kg) muối
a) Giả sử x nước biển chứa y(kg) muối Hãy biểu diễn y theo x; b) Hỏi 200g nước biển chứa gam muối?
2A. Dùng 12 máy tiêu thụ hết 100 lít xăng Hỏi dùng 15 máy (cùng loại) tiêu thụ hết lít xăng?
2B Một công nhân may 20 áo Biết suất làm việc không đổi, hỏi 12 người may áo?
Dạng Chia số thành phần tỉ lệ thuận với số cho trước
Phương pháp giải:Giả sử chia số S thành phần x, y, z, t tỉ lệ với số a, b, c, d
Khi đó:
x y z t x y z t S a b c d a b c d a b c d
+ + =
= = = = =
+ + + + + +
; ;
a S b S c S
x y z
a b c d a b c d a b c d
= = =
+ + + + + + + + +
3A. Hai kim loại nhôm sắt tích nhau, khối lượng riêng chúng 2,7g/ cm3
7,8g / cm3 Hỏi nặng gam Biết tổng khối lượng chúng 1050g
3B Chu vi tam giác 34 m Tính độ dài cạnh tam giác biết chúng tỉ lệ với 4; 5;
4A. Diện tích rừng giới bị chặt phá vào năm 2002, 2007 2012 tỉ lệ với 8; 10 Tính diện tích rừng bị chặt phá vào năm biết tổng diện tích rừng bị chặt phá vào năm 54 triệu
4B.Ba đơn vị vận chuyển 800 hàng Đơn vị A có 10 xe trọng tải xe tấn; Đơn vị B có 20 xe trọng tải xe tấn; Đơn vị C có 14 xe trọng tải xe Hỏi đơn vị vận chuyển hàng biết xe chở số chuyến nhau?
5A.Tìm ba số x; y; z biết chúng tỉ lệ với 4; 5; z - y =
5B.Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi trường phân bố khối 6; 7; 8; tỉ lệ với 1,4 ; 1,2; 1,3 1,5 Hỏi số học sinh giỏi khối, biết khối nhiều khối học sinh
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
Cứ 100 kg thóc cho 70 kg gạo Hỏi thóc cho kilogam gạo? 7 Trên đồng hồ kim quay vịng kim phút, kim giây quay bai nhiêu vòng?
(59)9 Hai đơn vị vận tải hợp đồng chuyên chở hàng hóa Mỗi xe đơn vị điều động chở số chuyến khối lượng chuyến chuyên chở Cho biết đơn vị có 13 xe, đơn vị có 16 xe đơn vị vận chuyển nhiều đơn vị 36 hàng Hỏi đơn vị chở hàng?
10 Chu vi tam giác 36 m Tính độ dài cạnh tam giác biết chúng tỉ lệ với 3; 4;
11.Học sinh ba lớp cần phải trồng chăm sóc 50 xanh Lớp A có 45 học sinh, lớp 7B có 54 học sinh, lóp 7C có 51 học sinh Hỏi lớp phải trồng chăm sóc xanh, biết số xanh tỉ lệ thuận với số học sinh?
12 Chia số 106 thành ba phần tỉ lệ với 3;11
5 0,8
13*.Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đưòng cho ba tổ theo tỉ lệ 5:6:7 Nhưng sau đó, số người thay đổi nên số mét đường chia lại theo tỉ lệ 4:5:6 Do có tổ làm dự định 10 m đường Tính số mét đường chia lại cho tổ
HƯỚNG DẪN 1A a) Ta có y= kx với k ≠
Ta có x = 2; y = 50; nên tìm k = 25 Vậy y = 25x b) Từ y = 25x => x =
25y Khi y = 10 kg => x = 400 m
1B.Tương tự 1A a) y = 25x b) gam muối 2A Số lít xăng dùng 15 máy x= 100
12 15= 125 lít
2B.Tương tự 2A Số áo may 12 48 áo 3A Gọi khối lượng hai kim loại m1 m2 (gam)
( *
1;
m m ∈ ) Theo đề ta có
2, 7,8 m = m
m1 + m2 = 1050
Áp dụng tính chất DTSBN có:
1 2 1050
2, 7,8 2, 7,8 2, 7,8 m m m +m
= = =
+ + = 100
Tìm m1 = 270 g; m2 = 780 g
3B.Tương tự 3A.
Độ dài cạnh tam giác 8; 10; 16 (m)
4A.Gọi diện tích rừng bị chặt phá vào năm 2002, 2007, 2012 x, y, z (ha) (x, y, z > 0)
Ta có:
8 10
x = =y z
x = y + z = 54 Tìm x = 16; y = 18; = 20 4B.Tương tự 4A.
(60)5A. Ta có: z - y =
4
x = =y z Tìm đươc x = 8;y = 10; z = 14
5B.Số HS khối 6; 7; 8; 42; 36; 39; 45 6 Tương tự 1A.Đáp số 1400 (kg)
7. Kim phút quay 12 vòng Kim giây quay 12.60 = 720 vòng 8.Tương tự 1A Đáp số 160 000 (kg)
9.Tương tự 3A.Đáp số 156 192
10. Tương tự 3B. Độ dài cạnh 9; 12; 15 m 11. Tương tự 3B
Số lớp chăm sóc 15; 18; 17 12 Đáp số 24; 50; 32
13*.Gọi số mét đường ba tổ phải làm A(m), số mét đường ba tổ theo dự định x1, y1, z1và chia lại x2, y2, z2
Theo đề ta có: 1 1 1
5 7 18
x y z x + +y z A
= = = =
+ +
Suy 1
5
; ;
18 18 18
A A A A x = y = = z = (1)
2 2 2 1 30 30
4 6 15 15
x y z x +y +z x + + −y z A−
= = = = =
+ +
Suy 2
4 120 150 180
; ;
15 15 15
A A A
x = − y = − z = − (2) Theo đề có x1 - x2 = 10 =>
5 120
18 15
A A−
− = 10 => A = 180 Vậy x2 = 40; y2 = 50; z2 = 60
(61)
CHỦ ĐỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a
x hay xy = a với a
là số khác ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a 2 Tính chất
Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với thì:
(62)x1.y1 = x2.y2 = = a
- Tỉ số hai giá trị đại lượng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng kia:
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Bài tốn áp dụng cơng thức đại lượng tỉ lệ nghịch
Phương pháp giải: Dùng công thức y =a
x để xác định tương quan tỉ lệ nghịch
giữa hai đại lượng xác định hệ số tỉ lệ
1A a) Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ - Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào?
b) Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a (a ≠ 0) Hỏi x tỉ lệ nghịch với
y theo hệ số tỉ lệ nào?
1B Cho ba đại lượng x, y, z Hãy tìm mối tương quan đại lượng x z, biết:
a) x y tỉ lệ nghịch vói theo hệ số a, cịn y z tỉ lệ nghịch với theo hệ số b;
b) x y tỉ lệ nghịch với theo hệ số c, y z tỉ lệ thuận với theo hệ số d;
2A.Xác định đại lượng cho câu sau có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch với khơng? Nếu có xác định hệ số tỉ lệ?
a) Chiều dài x chiều rộng y hình chữ nhật có diện tích a với a số cho trước;
b) Vận tốc v thời gian t quãng đường S; c) Diện tích S bán kính R hình trịn;
d) Năng suất lao động n thời gian thực t để làm xong lượng công việc a
2B. a) Cho biết đội dùng x máy cày (cùng suất) để cày xong cánh đồng hết y Hai đại lượng x y có tỉ lệ nghịch với hay khơng?
b) Cho biết x số trang đọc y số trang chưa đọc sách Hai đại lượng x y có tỉ lệ nghịch với hay không?
c) Cho biết x (m) chu vi bánh xe, y số vòng quay bánh xe đoạn đường xe lăn từ A đến B Hai đại lượng x y có tỉ lệ nghịch với hay khơng?
3A Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với x = y = 8, hãy: a) Tìm hệ số tỉ lệ y x;
b) Biểu diễn y theo x
c) Tính giá trị y x = 8; x = -2
3B.Cho hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với x = y = 15, hãy: a) Tìm hệ số tỉ lệ y x
b) Biểu diễn y theo x
c) Tính giá trị y x = 3; x = -45
Dạng Dựa vào tính chất tỉ lệ nghịch để tìm đại lượng
(63)x1.y1 = x2.y2 = = a
2
; y ;
x y x x = y x = y
4A. Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1;x2là hai giá trị x y1 - y2 = 5là hai giá trị tương ứng y Biết x1 = -10, x2=15, y1 - y2 = 5,
a ) Tính y1 ; y2; b) Biểu diễn y theo x
4B. Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1; x2 hai giá trị x
y1; y2là hai giá trị tương ứng y Biết
x1 -2x2 = y1 =5; y2 =15, hãy:
a) Tính x1; x2; b) Biểu diễn y theo x
Dạng Lập bảng giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau:
Bước 1.Xác định hệ số tỉ lệ a
Bước 2.Dùng công thức x.y = a tìm giá trị tương ứng x y
5A Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch bảng sau:
x -1 - 2
y
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x b) Điền số thích hợp vào ô trống
5B.Cho biết y tỉ lệ nghịch so với x theo hệ số tỉ lệ -1
4
a) Hãy biểu diễn y theo x
b) Điền số thích hợp vào trống bảng sau:
x - -1
y 161 -1
2
Dạng Xét tương quan tỉ lệ nghịch hai đại lượng biết bảng giá trị tương ứng chúng
Phương pháp giải: Ta xét xem tất tích giá trị tương ứng hai đại lượng có hay khơng:
- Nếu tích đại lượng tỉ lệ nghịch
- Nếu tích khơng đại lượng khơng tỉ lệ nghịch 6A.Cho bảng sau:
x -8 - -2 6
y 24 -8 -12
Tính giá trị x.y cho nhận xét Hai địa lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch không ? Vì sao?
6B.Cho bảng sau:
(64)y -3 -4
Hai đại lượng x.y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao?
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1;x2 hai giá trị x
y1;y2là hai giá trị tương ứng y Biết x1= 14, x2 = 21 y1 - y2 = 3, hãy:
a) Tính y1;y2; b) Biểu diễn y theo x
8 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 ;x2là hai giá trị x y1;y2
là hai giá trị tương ứng y Biết x1 - 5x2 = -39 y1 - 8; y2 = -12, hãy:
a) Tính x1;x2; b) Biểu diễn y theo x
Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 ;x2là hai giá trị x y1;y2
là hai giá trị tương ứng y Biết 2x1 - 3y2 = 30 x2 = 8; y1 = 7, hãy:
a) Tính x1; y2; b) Biểu diễn y theo x
10 Cho biết x y hai đại lượng tí lệ nghịch
x -6 -3 -1
y -3
a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x b) Điền số thích hợp vào ô trống
11 Cho biết y tỉ lệ nghịch so với x theo hệ số tỉ lệ -0,6 a) Hãy biểu diễn y theo x
b) Điền số thích hợp vào trống bảng sau:
x -6 -3 -1
y -3
12 Cho bảng sau
x -9 -3 -1 18
y 27 −32
2
−
Hai đại lượng x y có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng? Vì sao?
HƯỚNG DẪN
1A. a) Do x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ -2 nên ta có y =
x −
suy x=
y −
Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ -2
b) Tương tự ý a) x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a 1B. a) x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệa
b
b) x z tỉ lê nghịch với theo số tỉ lệ c
(65)2A a) Vì x,y = a nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a b) Vì v.t = S nên v t hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ S
c) S = πR2 nên S R hai đại lượng tỉ lệ nghịch d) a= n.t nên n t hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a 2B. a) c) x y tỉ lệ nghịch với
b) Chỉ có x + y tổng số trang sách số x y số nên hai đại lượng x y không tỉ lệ nghịch với
3A. a) Vì x y hai đại lượng ti lệ nghịch nên x, y = a Khi x = 4, y = nên tìm a = 32
b) Ta có y = a
x mà a = 32 nên y = 32
x
c) Khi x = => y = 32
8 ; x = -2 => y = 32
2
− = -16 3B. Tương tự 3A. b) y= 90
x
c) Khi x = => y = 90
3 = 30; x = -45 => y = 90
45
− = -2 4A. Do x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên
1
2
x y
x = y hay
1
15 10
y y =
− Áp dụng tính chất dãy TSBN ta có
1 2
15 10 15 ( 10) 25
y y y −y
= = = =
− − −
Tìm y1 = 3; y2 = -2
b) Ta có a = x1 y1 = x2 y2 = -30 => y = 30 x −
4B.Tương tự 4A. a) x1 = 24; x2 = b) Ta có y = 120
x
5A. a) Từ cột thứ ta có a = 2 =4
b) Với a =4 ta có kết bảng sau:
x -1 -2
y -4 -2
5B. a) y=
4 x −
b) HS tự làm
6A Ta thấy cột tích x.y -48 nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch
6B.Tương tự 6A
Ta thây cột thứ tích x.y = 12, cột thứ ba tích x.y = -12 nên x y không hai đại lượng tỉ lệ nghịch
7.Tương tự 4A a) Tìm y1 = 9; y2 = b) y= 126
x
(66)9.Tương tự 4B
a) Tìm x1 = -48; y2 = -42 b) y= 336
x −
10. Tương tự 5A a) a = b) HS tự làm 11. Tương tự 5B a) y 0,
x −
= b) HS tự làm
12. Tương tự 6A HS tự làm
(67)
CHỦ ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Xem lại phần Tóm tắt lý thuyết Bài Chương này,
- Ta thường gặp hai toán sau đại lượng tỉ lệ thuận:
Bài toán 1.Toán đại lượng tỉ lệ nghịch
Bài toán 2.Chia số thành phần tỉ lệ nghịch với số cho trước
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Toán đại lượng tỉ lệ nghịch
Phương pháp giải: Ta thực bước sau:
(68)Bước 2.Xác định quan hệ tỉ lệ nghịch hai đại lượng đại lượng
Bước 3.Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch tính chất tỉ lệ thức để tìm kết
1A.Cho biết người làm cỏ cánh đồng hết Hỏi người (với suất thế) làm cỏ cánh đồng hết thời gian?
1B.Cho biết ba máy cày, cày xong cánh đồng hết 30 Hỏi máy cày (cùng suất) cày xong cánh đồng hết giờ?
2A.Bạn Lan từ trường đến nhà với vận tốc 12 km/giờ hết nửa Nếu Lan với vận tốc 10 km/giờ hết thời gian?
2B.Một người chạy từ A đến B hết 20 phút Hỏi người chạy từ B A hết phút nêu vận tốc chạy 0,8 lần vận tốc chạy
3A.Để truyền chuyển động quay từ bánh xe cho bánh xe khác, người ta dùng dây curoa Nếu bánh xe lớn có đường kính 15 cm quay 40 vịng/phút bánh xe nhỏ có đường kính 12 cm quay vòng 1phút?
3B. Hai bánh xe cưa khớp với Bánh nhỏ có 27 quay 60 vịng phút Nếu bánh xe lớn có 36 quay vòng phút?
Dạng Chia số thành phần tỉ lệ nghịch với số cho trước
Phương pháp giải: Để chia số thành phần tỉ lệ nghịch với số cho trước Ta cần lưu ý nội dung sau:
- Giả sử chia số S thành phần x,y,z,t tỉ lệ nghịch với số a,b,c,d Khi đó:
ax = by = cz = dt …
hay
1 1
x y z t a b c d
= = =
- Để chia số S tỉ lệ thuận với số a,b,c,d (khác 0) ta cần chia số S thành phần tỉ lệ thuận với số
1 1; ; ;
a b c d
4A Chia số 520 thành phần tỉ lệ nghịch với 2; 3; Tìm số
4B Có 85 tờ giấy bạc loại 10.000 đồng; 20.000 đồng 50.000 đồng Biết trị giá loại tiền nhau, hỏi loại có tờ?
III BÀI TẬP VỂ NHÀ
5 Cho biết người làm cỏ cánh đồng hết Hỏi người (với suất nhau) làm cỏ cánh đồng hết thời gian?
6 Thùng nước uống tàu thuỷ dự định để 15 người uống 42 ngày Nếu có người tàu dùng nước bao lâu? (Coi lượng nước người uống ngày nhau)
7 Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 45 km/h hết 15 phút Hỏi tơ chạy từ A đến B với vận tốc 65km/ h hết thời gian?
(69)9 Cho biết 56 cơng nhân hồn thành cơng việc 21 ngày Biết suất công nhân nhau, hỏi cần phải tăng thêm bao nhiêu, cơng nhân để hồn thành cơng việc 14 ngày?
10 Hai xe máy từ A đến B Một xe hết 20 phút, xe hết 30 phút Tính vận tốc trung bình xe, biết trung bình phút xe thứ xe thứ hai 100 m
11 Với số tiền để mua 38 m vải loại I mua mét vải loại II, biết giá vải loại II 95% giá vải loại I?
12 Tại trạm xe có 114 tơ loại 40 tấn; 25 Biết
3 số xe
loại 40
5 số xe loại 25
7 số xe loại Hỏi trạm xe có bao
nhiêu xe loại?
13 Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm nhau, Cơng nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba hồn thành công việc với thới gian giờ; 30 phút Hỏi công nhân sản xuất sản phẩm? Biết giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều công nhân thứ sản phẩm
HƯỚNG DẪN
1A.Gọi thời gian để người làm cỏ xong cánh đồng x (giờ) với x > Do số người thời gian làm việc đại lượng tỉ lệ nghịch nên
4 x=
Tìm x =
1B Tương tự 1A Đáp số 18 (giờ)
2A.Gọi thời gian Lan với vận tôc 10 km / h x (giờ) với x > Do thời gian vận tôc hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 0, 10
12 x =
Tìm đươc x = 0,6
2B.Tương tự 2A Người chạy từ B A hết 25 phút 3A.Chu vi bánh xe = đường kính π
Gọi số vòng quay phút bánh xe nhỏ x (vòng/phút) Chu vi bánh nhỏ là:12π (cm), chu vi bánh lớn là: 15π (cm) Ta có: 40 12
15 x
π π
= Tìm x = 50
3B.Tương tự 3A
Số vòng quay bánh xe nhỏ phút 45 4A.Gợi ba phần phải tìm x, y, z
Do x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 3; nên 2.x- 3.y = 4.z
2 520
40
12 12 12 6 13
x y z x y z x+ =y z
= = => = = = = =
(70)4B. Gọi số tờ giây bạc loại 10.000đ, 20.000 đ 50.000 đ x, y, z (tờ)
Ta có x + y + z = 85 10.000.x = 20.000 y = 50.000.z Tìm được: x = 50; y = 25, z = 10
5.Tương tự 1A Đáp số 6 Tương tự 1A.Đáp số 70 ngày 7 Tương tự 2A Đáp số 2,25 8 Tương tự 3A Đáp số 45 vịng/phút 9 Tương tự 3A.Đáp số 28 cơng nhân 10 Tương tự 3B
Đổi 20 phút = 80 phút; 30 phút = 90 phút Gọi vận tốc hai xe máy theo thứ tự v1 v2 (m/ph) Theo ta có: 80 v1 = 90 v2 v1 - v2 =100
1 2 100
10
90 80 90 80 10
v = v = v −v = = −
v1= 900 (m / ph) = 54(km / h), v2 = 800 (m/ph) = 48(km / h)
11 Gọi số mét vải loại II mua x (mét)
Gọi giá tiền mét vải loại I a (đồng/ mét) giá tiền mét vải loại II 95% a (đồng/ mét)
Ta có : 38 95%.a
x = a Tìm x = 40
12 Tương tự 4A Số xe loại 27; 45; 42 13 Tương tự 4A Đáp số 10; 15; 12 sản phẩm
(71)
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Khái niệm: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số
2 Chú ý
- Nếu x thay đổi mà y không đổi y gọi hàm - Hàm số cho bảng, cơng thức - Khi y hàm số x ta viết y = f(x), y = g(x), II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
(72)Phương pháp giải:Để xét xem đại lượng y có phải hàm số đại lượng x ta thực bước kiểm tra:
Bước 1 Mỗi giá trị x có giá trị tương ứng y
Bước 2.Giá trị tương ứng y phải
1A. Các giá trị tương ứng hai đại lượng x y cho bảng sau
x -4 -3 - -1
y 16 1 16
Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x không?
1B. Các giá trị tương ứng hai đại lượng x y cho bảng sau:
x -4 -3 - -1 1 2
y 4 4 4 4
Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x khơng?
2A a) Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x không, nêu bảng giá trị tương ứng chúng là:
x -3 -2 - 1 2
y Khơng có
4
b) Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x không, bảng giá trị tương ứng chúng là:
2B. a) Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x không, bảng giá trị tương ứng chúng là:
x -3 -2 2
y -6 -4 Khơng có
b) Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x không, bảng giá trị tương ứng chúng là:
x -3 -2 - -1 1
y
3A Trong công thức sau, công thức chứng tỏ y hàm số x? a) y = 3x; b) y = x + 2017; c) y = x3 +1;
d) -3y = x; e) y2= 4x; f) x - 2y - = 0; g) |y| = x; h) x2 + y2 = 1; k) x2 + 2x + y2 =
3B. Trong công thức sau, công thức chứng tỏ y hàm số x? a) y = 5x; b) y = 2017 - x; c) y - x2 + l;
d) - 5y = x e) 3x - y + = 0; f) y2 = 2x; g) y = 2|x| ; h) x2 + y2 - y = 15; k) x2 - y2 =
(73)Phương pháp giải:
- Nếu hàm số cho bảng, ta tìm bảng giá trị hàm số tương ứng với giá trị cho trước biến số
- Nếu hàm số cho công thức, ta thay giá trị cho biến vào công thức tính giá trị tương ứng hàm số
4A Cho bảng giá trị tương ứng hai đại lượng x y:
x -3 -2 4 5
y -11 -8 -2 10 13
a) Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x khơng? b) Tìm giá trị y x = -3, x = 0, x =
4B Cho bảng giá trị tương ứng hai đại lượng x y:
x -2 -1 0 1 2
y -3 -3 -
a) Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x khơng? b) Tìm giá trị y x = -2, x = 1, x =
5A a) Cho hàm số y = f(x) = 2x2 + Tính f(-1), f(1), f(3),
2 f
a) Chứng tỏ f(a) = f(-a) với a ∈ R;
b) Cho hàm số y = 2x - Lập bảng giá trị tương ứng y x=- 4; - 2; - 1;
2 4; 1;
5B Cho hàm số y - f(x) = 3x2 -1 Tính f(-l), f(l), f(2),
2 f
a) Chứng tỏ f(a) = f (-a) với a ∈ R
b) Cho hàm số y = 4x - Lập bảng giá trị tương ứng y x= - 3; -2; -
2; 1; 4;
6A Cho hàm số y = f(x) =
x
a.) Tính f(-2), f (3), f(4);
b) Điền giá trị tương ứng hàm số vào bảng sau:
x -3 -2 -1
y
6B Cho hàm số y = f(x) = |2x - 3| a.) Tính f(-l), f(3), f(5);
b) Tính giá trị x với f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = c) Điền giá trị tương ứng hàm số vào bảng sau:
x -3 -2 -1
y
(74)Phương pháp giải: Dựa vào tương quan đại lượng cho bảng kiện lời văn để lập công thức
7A Một hàm số cho bảng sau:
x -3 -2 -1
2
3
2 2
y -7 -5 - 3
a) Tìm f(-2), f(1), f(4);
b) Hàm số cho cơng thức nào? 7B.Một hàm số cho bảng sau:
x -3 -2 -1
y -1 -23
3
−
3
2
8A Một hàm số xác định sau: x + x ≥
y = f ( x) =
- x + x ≤ a) Tính f (-2), f( 1);
b) Viết gọn cơng thức hàm số 8B.Một hàm số xác định sau: 2x + x ≥ -2
y = f ( x) =
-2x -4 x ≤ -2 a) Tính f(-3), f(0);
b) Viết gọn công thức hàm số III BÀI TẬP VỂ NHÀ
9 Các giá trị tương ứng hai đại lượng x y cho bảng sau
x - -3 -2 -1 1 2
y 4,5 0,5 0,5 4,5
Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x không?
10. Các giá trị tương ứng hai đại lượng x y cho bảng sau:
x - -3 -2 -1
y 3 3 3 3
Đại lượng y có phải hàm số đại lượng x không?
11 Cho hình vng có cạnh x Viết cơng thức hàm số cho tương ứng với cạnh x hình vng với:
a ) Chu vi y nó; b) Diện tích y 12 Cho hàm số y = f (x) = 12
x
(75)b) Điền giá trị tương ứng hàm số vào bảng sau:
x -3 -2 -1 12
y
13. Cho hàm số Điền số thích hợp vào trống bảng sau:
x -2 - 0,5
y - 3
8
0
2
14. Cho hàm số y - f (x) = |3x+2| a) Tính f (-1), f (2), f (6);
b) Tính giá trị x với f (x) = -l, f (x) = 0, f (x) = 13 c) Điền giá trị tương ứng hàm số vào bảng sau:
x -3 -2 -1 1
y 1
15 Cho hàm số y = f (x) = |x - 4| + a) Tìm f(-1), f(3), f(4);
b) Tính giá trị x với f(x) = 5, f(x) = 7, f(x) = 16 Một hàm số cho bảng sau:
x -3 - -1
2
3
2
y
2
1
-
2
3
4 -1
a) Tìm f(-2), f(1), f(2);
b) Hàm số cho công thức nào? HƯỚNG DẪN
1A. Mỗi giá trị x có giá trị tương ứng y nên y hàm số x
1B. Tương tự 1A Đáp số y hàm số x
2A. a) Ta có x = khơng xác định giá trị tương ứng y nên y hàm số x
b) Ta có x = -2 xác định hai giá trị tương ứng y y = -4 y = 7nên y hàm số x
2B.Tương tự 2A a) b) y hàm số x
(76)4A. a) Mỗi giá trị x có giá trị tương ứng y nên y hàm số x
b) Khi x = -3, y = -11; x = y = -2; x = y = 10
4B.Tương tự 4A a) y hàm số x b) HS tự làm 5A a) Ta có f (-1) = 5, f ( 1) = 5, f ( 3) = 21, f = 55
2
=
Ta có f (a) = 2(a)2 + = 2a2 + 3, f (-a) = 2(-a)2 + = 2a2 + Vậy với ∀a∈ f (a) f {- a) với a ∈
b) Ta có bảng kết sau:
x -4 -2 -3
2
1
1
y -13 -9 -8 -9
2
-3 -1
5B.Tương tự 5A HS tự làm
6A. a) Ta có f (-1) = 5, f (3) = 3, f (5) =
b) Khi f (x) = -2 => |2x - 3| = -2, vô nghiệm |2x - 3| ≥ - Khi f (x) = Tìm x =
2
Khi f (x) = Tìm x = 4; x = - c) Kết bảng sau:
x -3 -2 -1
y 1
6B.Tương tự 6A.HS tự làm
7A. a) Ta có f (-2) = -5, f (1) = 1, f (4) = b) y = 2x - l
7B Tương tự 7A a) HS tự làm b) y =
3x
8A. a) Ta có -2 < nên thay x = -2 vào f (x) = -x + ta f (-2) = Ta có > nên thay x = vào f(x) = x + f (1) =
b) Công thức hàm số y = |x| + 8B.Tương tự 8A.
a) f (-3) = 2, f (0) = b) Công thức hàm số y = |x + 2| 9.Tương tự 1A y hàm số x
10. Tương tự 1B y hàm số x 11 a) y = 4x b) y = x2 12. Tương tự 5A HS tự làm
13. Các số cần điền 3; 0; ; 2;33
2
− 14 Tương tự 6A
a) HS tự làm
b) Các đáp số x ∈∅; x = -
3; x 11
;
∈ −
(77)15 Tương tự 6A
a) Ta có f (-1) = 12, f (3) = 8, f (4) = b) Đáp số x∈∅; x = 4; x = ∈ {5; 3}
l6.Tương tự 7A. a) HS tự làm b) Ta có y = -1
2x
CHỦ ĐỀ MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Mặt phẳng tọa độ:
- Trên mặt phẳng, hai trục số Ox, Oy vng góc với cắt gốc O trục số, ta có hệ trục tọa độ Oxy Các trục Ox Oy gọi trục tọa độ Trục nằm ngang Ox gọi trục hoành trục thẳng đứng Oy trục tọa tung Điểm O gọi gốc tọa độ
(78)Hệ trục tọa độ Oxy
2 Tọa độ điểm: Trên mặt phẳng toạ độ
- Mỗi điểm M xác định cặp số (x0;y0) Ngược lại, cặp số (x0;y0) xác
định vị trí điểm M
- Cặp số (x0;y0) gọi toạ độ điểm M, x0 hoành độ y0là tung độ
điểm M
- Điểm M có toạ độ (x0;y0) Kí hiệu: M (x0;y0 )
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Viết tọa độ điểm cho trước mặt phẳng tọa độ
Phương pháp giải:Để viết tọa độ điểm cho trước mặt phẳng tọa độ ta thực bước sau:
Bước 1. Từ điểm cho kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt trục
hoành điểm x0thì điểm x0biểu diễn hồnh độ điểm cho
Bước 2. Từ điểm cho kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục
tung điểm y0thì điểm y0 biểu diễn tung độ điểm cho
Bước 3 Hồnh độ x0và tung độ y0tìm tọa độ điểm cho
(79)1B. Viết tọa độ điểm M, N, P, Q hình vẽ? Em có nhận xét toa độ cặp điểm M, N P, Q?
2A.a) Viết tọa độ điểm A nằm trục hồnh có hồnh độ -1; b) Viết tọa độ điểm B nằm trục tung có tung độ 2;
c) Viết tọa độ điểm O gốc tọa độ
2B a) Viết tọa độ điểm A nằm trục hoành có hồnh độ 2; b) Viết tọa độ điểm B nằm trục tung có tung độ -4;
c) Viết tọa độ điểm C biết hình chiếu C trục hồnh có hồnh, độ -3 hình chiếu C trục tung có tung độ
3A. Chiều cao tuổi bốn bạn Hoa, Lan, Mai, Hạnh biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vẽ Hãy cho biết:
(80)3B. Cân nặng tuổi bé: An, Hà, Tuấn, Thắng, Dũng biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vẽ bên Hãy cho biết:
a) Ai người nặng nặng bao nhiêu? b) Ai người tuổi tuổi? c) Ai người nhiều tuổi tuổi? d) Tuấn Thắng nặng nhiều tuổi
Dạng Biểu diễn điểm có tọa độ cho trước mặt phẳng tọa độ
Phương pháp giải:Để biểu diễn điểm có tọa độ cho trước mặt phẳng tọa độ ta thực bước sau:
Bước 1. Từ điểm biểu diễn hoành độ điểm cho, kẻ đường thẳng song song
(81)Bước 2. Từ điểm diễn tung độ điểm, cho, kẻ đường thẳng song song với trục hoành
Bước 3.Giao điểm hai đường thẳng vừa dựng điểm phải tìm
4A. a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đánh dấu điểm: A (-1; 0) , B ( ; 2) , C ( 3- 1) , D = 1;
2 −
, E (-2; 3);
b) Xác định dấu tọa độ điểm M (x; y) điểm M nằm góc phần tư thứ I, thứ II, thứ III thứ IV
4B. a)Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đánh dấu điểm A ( -2 ; 2), B (1; 2), C(1; -1), D ( -2; -l) Tứ giác ABCD hình gì?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm M phải thỏa mãn điều kiện để: i) Điểm M ln nằm trục hồnh;
ii) Điểm M nằm trục tung;
iii) Điểm M nằm đường phân giác góc phần tư thứ I; iv) Điểm M nằm đường phân giác góc phần tư thứ IV III BÀI TẬP VỂ NHÀ
5 Một điểm trục hồnh có tung độ bao nhiêu? Một điểm trục tung có hồnh độ bao nhiêu?
6 a) Một điểm đường thẳng song song với Ox cách Ox đơn vị có hồnh độ bao nhiêu?
b) Một điểm đường thẳng song song với Oy cách Oy đơn vị có tung độ bao nhiêu?
7 a) Viết tọa độ điểm A nằm trục hồnh có hồnh độ 3; b) Viết tọa độ điểm B nằm trục tung có tung độ -2;
c) Viết tọa độ điếm C biết hình chiếu C trục hồnh có hồnh độ hình chiếu C tung có tung độ -1
(82)9. Tìm tọa độ đỉnh hình ngũ giác ABCDE hình tam giác IMN hình vẽ
10 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đánh dấu điểm A ( 3; 2) , B ( -2; ) , C ( ; ) , D 3;
2 − −
, E (2 ; - 2) 11 Hàm số cho bảng sau:
x X
-1 0 1 2
y -3 -1 1
a) Viết cặp giá trị (x;y) tương ứng hàm số trên;
b) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy xác định điểm biểu diễn cặp giá trị x y tương ứng câu a
12 Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm A (1; 3)
a) Viết tọa độ điểm A1 cho trục hoành đường trung trực AA1
b) Viết tọa độ điểm A2sao cho trục tung đường trung trực AA2
13. Viết tất cặp số (a;b) biết a, b ∈ {-2; 2} Các điểm biểu diễn cặp số nằm góc phần tư nào?
14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm vị trí điểm có tọa độ thỏa mãn điều kiện sau:
a) x (y - 2) = 0; b) (x + 1)y = 0;
c) (x + l) (2y- 3) = 0; d) (x - 4)2 + (y + 3)2 =0 HƯỚNG DẪN
1A - Tọa độ điểm: M (-2;3), N (3;-2), P(-1;0), Q(0;-1)
- Trong cặp điểm M N, P Q ta thấy hoành độ điểm tung độ điểm ngược lại
1B Tương tự 1A.
- Tọa độ điểm M (2;l), N(l;2), P(-3;0), Q(0;-3)
- Trong cặp điểm M N, P Q ta thấy hoành độ điểm tung độ điểm ngược lại
2A a) A(-l;0) b) B(0;2) c) O(0;0) 2B a) A(2;0) b) B(0;-4) c) C(-3;2) 3A.a) Hạnh người cao cao 15 dm=l,5m
(83)c) Lan cao Mai Mai nhiều tuổi Lan 3B Tương tự 3A.
a) Dũng người nặng nặng 15kg b) An người tuổi An tuổi
c) Dũng người nhiều tuổi Dũng tuổi
d) Thắng nặng Tuấn Tuổi Thắng Tuấn 4A.a) Các điểm biểu diễn trục tọa độ hình vẽ:
b) Khi điểm M nằm góc phần tư thứ x > 0; y > - Khi điểm M nằm góc phần tư thứ II x < 0; y > - Khi điểm M nằm góc phần tư thứ III x < 0; y < - Khi điểm M nằm góc phần tư thứ IV x > 0; y < 4B Tương tự 4A
a) Hệ trục tọa độ Oxy điểm A, B, C, D hình vẽ:
Tứ giác ABCD hình vng
b) i) y = 0; ii) x = 0; iii) x = y; iiii) x = -y 5 Một điểm trục hồnh có tung độ
Một điểm trục tung có hồnh độ 6 a) Điểm có hồnh độ -2
b) Điểm có tung độ -3
7 a) A (3;0); b) B(0;-2); c) C(4;-l) 8 Ta có tọa độ điểm là:
A (0;1), B (3;l), C (3;-l), D (0;-l), M(0;3), N(-2;2), P(-l;0)
(84)10 Tương tự 4A Các điểm biểu diễn trục tọa độ hình vẽ
11.Các cặp giá trị (x;y) là: (-1; -3), (0; - l), (1; 1),(2; 3), (3; 5) b) Các điểm biểu diễn (x; y) hình
12. a) A1 ( 1; -3) b) A1 ( -1; 3)
13 Có cặp số: a) (-2; -2), (-2; 2), (2; -2), (2; 2) - Điểm (-2;-2) thuộc góc phần tư thứ III
- Điểm (-2; 2) thuộc góc phần tư thứ II - Điểm (2;-2) thuộc góc phần tư thứ IV - Điểm (2; 2) thuộc góc phần tư thứ I
14 a) x = , y y = x Đó điểm nằm trục tung điểm nằm đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ
b) x= -1, y y = x bất ki Đó điểm nằm đường thẳng song song với trục tung cắt trục hồnh điểm có hoành độ -l điểm nằm trục hồnh
c) x = -1, y y =
2 x Đó điểm nằm đường thẳng
(85)điểm nằm đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ
2
d) Là điểm có hồnh độ Tung độ -3
CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax (a ≠ 0) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
(86)- Đồ thị hàm số y = f (x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; y) mặt phẳng tọa độ
- Một điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y= f(x) Ngược lại điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y = f (x) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
2 Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0)
Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) đường thẳng qua gốc tọa độ O(0; 0)
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Vẽ đồ thị hàm số y = f (x)
Phương pháp giải:Ta thực bước sau:
Bước 1.Xác định điểm A (1;a) khác gốc tọa độ
Bước 2.Vẽ đường thẳng qua điểm O(0; 0) A (1 ; a)
1A.Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số a) y = x; b) y = 2x; c) y = -x d) y = -3x
1B. Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số a) y = 0,5x; b) y = -0,5x; c) y = -x; d) y = -1,5x
2A. a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số y = 2x y = -
2 Có nhận xét đồ thị hai hàm số?
b) Vẽ đồ thị hàm số y = |x|
2B.a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số y = -3x y =
3x Có nhận xét đồ thị hai hàm số?
b) Vẽ đồ thị hàm số y = - |x| y= |x| - x
Dạng Xét xem điểm có thuộc đổ thị hàm số cho trước hay không
Phương pháp giải: Để xét xem điểm có thuộc đồ thị hàm số cho trước hay không ta thay tọa độ điểm cần xét vào công thức y = f(x), điểm M (x0;y0)
thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y0 = f(x0)
3A.Những điểm sau thuộc đồ thị hàm số y = -3x:
1
;1 , ;1
3
A− B
, C ( ; -3) , D ( 0; 0)
3B.Những điểm sau thuộc đồ thị hàm số y = 4x: A (-1; 4), 1;1 , 1;
4
B C
, D ( 0; 0)
4A.Cho điểm A (- 1; 3), B (- 1; 2), C (0; -1 ), D (2; 0) a) Những điểm thuộc đồ thị hàm số y = -x +
b) Những điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2
- 4B.Cho điểm A(-1; 2), B(-4; 1), C (0; -3), D (2; -5) a) Những điểm thuộc đổ thị hàm số y = -x-
b) Những điểm thuộc đồ thị hàm số y = 17 - x2
Dạng Xác định hệ số a hàm số y = ax, biết đổ thị qua điểm M (x0; y0) cho trước
Phương pháp giải:Thay tọa độ điểm M (x0;y0) vào y = ax
(87)5A. Xác định hệ số a hàm số y = ax, biết đổ thị hàm số qua điểm: a) A (1 ; -2); b) B (-3; 4)
5B. Xác định hệ số a hàm số y= (a- 1) x, biết đồ thị hàm số qua điểm: a) A ( 1; 2); b) B (2; -6)
6A.Cho hàm số y = (2a +l.)x Hãy xác định hệ số a biết: a) Đồ thị hàm số qua điểm A (-1; 3);
b) Đồ thị hàm số qua điểm B (2;0);
c) Đồ thị hàm số đường phân giác góc phần tư thứ I, III 6B.Cho hàm số y = (3a - l)x Hãy xác định hệ số a biết:
a) Đồ thị hàm số qua điểm A (-2; -4); b) Đồ thị hàm số qua điểm B (1; 0);
c) Đồ thị hàm số đường phân giác góc phần tư thứ II; IV 7A.Cho đường thẳng OA hình vẽ đồ thị hàm số y = ax a) Hãy xác định hệ số a?
b) Đánh dấu điểm đồ thị có hồnh độ 2? c) Đánh dấu điểm đồ thị có tung độ 1?
7B Cho đường thẳng OA hình vẽ đồ thị hàm số y = ax a) Hãy xác định hệ số a?
b) Đánh dấu điểm đồ thị có hồnh độ 3? c) Đánh dấu điểm đồ thị có tung độ -
(88)Dạng Xác định đại lượng ý nghĩa chúng dựa vào đồ thị hàm số cho trước
Phương pháp giải:Ta thực sau:
- Xác định rõ ý nghĩa đơn vị biểu diễn trục tung trục hoành - Dựa vào đổ thị xác định hoành độ biết tung độ ngược lại
8A.Cho hàm số y = f(x) có đồ thị gồm hai đoạn AB, BC hình vẽ Tìm giá trị x cho: a) f (x) > 0; b) f (x) ≤
8B. Cho hàm số y - f(x) có đồ thị gồm hai đoạn AB, BC hình vẽ Tìm giá trị x cho: a) f(x) > 0; b) f(x) ≤
9A.Hàm số y = f(x) có đổ thị đoạn thẳng AB hình vẽ a) Tìm f (-2); f (0); f (l);
(89)9B.Hàm số y = f (x) có đồ thị đoạn thẳng AB hình vẽ a) Tìm f (-2); f (0); f (1);
b) Tìm x biết f (x) = ; f (x) = ; f (x) = -1
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
10 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số
a) y = 3x; b) y = - 4x; c) y = - 0,25x; d) y = 0,25x 11 a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số y =
3x y
=
2x Có nhận xét đồ thị hai hàm số?
b) Vẽ đồ thị hàm số y = 2|x|
12 a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số y =
4x y
= -
4x Có nhận xét vể đồ thị hai hàm số?
b) Vẽ đồ thị hàm số y | |x x
13 Những điểm sau thuộc đồ thị hàm số y =-1
(90)B ( 2; 0) , C ( 0; 1), D ( 1; 0)
14 Những điểm sau thuộc đồ thị hàm số y = |x| - : A ( 1; 2), B ( -1; 2) , C ( 0; -02), D ( -1
3; -1)
15 Cho hàm số y = (-2a+3)x Hãy xác định hệ số a biết: a) Đồ thị hàm số qua điểm A (-1; 4);
b) Đồ thị hàm số qua điểm B (-2; 0);
c) Đồ thị hàm số đường phân giác góc phần tư thứ I, III HƯỚNG DẪN
1A
Đồ thị hàm số y = x đường thẳng qua điểm (0; 0) A (l;l)
b) Đồ thị hàm số y= 2x đường thẳng qua điểm (0; 0) B (l;2)
c) Đồ thị hàm số y = - x đường thẳng qua điểm (0; 0) C (l;-1) d) Đồ thị hàm số y = -3x đường thẳng qua điểm O(0;0) D(l;-3) 1B.Tương tự 1A.
2A
a) Đồ thị hàm số y = 2x đường thẳng qua điểm (0; 0) A (l;2)
Đồ thị hàm số y = 2x
là đường thẳng qua điểm (0; 0) B (2;-l)
Đồ thị hai hàm số vng góc với b) Ta có x x ≥
y = |x| =
- x x < Đồ thị hàm số y = |x|
Tia phân giác hai góc phần tư thứ I II
(91)3A. Thay x =-1
3 vào y = - 3x ta được: y = tung độ điểm A Vậy A
thuộc đổ thị hàm số y = - 3x - Thay x =
3 vào y = -3x ta được: y = -1 khác tung độ điểm B Vậy B
không thuộc đồ thị hàm số y = -3x
Tương tự C, D thuộc đồ thị hàm số y = -3x, 3B.Tương tự 3A.
- Điểm B, C, D thuộc đồ thị hàm số y = 4x 4A.Tương tự 3A
a) Điểm A, D thuộc đồ thị hàm số y = -x + - Điểm B, C không thuộc đồ thị hàm số y = -x +2 b) Điểm C thuộc đồ thị hàm số y = 2x2
-
- Điểm A, C, D không thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 -1 4B.Tương tự 3A.
a) Điểm B,C, D thuộc đồ thị hàm số y = - x - b) Điểm B thuộc đồ thị hàm số y =17 - x2
5A a) Điểm A (l;-2) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên thay x = 1;y = -2 ta có -2 = a.l Tìm a= -2
b) Điểm B(-3;4) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên thay x = -3;y = ta có = a.(-3) Tìm a =
3
5B.Tương tự 5A a) a = b) a = -2 6A.Tương tự 5A a) a = -2 b) a = -1
2 c) a =
6B.Tương tự 5A a) b) HS tự làm
c) Vì đồ thị đường phân giác góc phần tư thứ II; IV nên có dạng y 7A.a) Đồ thị hàm số y = ax qua điểm A (4;1) nên ta có:
1= a => a =1
4
b) Từ điểm trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt OA B Ta điểm B có hồnh độ c) Từ điểm -1 trục tung ta kẻ
đường thẳng song song với trục hoành, cắt OA C Ta điểm C có tung độ -1
7B.Tương tự 7A.
8A a) f(x) > < x < b) f(x) < -1≤ x ≤0 8B.Tương tự 8A
a) -2 ≤x <
2 hoăc < x ≤ b) -3
2 ≤ x ≤0
9A. a) f (-2) = 4; f (0) = 2; f (l) = l
(92)F (x) = => x = -1 f (-1) = 3; f (x) = => x = f (0) = 9B.Tương tự 9A.
a) f (-2) = -1; f (0) = 1; f (1) = b) x nhận giá trị 2; -1; III BÀI TẬP VỀ NHÀ
10. Tương tự 1A
a) Đồ thị hàm số y = 3x đường thẳng qua điểm O (0; 0) A (1; 3) b) Đồ thị hàm số
y = -4x đường thẳng qua điểm O (0; 0) B( l;-4)
c) Đồ thị hàm số y = -0,25x
đường thẳng qua điểm O (0; 0) C (4; -1)
d) Đồ thị hàm số y = - 0,25x đường thẳng qua điểm O (0;0) D (4;l) 11 Tương tự 1A
12 Tương tự 2A
a) HS tự vẽ hình Nhận xét: Đồ thị y =
4 x
và y = -
4 x đối xứng với qua Oy
b) Ta có x > y = | |x
x
-1 x < x ≠ nên đồ thị hàm số không qua O(0; 0) Đồ thị hình bên
13 Tương tự 3A
Điểm B,C thuộc đồ thị hàm số y =
2 x+
14 Tương tự 3A
- Điểm C, D thuộc đồ thị hàm số y = |x| - 15 Tương tự 6A
a) Ta có = (-2a + 3).(-1) => a =
2
b) Ta có = (-2a + 3).(-2) => a =
2
c) Ta có - 2a +3 = <=> a =
(93)
ƠN TẬP CHUN ĐỀ I I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
(94)II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A. Cho x; y đại lượng tỉ lệ thuận x1 + x2 = 5; y1+ y2 = 10
a) Hãy biễu diễn y theo x; b) Tính giá trị x y = 10
1B Cho x;y đại lượng tỉ lệ thuận x1 - x2 = 3; y1- y2 =
a) Hãy biễu diễn y theo x; b) Tính giá trị x y = 12
2A. Để làm nước mơ người ta ngâm mơ với đường theo công thức: 2kg mơ với 2,5 kg đường Hỏi cần kilôgam đường để ngâm 10 kg mơ?
2B.Một cửa hàng nấu chè bán theo cơng thức 1,6kg đậu phải dùng kg đường Hỏi phải dùng kilôgam đường để nấu chè từ 12 kg đậu?
3A. Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng 180 Tính số trồng lớp, biết số trồng lớp tỉ lệ với 3;
3B Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng 90 Tính số trồng lớp, biết số trồng lớp tỉ lệ với 4;
4A Cho x; y đại lượng tỉ lệ nghịch với x = y = 3, hãy: a) Tìm hệ số tỉ lệ y x;
b) Biểu diễn y theo x;
c) Tính giá trị y = 3; x = -1
4B.Cho x; y đại lượng tỉ lệ nghịch với x = -3 y = 6, hãy: a) Tìm hệ số tỉ lệ y x;
b) Biểu diễn y theo x;
c) Tính giá trị y x = -2; x = -
5A. Cho biết người sơn xong tường hết Hỏi người (với suất nhau) sơn xong tường hết thời gian?
5B. Một bếp ăn dự trữ gạo cho đủ 10 người ăn 40 ngày Nếu có người ăn (cùng mức nhau) số gạo ăn bao lâu?
6A.Cho hàm số y = f(x) = ax Chứng minh với x1,x2 thì:
f (x1 + x2 ) =f (x1) + f (x2 )
6B Cho hàm số y = f(x) có tính chất f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )
Chứng minh rằng: f (0) = f (-x) = -f (x), 7A.a) Viết tọa độ điểm hình vẽ
b) Các điểm sau nằm đường nào: - Các điểm có hồnh độ -
2
- Các điểm có tung độ 4;
(95)7B.a) Viết tọa độ điểm hình vẽ b) Các điểm sau nằm đường nào: - Các điểm có hồnh độ
3
- Các điểm có tung độ - 2;
- Các điểm có hồnh độ tung độ hai số đối
8A.Hàm số y = f (x) có đồ thị gồm bốn đoạn AB, BC, CD, DE hình vẽ a) Tìm giá trị x cho : f (x) > ; f ( x) ≤0 ; f ( x) =
b) Căn vào đồ thị hàm số y = f (x) điền giá trị thích hợp vào bảng sau:
x -2 -1
y 2
8B. Hàm số y = f (x) có đồ thị gồm ba đoạn AB, BC, CD, DE hình vẽ b) Tìm giá trị x cho f (x) > 0; f (x) ≤ 0; f (x) = 2;
b) Căn vào đồ thị hàm số y = f (x) điền giá trị thích hợp vào bảng sau:
x -2 -1
y
(96)9 Cho x ; y đại lượng tỉ lệ thuận x1 + 2x2 = ; y1 + 2y2 =
a) Hãy biểu diễn y theo x; b) Tính giá trị x y = 16
10 16 lít dầu hỏa cân nặng 13,6 kg Hỏi 36 lít dầu hỏa cân nặng kilogam?
11 Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng 81 Tính số trồng lóp, biết số trồng lớp tỉ lệ với 2:3
12 Số học sinh giỏi, khá, trung bình khối tỉ lệ với 2:3 Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh trung bình học sinh giỏi 180 em
13 Tam giác ABC có số đo góc A, B , C tỉ lệ với 3:4:5 Tính số đo góc tam giác ABC
14. Cho x; y đại lượng tỉ lệ nghịch với x = -4 y = 8, hãy: a) Tìm hệ số tỉ lệ y x;
b) Biểu diễn y theo x;
c) Tính giá trị y x = -1; x = 16
15 Một bếp ăn dự trữ gạo cho đủ 12 người ăn 48 ngày Nếu có thêm bốn người (cùng mức ăn nhau) số gạo ăn bao lâu?
16 Hàm số y = f(x) có đồ thị đoạn thẳng AB hình vẽ a ) Tìm f ( -1) ; f (0) ; f ( 2)
b) Tìm x, biết
f ( x) = -1 ; f (x ) = ; f ( x) =
HƯỚNG DẪN 1A. a) Ta có k = 2
1 2
10 y y y y x x x x
+
= = =
+ = => y = 2x; b) Khi y = 10 x = 10 :2 =
1B.Tương tự 1A
a) Ta có y = 3x b) Khi y = 12 x =
(97)x = 2, 5.10
2 = 12,5
2B.Tương tự 2A.
Gọi x (kg) khối lượng đường để nấu chè từ 12 kg đậu Ta có x = 1.12
1, = 7,5
3A.Gọi số trồng lớp 7A,7B,7C x; y; z
Ta có 180
3 12 12
x y z x+ +y z
= = = = = 15 => x = 45; y = 60; z = 75 3B.Tương tự 3A.
Gọi số trồng lớp 7A,7B,7C x; y; z Ta có
90
4 18 18
x y z x+ +y z
= = = = = => x = 20; y - 30; z = 40
4A. a) Khi x = y = nên a = 2.3 = b) y =
x
c) Khi x = => y = 2; x = -1 => y = -6 4B Tương tự 4A.
Khi x = -3 y = nên a = -3.6 = -18 y = -18
x
c) Khi x = -2 => y = 9; x = => y = -3
5A.Gọi thời gian người sơn tường xong x (giờ) Ta có x = 8.4 16
6 ⇔ =x
5B Gọi thời gian người ăn hết số gạo x (ngày) Ta có x= 40.10
8 <=> x = 50
6A. Ta có: f(x1 + x2) = a (x1 +x2) = ax1 + ax2 = f (x1) + f (x2)
6B. Ta có f(0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) => f (0) = 2f (0) => f (0) = F (0) = => f(-x + x) = => f(-x) + f(x) = => f(-x) = - f (x)
7A a) A (-l; -2); B(l; 4); C(2; 2); D(3; -2) b) Các điểm có hồnh độ
2 nằm đường thẳng song song với trục
tung cắt trục hoành điểm ; −
- Các điểm có tung độ nằm đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm (0;4)
- Các điểm có hoành độ tung độ nằm đường phân giác góc phần tư thứ I III
7B.Tương tự 7A.
A (-2; 3); B(-l; -4); C(3; 1); D(4; 0) b) Các điếm có hồnh độ
3 nằm đường thẳng song song với trục
tung căt trục hoành điểm 2;
(98)- Các điểm có tung độ -2 nằm đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung điểm (0; - 2)
- Các điểm có hồnh độ tung độ hai số đối nằm đường phân giác góc phần tư thứ II IV
8A. a) f(x) > -2 ≤ x < -1 < x ≤ 3; f(x) ≤ -1≤ x ≤ 0; f (x) = ≤ x ≤ b) Ta có bảng kết quả:
x -2 -1
y 0 3
8B.Tương tự 8A.
a) f(x) > < x < 10
3
f (x) < -2 ≤ x ≤ 0; 10
3 ≤ x ≤ 4;
f(x) = ≤ x ≤ b) HS tự làm
9 Tương tự 1A.
a) y = 4x b) Khi y = 16 => x= 10 Đáp số 30,6 kg
11 Tương tự 3A Đáp số 18; 27 36 12. Đáp số 60; 90 150 học sinh
13 Đáp số 45°; 60° 75°
14. Tương tự 4A a) HS tự làm b) y = -32
x
c) Khi x = -1 = -3; y = 32; x = 16 => y = -2 15 Đáp số 36 ngày
16 a) f(-1) =-3; f (0) = -l; f (2) = b) Ta có: f(x) = -1 => x = f (0) = -1;
f(x) = => x = f(1) = 1; f (x) = => x = f(2) =
(99)
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II
Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỀ SỐ PHẨN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
(100)A y = kx; B y = k
x; C y = x
k D y =
1 x k
Câu 2. Chu vi tam giác 72cm Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 3; 4; Cạnh nhỏ tam giác là:
A 30 cm; B 24 cm; C.18 cm; D.16 cm
Câu 3. Cho biết người làm cỏ cánh đồng hết Hỏi người (với suất thế) làm cỏ cánh hết thời gian?
A giờ; B 16
3 giờ; C 12 giờ; D 10
Câu 4.Điểm sau thuộc đồ thị hàm số y = - 5x A ( 1; 3) B 1;1
5
C (l.;-5); D (0;5) Câu 5.Một hàm số xác định sau:
2x - x ≥2 y = f (x) =
2x + x < Viết gọn công thức hàm số trên?
A y = 2|x - 2| - l; B y = -2 |x - 2| + 1; C y = 2|x + 1| + 1; D y = |x - 2|+
Câu 6. Bạn Dũng xe đạp từ nhà đến trường với vận tốc 12 km/giờ hết 25 phút Nếu Dũng với vận tốc 15 km/giờ hết thời gian?
A 31,25 phút; B 20 phút; C 18 phút; D 30 phút
Câu 7.Xác định hệ số a hàm số y = ax biết đồ thị qua (-2; 1) A.-
2 B
1
2; C -2; D
Câu 8 Cho điểm M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = 3x Xác định tọa độ điểm M biết x + y =
A (1;3); B M(6;2); C.M(2;6); D M(3;5) PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài 1 Chia số 117 thành ba phần:
a) Tỉ lệ thuận với 2; 3; 4; b) Tỉ lệ nghịch với 2; 3;
Bài 2. Ba đơn vị vận tải hợp đồng chuyên chở hàng hóa Mỗi xe đơn vị điều động chở số chuyến khối lượng chuyến chuyên chở Cho biết đơn vị có 13 xe, đơn vị có 16 xe đơn vị có 18 xe Đơn vị vận chuyển nhiều đơn vị 36 hàng Hỏi đơn vị chở hàng?
Bài 3 Cho đường thẳng OA hình vẽ đồ thị hàm số y = 2(a + l) x
a) Hãy xác định hệ số a?
b) Đánh dấu điểm đồ thị có hồnh độ -1
(101)tung độ ?
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Câu 1. A Câu 5. D Câu 2. C Câu 6 B Câu 3. C Câu 7. A Câu 4. C Câu 8. C PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài l a) Ta có
2
x y z x+ +y z
= = = = 13 => x = 26; y = 39; z = 52 b) Ta có
1 1 13
2 12
x = =y z = x+ +y z
= 108 => x = 54; y = 36; z = 27
Bài 2.Gọi khối lượng hàng đơn vị 1, đơn vị đơn vị vận chuyển x, y, z (tấn)
Theo đề ta có: y - x = 36
13 16 18
x y z
= =
Tìm x = 156; y = 192; z = 216 Bài 3. HS tự vẽ hình
a) Đồ thị hàm số y = 2(a + l)x qua điểm A (2; 3) nên ta có = 2(a +1).2 => a = -1
4
b) Từ điểm -1 trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt OA B Ta điểm B có hồnh độ -1
c) Từ điểm trục tung ta kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt OA C Ta điểm C có tung độ
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng truớc câu trả lời đúng:
Câu 1.Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a
x hay xy =
a với a số khác ta nói:
A y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a; B y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ
(102)C y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a; D y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
a
Câu 2. Chu vi tam giác 30cm Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 4; 5; Cạnh nhỏ tam giác là:
A 6m ; B 8m; C 10m; D 12m
Câu 3. Cho biết công nhân sửa xong đoạn đường hết 12 Hỏi có cơng nhân (với suất thế) sửa xong đoạn đường hết hết thời gian?
A 3,5 giờ; B 10 giờ; C 14 giờ; D 16 Câu 4.Điểm sau không thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 +1? A (1;3); B (-1;3); C 3;
2
; D (0;-l) Câu 5.Một hàm số xác định sau:
-2x - x ≥-3 y = f (x) =
2x + x < -3 Viết gọn công thức hàm số trên?
A.y = 2|x - 3| - B y = -2 | x + 3| + C y = |x = 3| - D y = | x + 3| +
Câu 6. Bạn Lan từ trường đến nhà với vận tốc 12 km/giờ hết nửa Nếu Lan với vận tốc 10 km/giờ hết bao lâu?
A 36 phút; B 18 phút; C 72 phút; D 27 phút Câu 7 Xác định hệ số a hàm số y = ax biết đồ thị qua (l;-2) A
2
− ; B.1
2; C -2; D
Câu 8 Cho điểm M (x; y) thuộc đồ thị hàm số y = -2x Xác định độ điểm M biết x + y =
A (l;-2); B.M (l;2); C M (-1;3); D M (-3;6) PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài 1.Chia số 310 thành ba phần:
a) Tỉ lệ thuận với 2; 3; 5; b) Tỉ lệ nghịch với 2; 3;
Bài 2. Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc Đội thứ hồn thành cơng việc ngày, đội thứ hai hồn thành cơng việc ngày, đội ba hồn thành cơng việc ngày Hỏi đội có máy (cùng suất) Biết đội thứ nhiều đội thứ hai máy ?
Bài 3. Cho đường thẳng OA hình vẽ đồ thị hàm số y = -4(a + 2)x
a) Hãy xác định, hệ số a ?
b) Đánh dấu điểm đồ thị có hồnh độ 1?
(103)HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Câu 1 A Câu 5. B Câu 2 B Câu 6. A Câu 3. C Câu 7 C Câu 4 D Câu 8 D PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài l. a)Ta có
2 10
x = = =y z x+ +y z
= 31 => x = 62; y = 93; z = 155 b)
1 1 31
2 10
x y z x+ +y z
= = = = 300 => x = 150; y = 100; z = 60 Bài 2.Gọi số máy đội 1, đội đội x,y, z (máy) (x, y, z > 0) Theo đề ta có: x - y -
3
x y z = = Tìm x = 8; y = 6; z =
Bài HS tự vẽ hình
Đồ thị hàm số y = (a + 2)x qua điểm A (3;-2) nên ta có: -2 = (a + 2).3 => a = -13
6
b) Từ điểm trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt OA B Ta điểm B có hồnh độ
c) Từ điểm -3 trục tung ta kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt OA C Ta điểm C có tung độ -3
PHẦN B HÌNH HỌC
CHUYÊN ĐỀ I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
CHỦ ĐỀ HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
(104)cạnh góc
2 Tính chất hai góc đối đỉnh Hai góc đối đỉnh
Chú ý:
- Mỗi góc có góc đối đỉnh với nó; - Hai góc chưa đối đỉnh II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Nhận biết hai góc đối đỉnh
Phương pháp giải: Xét cạnh góc tia đối để tìm cặp góc đối đỉnh 1A Cho hình a, b, c, d e Cặp góc đối đỉnh? Cặp góc khơng đối đỉnh? Vì sao?
1B. Vẽ hai đường thẳng aa' bb' cắt O hình vẽ Hãy điền vào chỗ trống ( ) phát biểu sau:
a) Góc aOb góc hai góc đối đỉnh cạnh Oa tia đối cạnh Oa' cạnh Ob cạnh Ob'
b) Góc a'Ob góc aOb' cạnh Oa tia đối cạnh cạnh tia đối cạnh Ob'
2A. Vẽ bốn đương thẳng xx', yy', zz', tt' đì qua điểm O Hãy viết tên cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt)
2B. Vẽ ba đường thẳng aa', bb' cc' cắt A Hãy viết tên cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt)
3A.Vẽ góc vng xAy Vẽ x Ay' ' đối đỉnh với xAy Hãy viết tên hai góc vng khơng đối đỉnh
3B.Vẽ hai góc có chung đỉnh có số đo 60°, khơng đối đỉnh Dạng Tính số đo góc
Phương pháp giải:Sử dụng tính chất: - Hai góc đối đỉnh nhau;
(105)biết xOy- yOx' = 30°
4B Cho hình vẽ bên Biết AOC+BOD = 140° Hãy tính số đo góc AOC COB BOD, , DOA
5A Cho góc xOy có số đo 45°, Vẽ hai tia Om, On tia đối tia Oy, Ox Tính số đo góc cịn lại hình
5B.Vẽ hai đường thẳng cắt cho góc tạo thành có góc 150° Tính số đo góc cịn lại
6A Cho hai góc kề xOy yOz có tổng 150° xOy−yOz= 90° a) Tính số đo xOy yOz
b) Gọi Oz' tia đối tia Oz Hãy so sánh xOz yOz
6B Cho hai góc kề xOy yOz có tổng 110° xOy −yOz= 30° a) Tính số đo xOy yOz
b) Gọi Oz' tia đối tia Oz Hãy so sánh xOz yOz
7A Đường thẳng xx' cắt đường thẳng yy' O Vẽ tia phân giác Ot xOy a) Gọi Ot' tia đối tia Ot So sánh xOt' t Oy'
b) Vẽ tia phân giác Om xOy Tính góc mOt
7B Vẽ x Ay' ' đối đỉnh với xAy Vẽ tia phân giác Az xAy tia đối At tia Az So sánh x At' y At'
Dạng Chứng minh hai góc đối đỉnh
Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai góc xOy x Oy' ' là hai góc đối đỉnh ta dùng hai cách sau:
Cách 1.Chứng minh tia Ox tia đối tia Ox' (hoặc Oy') tia Oy tia đối
của tia Oy' (hoặc Ox'), tức hai cạnh góc tia đối hai cạnh góc cịn lại
Cách 2. Chứng minh xOy = x Oy' ' tia Ox tia Ox' (hoặc Oy') đối
(106)8A Trên đường thẳng xx' lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ xx’, vẽ tia Oy cho xOy = 45°, Trên nửa mặt phẳng lại, vẽ tia Oz cho Oz ⊥Ox Gọi Oy' phân giác x Oz'
a) Chứng minh xOy x Oy' 'là hai góc đối đỉnh
b) Trên nửa mặt phẳng bờ xx' chứa tia Oy, vẽ tia Ot cho Ot vng góc với Oy Hãy tính x Ot'
8B Cho hình vẽ bên: a) Tính xOm xOn
b) Vẽ tia On' cho xOn' đối
đỉnh với x On' Trên nửa mặt
phẳng bờ xx' chứa tia On', vẽ tia Oy cho n Oy' = 90° Hai góc mOn '
n Oy có đối đỉnh khơng? Vì sao?
9A Hai đường thẳng AB CD cắt O cho AOC = 60° a) Tính số đo góc cịn lại
b) Vẽ tia Ot phân giác AOC Ot' tia đối tia Ot Chứng minh Ot' tia phân giác BOD
9B. Cho hai góc kề bù xOy yOz Gọi Om On tia phân giác góc xOy yOz
a) Tính số đo mOn
b) Vẽ zOy'đối đỉnh vói xOy Om' tia đối tia Om Chứng minh Om' On tia phân giác góc y Oz' mOm'
10A. Cho góc aOb Vẽ bOc kề bù với aOb; aOd kề bù với aOb Vẽ Of tia phân giác bOc; Oe tia phân giác dOa Khi cOfvà aOe có phải hai góc đối đỉnh khơng? Vì sao?
10B Cho góc mOn Vẽ Ox tia phân, giác mOn Vẽ Ox' tia đối tia Ox Vẽ nOt kề bù với mOn Khi góc x Ot' mOx có phải hai góc đối đỉnh khơng? Vì sao?
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
11. Hai đường thẳng AB CD cắt M tạo thành AMC có số đo 30°
a) Tính số đo góc BMD AMD
b) Viết tên cặp góc đối đỉnh cặp góc bù
12 Chứng minh hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với 13 Cho góc mOn Vẽ nOt kề bù với mOn; mOz kề bù vói mOn Khi mOn tOz có phải hai góc đối đỉnh khơng?
(107)a) Tính số đo góc yAx', x Ay' 'và y Ax'
b) Vẽ tia phân giác At xAy tia phân giác At' x Ay' ' Chứng minh
hai tia At At' hai tia đối
HƯỚNG DẪN
BÀI HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH 1A Các cặp góc đố i đỉnh: hình a e
Các cặp góc khơng đối đỉnh: hình b (khơng chung đỉnh), hình c (một cặp cạnh khơng hai tia đối nhau) hình d (hai góc khơng nhau)
1B a) a Ob' ' / tia đối; b) hai góc đối đỉnh/ Oa'/ Ob 2A.Ta có hình vẽ:
Các cặp góc đối đỉnh gồm:
xOyvà x Oy' ' yOz y Oz' ' zOt z Ot' ' '
tOx t Ox' xOz x Oz' ' yOt y Ot' ' '
zOx z Ox' tOy' t Oy' xOt x Ot' ' yOx' y Ox' xOy' z Oy' tOz' t Oz' 2B.Tương tự 2A
3A.Hai góc vng khơng đối đỉnh là:
xAy xAy'(hoặc cặp góc xAy '
(108)4A. Ta có: xOy+yOx' = 180° xOy−yOx' = 30° => yOx'= 75° Suy xOy' = 75° (hai góc đối đỉnh)
4B.Tính xOy' = BOD =70°; AOD=BOC =110°
5A. Ta có: mOn =xOy=45°
Do xOy xOm kề bù nên:
xOy + xOm =180°
Suy xOm = 180° - xOy = 135° Mà yOn xOm đối đỉnh nên
yOn = xOm = 135° 5B.Tương tự 5A. Tính được:
1 150 ; 30
O =O = ° O =O = ° 6A a) Ta có :
150 90
120
xOy= °+ °= °
=> yOz = 150° - 120° = 30° b) Ta có yOz' yOz' kề bù nên:
'
yOz + yOz = 180°
=>yOz' = 150° - 30° = 150°
Mà xOz = xOy + yOz = 150° Vậy xOz = yOz' 6B Tương tự 6A.
Tính xOy = 70°, yOz = 40°
Tính xOz = 110°, yOz' = 140° => xOz < yOz'
7A. a) Ta có: 1
2 xOy O =
Mà O 1=O2(đối đỉnh), xOy = x Oy' '(đối đỉnh)
4
O =O Lại có:
5
' '
xOt =xOy +O t Oy ' =x Oy O' + =
(109)Lại có
5
' '
xOy =xOy +O t Oy ' =x Oy O' +
Mà xOy'=x Oy' (đối đỉnh)
Và O 5 =O4=> xOt'=t Oy'
b) Vì 1
1
',
2
xOm= xOy O = xOy nên:
1
1
( ' )
2
mOt=xOm O+ = xOy +xOy = 90° 7B Tương tự 7A Ta x At' =y At'
8A. a) Vì Oy' phân giác x Oz' nên
1
' ' '
2
x Oy = x Oz= 90° = 45° => xOy=x Oy' '
Mà Ox Ox' hai tia đối nhao nên
xOy x Oy' ' đối đỉnh
b) x Oy' '= 45°, y Ot' = 90° => Ox' phân giác tOy'
Do x Ot' = 45°
8B xOm+x On' = 90° => x = 15° => xOm = 50°, x On' = 40° Hai góc mOn n'Oy hai góc đối đỉnh
9A a) BOD =AOC= 60° (đối đỉnh.)
=> COB +AOC= 180° (kề bù), => BOC=180° −AOC= 120° => AOD=BOC= 120° (đối đỉnh),
b) Vì Ot phân giác góc AOC nên
1
2
AOt= AOC= 30°
=> BOt '= AOt= 30° (đối đỉnh) Tương tự:
' 30 ' ' DOt = ° ⇒BOt =DOt
Do Ot' phân giác BOD
9B.a) Tính mOn= 90° b) Tương tự ý b) 9A
10A. Vì góc bOc kề bù với góc aOb nên Oa Oc hai tia đối nhan Tương tự Ob Od hai tia đối
Do hai góc bOc aOd đối đỉnh => bOc =aOd Lại có: 1 1
,
2
cOf = bOc aOe= aOd nên cOf =aOe
Mà Oa Oc hai tia đốì nên cOf aOe đối đỉnh 10B. Tương tự 10A Hai góc x Ot' mOxđối đỉnh a) Tính BMD=3 ,0° AMD=150°
(110)Các cặp góc kề bù: AMC AMD, AMD BMD, BMD BMC, BMC AMC
12. Gọi hai góc kề bù aOb bOc, nhận Ox Oy hai tia phân giác
Dễ dàng chứng minh:
xOy= (aOb + bOc) = 90° => Ox ⊥ Oy 13 Tương tự 10A mOn tOz hai góc đối đỉnh,
14. a) Tính yAx'= y Ax' = 140°; x Ay' '= 40° b) Ta chứng minh xAt=x At' = 20°
Do Ax Ax' hai tia đối nhau, At At' thuộc hai nửa mặt phẳng đối nên At At' hai tia đối
(111)
CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
- Hai đường thẳng xx', yy' cắt góc tạo thành có góc vng gọi hai đường thẳng vng góc
- Kí hiệu: xx' ⊥ yy'
(112)Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc vói đường thẳng cho trước
3 Đường trung trực đoạn thẳng Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm gọi
đường trung trực đoạn thẳng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Vẽ hình
1A Vẽ đường trịn tâm O bán kính R = cm Lấy ba điểm A, B, C phân biệt đưòng tròn Vẽ dây AB, BQ CA Vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB, BC, CA
1B Cho ba điểm A, B, C Hãy vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB, BC, CA
2A.Vẽ góc xOy có số đo 45° Lấy điểm A nằm xOy Qua A vẽ đường thẳng d vng góc với tia Ox B, đường thẳng d' vng góc với tia Oy C đường thẳng d" qua A vng góc với BC
2B Vẽ đường thẳng a Trên đường thẳng a vẽ đoạn AB = cm Vẽ tiếp đường thẳng d qua điểm A vng góc với a Vẽ đường thẳng d' qua điểm B vng góc với a Hai đương thẳng d d' có cắt khơng?
Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai đường thẳng xx' yy' vng góc với ta sử dụng cách sau:
Cách 1. Chứng minh bốn góc tạo thành hai đường thẳng
góc vng
Cách 2 Chứng minh hai góc kề bù nhau, từ suy có góc
90°
Cách 3. Chứng minh hai tia Ox Oy hai tia phân giác hai góc kề bù
nhau với O giao điểm xx' yy',
3A. Cho xOy = 120° Vẽ tia Oz Ot nằm xOy cho Oz vng góc với Ox Ot vng góc với Oy
a ) Tính số đo góc zOt
b) Gọi Om On hai tia phân giác hai góc xOt yOz Chứng minh tia Om ⊥ On
3B Cho góc mOn có số đo 150° Vẽ tia Oa Ob góc cho Oa, Ob vng góc với tia Om On
a) Chứng tỏ aOn = bOm
b) Vẽ tia Ox tia Oy theo thứ tự tia phân giác góc aOn
bOm Tính xOy
4A. Cho hai tia Ox Oy vng góc với Trong góc xOy, ta vẽ hai tia Oa Ob cho aOx = bOy = 30° Vẽ tia Oc cho tia Oy tia phân giác
(113)4B. Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng bờ xy, ta vẽ ba tia gồm Om, On cho xOm = yOn < 90° Ot phân giác mOn Chứng minh Ot vng góc với xy
Dạng Các tốn vận dụng tính chất hai đường thẳng vng góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng vng góc để giải tập liên quan
5A Cho xOy= 120° Ở phía ngồi góc vẽ hai tia Oc Od cho Od ⊥ Ox Oc ⊥Oy Gọi Om On theo thứ tự phân giác xOy dOc; Oy' tia đối tia Oy Chứng minh:
a) Ox tia phân giác y Om' ; b) Oy' nằm hai tia Ox Od; c) Góc mOn góc bẹt
5B Cho xOy = 100° Về phía ngồi góc vẽ hai tia Oz Ot cho Oz Ot vng góc với Ox Oy Gọi Om tia phân giác xOy Om' tia đối tia Om
a) Chứng minh Om' tia phân giác zOt b) So sánh số đo hai góc mOz yOm
6A. Cho góc nhọn xOy Trên nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, kẻ tia Ox' vng góc với Ox Trên nửa mặt phẳng bờ Oy chứa tia Ox, vẽ tia Oy' vng góc với Oy Chứng minh hai góc xOy x Oy' ' có tia phân giác tổng số đo hai góc 180°
6B. Cho góc xOy tù Bên ngồi góc dựng hai tia Oz Ot vng góc với Ox Oy Chứng minh hai góc xOy zOt bù
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7 Cho góc aOb có số đo 50° Trên nửa mặt phẳng bờ Ob chứa tia Oa, vẽ tia Om vng góc với Ob Trên nửa mặt phẳng cịn lại vẽ tia On vng góc với Oa
a) Chứng minh hai góc aOm bOn
b) Vẽ Om' tia đối tia Om Tính số đo góc m'On
8 Cho hai đường thẳng AB CD cắt O Vẽ tia phân giác Om
BOC Gọi On tia đối tia Om Chứng minh:
a) Tia On phân giác AOD;
b) Gọi Op phân giác BOD Chứng minh Op ⊥ On
9 Cho góc xOy Từ điểm A nằm góc kẻ AH vng góc với Ox (H thuộc Ox) AK vng góc với Oy (K thuộc Oy) Trên tia đối tia HA lấy điểm B cho HB = HA Trên tia đối tia KA lấy điểm C cho KC = KA Chứng minh OB = OC
10 Cho góc vng xOy Điểm M nằm góc Vẽ điểm N P cho tia Ox đường trung trực MN Oy đường trung trực MP Chứng minh ON = OP
(114)1B.Tương tự 1A.
Chú ý: Xét hai trường hợp: ba điểm A, B, C thẳng hàng A, B, C không
thẳng hàng
2A.Ta có hình vẽ bên:
2B.Tương tự 2A.
Kết luận hai đường thẳng d d' khơng cắt
3A. a) Ta có:
90 30
xOz= ° =>zOy= °
Do yOt= 90° nên tOz= 60°
b) Vì Om, On phân giác yOz xOt nên:
mOz=nOt = 15°
Do đó: mOn =mOt+tOz+zOn= 15° + 60° +15° = 90° 3B.Tương tự 3A.Tính được:
aOn=bOm= 60° b) xOy = 90° 4A. Ta có: aOb= 30° = xOa suy Oa phân giác bOx
Lại có aOy = 60°, Oy phân giác aOc nên:
(115)
bOc=bOy+yOc= 90°
4B.Tương tự 4A Tính xOt = yOt = 90° => Ot⊥xy 5A. a) Có xOm= yOm = 60°
=> yOm< yOx<yOy'
=>Tia Ox nằm Om Oy' Lại có:
y Ox' = 180°- 120° = 60° = xOm => Ox phân giác y Om'
b) xOy '<xOd suy tia Oy' nằm hai tia Ox Od c) yOd = 90° - 60° = 30°
' '
cOd =cOy −y Od = 90°- 30° = 60° => dOn = 30° => xOn = 90° + 30° = 120°
xOn+xOm= 120° + 60° = 180° hay mOn = 180° 5B.Tương tự 5A Ta được:
a) zOm'=tOm' = 40°
mOz = 140°, yOm' = 130° suy mOz > yOm'
6A Ta có: xOy+x Oy' = 90° xOy +xOy' = 90° => x Oy' =xOy'
Mặt khác Ox', Oy' nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox nên Ox nằm hai tia Ox' Oy'
Tương tự Oy nằm hai tia Ox' Oy' Gọi Om phân giác góc xOy, suy Oy nằm Ox' Om, Ox nằm Oy'
Om, Om nằm Ox Oy Lại có Om phân giác góc xOy
=> xOm= yOmvà x Oy ' =xOy'(cùng phụ
xOy) Do x Om ' = y Om'
=> Om phân giác x Oy' ' (ĐPCM)
6B.Tương tự 6A
7.Tương tự 4A Tính được:
a) aOm =bOn= 40° b) m On' = 50°
8 Ta có: BOm=nOA(đối đỉnh), COm =nOD(đối đỉnh)
Mà BOm=COm=>nOA =nOD
b) 1( )
2
nOp=nOD+DOp= AOD+DOB = 90° => ĐPCM
9. Ox đường trung trực AB, O ∈AB Nên OA = OB
Tương tự ta có OA = OC Từ suy ĐPCM 10. Tương tự 9
(116)(117)
CHỦ ĐỀ CÁC GÓC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Góc so le Góc đồng vị
Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a b A B hình vẽ Khi đó:
a) Hai cặp góc A3 B1; A4 B2
được gọi cặp góc so le b) Bốn cặp góc A1 B1; A2 B2;
A3 B3; A4 B4được gọi
cặp góc đồng vị
c) Hai cặp góc A3 B2; A4 B1được
(118)2 Tính chất
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b
và góc tạo thành có cặp góc so le thì: a) Hai góc so le cịn lại nhaư;
b) Hai góc đồng vị nhau; c) Hai góc phía bù II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Xác định cặp góc so le trong, cặp góc phía, cặp góc đồng vị
Phương pháp giải: Căn vào vị trí hai góc so với hai đường thẳng đường thẳng thứ ba cắt chúng
1A.Chỉ cặp góc so le trong, đồng vị, phía có hình vẽ sau:
1B Dựa vào hình vẽ bên, điền vào chỗ trống: a) ABC BCD hai góc
b) CMN CAD hai góc c) CMN DNA hai góc d) DAC ACB cặp góc e)CBA DAB cặp góc
Dạng Tính số đo góc
Phương pháp giải: Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, hai góc kề bù để tính góc
(119)2B Cho đường thẳng p cắt hai đường thẳng m n M N hình vẽ bên Tính góc lại, biết
1
M = 110°, N2= 95°
3A. Cho hình vẽ Tính góc lại biết A2 =B4 = 75°
3B Cho hình, vẽ bên a) Kể tên cặp góc so le
trong, cặp góc đồng vị cặp góc phía b) Tính góc lại, biết
2
P =Q = 45°
4A Cho hình vẽ bên Tính góc cịn lại, biết
'
aIK =IKb = 28°
4B Cho hình vẽ bên Biết '
FEm = 80° EFn' = 100° Tính góc cịn lại
(120)a) Kể tên cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị cặp góc phía
b) Tính góc cịn lại
6 Cho hình vẽ bên Tính Góc cịn lại, biết xTL=TLy'= 720
7.Cho hình vẽ bên
a) Kể tên cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị cặp góc phía
b) Tính góc cịn lại, biết aBO = 140°, BOn = 40°
HƯỚNG DẪN 1A Hình a)
Các cặp góc so le trong:
1
M N4 , M4 N3
Các cặp góc đồng vị:
1
M N2; M2 N3; M3 N4; M4 N1 Các cặp
góc phía: M1 N3; M4 N4
Hình b):Tưong tự Hình a).
1B a) phía, b) đồng vị c) so le trong, d) so le e) phía
(121)Tính được:
1
M = M3 =110°; M2= M4 = 70°; N2=N4= 95°
và N1 = N3= 85°;
3A Tính
2 4
1 3
75
180 75 105
A A B B
A A B B
= = = = = = = = ° ° − ° = °
3B a) Tương tự 1A
b) Tính
2 3
1 4
45
180 45 135
P P Q Q
P P Q Q
= = = = = = = = ° ° − ° = °
4A.Tính
28 1
' ' ' 28
' ' ' 180 52
aIK a Ic IKb bKc aIc a IK bIK b Kc
= = = = ° = ° − ° = ° = = =
4B Tương tự 4A 5. a) Tương tự 1A
b) Tính được: xAz=xAb=x AB' =x Az' = 90° ' ' 10 ;0 ' '
yBz =ABy = ° = y Bz = yBz= 80°
6.Tương tự 4A Tính
' ' ' 72
' ' ' 108
xTL TLy x Tz yLz xTz x TL TLy y Lz
= = = = = = = = ° °
7.Tương tự 1A
b) Tính
140 40 aBO bBc nOd BOm aBc bBO BOn mOd
= = = = = = = = ° °
CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Nhắc lại kiến thức lớp
• Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung • Hai đường thẳng phân biệt cắt song song
2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thắng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp giải: Để chứng minh hai đường thẳng a b song song ta có
thể chứng minh theo cách sau:
Cách 1.Chứng minh hai góc so le
trong nhau:
3
(122)hoặc
4
A =B
Cách 2.Chứng minh hai góc đồng vị
nhau: A1=B1 A2 =B2,
3
A =B , hoăc A4 =B4
Cách 3.Chứng minh hai góc
phía bù nhau: A4+B1= 180° A3+B2= 180°
Cách 4.Chứng minh hai đường thẳng a
và b vng góc (hoặc song song) với đường thẳng khác
1A.Cho hình vẽ bên, biết cAa'= 120°
ABb= 60° Hai đường thẳng aa' bb' có song song với khơng? Vì sao?
1B.Cho hình vẽ bên, biết:
aMc= yNz= 30°
Chứng minh hai đường thẳng ax by song song với
2A.Cho hình vẽ bên, biết yAt= 40°,
xOy = 140°, OBz = 130° OA ⊥ OB Chứng minh At // Bz
2B Cho hình vẽ bên, biết OAx = 30°,
OBy= 150° Ot tia phân giác
(123)3A Cho xOy = 120° Lấy điêm A tia Ox Trên nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy vẽ tia At cho OAt = 60° Gọi At' tia đối tia At
a) Chứng minh tt' // Oy
b) Gọi Om An theo thứ tự tia phân giác góc xOy xAt Chứng minh Om // An
3B.Lấy điểm O đường thằng xy Trên nửa mặt phẳng bờ xy, vẽ tia Oz cho xOz = 50° Trên tia Oy, lấy điểm B Trên nửa mặt phẳng bờ xy chứa tia Oz, vẽ Bt cho tBy = 130°
a) Chứng minh Oz // Bt
b) Vẽ tia Om Bn tia phân giác xOz xBt Chứng minh Om // Bn
Dạng Tính số đo góc
Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt tính chất hai đường thẳng song song để biến đổi tính góc
4A Cho hình, vẽ bên, biết hai đường thẳng m n song song với Tính số đo góc
1, ,1 2,
L T T T
4B.Cho hình vẽ bên với a // b Tính số đo B1
5A. Cho Bx // Ny //Oz, OBx = 130°
ONy = 140° Tính BON
(124)III BÀI TẬP VỀ NHÀ
6 Cho hình vẽ sau Hai đường thẳng mp nq có song song với khơng? Vì sao?
7 Cho hình vẽ bên, biết yBn -148°
mAx=zCn = 32° Chứng minh ba đường thẳng Ax, By Cz đôi song song
8. Cho xOy = 50° Lấy điểm A tia Ox Trên nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, vẽ tia At cho At cắt Oy B OAt = 80° Gọi At' tia phân giác góc xAt
a) Chứng minh At' // Oy
b) Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm A, bờ đường thẳng Oy, vẽ tia Bn cho OBn = 50° Chúng minh Bn // Ox
9 Cho hình vẽ bên có hai tia Tx Ly song song với Tính số đo góc TBL, biết xTB=TBn= 110°
BLy = 150
HƯỚNG DẪN 1A. Ta có: cAa '+a AB' = 180° (hai góc kề bù)
=> a AB' =180° −cAa'=180° −120° = °60
=>a AB ' =ABb= °60 (hai góc so le nhau)
=> aa' // bb'
1B xMN =cMa= °30 (đối đỉnh), MNb = yNz= °30 (đối đỉnh)
=> xMN=MNb (hai góc so le nhau) => ax // by 2A.Kẻ tia đối Ox' Ox => yOx'= 40°
=> yOx' = yAt (hai góc đồng vị nhau) => Ox' // At (1)
Mặt khác: OA ⊥OB => AOB= °90
=> x OB' = yOB−yOx'= ° − ° = °90 40 50
=> x OB' =OBz=50° +130° =180°
(hai góc phía bù nhau) =>Ox' //Bz (2)
(125)2B Vì Ot phân giác AOB nên: = 1
2
AOt=BOt= AOB= 60° = 30° => xAO=AOt => Ax // Ot (1)
Lại có : tOA OBy + = 30° +150° = 180° => Ot // By (2) Từ (1) (2), ta có Ax // By // Ot
3A. a) OAt +xOy= 60°+ 120° = 180° (hai góc phía bù nhau) => At // Oy => tt' // Oy
b) Vì Om phân giác xOy nên:
1
2
xOm= xOy= 120° = 60° (1) Mặt khác : OAt=60° =>xAt= 120° Vì An phân giác xAt nên:
1
2
xAn= xAt= 120° = 60° (2)
Từ (1) (2) suy xOm =xAn Do Om // An
3B.Tương tự 3A
4A.Tính được: L 1=T2 =42 ;° T 1=T3= 180° - 42° = 138°
Tính
1
B = 180° -108° = 72° 5A Kẻ Oz' tia đối tia Oz Ta có: Bx //Oz => xBO+BOz'= 180° => BOz' = 50°
Oz// Ny => z ON' +ONy = 180°
=> z ON' =40° =>BON= 50°+ 40° = 90°
5B. Ta có: Ax // By xAB+ABy=180° =>ABy = 45° Lại có: Ct // By => CBy =zCt = 45° Vậy ABC= 90° 6 Tương tự 1A
BAp = 72° = kBq (hai góc đồng vị nhau) suy mp|| nq 7.Tương tự 2A.
mAx=zCn = 32° => Ax // Cz
=> yBn=148° >= yBC=32° =BCz= > By // Cz Suy ĐPCM 8 Tương tự 3A
80
OAt= ° =>xAt= 100°
=> xAt' = 50°
Do đó; xOy = xAt' => Oy // At b) xOy =OBn=50° => Ox // Bn 9 Tương tự 5A.
(126)(127)
CHỦ ĐỀ TIÊN ĐỀ Ơ-CLIT VỂ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Tiên đề Ơ-Clit
Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng
2 Tính chất hai đường thẳng song song
Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a) Hai góc so le nhau;
b) Hai góc đồng vị nhau; c) Hai góc phía bù II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Vận dụng tiên đề Ơ-clit
Phương pháp giải:
* Tiên đề Ơ-clit hai đường thẳng song song:
(128)* Nếu qua điểm ngồi đường thẳng, có hai đường thẳng song song với đường thẳng cho hai đường thẳng trùng
1A.Chọn câu khẳng định đúng:
a) Qua điểm A nằm đường thẳng xy, có đường thẳng song song với xy
b) Qua điểm A nằm đường thằng xy, có đường thẳng song song với xy
c) Qua điểm A nằm đường thẳng xy, có vơ số đường thẳng song song với xy
d) Nếu hai đường thẳng AB AC song song với đường thẳng m hai đường thẳng AB AC trùng
e) Nếu qua điểm A có hai đường thẳng song song vói đường thẳng d hai đường thẳng song song với
1B Trong câu sau, câu đúng, câu sai?
a) Qua điểm M nằm ngồi đường thẳng a, có đường thẳng song song với a
b) Qua điểm M nằm ngồi đường thẳng a, có đường thẳng song song với a
c) Nếu hai đường thẳng AB AC song song vói đường thẳng m hai đường thẳng AB AC song song
d) Nếu hai đường thẳng AB AC song song với đường thẳng m ba điểm A, B, C thẳng hàng
2A Cho hình vẽ bên
a) Chứng minh AD song song với BC b) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường
thẳng AB không chứa điểm D, lấy điểm E cho BAE = 70° Chứng minh E, A, D thẳng hàng theo hai cách sau:
Cách 1:Chứng minh EAD = 180°
Cách 2:Sử dụng tiên đề Ơ-clit
2B.Cho hình vẽ bên, MP song song với NQ Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm P có bờ đường thẳng MN, vẽ điểm E cho EMN =MNQ Chứng minh
điểm E, M, P thẳng hàng
Dạng Vận dụng tính chất hai đường thẳng song song để tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng cắt hai đường thắng song song thì:
(129)b) Hai góc đồng vị nhau; c) Hai góc phía bù 3A Cho hình vẽ đây, biết a // b A1 =75° Tính số đo
góc cịn lại hình
3B.Cho hình vẽ bên, biết a // b
3
A = 60° Tính số đo góc cịn lại hình
4A.Tính số đo x hình bên
4B Tính số đo x hình bên III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai?
a) Qua điểm vẽ đường thắng song song với đường thẳng cho
b) Qua điểm ngồi đường thẳng vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho
c) Qua điểm đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng cho
d) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo cặp góc so le
e) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo cặp góc phía bù
6 Cho hình vẽ bên, m // n M2 = 120° Tính số đo góc
(130)Cho hình vẽ đây, a //b Tính số đo x
8.Tính số đo x hình vẽ bên
9 Cho tam giác ABC Trên nửa mặt
phẳng khơng chứa điểm C có bờ đường thẳng AB, vẽ tia AD cho
BAD= ABC Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B có bờ đường thẳng AC, vẽ tia AE cho CAE = ACB Chứng minh.:
a) AD song song với BC;
b) Ba điểm D, A, E thẳng hàng
HƯỚNG DẪN 1A Các khẳng định đúng: a, c, d
1B a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng 2A a) Ta có DAB +ABC= 180°
Mà hai góc vị trí phía
Từ AD // BC (tính chất hai đường thẳng song song)
b) Cách 1:
EAB+BAD= 70° + 110° = 180° Cách 2: EAB =ABC = 70°
Mà hai góc vị trí so le nên AE// BC ( tính chất hai đường thẳng song song)
Lại có AD//BC ( chứng minh ý a)) nên Ad = AE
Vậy E, A, D thẳng hàng 2B Tương tự 2A
3A. Ta có a //b nên B 1= A1= 75° (hai góc đồng vị)
3 75 ;
(131)Lại có
1 180
A +A = °(hai góc kề bù) => A2 = 180°- 75° = 105°
4
B =A = 105° (hai góc đồng vị)
4
B =B = 105°; A4 = A2 = 105° (cặp góc đối đỉnh)
3B Tương tự 3A Tính
3
2 4
60 120
A A B B
A A B B
= = = °
° =
= = = =
4A.Ta có A=D= 60°, hai góc vị trí so le nên AB //CD
Từ x + C = 180° (hai góc phía) => x = 180° - 80° = 100°
4B.Chứng minh MN//PQ Khi P
N hai góc phía => x = 45°
5 a) Đúng b) Sai c) Đúng
d) Sai e) Đúng
6.Tính
2 4
1 3
120 60
M M N N
M M N N
= = = =
= = = = °
°
7.Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song ta tính x = 80° 8 Chứng minh EF//BC
x = AFE= 50° (hai góc đồng vị) 9 a) Có BAD=ABC( giả thiết), Mà hai góc vị trí so le nên AD // BC (theo tính chất hai đường thẳng song song)
c) Tương tự ý a), chứng minh d) AE // BC
(132)AE AD trùng Từ ba điểm D, A, E thẳng hàng
(133)
CHỦ ĐỀ TỪ VNG GĨC ĐẾN SONG SONG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Quan hệ tính vng góc với tính song song
• Hai đương thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với
• Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng
/ / a c
a b b c
⊥
=> ⊥
/ / a b
c b c a
=> ⊥ ⊥
2 Ba đường thẳng song song
Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với
/ /
/ / / /
a c
a b b c
=>
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
(134)Phương pháp giải: Sử dụng mối quan hệ tính vng góc tính song song ba đường thẳng song song
1A.Trong hình bên biết:
BAD = 110°, ABC = 70°, BCD = 90° Chứng minh hai đường thẳng a d
vng góc với
1B Cho hình vẽ bên, biết BAC= 123°,
ABD = 57° d ⊥a Hỏi d có vng góc với b khơng ?
2A Trong hình vẽ bên, MN ⊥PN,
aMN =MNb = 40°, NPc= 50°
Chứng minh ba đường thẳng Ma, Nb Pc song song với
2B Cho hình vẽ bên.Hãy chứng tỏ a //b//c
Dạng Tính góc
Phương pháp giải: Áp dụng tính chất chứng minh hai đường tahwngr vng góc song song; tính chất cặp góc đối đỉnh, góc kề bù nhau, góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng song song…
3A.Trong hình vẽ bên, biết 1 2
5 A = A ,
2
B −B = 30° a ⊥c Tính C1và C2
(135)4A Cho hình vẽ, biết Dp // Er //Fq Khi hai đường thẳng DE DF có vng góc với khơng? Vì sao?
4B Cho hình vẽ, biết Ab//Cc Khi hai đường thẳng BA BC có vng góc với khơng? Vì sao?
5A Cho góc mOn Trên tia Om, lấy điểm C;
trên tia On, lấy điểm D Vẽ mOn tia Cx Dy song song với Tính số đo mOn, biết OCx = 50° ODy = 40°
5B Cho góc mOn Trên tia Om, lấy điểm C; tia On, lấy điểm D Vẽ mOn tia Cx Dy song song vói Tính số đo mOn, biết OCx = 150° ODy = 120°
II BÀI TẬP VỀ NHÀ
6 Trong hình vẽ bên, biết d ⊥ b,
BAD = 100° ABC = 80°
Chứng minh hai đường thẳng a d vng góc với
7 Cho hình vẽ bên, biết BAC = 80° Các tia Ax, By, Cz có nằm đường thẳng song song với khơng? Vì sao?
8 Cho góc mOn Trên tia Om, lấy điểm C; tia On, lấy điểm D Vẽ mOn
các tia Cx Dy song song với Tính số đo mOn, biết OCx = 55° ODy = 35°
HƯỚNG DẪN
BAD+ABC = 180° => a // b
Mà BCD= 90°=>d ⊥b Do d ⊥a 1B Tương tự 1A Kết luận d ⊥ b
2A Ta có: aMN =MNb= 40° => Ma // Nb (1) Vì MN ⊥NP nên MNP =90° =>bNP = 90° - 40° - 50°
Mà NPc=50° =>bNP =NPc => Nb// Pc (2)
Từ (1) (2) suy ĐPCM 2B.HS tự làm
(136)Mà a ⊥c => b⊥c => C 1 =C2= 90°
3B Tương tự 3A Tính B1 = 60° B2 = A2= 120°
4A.Kẻ tia đối Dp' Dp => EDF =EDp'+p DF' = 39° + 51° = 90° 4B Tương tự 4A
5A.Kẻ Oz // Cx // Dy Suy ra: mOn=COz+DOz=OCx ODy+ => mOn = 90°
5B Tương tự 5A.
6. BAD +ABC= 180° => a//b Mà d ⊥b nên d ⊥a
7.Kẻ tia Ax' tia đối tia Ax Khi đó: x AB ' =uBy = 60°
=> Ax' // By
Lại có: x AC' = 80°- 60° = 20° => x AC' +ACz=180°
=> Ax' //Cz
Do tia Ax, By, Cz nằm ba đường thẳng song song với 8 Tương tự 6A Tính mOn= 55° + 35° = 90°
(137)
ƠN TẬP CHUN ĐỀ I I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Xem phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài đến Bài II BÀI TẬP
* Các tốn hai đường thẳng vng góc
1A.Cho điểm O nằm đường thẳng xy Vẽ tia Oz cho
xOz = 60°
a) Tính số đo yOz
b) Vẽ Oa Ob tia phân giác góc xOz, yOz Chứng minh đường thẳng chứa tia Oa đường thẳng chứa tia Ob vng góc với
1B. Cho hai góc kề bù AOC COB Gọi OM tia phân giác AOC Kẻ tia ON vng góc với OM (tia ON nằm góc BOC) Tia ON phân giác góc nào? Vì sao?
2A Cho hai góc kề yOz có tổng 150° xOy = 4yOz a) Tính số đo góc
b) Trong xOy vẽ tia Ot ⊥Oz Chứng minh Ot phân giác xOy
2B.Cho hai góc kề aOb bOc có tổng 125° cOb - bOa = 25° a) Tính số đo góc
b) Trong aOb vẽ tia Od ⊥Oc Tia Od có phân giác góc aOb khơng? 3A Cho xOy = 40° Vẽ yOz kề bù với xOy Vẽ zOt = 50° cho tia Ot nằm hai tia Oy Oz Tính số đo yOt
3B.Cho hai góc kề bù aOb bOc , biết aOb - bOc = 120° Trong góc aOb vẽ tia Od cho aOc = 60° Chứng tỏ Ob ⊥Od
(138)4A. Cho xOy = 110° Oz tia phân giác góc Trên tia Ox, lấy điểm M, dựng tia Mt nằm góc cho OMt = 70°
a) Chứng minh Mn //Oy,
b) Gọi Mt' tia đối tia Mt, Mn tia phân giác OMt' Chứng minh
Mn //Oz
4B. Cho aOb = 120° Oc tia phân giác góc Trên tia Oa, lấy điểm M, dựng tia Mt nằm góc cho OMt = 60°
a) Chứng minh Mt //Ob,
b) Gọi Mt' tia đối tia Mt, tia Mn nằm OMt' cho t Mn' = 60° Chứng minh Mn // Oc
* Các toán quan hệ từ vng góc đến song song
5A. Cho tam giác ABC có A = 90° Lấy điểm M BC Vẽ MH ⊥AB MK ⊥AC (H ∈ AB, K ∈AC)
a) So sánh BMH BCA; HBM KMC b) Tính số HMK
5B. Cho tam giác ABC có A = 90° Lấy điểm M BC Vẽ MH⊥AC MK⊥AB (H ∈ AC, K ∈AB)
a) So sánh BMH BCA; HBM KMC b) Tính số đo HMK
* Các tốn định lí
6A Cho tam giác ABC có A= 40° Trên tia đối tia AC lấy điểm D Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Dx //BC Biết xDC= 70°
b) Tính số đo ACB
c) Vẽ tia Ay phân giác BAD Chứng minh Ay //BC
6B. Cho tam giác MNP có M = 86° Trên tia đối tia MP lấy điểm Q Trên nửa mặt phẳng bờ MP không chứa điểm N, vẽ tia Qx //NP, biết xQP = 47°
a) Tính số đo MPN
b) Vẽ tia My phân giác NMQ Chứng minh My //NP III BÀI TẬP VỂ NHÀ
7 Cho hai góc kề aOb bOc có tổng 140°
aOb - cOb = 60° a) Tính số đo góc
b) Trong aOb vẽ tia Od ⊥ Oc Tia Od phân giác góc nào? Vì sao?
8 Cho xOy = 20°.Vẽ yOz kể bù với xOy Vẽ zOt = 95° cho tia Ot nằm hai tia Oy Oz Tính số đo yOt
9 Cho xOy = 80° Oz tia phân giác góc Trên tia Ox lấy điểm M, dựng tia Mt nằm góc cho OMt =100°,
a) Chứng Mt //Oy
b) Gọi Mt' tia đối tia Mt, Mn tia phân giác OMt' Chứng minh Mn // Oz
(139)a) So sánh KHC BAC; PKC HBC; ABH BHK b) Chứng minh CHK = HBC
HƯỚNG DẪN 1A. a) yOz = 180°- 60° = 120°
b) Ta có : yOb< yOz< yOa => Tia Oz nằm hai tia Oa Ob
Suy ra: aOb =aOz+bOz = 30° + 60° = 90° Vậy Oa ⊥ Ob (ĐPCM)
1B.Tương tự 1A Kết luận ON phân giác BOC
2A. a) xOy=120°,yOz=30°
b) zOy <zOt<zOx
=> tia Ot nằm hai tia Ox Oz =>xOt = 150° - 90° = 60°
=> tOy = 60° => ĐPCM 2B.Tương tự 2A.
a) Tính aOb = 50° bOc = 75° Tia Od khơng phân giác góc aOb
3A Do xOy+yOz=18 ;0° xOy= 40° => yOz=140° =>tOy =90°
3B.Tương tự 3A.
aOb= 150°, bOc= 30° =>bOd= 90° Vậy Ob ⊥Od 4. a) OMt +xOy=180° => Mt // Oy
Vì Mt' tia đối tia Mt nên '
OMt = 110°
(140)
OMn = 55°
Mặt khác xOz = 55° nên xOz = OMn Suy Mn || Oz
4B.Tương tự 4A
5A. a) Vì MH ⊥ AB, CA ⊥ AB nên: MH||CA => BMH =BAC(hai góc đồng vị) Tương tự HMB =KMC
b) Do MH || CA MK⊥ AC nên MK ⊥MH Suy HMK = 90°
5B.Tương tự 6A
6A. a) Vì Dx || BC => ACB=CDx= 70° b) Do A=40° =>BAD= 140°
DAy = 70°
Do DAy = BCA nên Ay || BC 6B.Tương tự 7A
7.Tương tự 2B
Tính aOb = 100° bOc = 40° Tia Od phân giác góc aOb 8.Tương tự 3A
9.Tương tự 5A 10.Tương tự 7A
(141)
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ I
Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1.Hai đường thẳng MN PQ cắt A tạo thành MAP= 43° Số đo
PAN bằng:
A 137°; B 43°; C 180°; D 86° Câu 2.Khẳng định đúng?
A Hai góc đối đỉnh; B Hai góc so le nhau;
C Nếu a b cắt c mà góc tạo thành có cặp góc so le a// b;
D Hai đường thẳng song song với đường thẳng vng góc với Câu 3.Hai đường thằng cắt tạo nên bơh góc (khác góc bẹt):
A Đối đỉnh;
B Đôi đối đỉnh;
C Đôi không kề đối đỉnh; D Bằng
Câu 4.Cho hình vẽ bên, biết 130 ,o 160o
xAB= BCy= Ax // Cy Số đo ABC là:
A 70°; B 90°;
C 80°; D 65°
Câu 5.Cho hình vẽ bên biết 110 ,o 70o
aAd = ADC= BC⊥b Số đo ABC là:
(142)C.110°; D Kết khác Câu 6.Cho hình vẽ bên Tìm giá trị x A 10°; B 90°;
C 5°; D 15°
Câu 7.Cho hình vẽ bên, biết hai tia Tx//Ly, xTB=TBn= 110° BLy = 150° Tính số đo góc TBL
A 150°; B 90°; C 110°; D.100° Câu 8.Chọn câu trả lời đúng:
A Hai tia phân giác cặp góc kề vng góc với nhau; B Hai tía phân giác cặp góc đối đỉnh vng góc với nhau; C Hai tia phân giác cặp góc kề bù vng góc với nhau; D Hai tia phân giác cặp góc bù vng góc với PHẨN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài 1.(2,0 điểm)
Cho hình vẽ bên dưới, biết: 60 ,O 35 ,O 85O
CAB= ABC= ACB=
Tính góc cịn lại đỉnh
Bài 2.(2,0 điểm) Cho hình vẽ bên, biết:
30 ,O 90O
xAB= ABC= , By //Cz //Ax Tính số đo BCz
Bài (1,5 điểm) Cho mOn = 86° Trên tia Om, lấy điểm A Qua A vẽ tia At cho mAt= 86° (tia At nằm mOn)
a) Tia At có song song với tia On khơng? Vì sao? b) Vẽ AH ⊥On (H ∈On) Chứng minh AH⊥At c) Tính số đo OHA
(143)Bài 4.(0,5 điểm)
Cho hình vẽ bên, biết ax // by Hai tia
phân giác xAB ABy cắt M Chứng minh AM ⊥ BM
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu 1 A Câu 5 B Câu 2 C Câu 6. D Câu 3. C Câu 7. D Câu 4. A Câu 8. C PHẦN II TỰ LUẬN
Bài 1 HS tự làm
Bài 2. Ta có: ABy=xAB=30° >= BCz=CBy = 90°- 30° = 60° Bài
a) mAt =mOn= 86° At // On b) / /
On At On AH
AH At
=> ⊥
⊥
c) OAH = 180° - 90° - 86° = 4° d) d⊥AH, At ⊥AH => d // At => OBI =OAt ( hai góc đồng vị) Bài 4.Kẻ Mz // ax // by
=> 1
2 AMz=xAM = xAB
và 1
2 zMB=MBy= ABy
=> 1( ) 1.180 90
2
MAB= xAB+ABy = = =>AM ⊥BM
(144)(145)
ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1 Cho hình vẽ bên Để a // b sơ đo A1là:
A 60°; C 80°; B.100°; D 120°
Câu 2. Hai góc M N hai góc bù Số đo M lớn số đo N 20° số đo M N lần lượt là:
A.120° 100°; C 55° 35°; B.100° 80°; D.110° 90° Câu 3.Cho hình vẽ bên Khẳng định sau sai? A A1 B1 hai góc đồng vị
B A2 B4 hai góc so le
C A2 B1 hai góc phía
D A2 B4là hai góc phía
Câu 4.Cho hình vẽ bên có a // b Số đo BON la:
A.100° C.80°;
B.110°; D.120°; Câu 5.Cho hình vẽ bên Số đo x là: A 100°; C 130°; B 110°; D 120°; Câu 6 Chọn câu trả lời đúng:
A Hai góc có chung đỉnh hai góc đối đỉnh B Hai góc đối đỉnh phải hai góc nhọn,
C Hai góc đối đỉnh phải hai góc tù
D Có nhũng cặp góc khơng phải hai góc đối đỉnh Câu 7. Cho MN //PQ MQ//NP Tính x
(146)B 140°; D Kết khác
Câu 8.Cho hai đường thẳng a b vng góc với đường thẳng c Tính góc x
A.50°; C 60°;
B 70°; D Kết khác PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài 1 (2,0 điểm)Cho hai đường thẳng xx' yy' cắt O Biết xOy = 45° a) Tính số đo góc x Oy xOy' ', ' x Oy'
b) Trên tia Ox lấy điểm A khác O Kẻ đường thẳng aa' qua A song song với yy' Kẻ đường thẳng aa' vậy? Vì sao?
c) Chỉ góc đỉnh A có số đo 45° giải thích
Bài (2,0 điểm) Vẽ hai tia Oy Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox cho xOy = 30° xOz = 120°
a) Tính số đo yOz
b) Vẽ hai tia Om On tia đối tia Oy, Oz Chỉ hai cặp góc đối đỉnh có hình vẽ
c) Chứng tỏ hai đường thẳng ym zn vng góc với Bài 3 (1,5 điểm)
Cho hình vẽ bên, biết TB LB phân giác góc aTL TLC Tính tổng BTL+BLT
Bài 4 (0,5 điểm)
Cho hình vẽ bên có Ox, At Bz đơi song song Tính AOB, biết
yAt = 40° OBz= 130°
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu 1 A Câu 5 D Câu 2 B Câu 6. D Câu 3. D Câu 7. B Câu 4. B Câu 8. C PHẦN II TỰ LUẬN
Bài 1. a) ABy=xAB=30° >= BCz =CBy= 135°
b) Theo tiên đề Ơ-clit, qua A kẻ đường thẳng song song với yy' c)OAa =a Ax' =xOy = 45° (các cặp góc đồng vị)
Bài
(147)b) yOz mOn, yOnvàmOz
yOz= 90° => Oy ⊥ Oz => ym ⊥ zn Bài 3. Ta có : aTn =bTm=60° =>BTL = °30
130 65
TLc=dLn= ° =>BTL= °
=+ BTL = BLT = 95°
Bài 4.Kẻ tia Ox' tia đôi tia Ox '
yOx = yAt= 40° ?x OB' =180° −OBz= 180°-130° = 50° Do AOB= 40° + 50° = 90°
CHUYÊN ĐỀ II TAM GIÁC
CHỦ ĐỀ TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
*Góc tam giác:
- Tổng ba góc tam giác 180°
- Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ * Góc ngồi tam giác:
- Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác - Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với - Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Tính số đo góc, so sánh góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất phần "Tóm tắt lý thuyết" từ thiết lập mối liên hệ góc cần tìm góc biết
1A.Tính số đo x,y hình vẽ sau:
(148)2A. Cho tam giác ABC vng A có C = 35° Tia phân giác góc A cắt BC D Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC)
a) Tính góc ADH
b) Tính góc HAD HAB
2B Cho tam giác ABC, góc ngồi đỉnh C có số đo 100°, 3A=2B a) Tính góc B, C
b) Hai tia phân giác Ax By góc A, B cắt O Tính góc BOA
3A. Trên hình có Ay song song với Dx, CDx= 150°;CAy = 40° Tính góc ACD cách coi góc ngồi tam giác 3B.Trên hình có Mx song song với Py,NMx=60 ,° NPy=35°.Tính góc MNP
4A Tính góc tam giác ABC biết: a) A=2B =6C b)
2
A= B =C
4B Tính góc tam giác ABC biết: a) A=2 ; B C−B= 36°
b)
3
A B C = =
5A.Cho hình vẽ bên Hãy so sánh: a) AEM ABM
b) AEC ABC
5B. Cho tam giác ABC, D điểm cạnh BC, O điểm nằm tam giác
a) So sánh ADC ABC b) So sánh BOC BAC
6A. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD (D thuộc BC) Tính ADB ADC biết B C− = 40°
6B. Cho tam giác ABC, tia phân giác góc B cắt AC E Tính AEB BEC biết 2C +B=150°
Dạng Các toán chứng minh
(149)7A.Cho tam giác MNP, E điểm MN Chứng minh: NEP >NMP 7B.Cho tam giác ABC có góc B tù Chứng minh góc A C nhọn 8A. Cho tam giác MNP có N >P Vẽ phân giác MK
a) Chứng minh MKP −MKN = −N P
b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác MNP, cắt đường thẳng NP E Chứng minh rằng:
2 N P MEP= −
8B Cho tam giác ABC vuông A Gọi d đường thẳng vng góc với BC C Tia phân giác góc B cắt AC D cắt d E
Chứng minh EDC =DEC III BÀI TẬP VỀ NHÀ
9 Tính số đo x, y, z hình vẽ sau:
10 Cho tam giác ABC (B <C) có A+2B = 100° Tính số đo C −B 11 Cho tam giác ABC, biết A B C: : = l : :
a) Tính góc tam giác ABC
b) Tia phân giác đỉnh B cắt đường thẳng AC D Tính số đo ADB 12. Cho tam giác ABC có B =C Gọi Am tia phân giác góc ngồi đỉnh A Hãy chứng tỏ Am //BC
13 Cho tam giác ABC có B =2C Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CDA =CAD Gọi Ax tia đối tia AC
a) Chứng minh BAx =6CAD
b) Cho góc A= 30° Tính B; CAD
14 Cho tam giác vuông ABC A, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Các tia phân giác góc B góc HAC cắt I
Chứng minh AIB = 90°
15 Cho tam giác ABC, E điểm nằm tam giác Chứng minh rằng: BEC = ABE+ACE+BAC
HƯỚNG DẪN 1A a) Ta có A=180° −( B C+ ) = 80° Vậy x = 80°
b) Cách 1 Ta có ADC=BAD+ABD Từ suy y = ADC = 110° Mà
tam giác ADC có y + 2x = 180° Từ tính x = 35°
Cách 2. BAD = 90° - 20° = 70° = 2x Vậy x = 35° y -180° - 70° = 110°
1B Ta có 3x = 60° Từ suy x = 20° Tìm x= ADC - ABD= 20°
(150)2A Tính ADC = DAB = 45° Ta lại có: ADH =DAC+DCA
=> ADH = 80° b) Ta có:
2
2 4
4
0 ; ; 80
A B C A B C
A B C
+ +
= = = =
+ +
= = ° =
°
° °
= 10° Từ tính HAB = 35°
2B a) Đáp số B =60 ;° C=80° b) Đáp số BOA = 130° 3A.Kéo dài AC cắt Dx E
Ta có AEx=EAy= 40° Tính CDE = 30°
Mà ACD=CDE+CED=ACD= 70°
3B.Tương tự 3A Tính MNP= 95° Ta có A+ + =B C 180° =>10C= 180° Từ tính C=18°;A =108°;B =54° b) Sử dụng tính chất tỉ lệ thức ta được:
2
2 4
A= B =C = A+ +B C =
+ + °
Từ tính A=40 ;° B=60 ;° C= °80 4B.Tương tự 4A.
Đáp số B =36°; A= =C 72°
Đáp số A=90°;B =30°;C= °60
5A a) Ta có AEM góc ngồi tam giác ∆AEB Từ suy AEM > ABM
b) Ta có MEC >MBC
Kết hơp vói kết câu a, suy AEC> ABC 5B.Tưong tự 5A.
a) Đáp số ADC>ABC b) Đáp số BOC >BAC
6A.Sử dụng tính chất góc ngồi Ta được:
A ADB= +C DAC= +C
Tương tự
2 A ADC= +B
Suy ADC−ADB= −B C= 40° Mà DAC+ADB= 180° Từ tính 110 , 70
(151)6B Ta có
180
30 150
A B C
A C
B C
+ + = => − =
°
+ =
°
° 90 ; 90
2
B B
CEB= ° − EDC=ADB= ° −
Tương tự 6A Ta tính AEB=7 ,5° BEC=105° 7A. Ta có NEP góc ngồi tam giác ∆PEM Từ suy NEP > NMP
7B. Cách Do B tù nên ta có góc ngồi đỉnh B góc nhọn, suy góc A, C nhọn
Cách 2 Do A+ + =B C 180°mà B >90° => A C+ <180°−90°nên góc A C
là góc nhọn
8A a) Sử dụng tính chất góc ngồi Ta được:
.
2
M M
MKN = +P MKP= +N MKP−MKN = −N P b) Ta có
2 NMx MEP=MEx−MPE= −P
Mà NMx= +N P Từ suy N P MEP= −
8B Ta có: 90 ; 90
2
B B
CEB= ° − EDC= ADB= ° − Suy EDC=DEC
9.a) Đáp số x = 65°; y = 30°; z = 95° b) Đáp số x = 95°, y = 50° 10 Ta có A+2B=( A+ +B C) (+ B C − )
Từ tính C − = °B 80
11. Ta có: 20
1 5
A= B =C = A+ +B C =
+ + °
Tính A=20°;B =60°;C =100°
Tính BDA=40°
12. Ta có CAx =2C Từ suy
CAm=C
Do Am//BC
13. a) Ta có BAx=3C =6CAD b) Tính
50
32 100
2
;
(152)14. Cách Do ABC=HAC(cùng phụ với BAH) Xét ∆AIB có
2
B HAC ABI+BAI = +BAI+
ABC+BAH= 90° (vì ∆BAH vuông H) => ĐPCM
Cách Do B+HAC Gọi D giao điểm AI BC Xét ∆ACD có
2
HAC B
ADB C+ +DAC= +C = +C Suy ∆BID có
2 B
BIA= +ADB= +B C= 90°( đpcm)
15 Kéo dài AE cắt BC K Ta có: BEK =BAE+EBA;
CEK =CAE+ECA Ta có BEC=BEK+KEC
ABE+ACE+BAC (đpcm)
(153)
CHỦ ĐỀ HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng góc tương ứng
= ∆ABC = ∆A'B'C'
' '; ' '; '
; ;
' A B A
A A B
C A C BC B C
B B
A C
C
= =
= = =
=
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Từ hai tam giác nhau, xác định cạnh nhau, góc bằng Tinh độ dài đoạn thẳng số đo góc
Phương pháp giải:Dựa vào quy ước viết đỉnh tương ứng hai tam giác theo thứ tự, ta viết góc nhau, cạnh
1A. Cho ∆ABC = ∆MNP, A=60 ,O P =35O
a) Tìm cạnh tương ứng b) Tính góc lại hai tam giác 1B Cho ∆ABC = ∆DEF, 20 ,O 75O
B= F=
a) Tìm cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng b) Tính góc cịn lại hai tam giác
2A. Cho ∆ABC = ∆MNP, AB = cm, BC = cm, MP = 10 cm Tính chu vi tam giác
2B Cho ∆ABC = ∆DEF, AB = cm, BC = cm, DF = cm a) Tính cạnh lại tam giác
b) Tính chu vi tam giác
Dạng Viết kí hiệu hai tam giác
Phương pháp giải: Viết ba đỉnh tam giác thứ nhất, đến đỉnh tương ứng tam gác thứ hai
3A. Cho hai tam giác nhau: tam giác ABC (không có hai cạnh góc nhau) tam giác có ba đỉnh, M, N, P Viết kí hiệu hai tam giác đó, biết rằng:
(154)3B. Cho hai tam giác nhau: tam giác DEF (khơng có hai cạnh hai góc nhau) tam giác có ba đỉnh G, H, K Viết kí hiệu hai tam giác đó, biết rằng:
a) EF = GH, ED = GK b) F =G D, =H II BÀI TẬP VỂ NHÀ
4 Cho ∆ABC = ∆MNP, A= °80 ,P =45° Tính góc cịn lại hai tam giác
5 Cho ∆PQR = ∆DEF, PQ = 12cm, QR = 13cm, DF = 15cm a) Tính cạnh lại tam giác
b) Tính chu vi tam giác
6 Cho hai tam giác nhau: tam giác ABC (không có hai góc hai cạnh nhau) tam giác có ba đỉnh I, J, K Viết kí hiệu hai tam giác đó, biết rằng:
a) AB=JI C, =K b) AB = IK, AC = IJ c) A=K B, =J
HƯỚNG DẪN 1A a) AB = MN, AC = MP, BC = NP b) A =M =60°;C = =P 35°;B =N =85°
1B. Tương tự 1A
2A. AB = MN = 6cm ; BC = NP = 8cm; AC = MP = 10cm
ABC MNP
C∆ =C∆ = + + 10 = 24cm 2B.Tương tự 2A.
3A. ∆ABC = ∆MNP 3B a) ∆DEF = ∆KGH b)∆DEF = ∆HKG
4. A =M =80°;P = =C 45°;B =N =55°
5 Tương tự 2A HS tự giải
6 a)∆ABC = ∆JIK; b)∆ABC = ∆IKJ; c)∆ABC = ∆AKJI
(155)
CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC CẠNH - CẠNH - CẠNH (C.C.C)
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác
Xét ∆ABC ∆A'B'C có:
' '
' ' ' ' '( )
' ' AB A B
BC B C ABC A B C c c c
AC A C
=
= => ∆ = ∆
=
II - BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Tìm chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh
Phương pháp giải:
Xét hai tam giác
Kiểm tra ba điều kiện nhau: cạnh - cạnh - cạnh Kết luận hai tam giác
1A.Trong tam giác có tam giác nhau? Vì
1B Cho hình vẽ với ABCD hình vng, tìm hình
(156)Dạng Sử dụng trường hợp cạnh cạnh cạnh để chứng minh hai góc
Phương pháp giải:
- Chọn hai tam giác có hai góc, hai góc cần chứng minh - Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh - Suy hai góc tương ứng
2A.Cho hình vẽ bên Chứng minh: a) ∆ABC = ∆ABD
b) AB phân giác DAC
2B.Cho hình vẽ bên Chứng minh: a) ∆ABC = ∆ABD
b) ACB= ADB
c) AB phân giác DAC
3A. ∆Cho ABC có AB = AC Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh: a) AM phân giác BAC b) AM ⊥ BC
3B Cho ∆ABC có AB = AC, H trung điểm cạnh BC Chứng minh: a) B =C b) AH phân giác BAC
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
4. Cho ∆MNP cố MN = MP, I trung điểm cạnh NP Chứng minh: a) N =P b) MI phân giác NMP
c) MI trung trực NP
5 Cho ∆ABC, M trung điểm BC, N điểm tam giác cho NB = NC Chứng minh:
a) ∆NMB = ∆ NMC b) MBN =MCN
c) ∆ABC cần thêm điều kiện để ∆ABN = ∆ACN
6 Cho tứ giác ABCD thỏa mãn AB = CD, AD = BC Chứng minh rằng: a) ∆ABC = ∆CDA, b) AB // CD AD // BC
7 Cho tam giác ABC có AB = AC Lấy hai điểm D, E thuộc cạnh BC cho BD = DE = EC Biết AD = AE
a) Chứng minh EAB =DAC
(157)HƯỚNG DẪN
1A ∆ABC = ∆ADC (c c c); ∆EFH = ∆GHF (c c c) ∆IJL = ∆KLJ (c c c); ∆IJK = ∆KLI (c c c)
1B. ∆MQR = ∆NRS = ∆OST = ∆PTQ (c.c.c) 2A a) ∆ABC = ∆ABD (c.c.c)
b) Từ câu a) suy CAB =DAB, từ ta có ĐPCM 2B.Tương tự 2A
3A a) ∆ABM = ∆ABD (c.c.c) Suy BAM =CAM Suy đpcm
b) Suy AMB=AMC( Góc tương ứng) Mà AMB+AMC= 180°
=> AMB= AMC= 90° Suy AM ⊥BC 3B.Tương tự 3A HS tự làm
4 Tương tự 3A HS tự làm 5. a) ∆NMB = ∆NMC (c.c.c) b) Suy MBN =MCN(c.g.t.ư) c) Điều kiện AB = AC
6 a) ∆ABC = ∆CDA (c.c.c) b) => BAC=DCA=>AB||CD
DAC=BCA=> AD || BC
7. a) ∆ABE = ∆ACD (c.c.c) => EAB =DAC
b) ∆ADM = ∆AEM (c.c.c)
=> DAM =EAM=> AM phân giác DAE
c) Từ câu a => ADE=AED= (180° - 60°): = 60°
(158)(159)CHỦ ĐỀ TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC CẠNH - GÓC - CẠNH (C.G.C) I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Trường hợp nhau: cạnh - góc - cạnh
Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác
Xét ∆ABC va ∆A'B'C' có:
' '
' ' ' '( )
' ' B A B
B B ABC A B C C G C
BC B C
=
= => ∆ = ∆
=
2 Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng
II - BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Vẽ tam giác biết độ dài hai cạnh góc xen
Phương pháp giải: Vẽ góc, xác định vị trí hai đỉnh cịn lại tam giác 1A.Vẽ tam giác ABC biết A = 90°, AB = AC = cm Sau đo góc B C
1B.Vẽ tam giác MNP biết M = 60°, MN = cm, MP = cm
Dạng Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh
Phương pháp giải:
Xét hai tam giác
Kiểm tra ba điều kiện cạnh - góc - cạnh Kết luận hai tam giác
2A Cho hai tam giác ABC, DEF có A = 50°, E = 70°, F = 60° AB = DE, AC = DE Chứng minh: ∆ABC = ∆DEE
2B. Cho tam giác MNP, từ điểm P kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng lấy điểm K cho PK = MN (K M phía so với NP) Chứng minh ∆MNP = ∆PKM
Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng (hoặc hai góc)
Phương pháp giải:
Chọn hai tam giác có cạnh (góc) hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh
bằng
(160)3A Cho xOy có Om tia phân giác, C∈ Om (C≠O) Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Chứng minh:
a) ∆OAC = ∆OBC b) OAC =OBC CA = CB
3A Cho ∆ABC có AB < AC Phân giác góc A cắt cạnh BC điểm D Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh
a) ∆ABD = ∆AED
b) DA tia phân giác góc BDE Từ suy ABC> ACB III BÀI TẬP VỀ NHÀ
4 Vẽ tam giác ABC biết B= 60°, AB = BC = cm
5 Cho tam giác ABC, kẻ AH vng góc với BC,(H ∈ BC) Trên tia đối tia HA lấy điểm K cho HK = HA, nối KB, KC Tìm cặp tam giác
6 Cho góc xAy, lấy điểm B tia Ax, điểm D tia Ay cho AB = AD Trên tia Bx lấy điểm E, tia Dy lấy điểm C cho BE = DC Chứng minh
∆ABC = ∆ADE
7 Cho đoạn thẳng AB có M trung điểm Qua M kẻ đường thẳng d vng góc với AB Lấy C∈d ( C≠M ) Chứng minh CM tia phân giác góc ACB
8 Cho ∆ABC có AB = AC, phân giác AM (M ∈ BC) Chứng minh:
a)∆ABM = ∆ACM
b) M trung điểm BC AM ⊥ BC
9 Cho ∆ABC, nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, lấy điểm D cho AD / /BC AD = BC Chứng minh:
a) ∆ABC = ∆CDA b) AB //CD ∆ABD = ∆CDB
10. Cho ∆ABC có A = 90°, cạnh BC lây điểm E cho BA= BE Tia phân giác góc B cắt AC D
a) Chứng minh: ∆A BD = ∆EBD b) Chứng minh: DA = DE
c) Tính số đo BED
d) Xác định độ lớn góc B để EDB =EDC
11 Cho ∆ABD, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh:
a) ∆ABM = ∆ECM b) AB = CE AC / /BE HƯỚNG DẪN
1A.HS tự giải 1B.HS tự giải
2A Tính đượcD= °50 => ∆ABC = ∆DEF (c.g.c)
2B Có NMP =MPK(so le trong) MN = PK; cạnh Mp chung = >∆MNP = ∆PKM (c.g.c)
3A a) ∆OAC = ∆OBC (c.g.c) b) Từ câu a)
(161)3B. a)∆ABD = ∆AED (c.g.c) b) => BDA=EDA (c.g.t.ư) => ĐPCM
Và ADB= AED Mà ∆DEC có
AED>ACB => ĐPCM
4 Tương tự 1A.1B.HS tự giải 5. ∆ABH = ∆AKH(c.g.c)
∆BCH = ∆KCH(c.g.c) ∆ABC = ∆AKC(c.c.c) 6 ∆ABC = ∆ADE (c.g.c) 7. ∆MAC = ∆MBC ( c.g.c) => ACM >BCM => đpcm 8. a) ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)
b) Theo câu a) => BM = CM (c.c.t.ư) CMA >AMB = 90° => đpcm
9 ∆ABC = ∆CDA (c.g c) Từ câu a) => AB = CD
BAC=DCA=>ĐPCM
10 a) ∆ABD = ∆EBD (c.g.c)
b) => DA = DE (Cặp cạnh tương ứng) c) A=E = 90° (Cặp góc tương ứng) d) Do câu c) có EDB=EDC suy
2.
2 ABC
EBD=ECD= => =B C
Mà B C+ = °90 nên B= 60°
11 ∆ABM = ∆ECM (c.g.c)
b) AB = CE (Cặp cạnh tương ứng) Tương tự a) có ∆AMC = ∆EMB => ACM =EBM=> BE / /AC (đpcm)
(162)(163)
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác
Xét ∆ABC ∆A'B'C' có:
'
' ' ' ' '( )
'
B B
BC B C ABC A B C C G C
C C
=
= => ∆ = ∆
=
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Vẽ tam giác biết mội cạnh hai góc kề
Phương pháp giải: Vẽ cạnh tam giác, vẽ hai tia để xác định vị trí đỉnh cịn lại
1A.Vẽ tam giác ABC biết BC cm, A= °30 ,B= °60
1B.Vẽ tam giác MNP biết MN = cm, M =90 ,° N =30°
Dạng Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh 2A.Trong hình sau có tam giác nhau? Vì sao?
2B.Có tam giác hình bên? Vì sao?
Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng
(164)- Chọn hai tam giác có hai đoạn thẳng cần chứng minh - Chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh - góc - Suy cặp cạnh tương ứng
3A. Cho tam giác ABC có B =C Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh:
a) ∆ADB = ∆ADC b) AB = AC 3B. Cho tam giác có B =C Chứng minh AB =AC
3C. Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AB Qua M kẻ đường thẳng a song song với BC, đường thẳng a cắt tia CA N Chứng mình:
a) ∆ABC = ∆AMN b) A trung điểm NC
Dạng Sử dụng nhiều trường hợp tam giác
Phương pháp giải:
Sử dụng trường hợp cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc để chứng minh đoạn, thẳng (góc)
4A Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot tia phân giác Lấy điểm C thuộc Ot (C≠O) Qua C kẻ đường vng góc với Ot, cắt Ox, Oy theo thứ tự A, B
a) Chứng minh: OA = OB
b) Lấy điểm D thuộc Ct Chứng minh: DA = DB OAD =OBD
4B. Cho tam giác ABC AB ≠AC, tia Ax qua trung điểm M BC Kẻ BE CF vng góc với Ax (E,F ∈ Ax)
a) Chứng minh: BE || CP
b) So sánh BE FC; CE BF
c) Tìm điều kiện ∆ABC để có BE = CE III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5 Vẽ tam giác ABC biết BC = 3cm, A = 35°, B = 65°
6 Cho góc xOy khác góc bẹt, Oz tia phân giác góc xOy Đường thẳng đ vng góc với Oz A (A khác O) cắt tia Ox, Oy B, C Chứng minh
∆OAB = ∆OAC Từ suy A cách tia Ox Oy
7 Cho tam giác ABC Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AB D Gợi M giao điểm BD AC
a) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA
b) Chứng minh M trung điểm AC
c) Đường thẳng d qua M cắt đoạn thẳng AD,BC I, K Chứng minh M trung điểm IK
8.Cho góc xOy khác góc bẹt, Oz tia phân, giác Trên tia Ox, Oy lấy điểm A, B cho OA = OB C điểm tia Oz Gọi D giao điểm AC Oy, E giao điểm BC Ox Chứng minh:
a) AC = BC b) ∆BCD = ∆ACE
(165)a) ∆BDF = ∆EDC b) BF = EC, c) AD ⊥FC
10 Cho ∆ABC vuông A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC
a) Chứng minh ∆ABC = ∆ABD
b) Trên tia đối tia AB lấy điểm M Chứng minh ∆MBD = ∆MBC
HƯỚNG DẪN 1A Học sinh tự vẽ hình
1B. Học sinh tự vẽ hình 2A a) ∆ABD = ∆ACD (g.c.g) b) Suy FGE =HGE Vậy EFG=EHG (c.g.c) 2B. ∆MPN = ∆MQO (c.g.c)
∆PMO = ∆QMN (c.g.c)
3A.a) Suy ADB= ADC = 90° Vậy ∆ADB = ∆ADC (g.c.g)
b) AB = AC (c.c.t.ư) 3B.Kẻ phân giác góc A Tương tự 3A.
3C. a) ∆ABC = ∆AMN (g.c.g) b) Từ câu a) AN = AC (c.c.t.ư) =>A trung điểm NC
4A a) ∆OAC = ∆OBC (g.c.g) => OA = OB ( c.c.t.ư))
b) ∆MOD = ∆BOD (c.g.c) => DA = DB ( c.c.t.ư)
ODA=OBD (c.g.t.ư)
4B a) BE Ax BE CF||
CF Ax
⊥
⊥ ( Từ ⊥->||)
b) ∆BEM = ∆CFM (g.c.g) =>BE = CF (c.c.t.ư)
Chứng minh ∆CME = ∆BMF CE = BF
c) Nếu BE = CE ∆BEM =∆CEM
suy AM⊥BC Khi ta có ∆ABM =∆ACM AB = AC Lúc E F trùng vị trí điểm M
(166)6 Tương tự 4A.học sinh tự CM 7 ∆ABC = ∆CDA (g.c.g)
b) ∆ADM = ∆CBM (g.c.g) => AM = CM (c.c.t.ư) c) ∆DIM = ∆BKM (g.c.g) => IM = MK => đpcm 8 a) ∆OAC = ∆OBC (c.g.c) => AC = BC (c.c.t.ư)
b) ∆AEC = ∆BDC (g.c.g)
9 ∆ABD = ∆AED (c.g.c) => BD = ED ∆AFD = ∆ACD (c.g.c) => ED = CD Mà AF = AC;AB = AE
=>AF - AB = AC - AE hay BF = CE Vậy ∆BDF = ∆EDC (c.c.c)
b) Đã có BF = EC
c) Gọi H giao điểm AD FC Ta có ∆AFH = ∆ACH (c.g.c) nên
AHF =AHC= 90° => ĐPCM 10 ∆ABC = ∆ABD (c.g.c) b) ∆MBD = ∆MBC (c.g.c)
CHỦ ĐỀ TAM GIÁC CÂN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
(167)Tam giác cân tam giác có hai cạnh ∆ABC cân A:
- AB = AC
- AB,AC cạnh bên; BC cạnh đáy, - B, C góc đáy; A góc đỉnh
Một tam giác tam giác cân nếu:
- Tam giác có hai cạnh - Tam giác có hai góc nhau, 2 Tam giác
Tam giác tam giác có ba cạnh nhau, Trong tam giác đều, góc 60°
Một tam giác tam giác nếu:
- Tam giác có ba cạnh nhau, - Tam giác có ba góc nhau,
- Tam giác cân có góc 60° II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác
Phương pháp giải: Dựa dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác 1A.Cho tam giác ABC có A=80 ,° B=50° Chứng minh tam giác ABC cân 1B. Cho tam giác ABC Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB E Chứng minh tam giác EBD cân
2A. Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D, tia phân giác góc C cắt cạnh AB E Chứng minh tam giác ADE cân
2B. Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE, Chứng minh tam giác ADE cân
3A Cho xOy = 120°, điểm A thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ AB ⊥ Ox (B ∈ Ox) AC⊥ Oy/ (C ∈Oy) Tam giác ABC tam giác gì? Tại sao?
3B. Cho xOy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác góc xOy Kẻ AB⊥ 0x (B ∈ Ox) AC ⊥ Oy (C ∈Oy) Tam giác OBC tam giác gì? Tại sao?
Dạng Vận dụng tính chất tam giác câm, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc
Phương pháp giải:Dựa vào tính chất góc tam giác cân, tam giác 4A. Cho tam giác ABC cân A Tính số đo góc lại tam giác ABC biết:
a) A = 40°; b) B= 50°; c) C = 60°
4B Cho tam giác ABC cân B Gọi Bx tia phân giác góc ngồi đỉnh B Chứng minh Bx //AC
5A.Cho tam giác ABD cân A có A = 40° Trên tia đối tia DB lấy điểm C cho DC = DA Tính số đo góc ACB
(168)6A. Cho tam giác ABC có B= 50°, C= 30° Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho BD = BA,CE = CA Tính số đo góc DAE
6B. Cho tam giác ABC có A =100° Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho BD = BA,CE = CA Tính số đo góc DAE
Dạng Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác để chứng minh đoạn thẳng
Phương pháp giải: Dựa vào tính chất cạnh tam giác cân, tam giác
7A.Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB,AC lấy điểm D, E cho AD = AE Chứng minh BE = CD
7B. Cho tam giác MON cân O Gọi C,D theo thứ tự trung điểm OM,ON Chứng minh CN = DM
8A.Cho tam giác ABC cân A có A= 36° Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Chứng minh DA = DB = BC
8B. Cho tam giác ABC có A = 60°, B= 40° Tia phân giác góc C cắt cạnh AB K Chứng minh KB = KC
Dạng Một số tập tổng hợp
9A Cho tam giác ABC cân A ( A< 90°) Kẻ BD vng góc với AC D, kẻ CE vng góc vói AB E
a) Chứng minh tam giác ADE cân b) Chứng minh DE// BC
c) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh IB = IC d) Chứng minh AI ⊥ BC
9B. Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE, Gọi I giao điểm BE CD
a) Chứng minh IB = IC, ID = IE b) Chứng minh DE // BC
c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, M, I thẳng hàng III BÀI TẬP VỀ NHÀ
10 Cho tam giác ABC cân Ạ Trên cạnh AC,AB lấy M, N cho AM = AN
a) Chứng minh ABM = ACN
b) Gọi O giao điểm BM CN Chứng minh tam giác OBC cân
11 Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA cho AD = BE = CF Chứng minh:
a) ∆ADF = ∆BED b) ∆DEF
12 Cho tam giác ABC Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BC Chứng minh BD//EC
13.Cho tam giác MAB cân M Trên tia đối tia MB lây điểm C cho MC = MB Tính số đo góc BAC
(169)15. Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi Ax tia phân giác góc A Qua trung điểm M BC kẻ đường thẳng vng góc với Ax, cắt đường thẳng AB, AC D E
a) Chứng minh tam giác ADE cân
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DE F Chứng minh BD = BF c) Chứng minh BD = CE
16 Cho tam giác ABC vuông A, B= 30° Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC
a) Tam giác BCD tam giác gì? Tại sao? b) Chứng minh BC = AC
HƯỚNG DẪN
1A. Tính C = 50°, tam giác ABC cân A
1B. Chứng minh EBD=DBC=EDB, từ tam giác EBD cân E 2A. Chứng minh ∆ADB = ∆AEC (g-c-g) => AD = AE, từ tam giác ADE cân A
2B.Chứng minh
∆ABD = ∆ACE (c-g-c) => AD = AE, từ tam giác ADE cân A
3A.Chứng minh
∆OAB = ∆OAC (c.g.c), suy AB = AC OAB =OAC
Tính BAC = 60° nên tam giác ABC
3B.Chứng minh
∆OAB = ∆OAC (g.c.g) suy AB = AC=> ĐPCM
4A a) B =C= 70° b) C =50 ;° A=80°
c) A=B = 60°
4B.Chứng minh
xBC=ACB => ĐPCM
5A.Tính ADB = 70°, ý ∆ADC cân D nên
2 35
ADB ACB=DAC= = °
5B.Làm tương tự 5A, ta có AMB = 25° BAM= 75° 6A Chú ý tam giác BAD cân B,
tam giác CAE cân C, tính
60 ;
(170)6B Chứng minh
18 ,
2
0 B C
ADB= ° − AEC= ° −
Suy 180
2
B C A DAE= + = ° − = °
7A Chứng minh ∆ADC = ∆AEB (c-g-c) => BE = CD 7B.Tượng tự 7A
8A Tính DBA=36°,BDC =BCD=72° Từ tam giác DAB cân D, tam giác BDC cân B => ĐPCM
8B Chứng minh KCB =KBC = 40° => ĐPCM 9A.Chứng minh ∆ABD = ∆ACE (c.g.c ) => ĐPCM b) Chứng minh
180
2 BAC
ADE= ACB= ° − => DE // BC c) Chứng minh IBC=ICB => ĐPCM d) Gọi M giao điểm AI BC,
chứng minh AI tia phân giác góc BAC, từ AMB = 90° => ĐPCM
9B.a) Chứng minh ∆ADE cân, từ ∆BDE = ∆CED (c-g-c)
=> IBC =ICB=> IB = IC b) Chú ý ABC= ADE
c) Chứng minh AI, AM phân giác BAC => ĐPCM
10 a) Chứng minh ∆AMB = ∆ANC (c-g-c) => ABM =ACN
b) Dùng kết câu a, với ý
ABC= ACB suy OBC =OCB => ĐPCM 11 a) Chứng minh AF = BD, với ý A=B = 60°
∆ADF = ∆BED (c-g-c)
(171)chứng minh tương tự có FD = FE => ĐPCM
12 Chú ý ∆BEC cân B, từ chứng minh
2 ABC
ABD= AEC= => ĐPCM
13 Chú ý tam giác MAB, MAC cân, ta có
MCA MBA+ =MAC+MAB=BAC=>BAC = 90° 14 Chú ý
90
NMI = ° −IMP,
90
NIM = ° −IMK
IMK =IMP=>NMI =NIM
=> ĐPCM
15 a) Chứng minh
ADE= AED nên tam giác ADE cân A
b) Dùng kết câu a, chứng minh được BDF =BFD=> BD = BF
c) Dùng kết câu b, với ý ∆BMF = ∆CME (g-c-g)
=> CE = BF = BD
16 a) Chứng minh ∆ABC = ∆A.BD (c-g-c), từ suy tam giác BCD đều,
b) Dùng kết câu a, ta có BC = CD = 2AC
(172)
CHỦ ĐỀ ĐỊNH LÍ PY-TA-GO I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định lý Py-ta-go
Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng
∆ABC vng A => BC2
(173)2 Định lý py-ta-go đảo
Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng
∆ABC có BC2 = AB2 + AC2 => BAC = 90° II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Tính độ dài cạnh tam giác vuông
Phương pháp giải:Sử dụng định lý Py-ta-go 1A.Tính độ dài x hình vẽ sau:
1B.Tính độ dài x hình vẽ sau:
2A.Một tam giác vng có độ dài cạnh góc vuông tỉ lệ với 12, chu vi 30 cm Tính độ dài cạnh huyền
2B. Một tam giác vng có cạnh huyền 20 cm, độ dài cạnh góc vng tỉ lệ với Tính độ dài cạnh góc vng
3A. Cho tam giác ABC nhọn Kẻ AH vng góc với BC H Biết AB =13cm,AH = 12cm, HC = 16cm Tính độ dài cạnh AC, BC
3B. Cho tam giác ABC nhọn Kẻ AH vng góc với BC H Biết AC = 20 cm, AH = 12 cm., BH = cm Tính chu vi tam giác ABC
Dạng Sử dụng định lý Py-ta-go đảo để nhận biết tam giác vuông
Phương pháp giải:
- Tính bình phương độ dài ba cạnh tam giác
- So sánh, bình phương cạnh lớn với tổng bình phương hai cạnh cịn lại
(174)4A. Tam giác tam giác vng tam giác có độ dài ba cạnh sau:
a) 9cm, 15cm, 12cm; b) 5dm, 13dm, 12dm; c) 7m, 7m, 10m
4B. Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Chứng minh
BAC= 90°
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng biết cạnh huyền 26 cm, cạnh góc vng 24 cm
6 Tính độ đài đường chéo mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài dm, chiều rộng dm
7 Một tam giác vng có độ dài cạnh góc vng tỉ lệ với 4, chu vi 24 cm Tính độ dài cạnh tam giác vng
8 Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng cân có độ dài cạnh huyền bằng:
a) cm; b) 2cm
9 Cho tam giác ABC có BAC > 90° Kẻ AH vng góc với BC H Biết AB = 15 cm; AC = 41 cm, BH = 12 cm Tính độ dài cạnh HC
10 Cho tam giác ABC nhọn, cân A Kẻ BH vng góc với AC H Tính độ dài cạnh BC biết
a) HA = cm, HC = cm b) AB = cm, HA = cm
11 Cho tam giác ABC cân A có AB =10cm, BC = 12cm Gọi M trung điểm BC Tính độ dài AM
12 Tam giác tam giác vng tam giác có độ dài ba cạnh sau:
a) 6cm, 10cm, 8cm; b) 10dm, 24dm, 26dm; c) 3m, 3m, 5m
HƯỚNG DẪN 1A. Sử dụng định lý Py-ta-go
Hình 1: x2 = 52 +122 => x = 13
Hình 2: x2 + 32 = 52 => x =
1B Làm tương tự 1A
(175)2A. Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác 5k 12k với k> Dùng định lý Py-ta-go tính độ dài cạnh huyền 13k,
5k +12k + 13k = 30 => k = Từ độ dài cạnh huyền 13 cm
2B. Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác 3k 4k với k>0 Dùng định lý Py-ta-go tính độ dài cạnh huyền 5k, 5k = 20
=> k =
Từ độ dài cạnh góc vng 12 cm 16 cm 3A.Dùng định lý Py-ta-go, ta có
AC2 = AH2 + HC2 => AC = 20 cm AB2 = AH2 + BH+2 => BH = cm Từ BC = HB + HC = 21 cm 3B.Làm tương tự 3A, ta có AB = 13 cm, BC = 21 cm
Từ đó, chu vi tam giác ABC 54 cm 4A. a) 152 = 92 +122 nên tam giác vuông b) 132 = 52 +122 nên tam giác vuông c) l02 ≠ 72 +72 nên tam giác không vuông
4B.Kiểm tra BC2 = AB2 + AC2 => BAC= 90°
5.Gọi độ dài cạnh góc vng cần tính x, ta có x2 + 242 = 262 => x =10 cm 6 Độ dài đường chéo cần tính 2
6 +8 = 10 cm
7 Làm tượng tự 2A, tìm độ dài cạnh tam giác là: cm, cm, 10 cm
8 Gọi độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông cân x, dùng định lý Py-ta-go ta có
a) x2 + x2 = 22 => x = cm b) x2 + x2 = ( 2)2 => x =l cm
9 Dùng định lý Py-ta-go, ta có AB2 = AH2 + BH2 => AH = cm AC2 = AH2 + HC2 => HC = 40 cm 10 AB = AC = HB + HC = cm
Dùng định lý Py-ta-go ta có BC2 = BH2 + HC2
= AB2 - AH2 + HC2 Từ BC = cm
(176)∆AMB = ∆AMC (c-c-c) => AMB = 90° Từ tính AM = cm
12 102 = 62 + 82 nên tam giác vuông b) 262 = l02 + 242 nên tam giác vuông c) 52 ≠32 + 32 nên tam giác không vuông
CHỦ ĐỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VNG
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Ngoài trường hợp biết hai tam giác vng, cịn có
(177) Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh
huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Chứng minh hai tam giác vuông
Phương pháp giải:
- Xét hai tam giác vuông
- Kiểm tra điều kiện hai tam giác vng (ưu tiên nhìn cạnh trước)
- Kết luận hai tam giác
1A.Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx,Cy cho Bx ⊥BA Cy ⊥ CA Gọi D giao điểm tia Bx Cy Chứng ∆ABD = ∆A CD
1B Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc với BC (H∈BC) Chứng minh ∆AHB = ∆AHC
2A Cho góc xOy Tia Oz tia phân giác góc xOy Lấy điếm A thuộc tia Oz (A ≠O) Kẻ AB vng góc với Ox, AC vng góc với Oy (B∈ Ox, C∈ Oy) Chứng minh ∆OAB = ∆OAC
2B Cho tam giác ABC Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC điểm D Kẻ DM vng góc với AB, DN vng góc với AC (M∈AB, N∈AC) Chứng minh
∆ADM = ∆ADN
Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc
Phương pháp giải:
- Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh
- Tìm thêm hai điều kiện nhau, có điều kiện cạnh, để kết luận hai tam giác
- Suy hai cạnh (góc) tương ứng
3A Cho góc xOy, Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Qua A kẻ đường thẳng vng góc với Ox, qua B kẻ đường thẳng vng góc vói Oy, chúng cắt M Chứng minh:
a) MA = MB b) OM tia phân giác góc xOy
3B Cho tam giác ABC cân A Kẻ AH vng góc vói BC (H∈BC) Chứng minh:
a) HB = HC; b) BAH =CAH
4A. Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ ID ⊥ AB (D∈AB) kẻ IE⊥AC (E ∈AC) kẻ IF ⊥ BC (F∈ BC) Chứng minh:
a) ID = IF IE = IF; b) AI tia phân giác góc A
4B. Cho tam giác ABC cân A (A < 90°) Kẻ BH vng góc với AC, CK vng góc với AB (H ∈ AC, K ∈ AB)
a) Chứng minh AH = AK
b) Gọi I giao điểm BH CK Chúng minh AI tia phân giác góc A
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
(178)b) Kẻ HM⊥ DE (M∈DE) HN⊥DF (N∈DF) Chứng minh HM = HN c) Chứng minh ∆HME = ∆HNF
6. Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lây điểm M,N (M nằm B N) cho BM = CN Kẻ MH ⊥AB (H ∈AB) NK⊥AC (K
∈AC) Chứng minh:
a) ∆MHB = ∆NKC; b) AH = AK; c) ∆AMN cân A
7 Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm M Kẻ MD⊥BC (D ∈BC)
a) Chứng minh BA = BD
b) Gọi E giao điểm hai đường thẳng DM BA Chứng minh ∆ABC =
∆DBE
c) Kẻ DH ⊥MC (H ∈MC) AK ⊥ME (K ∈ ME) Gọi N giao điểm hai tia DH AK Chứng minh MN tia phân giác góc HMK
d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng
8. Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm M, tia đối tia tia CB lấy điểm N cho BM = CN
a) Chứng minh tam giác AMN cân
b) Kẻ BE⊥AM (E∈AM), CF⊥AN (F∈AN) Chứng minh∆BME = ∆CNF c) EB FC kéo dài cắt O Chứng minh AO tia phân giác góc MAN
d) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vng góc với AN, chúng cắt H Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng
HƯỚNG DẪN 1A.Do tam giác ABC cân A nên AB = AC, từ ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
1B.Làm tương tự 1A, chứng minh ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng)
2A Do Oz tia phân giác xOy nên
AOB=AOC, từ ∆OAB = ∆OAC (cạnh huyền - góc nhọn)
2B Làm tương tự 2A, chứng minh ∆ADM = ∆ADN (cạnh huyền - góc nhọn) 3A.Chứng minh ∆OAM = ∆OMB
(cạnh huyền - cạnh góc vng) từ => ĐPCM
3B.Chứng minh ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng)
(179)4A a) Chứng minh ∆BID = ∆BIF ∆CIE =∆CIF (cạnh huyền - cạnh góc nhọn), từ ID = IF = IE
b) Từ kết câu a) chứng minh ∆AID =∆AIE (cạnh huyền - cạnh góc vng) => ĐPCM
4B a) Chú ý AB = AC, từ chứng minh ∆AHB =∆AKC (cạnh huyền - góc
nhọn) => AH = AK
b) Từ kết câu a) chứng minh ∆AIK = ∆AIH (cạnh huyền - cạnh góc
vng) => ĐPCM
5 Ta có ∆DHE = ∆DHF (cạnh huyền - cạnh góc vng)
b) Từ kết câu a) HDE=HDF(góc tương ứng)
c) Từ kết câu b) chứng minh ∆DHM = ∆DHN (cạnh huyền - góc
nhọn), từ HM = HN
6 a) Chú ý HBM =KCN , ta có
∆MHB - ∆NKC (cạnh huyền - góc nhọn) b) Từ kết câu a) ta có BH = CK, mà AB = AC suy AH = AK
c) Chú ý MH = NK => ∆AHM = ∆AKN (c-g-c) suy AM = AN (ĐPCM)
7 Ta có ∆BMA = ∆BMD (cạnh huyền - góc nhọn), từ BA = BD b) Từ kết câu a) chứng minh
∆ABC = ∆DBE (g-c-g)
c) Chú ý MA = MD, từ ∆MAK = ∆MDH (cạnh huyền - góc nhọn) => MK = MH Do ∆MKN =∆MH N (cạnh huyền - cạnh góc vng)
(180)d) Chứng minh
2
AMD KMH
AMB= = =HMN
Do AMB+AMN =HMN+AMN= 180° => ĐPCM
8 Chứng minh
∆ABM = ∆ACN (c-g-c) => ĐPCM b) Từ kết câu a) chứng minh
∆BME = ∆CNF (cạnh huyền - góc nhọn) c) Từ kết câu b) ta có
ME = NF, mà AM = AN (do ∆AMN) => AE = AF
Bởi ∆AEO = ∆AFO (c.h-c.g.v) => ĐPCM e) Chứng minh ∆AMH = ∆ANH
f) (cạnh huyền - cạnh góc vng), từ suy g) AH phân giác góc MAN
Mặt khác AO phân giác góc MAN nên AH AO trùng hay A, O, H thẳng hàng
ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ II I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xem lại Tóm tắt lý thuyếttừ Bài 1đến Bài 8 II BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1A.Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm cạnh BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA
a) Chứng minh AB = CD AB //CD b) Chứng minh BD// AC
(181)d) Trên đoạn thẳng AB,CD lấy điểm E, F cho AE = DF Chứng minh, ba điểm E, M, F thẳng hàng
1B.Cho tam giác ABC vng A có B= 55° Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Cx vng góc với AC Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB
b) Tính số đo ACB
c) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA AD//BC
c) Kẻ AH ⊥BC (H ∈BC) CK⊥ AD (K AD) Chứng minh BH = DK
d) Gọi I trung điểm AC Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng đường thẳng AC, HK, BD gặp I
2A. Cho ∆AMN cân A Trên cạnh đáy MN lấy hai điểm B C cho MB = NC
a) Chứng minh ∆ABC cân
b) Vẽ MH vuông góc với đường AB Vẽ NK vng góc với đường AC Chứng minh ∆MBH = ∆NCK
c) Các đường thẳng HM KN cắt O Tam giác OMN tam giác gì? Tại sao?
d) Khi BAC= 60° BM = CN = BC, tính số đo góc tam giác AMN xác định dạng tam giác OBC
e) Kẻ AD⊥ BC (D ∈BC), biết AB =10 cm, BC = 16 cm Tính độ dài AD 2B. Cho góc xOy 100°, tia Oz tia phân giác góc xOy Lấy điểm H thuộc tia Oz, đường thẳng vng góc với OH H cắt tia Ox, Oy A, B
a) Chứng minh HA = HB, OA = OB b) Tính số đo góc tam giác OAB
c) Trên tia Oz lấy điểm C cho HBC = 60° Chứng minh tam giác ABC d) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BO Chứng minh AB = OE
e) Cho AH = cm Tính độ dài HC II BÀI TẬP VỂ NHÀ
3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm M cho DM = DA
a) Chứng minh AC = BM AC // BM b) Chứng minh ∆ABM = ∆MCA
c) Kẻ AH ⊥BC, MK ⊥BC (H, K ∈ BC) Chứng minh BK = CH d) Chứng minh HM // AK
4 Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm AB, E trung điểm BC Trên tia đối tia DE lấy điểm K cho DK = DE
a) Chứng minh ∆BDE = ∆ADK AK // BC b) Chứng minh ∆AKE = ∆ECA
c) Cho A = 65°, C= 55° Tính số đo góc ∆DAK
d) Gọi I trung điểm AE Chứng minh I trung điểm CK
5 Cho tam giác ABC cân A Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC M a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC
b) Kẻ ME⊥AB (E∈AB),MF⊥AC (F∈AC) Chứng minh tam giác AEF cân c) Chứng minh AM⊥EF
(182)6 Cho tam giác ABC vuông A, ACB = 30° Tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC M Lấy điểm K cạnh BC cho BK = BA
a) Chứng minh ∆ABM = ∆KBM
b) Gọi E giao điểm đường thẳng AB KM Chứng minh tam giác MEC cân
c) Chứng minh tam giác BEC
d) Kẻ AH⊥EM (H∈EM) Các đường thẳng AH EC cắt N Chứng minh KN ⊥AC
7 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC cho AD = AE
a) Chứng minh BE = CD
b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh tam giác KBC cân c) Chứng minh AK tia phân giác góc A
d) Kéo dài AK cắt BC H Cho AB =5 cm, BC = cm Tính độ dài AH 8 Cho tam giác ABC có B = 60°, AB = cm, BC = cm Trên cạnh BC lấy điểm D cho BA = BD
a) Chứng minh tam giác ABD
b) Gợi H trung điểm BD Chứng minh AH⊥ BD c) Tính độ dài cạnh AC
d) So sánh BAC với 90°
HƯỚNG DẪN 1A. a) Chứng minh
∆MAB = ∆MDC (c-g-c) Từ kết ta có AB = CD
MAB=MDC=>AB//CD
b) Tương tự câu a) Chứng minh ∆BMD = ∆CMA
c) Dùng kết chứng minh ∆ABC = ∆DCB (c-g-c)
d) Chứng minh ∆AEM = ∆DFM (c-g-c), từ ta có
AME=DMF mà DMF +AMF=180° =>AME +AMF =180°
=> ĐPCM
1B. a) ACB= °35 b) chứng minh
∆ABC = ∆CDA ( c - g- c) => ACB=CAD, từ AD//BC
c) Từ kết câu b) chứng minh ∆AHB = ∆CKD (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM
(183)=> AIH =CIK= 180° => ĐPCM
Tương tự với ∆ABI ∆CDI suy B,I, D thẳng hàng => ĐPCM 2A. a) Ta có ∆ABM = ∆CAN (c-g-c) => ĐPCM
b) Dùng kết câu a) chứng minh, ∆BHM = ∆CKN (cạnh huyền - góc nhọn)
c) Từ kết câu b) ta có HBM =KCN, từ chứng minh
OBC=OCBnên tam giác OBC cân O d) Chú ý tam giác ABM, CAN
cân tam giác ABC đều, từ tính 30 ; 120
AMN = ANM = ° MAN = ° Cũng có OBC = 60° nên tam giác OBC tam giác
e) Chứng minh DB = DC = ,từ dùng định lý Py- ta-go tính AD = cm
2B.Chứng minh ∆OHA = ∆OHB (g-c-g) => ĐPCM
b) OAB =OBA=40 ;° AOB =100° c) Dùng kết câu a) chứng minh CA = CB, ý
HBC= 60° => ĐPCM
d) Tính OBE = 100°, từ ∆BOE = ∆OBA (c-g-c) =>AB = OE
e) Ta có AC = AB = 2AH = cm, dùng định lý Py- ta-go tính HC = 3cm
3 a) Chứng minh
∆ADC = ∆MDB (c.g.c) Từ kết ta có AC = BM DAC =DMB => AC //BM
b) ∆ABM = ∆MCA (c-g-c) c) Chứng minh
∆BKM = ∆CHA (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM
d) Chú ý ∆HDM = ∆KDA => ĐPCM 4 ∆BDE = ∆ADK (c-g-c)
Chú ý DAK =DBE => AK // BC b) Chú ý AK = EB = EC, từ
∆AKE = ∆ECA (c.g.c)
(184)Suy góc ∆DAK
d) Chứng minh ∆AIK =∆EIC ( c- g-c) => IK= IC
Cũng có AIK =EIC=> AIK+AIC=180°, từ ba điểm K,I,C thẳng hàng => ĐPCM
5. a) ∆AMB =∆AMC ( c- g-c)
b) Ta có ∆AME =∆AMF ( cạnh huyền góc nhọn) từ AE = AF => ĐPCM c) Ta có AE F ABC 180
2 BAC ° −
= =
từ EF//BC, mà AM ⊥BC => ĐPCM
d) Chú ý BIM=90°,EBM =FCM =IBM chứng minh ∆BEM = ∆BIM (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM 6 a) ∆ABM= ∆KBM (c-g-c) b) Từ kết câu a) ta có
90
MKB=MAB= °, MA = MK Bởi ∆MAE = ∆MKC (cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM c) Từ a) b) suy
BE = BA + AE = BK + KC= BC Lại có EBC= 60° = ∆ABEC d) Chứng minh AE = KC =
2 EC
ý AN // BC => ∆AEN => NE = AE =
2 AE
=> CN = CK, mà KCN = 60° => ∆CKN => CKN =CBE= 60° => KN // AE=> ĐPCM
7 a) Chứng
∆AEB = ∆ADC (c-g-c) => BE = CD b) Từ kết câu a) ta có
ABE= ACD, mà ABC= ACB nên
KBC=KCB => ĐPCM
c) Từ kết câu b) ta có KB = KC Từ ∆AKB = ∆AKC (c-c-c) => ĐPCM
d) Chứng minh AH ⊥ BC, HB = HC = 3cm, từ dùng định lý Py-ta-go tính AH = cm 8 a) Do B = 60°, BA = BD nên tam
giác ABD
b) Chứng minh ∆AHB = ∆AHD (c-c-c) => ĐPCM
(185)AH = 3cm Dùng định lý Py- ta-go
tính AC = 19 cm
d) Ta có AB2 + AC2 = 23, BC2 = 25, từ tam giác ABC khơng phải tam giác vng BAC góc tù (Trên BC lấy CP = 23 < => P nằm B C, PAC = 90° BAC > 90
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu 1. D Câu 2 B Câu 3 C Câu 4 C PHẦN II TỰ LUẬN
a) Vì ∆ABC cân A nên AB =AC ∆ABH = ∆ACH (c - c - c)
=>AHB AHC + =180°
=> AHB =AHC= °90
=> AH ⊥BC
b) Ta có HB = HC =
2 BC
= (cm)
Áp dụng định lí Pitago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2
Từ tính AH = 32 (cm)
c) Từ a) b) suy BH = CH; IH chung, BIH =CIH = 90° => ∆BIH = ∆CIH => IB = IC => ∆BIC cân I
d) Cách 1: ∆BIH =∆CIH nên BIH =CIH=AIM=AIN
Mà NM//BC nên IH ⊥ BC IA ⊥ NM hay = IAN =IAM = 90°
∆NAI = ∆MAI (c.g.c) nên AN = AM mà A, M, N thẳng hàng nên A trung điểm MN,
Cách 2: Ta có MN// BC => AMB =MBC;
MàMBC =ABM.Do AMB =ABM
=> ∆ABM cân A => AB = AM (1)
Chúng minh ACN =BCN, ∆ANC cân A
=>AN = AC (2)
Hơn AB = AC (3
Từ (1), (2) (3) suy AM = AN Mà N, A, M thẳng hàng Do A trung điểm MN
e) Chứng minh cặp tam giác vuông ∆IBE = ∆IBH ∆ICF = ∆ICH =>IE = IH = IF
f) Cách 1 Ta có MN// BC nên AMC HCM + = 180°
Mà AMC =ACM;HCM = HCI+ICF =2.ICF; Do
18
2.ACM 180 90
2
ICF ° =>ACM ICF °=>ICM
+ = + = = °
Vậy IC ⊥MC
(186)Suy ∆NAM cân A => N =ACN; ∆MAC cân A => AMC=ACM; Suy N+AMC=ACN+ACM=NCM Vậy ∆MCN vuông C
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II
Thời gian làm đề 45 phút
ĐỀ SỐ l PHẨN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỀM)
Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Câu Hai tam giác chúng thỏa mãn điều kiện sau: A Có cặp cạnh hai cặp góc
B Có ba góc
C Có cặp góc cặp cạnh
(187)Câu 2. Cho ∆ABC = ∆MNP, P= 60°, A = 50° Tính số đo góc B ? Kết sau đúng?
A B = 60° B B= 70° C B= 80° D B= 90°
Câu 3. Cho tam giác ABC vng B có AB = 6cm, BC = 8cm Độ dài cạnh AC là:
A cm B cm C 10 cm D 7cm
Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = AC Tam giác ABC khơng tam giác thỏa mãn điều kiện:
A B = 60° B AB = BC C AB < BC D A = 60° PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Cho ∆ABC cân A, AB > BC, H trung điểm BC
a) Chứng minh: ∆ABH = ∆ACH Từ suy AH vng góc với BC b) Tính độ dài AH BC = cm, AB = cm
c) Tia phân giác góc B cắt AH I Chứng minh tam giác BIC cân
d) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia BI, CI M, N Chứng minh A trung điểm đoạn thẳng MN
e) Kẻ IE vng góc với AB E, IF vng góc với AC F Chứng minh IH = IE = IF
f) Chứng minh: IC vng góc với MC (Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận: 1,0 điểm)
HƯỚNG DẪN
Bài 1 a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng; Bài
Vì ∆MNP cân M (GT) nên N =P= 50°
Trong ∆MNP có tổng ba góc 180° nên M = 80°
Bài 3 a) Vì AH ⊥BC H (GT) nên
AHB=AHC= 90°
∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền - cạnh góc vng)
Suy HB = HC nên H trung điểm BC
b) Ta có HB = HC = 12
2
BC
= = 6(cm)
Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm)
(188)d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do AD = AE => ∆ADE cân A
Gọi giao điểm, AH DE F, chứng minh ∆DAF = ∆EAF nên AH ⊥ DE F Suy DE / / BC
e) Ta có AD = AE nên để A trung điểm DE phải có D,A, E thẳng hàng hay DAE = 180°
Chú ý rằng:
DAB=BAH =CAH =CAE DAB+BAH +CAH +CAE=DAE Do
180 : 4 45 90
DAB=BAH =CAH =CAE= ° = ° =>BAC= °
Do ∆ABC tam giác vng cân A
ĐỀ SỐ
Bài 1.(2,0 điểm) Các câu sau, câu đúng, câu sai?
a) Góc ngồi tam giác lớn góc tam giác
b) Nếu ∆ABC ∆DEE có AB = DF, BC = EF, AC = DE ∆ABC =∆ DEF c) Tam giác cân có góc 60° tam giác
d) Nếu ∆ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm ∆ABC vng B Bài 2. (1,0 điểm) Cho ∆MNP cân M có P= 50° Tính góc lại ∆MNP
Bài (7,0 điểm) Cho ∆ABC có AB=AC = l0cm, BC = l2cm Kẻ AH ⊥BC H
(189)b) Tính độ dài đoạn thẳng AH
c) Kẻ HI ⊥AB I HK⊥AC K Vẽ điểm D E cho I, K trung điểm HD HE Chứng minh: AE = AH
d) Tam giác ADE tam giác gì? Vì sao? Chứng minh DE // BC e) Tìm điều kiện ∆ABC để A trung điểm DE
HƯỚNG DẪN
Bài 1 a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng; Bài
Vì ∆MNP cân M (GT) nên N =P= 50°
Trong ∆MNP có tổng ba góc 180° nên M = 80°
Bài 3 a) Vì AH ⊥BC H (GT) nên
AHB=AHC= 90°
∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền - cạnh góc vng)
Suy HB = HC nên H trung điểm BC
b) Ta có HB = HC = 12
2
BC
= = 6(cm)
Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB, ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm)
c) Vì HK ⊥ AC K nên AKH =AKE= 90° Do ∆AKH = ∆AKE (cạnh - góc - cạnh) => AH = AE
d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do AD = AE => ∆ADE cân A
Gọi giao điểm, AH DE F, chứng minh ∆DAF = ∆EAF nên AH ⊥ DE F Suy DE / / BC
e) Ta có AD = AE nên để A trung điểm DE phải có D,A, E thẳng hàng hay DAE = 180°
Chú ý rằng:
DAB=BAH =CAH =CAE DAB+BAH +CAH +CAE=DAE Do
180 : 4 45 90
DAB=BAH =CAH =CAE= ° = ° =>BAC= °
Do ∆ABC tam giác vng cân A
(190)