Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 131

22 Bµi tËp to¸n trß ch¬i xuÊt hiÖn trong mét sè k× thi Olympic to¸n Quèc gia vµ Quèc tÕ víi ®Ò bµi vµ lêi gi¶i thðêng kh¸ ®a d¹ng nªn thó vÞ vµ hÊp dÉn, rÊt thÝch hîp víi häc sinh trung [r]

2 ậỡnh lÝ Menelaus, ệỡnh lÝ Ceva vộ ệỡnh lÝ Thales ệđĩc sỏ dông rÊt hiỷu quờ cịc bội toịn chụng minh ệoỰn thỬng bỪng nhau, tÝnh tử sè cịc ệoỰn thỬng, tÝnh gãc, chụng minh ba ệiÓm thỬng hộng, chụng minh ba ệđêng thỬng ệăng quy, Trong bội viạt nộy chóng tềi sỳ ệđa mét sè vÝ dô hay cã sỏ dông cịc ệỡnh lÝ trến

ậỡnh lÝ Menelaus.Cho tam giịc ABC vộ ba ệiÓm A’, B’ vộ C’ lẵn lđĩt trến cịc ệđêng thỬng BC, CA vộ AB cho hoẳc cờ ba ệiÓm A’, B’ vộ C’ ệÒu nỪm trến phẵn kĐo dội cựa ba cỰnh, hoẳc mét ba ệiÓm nỪm trến phẵn kĐo dội mét cỰnh vộ hai ệiÓm cưn lỰi nỪm trến hai cỰnh cựa tam giịc ậiÒu kiỷn cẵn vộ ệự ệÓ A’, B’ vộ C’ thỬng hộng lộ

Hđắng dÉn chụng minh.Qua C kĨ ệđêng thỬng song song vắi AB cớt A’C’ tỰi M

ậỡnh lÝ Ceva Cho ba ệiÓm D, E, F nỪm trến ba cỰnh tđểng ụng BC, CA, AB cựa tam giịc ABC Khi ệã ba ệđêng thỬng AD, BE, CF ệăng quy vộ chử

Hđắng dÉn chụng minh.Qua C kĨ ệđêng thỬng song song vắi BE cớt AD tỰi N Qua A kĨ ệđêng thỬng song song vắi BE cớt CF tỰi M

1 Bội toịn vÒ chụng minh ệoỰn thỬng bỪng Bội toịn Cho tam giịc ABC vuềng tỰi C cã ệđêng cao CK Vỳ ệđêng phẹn giịc CE cựa tam giịc ACK ậđêng thỬng ệi qua B song song vắi CE cớt ệđêng thỬng CK tỰi F Chụng minh rỪng ệđêng thỬng EF chia ệoỰn thỬng AC thộnh hai phẵn bỪng

Gi¶i

Ta cã

Do BCE cân B nên BC BE

Mặt khác BF // CE nên theo định lí Thales ta có

Mµ BC BE nªn CF BC (1) FK BK

CK EK CK FK EK BK CF BE

FK BK FK BK FK BK

BEC A ACE KCB KCE BCE DB EC FA

DC EA FB A B B C C A A C B A C B

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

ủũnh lớ Menelaus vaứ ủũnh lớ Ceva nguyễn đễ

3 Vì CE phân giác nên

Mà (vì ACK CBK) nên

Từ (1) (2) suy

Giờ sỏ ệđêng thỬng EF cớt cỰnh AC tỰi D ịp dông ệỡnh lÝ Menelaus vộo tam giịc ACK bỡ cịt tuyạn DEF cớt cịc cỰnh ta cã

Tõ (3) vµ (4) suy

2 Bội toịn vỊ chụng minh ba ệiĨm thỬng hộng, chụng minh ba ệđêng thỬng ệăng quy

Bội toịn 2.Cho hừnh bừnh hộnh ABCD Trến cỰnh AB lÊy ệiÓm K Qua K kĨ ệđêng thỬng song song vắi AD Trến ệđêng thỬng ệã lÊy ệiÓm L bến hừnh bừnh hộnh, trến cỰnh AD lÊy ệiÓm M cho AM KL Chụng minh rỪng ba ệđêng thỬng CL, DK vộ BM ệăng quy

Gi¶i

Gải N lộ giao ệiÓm cựa hai ệđêng thỬng BM vộ CL

Ta cã tụ giịc MLKA lộ hừnh bừnh hộnh nến ML AK Giờ sỏ ệđêng thỬng ML cớt cỰnh BC tỰi P Khi ệã ta cã LP KB, MD CP Ta sỳ chụng minh N nỪm trến ệđêng thỬng KD

áp dụng định lí Menelaus vào tam giác BMP b cỏt

tuyến CLN cắt cạnh ta có

Suy ba điểm K, N, D thẳng hàng (áp dụng định lí Menelaus vào AMB)

VẺy ba ệđêng thỬng CL, DK vộ BM ệăng quy Bội toịn Cho ba ệđêng trưn ệềi mét ngoội (O1), (O2) vộ (O3) Biạt tiạp tuyạn chung ngoội cựa hai ệđêng trưn (O1) vộ (O2) cớt tỰi C, tiạp tuyạn chung ngoội cựa hai ệđêng trưn (O1) vộ (O3) cớt tỰi B vộ tiạp tuyạn chung ngoội cựa hai ệđêng trưn (O2) vộ (O3) cớt tỰi A Chụng minh rỪng ba ệiÓm A, B, C thỬng hộng Giời

Gải bịn kÝnh cựa cịc ệđêng trưn cã tẹm O1, O2, O3 lẵn lđĩt lộ r1, r2, r3 K, Q lẵn lđĩt lộ tiạp ệiÓm cựa tiạp tuyạn tỰi C vắi (O2) vộ (O1) Khi ệã

(v× điểm C, O1, O2 thẳng hàng O2K // O1Q)

Tđểng tù Do ệã

áp dụng định lí đảo Menelaus vào O1O2O3 ba điểm A, B, C thẳng hàng

(Xem tiÕp trang 26)

3

1 2

2 3

BO r

CO AO r r 1.

CO AO BO r r r

3

2

3 1

BO r

AO r ; .

AO r BO r

1 1

2 2

CO O Q r

CO O K r

BN ML PC 1 BN AK MD 1.

NM LP CB NM KB AD

AD AD CD CD

AD CF KE (4) CD KF AE

CF AE (3) FK KE AE BC (2)

KE BK AC BC CK BK

4 Nhận xét Đa số gửi biết lời giải sai cách đða lời giải (khơng khó khăn), nhðng số bạn rõ chỗ sai lại không

nhiÒu Bội giời sai ẻ chẫ: Thạ (2) vộo (3) ta ệđĩc x( x2) vộ coi ệẹy lộ phĐp biạn ệữi tđểng ệđểng Thùc chÊt bỪng phĐp thạ nộy ta chử ệđĩc mét phđểng trừnh hỷ quờ cựa phđểng trừnh ệở cho Do ệã ệở xuÊt hiỷn nghiỷm ngoỰi lai x Lêi giời ệóng Vắi nhẺn xĐt trến chử cẵn thỏ vộ loỰi nghiỷm x vộ kạt luẺn phđểng trừnh nghiỷm Cịng cã thĨ xĐt ệiỊu kiỷn nhđ nhiÒu bội cựa cịc bỰn gỏi vÒ:

Tõ phđểng trừnh ta cã x2 x Vừ x2 nến x hay x VẺy x bỡ loỰi vừ khềng tháa mởn

Chử cã hai bỰn ệđĩc nhẺn thđẻng: NguyÔn Thỡ Tuyạt Nhi, 9A, THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc Giang; NguyÔn ậục ThuẺn, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả

anh kính lúp Trong đề kiểm tra

toịn lắp cã bội toịn sau: Bội toịn Cho hừnh bừnh hộnh ABCD Mét ệđêng thỬng ệi qua D cớt AC, AB, CB theo thụ tù tỰi E, F, G

So s¸nh víi

Đáp án đề kiểm tra tốn nhð sau: Lời giải.Vì CD // AF nờn

Vì AD // CG nên

Do ú

Bạn có hài lòng với lời giải kh«ng?

nguyễn đức tấn(TP Hồ Chí Minh) DE DE EC AE AC

DF DG AC AC AC

ED EA ED EA DE AE

EG EC ED EG EA EC DG AC

DE EC DE EC DE EC

EF EA DE EF EC EA DF AC

DE DE DF DG

MỘT BÀI TỐN HÌNH LỚP 8

PHƯƠNG TRÌNH X2 + X + = CÓ NGHIỆM THỰC?

5

Bạn tìm số để điền vào dấu chấm hỏi (?) cho hợp lôgic

trđểng cềng thộnh(sđu tẵm) (TTT2 sè 129)

NhẺn xĐt.Quy luẺt cựa kừ nộy tđểng ệèi khã, rÊt dƠ nhẵm lÉn nạu cịc bỰn khềng từm hiĨu sẹu cịc dọ kiỷn Mét sè bỰn chử xĐt quy luẺt theo hộng ngang hoẳc theo cét dảc, ệịp ịn ệđa lộ ệóng nhđng lẺp luẺn nhđ vẺy lộ chđa ệẵy ệự

Quy luẺt: Theo hộng ngang (tõ trịi sang phời) vộ theo cét dảc (tõ trến xuèng dđắi), hừnh cuèi cỉng cã tÊt cờ cịc ệẳc ệiÓm chung cựa hừnh trđắc ệã VẺy theo quy luẺt, hừnh cẵn ệiÒn vộo lộ hừnh B

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy lộ: Ngun Tiạn Dịng, 8A1, THCS thỡ trÊn Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai;NguyÔn Ngảc nh, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;Mai Tiạn Thộnh, 9C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; Ngun Vẽn Cao, 8A, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; ậẳng Thỡ Ngảc Minh, 8B8, THCS Trđểng Cềng ậỡnh, Lế Chẹn, Hời Phưng

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Họu Duy, 6A, THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc Giang;NguyÔn Thanh Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Lế Sển, 8A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Ngun Thu Hđểng, 7A1, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; ậẫ Quang Huy, 6C, THCS Nguyễn Cao, Qu Võ, Bc Ninh

Nguyn Xuân Bình ĐÚNG QUY LUẬT

ĐIỀN SỐ NÀO?

6

CÊp sè céng lộ mét dởy sè mộ hiỷu cựa sè liÒn sau vắi sè liÒn trđắc lộ mét sè khềng ệữi Hiỷu nộy gải lộ cềng sai ca cấp số cộng

Chẳng hạn dÃy sè 2, 6, 10, 14 lµ mét cÊp sè cộng có công sai vì 4 10 14 10.

Bài toán.Tìm tổng cấp sè céng: 2, 5, 8, 11, 14.

Lêi giời. CÊp sè céng ệđĩc biĨu diƠn bẻi hừnh vỳ bẺc thang.

Trến hừnh vỳ, ban ệẵu ta vỳ hừnh chọ nhẺt trến dưng, mẫi hừnh chọ nhẺt ệđĩc ghĐp bẻi cịc hừnh vuềng cã mét cỰnh bỪng TÝnh tõ trến xuèng dđắi, cịc dưng lẵn lđĩt cã 2, 5, 8, 11, 14 ề vuềng, ụng vắi diỷn tÝch cựa hừnh chọ nhẺt ệđĩc tỰo trến mẫi dưng.

Sau ệã, trến dưng 1, ta vỳ tiạp 14 ề vuềng ệÓ ệđĩc hừnh chọ nhẺt cỰnh lộ 16 Cịc dưng tiạp theo ệđĩc vỳ thếm lẵn lđĩt 11, 8, 5, vung.

Phần vẽ thêm có diện tích phần ban đầu.

Tng hai phẵn găm hừnh vỳ ban ệẵu vộ hừnh vỳ thếm tỰo thộnh mét hừnh chọ nhẺt cã kÝch thđắc lộ 16 80.

Từ tổng cấp số cộng ban đầu 11 14 80 : 40.

Đáp số:40.

Nhn xột.Ta cú thể dùng cách để tính tổng cấp số cộng bất kì.

TÍNH TỔNG CỦA CẤP SỐ CỘNG bằng vẽ hình kẻ ô vuông

7 Câu (1,5 điểm)

a) Tìm x biÕt

b) T×m x, y biÕt 2x 624 5y Câu (3,0 điểm)

1.Cho S 22 23 2100 a) Chøng minh r»ng S 15

b) Tìm chữ số tận S c) Rút gọn tæng S

2.Tững cựa n sè tù nhiến lĨ ệẵu tiến cã phời lộ mét sè chÝnh phđểng khềng? V sao? 3.Chng minh rng

Câu (1,5 điểm)

Cho gãc tï xOy Bªn gãc xOy, vÏ tia Om vµ tia On cho a) Chøng minh r»ng

b) Gäi Ot lµ tia n»m gãc xOy cho Chøng minh r»ng tia Ot n»m góc mOn Câu (3,0 điểm)

1.Cho So s¸nh A víi 0,01

2.Chøng minh r»ng S (1 n) kh«ng chia hÕt cho 10, với n

3.So sánh

Câu (1,0 ®iĨm)

Từm sè tù nhiến cã chọ sè, biạt rỪng chia sè ệã cho cịc sè 25, 28, 35 thừ ệđĩc cịc sè dđ lẵn lđĩt lộ 5, 8, 15

2010 2011

2009

B

2009

2009 2010

2009

A

2009

1 9999

A

2 10000

nOt mOt xOt tOy xOn yOm

o o

xOm 90 ; yOn 90

1 1 1 1

a)

2 199 200 101 102 200

51 52 53 100

b) 99

2 2

2 462 2,04 : (x 1,05) : 0,12 19. 11 13 13 15 19 21

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP CẤP HUYỆN Thời gian làm bài:120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

8 Bµi

Cịch 1.ậđêng thỬng AD cớt BE tỰi I Theo thiạt AE 2AC vộ CD CB

A lµ träng tâm BED DI trung tuyến BED AD 2AI

Mà AD BE BE 2AI BEA vuông A

BA AC ABC vuông A

Cỏch 2.Trên tia đối tia CA lấy điểm I cho CI CA Từ AI AE (vì AE 2AC)

Tứ giác ADIB hình bình hành AD BI Theo giả thiết AD BE

BI BE BEI cân B BA EI ABC vuông A

Nhận xét Bài toán phát biểu lại là: AD BE ABC tam giác vuông A Bài

Cách

Gi giao ệiÓm cựa PQ vắi ệđêng trưn (O) lộ K vộ PM, PN cớt ệđêng trưn (O) lẵn lđĩt tỰi D vộ E Ta cã ba ệiÓm O, J, P thng hng

Mà PJM POD tam giác cân O JM OD

V AB tip xóc vắi ệđêng trưn (J) tỰi M nến JM AB

OD AB Tng tự

Mặt khác tiếp tuyến t¹i Q cđa (J) song song víi BC tiÕp tun t¹i K cđa (O) song song víi BC

Gải F lộ giao ệiÓm cựa AP vắi ệđêng trưn (J) th

(vì ) MF NQ

Mà AM AN AMF ANQ (c.g.c) Suy BAP CAQ

MAF NAQ

DPA KPE MF NQ

KB KC BD DK KE EC

DA DK KE EA

2DA AK 2KE AK DA KE

EA EC DA DB

PMJ PDO BE

AI

ThS.NguyÔn bị ệang (Tđ vÊn chđểng trừnh phịt triĨn giịo dơc Trung hảc cựa Bé Giịo dơc vộ ậộo tỰo) OLYMPIC TOÁN CHÂU AÂU

dành cho nữ sinh

9 C¸ch

Tiạp tuyạn tỰi Q vắi ệđêng trưn (J) cớt cỰnh AB tỰi E AP cớt ệđêng trưn (J) tỰi D PC cớt ệđêng trưn (J) tỰi F

Ta cã AN2 AD.AP vµ CN2 CF.CP

KĨ tia tiạp tuyạn Px chung cựa hai ệđêng trưn nhđ hừnh vỳ

Ta cã

Tõ (1) vµ (2) ta có

Mà EQ BC

Vì EQ EM nªn (4)

Tõ (3), (4) suy

MQ ND MD NQ

ADM AQN (c.g.c) Suy

Các bạn hÃy giải hai toán theo nhiỊu c¸ch kh¸c nhÐ

BAP CAQ

EMQ AND

1

EMQ AEQ ABC

2

AEQ ABC

1

APN CPN APC ABC

2

1

AND APN ABC (3)

AN AP CN CP AD AP (2)

CF CP

DFP APx ACP DF// AC

2

AN AD.AP (1) CF.CP CN

DANH MUỳC SÁCH TOÁN TUOĂI THƠDUửNG CHO THỷ VIEẢN TRỷƠửNG HOỳC Ngộy 29.11.2013 Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc Viỷt Nam ệở cã cềng vẽn sè 1881/NXBGDVN gỏi Giịm ệèc cịc Sẻ Giịo dôc vộ ậộo tỰo, Giịm ệèc cịc Cềng ty cữ phẵn Sịch - TBTH trến toộn quèc vÒ viỷc xẹy dùng: Danh môc sịch tham khờo dỉng cho thđ viỷn trđêng hảc tõ nẽm hảc 2013 - 2014 Trong ệã cã cịc Ên phÈm sau cựa tỰp chÝ Ton Tui th:

TÊN SáCH TáC GIả GIá BìA ĐốI TƯợNGSử DụNG

Tạp chí Toán Tuổi thơ (phát hành hàng tháng) Nhiều tác giả 7.000 đ GV, HS Tuyển chọn 10 năm Toán Tuổi thơ - Tuyển chän

các đề toán tiểu học 39.500 đ GV, HS

Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2011 Tiểu học Nhiều tác giả 104.000 đ GV, HS Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2012 Tiểu học Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2013 Tiểu học Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS Tạp chí Toán Tuổi thơ (phát hành hàng tháng) Nhiều tác giả 7.000 đ GV, HS Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2011 THCS Nhiều tác giả 104.000 đ GV, HS Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2012 THCS Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2013 THCS Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS

Vị Kim Thựy, Ngun Xuẹn Mai, Trẵn Thỡ Kim Cđểng

10 Câu 1.a) Biến đổi HPT trở thành

Nh©n theo vÕ PT trªn suy [(x 1)(y 1)(z 1)]2 36

NÕu (x 1)(y 1)(z 1) th× x 1, y 2, z nªn x 2, y 3, z

NÕu (x 1)(y 1)(z 1) th× x 1, y 2, z nªn x 0, y 1, z

Vậy (x; y; z) (2; 3; 4), (0; 1; 2) b) Điều kiện x Biến đổi PT trở thành

VËy S {3; 2}

Cẹu 2.a) NhẺn xĐt: Vắi a, b lộ sè nguyến dđểng thừ (a2013 b2013) (a b)

ịp dông ta ệđĩc

P 2(12013 22013 n2013) [(12013 n2013) (22013 (n 1)2013) (n2013 12013)] (n 1); P [(12013 (n 1)2013) (22013 (n 2)2013)

((n 1)2013 12013)] 2n2013)] n Mµ (n, n 1) nên P n(n 1) b) Nếu p q

Nếu p (p2 1) Suy 2q2 Khi q nên p2 19: vô nghiệm Vậy (p, q) (3; 2)

Chú ý Từ 2q2 p2 2, suy p lẻ Do (p2 1) hay 2q2 Suy q p

Cẹu Quy ệăng mÉu thục hai vạ, biạn ệữi tđểng ệđểng vộ rót gản, ta ệđĩc

a b c ab bc ca ¸p dơng B§T AM - GM ta cã

Suy đpcm

Đẳng thức xảy a b c Câu

a) Vì nên tứ giác BQCR nội tiếp

b) Vì FC FB nªn FC, FB

thứ tự phân giác ngồi DFP Do

Suy QD BD CD DS PF BP CP PF

BP FP CP PB DB

BD FD CD PC DC

EFC EBC HFD ACB AFE AQR

2

3

a b c abc 3, ab bc ca (abc)

2

2

(x 1)(x 2) (x 1)(x 1) x x 2 x

(x 1)(x 2) x (x 1)(x 1) x x

( x 2)( x x 3) x x (tháa m·n)

x x 2x (x 2)(x 1)

x x (4 x)

x x x

x x (tháa m·n)

(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)

Môn thi: Toán dành cho chuyên toán * Năm häc: 2013 - 2014

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

11 Câu 1.(2,5 điểm)Tìm x biết

Câu 2.(2,5 điểm)

a) Chøng tá r»ng 231 810 168chia hÕt cho b) Chứng tỏ số 812013có 4027 chữ số Câu 3.(2,0 điểm)

a) Tính

b) Cho 2013 sè nguyến dđểng a1, a2, , a2013 tháa mởn

Chụng minh rỪng Ýt nhÊt sè 2013 sè nguyến dđểng ệở cho bỪng

C©u 4.(3,0 điểm) Cho hình vẽ

Biết BE DE,

Chøng tá r»ng AB // CD

o o

ABE 50 , CDE 40

1 2013

1 1007.

a a a

1 1

A

2.5 5.8 8.11 152.155

2 22

a) x x b) x

5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU, QUẬN 1, TP H CH MINH

Năm học: 2013 - 2014

Thời gian làm bài:90 phút (không kể thời gian giao đề)

Do QD DS nên D trung im QS

c) Gọi M trung điểm BC M thuộc đoạn thẳng DC Vì tứ giác BQCR néi tiÕp nªn

DQ.DR DB.DC (1)

Ta sÏ chøng minh DB.DC DP.DM (2) ThËt vËy (2) DB.DC

DB.DC DB.DP DP.DC DB.DC DB.CP PB.DC: ý b) Từ (1) (2) suy DQ.DR DP.DM

VẺy tụ giịc PQMR néi tiạp nến ệđêng trưn ngoỰi tiạp PQR ệi qua trung ệiÓm cựa BC

Câu 5.Giả sử có 16 số thỏa mãn điều kiện Khi đó, ta có 16 số dð phân biệt chia cho 16, có số chẵn, số lẻ Suy ba số a, b, c có số chẵn số lẻ

XĐt trđêng hĩp a, b chơn vộ c lĨ Cã tÊt cờ sè lĨ ệđĩc tỰo thộnh lộ

Trong sè lĨ ệđĩc chản, cã sè thc tẺp hĩp

HiƯu sè bÊt k× số có dạng

V số ều cã xi chơn mộ sè chơn luền cã sè cã hiỷu chia hạt cho nến sè thuéc X tăn tỰi sè chia 16 cã cỉng sè dđ: lÝ Tđểng tù, trđêng hĩp ba sè a, b, c cã hai sè lĨ, mét sè chơn còng khềng xờy

i

x c

i j 10 i j

x c x c (x x ) X {aac, abc, bac, bbc, cac, cbc} aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc

12

Bµi 1(129) Tìm tất số có hai chữ số biÕt r»ng sè lµ béi sè cđa 72

Lêi giải Vì 72 8.9 ƯCLN(8, 9) nên béi sè cđa 72 vµ chØ M chia hết cho

M nên b {0; 8} M vµ chØ (6 a b) hay (19 a b) Suy (1 a b)

Víi b th× (1 a) nên a

Với b a nên a (vì số có hai chữ số)

VËy

NhẺn xĐt.Cã nhiÒu lêi giời cựa cịc bỰn bỡ mớc lẫi sai vÒ lẺp luẺn lềgic Mét sè bỰn ệở quến khềng loỰi nghiỷm ngoỰi lai Sau ệẹy lộ mét sè bỰn cã lêi giời tèt: NguyÔn Duy Khđểng, 6E; NguyÔn Thỡ Sen, 7D; NguyÔn Linh Giang, 7B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng; NguyÔn Thỡ Ngảc Anh, 6D; Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C; Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; Trẵn ậục Toộn, 7D, THCS Bớc Lý; NguyÔn Thỡ Kim Ngẹn, 7B, THCS Nhẹn Nghỵa; Trẵn Duy Long, 7D, THCS Nhẹn HẺu; NguyÔn Hoộng Anh, 7C, THCS Tiạn Thẽng, Lý Nhẹn, Hộ Nam; PhỰm Ngảc Hoa, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề; NguyÔn Hoội Phđểng, 7D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; NguyÔn Lế Minh HỪng, TỰ Hoộng NhẺt Mai, 6A1, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng, Phóc Yến, Vỵnh Phóc; Ngun Minh Hoộng, 6A1, THCS Supe, thỡ trÊn Hỉng Sển, Lẹm Thao;Ngun Hoộng Nam, 7D; Vị Hoộng Nam, Bỉi Ngảc Tẹn, 7C; THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả; Lế Vị Hoộng ậục, 6D1, THCS ậộ Nơng; NguyÔn Minh Ngảc, PhỰm Thu Thờo, NguyÔn Anh Chi, 6A7, THCS Chu Vẽn An, Ngề Qun, Hời Phưng; Ngun Cờnh Tn, 6D, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam; Tõ Anh Dòng, 7A15, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;NguyÔn Thỡ Hđêng, Phan Thộnh Vinh, 6A2; Ngun Thỡ TiỊn, 6A1, THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Thu Lan, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ; NguyÔn Thỡ Thđ, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh

hoàng trọng hảo

Bi 2(129) Vi mi số thùc x, kÝ hiỷu phẵn nguyến cựa x lộ [x], lộ sè nguyến lắn nhÊt khềng vđĩt quị x Từm hai chọ sè tẺn cỉng cựa sè

Lêi gi¶i.Ta có

Vì 720 10100 9.10100 10100 10101 nên

Mà 102020 720 (10202)10 (72)10 (10101 7) nên (10101 7)B, víi B (10202)9 (10202)8.72 10202.(72)8 (72)9 Ta thÊy 10101 có hai chữ số tận 93; 718 72.(74)4 49.24014có hai chữ số tận 49 Suy hai chữ số tận A hai ch÷ sè tËn cïng cđa 93.49 hay 57

NhẺn xĐt.Sè lêi giời gỏi vÒ khềng nhiÒu Cịc bỰn sau cã ệịp sè ệóng: Cao Thỡ Vẹn Anh, Ngun Thỡ Ngảc HuyÒn, Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiƠn Chẹu, Nghỷ An; Trẵn Thỡ Thóy Hộ, 7C, THCS Liến Hđểng, Vò Quang, Hộ Tỵnh

hå Quang vinh

Bội 3(129) Giời hỷ phđểng trừnh

Lêi giải.Điều kiện: x y 4xy 0; x z 3xz 0; y z 2yz Đặt

Ta c a 2b (1)2b c (2) 3c 2a (3)

x y x z y z

a , b , c

x y 4xy x z 3xz y z 2yz

x y 2(x z) 1 x y 4xy x z 3xz

2(x z) y z 3 x z 3xz y z 2yz

3(y z) 2(x y) 5. y z 2yz x y 4xy

2020 20 202

101 101

10 (10 )B

A

10 10

20 100 101

7 10

0

10

2020 100 2020 20 20 100

101 101 101

10 10 10 7 10 .

10 10 10

2020 100 101 10 10 A 10 ab 08 ab 80; 98

ab 72b

M 64a72b

64a72b

13 Tõ (1) vµ (2) suy c a

Thay vộo (3) ta ệđĩc

Suy Từ

NhËn thÊy nÕu mét ba sè x, y, z b»ng th× tõ (4), (5), (6) suy hai sè lại 0, không thỏa mÃn điều kiện toán

Vi x, y, z cng khc 0, chia cờ hai vạ cựa (4) cho xy, cựa (5) cho xz, cựa (6) cho yz, ta ệđĩc

Céng theo vạ cựa ba phđểng trừnh hỷ trến vộ rót gản, suy

Tõ ệã từm ệđĩc nến

(tháa m·n ®iỊu kiƯn) VËy hƯ cã nghiƯm nhÊt lµ

NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn khềng khã Cể bờn lộ nhẺn phĐp ệẳt Èn phô vộ kỵ nẽng giời hỷ phđểng trừnh bẺc nhÊt (hoẳc hỷ quy vÒ bẺc nhÊt) ba Èn sè ệển giờn Hẵu hạt cịc bỰn gỏi bội giời ệÒu lộm ệóng

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: PhỰm Ngảc Hoa, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh Phóc;ậẳng Quang Anh, 7A, THCS Ngun ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa;Ngề Thỡ Huạ, 8A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Lỷ Giang, Lế Thỡ Thu Uyến, Nghiếm Thỡ Ngảc nh, Vâ Thỡ Hăng Liỷu, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; PhỰm Thỡ BÝch Ngảc, 8B, THCS Nhẹn ChÝnh; NguyÔn Bỉi Nam Trđêng, 8D, THCS Bớc Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam;ThỰch ậục Anh, 8C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Thộnh, DiÔn Chẹu,Nghỷ An

NguyÔn Anh Dòng

Bội 4(129).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c tháa mởn ệiÒu kiỷn abc Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa

biÓu thøc

Lêi giải Vì abc nên

Tng tự:

Cộng theo vạ cịc bÊt ệỬng thục trến ta ệđĩc

ậỬng thục xờy vộ chử a b c NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn bÊt ệỬng thục khềng quị khã nến cã nhiÒu bỰn tham gia giời bội, ệẳc biỷt lộ cịc bỰn ẻ cịc tửnh Vỵnh Phóc, Phó Thả, Bớc Ninh, Hộ Néi, Hộ Tỵnh, Nghỷ An Hẵu hạt cịc bỰn tham gia giời bội ệỊu giời ệóng, mét sè bỰn biạn ệữi dội mắi ệi ệạn kạt quờ Sau ệẹy lộ mét sè bỰn cã lêi giời tèt vộ ngớn gản: Hoộng ậục ThuẺn, 8A; Bỉi Ngảc Tẹn, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ; Ngun Thóy Qnh, 9A2; Hoộng Phóc ậỰt, 9A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh; Bỉi Hăng Thịi, Bỉi ậinh Hđểng, 7A3; ậinh Trảng Phó, 8A1; Vị Thỉy Linh, Ngun ậục ThuẺn, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E; Trỡnh ậục Viỷt, 7B, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;Trẵn Thỡ Tđêng Vy, Nghiếm Thỡ Ngảc nh, 8B; NguyÔn HỰnh Nhung, Trẵn NguyÔn ậục Thả, 9B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;NguyÔn Thanh Lẹm, Ngề TrÝ Nguyến, 8C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; NguyÔn Hăng Quèc Khịnh, 9C; NguyÔn Doởn Quyạt, 9B, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An; MÉn ậục Bừnh Minh, PhỰm ậẫ Nguyỷt Anh, Chu Thanh HuyÒn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong; Trẵn Thỡ Thu nh, THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc Ninh; Hoộng Thỡ HỪng, 9A, THCS LẺp ThỰch, LẺp ThỰch; PhỰm ậẽng Tỉng, Bỉi ậục Thộnh, 9D, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến; NguyÔn ậục Bừnh, 9B, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; NguyÔn Thỡ Thếm, ậẫ Thỡ Thu An, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc,Vỵnh Phóc;Trẵn Quèc Toờn, 8F, THCS Trẵn Mai Ninh, TP Thanh Hãa; NguyÔn Danh Thớng, 8D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa; PhỰm Viỷt Anh, 9C1, THCS Trẵn Phú, TP Bc Giang,Bc Giang

Cao văn dũng

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 1

P

b c c c a a a b b

a b b

a b c a b c a b a b c a b b

1 a b b 1 (®pcm)

a b b a b b

2 2 2

bc , ca .

2c a a c 1 a 2a b a b 1 b

2 2 2

ab abc 1 .

2b c 2bc c 2bc c b c c

ab bc ca

P

2b c 2c a 2a b

6

(x; y; z) ; ;

25 29

6

x , y , z

25 29

1 1, 29 25,

z y x

1 1

x y z

1 1 1, , 9.

x y x z y z

x y

x y 4xy 3(x y) 2xy (4)

x z 2(x z) 9xz (5)

x z 3xz 2(y z) 9yz (6)

y z

y z 2yz

1 a

b , c a

2 5

1

3(a 2) 2a a

14

Bài 5(129).Cho đồ thị G Giả sử e {u, v} cạnh G, tức u v đầu mút (đỉnh) e Ta nói hai đỉnh u, v kề cạnh e nối u với v Bậc u, kí hiệu deg(u), số cạnh coi u đầu mút Đỉnh u gọi đỉnh chẵn hay lẻ tùy theo bậc u chẵn hay lẻ

a) Hãy tìm tập hợp V đỉnh, tập hợp E cạnh đồ thị G sau:

b) Tìm bậc tính chẵn, lẻ đỉnh G Lời giải a) Tập hợp đỉnh đồ thị G V {g, h, i, j, k}

Tập hợp cạnh đồ thị G

E {{g, h}, {g, i}, {g, j}, {k, h}, {i, h}, {i, k}, {i, j}} b) deg(g) 3, g đỉnh lẻ; deg(h) 3, h đỉnh lẻ; deg(i) 4, i đỉnh chẵn; deg(j) 2, j đỉnh chẵn; deg(k) 2, k đỉnh chẵn

Nhận xét.Đây toán dễ, khái niệm mở đầu lí thuyết đồ thị (graph) Có đơng bạn gửi đến tịa soạn, hầu hết giải Một số bạn viết sai kí hiệu cạnh đồ thị, có bạn sai gọi giao điểm cạnh đỉnh đồ thị

Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: Phan Nguyến Khềi, 9A; NguyÔn Hăng Quèc Khịnh, PhỰm Quèc Toộn, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An; ậẳng Quanh Anh, 7A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa;NguyÔn Thỡ Thờo Phđểng, 8A; Trẵn Vẽn ậé, 8C; NguyÔn Bỉi Nam Trđêng, 8D; NguyÔn Minh Quẹn, Hoộng Trảng Lđĩng, 9B, THCS ậục Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam;NguyÔn Khịnh Linh, 6D; TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam; PhỰm ậục Hiỷp, PhỰm Kú Anh, Tõ Anh Dịng, Ngun Khớc Nam, 7A15; Ngun Duy Khđểng, 8A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;NguyÔn Thỡ Phđểng, Ngun ậục Tẹm, 8A; Chu Thanh Hun, Ngun Thỡ Thanh Hđểng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong; Mai Tiạn Thộnh, 9C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; NguyÔn Thỡ Thếm, Ngun Thỡ Tó Linh, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; NguyÔn Hoội Phđểng, 7D; NguyÔn Thanh Tẹm, 8B; NguyÔn Vẽn Hỉng, NguyÔn Quèc Nghiến, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Dđểng Gia Huy, 8A1; Ngun ậục ThuẺn, 9A3; Hoộng Phóc ậỰt, 9A4; Ngun Thanh Bừnh, ậinh Minh Hộ, NguyÔn ậục MỰnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phú Th

TRịNH HOàI DƯƠNG

Bi 6(129).Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng trưn tẹm O bịn kÝnh R vộ ệđêng cao AH bỪng M, N theo thụ tù lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa H trến AB, AC Chụng minh rỪng M, O, N thỬng hộng Lêi giời.Cã hai trđêng hĩp xờy

Trđêng hĩp ABC nhản

Gải K lộ giao ệiÓm thụ hai cựa AO vộ ệđêng trưn (O)

Ta thÊy AN.AC AH2(vì AH BC HN AC)

Do ú

Suy NAO KAC (c.g.c) VËy

Tđểng tù Tãm lỰi

ậiÒu ệã cã nghỵa lộ M, O, N thỬng hộng Trđêng hĩp ABC khềng nhản Chụng minh tđểng tù trđêng hĩp

NhẺn xĐt.Bội toịn nộy dƠ, rÊt nhiỊu bỰn tham gia giời Tuy nhiến nhiÒu lêi giời quị dội Xin tến mét vội bỰn cã lêi giời tèt: Trẵn Thỡ Thu nh, 9A3, THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc Ninh;Vò Thỉy Linh, 9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Duy Khđểng, 8A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi; NguyÔn Trung Phóc, 9A; Ngun Hăng Qc Khịnh, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An

Ngun Minh Hµ

o o o

AOM AON 90 90 180

o

AOM 90

o

AON ACK 90 AN AK AO AC

2

2R (v× AH 2R)

AO.AK (v× AK 2AO 2R)

15 Cho d·y sè 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, Hỏi số hạng thứ 2014 sè nµo?

Thịi NhẺt Phđĩng (GV THCS Ngun Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)

Cã rÊt nhiÒu cịch chia tam giịc ệđĩc cịc bỰn gỏi ệạn Xin giắi thiỷu hai cịch chia cho mẫi phẵn a, b, c

Gải I lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc cựa tam giịc ABC Vừ tam giịc ABC khềng cẹn nến ba ệoỰn thỬng IA, IB, IC ệềi mét khềng bỪng Giờ sỏ IA IB IC

a)C¸ch

C¸ch

b)Cịch 1.Vỳ ệđêng trưn (I, IA) cớt cỰnh AB tỰi G, cớt cỰnh BC ẻ D vộ E, cớt cỰnh AC ẻ F

C¸ch

c)Cịch 1.Vỳ ệđêng trưn (I; R) (vắi r R IA, r lộ bịn kÝnh ệđêng trưn néi tiạp ABC) cớt cỰnh AB tỰi K, H; cớt cỰnh BC ẻ D, E; cớt cỰnh AC ẻ G, F

C¸ch

NhẺn xĐt ậa sè cịc bỰn gỏi lêi giời ệỊu cã kạt quờ ệóng Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: Vi Quý Vđểng, 8A, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả; Ngun Vẽn Hỉng, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; PhỰm Thỡ Thớm, 9C, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa; TỰ Mai Anh, 9A1, THCS Lđểng Thạ Vinh, Thanh Xuẹn, Hộ Néi; NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An, Ngề QuyÒn, Hời Phng

Compa vui tính khen bạn: Hoàng Đức Thuận, 8A, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ

Anh compa

SỐ HẠNG THỨ 2014

16 thộnh nả, ềng Bin nữi tiạng lộ mét doanh nhẹn thộnh ệỰt Gẵn ệẹy, hay phời ệi ệẹy ệi ệã, lỰi thếm từnh hừnh an ninh trẺt tù cã nhiÒu phục tỰp khã lđêng nến ềng Bin quyạt ệỡnh sỳ tuyÓn chản cho mừnh mét vỷ sỵ

Ngđêi trĩ lÝ cựa ềng Bin ệở từm ệđĩc ụng cỏ viến Tuy nhiến, chản sè thừ ềng Bin chđa thÓ quyạt ệỡnh ệđĩc Cờ ngđêi ệÒu cã tay nghÒ cao vộ sục kháe tèt, biạt cẹn nhớc lùa chản thạ nộo ệẹy? Vèn lộ bỰn cựa nhau, lỰi rÊt tin tđẻng Sếlềccềc nến ềng Bin ệở nhê thịm tỏ gióp ệì Thịm tỏ vui vĨ nhẺn lêi vộ vắi kinh nghiỷm lẹu nẽm cựa mừnh, ềng ệở cã kạ hoỰch bÝ mẺt ệĨ gióp bỰn mừnh lùa chản

Hềm ệã, tỰi mét nhộ hộng ệềng ệóc, ềng Bin mêi thịm tỏ, ngđêi trĩ lÝ cỉng ụng cỏ viến tắi gẳp mẳt

Bến mẹm cểm thẹn mẺt, ềng Bin rãt rđĩu mêi mải ngđêi TÊt cờ ệÒu vui vĨ nẹng cèc, trõ mét ụng cỏ viến Anh ta nãi mừnh khềng biạt uèng rđĩu nến nhÊt ệỡnh khềng uèng Ai nãi thạ nộo anh còng khềng nghe Thịi ệé cựa anh khiạn ềng Bin vộ ngđêi trĩ lÝ ệÒu cờm thÊy khềng ệđĩc vui Mét lóc sau, mải ngđêi ệang ẽn uèng, chuyỷn trư thừ bẫng cã tiạng la hĐt thÊt vảng vộo tõ bến ngoội Hừnh nhđ cã tến cđắp tịo tĩn xềng vộo nhộ hộng Ngay lẺp tục, ụng cỏ

viến vỷ sỵ lao Ngđêi khềng biạt uèng rđĩu lóc nởy vộ mét ngđêi nọa thừ vÉn ngăi yến bến ềng Bin Ngđêi trĩ lÝ cựa ềng Bin gớt lến:

- Sao cậu cịn ngồi ngây đấy? Lỡ đâu có muốn hại ơng Bin sao?

Mẳc cho ngđêi trĩ lÝ quịt thịo, hai ngđêi vÉn im lẳng vộ vÉn ệụng yến bến ềng Bin

l¹! Vệ sĩ mà ỳ ra, chẳng chịu xông pha cả?

Một lúc sau, ứng cử viên chạy vào báo cáo:

- Tha ng, bớt ệđĩc tến cđắp!

hÊp tÊp chỰy theo Riếng ngđêi khềng biạt uèng Bin bùc quị, cđêi khÈy:

- Bớt ệđĩc răi mộ anh còng khềng quan tẹm đ? ậóng thẺt lộ

Ngđêi vỷ sỵ vÉn im lẳng, khềng cởi cẹu nộo còng khềng tá thịi ệé gừ

Sau buữi ệã, thịm tỏ Sếlềccềc ệở ệđa ý Bin vộ ngđêi trĩ lÝ nghe thịm tỏ phẹn tÝch cịng cờm thÊy rÊt thuyạt phơc vộ ệở ệăng lưng nhÊt trÝ chản ngđêi đng ý nhÊt

Đố bạn biết: Thám tử Sêlôcôc khun chọn ai? Vì sao?

CHỌN

vệ só Ngun §øc

17 Bớt ngđêi phơ trĨ

V× nãi dèi lé råi

ChØ nghe loáng thoáng Mà biết rõ vậy?

Nộo mÊt cờ chiạc tói Nộo khãc ệạn lộ thđểng Cề phôc vô gian tham Hởy khai kĨo muén!

ậẹy lộ cẹu trờ lêi bỪng thể cựa bỰn Vị ậục Anh, 6C, THCS Ngun Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninhvộ ệã lộ cẹu trờ lêi ệóng RÊt nhiỊu bỰn khịc còng ệđa ý kiạn nhđ bỰn ậục Anh Tuy nhiến, mét sè bỰn, cã lỳ cịch phịn ệoịn chđa chẳt chỳ nến ệở ệẳt nghi vÊn vộo chộng trai phôc vô Ngoội bỰn ậục Anh, nhọng bỰn sau còng ệđĩc nhẺn phẵn thđẻng kừ nộy: PhỰm Thỡ Thóy An, 6A, THCS Khịnh NhỰc, Yến Khịnh, Ninh Bừnh;Cao Thỡ Vẹn Anh, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; ậẳng Thỡ Thanh HuyÒn, 6/5, THCS Lế Vẽn Thiếm, TP Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh; Lế Thộnh Tẹm, 8E, THCS Hỉng Vđểng, TP Tuy Hưa,Phó Yến

Th¸m tư Sêlôccôc

VUẽ MAT TROM TRONG QUAN AấN (TTT2 số 129)

BỰnậộo Bị ậẽng, 8A, THCS Tam Cđêng, Vỵnh Bờo,Hời Phưng ệở giời bỪng bội thể ệÒ cê kừ 56 nhđ sau

Thạ cê cụ tđẻng khã ghế Suy ệi tÝnh lỰi hÒ hÒ luền

D5 xe xuèng chiÕu vua

Vua ta bÝ nđắc tèt ệộnh cụu nguy D5 tèt ệụng oai hỉng

Mã liền thấy d3 liền Vua lại lần lâm nguy Tốt đứng e4 phóng vù d3

Chỉ đợi lập cơng F2 đứng liền f4

Lẵn nộy vua hạt nđắc ệi

Bên đen yếu nên đành thua

Ngoội bỰn ậẽng, cịc bỰn sau còng ệđĩc thđẻng kừ nộy: Dđểng Lẹm Anh, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; TỰ Bờo Anh Ngảc, 7E, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; Lế Huy Quang, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; NguyÔn Thanh Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả

Lª Thanh Tó

Trắng trước chiếu hết sau nước

LÊ THANH TÚ

19 definition định nghĩa

notation kí hiệu property tính chất assumption giả thiết condition điều kiện theorem định lí formula cơng thức formulation phát biểu

proof chøng minh

solution lêi gi¶i argument lËp luËn conclusion kÕt luËn

remark nhËn xÐt

number sè

quantity sè lđĩng

size độ lớn

abstract tãm t¾t introduction giíi thiƯu references các tham khảo

article bài báo

paper bài báo

publication đăng, xuất bản

referee phản biện

system hÖ, hÖ thèng

it nã

all tất cả

every mọi

each mỗi

any bÊt k×, tïy ý there is a cã mét

none không có

both cả hai

either ci nộo còng ệđĩc neither khềng cã cịi nộo cardinal numbers sè ệạm

ordinal numbers sè thø tù

most hÇu hÕt, tËn cïng

least Ýt nhÊt

greatest lín nhÊt smallest nhá nhÊt

multiples béi

many nhiỊu

few Ýt

a, an cã thĨ thay cho sè 1

some mét vµi

one of mét trong

mentioned earlier ệở ệÒ cẺp trđắc ệã

that đó

but nhðng

as nhð lµ

too qu¸

enough đủ

equality b»ng nhau difference kh¸c nhau therefore do vËy deduce that suy rằng

do vậy vì

e.t.c vân vân

because v×

since v×

then do đó

so do đó

TỪ THƯỜNG GẶP TRONG báo tốn, sách tốn

20

đơng ba (Hà Nội) Sðu tầm Bạn thay

chọ cịi bẻi mét chọ sè cho ệđĩc phĐp tÝnh ệóng, biạt rỪng cịc chọ cịi khịc biĨu thỡ cịc chọ sè khịc Lêi giời cẵn ghi râ lẺp luẺn

1.ậẹy lộ trđêng hảc cựa chóng tềi Trđêng cựa chóng tềi rÊt lắn, rÊt sỰch sỳ

2.Trến giị sịch cựa tềi cã rÊt nhiÒu sịch Trung Vẽn Giị sịch cựa tềi rÊt ngẽn nớp 3.TiÓu Hời, ệẹy lộ vđên hoa nhộ bỰn ộ? Vđên hoa nhộ bỰn ệứp thạ!

4.Nhà chúng tơi có nhiều đồ dùng Đồ dùng nhà sẽ, đẹp Tơi thích nhà tơi

Cịc bỰn cã lêi giời tèt: PhỰm Thỡ Hộ, 9D, THCS Lế Q ậền, TP Lộo Cai; Ngun Tiạn Dịng, 8A1, THCS Thỡ trÊn Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai;NguyÔn Duy Khịnh, 8A1, THCS Sềng Lề; NguyÔn Tuyạt Mai, 8A1, THCS Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến; Lế Thỡ Phđĩng, 8E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,Vỵnh Phóc;ậẳng Thỡ Hđêng, Ngun Quang Minh, 8B; Chu Thỡ Hời Yạn, 7A3; NguyÔn Thỡ Mai, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Thỡ Phđểng, 9A, THCS Trung Nghỵa, Yến Phong, Bớc Ninh

BÝnh Nam Hµ ĐẾN VỚI TIẾNG HÁN

Lêi giời ậẹy lộ bội toịn khã Chử cã mét vâ sỵ nhẺn lêi thịch ệÊu lộ vâ sỵ Lế Huy Quang, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc Xin giắi thiỷu lêi giời cựa vâ sỵ Quang

Ta thÊy

Từ đó, ý KM BS, KN CS, suy

VËy KB KC

Gải H lộ trùc tẹm cựa ABC Chó ý rỪng BF, CE lộ cịc ệđêng cao cựa HBC, tđểng tù nhđ trến, ta cã LB LC

VËy KL BC

LÊy D, R cho c¸c tø gi¸c AHDF, QRKL hình bình hành (R NK)

Ta thy HE NC HD // AF, AF CF, CF // NS Do ú

Mặt khác, CHE CAF nên

Vậy EHD CNS Điều có nghĩa

Kạt hĩp vắi DE SN, SN RN, suy DE // RN Kạt hĩp vắi DF // RQ, EF // NQ, ta ệđĩc

DEF RNQ

Do

Nãi c¸ch kh¸c 2KL HA

NhẺn xĐt ậđểng nhiến vâ sỵ Quang lộ ngđêi ệẽng quang trẺn ệÊu nộy

Ngun Minh Hµ KL RQ QN

HA DF FE HED NCS HE HE EC 2NC NC HD AF FC 2NS NS

EHD CNS

2 2 2

2 2 2

1

KB KS MB MS BF BE

4

1CE 1CF NC NS KC KS

4

2 2 2

1 1

MB BF; MS BE; NS CF; NC CE

2 2

BF CF BC BE CE

21

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi

Bài toán thách đấu: Cho tam giác ABC nhọn Gọi Ao, Bo, Cotheo thứ tự hình chiếu A, B, C BC, CA, AB; A1, A2theo thứ tự hình chiếu B, C BoCo; B1, B2theo thứ tự hình chiếu C, A CoAo; C1, C2 theo thứ tự hình chiếu A, B AoBo

Chøng minh r»ng S(A1B1C1) S(A2B2C2) XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.03.2014 theo dÊu bđu ệiỷn

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI BA

22 Bội tẺp toịn trư chểi xuÊt hiỷn mét sè kừ thi Olympic toịn Quèc gia vộ Quèc tạ vắi ệÒ bội vộ lêi giời thđêng khị ệa dỰng nến thó vỡ vộ hÊp dÉn, rÊt thÝch hĩp vắi hảc sinh trung hảc cể sẻ Toịn trư chểi cã thĨ gióp phịt triĨn tđ suy luẺn lềgÝc, khờ nẽng giời quyạt cịc bội toịn thùc tạ, khờ nẽng sỏ dông vộ kạt nèi cịc kiạn thục

1 Phđểng phịp ệỰi lđĩng bÊt biạn

ậẹy lộ mét nhọng phđểng phịp khị họu hiỷu giời toịn trư chểi

ậỰi lđĩng (hay tÝnh chÊt) bÊt biạnlộ ệỰi lđĩng (tÝnh chÊt) khềng thay ệữi quị trừnh thùc hiỷn cịc phĐp biạn ệữi

Giả sử trò chơi trạng thái ban đầu Do tính bất biến nên khơng thể thay đổi trạng tháitừ chẵn thành lẻ, từ trắng thành đen, từ chia hết thành chia có dð Từ ta có kết luận trạng thái cuối cùngcủa trò chơi

BÊt biạn ệđĩc sỏ dơng ệĨ giời quyạt nhiỊu dỰng toịn khịc nhau, khềng chử cịc bội toịn trư chểi BÊt biạn nhiỊu khã nhẺn biạt, ệĨ giời cẵn phẹn tÝch ệÓ phịt hiỷn hoẳc tỰo quy luẺt bÊt biạn Phđểng phịp ệỰi lđĩng bÊt biạn trư chểi Bội 1.TỰi mẫi ề cựa mét lđắi 4 chụa mét dÊu céng hoẳc dÊu trõ Mẫi lẵn, ta ệữi dÊu cựa tÊt cờ cịc ề trến cỉng mét hộng hoẳc cỉng mét cét tõ céng sang trõ vộ ngđĩc lỰi Biạt ban ệẵu lđắi cã dÊu céng vộ 15 dÊu trõ, hái cã thĨ ệđa lđắi vỊ dỰng cã toộn dÊu céng ệđĩc khềng?

Giời Thay dÊu céng bỪng sè vộ dÊu trõ bỪng XĐt tÝch tÊt cờ cịc sè trến lđắi TÝch nộy bỪng nạu cã sè chơn dÊu trõ vộ bỪng nạu cã sè lĨ dÊu trõ Qua mẫi phĐp biạn ệữi, tÝch nộy khềng thay ệữi(vừ mẫi phĐp biạn ệữi thừ tÝch cịc sè trến hộng hay cét ệđĩc ệữi dÊu vÉn khềng ệữi) Ban ệẵu, tÝch cịc sè trến bờng lộ nến khềng thĨ ệđa vỊ bờng cã tÝch cịc sè bỪng (găm toộn dÊu céng)

Bội Trến bộn cê 8 cã 32 quẹn trớng vộ 32 quẹn ệen, mẫi quẹn chiạm mét ề vuềng TỰi mẫi bđắc ệi ngđêi chểi thay tÊt cờ cịc quẹn trớng thộnh quẹn ệen vộ tÊt cờ cịc quẹn ệen thộnh

quẹn trớng trến mét hộng hoẳc mét cét nộo ệã Hái sau họu hỰn bđắc, cã thÓ cưn lỰi mét quẹn ệen trến bộn cê khềng?

Giời.Nạu trđắc chuyÓn cã k quẹn ệen trến hộng (cét) ệỡnh chuyÓn thừ sè quẹn trớng trến hộng (cét) Êy lộ k Sau chuyÓn thừ hộng (cét) cã k quẹn ệen vộ k quẹn trớng Sè quẹn ệen trến bộn cê sau chuyÓn lộ (8 k) k 2k, lộ sè chơn

Vì ban đầu có 32 quân đen nên số quân đen bàn cờ luôn chẵn

Vy khềng thÓ tõ trỰng thịi 32 (sè chơn) quẹn ệen trến bộn cê ệđa ệạn trỰng thịi cưn lỰi mét (sè lĨ) quẹn ệen trến bộn cê ệđĩc

Bội (Về ệỡch toịn Rio Plata, 1996 - 1997) Trến mét ệđêng trưn viạt 1996 sè vộ mét sè Mét bđắc ệi cho phĐp chản mét sè vộ ệữi hai sè liÒn kÒ cựa sè ệđĩc chản ệã, tõ thộnh vộ thộnh Hái cã thÓ ệữi tÊt cờ cịc sè thộnh sè ệđĩc khềng? Cẹu hái cịng nhđ vẺy nạu lóc ệẵu ta cã 1997 sè 0?

Giời.Nhãm 1996 sè thộnh 499 nhãm, mẫi nhãm cã sè Lẵn thụ nhÊt chản sè ẻ vỡ trÝ thụ hai mẫi nhãm vộ thùc hiỷn ệữi sè Hai sè thụ nhÊt vộ thụ ba trẻ thộnh sè Lẵn thụ hai chản sè ẻ vỡ trÝ thụ ba vộ ệữi nèt hai sè ẻ vỡ trÝ thụ hai vộ thụ tđ Nhđ vẺy ta ệđĩc sè Cụ tiạp tôc lộm nhđ vẺy, ta ệđĩc 1997 sè

Khềng thÓ ệữi tÊt cờ 1997 sè vộ mét sè thộnh 1998 sè ệđĩc

Thật vậy, sau phép đổi hai số liền kề (0 thành thành 0) tính chẵn lẻ tổng tất số vòng tròn tăng đơn vị, giảm đơn vị, khơng đổi Nghĩa là, tính chẵn lẻ tổng số vòng tròn bất biển

Do tững lóc ệẵu lộ nến khềng thĨ biạn thộnh sè chơn lộ 1998 ệđĩc (khi cã tÊt cờ 1998 sè 1) Bội (Chản ệéi tuyÓn Hăng Kềng tham dù IMO 2000, vưng 1)

Cã 1999 tịch uèng trộ ệẳt trến bộn Lóc ệẵu tÊt cờ ệỊu ệđĩc ệẳt ngỏa TỰi mẫi bđắc ệi, ta lẺt ngđĩc 100 tịch sè chóng (óp thộnh ngỏa, ngỏa

BẤT BIẾN

trong tốn trị chơi

23 thộnh óp) Hái sau mét sè bđắc ệi, cã thĨ lộm cho tÊt cờ chóng ệỊu óp xng ệđĩc khềng, tỰi sao? Trờ lêi cẹu hái nộy trđêng hĩp chử cã 1998 tịch

Giời Theo quy tớc chểi, lẵn ệẵu ta phời óp 100 tịch Sau ệã, tỰi mẫi thêi ệiÓm, sỏ cã k tịch ệang ệẳt ngỏa ệđĩc óp xuèng thừ 100 k tịch ệang óp ệđĩc lẺt ngỏa lến Do ệã sè cịc tịch óp ệở tẽng lến k chiạc vộ giờm ệi 100 k VẺy sè tịch óp bỡ thay ệữi ệi mét sè chơn lộ (100 k) k 100 2k, lộ mét sè chơn nến tÝnh chơn lĨ cựa tững sè cịc tịch óp khềng thay ệữi Mộ ban ệẵu sè tịch óp ẻ trỰng thịi chơn nến khềng thÓ lộm cho sè tịch óp bỪng 1999 (trẻ vỊ trỰng thịi lĨ) ệđĩc Nạu sè tịch ngỏa lóc ệẵu lộ 1998 (sè chơn) thừ cã thĨ óp tÊt cờ cịc tịch, cịch lộm nhđ sau: ậịnh sè cịc tịch theo thụ tù 1, 2,…, 1998 Lẵn lđĩt óp mẫi lẵn 100 tịch, sau 18 lẵn óp ệđĩc 1800 tịch chun trỰng thịi tõ ngỏa sang óp Lẵn thụ 19 óp 99 tịch sè 198 tịch ngỏa cưn lỰi (sè 1801, 1802,…, 1899) vộ lẺt ngỏa mét tịch (thÝ dô, sè 1) Nhđ vẺy, sau 19 lẵn, sè tịch ngỏa cưn lỰi lộ 100 (sè vộ 1900,…, 1998) Lẵn thụ 20 óp nèt 100 tịch nộy vộ tÊt cờ 1998 tịch ệÒu b úp

Bài (Thi Olympic 30.4 lần 8, 2007, líp 10) Víi mét tam thøc bËc hai, cho phÐp thùc hiƯn mét hai phÐp to¸n sau:

1) Hoịn vỡ hỷ sè cựa x2vộ sè hỰng tù 2) Thay x bỪng x m vắi m lộ sè thùc tỉy ý Hái cã thÓ nhẺn ệđĩc tam thục 30x2 4x 1975 tõ tam thục x2 5x 2007 sau mét sè bđắc thùc hiỷn liến tiạp mét hai phĐp toịn trến khềng? Giời Sau thùc hiỷn phĐp toịn thụ nhÊt, tam thục bẺc hai P(x) ax2 bx c trẻ thộnh f(x) cx2 bx a Ta thÊy biỷt thục b2 4ac khềng ệữi sau phĐp hoịn vỡ

Thùc hiƯn phÐp to¸n thø hai, tam thøc trë thµnh P(x m) a(x m)2 b(x m) c ax2 (b 2am)x (am2 bm c) BiÖt thøc (b 2am)2

4a(am2 bm c) b2 4ac, không đổi sau phép biến đổi

VẺy biỷt thục lộ mét ệỰi lđĩng bÊt biạn sau cờ hai phĐp biạn ệữi

Tam thục Q(x) 30x2 4x 1975 cã Q 8053, cưn tam thục R(x) x2 5x 2007 cã R 237016 nến cờ hai phĐp toịn trến khềng thÓ nhẺn ệđĩc tam thục Q(x) từ tam thc R(x)

3 Kĩ thuật tô màu

Nhiều phải sáng tạo cách dùng kĩ thuật tô màu để phát bất biến

Bài 6.(Vô địch Liên Xô lần thứ hai, 1968)

a) (Lắp 8, 9) Trong mét lđắi 4 ệđĩc ệẳt cịc dÊu

céng vộ cịc dÊu trõ nhđ hừnh Cho phĐp ệăng thêi ệữi dÊu tÊt cờ cịc dÊu cịc ề cựa mét hộng, mét cét hoẳc trến ệđêng thỬng song song vắi mét hai ệđêng chĐo chÝnh cựa hừnh vuềng (ệẳc biỷt, cã thÓ ệữi dÊu cựa ề gãc) Chụng minh rỪng theo quy tớc nộy ta khềng bao giê nhẺn ệđĩc bờng cã tÊt cờ cịc ề chụa cịc dÊu céng tõ bờng cã 15 dÊu céng vộ dÊu trõ (khềng nỪm tỰi ề gãc) nhđ hừnh

H×nh H×nh

b) (Lắp 10) Trến tÊt cờ cịc ề cựa mét bộn cê 8, mét ề khềng phời ề gãc ệđĩc ệẳt dÊu trõ, cịc ề cưn lỰi ệẳt dÊu céng Cho phĐp ệăng thêi ệữi dÊu tÊt cờ cịc sè cịc ề cựa mét hộng, mét cét hoẳc mét ệđêng chĐo (ệđêng chĐo lộ ệđêng ệi cựa quẹn tđĩng, nãi riếng, cã thÓ ệữi dÊu mét ề gãc bÊt kừ) Chụng minh rỪng theo quy tớc nộy ta khềng bao giê nhẺn ệđĩc bờng cã tÊt cờ cịc ề chử chụa cịc dÊu céng tõ bờng ẻ hừnh

Giời a) Tề ệen tịm ề nhđ hừnh Vừ mải ệđêng thỬng song song vắi cỰnh hoẳc ệđêng chĐo hừnh vuềng bao giê còng chử cớt mét sè chơn (0 hoẳc 2) cịc ề ệen nến sau cịc phĐp ệữi dÊu nhđ ệẵu bội, tÝnh chơn lĨ cựa tững sè dÊu trõ cịc ề ệen ệã lộ bÊt biạn Do ệã tõ bờng ban ệẵu cã dÊu céng vộ 15 dÊu trõ, bỪng phĐp biạn ệữi trến ta khềng thÓ ệđa vÒ bờng cã trỰng thịi cã 16 dÊu céng

b) Chia bộn cê 8 thộnh lđắi 4 vộ ịp dông cẹu a) cho bờng vuềng cã chụa dÊu trõ Bội tẺp

Bài (Vô địch Kiev, 1974)

Cịc sè 1, 2, , 1974 ệđĩc viạt trến bờng Ngđêi chểi ệđĩc phĐp thay hai sè bÊt kừ bẻi mét sè khịc bỪng tững hoẳc bỪng hiỷu cựa cịc sè ệã Hởy chử rỪng, sau 1973 lẵn thùc hiỷn phĐp toịn ệã, sè cưn lỰi trến bờng khềng thÓ bỪng

Bài (Vơ địch tồn liên bang Nga lần thứ 5, 1971, lớp 10)

24 Rachelle uses pounds of meat to make hamburgers for her family How many pounds of meat does she need to make 24 hamburgers for a neighborhood picnic?

(A) (B) (C) (D) (E) In the country of East Westmore, statisticians estimate there is a baby born every hours and a death every day To the nearest hundred, how many people are added to the population of East Westmore each year?

(A) 600 (B) 700 (C) 800 (D) 900 (E) 1000 3.On February 13 The Oshkosh Northwester listed the length of daylight as 10 hours and 24 minutes, the sunrise was 06:57 AM, and the sunset as 08:15 PM The length of daylight and sunrise were correct, but the sunset was wrong When did the sun really set?

(A) 05:10 PM (B) 05:21 PM (C) 05:41 PM (D) 05:57 PM (E) 06:03 PM

4 Peter’s family ordered a 12-slice pizza for dinner Peter ate one slice and shared another slice equally with his brother Paul What fraction of the pizza did Peter eat?

(A) (B) (C) (D) (E)

5.In the diagram, all angles are right angles and the lengths of the sides are given in centimeters Note the diagram is not drawn to scale What is, X in centimeters?

(A) (B) (C) (D) (E)

6.A rectangular photograph is placed in a frame that forms a border two inches wide on all sides of the photograph The photograph measures inches high and 10 inches wide What is the area of the border, in square inches?

(A) 36 (B) 40 (C) 64 (D) 72 (E) 88 Isabella must take four 100-point tests in her math class Her goal is to achieve an average grade of 95 on the tests Her first two test scores were 97 and 91 After seeing her score on the third test, she realized she can still reach her goal What is the lowest possible score she could have made on the third test?

(A) 90 (B) 92 (C) 95 (D) 96 (E) 97

today’s sale” In addition, a coupon gives a 20% discount on sale prices Using the coupon, the price today represents what percentage off the original price?

(A) 10 (B) 33 (C) 40 (D) 60 (E) 70 9.The Fort Worth Zoo has a number of two-legged birds and a number of four-legged mammals On one visit to the zoo, Margie counted 200 heads and 522 legs How many of the animals that Margie counted were two-legged birds?

(A) 61 (B) 122 (C) 139 (D) 150 (E) 161 10.How many 4-digit numbers greater than 1000 are there that use the four digits of 2012?

(A) (B) (C) (D) (E) 12 11 The mean, median, and unique mode of the positive integers 3, 4, 5, 6, 6, 7, are all equal What is the value of x?

(A) (B) (C) (D) 11 (E) 12 12.What is the units digit of 132012?

(A) (B) (C) (D) (E) 13.Jamar bought some pencils costing more than a penny each at the school bookstore and paid $1.43 Sharona bought some of the same pencils and paid $1.87 How many more pencils did Sharona buy than Jamar?

(A) (B) (C) (D) (E) 6 12 24 2

2012 AMC PROBLEMS

25 14 In the BIG N, a middle school football conference, each team plays every other team exactly once If a total of 21 conference games were played during the 2012 season, how many teams were members of the BIG N conference? (A) (B) (C) (D) (E) 10 15 The smallest number greater than that leaves a remainder of when divided by 3, 4, 5, or lies between what numbers?

(A) 40 and 50 (B) 51 and 55 (C) 56 and 60 (D) 61 and 65 (E) 66 and 99

16.Each of the digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and is used only once to make two five-digit numbers so that they have the largest possible sum Which of the following could be one of the numbers?

(A) 76531 (B) 86724

(C) 87431 (D) 96240

(E) 97403

17.A square with integer side length is cut into 10 squares, all of which have integer side length and at least of which have area What is the smallest possible value of the length of the side of the original square?

(A) (B) (C) (D) (E) 18 What is the smallest positive integer that is neither prime nor square and that has no prime factor less than 50?

(A) 3127 (B) 3133

(C) 3137 (D) 3139

(E) 3149

19.In a jar of red, green, and blue marbles, all but are red marbles, all but are green, and all but are blue How many marbles are in the jar? (A) (B) (C) (D) 10 (E) 12 20 What is the correct ordering of the three numbers and , in increasing order?

(A) (B)

(C) (D)

(E)

21.Marla has a large white cube that has an edge of 10 feet She also has enough green paint to cover 300 square feet Marla uses all the paint to create a white square centered on each face, surrounded by a green border What is the area of one of the white squares, in square feet?

(A) (B) 10 (C) (D) 50 (E)

22.Let R be a set of nine distinct integers Six of the elements are 2, 3, 4, 6, 9, and 14 What is the number of possible values of the median of R? (A) (B) (C) (D) (E) 23.An equilateral triangle and a regular hexagon have equal perimeters If the area of the triangle is 4, what is the area of the hexagon?

(A) (B) (C) (D) (E) 24.A circle of radius is cut into four congruent arcs The four arcs are joined to form the star figure shown What is the ratio of the area of the star figure to the area of the original circle?

(A) (B) (C) (D) (E)

25.A square with area is inscribed in a square with area 5, with one vertex of the smaller square on each side of the larger square A vertex of the smaller square divides a side of the larger square into two segments, one of length a, and the other of length b What is the value of ab?

(A) (B) (C) (D) (E) 2 5 50 10

7

21 19 23

5

19 23 21

9

23 19 21

5

19 21 23

9

23 21 23

9 23 7,

26

MỘT SỐ ỨNG DỤNG (TiÕp theo trang 3)

3 Bài toán góc

Bi ton Cho ba ệđêng thỬng a, b vộ c cớt tỰi ệiÓm K tỰo thộnh hai gãc nhản bỪng nhđ hừnh vỳ Trến ệđêng thỬng a lÊy hai ệiÓm A1vộ A2, trến ệđêng thỬng b lÊy hai ệiÓm B1 vộ B2 cho giao ệiÓm cựa A1B1 vộ A2B2 lộ ệiÓm C1thuéc c Gải C2lộ giao ệiÓm cựa cựa cịc ệđêng thỬng A2B1 vộ A1B2 Chụng minh rỪng

Gi¶i

Gải C3lộ giao ệiĨm cựa cịc ệđêng thỬng KC1 vộ A1B2

áp dụng định lí Ceva vào tam giác B2KA1ta có

Mẳt khịc ệđêng thỬng A2B1 cớt hai cỰnh KB2, KA1 vộ phẵn kĐo dội cỰnh A1B2 cựa tam giịc B2KA1 nến ịp dông ệỡnh lÝ Menelaus ta cã

Tõ (1) vµ (2) suy

Theo giả thiết ta có nên ta có

Tõ (3) vµ (4) ta cã

Suy KC2 lộ ệđêng phẹn giịc ngoội cựa tam giịc A1KB2, tõ ệã KC2 KC3

VËy

Bµi tËp vËn dông

Bội 1.Cho tam giịc nhản ABC dùng phÝa ngoội tam giịc cịc tam giịc cẹn ệăng dỰng A’BC, AB’C, ABC’ Cịc tam giịc cẹn nộy cã cịc cỰnh ệịy tđểng ụng lộ BC, AC vộ AB Chụng minh rỪng cịc ệđêng thỬng AA’, BB’ vộ CC’ ệăng quy

Bội 2.Cho tam giịc ABC cã trung tuyạn BM Trến tia ệèi cựa tia MB lÊy ệiÓm N Qua N vỳ ệđêng thỬng cớt cịc ệđêng thỬng AM vộ AB lẵn lđĩt tỰi P vộ Q Cịc ệđêng thỬng QM vộ NC cớt tỰi E; cịc ệđêng thỬng BE vộ AC cớt tỰi F Chụng minh rỪng PM MF

Bội Cho tam giịc ABC vuềng tỰi C cã ệđêng cao CK KĨ ệđêng phẹn giịc CE cựa tam giịc ACK Gải D lộ trung ệiÓm cựa AC, hai ệđêng thỬng DE vộ CK cớt tỰi F Chụng minh rỪng BF // CE

Bội 4.Cho tam giịc ABC cã trung tuyạn AD Trến AD lÊy ệiÓm K cho AK : KD : Hái ệđêng thỬng BK chia diỷn tÝch tam giịc ABC theo tử sè nộo?

o

C KC 90

1

2 2

A C KA

B C KB

1

2

A C KA (4)

B C KB

2 3

B KC A KC

2

1 2 2

1 2 2

2 2

1 2 2

B C

KB A A KB B C A A

B B C A A K B B A C KA

B C B C A C A C (3)

A C A C B C B C

1 2

1 2

KB B C A A 1 (2)

B B A C KA

2

1

1

B C

KB A A 1 (1)

B B C A A K

o

27

Vui vui ngựa

- Tõ ngớn nhÊt ệđĩc dỉng ệÓ chử ngùa lộ tõ chử cã chọ cịi trong tiạng ệỡa phđểng ẻ mét vỉng thuéc Mềng Cữ Cưn tõ dội nhÊt găm hển 30 chọ cịi, ệđĩc mét bé lỰc ngđêi da ệá sỏ dông.

-ẻxụ sẻ cã nhiÒu bẽng tuyạt lộ New Zealand cã mét gièng ngùa cã bé lềng khềng thÊm nđắc.

- Ngđêi ta ệở tõng ghi nhẺn ệđĩc trđêng hĩp mét ngùa mứ sinh 19 ngùa cỉng mét lóc.

- Nguy cể mớc bỷnh tiĨu ệđêng ẻ nhọng ngđêi chẽn ngùa thÊp hển 50% so vắi nhọng ngđêi lộm nghÒ khịc.

- Trến thạ giắi cã 23 dẹn téc coi ngùa lộ loội vẺt thẵn thịnh, linh thiếng Mét bé lỰc ẻ chẹu Phi cưn quan niỷm: Ai bỡ chạt vừ nhọng lÝ do liến quan tắi ngùa thừ linh hăn sỳ ệđĩc lến ngay thiến ệđêng.

- Nạu ệẳt trđắc mẳt ngùa mét thỉng cộ phế vộ mét thỉng ca cao thừ 4/5 trđêng hĩp ngùa sỳ chản cộ phế.

- Ngùa cã khờ nẽng ệỡnh hđắng tuyỷt vêi. ậếm ệen, bởo tuyạt hay giã mđa ệỊu khềng lộm chóng lỰc lèi.

- Ngùa võa ngự ệụng võa ngự nỪm Khi cờm thÊy chđa thùc sù an toộn hoẳc chđa quị mỷt, ngùa thđêng võa ệụng võa lim dim, gộ gẺt Cưn nhọng lóc hoộn toộn bừnh an hoẳc

- Góc nhìn ngựa rộng, gần nh hình tròn Chúng nhìn thấy hầu hết thứ phía sau mà không cần ngoái đầu lại.

- Sẹn khÊu xiạc ệđĩc xẹy dùng theo ngùa. Sẹn khÊu xiạc tiếu chuÈn luền cã ệđêng kÝnh gẵn 13 m - kÝch thđắc ệđĩc coi lộ phỉ hĩp nhÊt ệÓ ngùa cã thÓ phi nđắc ệỰi mộ khềng lộm ngđêi ệang cđìi bỡ ngở.

28

Mỉa xuẹn lộ mỉa ệẵu tiến cựa nẽm Cã phời vừ thạ mộ nã ệđĩc thiến nhiến đu ịi?

Cẹy cèi ệẹm chăi nờy léc, phỉ sa thớm ệá Tiạng chim cuèi vđên, ệẵu ngâ rÝu ran nhđ mêi gải mẫi ngđêi hởy gẵn nhau hển cho thịng ngộy tđểi ệứp.

Mïa xu©n

Thạ răi nhđ quy luẺt cựa tỰo hãa, mỉa xuẹn còng phời nhđêng chẫ cho mỉa hỰ, mỉa thu, mỉa ệềng.

Ba mùa trôi qua, có nhớ mùa xuân?

Hay cẹy cèi ệẹm chăi, tiạng chim rÝu ran thừ ta mắi nhđ Bẻi vừ mỉa xuẹn lộ mỉa ệẵu tiến cựa nẽm Vỡ trÝ Êy ệẹu chử xịc ệỡnh vưng tuẵn hoộn cựa ệÊt trêi mộ cưn nhớc mẫi ngđêi: sù khẻi ệẵu cựa bao dù ệỡnh, đắc mể ệở ệạn. Nạu khềng chim lỰi hãt, léc biạc lỰi ệẹm chăi? Mỉa xuẹn

NguyÔn Phđểng Linh

I am a book - ệã lộ ệịp ịn cựa cẹu ệè vui bỪng thể What I am? mộ Chự Vđên ệđa ra trến TTT2 sè 129 Nhọng trang sịch ệđĩc vÝ nhđ nhọng chiạc lị mộu trớng chụa ệẵy cịc kÝ tù mộu ệen - mộ ệảc nhọng kÝ tù ệã chóng ta cã thĨ từm thÊy bao ệiỊu bữ Ých. RÊt nhiỊu bỰn cã cẹu trờ lêi nhđ vẺy, tuy nhiến, còng cã nhiÒu bỰn lỰi ệđa mét sè lêi giời khịc, chđa thùc sù thuyạt phôc. Chự Vđên xin gỏi quộ tắi: NguyÔn Quang Minh, 7A1, THCS ậăng Cđểng, Yến LỰc; NguyÔn Hđểng Giang, 6A3, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc; ậẳng Quang Anh, 7A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa; Vâ Hỉng TuÊn, 7A,

THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Đặng Thị Thanh Huyền, 6/5, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà TÜnh, Hµ TÜnh.

Chự Vđên

29 hð chứng minh nhà toán học nổi tiếng Pythagore Ai Cập thì nếu tam giác vng với độ dài hai cạnh góc vng độ dài cạnh huyền

Sè nộy ệđĩc coi lộ hỪng sè Pythagore vộ cã thÓ dỉng nã ệÓ xịc ệỡnh ệé dội ệđêng chĐo cựa mét hừnh vuềng

ậỡnh lÝ Pythagore còng cung cÊp mét phđểng phịp cho cịc nhộ kiạn tróc vộ xẹy dùng nếu ra mét gãc vuềng LÊy vÝ dô, hừnh vỳ thừ gãc ệèi diỷn vắi cỰnh dội sỳ lộ mét gãc vuềng vừ 32 42 52.

Ngđêi Ai CẺp ệở dỉng phđểng phịp ệo cỰnh tam giịc ệÓ tỰo nhọng gãc vuềng ẻ kim tù thịp.

sềng hđểng (Hộ Néi)

2

1 1,4142

1,4142

CĂN BẬC HAI CUA 2

Siêu thị có Mỹ từ 1930, có châu Âu từ 1946.

Từ 1920 thđ tõ ệđĩc chuyÓn tõ chẹu ằu qua chẹu Mủ bỪng mịy bay.

Từ 1882 Pháp, tất trẻ em từ tuổi đều phải học.

Nđắc Phịp cã 27000000 ngđêi lao ệéng. Dẹy chuyÒn sờn xuÊt ề tề ệẵu tiến cã ẻ Mủ nẽm 1890.

Nẽm 1800 cưn 3/4 sè ngđêi lao ệéng ẻ chẹu ằu lộm nềng nghiỷp ậạn nẽm 2000 chử cưn 3% sè ngđêi lao ệéng lộ nềng dẹn. Gutenberg, ngđêi ậục phịt minh cịch in sịch tõ giọa thạ kử XV NghÒ in ệêi tõ ệÊy.

Internet xuất Mỹ từ 1965-1968.

Vũ Đô Quan

BẠN CÓ BIẾT

30 gộy nhá bỰn gẳp cịc thẵy, cề giịo hộng ngộy BỰn ệở phẵn nộo hiĨu nghỊ dỰy hảc lộm gừ Thẵy hiỷu trđẻng lộm gừ bỰn cịng hiĨu sể sể răi nhử? Thẵy, cề vộ thẵy hiỷu trđẻng chỡu sù giịm sịt cựa tra ậạn bỷnh viỷn bỰn gẳp bịc sỵ, y sỵ, y tị, nha sỵ, dđĩc sỵ Trđắc nọa, bĐ hển bẹy giê, bỰn cưn gẳp cề bờo mÉu ậi siếu thỡ vắi mứ, bỰn gẳp nhẹn viến bịn hộng, nhẹn viến thu ngẹn, Phô trịch gian hộng lộ trđẻng gian hộng Muèn cã hộng bịn ẻ siếu thỡ cẵn cã nhẹn viến phô trịch mua hộng Hộng ệÓ trong kho cã ngđêi coi kho (thự kho) trềng giọ. Ra chĩ bỰn gẳp ngđêi bịn thỡt, ngđêi bịn cị, nhọng ngđêi bịn cịc mẳt hộng khịc nọa: rau, bịnh, hoa quờ BỰn cưn thÊy bịc thĩ giẵy, cớt tãc, nhuém tãc ậÊy lộ cịc nghÒ nghiỷp bỰn hay thÊy Theo bỰn, muèn lộm

mét ngềi nhộ thừ cẵn nhọng ngđêi thĩ lộm nhọng nghÒ gừ? Muèn sỏa chọa nhộ hay gải chung lộ dỡch vơ vỊ nhộ cỏa thừ cẵn nhọng thĩ nộo? Cưn bỰn, lắn lến bỰn sỳ lộm nghÒ gừ? Nạu lộm nghÒ ệã bỰn sỳ phời lộm nhọng viỷc gừ? Muèn mét tê bịo ệêi thừ phời cã nhọng cềng viỷc gừ?

bÝnh nam hµ

BẠN SẼ LÀM NGHỀ GÌ?

(TTT2 sè 129) Cịc bỰn sau nhẺn giời: TrẵnThỡ DiÔm Quúnh, 7G, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An;Chu Thỡ Hời Yạn, 7A3, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; NguyÔn Phđểng Thờo, 9A, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn, Hộ Nam; Ngun Tiạn Dịng, 8A1, THCS Thỡ trÊn Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai;Vò Hoộng Nam, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả. NXM BAạO VAử ÁP THẤP NHIEẢT ứỚI

Cấp gió Tốc độ gió (m/s)

1 0,3 - 1,5

2 1,6 - 3,3

3 3,4 - 5,4

4 5,5 - 7,9

5 8,0 - 10,7

6 10,8 - 13,8

7 13,9 - 17,1

8 17,2 - 20,7

9 20,8 - 24,4

10 24,5 - 28,4

11 28,5 - 32,6

12 32,7 - 36,9

31

Hái: Em hảc rÊt dèt mền VẺt lÝ Anh cã phđểng phịp gióp em hảc tèt mền nộy ệđĩc khềng ?

Phạm Thị Hải Anh

(6A, THCS Phan Bội Chu, th trấn T K, Hi Dng)

Đáp:

VËt lÝ khoa häc thùc hµnh

ậi kÌm lÝ thuyạt toịn thềng minh Quan sịt thđêng ngộy vộ giời thÝch Gớn ệiÒu ệđĩc hảc vắi xung quanh Thuéc thềng lÝ thuyạt lộm bội tẺp ThÝ nghiỷm chđa lộm thỏ hừnh dung Nhọng gừ ệển giờn thừ ịp dông Cịi LÝ cựa VẺt răi sỳ quen

Hái:Anh Phã ểi! Em vộ cịc bỰn bá chung bội giời vộo mét phong bừ ệÓ gỏi thừ cã ệđĩc khềng Ự?

Nguyễn Huy Thành Nam

(7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, thị trấn Bút Sơn, Hoằng Hóa, Thanh Hóa)

Đáp:

iu ny anh ó tr li

Đừng quên tên tuổi nơi học hành Quan trọng phải tự

Dự thi giỏi thành tài Rồi ngồi nhớ tuổi trăng rằm

Gửi chung giải nhằm giải cao

Hi: Anh Phó ơi! Hạn nộp giải ngày nộp hẹn nhðng muộn bạn khác có bị thiệt khơng ạ?

Hoµng Anh Quân

(Số ngõ 163 Nguyễn Khang, Cầu Giấy, Hà Nội)

Đáp:

Np mun ỳng hn hỡ hì Nghe thấy kì kì

Thi có thời gian

Không qua giới hạn hoàn toàn Dấu tem bu điện

c¸c Líp &

Bội 1(131) Cho m vộ n lộ cịc sè nguyến dđểng tháa mởn phẹn sè tèi giờn vộ phẹn sè khềng tèi giờn Từm đắc chung lắn nhÊt cựa 4m 3n v 5m 2n

nguyễn Đễ(Hải Phòng) Bài 2(131).So sánh

tống thành vũ (Cao học toán K5, Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa)

các Lớp THCS

Bội 3(131).Giời phđểng trừnh

bïi h¶i quang (GV THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ)

Bi 4(131).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c thuéc ệoỰn [3; 5] Chụng minh rỪng

hă ệục khịnh (HS 11 toịn, THPT chuyến Quờng Bừnh) Bội 5(131) Vắi mẫi sè nguyến dđểng n, gải Anlộ sè nguyến dđểng cã 2nchọ sè vộ cịc chọ sè ệÒu bỪng Chụng minh rỪng sè An cã Ýt nhÊt n đắc sè nguyến dđểng phẹn biỷt lộ nhọng sè ệềi mét nguyến tè cỉng

trẵn bị linh (Lắp Marketing 1, K34, ậỰi hảc Kinh tạ TP Hă ChÝ Minh) Bội 6(131).Tõ ệiÓm P bến ngoội ệđêng trưn tẹm O, kĨ cịc tiạp tuyạn PA, PB tắi ệđêng trưn (O), vắi A vộ B lộ nhọng tiạp ệiÓm Gải C, D lộ nhọng ệiÓm thuéc cung lắn AB cho AC BD; I lộ giao ệiÓm cựa AD vắi BC; M lộ trung ệiÓm AI Chụng minh rỪng P, M, C thỬng hộng

trẵn Quèc luẺt (HS 10A1, THPT Cao Thớng, Hđểng Sển, Hộ Tỵnh)

ab bc ca a b c

3 3x 12x 7 x2 3x x 1.

2

1 1

A ,

1008 2013

1 1 1

B

1007 2014

4m 3n 5m 2n m

n

32

1(131).Letmandnbe positive integers such that the fraction is irreducible and the fraction is not irreducible Find the greatest common divisor of 4m 3nand 5m 2n

2(131).Compare the values of AandBwhere

3(131).Solve the following equation

4(131).Leta,b, and cbe positive real numbers in the range of [3; 5] Prove that

5(131).For each positive integer n, let Anbe the number having 2ndigits which are all equal to Prove that Anhas at least ndistinct positive divisors which are pairwise coprime

6(131).From the point Poutside a circle centered at O, draw the tangent lines PAandPBwhereAand B are points of tangents Let C and D be points on the major arc AB such that AC BD, I be the intersection of ADandBC, and Mbe the midpoint of AI Prove that P,M, and Care collinear

ab bc ca a b c

x x x x x

3 12 7 3 2 1.

2 A

B

1 1 1 ,

1008 2013

1 1 .

1007 2014

m n m n m n phiếu đăng kí tham dự cuộc thi GTQT năm học 2013-2014