Đề thi thử THPT quốc gia

Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để  số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng.. Ký hiệu C là chữ số chẵn, L là chữ số lẻ.[r]

MỤC LỤC

1.PHÉP ĐẾM (QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN) 5

2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 6

2.1 ĐẾM SỐ (CHỈ DÙNG MỘT LOẠI P HOẶC A HOẶC C)

2.2 CHỌN NGƯỜI, VẬT

3. XÁC SUẤT 8

4. CẤP SỐ CỘNG 13

5. CẤP SỐ NHÂN 14

6. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 15

6.1 Góc đường thẳng mặt phẳng 15

6.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 20

7. KHOẢNG CÁCH 22

7.1 Từ chân H đường cao đến mp cắt đường cao 22

7.2 Từ điểm M (khác H) đến mp cắt đường cao 22

7.3 Hai đường chéo (vẽ đoạn v.góc chung) 26

7.4 Hai đường chéo (mượn mặt phẳng) 27

8. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 31

8.1 Xét tính đơn điệu hàm số (biết đồ thị, BBT y) 31

8.2 ĐK để hàm số-bậc ba đơn điệu khoảng K 34

8.3 ĐK để hàm số-nhất biến đơn điệu khoảng K 36

8.4 Đơn điệu liên quan hàm hợp, hàm ẩn 38

8.5 Ứng dụng tính đơn điệu vào PT, BPT, HPT, BĐ 38

9. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 41

9.1 Tìm cực trị hàm số cho công thức y, y’ 41

9.2 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BBT y) 42

9.3 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BXD y’) 45

9.4 Cực trị liên quan hàm hợp, hàm ẩn 47

9.5 Cực trị liên quan hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 54

10. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 58

10.1 GTLN, GTNN f(x) đoạn [a;b] biết biểu thức f(x) 58

10.2 Tìm m để hs f(x) có GTLN, GTNN thỏa mãn đk cho trước 60

10.3 GTLN, GTNN hàm nhiều biến dạng khác 61

11. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 62

11.1 Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ,không chứa tham số 62

11.2 Tiệm cận đồ thị hàm số f(x) dựa vào BBT không tham số 64

12. ĐỌC ĐỒ THỊ - BIẾN ĐỔI ĐỒ TH 65

12.1 Nhận dạng hàm số thường gặp (biết đồ thị, BBT) 65

12.2 Xét dấu hệ số biểu thức (biết đồ thị, BBT) 69

12.1 Tìm toạ độ (đếm) giao điểm 73

12.2 Đếm số nghiệm pt cụ thể (cho đồ thị, BBT) 75

12.3 Tương giao liên quan hàm hợp, hàm ẩn 81

12.4 ĐK để f(x) = g(m) có n-nghiệm (chứa GTTĐ) 91

12.5 ĐK để f(x) = g(m) có n-nghiệm thuộc K (khơng GTTĐ) 92

13. MŨ - LŨY THỪA 95

13.1 Kiểm tra quy tắc biến đổi lũy thừa, tính chất 95

13.2 Tính tốn, rút gọn biểu thức có chứa biến(a,b,c,x,y,….) 95

14. LOGARIT 96

14.1 Câu hỏi lý thuyết tính chất 96

14.2 Biến đổi biểu thức logarit liên quan a,b,x,y 97

14.3 Tính giá trị biểu thức logarit không dùng BĐT 98

14.4 Dạng toán khác logarit 99

15. HÀM SỐ MŨ - LOGARIT 100

15.1 Tập xác định liên quan hàm số mũ, hàm số lơ-ga-rít 100

15.2 Đạo hàm liên quan hàm số mũ, hàm số lơ-ga-rít 102

15.3 Đồ thị liên quan hàm số mũ, Logarit 102

15.4 Câu hỏi tổng hợp liên quan hàm số lũy thừa, mũ, lơ-ga-rít 102

15.5 Bài tốn lãi suất 103

15.6 Bài toán tăng trưởng 104

15.6 Hàm số mũ ,logarit chứa tham số 106

15.6 Min-Max liên quan hàm mũ, hàm lơ-ga-rít(nhiều biến) 107

16. PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 113

16.1 PT,BPT mũ bản, gần (không tham số) 113

16.2 Phương pháp đưa số (không tham số) 113

16.3 Phương pháp hàm số, đánh giá (không tham số) 115

17. PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGA 116

17.1 Câu hỏi lý thuyết 116

17.2 PT,BPT loga bản, gần (không tham số) 117

17.3 Phương pháp đưa số (không tham số) 119

17.4 PP phân tích thành nhân tử (không tham số) 119

17.5 Phương pháp hàm số, đánh giá (không tham số) 121

17.6 Phương trình loga có chứa tham số 122

17.7 Phương trình,bất phương trình tổ hợp mũ loga có tham số 122

18. NGUYÊN HÀM 123

18.1 Định nghĩa, tính chất nguyên hàm 123

18.2 Nguyên hàm hs bản, gần 124

18.3 Nguyên hàm phân thức 126

18.5 Nguyên hàm kết hợp đổi biến phần hàm xđ 126

18.6 Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn 127

19. TÍCH PHÂN 128

19.1 Kiểm tra định nghĩa, tính chất tích phân 128

19.2 Tích phân bản(a), kết hợp tính chất (b) 130

19.3 PP tích phân phần-hàm xđ 132

19.4 Kết hợp đổi biến phần tính tích phân-hàm xđ 133

19.5 Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn 134

20. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 135

20.1 Xác định cơng thức tính diện tích, thể tích dựa vào đồ thị 135

20.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm xác định 135

20.3 Thể tích giới hạn đồ thị (trịn xoay) hàm xác định 138

21. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 139

21.1 Các yếu tố thuộc tính số phức 139

22. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 141

22.1 Thực phép toán số phức 141

22.2 Xác định yếu tố số phức (phần thực, ảo, mô đun, liên hợp,…) qua phép tốn 142

22.3 Giải phương trình bậc theo z (và z liên hợp) 144

23. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 145

23.1 Câu hỏi lý thuyết, biểu diễn hình học số phức 145

23.2 Tập hợp điểm biểu diễn đường trịn, hình trịn 145

24. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 146

24.1 Tính tốn biểu thức nghiệm 146

24.1 Các tốn biểu diễn hình học nghiệm phương trình 147

24.1 Các tốn khác phương trình 148

25. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 149

25.1 Câu hỏi dạng lý thuyết(Cơng thức V,h,B ;có sẵn h, B;…) 149

25.2 Thể tích khối chóp 150

25.3 Thể tích khối chóp khác 151

25.4 Tỉ số thể tích khối chóp 157

26. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ-ĐA DIỆN KHÁC 159

26.1 Câu hỏi dạng lý thuyết(Cơng thức V,h,B ;có sẵn h, B;…) 159

26.2 Thể tích khối lập phương, khối hộp chữ nhật 159

26.3 Thể tích khối lăng trụ 160

26.4 Thể tích khối đa diện phức tạp 160

27. KHỐI NÓN 163

27.1 Câu hỏi lý thuyết khối nón 163

27.1 Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, Thể tích(liên quan) khối nón biết kiện 163 28. KHỐI TRỤ 168

29. KHỐI CẦU 172

29.1 Câu hỏi liên quan đến biến đổi V,S,R 172

29.2 Khối cầu nội - ngoại tiếp, liên kết khối đa diện 173

29.3 Bài tốn tổng hợp khối nón, khối trụ, khối cầu 178

30. TỌA ĐỘ ĐIỂM – VECTƠ 182

30.1 Hình chiếu điểm lên trục tọa độ, lên mặt phẳng tọa độ điểm đối xứng 182

31. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 184

31.1 Tìm tâm bán kính, ĐK xác định mặt cầu 184

32.1 Điểm thuộc mặt cầu thoả ĐK 185

32. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 187

32.1 Tìm VTPT, vấn đề lý thuyết 187

32.2 PTMP trung trực đoạn thẳng 188

32.3 PTMP qua điểm, dễ tìm VTPT (không dùng t.c.h) 188

33.4 PTMP qua điểm, song song với mặt phẳng 188

33.5 PTMP theo đoạn chắn 189

33.6 PTMP qua điểm, vng góc với đường thẳng 190

33. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 192

33.1 Các câu hỏi chưa phân dạng 193

33.2 Tìm VTCP, vấn đề lý thuyết 193

33.3 PTĐT qua điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h) 195

33.4 PTĐT qua điểm, thoả ĐK khác 197

1 PHÉP ĐẾM (QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN)

Câu 1. Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh nam học sinh nữ ?

A 11 B 30 C 6 D 5

Lời giải Chọn A

PA1 : Chọn học sinh nam có cách PA2 : Chọn học sinh nữ có cách Theo quy tắc cộng có + = 11 cách

Câu 2. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh nam học sinh nữ?

A 9 B 54 C 15 D 6

Lời giải Chọn C

Chọn học sinh từ 15 học sinh ta có 15 cách chọn

Câu 3. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh nam học sinh nữ

A 7 B 12 C 5 D 35

Lời giải Chọn B

Tổng số học sinh là: 12.+ =

2.1 ĐẾM SỐ (CHỈ DÙNG MỘT LOẠI P HOẶC A HOẶC C)

Câu 4. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc

A 36 B 720 C 6 D 1

Lời giải

Mỗi cách xếp ngẫu nhiên bạn thành hàng dọc hoán vị phần tử nên

Số cách xếp 6! 720=

Câu 5. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?

A 7 B 5040 C 1 D 49

Lời giải Số cách xếp cần tìm là: P7 =7! 5040=

2.2 CHỌN NGƯỜI, VẬT

Câu 6. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?

A 1 B 25 C 5 D 120

Lời giải Chọn D

Có 5! 120= cách xếp học sinh thành hàng dọc

Câu 7. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?

A 8 B 1 C 40320 D 64

Lời giải

Số cách xếp học sinh thành hàng hoán vị phần tử Đáp số: 8! 40320= cách Câu 8. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?

A 8 B 1 C 40320 D 64

Lời giải

Số cách xếp học sinh thành hàng hoán vị phần tử Đáp số: 8! 40320= cách

Câu 9. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh?

A C102 B A102 C 10 D 2 10

Lời giải Chọn A

Mỗi cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh tương ứng với tổ hợp chập tập có 10 phần tử Vậy số cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh

10 C

Câu 10. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Số cách chọn học sinh từ học sinh

A 2 B A72 C C72 D 7 Lời giải

Câu 11. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Có ghế kê thành hàng ngang, xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B A 1

6 B

3

20 C

2

15 D

1

Lời giải Chọn D

Xếp ngẫu nhiên học sinh ghế kê thành hàng ngang có 6! cách Để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B ta có trường hợp

TH1: Xét học sinh C ngồi vị trí đầu tiên:

C B

Ta có 2.4!=48 cách xếp chỗ

TH2: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 2:

B C B

Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ

TH3: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 3:

B C B

Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ

TH4: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 4:

B C B

Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ

TH5: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 5:

B C B

Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ

TH6: Xét học sinh C ngồi vị trí cuối cùng:

B C

Ta có 2.4!=48 cách xếp chỗ

Suy số cách xếp thỏa mãn 48 12 12 12 12+ + + + +48 144= cách Vậy xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B 144

Câu 12. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 25 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn

A.

2 B.

13

25 C.

12

25 D.

313 625 Lời giải

Chọn C

Số phần tử không gian mẫu: n( ) =C252 =300 (kết đồng khả xảy ra) Gọi biến cố A biến cố cần tìm

Nhận xét: tổng hai số số chẵn có trường hợp: + TH1: tổng hai số chẵn

Từ số đến số 25 có 13 số chẵn, chọn 13 số chẵn có: C132 =78 (cách) + TH2: tổng hai số chẵn

Từ số đến số 25 có 12 số chẵn, chọn 12 số chẵn có: C122 =66 (cách) Suy ra: n A( )=78 66 144+ =

Vậy: ( ) ( )

( ) 144300 1225

n A P A

n

= = =



Câu 13. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn

A. 25

42 B.

5

21 C.

65

126 D.

55 126

Lời giải

Có A49 cách tạo số có chữ số phân biệt từ X =1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

9

A 3024

S

 = =

3024

  =

Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn”

Nhận thấy khơng thể có chữ số chẵn chữ số chẵn lúc ln tồn hai chữ số chẵn nằm cạnh

Trường hợp 1: Cả chữ số lẻ Chọn số lẻ từ Xvà xếp thứ tự có

5

A số Trường hợp 2: Có chữ số lẻ, chữ số chẵn

Chọn chữ số lẻ, chữ số chẵn từ X xếp thứ tự có C C 4!35 14 số Trường hợp 3: Có chữ số chẵn, chữ số lẻ

Chọn chữ số lẻ, chữ số chẵn từ X có C C25 24 cách Xếp thứ tự chữ số lẻ có 2! cách

Hai chữ số lẻ tạo thành khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào khoảng trống thứ tự có 3! cách

trường hợp có 2

5

Vậy ( )

4 2

5 5

A C C 4! C C 2!.3! 25

3024 42

A

P A =  = + + =



Câu 14. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác chữ số thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7 Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để  số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn

A

35 B

16

35 C

22

35 D

19 35

Lời giải Ta có n( ) = A74

Gọi số có chữ số abcd

Ký hiệu C chữ số chẵn, L chữ số lẻ

Các số thuận lợi cho biến cố A dạng sau: Dạng 1: CLLL, LCLL, LLCL, LLLC có C A31 43.4 số Dạng 2: CLCL, LCLC, CLLC có 3.A A32 42 số Dạng 3: LLLL có P4 số

Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n A( )=C A13 43.4 3.+ A A32 42+P4

Vậy ( ) ( )

( ) 2235

n A P A

n

= =



Câu 15. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác chữ số thuộc tập hợp 1, 2,3, 4,5, 6, Chọn ngẫu nhiên số thuộc  S, xác suất số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ

A 1

5 B

13

35 C

9

35 D

2 Lời giải

* Số cần lập có dạng: a a a a1 4

( )

7 840

n  =A =

Gọi biến cố A:" số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ” TH1: Hai chữ số lẻ hai chữ số chẵn không liên tiếp

Có cách xếp sau: + Các số chẵn lẻ liên tiếp

+ a a4 chữ số lẻ, a2 a3 chữ số chẵn

Số số cần chọn là: 2 2

4

2!.A A +C 2!.C 2! 216=

TH2: chữ số lẻ chữ số chắn Số số cần chọn 4.C33.4! 96=

Vậy n A( )=216 96+ =312

Xác suất biến cố A là: ( ) ( )

( ) 1335

n A P A

n

= =



A

81. B. C.18 D.2

Lời giải Chọn B

Gọi số cần lập abcdef với a0 Ta có n( ) =9A95

Gọi A: “số tự nhiên có chữ số đơi khác có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ”

TH1: a chẵn, f chẵn, e lẻ có: 4.4.5.A73 =80.A73 số TH2: a chẵn, f lẻ, e chẵn có: 4.5.4.A73 =80.A73 số TH3: a lẻ, f lẻ, e chẵn có: 5.4.5.A73 =100.A73 số TH4: a lẻ, f chẵn, e lẻ có: 5.5.4.A73 =100.A73 số Suy n A( )=360A73

Vậy xác suất để chọn số tự nhiên có chữ số đơi khác có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ ( )

3

360

9

A P A

A

= =

Câu 17. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Gọi Slà tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số có hai chữ số tận có tính chẵn lẻ

A 4

9 B

2

9 C

2

5 D

1

Lời giải Chọn A

Gọi số cần lập a a a a a a1 6, ai0,1, ,9 ; i=1, 6;a10

Gọi A biến cố: “chọn số tự nhiên thuộc tập Ssao cho số có hai chữ số tận có tính chẵn lẻ”

Do ( )

9

9 136080

n  = A =

Trường hợp 1: a1chẵn hai chữ số tận chẵn

Số cách lập:

4

4.A A =10080

Trường hợp 2: a1chẵn hai chữ số tận lẻ Số cách lập: 4.A A52 73=16800

Trường hợp 3: a1lẻ hai chữ số tận chẵn Số cách lập: 5.A A52 73=21000

Trường hợp 4: a1lẻ hai chữ số tận lẻ Số cách lập: 5.A A42 73 =12600

Xác suất để số có hai chữ số tận có tính chẵn lẻ bằng: ( ) ( )( ) 60480

1360809

n A P A

n

= = =



Câu 18. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Xét số thực thỏa mãn 2x2+ +y2 1(x2+y2−2x+2 4) x Giá trị

lớn biểu thức

2

x P

x y

+ =

− + gần với giá trị sau nhất?

Lời giải Chọn C

( )

2

1 2

2x+ +y  x +y −2x+2 4x

2

1 2

2

2x+y− x+ x +y −2x+2

( )12 ( )2 ( )

2

1

2x− +y − x− +y − 0

Đặt ( )2 2

1

t= x− +y

( ) ( )2 2

1 2t 0 1

t t x y

 − −      − + 

( ) ( )

8

2

2

x

P P x P y P

x y

+

=  − − + − =

− +

Yêu cầu toán tương đương:

( ) ( )

2 2

2 2

2

1 12 5 5

2

P P

P P P P

P P

− + −

  −  − +  −   +

− +

Câu 19. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ

A 50

81 B

1

2 C

5

18 D

5 Lời giải

Chọn D

Gọi x=abcde a, 0 số tự nhiên có chữ số khác Khi có 9.9.8.7.6 27216= số

Số phần tử không gian mẫu n( ) =27216

Gọi F biến cố số x có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ TH1: Một hai chữ số cuối có chữ số : Có C P A51 .2 83 =3360 số TH2: Hai chữ số tận khơng có chữ số : Có 1

4 .7.7.6 117602

C C P = số

Suy n F( )=3360 11760 15120.+ =

Vậy ( ) ( )

( ) 59

n F P F

n

= =



Câu 20. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập hợp 1, 2,3, 4,5, 6, Chọn ngẫu nhiên số thuộc  S, xác suất số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ

A 1

5 B

13

35 C

9

35 D

2 Lời giải

* Số cần lập có dạng: a a a a1 4

( )

7 840

n  =A =

Gọi biến cố A:" số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ” TH1: Hai chữ số lẻ hai chữ số chẵn không liên tiếp

Số số cần chọn là: 2 2

4

2!.A A +C 2!.C 2! 216=

TH2: chữ số lẻ chữ số chắn Số số cần chọn 4.C33.4! 96=

Vậy n A( )=216 96+ =312

Xác suất biến cố A là: ( ) ( )

( ) 1335

n A P A

n

= =



Câu 21. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số thuộc  S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ

A 17

42 B

41

126 C

31

126 D

5 21

Lời giải Số phần tử S

9 3024 A =

Chọn ngẫu nhiên số từ tập S có 3024 (cách chọn) Suy n( ) =3024 Gọi biến cố A: “ Chọn số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ” Trường hợp 1: Số chọn có chữ số chẵn, có 4! 24= (số)

Trường hợp 2: Số chọn có chữ số lẻ chữ số chẵn, có 5.4.4! 480= (số) Trường hợp 3: Số chọn có chữ số lẻ chữ số chẵn, có 2

5

3.A A =720 (số) Do đó, n A( )=24 480 720 1224+ + =

Vậy xác suất cần tìm ( ) ( )

( ) 12243024 1742

n A P A

n

= = =

4 CẤP SỐ CỘNG

Câu 22. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho cấp số cộng ( )un với u1 =3 u2 =9 Công sai cấp số cộng cho

A −6 B 3 C 12 D 6

Lời giải Chọn D

Công sai cấp số cộng cho d =u2− = − =u1

Câu 23. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho cấp số cộng ( )un với u1 =11 công sai d =3 Giá trị

A 8 B 33 C 11

3 D 14

Lời giải Chọn D

Ta có u2 = + = + =u1 d 11 14

Câu 24. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho cấp số cộng ( )un với u1=9 công sai d =2 Giá trị

u

A 11 B 9

2 C 18 D 7

Lời giải Chọn A

Ta có: u2= + = + =u1 d 11

Câu 25. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho cấp số cộng ( )un với u1=8 công sai d =3 Giá trị

u

A 8

3 B 24 C 5 D 11

Lời giải Chọn D

Áp dụng cơng thức ta có: u2 = + = + =u1 d 11

Câu 26. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho cấp số cộng ( )un với u1=3 u2=9 Công sai cấp số cộng cho

A 6 B 3 C 12 D −6

Công sai cấp số cộng cho u2− =u1

5 CẤP SỐ NHÂN

Câu 27. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho cấp số nhân ( )un với u1=3 công bội q =2 Giá trị u2

A 8 B 9 C 6 D 3

2

Lời giải Ta có: un =u q1 n−1u2 =u q1 =3.2=6

Câu 28. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho cấp số nhân ( )un với u1=2 công bội q=3 Giá trị

u

A. B 9 C 8 D 2

3 Lời giải

Ta có u2 =u q1 =2.3=6

Câu 29. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho cấp số nhân ( )un với u1 =3 công bội q=4 Giá trị

u

A 64 B 81 C 12 D 3

4

Lời giải

Áp dụng công thức cấp số nhân ta có: un =u q1 n−1u2 =u q1 =3.4 12=

Câu 30. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho cấp số nhân ( )un với u1 =4 công bội q=3 Giá trị

u

A 64 B 81 C 12 D 4

3 Lời giải

2 = =4.3 12=

u u q

Câu 31. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho cấp số nhân ( )un với u1 =4 công bội q=3 Giá trị

u

A 64 B 81 C 12 D 4

3 Lời giải

2 = =4.3 12=

6 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 6.1 Góc đường thẳng mặt phẳng

Câu 32. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng(ABC),

2

SA= a, tam giác ABC vuông B, AB=a BC=a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng(ABC)

A. 90 B. 45 C. 30 D. 60

Lời giải Chọn B.

Ta có: SA⊥(ABC)

 Góc SCvà (ABC) SCA=

( )

2 2

2

tan

3

SA SA a

AC AB BC

a a

 = = = =

+ +

45



 = 

A

B

C S

a 2a

α

a 3 A

B

ABC tam giác vuông B, AB=a, BC=2a; SA

vng góc với mặt phẳng đáy SA= 15a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SCvà mặt phẳng đáy A 45 B 30

C 60 D 90 Lời giải

Ta có: (SC ABC,( ))=SCA

Trong ABCvng B, ta có AC= AB2+BC2 = a2 +4a2 = 5a

Trong SACvng A, ta có tan = = 15 = 3 = 60

5

SA a

SCA

AC a

SCA

Câu 34. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AB=3a

, BC= 3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=2a (tham khảo hình vẽ bên)

Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy

A 60ο B 45ο C 30ο D 90ο Lời giải

Ta có SA⊥(ABC) nên góc SC (ABC) SCA

2 2

9 3

AC= AB +BC = a + a = a

Suy tan

2 3

SA a

ASC

AC a

= = = ο

30

SAC

 =

Câu 35. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B,

AB=a; BC=3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA= 30a Góc đường thẳng SC

và mặt phẳng đáy S

A

B

A 45 B 90 C 60 D 30 Lời giải

Vì SA vng góc với mặt phẳng đáy nên góc SC đáy góc SCA Ta có AC=a 10

Trong tam giác SAC ta có: tanC SA

AC

= =

Vậy góc SCA= 60

Câu 36. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B,

,

AB=a BC=a ,SAvng góc với mặt phẳng đáy SA=a (tham khảo hình bên dưới) Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy

A 90 B 45 C 60 D 30 Lời giải

Ta có ABC vng B

Có AC2=AB2+BC2=a2+2a2=3a2AC=a

Do SA⊥(ABC)(SC ABC,( ))=(SC AC, )=SCA

Trong SCA có tan

3

SA a

SCA

AC a

= = =

A

B S

C

A

B S

Vậy (SC ABC,( ))= 30

Câu 37. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có

,

AB=BC=a AA= a (tham khảo hình dưới) Góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD) bằng:

A 60 B 90 C 30 D 45 Lời giải

Chọn A

Ta có góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD) góc A C AC góc A CA

Ta có AC = AB2+BC2 =a

Xét tam giác A CA có tan 60

2

A A a

A CA A CA

AC a



 = = =   = 

Vậy góc A C mặt phẳng (ABCD) 60

Câu 38. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hình hộp chữ nhật ABCD ' ' 'A B C D' có AB=a,

D 2

A = a, AA'= 3a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A C' mặt phẳng

(ABCD)

A 45 B 90 C 60 D 30

B' C'

D'

C

A D

B

A'

2a 6a

B' C'

D'

C

A D

B

Lời giải Chọn D

Ta thấy: hình chiếu A C' xuống (ABCD) AC

( )

(A C ABC' ; D )=(A C AC' ; )= A CA' Ta có: AC = AB2+AD2 =3a Xét tam giác A CA' vng C ta có:

( ) ' 3

tan '

3

A A a

A CA

AC a

= = =

' 30

A CA 

 =

Câu 39. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B,

,

AB=a BC=a ,SAvng góc với mặt phẳng đáy SA=a (tham khảo hình bên dưới) Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy

A 90 B 45 C 60 D 30 A

B S

Ta có ABC vng B

Có AC2=AB2+BC2=a2+2a2=3a2AC=a Do SA⊥(ABC)(SC ABC,( ))=(SC AC, )=SCA

Trong SCA có tan

3

SA a

SCA

AC a

= = =

30

SCA

 = 

Vậy (SC ABC,( ))= 30

6.2 Góc đường thẳng mặt phẳng

Câu 40. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    , có AB= AA=a,

2

=

AD a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD)

A. 30 B. 45 C. 90 D. 60

Lời giải Chọn A

Vì ABCD hình chữ nhật, có AB=a, AD=a nên

( )2

2 2

2

= = + = + =

AC BD AB AD a a a

Ta có (A C ABCD ;( ))=(A C CA ; )=A CA

Do tam giác A AC vuông A nên tan

3



 = AA = a =

A AC

AC a  30

 =

A AC

Câu 41. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC),

SA= a, tam giác ABC vuông cân B AC =2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC)

A

B S

A o

30 B o

45 C o

60 D o

90 Lời giải

Chọn B

Ta có: SB(ABC)=B; SA⊥(ABC) A

 Hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng (ABC) AB  Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) =SBA

Do tam giác ABC vuông cân B AC =2a nên

2

AC

AB= = a=SA

Suy tam giác SAB vuông cân A

Do đó: o

45

SBA

 = =

Vậy góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) o

7.1 Từ chân H đường cao đến mp cắt đường cao

Câu 42. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cạnh a AA =2a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên)

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A BC ) A.

5

a

B.2

5

a

C 2 57

19

a

D. 57

19

a

Lời giải

Ta có : ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

2

1 1

, ; ; *

2 2

AA AI

d M A BC d C A BC d A A BC AH

AA AI 

 =   =  = =

 +

Tam giác ABC cạnh a có AI độ dài đường trung tuyến nên

2

a AI =

Ta có : ( ( ))

3

1 2 57

(*) ,

2 19 19

4

a

d M A BC a a

 = = =

+

7.2 Từ điểm M (khác H) đến mp cắt đường cao

Câu 43. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB

là tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (Minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến (SBD)

A. 21

14

a

. B. 21

7

a

C.

2

a

D. 21

28

a

Gọi M trung điểm ABSM ⊥(ABCD)

Ta có d A SBD( ( ))=2d M( ,(SBD)).Kẻ MI ⊥BD ta có (SMI) (⊥ SBD)

( )

( ) ( ) 2 2 2 2

3

2 4 21

, ,

14

3

4 16

a a

SM MI a

d M SBD d M SI

SM MI a a

= = = =

+

+

Vậy ( ,( )) 21

7

a

d A SBD =

Câu 44. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC' (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A BC' ) A 21

14

a

B

2

a

C 21

7

a

D

4

a

Lời giải

Ta có ( ;( ' )) ( ';( ' )) ( ;( ' ))

2

d M A BC = d C A BC = d A A BC Gọi N trung điểm BC AH; ⊥A N'

( )

( ) 2 2 2

2

' 2 21

; ' ' a a

AA AN a

d A A BC AH

AA AN a

a

 = = = =

+ +

( )

( ) 21

; '

14

a d M A BC

 =

Câu 45. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C   có đáy ABC tam giác cạnh a AA =2a Gọi M trung điểm AA

(tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB C )

A 57

19

a

B

5

a

C 2

5

a

D 2 57

19

a Lời giải

• Ta có ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

2

d M AB C = d A AB C = d B AB C • Gọi I trung điểm AC, H hình chiếu B B I

Ta có AC BI

AC BB

⊥ 

 ⊥ 

 AC ⊥(BB I ) AC⊥BH

Mà BH⊥B I nên BH ⊥(AB C ), d B AB C( ,(  ))=BH

• Có

2

a

BI = , BB =2a

2

57

19

BI BB a

BH

BI BB 

 = =



+

Vậy ( ,( )) 57

2 19

a d M AB C = BH =

Nhận xét: Bài tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tốn khơng thể thiếu kỳ thi tốt nghiệp THPTQG Lí lời giải cho toán thường đủ ngắn gọn, không đánh đố, phù hợp khuôn khổ đề thi trắc nghiệm, đồng thời toán hàm chứa đủ nhiều kiến thức hình học khơng gian Nếu thí sinh gặp tốn khơng đáng ngại, loại tốn có quy trình tính tốn rõ ràng

M

C'

A B

C

I M

B'

C'

A B

C A'

Câu 46. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA(tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ Mđến mặt phẳng

(AB C )

A

a

B 21

7

a

C

2

a

D 21

14

a

Lời giải

FB tác giả: Lục Minh Tân

Ta có: ( ,( )) ( ,( ))

2

d M AB C = d B AB C

Gọi I trung điểm AC kẻ BK⊥B I E Ta có:

( , ) ( )

BK B I

BK AB C BK AC AC B B AC BI

 ⊥

  ⊥ 

 ⊥ ⊥  ⊥



* Ta có: 3;

2

a

BI = B B =a

2

21

7

B B BI a BK

B B BI 

= =

 +

Vậy, ( ,( )) 21

14

a d M AB C =

Câu 47. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA(tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ Mđến mặt phẳng

A

a

B 21

7

a

C

2

a

D 21

14

a

Lời giải

Ta có: ( ,( )) ( ,( ))

2

d M AB C = d B AB C

Gọi I trung điểm AC kẻ BK⊥B I E Ta có:

( , ) ( )

BK B I

BK AB C BK AC AC B B AC BI

 ⊥

  ⊥ 

 ⊥ ⊥  ⊥



* Ta có: 3;

2

a

BI = B B =a

2

21

7

B B BI a BK

B B BI 

= =

 +

Vậy, ( ,( )) 21

14

a d M AB C =

7.3 Hai đường chéo (vẽ đoạn v.góc chung)

Câu 48. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hình chópSABC có đáy tam giác vng A,

2 ,

A 2

3

a

B

3

a

C

3

a

D

2

a Lời giải

Chọn A

Gọi Nlà trung điểm cạnh AC, mặt phẳng (SMN)//BC Ta có d SM BC( , )=d BC SMN( ,( ))=d B SMN( ,( ))=d A SMN( ,( )) Gọi AI đường cao tam giác vng AMN, ta có

2

5

AM AN a

AI

AM AN

= =

+ Lại có SA⊥(ABC)SA⊥MN, suy (SAI) (⊥ SMN)

Kẻ AH⊥SI ( ) ( ( ))

2

,

3

AI SA a

AH SMN d A SMN AH

AI SA

 ⊥  = = =

+

Vậy ( , )

3

a d SM BC =

7.4 Hai đường chéo (mượn mặt phẳng)

Câu 49. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân

A AB=a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Gọi M trung điểm BC

A 2

a

B. 39

13

a

C.

2

a

D. 21

7

a

Lời giải

Chọn B

Cách (Phương pháp hình học cổ điển):

Gọi N trung điểm AB, MN //AC

Gọi H hình chiếu A lên SN Dễ dàng chứng minh AH ⊥(SMN) Suy d AC SM( , )=d AC( ,(SMN))=d A SMN( ,( ))=AH

Trong tam giác SAN vng A có: 2 12 2

AH = AS + AN , AS =a 3,

1

2

a

AN = AB=

Suy 39

13

a

AH = Vậy ( , ) 39

13

a

d AC SM =

Cách (Phương pháp tọa độ hóa):

Chọn a=1, gắn tốn vào hệ trục tọa độ Axyz, A(0; 0; 0), B(1;0;0), C(0;1;0),

(0;0; 3)

S , 1; ;

2

M 

 

M

A C

B

N

M S

A

C

B H

y z

x

M S

A

Ta có: ( )

,

,

,

SM AC AS d SM AC

SM AC

 

 

=

 

 

với 1; ;

2

SM = − 

 , AC=(0;1; 0), AS =(0;0; 3)

Suy ( , ) 39

13

d SM AC = , hay ( , ) 39

13

a

d SM AC =

Câu 50. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hình chóp S ABCD có đáy tam giác ABC vng cân

A, AB=a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA=2a, M trung điểm BC Khoảng cách AC SM

A

2

a

B

2

a

C 2 17

17

a

D 2

3

a

Lời giải Chọn C

Ta có MN/ /ACMN ⊥(SAB)

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AH ⊥SN H nên AH ⊥(SMN)

Nên ( ( ))

2

17

;

17

AN AS a

d A SMN AH

AN AS

= = =

+

Câu 51. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng ACvà SMbằng

A.

3

a

B.

2

a

C.

2

a

D

5

a Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Gọi N trung điểm AB, ta có AC/ /MN

Suy AC/ / AMN d AC SM, d AC SMN, (

,

d A SMN

Ta có

(

SAB SMN MN SAB

SAB SMN SN AH SMN

AH SN

Suy AH d A SMN,

2 2

2

2

a a

AS AN a

AH

AS AN a

a

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Chọn a 2, ta có A 0;0;0 , B 2;0;0 , C 0; 2;0 , S 0;0; Suy M 1;1;

Ta có 0; 2; , 4; 0;

1;1;

AC

AC SM SM

1;1;

AM AC SM AM, 0.1

Vậy

2 2

, 4 2 5

,

5

,

AC SM AM a

d AC SM

AC SM

8 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

8.1 Xét tính đơn điệu hàm số (biết đồ thị, BBT y)

Câu 52. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

x 2

y 0 0 0

y

1

3

1

Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A (−2;0) B (2;+ ) C ( )0; D (0;+ )

Lời giải Chọn C.

Câu 53. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−  −; 1) B ( )0;1 C (−1; 1) D (−1; 0) Lời giải

Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A. (1;+) B. (−1;1) C. ( )0;1 D. (−1; 0)

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng ( )0;1

Câu 55. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−2; 2) B ( )0; C (−2;0) D (2;+)

Lời giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng: (− −; 2) ( )0; Câu 56. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−3; 0) B (−3;3) C ( )0;3 D (− −; 3)

Lời giải

Từ BBT ta có hàm số f x( ) đồng biến hai khoảng (−3; 0) (3;+)

A (1;+) B ( 1; 0)− C (0;1) D (−; 0) Lời giải

Chọn C

Qua đồ thị hàm số y= f x( )đồng biến khoảng (0;1)

Câu 58. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A (−1;0 ) B (− −; 1) C ( )0;1 D (0;+ )

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ) ta có:

Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (−1;0) (1;+ ), đồng biến khoảng

(− −; 1) ( )0;1

A. (−1; 0) B. (− −; 1) C. (0;+) D. ( )0;1 Lời giải

Chọn A

Câu 60. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số cho đồng biến khoảng đây?

A (−3; 0) B (−3;3) C ( )0;3 D (− −; 3)

Lời giải

Từ BBT ta có hàm số f x( ) đồng biến hai khoảng (−3; 0) (3;+) Câu 61. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A (− −; 1) B ( )0;1 C (−1; 0) D (−; 0)

Lời giải Chọn C

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f '( )x 0 khoảng (−1; 0) (1;+ ) hàm số nghịch biến (−1; 0)

8.2 ĐK để hàm số-bậc ba đơn điệu khoảng K

Câu 62. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số

( )

3

3

y=x − x + −m x đồng biến khoảng (2;+)

A. (−;1 B. (−; 4 C. (−;1) D. (−; 4)

Ta có

'

3

y = x − x+ −m.ycbt y'   0, x (2;+)

( )

2

3x 6x m 0, x 2;

 − + −    + ( )

3 4, 2;

m x x x

  − +   +

(min2; ) ( )

m g x

+

  với g x( )=3x2−6x+4

Ta có ( ) '

6

g x = x− ( ) '

0 6

g x =  x− =  =x

x − +

( ) '

g x +

( )

g x +

4

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m4 thỏa u cầu tốn Vậy: m −( ; 4 hàm số đồng biến khoảng (2;+)

Câu 63. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số

( )

3

3

y=x − x + −m x đồng biến khoảng (2;+)

A (−; 2) B (−;5) C (−;5 D (−; 2 Lời giải

Chọn C

Ta có y =3x2−6x+ −5 m

Hàm số cho đồng biến (2;+) y   0, x (2;+)

2

3x 6x m 0, x m 3x 6x 5, x

 − + −      − +  

Xét hàm số f x( )=3x2−6x+5 khoảng (2;+) Có f( )x =6x−6, f( )x = 0 6x− =  =6 x (lo i)¹ Bảng biến thiên

Từ bàng biến thiên ta có m3x2−6x+  5, x  m Vậy m −( ;5

Câu 64. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Tập hợp tất giá trị thực tham số mđể hàm số

( )

3

3

y=x − x + −m xđồng biến khoảng (2;+)là

A (− −; 1 B (−; 2) C (− −; 1) D (−; 2 Lời giải

Chọn D

( )

3x 6x m 0, x 2;

 − + −    + ( )

3 2, 2;

m x − x+  x +

Xét hàm số f x( )=3x2−6x+  2, x (2;+) ( )

' 6

f x = x− ; f '( )x = 0 6x− =  =6 x Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy m2 Vậy m −( ; 2

Câu 65. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số

( )

4

3

f x = x +mx + x+ đồng biến ?

A 5 B 4 C 3 D 2

Lời giải Chọn A

* TXĐ: D=

* Ta có: f( )x =x2+2mx+4

Để hàm số đồng biến điều kiện ( )

0; 2

f x      =x  m −   −  m

mà m   − −m  2; 1;0;1; 2

8.3 ĐK để hàm số-nhất biến đơn điệu khoảng K

Câu 66. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y x x m

+ =

+ đồng biến khoảng (− −; 7)

A 4; ) B (4;  C ( )4; D (4;+ )

Lời giải Tập xác định: D= \ −m

( )2

4

' m

y

x m

− =

+

Hàm số đồng biến khoảng (−; 7)

( )

'

4

; 7

y m

m

m m



  

    

−  − − −  −

 



Câu 67. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số y x x m + =

+ đồng biến khoảng (− −; 8)

A (5;+) B (5;8 C 5;8) D ( )5;8 Lời giải

Tập xác định hàm số D= \ −m

Hàm số y x

x m + =

+ đồng biến khoảng (− −; 8)

( )

0, ;

y x x m     − −     −  ( ) ( ) ( )

0, ;

; m x x m m −     − −  +   −  − −  5 8 m m m m m          −  −   

Vậy m(5;8 thỏa mãn yêu cầu tốn

Câu 68. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Tìm m để hàm số y x x m

+ =

+ đồng biến khoảng (− −; )

A (2;5  B 2;5 ) C (2;+) D ( )2;5

Lời giải Điều kiện: x −m

Ta có:

( )2

2 ' m y x m − = +

Hàm số đồng biến khoảng ( )

( )

'

; 5

; 5

y m m m m    −   − −      −  − − −  −    Vậy m(2;5

Nhận xét: Bài tốn khơng mới, nhiên bạn học sinh học khơng kĩ bị sai thiếu điều kiện −  − −m ( ; 5), dẫn tới sai lầm chọn C làm đáp án

Câu 69. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số

3 x y x m + =

+ đồng biến khoảng (− −; 6)

A (3;6  B ( )3; C (3;+) D 3;6 )

Lời giải

TXĐ: D \ m

Ta có

( )2

3 m y x m −  = +

Để hàm số đồng biến khoảng (− −; 6) y x ;

3 3

3

; 6

m m m

m

m m m

Câu 70. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số

3 x y x m + =

Lời giải

TXĐ: D \ m

Ta có

( )2

3

m y

x m

−  =

+

Để hàm số đồng biến khoảng (− −; 6) y x ;

3 3

3

; 6

m m m

m

m m m

8.4 Đơn điệu liên quan hàm hợp, hàm ẩn

Câu 71. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ), bảng xét dâu f( )x sau:

hàm số y= f (3 2− x) nghịch biến khoảng đây?

A (4;+) B (−2;1) C ( )2; D ( )1;

Lời giải Chọn B

Ta có: y= −2.f(3 2− x)

( ) ( ) 3 2

0 3

3 1

x x

y f x f x

x x

−  −  −  

 

  −  −    −   

−  

 

Vậy hàm số cho nghịch biến ( )2;3 (−;1)

8.5 Ứng dụng tính đơn điệu vào PT, BPT, HPT, BĐ

A m f ( )2 −2 B m f ( )0 C m f ( )2 −2 D m f ( )0 Lời giải

Chọn B

Ta có: f x( ) + x m g x( )= f x( )− x m Từ đồ thị hàm số y= f( )x ta thấy: ( ) ( )

( )0;2 ( ) ( ) ( )

1 max 0

g x = f x −   g x =g = f Do đó: bất phương trình f x( ) +x m nghiệm với x( )0;

( )0;2 ( ) ( )

maxg x  m f m

Câu 73. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Có cắp số nguyên dương (m n, ) cho m n+ 14

và ứng với cặp (m n, ) tồn ba số thực a −( 1;1) thỏa mãn 2am=nln(a+ a2+1) ?

A. 14 B. 12 C. 11 D. 13

Lời giải

Chọn C.

Xét f x( ) 2.xm ln(x x2 1)

n

= − + + (−1;1)

Đạo hàm ( )

2

2

0 m

m

f x x

n x

−

 = − =

+

Theo đề f x( )=0 có ba nghiệm nên

2

1 m

m x

n x

− =

Xét đồ thị hàm

2 ;

1

y x y

x

= =

+ , suy m−1 chẵn m− 1

Suy m3;5;7;9;11;13 Khi f( )x =0 có nghiệm

0

x x

    

Phương trình có nghiệm ( )

( )

1

1

f f

   

−  

( )

( )  

2

ln

2 1;

2

ln

n

n n

n

  +



    =

−  −



 1;

9 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

9.1 Tìm cực trị hàm số cho công thức y, y’

Câu 74. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f( )x =x x( +2 ,)2  x Số điểm cực trị hàm số cho

A 0 B 3 C 2 D 1

Lời giải Chọn D.

Ta có phương trình f( )x =0 có hai nghiệm x=0 x= −2 (là nghiệm kép) Bảng xét dấu

Suy hàm số cho có điểm cực trị

Câu 75. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f( )x =x x( −1)(x+4 ,)3  x

Số điểm cực đại hàm số cho

A. B. C. D.

Lời giải Chọn D

Ta có ( )

0

0

4

x

f x x

x =  

 =  =

 = −  Bảng xét dấu f( )x :

Từ bảng xét dấu suy hàm số có điểm cực đại

Câu 76. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f '( ) (x =x x−1)(x+4 ,)3  x Số điểm cực tiểu hàm số cho

A 2 B 3 C 4 D 1

Lời giải Chọn A

Ta có: ( ) ( )( )3

0

'

4

x

f x x x x x

x

=  

=  − + =  =

 = − 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho có điểm cực tiểu

Câu 77. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f( ) (x =x x+1)(x−4 ,)3  x

Số điểm cực đại hàm số cho

A 2 B 3 C 4 D 1

Lời giải Chọn D

( ) ( )( )3

0

0

4

x

f x x x x x

x

=  

 =  + − =  = −

 = 

Lập bảng biến thiên hàm số f x( )

Vậy hàm số cho có điểm cực đại

9.2 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BBT y)

Câu 78. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau Lời giải

Hàm số cho đạt cực tiểu

A x=2 B x=1 C x= −1 D x= −3 Chọn C

Quan sát bảng biến thiên ta được:

Nghiệm y= f( )x =0 x= −1 Đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x= −1nên đạt cực

tiểu x= −1

Câu 79. [Đề-BGD-2020-Mã-101] [ Mức độ 1] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực tiểu hàm số cho

A 3 B −5 C 0 D 2

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên hàm số f x( ) suy giá trị cực tiểu hàm số −5 Câu 80. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau

Giá trị cực đại hàm số cho

A. B. C. −2 D. −3

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có giá trị cực đại

Câu 81. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực tiểu hàm số cho

A 2 B −2 C 3 D −1

Lời giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu x= −2 giá trị cực tiểu y= −1 Câu 82. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Giá trị cực đại hàm số cho

Từ bảng biến thiên suy giá trị cực đại hàm số f x( )

Câu 83. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Điểm cực đại hàm số cho

A x=3 B x= −1 C x=2 D x= −3 Lời giải

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt cực đại điểm x=3

Câu 84. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Điểm cực đại hàm số cho

A x=3 B x= −1 C x=1 D x= −2 Lời giải

Chọn C

Từ BBT hàm số f x( ) suy điểm cực đại hàm số f x( ) x =1 Câu 85. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau :

Điểm cực đại hàm số cho

A.x=3 B. x=2 C. x= −2 D. x= −1

Lời giải Chọn D

Giá trị cực đại hàm số cho

A 3 B −3 C −1 D 2 Lời giải

Từ bảng biến thiên suy giá trị cực đại hàm số f x( )

Câu 87. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số cho đạt cực đại điểm

A x= −2 B x=2 C x=1 D x= −1 Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: y' đổ dấu từ dương sang ấm qua x= −1 Vậy hàm số đạt cực đai điểm x= −1

9.3 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BXD y’)

Câu 88. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau:

Số điểm cực đại hàm số cho

A 4 B 1 C 2 D 3

Lời giải

Từ bảng xét dấu ta thấy: f( )x đổi dấu từ dương sang âm qua x= −1 x=1 Mà hàm số f x( ) liên tục

Vậy hàm số cho có hai điểm cực đại x= −1 x=1

Câu 89. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu cuả f( )x

Số điểm cực tiểu hàm số cho

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Bảng biến thiên hàm số f x( )

Do hàm số đạt cực tiểu x= −1 x=1

Câu 90. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau:

Số điểm cực tiểu hàm số cho

A 2 B 4 C 3 D 1

Lời giải Hàm số đạt cực tiểu x= −2 x=2

Vậy hàm số có cực tiểu

Nhận xét: Câu kiểm tra hiểu biết học sinh mối quan hệ điểm cực trị hàm số đạo hàm hàm số Một số bạn chọn D đáp án, thấy x=2 đạo hàm khơng xác định Thật ra, hàm số đạt cực trị điểm (thuộc tập xác định) mà đạo hàm không xác định, chẳng hạn hàm số f x( ) | |= x khơng có đạo hàm x=0 ( em thử nghĩ xem nhé), có cực tiểu x=0

Câu 91. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau

A 3 B 1 C 2 D 4 Lời giải

Quan sát bảng xét dấu f( )x ta có: f( )x đổi dấu từ + sang − qua điểm x= 2 Do hàm số cho liên tục nên hàm số có điểm cực đại

Câu 92. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau

Số điểm cực đại hàm số cho

A 3 B 1 C 2 D 4

Lời giải

Quan sát bảng xét dấu f( )x ta có: f( )x đổi dấu từ + sang − qua điểm x= 2 Do hàm số cho liên tục nên hàm số có điểm cực đại

Câu 93. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu f( )x sau:

Số điểm cực trị hàm số cho

A 3 B 0 C 2 D 1

Lời giải Chọn C

Ta có f( )x đổi dấu qua x= −2 x=0 nên hàm số cho có điểm cực trị

9.4 Cực trị liên quan hàm hợp, hàm ẩn

Câu 94. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ), bảng biến thiên hàm số f( )x sau

Số điểm cực trị hàm số y= f x( 2−2x)

A 9 B 3 C 7 D 5

Lời giải Chọn C

Từ bảng biến thiên ta có phương trình f( )x =0 có nghiệm tương ứng

( )

( )

( )

( )

, ;

, 1;

, c 0;1

, 1;

x a a

x b b

x c

x d d

=  − −

 

=  −



 =  

 =  +



Xét hàm số ( ) ( ) ( )

2 2

y= f x − x  y= x− f x − x

Giải phương trình ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

1

0 2 2

2

2

2

x

x x a

x

y x f x x x x b

f x x

x x c

x x d

 = 

− =

 − =

 

=  −  − =    − =

− =

  − =



 − = 

Xét hàm số h x( )=x2−2x ta có ( ) ( )2

2 1 1,

h x =x − x= − + x−  −  x

Phương trình ( )

2 ,

x − x=a a − vô nghiệm

Phương trình ( )

2 ,

x − x=b −  b có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 không trùng với nghiệm

của phương trình ( )1

Phương trình ( )

2 ,

x − x=c  c có hai nghiệm phân biệt x x3; 4 khơng trùng với nghiệm phương trình ( )1 phương trình ( )2

Phương trình ( )

2 ,

x − x=d d  có hai nghiệm phân biệt x x5; 6 khơng trùng với nghiệm phương trình ( )1 phương trình ( )2 phương trình ( )3

Vậy phương trình y=0 có nghiệm phân biệt nên hàm số ( )

2

y= f x − x có điểm cực trị

Câu 95. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số f x( ) bậc có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số g x( )=x4f x( +1)2

A 11 B 9 C 7 D 5

Lời giải

Ta chọn hàm bậc bốn y= f x( )=5x4−10x2+3 có bảng biến thiên đề cho Ta có g x'( )=4x3f x( +1)2+x4.2.f x( +1) (f ' x+ =1)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

3

3

2 '

0 (1)

1 (2)

2 ' (3)

x f x f x xf x

x f x

f x xf x

 

 +  + + + =

 = 

 + =

 + + + =

+ Phương trình (1) có nghiệm bội x=0

+ Từ bảng biến thiên hàm số y= f x( ), ta có phương trình f x( )=0 có nghiệm phân biệt

x Phương trình (2): f x( + =1) có nghiệm phân biệt x0 + Giải (3): Đặt x+ =  = −1 t x t 1, phương trình (3) trở thành:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

4

2 ' 10 20 20

30 20 40 20 (3')

f t t f t t t t t t

t t t t

+ − =  − + + − − =

 − − + + =

Bấm MTCT thấy phương trình (3’) có nghiệm phân biệt t1

Phương trình (3) có nghiệm phân biệt x0

Ngồi ra, nghiệm phương trình (2) khơng phải nghiệm phương trình (3) giá trị x thỏa mãn f x( + =1) khơng thỏa mãn phương trình (3)

Do phương trình g x'( )=0 có nghiệm phân biệt nên hàm số g x( )=x4f x( +1)2 có điểm cực trị

Câu 96. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số bậc bốn f x( ) có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số ( ) ( )

1

g x = x f x− 

A 7 B 8 C 5 D 9

Lời giải Ta có hàm số g x( ) liên tục có đạo hàm

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

' ' '

g x = x f x−  + x f x− f x−  = x f x −  f x− + xf x−

Cho ( ) ( )

( ) ( )

1

0

1 '

x x

g x f x

f x x f x

 = =



=  − =

 − + − =



* Với phương trình f x( − =1)

Vì f x( ) hàm bậc bốn có bảng biến thiên ta thấy phương trình f x( − =1) có bốn nghiệm đơn phân biệt x x x x2, 3, 4, 5 khác x1

* Với phương trình f x( − +1) 2xf '(x− =1)

Ta thấy phương trình khơng nhận số x x x x x1, 2, 3, 4, 5 làm nghiệm

Gọi ( )

f x =ax +bx +c, f '( )x =0 có nghiệm phân biệt −1; 0;1 f ( )0 = −1, f ( )1 =3

nên c= −1,a= −4,b=8, suy ( )

4

f x = − x + x −

Đặt t = −x 1, phương trình f x( − +1) 2xf '(x− =1) trở thành f t( )+2(t+1) ( )f ' t =0

( )( )

4

4t 8t t 16t 16t 36t 32t 40t 32t

 − + − + + − + =  − − + + − =

Xét hàm số h t( )= −36t4 −32t3 +40t2 +32t−1 có h t'( )= −144t3 −96t2 +80t+32, cho

( )

' 1; ,

3

h x =  = −x x= − x=

Do phương trình h t( )=0 có nghiệm đơn phân biệt hay phương trình ( 1) '( 1)

f x− + xf x− = có nghiệm đơn phân biệt x x x x6, 7, 8, 9 Hay hàm số g x( ) có điểm cực trị x x x x x x x x x1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Câu 97. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số bậc có bảng biến thiên hình vẽ

Số điểm cực trị hàm số g x( )=x4f x( −1)2

A 7 B 5 C 9 D 11

Lời giải

Cách Từ giả thiết đề cho ta thấy hàm số f x( ) có dạng f x( )=ax4+bx2+c Sử dụng giả thiết ta

( )

4

f x = x − x +  f(x− =1) 16(x−1)3−16(x− =1) 16x x( −1)(x−2) Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2

3

0

0

1

2 *

g x x f x x f x f x

x f x

f x x f x

 =   −  + −  − =

 = 

 − =

 − +  − =



Xét phương trình ( )* ( 1) ( 1)

2

x

f x f x

 − = − − , ta có ( ) 2( )( )

2

x

f x x x x

− − = − − −

Biểu diễn hai hàm số f x( −1) ( 1)

x f x

Như phương trình ( )* có nghiệm phân biệt

Xét phương trình ( )

( )

( )

2

2

6

3

1

5

1

1

1

3

4

x x

f x x

x

x



=  +



 − = 

 

− =   =

 − = 

  =



Thay nghiệm vào phương trình ( )* ta thấy nghiệm phương trình khơng phải nghiệm phương trình ( )*

Vậy hàm số cho có tất điểm cực trị Cách

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy phương trình f x( − =1) có nghiệm phân biệt khác 0,

suy phương trình ( ) ( )

1

g x =x f x−  = có tất nghiệm bội chẵn, đồ thị hàm số

( )

g x có dạng sau

Như hàm g x( ) có điểm cực trị

Số điểm cực trị hàm số ( ) ( )

=  + 

g x x f x

A 7 B. C 9 D.

Lời giải

Nhận xét ( )

( )

0, lim

x

g x x

g x →

  



 = +

 ,

Cho g x( )=0 

( )

2

4

0

1

 = 

 +  =

 



x

f x  ( )

0

1

= 

 + =



x f x

Nhận thấy: Tịnh tiến đồ thị f x( ) sang trái đơn vị ta thu đồ thị f x( +1)

Do f x( + =1) 

,

,

,

,

=  −



 = −   − 

 = −  

 = 



x a a

x b b

x c c

x d d

Vì g x( )=0 có nghiệm phân biệt

Hay đồ thị g x( ) có điểm tiếp xúc với trục hoành Vậy hàm số g x( ) có cực trị

Câu 99. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số f x có f 0 Biết y f x hàm số bậc

bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực trị hàm số g x f x3 x

A 4 B 5 C 3 D 6 Lời giải

Chọn B

Đặt 3

2

3

3

h x f x x h x x f x f x

x

Đặt t x3 x 3t

vào phương trình ta

3

1

f t

t

Xét hàm số

3

1

3

y y

t t đổi dấu qua đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

0

y Khi vẽ đồ thị mặt phẳng tọa độ với đồ thị hàm số y f t ta thấy hai đồ thị cắt điểm phân biệt thuộc góc phần từ thứ 4, gọi giao điểm

3

1 0, 1, 2

t t x t x t Như ta có bảng biến thiên hàm số h x sau

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x có nghiệm phân biệt hàm số h x có điểm cực trị khơng nằm trục hồnh, hàm số g x h x có điểm cực trị Câu 100. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số bậc bốn f x( ) có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số g x( )=x2f x( +1)4

Nhận xét ( )

( )

0, lim

x

g x x

g x →

  



 = +

 ,

Cho g x( )=0 

( )

2

4

0

1

 = 

 +  =

 



x

f x  ( )

0

1

= 

 + =



x f x

Nhận thấy: Tịnh tiến đồ thị f x( ) sang trái đơn vị ta thu đồ thị f x( +1)

Do f x( + =1) 

,

,

,

,

=  −



 = −   − 

 = −  

 = 



x a a

x b b

x c c

x d d

Vì g x( )=0 có nghiệm phân biệt

Hay đồ thị g x( ) có điểm tiếp xúc với trục hồnh Vậy hàm số g x( ) có cực trị

9.5 Cực trị liên quan hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Câu 101. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có f ( )0 =0 Biết y= f( )x hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực trị hàm số g x( )= f x( )3 −x

A 5 B 4 C 6 D 3

Lời giải Chọn A

Có h x'( )=3x f2 '( )x3 −1

( ) ( )3 ( )3 ( ) ( )

2

0 0

3

h x x f x f x x

x

 =   − =   = 

Đặt 3

x = t x = t phương trình (1) trở thành: ( ) 312 ( ) ( )

0

3

f t t

t

 = 

Vẽ đồ thị hàm

3

y x

= hệ trục tọa độ với hàm y= f( )x

Dựa vào đồ thị ta có:

( ) 312 33 33

0 0

3

t b x b x b

f t

t a x a

t x a

 

=  =  = 



 =  =    

=  = 

  

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thầy hàm số g x( )= f x( )3 −x có điểm cực trị

A 4 B 3 C 6 D 5 Lời giải

Chọn D

Xét hàm số h x( )= f x( )4 −x2 có h x( )=4x f3 ( )x4 −2x

( ) ( )4 ( )

2

0 1

*

x h x

f x

x

=  

 = 

  =



Xét phương trình ( )* : Đặt t=x4 ( )* thành ( )

2

f t

t

 = với t0

Dựa vào đồ thị, phương trình ( )* có nghiệm a0 Khi đó, ta x= 4 a

Bảng biến thiên hàm số h x( )= f x( )4 −x2

Số cực trị hàm số g x( )= f x( )4 −x2 số cực trị hàm h x( )= f x( )4 −x2 số nghiệm đơn bội lẻ phương trình h x( )=0

10.1 GTLN, GTNN f(x) đoạn [a;b] biết biểu thức f(x)

Câu 103. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Giá trị lớn hàm số f x( )=x3−3x+2 đoạn −3;3

A −16 B 20 C 0 D 4

Lời giải Chọn B

Ta có: f( )x =3x2−3; f( )x =  =   −0 x  3;3

( )3 16; ( )3 20; ( )1 4; ( )1

f − = − f = f − = f =

Vậy

 3;3 ( )

max f x 20

− =

Câu 104. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−21x đoạn 2; 19 

A −36 B −14 C 14 D −34

Lời giải

Đạo hàm ( ) ( )

3 21, 2; 19

f x = x − x

( ) ( / )

0

7 ( )

x T m

f x

x L

 =

 =  

= −



Ta có f ( )2 = −34; f ( )7 = −14 7; f ( )19 =6460 Do

2; 19 ( ) 14

xMin f x = − , đạt x=

Câu 105. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−30x đoạn 2;19 

A 20 10 B −63 C −20 10 D −52

Lời giải Ta có f( )x =3x2−30; f( )x =  = 0 x 10

Hàm số f x( )=x3−30x liên tục đoạn 2;19 

( )2 52; ( )10 20 10; ( )19 6289

f = − f = − f =

So sánh giá trị trên, ta có giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−30x đoạn 2;19  20 10

−

Vậy chọn C.

Câu 106. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−33x đoạn 2;19

bằng

A −72 B −22 11 C −58 D 22 11

Lời giải Ta có f( )x =3x2−33

( )

0 11 11

f x = x =  = x

Ta có f ( )2 = −58; f ( )11 = −22 11;f ( )19 =6232 Vậy

2;19 ( ) ( )

min f x = f 11 = −22 11

Câu 107. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x4−10x2−4  0;9 A. −28 B. −4 C. −13 D. −29

Lời giải Chọn D

Hàm số y= f x( ) liên tục  0;9

Có ( )

4 20

f x = x − x, ( )

 

0

0

5 0;9

x

f x x

x

 = 

 =  =

 = −  

Ta có f ( )0 = −4, f ( )5 = −29, f ( )9 =5747

Do

 0;9 ( ) ( )

min f x = f = −29

Câu 108. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x4−12x2−4 đoạn  0;9

A −39. B −40. C −36. D −4

Lời giải Chọn B

Ta có: f( )x =4x3−24x; ( ) 0

x f x

x = 

 =  

=  

Tính được: f ( )0 = −4; f ( )9 =5585 f ( )6 = −40 Suy

 0;9 ( )

min f x = −40

Câu 109. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Giá trị nhỏ hàm số ( )

4

10

f x =x − x −

đoạn  0;9

A −2 B −11 C −26 D −27 Lời giải

Chọn D

Ta có f '( )x =4x3−20x

( )

'

f x = 4x3−20x=0

( ) ( )

( )

0 0;9

5 0;9

5 0;9

x x x

=  



 = 



= − 



( )0

f = − ; f ( )5 = −27; f ( )9 =5749 Vậy

 0;9 ( )

min f x = −27

Câu 110. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−33x đoạn 2;19

Lời giải Ta có f( )x =3x2−33

( )

0 11 11

f x = x =  = x

Xét 2;19 ta có x= 112;19

Ta có f ( )2 = −58; f ( )11 = −22 11;f ( )19 =6232 Vậy

2;19 ( ) ( )

min f x = f 11 = −22 11

Câu 111. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Giá trị nhỏ hàm số

10

y=x − x + đoạn −1; 2 bằng: A 2 B −22 C −23 D −7

Lời giải Chọn B

( )

4

10 20

y=x − x + y= x − x= x x −

0

5

x

y x

x

=    =  =

 = − 

Các giá trị x= − x= không thuộc đoạn −1; 2 nên ta khơng tính Có f ( )− = −1 7;f ( )0 =2; f ( )2 = −22

Nên giá trị nhỏ hàm số đoạn −1; 2 −22

10.2 Tìm m để hs f(x) có GTLN, GTNN thỏa mãn đk cho trước

Câu 112. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số ( )

1

x m f x

x + =

+ (m tham số thực) Gọi tập hợp tất giá trị cho

 0;1 ( )  0;1 ( )

max f x +min f x =2 Số phần tử

A 6 B 2 C 1 D 4

Lời giải Chọn B

a/ Xét m=1, ta có f x( )=   −1 x

Dễ thấy

 0;1 ( )

maxf x =1,

 0;1 ( )

minf x =1

Tức m=1 thảo mãn yêu cầu b/ Xét m1 ta có ( )

( )2 '

1

m

f x

x

− =

+

i/ Với m1 ta có

 0;1 ( )  0;1 ( ) ( ) ( )

1

max

2

m

f x + f x = f + f = +m +

   

   

Phương trình

2

m

 0;1 ( )  0;1 ( )  

maxf x +minf x = m + = −0 m Phương trình− =m có nghiệm m= −2 ( loại) 2i/ với m1, ta có

Xét m0:

 0;1 ( )  0;1 ( ) ( ) ( )

1

max

2

m

f x + f x = f + f = + +m

   

   

Phương trình

2

m

m

+ + =

có nghiệm m=1 (loại)

Xét m m m      +  :

 0;1 ( )  0;1 ( )

1

max

2

m m

f x + f x = + + = +

   

   

Phương trình

2

m+

= có nghiệm m=3 (loại)

Xét 2 m m m m     +     +    :

 0;1 ( )  0;1 ( )  

maxf x +minf x = m + = −0 m

Phương trình − =m có nghiệm m= −2 (loại)

Xét 0:

2

m+ 

 0;1 ( )  0;1 ( )  

1

max

2 2

m m m

f x + f x = m + + = − −m + =− −

   

     

Phương trình

2

m

− − =

có nghiệm

3

m=− (nhận)

Vậy 1;

3

S= − 

 

10.3 GTLN, GTNN hàm nhiều biến dạng khác

Câu 113. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101]Xét số thực x y, thỏa mãn 2x2+ +y2 1(x2+y2−2x+2 4) x Giá

trị nhỏ biểu thức

2

y P

x y

=

Lời giải Chọn B

Ta có 2 ( 2 ) 2 2

2x+ +y  x +y −2x+2 4x2x+ + −y xx +y −2x+2

( 1)2 ( )2 2

2x− +y x y

  − + + Đặt ( )2 2( )

1

t= x− +y t , ta BPT: 2t  +t Đồ thị hàm số y=2t đồ thị hàm số y= +t sau:

Từ đồ thị suy 2t  +    t t (x−1)2+y2 1 Do tập hợp cặp số (x y; ) thỏa mãn thuộc hình trịn ( )C tâm I( )1;0 ,R=1

Ta có ( 4)

2

y

P Px P y P

x y

=  + − + =

+ + phương trình đường thẳng d

Do d ( )C có điểm chung ( ( ))

( )

2

2

3

, 16

4

P

d I d R P P

P P

     + − 

+ −

1 P

 − −   − + , suy giá trị nhỏ P gần nhất với −3

11 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

11.1 Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ,không chứa tham số

Câu 114. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1

x y

x + =

−

A.

4

y= B y=4

Lời giải

Ta có lim 4

1 x x x →− + =

− (hoặc

4 lim x x x →+ + =

− ) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=4

Câu 115. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1 x y x + =

−

A y=1 B

5

y= C y= −1 D y=5 Lời giải

Người giải: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn Theo cơng thức ta có tiệm cận ngang dồ thị hàm số y=5 nên chọn đáp án D

Câu 116. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1 x y x + =

−

A

2

y= B y= −1 C y=1 D y=2 Lời giải

Ta có: lim lim2

1 x x x y x → → + = = −

Nên đường thẳng y=2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số

Câu 117. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1 + = − x y x

A

=

y B y=3 C y= −1 D y=1

Lời giải

Ta có: lim lim 3

1 → → + = = − x x x y x

Do đường thẳng y=3 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu 118. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2

1 x y x + =

−

A x=2 B x= −2. C x=1 D x= −1 Lời giải

Chọn C

Tập xác định D= \ 1  Ta có

1

lim ; lim

x x

y y

− +

→ = − → = + , suy đồ thị có tiệm cận đứng x=1

Câu 119. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Tiệm cận đứng đồ thị hàm số

3 x y x − =

−

A x= −3 B x= −1 C x=1 D x=3 Lời giải Chọn D lim x x x − → − = −

− Suy ta tiệm cận đứng đường thẳng x=3

Câu 120. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2 x y x − =

+

Chọn C Ta có 1 2 lim lim x x x y x + + →− →− − = = −

+ 1

2 lim lim x x x y x − − →− →− − = = +

+ nên đường thẳng x= −1

tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Câu 121. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1 + = − x y x

A

=

y B y=3 C y= −1 D y=1

Lời giải

Ta có: lim lim 3

1 → → + = = − x x x y x

Do đường thẳng y=3 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu 122. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số

1 x y x − =

+

A y= −2 B y=1 C x= −1 D x=2 Lời giải Chọn B Ta thấy lim 1 lim 1 x x x x x x →+ →− −  =  +   − =   + 

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=1

11.2 Tiệm cận đồ thị hàm số f(x) dựa vào BBT không tham số

Câu 123. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho

A 4 B 1 C 3 D 2

Lời giải Chọn D

Ta có lim ( ) , lim ( )

x→+ f x = + x→− f x = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y=2

( )

0

lim

x→+ f x = − nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

0

x y

O

Vậy đồ thị hàm số y= f x( ) có tổng hai đường tiệm cận

12 ĐỌC ĐỒ THỊ - BIẾN ĐỔI ĐỒ TH

12.1 Nhận dạng hàm số thường gặp (biết đồ thị, BBT)

Câu 124. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên ?

A y=x3−3x2+3 B y= − +x3 3x2+3 C y=x4−2x2+3 D y= − +x4 2x2+3

Lời giải Chọn A

Đồ thị đồ thị hàm số bậc 3, với hệ số a dương Do đó, chọn đáp án A

Câu 125. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y= −x3 3x2+1 B y= − +x3 3x2+1 C y= − +x4 2x2+1 D y=x4−2x2+1

Lời giải

Ta có: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm trùng phương có hệ số a âm

Câu 126. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên

Lời giải

Vì đồ thị hàm số có cực trị nên ta loại đáp án B D Ta lại thấy x→ + y→ + Nên hệ số trước x4 phải dương

Vậy ta chọn đáp án C

Câu 127. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y=x4−2x2+1 B y= − +x3 3x2+1 C y= −x3 3x2+1 D y= − +x4 2x2+1 Lời giải

Hình vẽ bên đồ thị hàm số bậc có hệ số a 0 chọn A

Câu 128. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y= − +x4 2x2−1 B y= x4−2x2−1 C y= −x3 3x2−1 D y= − +x3 3x2−1 Lời giải

Chọn D

A.

3

y=x − x+ B.

2

y=x − x +

C.

2

y= − +x x + D.

3

y= − +x x+ Lời giải Chọn A

Câu 130. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A y=x4−2x2+1 B y= − +x3 3x2+1 C y= −x3 3x2+1 D y= − +x4 2x2+1 Lời giải

Hình vẽ bên đồ thị hàm số bậc có hệ số a 0 chọn A

Câu 131. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?

A.

2

y= − +x x B. y= − +x3 3x C. y=x4−2x2 D. y=x3−3x

Hàm số có hệ số a0 Suy loại đáp án C.

Câu 132. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên A. y=x4−2x2−2 B. y= − +x3 2x2−2

C. y=x3−3x2−2 D. y= − +x4 2x2−2 Lời giải

Chọn B

Qua đồ thị hàm bậc nên loại A, D.

Bên phải đồ thị xuống nên hệ số a <  loại đáp án C

Câu 133. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình dưới?

A y=x3−3x B y= − +x3 3x C y=x4−2x2 D y= − +x4 2x Lời giải

Chọn A

Ta thấy đồ thị hàm số ( )

0

y=ax +bx +cx+d a a0 Nên chọn A

Câu 134. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d (a, b, c, d ) có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a, b, c, d?

A 4 B 2 C 1 D 3

Lời giải

 Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương  d

 lim 0

x→+y  a

 Ta có: y =3ax2+2bx c+

Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm bên trái trục tung nên phương trình y =0 có nghiệm phân biệt x1x2 0

y

Khi theo Viet ta có:

1

1

2

3

b

x x

a c x x

a

 + = −  



 = 



Từ suy b0 c0

Vậy số a, b, c, d có số dương

12.2 Xét dấu hệ số biểu thức (biết đồ thị, BBT)

Câu 135. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Cho hàm số

( )

3

, , ,

y=ax +bx + +cx d a b c d có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a b c d, , , ?

A 4 B 1.

C 2 D 3

Lời giải

Ta có y' 3= ax2 +2bx c+ Từ đồ thị hàm số đề cho, suy ra: + a0

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương nên d 0 + Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương

Phương trình y'=0 có nghiệm phân biệt dương

0

0

0

3

b S

b a

c c

P a

−

 = 

  



  



 = 



(Vì a0) Vậy có số dương số a b c d, , ,

Câu 136. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d a b c d( , , ,  ) có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số , , , ?a b c d

A 4 B 2 C 1 D 3

Lời giải Ta có y =3ax2+2bx c+

Do lim

Hàm số có điểm cực trị x1x2 0, suy

1

1

2

0

0

3

b

x x

b a

c c

x x a

−

 + = 

  

 

  



 = 



Câu 137. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d (a, b, c, d ) có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a, b, c, d?

A 4 B 2 C 1 D 3

Lời giải

 Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương  d

 lim 0

x→+y  a

 Ta có: y =3ax2+2bx c+

Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm bên trái trục tung nên phương trình y =0 có nghiệm phân biệt x1x2 0

Khi theo Viet ta có:

1

1

2

3

b

x x

a c x x

a

 + = −  



 = 



Từ suy b0 c0

Vậy số a, b, c, d có số dương

Câu 138. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+cx+d a b c d( , , ,  ) có bảng biến thiên sau:

Có số dương số , , ,a b c d?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A.

Từ bảng biến thiên, ta có

y

1

(0) 3 4

(4) 64 16

2

(0) 0

0

(4) 48

3

a

f d

f a b c d

b

f c

c

f a b c

d

 = 

= =

 



 = −  + + + = −

   = −

  =  = 

  

=

  =  + + = 

 

 = 

Vậy số , , ,a b c d có số dương

Câu 139. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+ +cx d (a b c d, , ,  ) có bảng biến thiên sau

Có số dương số a b c d, , , ?

A 2 B 4 C 1 D 3

Lời giải Chọn D

Từ dáng điệu biến thiên hàm số ta có a0 Khi x=0 y= = d

Mặt khác f( )x =3ax2+2bx c+ Từ bảng biến thiên ta có ( )

x

f x

x

= − 

 =  

=



Từ suy 0; 2

3

b

c b a

a −

= = −  =  .

Vậy có số dương a b d, , .

Câu 140. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+cx+d a b c d( , , ,  ) có bảng biến thiên sau:

Có số dương số , , ,a b c d?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C

 lim ( )

x→+ f x = +  a

 f ( )0 = −  = − 1 d

 ( )

3

f x = ax + bx c+

+

-+

1

0 0

-2

-∞

+∞ +∞ -∞

f (x)

f ' (x)

Ta có 2

2

2 3

0

0

x x a b a

x x c c

a − = −  + = − =      =   =    = 

Câu 141. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) ax bx c

+ =

+ (a b c, ,  ) có bảng biến thiên sau

Trong số ,a b c có số dương?

A 2 B 3 C 1 D 0

Lời giải Chọn C Ta có 1 lim lim x x a

ax x a

c

bx c b b

x

→+ →+

+

+ = =

+ +

Theo gỉa thiết, ta có a a b( )1

b =  =

Hàm số không xác định x=2 nên suy ( )2

2

c b c+ =  = −b

Hàm số đồng biến khoảng xác định ( )

( )2 3( )

ac b f x bx c −   = 

+ với x khác

Nếu a= b từ ( )2 suy c0 Thay vào ( )3 , ta thấy vô lý nên trường hợp khơng xảy Suy ra, xảy khả a= b c0

Câu 142. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Cho hàm số

( ) ( , , , )

f x =ax +bx +cx+d a b c d có đồ thị đường cong

hình vẽ bên Có số dương số a b c d, , , ? A 4 B 3

C 1 D 2

Lời giải Quan sát hình dáng đồ thị ta thấy a0

Đồ thị cắt trục Oy điểm A(0;d) nằm bên trục Ox nên d 0

Lại thấy hàm số đạt cực trị hai điểm x x1, 2 hai số dương nên phương trình y'=0 (

'

y = ax + bx+c) có hai nghiệm x x1, 2 hai số dương, theo Vi – et ta có

1 2 0 b x x b a c c x x a  + = −            =  

12.3 Đọc đồ thị đạo hàm (các cấp)

Câu 143. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số

5

y= − +x x là:

A 2 B 3

C 1 D 0

Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm

3 2

0

5 5 5

5 5

x y

x x x x x x x y

x y

=  = 



− = − +  − =  =  = − +

 = −  = − − 

Vậy số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số y= − +x2 5x

12 TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ TH 12.1 Tìm toạ độ (đếm) giao điểm

Câu 144. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Số giao điểm đồ thị hàm số y= x3+3x2 đồ thị hàm số

2

3

y= x + x

A 3 B 1 C 2 D 0

Lời giải

Số giao điểm đồ thị hàm số y=x3+3x2 đồ thị hàm số y=3x2+ 3x số nghiệm phân biệt phương trình x3+3x2 =3x2+3x ( )1

( )

=

 − =  =

= −

    

3

0

1 3

3

x

x x x

x

Phương trình ( )1 có nghiệm phân biệt

Vậy số giao điểm đồ thị hàm số = 3+

3

y x x đồ thị hàm số = 2+

3

y x x

Câu 145. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Số giao điểm đồ thị hàm số y= − +x3 7xvới trục hoành

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành là:

7

x x

− + =

( )

7

7

x x x

x = 

 − =  

= 



Số giao điểm đồ thị hàm số y= − +x3 7xvới trục hoành

Câu 146. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Số giao điểm đồ thị hàm số y=x3+x2 đồ thị hàm số

5

y=x + x

A 3 B 0 C 1 D 2

Lời giải

Xét phương trình hồnh độ giao điểm: 2

5

5

x

x x x x x x

x = 

+ = +  − =  

=   Vậy có giao điểm

Câu 147. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số

3

y= − +x x

A 1 B 0 C 2 D 3

Lời giải

Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm thực phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm

sau: 2 ( )

3 3

3

x

x x x x x x x x

x = 

− = − +  − =  − =  

= 



Vậy số giao điểm hai đồ thị hàm số cho

Câu 148. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Số giao điểm đồ thị hàm số

y= − +x x với trục hoành

A 2 B 3 C 1 D 0

Lời giải Chọn B

Ta có hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số

6

y= − +x x với trục hồnh nghiệm phương trình − +x3 6x=0 (*)  −x x( 2−6)=0

6

x x

=    = 



Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt, đồ thị hàm số

6

y= − +x x cắt trục hoành ba điểm phân biệt

Câu 149. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Số giao điểm đồ thị hàm số y= − +x3 3x với trục hoành

A 2 B 0 C 3 D 1

Lời giải Chọn C

Xét phương trình hồnh dộ giao điểm

3 ( 3)

3

= 

− + =  − + =  

=  

x

x x x x

x

Câu 150. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số

3

y= − +x x

A 1 B 0 C 2 D 3

Lời giải

Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm thực phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm

sau: 2 ( )

3 3

3

x

x x x x x x x x

x = 

− = − +  − =  − =  

= 



Vậy số giao điểm hai đồ thị hàm số cho

Câu 151. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Số giao điểm đồ thị hàm số y=x3−3x+1 trục hoành là:

A 3 B 0 C 2 D 1

Lời giải Chọn A

( )( )

3 3 1 3 3 3 1 1

y=x − x+  =y x − = x− x+

0

1

x y

x

= −   =   =



Ta có bảng biến sau:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số f x( ) cắt trục hoành ( tức đường thẳng y=0 ) ba điểm phân biệt

12.2 Đếm số nghiệm pt cụ thể (cho đồ thị, BBT)

Câu 152. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Số nghiệm thực phương trình 2f x( )− =3 là:

A 2 B 1 C 4 D 3

Lời giải Chọn C.

Ta có: ( ) ( )

2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng

y= cắt đồ thị y= f x( ) điểm phân biệt nên số nghiệm phương trình cho nghiệm thực

Câu 153. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên

Số nghiệm thực phương trình f x( )= −1

A 3 B 1 C 0 D 2

Lời giải

Số nghiệm phương trình f x( )= −1 số giao điểm đường cong y= f x( ) với đường thẳng y= −1 Nhìn hình vẽ ta thấy có giao điểm nên phương trình cho có nghiệm

Câu 154. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f x( )=1

A 0 B 3 C 1 D 2

Lời giải Chọn B

Ta thấy đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số y= f x( ) điểm phân biệt Nên phương trình

( )

f x = có nghiệm thực phân biệt

Câu 155. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f x( )=1

Lời giải

Số nghiệm thực phương trình f x( )=1 số giao điểm đường thẳng y=1 đồ thị hàm số y= f x( ) Nhìn vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y=1 cắt đồ thị điểm phân biệt Vậy phương trình f x( )=1 có nghiệm thực

Câu 156. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho đồ thị hàm số bậc bay= f x( )có đồ thị đường cong hình bên

Số nghiệm thực phương trình f x( )=2

A 0 B 3 C 1 D 2

có nghiệm thực

Câu 157. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên

Số nghiệm phương trình ( )

2

f x = −

A 3 B 4 C 2 D x=1

Lời giải

Số nghiệm phương trình ( )

2

f x = − số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( )

đường thẳng

2

y= −

Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng

y= − cắt điểm

Nên phương trình ( )

2

f x = − có nghiệm

Câu 158. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực

phương trình ( )

2

A 4 B 1 C 3 D 2

Lời giải

Từ đồ thị ta ( )

2

f x = − có nghiệm phân biệt

Câu 159. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho đồ thị hàm số bậc bay= f x( )có đồ thị đường cong hình bên

Số nghiệm thực phương trình f x( )=2

A 0 B 3 C 1 D 2

Lời giải

Đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số y= f x( ) điểm phân biệt nên phương trình f x( )=2

Câu 160. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình

bên Số nghiệm thực phương trình ( )

2

f x =

A 2 B 4 C 1 D 3

Lời giải Chọn A

Số nghiệm thực phương trình ( )

2

f x = số giao điểm đồ thị hàm số f x( ) với

đường thẳng

2

y=

Dựa vào hình ta thấy đồ thị hàm số f x( ) với đường thẳng

y= có giao điểm

Vậy phương trình ( )

2

f x = có hai nghiệm

Câu 161. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm phương trình f x( )= −1

A 3 B 2 C 1 D 4

Số nghiệm phương trình f x( )= −1 số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( ) với đường thẳng y= −1 Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ) suy số nghiệm phương trình

12.3 Tương giao liên quan hàm hợp, hàm ẩn

Câu 162. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị hình vẽ bên

Số nghiệm thực phương trình ( 3 )

3

f x − x =

A 3 B 8 C 7 D 4

Lời giải Chọn B

Ta có ( )

( )

( )

3

3

4

4

3

4

3

3

f x x

f x x

f x x

 − =



− =  

 − = −



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

3

2

3

3

3

4

3

3 2

3

3 4

x x t t

x x t t

x x t t

x x t t

 − =  −



− = −  



  − =  



 − = 



Hàm số y=x3−3x có bảng biến thiên

Câu 163. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f x f x( ( ))+ =1

A. B. C. D. Lời giải

Cách 1:

Ta có ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

3 3

3

( )

( ) ( ) ( ) 2;3

( ) 5;

x f x

f x f x f x f x x f x a

x f x b

 =



+ =  = −  = 

 = 



Ta có ( )

( )

0

1

0

x x

f x x c

=

  =

 

=  =



Xét g x( ) k3 x

= , với k 0 Ta có g'( )x 3k4 0, x

x

= −   

Bảng biến thiên

Vậy phương trình f x f x( ( ))+ =1 có nghiệm phân biệt Cách 2:

Ta có:

( ) ( )

3

3 3

3

3

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) (do 0)

( )

( ) (do 0)

x f x x f x

a

f x f x f x f x x f x a f x x

x

x f x b

b

f x x

x

= 

 =

 = 

 

+ =  = −   =   = 

 =  

 

= 



* f x( )=0 có nghiệm dương x=c * Xét phương trình f x( ) k3

x

= với x0, k 0 Đặt g x( ) f x( ) k3

x

= − ; g x( ) f x'( ) 3k4

x

 = +

TH 1: Với xc, đồ thị hàm f x( ) đồng biến (c;+) nên f x( )0, x + (c; )

( )

4

3

( ) ( ) k 0, ;

g x f x x c

x

 

 = +   + 

Mà ( )

lim ( )

x g c

g x →+

 

 = +

 g x( ) liên tục (c;+ )

 g x( )=0 có nghiệm (c;+) TH 2: Với 0 x c f x( ) k3

x

( )

3

( ) ( ) k 0, ;

g x f x x

x

 

 = +   −

Mà

lim ( ) lim ( )

x

x

g x g x − → →−

 

 = −

 g x( ) liên tục (−;0)

 g x( )=0 có nghiệm (−;0) Do đó: g x( )=0 có hai nghiệm \   * Phương trình f x( ) a3 (k a)

x

= = có nghiệm phân biệt khác khác c

* Phương trình f x( ) b3 (k b) x

= = có nghiệm phân biệt khác khác c

Kết luận: Phương trình f x f x( ( ))+ =1 có nghiệm

Câu 164 - HẾT -[ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số bậc ba y = f x( ) có đồ thị đường cong hình bên

Số nghiệm thực phân biệt phương trình ( ( ))

1

f x f x + =

A 6 B 4 C 5 D 8

Lời giải

Ta có ( ( )) ( ( ))

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

3

3 3

3

3 1

1

0

x f x a a

f x f x f x f x x f x b b

x f x

 = −   −



+ =  = −  = −   −

 =



+ Với m0, xét phương trình ( ) ( )

3 m x f x m f x

x

=  =

Đặt g x( ) m3 x

= , g x( ) 34m 0, x

x −

 =   

( )

lim

x→g x = , ( )

lim x

g x

−

→ = +, ( )

lim x

g x

+

→ = −

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên đề bài, suy khoảng (−;0) (0;+) phương trình f x( )=g x( ) có nghiệm

+ Xét phương trình ( ) ( )

( )

3 0

3 :

0

x x

x f x

f x x c

= =

 

=  

=  = 

 , với c khác nghiệm

của ( )1 ( )2

Vậy phương trình ( ( ))

1

f x f x + = có nghiệm

Câu 165. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số bậc bốn y= f x( )có đồ thị đường cong hình

bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f x f x( ( ))+ =2

A 8 B 12 C 6 D 9

Lời giải

Cách 1:

Ta có f x f x( ( ))+ =2 

( )

2

2

2

( )

( ) (0;1)

( ) 2;3

( ) (3; 4)

x f x

x f x a

x f x b

x f x c

 =



=  

 = 



 = 





( )

2

2

( ) (1)

( ) , (0;1) (2)

( ) , 2;3 (3)

( ) , (3; 4) (4)

x f x

a

f x a

x b

f x b

x c

f x c

x

   = 

=  

 = 

 

 = 

 

= 

 

Xét hàm số g x( ) k2(k 0)

x

=  , Ta có g x'( ) 2k3

x

= −

Bảng biến thiên

Đồ thị f x( ) g x( ) mô tả sau: 2

−

O x

Do ta có: (1), (2), (3) (4) phương trình có nghiệm phân biệt Suy phương trình cho có nghiệm

Cách 2:

Ta có f x f x( ( ))+ =2 

( )

2

2

2

( )

( ) (0;1)

( ) 2;3

( ) (3; 4)

x f x

x f x a

x f x b

x f x c

 =  =    =    =    ( ) 2

( ) (1)

( ) 0, (0;1) (2)

( ) 0, 2;3 (3)

( ) 0, (3; 4) (4)

x f x

a

f x a

x b

f x b

x c

f x c

x    =  =    − =     − =    − =   

 (1) có nghiệm phân biệt x=  0,x=   Xét hàm số g x( ) f x( ) k2(k 0)

x

= −  có g x'( ) f '( )x 2k3

x

= + Ta có:

* x ;  g x( )0 nên phương trình (2), (3) (4) khơng có nghiệm x ; 

* 2

lim ( )

lim ( )

'( ) 0, ( ; )

x

x

g x k g x

g x x

   − →− → = +    = −        − 

 Mỗi phương trình (2), (3) (4) có nghiệm

( ; )

x −

* 2

lim ( )

lim ( )

'( ) 0, ( ; ),

x

x

g x

k g x

g x x

    + →+ → = +    = −        +  

 Mỗi phương trình (2), (3) (4) có nghiệm

( ; )

x  +

Suy phương trình (1), (2), (3) (4) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm

Ta có f x f x( ( ))+ =2 

( )

2

2

2

( ) (1)

( ) (0;1) (2)

( ) 2;3 (3)

( ) (3; 4) (4)

x f x

x f x a

x f x b

x f x c

 =



=  

 = 



 = 



Ta có (1) có ba nghiệm phận biệt x=0,x=  0,x=  Xét g x( )=x f x2 ( ) có g x'( )=2xf x( )+x f x2 '( )

 Với x ;  g x( )=x f x2 ( )0 nên (2), (3), (4) khơng có nghiệm x ; 

 Với x −( ;)ta có: g x'( )0 Và với x(;+),  3, g x'( )0 nên ta có bảng biến thiên ( )g x

Do phương trình (2), (3), (4) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt

Nhận xét : để chặt chẽ cần lập luận thêm nghiệm nghiệm trùng Việc khơng khó, xin dành cho bạn đọc

Nhận xét chung : Đề thi THPTQG năm 2020 kiến thức chân phương, không đánh đố, khơng có q lạ Nhưng để đạt điểm tối đa đòi hỏi phải học tốt, có q trình chuẩn bị bản, lâu dài, công phu Điểm nhấn đề câu 49 ( mã đề 103) Phần vận dụng cao chưa thực làm khó máy tính cầm tay, điều đáng tiếc

Câu 166 - [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên

Số nghiệm thực phương trình f x f x( ( ))− =2

A 6 B 12 C 8 D 9

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2

2

1

3

4

x f x a a

x f x b b

x f x c c



= −  



 = −   −



 = −   −



Giải ( )

( )

2 0

1

0

x x

x x

f x

x x

=  =

 

  =

=

  =



(có nghiệm phân biệt)

Giải ( )2 f x( ) a2 x

 =

Vẽ đồ thị hàm sốy a2 x

= lên hệ tọa độ Oxy Ta thấy đồ thị hàm số y a2 x

= cắt đồ thị hàm

số y= f x( ) nghiệm phân biệt

Tương tự với ( )3 ( )4 có nghiệm phân biệt

Câu 167 Vậy có phương trình f x f x( ( ))=2có nghiệm phân biệt.[ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên hình vẽ:

Có giá trị ngun tham số m để phương trình ( )

6f x −4x =m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0;+ )?

A 25 B 30 C 29 D 24

Lời giải Chọn B

Ta đặt: ( ) ( )

4

g x = f x − x

( ) ( ) ( )

2 4

g x = x− f x − x