Đề thi thử THPT quốc gia

Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều.. Câu 31.[r]

CHUYÊN ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CƠ

STRONG TEAM TỐN VD-VDC) Câu Cho ABC có a=12,b=15,c=13

a Tính số đo góc ABC

b Tính độ dài đường trung tuyến ABC c Tính S,R,r

d Tính ha,hb,hc

Câu Cho ABC có AB=6, AC=8, góc A=120 a. Tính diện tích ABC

b. Tính cạnh BC bán kính r Câu Cho ABC có a=8,b=10,c=13

a) ABC có góc tù hay khơng?

b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC c) Tính diện tích ABC

Câu Cho ABC có góc A = 60 ,B = 45 , b=2 Tính độ dài cạnh a c, , bán kính đường trịn ngoại tiếp diện tích tam giác

Câu Cho tam giác ABCcó AC=7, AB=5, BAC= 60 Tính BC S, ABC, h Ra, Câu Cho tam giác ABC có mb=4, mc=2, a=3 Tính độ dài cạnh AB AC, Câu Cho tam giác ABC có AB=3,AC=4 diện tích S =3 Tính cạnh BC Câu Tính bán kính đường trịn nội tiếp ABC biết AB=2,AC =3,BC=4

Câu Tínhh góc A ABC có cạnh a,b,c thỏa mãn hệ thức b(b2−a2) (=c a2−c2)

Câu 10 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a

2 2

2 2

tan A c a b tan B c b a

+ −

=

+ −

b 2 cos C

c (a b) 4S

sin C

−

= − +

c.

S=2R sin A.sin B.sin C

d. 2

S AB AC (AB.AC )

2

= −

e.a =b.cosC+c.cos B

f.sin A p(p a)(p b)(p c) bc

Câu 11 Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm tùy ý CMR

a. 2 2 2

MA +MB +MC =GA +GB +GC +3GM

b. 2 2 2

a b c

4(m +m +m )=3(a +b +c )

Câu 12 Cho ABC có b c+ =2a Chúng minh a sinB+sinC=2sinA

b. 1

a b c

h = h + h

Câu 13 Cho ABC biết A(4 3; 1− ), B( )0;3 , C(8 3;3) a Tính cạnh góc ABC

b.Tính chu vi diện tích củaABC

Câu 14 Cho ABC biết a=40, B= 36 20, C = 73 Tính A , cạnh b, c tam giác Câu 15 Cho ABC biết a=42, m, b=36, m, C = 33 10 Tính A , B cạnh c

Câu 16 Để lập đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài km Góc tạo hai đoạn dây AC và CB là 75 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đếnngười ta tốn thêm km dây?

Câu 17 Hai vị trí A B cách 500m bên bờ sơng từ vị trí C bên bờ sông Biết

87 ,

= 

CAB CBA= 62 Hãy tính khoảng cách AC BC

Câu 18 Cho tam giác ABC có BC=a, A= hai đường trung tuyến BM CN, vng góc với Tính SABC

Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi l l la, ,b c độ dài đường phân giác góc A B C, , Chứng minh

a) cos

2 =

+ a

bc A

l

b c

b)

cos cos cos

1 1

2 + + = + +

a b c

A B C

l l l a b c

c) + +  + +1 1 1 a b c

l l l a b c

Câu 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB=a, BC=b, CD=c, DA=d Chứng minh rằng: SABCD = (p−a)(p b− )(p c− )(p−d) với

2 a b c d

p= + + +

Câu 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh a b c, , chứng minh

2 2

cos cos cos

a b c A B C

abc a b c

Câu 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a b c, ,

1,

a=x + +x b=2x+1, c=x2−1 chứng minh tam giác có góc 120

Câu 24 Chứng minh với tam giác ABC ta có a

2 2

cotA+cotB+cotC= a +b +c R

abc

b sin ( )( )

− −

= p b p c

A

bc

Câu 25 Tam giác ABC có tính chất 1( )( )

ABC

S = a b c+ − a+ −c b

Câu 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Chứng minh :

2

r R

Câu 27 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a ( )

2

2

2

cos cos

cot cot

sin sin

+

 +

+

A B

A B

A B

b 3S2R2(sin3A+sin3B+sin3C) c p p a− + p b− + p c−  3p d ( 4 4)

16

 + +

S a b c

Câu 29 Cho ABC Chứng minh 2

2 2

a +b +c  ab+ bc+ ca

Câu 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p khơng đổi, tam giác có tổng lập phương cạnh bé

Câu 31 Cho tam giácABC Chứng minh 12 12 12 12 a +b +c  r Câu 32 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a. a b c

b c+ −a+c+ −a b+a b c+ −  b. 1 1

a b c

h +h +h = r c. b2 2c a2

a b c

h h h

h +h +h r

Câu 33 Cho tam giác ABC có 2

sin B+sin C=2 sin A Chứng minh A 60

Câu 34 Cho tam giác ABC có

4 4 3

a +b =c Chứng minh tam giác có góc tù Câu 35 Tam giác ABC có 2 2

36

GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CƠ

STRONG TEAM TỐN VD-VDC) huyngocnguyen95@gmail.com

Câu 1. Cho ABC có a=12,b=15,c=13

a. Tính số đo góc ABC

b. Tính độ dài đường trung tuyến ABC

c. Tính S,R,r

d. Tính ha,hb,hc

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy a. Áp dụng định lí cosin ABC ta có:

2 2 2

15 13 12 25

cos 50

2 2.15.13 39

b c a

A A

bc

+ − + − 

= = =   

2 2 2

12 13 15 11

cos 73 37

2 2.12.13 39

a c b

B B

ac

+ − + − 

= = =   

2 2 2

12 15 13

cos 56 16

2 2.12.15

a b c

C C

ab

+ − + − 

= = =   

b. Xét ABC ta có:

( 2) ( 2)

2 2 15 13 12

161 161

4

a a

b c a

m = + − = + − = m =

( 2) ( 2)

2 2 12 13 15 401 401

4 4

b a

a c b

m = + − = + − = m =

( 2) ( 2)

2 2 12 15 13 569 569

4 4

c a

a b c

m = + − = + − = m =

c. Xét ABC ta có:

12 15 13 20

2

a b c

p= + + = + + =

( )( )( ) 20.8.5.7 20 14

S = p p a− p b− p c− = = (đvdt)

Mà r 20 14 14

20

S

S p r

p

=  = = =

Ta có 12.15.13 117

4R 4S 4.20 14 14

abc abc

S =  =R = =

d. Xét ABC ta có:

1 2S 2.20 14 10 14

2 a a 12

S a h h

a

1 2S 2.20 14 14

2 b b 15

S b h h

b

=  = = =

1 2S 2.20 14 40 14

2 c c 13 13

S c h h

c

=  = = =

Câu 2. Cho ABC có AB=6, AC=8, góc A=120

a. Tính diện tích ABC

b. Tính cạnh BC bán kính r

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy

a. Xét ABC ta có:

1

.sin A 6.8 12

2 2

S = bc = = (đvdt)

b. Áp dụng định lí cosin ABC ta có:

2 2 2

2 .cos 2.6.8 148 148 37

BC =AB +AC − AB AC A= + − − = BC= =

Ta có 6.8 148 111

4R 4S 4.12 3

AB AC BC AB AC BC

S =  =R = =

khanhhoanl2@gmail.com

Câu 3. Cho ABC có a=8,b=10,c=13 a) ABC có góc tù hay khơng?

b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC c) Tính diện tích ABC

Lời giải

Tác giả:Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân

a) Vì a b cnên A B C Ta có

2 2

0

cos 91 47 '

2 32

a b c

C C

ab

+ −

= = −  

Vậy ABC có góc C góc tù

b) Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Theo định lý sin :

2

13 208

2 6,5

sinC 2sinC cos 1 1023

2

32

c c c

R R

C

=  = = = = 

−  

− − 

 

(đvđd)

c) Áp dụng công thức Hê - rông, ta có:

( )( )( )

ABC

S = p p−a p b p c− −

Với 31

2

a b c p= + + =

Do 31 31 31 10 31 13 25575 1023 40

2 2 16

ABC

S =  −  −  − = = 

    (đvdt)

Lời giải

Tác giả:Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân

Ta có: C =180 −(A+B)=75

Từ định lí sin:

sin

a b c

R sinA =sinB = C =

⇒ sin 2sin 60 sin 45

b A

a

sinB



= = =

 ;

sinC 2sin 75

1 sin 45

b c

sinB



= = = +



2 2sin 45

b R

sinB

= = =



Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác, ta có:

( )

1 3

sin

2 2

ABC

S = ac B= + = + (đvdt)

Hungtoan96cl@gmail.com, lehoanpc@gmail.com

Câu 5. Cho tam giác ABCcó AC=7, AB=5, BAC= 60 Tính BC S, ABC, h Ra,

Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn

 2

2 cos

= + −

BC AB AC AB AC BAC =72+52−2.7.5.cos 60 =39BC= 39

 .sin

2 ABC =

S AB AC BAC 1.5.7.sin 60 35

2



= =



2



ABC = a  a = ABC

S

S BC h h

BC

35 13 26

=



sin =  = 2sin

BC BC

R R

A A = 13

Câu 6. Cho tam giác ABC có mb=4,mc=2,a=3 Tính độ dài cạnh AB AC, Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hồn

Có AB=c AC, =b

2 2 2

2 2( ) 2(9 )

16

4

+ − + −

=  =

b

a c b c b

m 2

2 46

 c − =b (1)

2 2

2 2( )

4

+ −

= c

a b c

m

2 2

2(3 )

4

+ −

 = b c 2

2

 b − = −c (2)

Giải hệ gồm phương trình (1), (2)

2

14 14

30 30



= =

 

 =  =

 

b b

c c

Vậy

14 30

 =

 =

 AC

AB

Lephi@thptthanuyen.edu.vn

Câu 7. Cho tam giác ABC có AB=3,AC=4 diện tích S =3 Tính cạnh BC

Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi

Ta có S =3 sin

2AB AC BAC

 =3 sin

2

BAC

 = 60

120 BAC BAC  =     =  

+ TH1: BAC=60

Theo định lí cơsin tam giác, ta có:

2

2 cos 60

BC= AB +AC − AB AC  = 16 12+ − = 13 + TH2: BAC=120

2

2 cos120

BC= AB +AC − AB AC  = 16 12+ + = 37

Vậy BC= 13 BC= 37

anhson9802@gmail.com,Thuthuy1988.nt@gmail.com

Câu Tính bán kính đường trịn nội tiếp ABC biết AB =2,AC =3,BC=4

Lời giải

Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui

Ta có ,

2 2 = + + = + +

=a b c

p ( )( )( ) 15 2 =       −       −       − = − − −

= p p a p b p c

S 15 : 15 = = =  = p S r pr S

Câu Tínhh góc A ABC có cạnh a,b,c thỏa mãn hệ thức b(b2−a2) (=c a2−c2)

Lời giải

Tác giả: Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui

Ta có b(b2−a2) (=ca2 −c2)b3−ba2−ca2+c3 =0

( + )( 2− + 2)− 2( + )=0( + )( 2− + 2− 2)=0

 b c b bc c a b c b c b bc c a

60 cos cos 0 2 2 2 =  =  =  = − +  = − + −  A A bc A bc bc a c b a c bc b

Câu 10. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a

2 2

2 2

tan A c a b tan B c b a

+ −

=

+ −

b c2 (a b)2 4S.1 cos C sin C

−

= − +

c

S=2R sin A.sin B.sin C

d.S AB AC2 (AB.AC )2

2

= −

f.sin A p(p a)(p b)(p c) bc

= − − − Cho …

Lời giải

Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong

a VP=2 cos cos sin cos

2 cos cos sin cos

ac B a B R A B

bc A=b A = R B A

tan A tan B

= = VT

b.VP= 2 (1 cos C)

a b 2ab ab sin C

2 sin C

−

+ − + = 2

2 cos

a +b − ab C=c =VT

c Ta có sin 1.2 sin sin sin 2.sin sin sin

2

S= ab C= R A R B C= R A B C (Điều phải chứng

minh)

d.S AB AC2 (AB.AC )2

2

= − 2

S AB AC (AB.AC.cos A)

 = −

2 2

1

S AB AC (1 cos A)

 = − S 1AB.AC.sin A

2

 = (luôn đúng)Điều phải chứng minh

e VP=

2 2 2

b(a b c ) c(a c b )

2ab 2ac

+ − + + − = a = VT Suy điều phải chứng minh

f sin sin

2

VP S bc A A VT

bc bc

= = = = Điều phải chứng minh

Câu 11 Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm tùy ý CMR a.MA2+MB2+MC2 =GA2+GB2+GC2+3GM2

b.4(ma2+m2b+m )c2 =3(a2+b2+c )2

Lời giải

Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong

a

2 2 2 2

2 2 2 2

(GA GM) (GB GM) (GC GM) GA GB GC 3GM 2GM(GA GB GC)

GA GB GC 3GM 2GM.0 GA GB GC 3G

VT

M VP

− + − + − = + + + − + +

= + + + − + + +

=

= =

b

2 2 2 2 2

2 2

VT 2b 2c a 2a 2c b 2b 2a c 3(a b c ) VP

= + − + + − + + −

= + + =

Xuanmda@gmail.com, quankiet2@gmail.com Câu 12. Cho ABC có b+ =c 2a Chúng minh

a sinB+sinC=2sinA b. 1

a b c

h = h + h .

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe

a Áp dụng định lí Sin cho ABC ta có:

sin sin sin

a b c

R A = B = C =

Suy ra: a=2 sinR A, b=2 sinR B, c=2 sinR C

2

b+ =c a 2 sinR B+2 sinR C=2.2 sinR A sinB+sinC=2sinA (điều phải chứng

minh)

b Gọi S tính diện tích ABC ta có:

2 a b c

S = a h = b h = c h

Suy ra:

a S a

h

= ,

b S b

h

= ,

c S c

h

= Theo giả thiết ta có:

2

b+ =c a 2 2.2

b c a

S S S

h h h

 + = 1

a b c

h h h

 = + (điều phải chứng minh)

Câu 13. Cho ABC biết A(4 3; 1− ), B( )0;3 , C(8 3;3)

a Tính cạnh góc ABC

b.Tính chu vi diện tích củaABC

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe a Ta có: AB= −( 3; 4), AC =(4 3; 4), BC=(8 3;0)

Suy ra: ( )

2

4

AB= − + = , ( )

2

4

AC = + = , ( )

2

8

BC = + =

( )2

2

2 2 8

1 cos

2 2.8.8

b c a

A

bc

+ −

+ −

= = = −  =A 120

Do AB= AC=8 nên ABC cân A suy ra: B= = C 30

b. Chu vi ABC AB+AC+BC=16 3+

Diện tích ABC .sin 1.8.8.sin120 16

2

S = bc A=  =

Tvluatc3tt@gmail.com

Câu 14. Cho ABC biết a=40, B= 36 20, C = 73 Tính A , cạnh b, c tam giác

Lời giải

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật

Ta có

180

A +B +C =  A =180 −(B +C ) A =180 −(36 20 + 73 ) A = 70 40 Theo định lý sin ta có

sin 40sin 36 20

25,12 sin sin 70 40

sin 40sin 73 sin sin sin

40, 68 sin sin 70 40

a B

b b

a b c A

a C

A B C

c c

A

 

 =  = 

 

   

= =  



 =  = 

   

 

Câu 15. Cho ABC biết a=42, m, b=36, m, C = 33 10 Tính A , B cạnh c

Lời giải

Áp dụng định lý cơsin tam giác ABC có c2 =a2+b2−2abcosC

2 2

42, 36,6 2.42, 4.36,6.cos33 10

c 

 = + − 

539, 28 23, 22

c   c

Ta có sin sin sin 42, 4sin 33 10 87 40

sin sin 23, 22

a c a C

A A A

A C c



 

Mặt khác ta lại có 180

A +B +C =  B =180 −(A +C )B =180 −(87 40 + 33 10)B = 59 10

luuhuephuongtailieu@gmail.com Trungkienta1909@gmail.com

Câu 16 Để lập đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài km Góc tạo hai đoạn dây AC và CB là 75 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đếnngười ta tốn thêm km dây?

Lời giải

Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

Ta có AC=10,BC=8,ACB=75

Áp dụng định lý cos tam giác ABC:

2 2 2

2 cos cos

= + −  = + −

AB BC CA BC CA C AB BC CA BC CA C

2

8 10 2.8.10.cos 75 11, 072

= + −   km

Số dây tốn thêm là: 10 11, 072+ − 6, 928km

Câu 17 Hai vị trí A B cách 500m bên bờ sông từ vị trí C bên bờ sơng Biết 87 ,

= 

CAB CBA= 62 Hãy tính khoảng cách AC BC Lời giải

Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

Ta có C=180 −  −  = 87 62 31

500

sin =sin =sin sin 31 =sin 62=sin 87

AB AC BC AC BC

C B A

857,167 969, 472 



  



AC m

BC m

vanghhc@gmail.com

Câu 18 Cho tam giác ABC có BC=a, A= hai đường trung tuyến BM CN, vuông góc với Tính SABC

Lời giải

Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu

Hai đường trung tuyến BM CN, vng góc với trọng tâm G nên ta có

2+ =

GB GC BC

2

2

2

3

   

  +  =

 BM  CN BC

2 2 2

2

9 4

 + + 

  − + − =

 

c a b b a c

a

 2

5

+ =

b c a

Mặt khác 2 2

2 cos cos

= + −  =

a b c bc A bc A a 4 cotS  =4a2 =S a2 tan Vậy diện tích tam giác ABC 2.tan

ABC =

S a 

Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi l l la, ,b c độ dài đường phân giác góc A B C, , Chứng minh

a) cos =

+ a

bc A

l

b c

b)

cos cos cos

1 1

2 + + = + +

a b c

A B C

l l l a b c

c) + +  + +1 1 1 a b c

l l l a b c

Lời giải

a) Ta chứng minh sin sin cos

2

= A A

A

Mặt khác SABC =SABD+SACD

1 1

sin sin sin

2 2 2

 = a + a

A A

bc A l c bl

( )

1

.2sin co s sin

2 2 2

 bc A A= la A b c+ co s

2  =

+ a

bc A

l

b c

b ) cos

1

2 2

+

= = +

a A

b c

l bc b c

Tương tự ta có cos

1

2

= +

b B

l a c cos

1

2

2

= +

c C

l b a

Suy

cos cos cos

1 1

2 + + = + +

a b c

A B C

l l l a b c (dpcm)

c) Ta có

cos cos cos

1 1

2 + +  + +

a b c a b c

A B C

l l l l l l

Mà

cos cos cos

1 1

2 + + = + +

a b c

A B C

l l l a b c

1 1 1

+

 +  + +

a b c

l l l a b c (đpcm) vungatoannvx@gmail.com

Bài 20. Cho tam giác ABC Gọi ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến qua A, B, C

,

2

a b c

m m m

m= + + Chứng minh rằng: ( )( )( )

3

ABC a b c

S = m m m− m m− m m−

Lời giải

Gọi D điểm đối xứng A qua trọng tâm G P trung điểm BC, suy tứ giác

GCDB hình bình hành (do hai đường chéo GD BC cắt trung điểm P đường)

A

B C

Ta có:

GBD GBP GBC ABC

S = S =S = S

Mà GBD có độ dài cạnh

3 b

BG= m ,

3 a

GD= AG= m ,

3 c BD=GC= m

Nửa chu vi ( )

2 a b c

p= m +m +m = m

( )( )( )

2

GBD a b c

S   m m m m m m m

 =  − − −

  ( công thức Hê-rông )

( )( )( )

4

3

ABC GBD a b c

S S m m m m m m m

 = = − − − ( ĐPCM)

Câu 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB=a, BC=b, CD=c, DA=d Chứng minh rằng: SABCD = (p a− )(p b− )(p c− )(p d− ) với

2 a b c d

p= + + +

Lời giải

Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên sinABC=sinADC, cosABC= −cosADC

( ) ( )

1

sin cos

2

ABCD ABC ADC

S =S +S = ab dc+ ABC= ab dc+ − ABC Trong ABC ta có: AC2 =a2+ −b2 2abcosABC

Trong ADC ta có: AC2 =c2+d2−2cdcosADC

2 2

2 cos cos

a b ab ABC c d cd ADC

 + − = + − ( ) ( )

( )

2 2

cos

2

a b c d

ABC

ab cd

+ − +

 =

Do đó: ( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

1

1

2

ABCD

a b c d

S ab dc

ab cd

 + − + 

 

= + −

 + 

 

= ( ) (( ) ( ))

2

2 2 2 2 2

1

4 ab cd+ − a +b − c +d

( ) ( 2) ( 2) ( ) ( 2) ( 2)

2

4    

=  ab cd+ − a +b + c +d   ab cd+ + a +b − c +d 

=1 ( ) (2 ) (2 ) (2 )2

4

 + − −   + − − 

 c d a b   a b c d 

2 2

a b c+ + −d a b c+ − +d a b c− + +d − + + +a b c d

    

=     

(p d)(p c)(p b)(p a)

= − − − − với

2 a b c d

p= + + + ( ĐPCM)

Hieu98kmhd@gmail.com

Câu 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh a b c, , chứng minh

2 2

cos cos cos

a b c A B C

abc a b c

+ + = + +

Lời giải

Ta có: (AB+BC+CA)2 = 0 AB2+BC2+CA2+2AB BC +2BC CA +2AB CA =0

2 2

2

AB BC CA BA BC CB CA AB AC

 + + = + +

2 2

2 cos cos cos

a b c ac B ab C bc A

 + + = + +

2 2

cos cos cos

a b c A B C

abc a b c

+ +

 = + +

Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh a b c, , a=x2+ +x 1, b=2x+1, c=x2−1 chứng minh tam giác có góc 120

Lời giải

Điều kiện , ,a b c ba cạnh tam giác khi:

2

2

1

2 1

1 1

x

x x

x x x x

 − 

 +   



 − + +  + + 

Với x1 ab ac nên a cạnh lớn

Tính ( ) ( ) ( )

( )( )

2

2 2 2

2 2

2

2 1

cos

2 2 1

+ + − − + +

+ −

= =

+ −

x x x x

b c a

A

bc x x

( ) ( )( )

( )( )

2 2 2 2 2

2

2 1 1

2 1

x x x x x x x

x x

+ + − + + + − − − −

=

( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2

2 2

2 1

x x x x

x x

+ − + +

=

+ −

( ) ( )

( )( )

2 2

2 1

x x x x

x x

 

+  + − + 

=

+ − ( )

2

1

2

2

x x

− −

= = −

−

120

 =A 

GV PB: vuduchieu1904@gmail.com,Diephd02@gmail.com Câu 24. Chứng minh với tam giác ABC ta có

a.

2 2

cotA+cotB+cotC=a +b +c R

abc

b sin ( )( )

− −

= p b p c

A

bc

Lời giải

FB: Nguyễn Ngọc Diệp

a Chứng minh:

2 2

cotA+cotB+cotC= a +b +c R abc

Theo định lí sin : sin

sin =  =2

a a

R A

A R (1)

Theo định lí cosin :

2 2

2 2

2 cos cos

2

+ −

= + −  =b c a

a b c bc A A

bc (2)

Từ (1) (2) ( )

2 2

cos cot

sin

+ −

 A= A= R b c a

A abc

Tương tự: ( )

2 2

cotB= R a + −c b abc ,

( 2 2)

cotC= R a +b −c abc

Khi đó:

( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) 2 2 2 cotA+cotB+cotC = R b +c −a +R a +c −b +R a +b −c = a +b +c R

abc abc abc abc

b Chứng minh: sin ( )( )

2

− −

= p b p c

A

bc

Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có: ,

2

+ −

= = AB AC BC = −

OE r AE p a

Tam giác AOE vuông E nên: tan ( )tan

2= = −  = −

A OE r A

r p a

AE p a

Mặt khác sin sin cos

2 2

ABC = = =

A A

S pr bc A bc

C B

A

( )2 ( ) ( )

sin cos tan sin cos sin

2 2 2



 

 = = − = −  

 

ABC

A A A A A A

S pr bc p p a bc p p a bc (1)

Công thức Hê rông: SABC = p p a( − )(p b− )(p c− ) ( SABC)2 = p p a( − )(p b− )(p c− ) (2)

Từ (1) (2) ( ) ( )( )( ) ( )( )

2

sin sin

2

− −

 

 −   = − − −  =

 

p b p c

A A

p p a bc p p a p b p c

bc Câu 25. Tam giác ABC có tính chất 1( )( )

4 ABC

S = a b c+ − a c b+ −

Lời giải

Ta có:

2 a b c p= + +

( )( )

1 ABC

S = a b c+ − a c b+ − 4SABC =(a+ −b c)(a+ −c b)

( )( )( ) ( )( )

4

 p p a− p b− p c− = a b c+ − a c b+ −

( )( )( ) ( ) (2 )2

16

 p p−a p b− p c− = a b c+ − a+ −c b

( ) (2 )2

16

2 2

+ +  + +  + +  + + 

  −  −  − = + − + −

   

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a c b

( )( )( )( ) ( ) (2 )2

 + +a b c b c a+ − a+ −c b a b c+ − = a b c+ − a+ −c b

( )( ) ( )( )

 a+ +b c b+ −c a = a+ −b c a+ −c b

( )2 2 2 ( )2 2 2 2

b c a a b c b c a

 + − = − −  + =

Vậy tam giác ABC vuông A

Thuylinh133c3@gmail.com

Câu 26. Cho tam giác ABC Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

Chứng minh :

2

r R

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh

Ta có r S

p

= , ( )( )( ) ( )( )( )

2 4 4

4

p p a p b p c p a p b p c

abc r S

R

S R pabc pabc abc

− − − − − −

=  = = =

Mà ( )( )

2

p a b c

p a− p b−  − − =

( )( )

2

p a c b

p a− p c−  − − = ; ( )( )

2

p b c a

p b− p c−  − − =

( )( )( )

8

abc r

p a p b p c

R

 − − −   

Dấu xảy a= =b c

PB: Fb Bích Ngọc Đặng

a ( )

2

2

2

cos cos

cot cot

sin sin

+  +

+

A B

A B

A B

b 3S 2R2(sin3A+sin3B+sin3C)

c p  p a− + p b− + p c−  3p

d ( 4 4)

16

 + +

S a b c

Lời giải

dothu.namtruc@gmail.com

a ( )

2

2

2

cos cos

cot cot

sin sin

+  + + A B A B A B ( ) 2 2 2

1 sin sin

1 cot cot

sin sin

− + −   + + + − + A B A B A B

( 2 )

2 2

2 sin sin 1 1 1

1 sin sin sin sin

− +  

   + −

+  

A B

A B A B

2 2

2 1

1

sin sin sin sin

 

 −   + −

+  

A B A B

( 2 )

2

1

4 sin sin

sin sin

 

  +  +

 A B A B

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

( )

2 2

2

2

2 2

sin sin sin sin

1

sin sin

1 1 sin sin

2

sin sin sin sin  +   +  +     +   

A B A B

A B

A B

A B A B

Dấu = xảy

2 2 sin sin 1 sin sin  =    = =  A B A B A B

b 2( 3 )

3S 2R sin A+sin B+sin C , áp dụng định lí sin

sin =sinB =sinC=

a b c

R

A

3 3

2

3 3

3

2

4 8

 

   + + 

 

abc a b c

R

R R R R

3 3

3

 abca +b +c (ln áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số a b c3, 3,

3

3 3 3

3

+ +  =

a b c a b c abc)

Dấu = xảy a3 =b3 =c3  = =a b c

c + Ta có (x+ +y z)2 =x2+y2+z2+2xy+2yz+2zxx2+y2+z2 ,x y z, , 0 ( )*

+ Áp dụng bất đẳng thức ( )* cho số p a− , p b− , p c−

( ) (2 ) (2 ) (2 )2 ( )

− + − + −  − + − + − = − + + =

p a p b p c p a p b p c p a b c p

+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

( )2 ( )( )

2 2

1 1

− + − + −  + + − + − + − =

p a p b p c p a p b p c p

3

 p a− + p b− + p c−  p

Dấu = xảy  − = − = −  = =p a p b p c a b c

d Ta có ( ( )( )( )) ( )( )( )

2

2 = − − − = − − −

S p p a p b p c p p a p b p c

2 2

+ + + − − + − + +

    

= a b ca b ca b c a b c

( )2 2 ( )2

16

   

=  b c+ −a  a − −b c 

( )2 2 2 ( 2 2 2) 2 ( 2 2 2) 2 ( 2 2 2 2 4)

1 1

2 2 2

16 16 16 16

 

  b c+ −a a = b + bc c+ −a a  b + c −a a = b a + c a −a

( 4 4 4) ( 4 4)

1

16 16

 b +a + +c a −a = b + +c a

Dấu = xảy

=  

 =  = =

 = 

b c

a b a b c

a c

Bài 28. Cho ABC Chứng minh 1( 2sin 2sin )

ABC

S = a B b+ A

Lời giải

Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn

Gọi C điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, H=CCAB

Trường hợp 1: Nếu góc B 90

Khi SACBC=2SABC, mà SACBC' =SCBC+SACC 1( 2sin 2sin A)

2 a B b

Suy 1( 2sin 2sin )

ABC

S = a B b+ A

Trường hợp 2: Nếu góc B 90

Khi 1( ' )

2

ABC ACC C BC S = S −S 

( )

2

1 1

sin sin

2 2b A 2a CBH

 

=  − 

 

2

1

sin sin B 4b A 2a

= +

Câu 29. Cho ABC Chứng minh a2+b2+c2 2ab+2bc+2ca

Lời giải

Ta có a b− c (a−b)2 c a2+b2−c2 2ab( )1

Tương tự 2 ( )

2

a +c −b  ac ;c2+b2−a2 2bc ( )3

Cộng vế ( ) ( ) ( )1 , , ta a2+b2+c2 2ab+2bc+2ca

nvanphu1981@gmail.com, vanhuanhb@gmail.com

Câu 30. Trong tam giác ABC có chu vi 2p khơng đổi, tam giác có tổng lập phương cạnh bé

Lời giải

Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan

Tam giác ABC với ba cạnh a, b, c có chu vi a+ + =b c 2p không đổi Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai số (1;1;1) (a b c; ; ) ta có:

( 2 2)( 2 2) ( )2

1 + +1 a +b +c  a b c+ +

( )2 ( 2 2)

3

a b c a b c

 + +  + +

( )4 ( 2 2 2)2

9

a b c a b c

 + +  + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai số ( a; b; c) ( a3; b3; c3) ta có:

( )( ) ( )2

3 3 3

a b c+ + a + +b c  a a + b b + c c =(a2+b2+c2)2

Suy ( )

2 2

3 3 a b c

a b c

a b c

+ +

+ + 

+ +

( )

( )

4

9

a b c a b c

+ + 

+ + ( )

3

9 a b c

= + +

9 p

=

Vậy tam giác có tổng lập phương cạnh đạt giá trị bé tam giác

Câu 31. Cho tam giácABC Chứng minh 12 12 12 12

4 a +b +c  r

Lời giải

Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan

Ta có: 2 ( )2

a a − −b c

( )2

2

1

a a b c

 

− −

Tương tự:

( )2

2 2

1

b b − −c a

( )2

2

1

c c − −a b

Nên ta có:

( )2 ( )2 ( )2

2 2 2

1 1 1

a +b +c a − −b c +b − −c a +c − a b−

(a b c)(1a b c) (b c a b c a)(1 ) (c a b c)(1 a b)

= + +

− + + − − + + − − + + −

( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( )

4 p b p c p c p a p a p b

= + +

− − − − − −

( )( )( )

4

p

p a p b p c

=

− − − ( )( )( )

2

4

p

p p a p b p c

=

− − −

2

2

1

4

p

S r

= =

chithin.nguyen@gmail.com

Câu 32. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a. a b c

b c a+ − +c+ −a b+a b c+ −  b. 1 1

a b c

h +h +h = r c. b2 2c a2

a b c

h h h

h +h +h r

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn a. Ta có:

( )( )

2

b c a a c b b c a a c b+ − + −  + − + + − =c

( )( )

2

a c b a b c a c b a b c+ − + −  + − + + − =a

( )( )

2

a b c b c a a b c b c a+ − + −  + − + + − =b

Nhân theo vế ta có:

(a b c b c a c)( abc )( a b)

 

+ − + − + −

Ta lại có:

( )( )( )

3

3

a b c abc

b c a+ − +c+ −a b+a b c+ −  b c a+ − c+ −a b a b c+ − 

Dấu " "= xảy a= =b c hay tam giác ABC

b. Ta có: 1 1

1 1

2

2

2 2

a b c

a b c

p a b c a b c

S

r S S h h h

a h b h c h

p

+ +

= = = = + + = + +

c. Ta có:

2

1

b

a b a

h

h +h  h

2

1

c

b c b

h

h +h h

2

1

a

c a c

h

h +h h

2 2

1 1

b c a

a b c a b c

h h h

h h h h h h r

 + +  + + =

Dấu " "= xảy ha =hb =hc tam giác ABC

chithin.nguyen@gmail.com

Câu 33. Cho tam giác ABC có sin2B+sin2C=2sin2 A Chứng minh A 60

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn

Từ giả thiết ta có:

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

b c a

R + R = R

2 2

2

b c a

 + =

Khi đó:

2 2 2

2 2

1

cos

2 2

b c a a a a

A

bc bc b c a

+ −

= =  = =

+

Suy A 60

Chubabien@gmail.com, Thuy.tranthithanhdb@gmail.com Câu 34. Cho tam giác ABC có

4 4 3

a +b =c Chứng minh tam giác có góc tù

Lời giải

Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu

Ta có

3

4 4 4 4 4

4 4

3 3 3 3 3 3

a +b =c c =a +b  =a +b + a b a +b 

   

( )

4 4 4 2

2

4 3 3 3 3 4 3 3 3 3 4 2 2

3 2

a b a b a b  a b a b a b a b a b a b

 + +  +  + + = + + = +

Suy c2 a2+b2 mà

2 2

cos 90

2

a b c

C c

ab

+ −

=    

Vậy tam giác có góc tù

Câu 35. Tam giác ABC có a2+b2+c2 =36r2 có tính chất gì?

Lời giải

Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu

( )( )( )

2

2 2

2

36 36S 36 p a p b p c

a b c r

p p

− − −

+ + = = =

( )( ) ( )( ) ( )( )

36 p b p c p c p a p a p b

p

− − − − − −

= (1)

Ta có (p b− )(p c− ) − + − =p b p c a

Tương tự (p c− )(p a− )b; (p a− )(p b− )c

Suy ( )( ) ( )( ) ( )( )

8

p b p c p c p a p a p b abc

p p

− − − − − −

 (2)

Từ (1) (2) suy ra: a2 b2 c2 9abc (a b c)(a2 b2 c2) 9abc

a b c

+ +   + + + + 

+ +

Mà 2

a +b +c ab bc+ +ca

(a b c)(ab bc ca) 9abc

 + + + +  ( 2) ( 2) ( 2)

2 2

a b bc c b c cb b c a ab b

 − + + − + + − + 

( )2 ( )2 ( )2

0

a b c b c a c a b a b c

 − + − + −   = =