Đang tải... (xem toàn văn)
Tuy nói như vậy nhưng không phải đặt ẩn phụ là đặt được ngay, chuyển về hệ là chuyển được ngay, nhân liên hợp trục căn được ngay, ...Như thế có nghĩa là phải nắm giữ được "các dạng [r]
(1)MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - PHẦN 3 3 Định hướng khái quát giải lớp toán:
a Đặt vấn đề:
Trước hết ta quan sát toán sau: Giải phương trình +) x2- 5= 5- x
+) 2x2- 6x- 1= 4x+5
+) 2x2 4x 2 3x 2x1
+) 2
12 ( 3) 10
x x x x
+) 4x6 (x 1) 6x2 x +) 9x25 (x 1) 2x25x Nhận dạng phương trình:
Ta thấy có khác căn, biểu thức trước Các phương trình có dạng:
2 ' ' '
Ax Bx C mx n A x B x C
với A A' không đồng thời
Phương pháp chung để giải phương trình bình phương đưa phương trình đa thức bậc
Tuy nhiên việc giải phương trình bậc khơng đơn giản chút mà cịn dài Đơi phải hỗ trợ máy tính Casio, khơng việc giải vất vả, phương trình vơ nghiệm! Ưu điểm là: chủ động việc giải phương trình, dù khó khăn cực nhọc có hy vọng lớn để giải thành công
Nếu khơng đưa phương trình bậc tìm cách giải như:
Đặt ẩn phụ hồn tồn hay khơng hồn tồn, chuyển hệ phương trình, nhân liên hợp trục kết hợp nhẩm nghiệm loại thiếu định hướng chung, phải loay hoay xoay kiểu làm Tuy nói khơng phải đặt ẩn phụ đặt ngay, chuyển hệ chuyển ngay, nhân liên hợp trục ngay, Như có nghĩa phải nắm giữ "các dạng con" nhánh khác giải tốt được, khơng mị từ dạng sang dạng khác Nói cách khác: chúng ta bị dạng phương trình chi phối, rơi vào bị động giải tốn
Chính đặt là: có định hướng giải chung cho tất phương trình đồng thời khắc phục nhược điểm đó, hay nói cách khác: Phương pháp đưa phải thỏa mãn yêu cầu:
+ Dễ hiểu hay tương đối dễ hiểu + Không cồng kềnh
+ Dễ áp dụng hay tương đối dễ áp dụng
+ Có thể khơng cần sử dụng máy tính Casio Đây điều nói lên: Bạn sử dụng Casio quen rồi, thiếu cơng cụ dễ bị lúng túng Đặc biệt nghiệm vô tỉ!
Phương pháp đưa phức tạp cồng kềnh khó nhớ, khó hiểu, khó áp dụng khơng mang lại ý nghĩa thực tế
(2)khơng cịn đáng ngại Nắm chủ động giải toán! Dưới ta xét cách giải vài ví dụ sau khái qt cách giải
b Các ví dụ giải tốn:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x23x2 (x6) 3x2 2x (1)
Hướng phân tích:
(Nhận xét: nhắc lại tí mà khơng làm theo cách trừ hai vế với 5(x + 6) trục vế phải) Làm nháp: ta chuyển vế thành 3x23x2 ( x6) 3x2 2x 30 (*).
Mục tiêu ta là: * ax b u cx d u 0 (**) Bây ta lại phân tích ngược trở (nhân phá ngoặc không cần phá rời - Tách phần đa thức căn):
** ax b cx d 3x2 2x 3 a c x b d u 0
(***)
Cân hệ số từ (***) (*) ta có hai hệ sau:
1 6;
&
3 3
a c d b bd
ac ad bc
.
Ta chọn a = -1, c = hệ sau có nghiệm b1,d 5
Hướng dẫn giải:
1 x 1 3x2 2x 3 5 3x2 2x 3 0
+ TH1: Với x x1
Ta có phương trình x 1 3x2 2x 3 2x2 4x 0 x 1 3 (Thỏa mãn).
+ TH2:
2 85
5 3 28
3
x x x x x
Kết luận: nghiệm phương trình
1 , 1 85
3
x x
Ví dụ 2: Giải phương trình: x2- 5= 5- x (2)
Hướng phân tích:
Làm nháp: ta chuyển vế thành - x2+ +5 5- x =0 (*)
Mục tiêu là: * ax b u cx d u 0 (**) Bây ta phân tích ngược trở về: ** ax b cx d 5 xa c x b d u 0
(***)
Cân hệ số từ (***) (*) ta có hai hệ sau:
0 1; 5
&
1
a c d b bd
ac ad bc
.
(3)Hướng dẫn giải:
2 x 5 x x 1 5 x 0 + TH1: Với x0 Ta có phương trình : x 5 x
2 5 0 21
2
x x x
(loại nghiệm dương)
+ TH2: Với x x1 Ta có phương trình: x1 5 x
2 4 0 17
2
x x x
(loại nghiệm âm)
Kết luận: phương trình có hai nghiệm
21, 1 17
2
x x
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC:
Để giải phương trình:
2 ' ' '
Ax Bx C mx n A x B x C
ta thực theo phương pháp phân tích ngược sau:
Chuyển vế :
2 ' ' ' 0
Ax Bx C mx n A x B x C
Hoặc Ax2 Bx C mx n A x' 2B x C' ' 0 Khi phân tích nhân tử dạng: ax b u cx d u 0.
Làm nháp nhân phá ngoặc cân hệ số Đảm bảo hệ số có nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x6 (x 1) 6x2 x
Hướng phân tích:
Làm nháp: chuyển vế thành 4x ( x 1) 6x2 x 0 (*)
Mục tiêu là: * ax b u cx d u 0 (**) Bây ta phân tích ngược trở về: ** ax b cx d 6x2 x 6 a c x b d u 0
(***)
Cân hệ số từ (***) (*) ta có hai hệ sau:
1 1; 6
&
6
a c d b bd
ac ad bc
.
Ta chọn a = 3, c = -2 hệ sau có nghiệm b0,d 1
Hướng dẫn giải:
* 3x 6x2 x 6 2x 1 6x2 x 60
(4)+ TH1: Với 3x0.Ta có phương trình : 9x2 6x2 x 6 3x2 x 0 (vô nghiệm)
+ TH2: Với 2 x 1 x1/ 2 Ta có phương trình: 2x 1 6x2 x
2
2
2
x x x
(Thỏa mãn) (loại nghiệm -1)
Kết luận: phương trình có nghiệm x
Nhận xét:
Cách nhẩm chưa "ngon lành" chậm làm nháp, ưu điểm rèn luyện tư duy, có hướng để mị, ngồi lời giải tương đối ngắn gọn Hơn khơng q khó khơng lệ thuộc máy tính Casio, chủ động giải tốn dạng này
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
6x+ +9 (2x+1) 15x + + =x 0
Hướng phân tích:
Làm nháp: Ta cần: (ax b cx d+ ) ( + )+ +u ëêé(a c x b d u+ ) + + úùû =0 Ta có:
2 1; 9
&
15
a c d b bd
ac ad bc
suy hệ có nghiệm: a5,c3,b0,d 1.
Hướng dẫn giải:
2 2
6x 9 (2x1) 15x x 0 5x 15x x 3x 1 15x x 0
+ TH1: 5x0, ta có phương trình:
2
5 15 10
10
x x x x x x
+ TH2:
1
3
3
x x
ta có phương trình: 3x 1 15x2 x 6x27x 8 x
Kết luận: Phương trình cho có nghiệm 10 x
Ví dụ 5: Giải phương trình: x+11 (= x+3) 2x2+5x- 7(xỴ ¡ )
Hướng phân tích:
11 ( 3)
x x x x
- - + + + - = Ta cần: (ax b cx d+ ) ( + )+ +u éêë(a c x b d u+ ) + + ùúû =0 Ta có
1 a c ac ìï + = ïí
ï =
-ïỵ
3; 11
2, 1, 4,
5
d b bd
a c b d
ad bc
ìï + = - =
-ï Þ = = - = =
íï + + =
-ïỵ
Hướng dẫn giải:
( )( )
2 2
11 ( 3) 7
(5)2
2x 2x 5x 2x 11x 23 x
- - = + - Þ + + = ị ẻ ặ.
+ TH2: - -x 0£ Û x³ - 1, ta có:
2 41
1
2 x+ = x + x- Þ x=- +
Kết luận: Phương trình có nghiệm
3 41 x=- +
Ví dụ 6: Giải phương trình: 4x2+19x+ =6 x x2 2- 4x+3.(xỴ ¡ )
Hướng phân tích:
Nháp: - 4x2- 19x- 6+x x2 2- 4x+ =3 0Û (ax b cx d+ ) ( + )+ +u êéë(a c x b d u+ ) + + úûù =0 Ta có
1
2
a c ac ìï + = ïí
ï + =
-ïỵ
0;
4 19 d b bd ad bc
ìï + = + = -ïí
ï + - =
-ïỵ Hệ có nghiệma= - 2, c=3, d=3, b= - 3.
Hướng dẫn giải:
( )( )
2 2
4x +19x+ =6 x x2 - 4x+ Û -3 2x- 3+ 2x - 4x+3 3x+ +3 2x - 4x+3 =0
+ TH1:
2
2 3/
4 13 16
2
x x
x
x x
x x x
ì ì
ï - - £ ï ³
-ï ï
ï Û ï Þ = - +
í í
ï + = - + ï + + =
ï ïïỵ
ïỵ .
+TH2:
2
3 11 79
7 22
3
x x
x
x x
x x x
ì ì
ï + £ ï £ - -
-ï ï
ï Û ï Þ =
í í
ï- - = - + ï + + =
ï ïïỵ
ïỵ
Kết luận: Phương trình cho có nghiệm
11 79 13,
7 x= - + x= - + × Ví dụ 7: Giải phương trình: x2- x- 12 (= x+3) 10- x2
Hướng phân tích:
Nháp: - x2+ +x 12 (+ x+3) 10- x2 =0 Û (ax b cx d+ ) ( + ) + +u ëêé(a c x b d u+ ) + + ùúû =0 Ta có
1
1
a c ac ìï + = ïí
ï - =
-ïỵ
3; 10 12
d b bd ad bc
ìï + = + = ïí
ï + =
ïỵ Hệ có nghiệm a=1, c=0, d=1, b=2.
Hướng dẫn giải:
( )( )
2 12 ( 3) 10 2 10 1 10 0
x - x- = x+ - x Û x+ + - x + - x =
2
2
2 10
2
x
x x x
x x
ìï £ -ïï
Û - - = - Û íï Û =
-+ - = ïïỵ
(6) Ví dụ 8: [Tốn Học & Tuổi Trẻ số 420]Giải phương trình: 4x2+14x+11 6= x+10
Hướng phân tích:
Nháp: - 4x2- 14x- 11 6+ x+10=0Û (ax b cx d+ ) ( + ) + +u ëêé(a c x b d u+ ) + + ùúû =0 Ta có
0 a c ac ìï + = ïí
ï =
-ïỵ
4; 10 11 14 d b bd ad bc
ìï + = + = -ïí
ï + + =
-ïỵ Hệ có nghiệm a=2, c= - 2, d= - 3, b=7.
Hướng dẫn giải:
( )( )
2
4x +14x+11 6= x+10Û 2x+ +7 6x+10 - 2x- 3+ 6x+10 =0 (*)
Vì 6x+10 0³ Þ 2x+ >7 0nên ( )
3 13
* 10
4
x x x - +
Û + = + Þ =
Kết luận: Phương trình có nghiệm
3 13 x=- +
Ví dụ : [Tuyển sinh lớp 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014] Giải phương trình: ( )
2
1 2
x+ x - x = x - x
-
Hướng phân tích:
Nháp: ( )
2
2x - 3x- 2- x+1 2x - 2x=0Û (ax b cx d+ ) ( + ) + +u éêë(a c x b d u+ ) + + ùúû =0
Ta có
1 2 a c ac
ìï + = -ïí
ï + =
ïỵ
1;
2
d b bd
ad bc
ìï + = - = -ïí
ï + - =
-ïỵ Hệ có nghiệm a= - 1, c=0, d=1, b= - 2.
Hướng dẫn giải:
(x+1 2) x2- 2x=2x2- 3x- 2Û - -( x 2+ 2x2- 2x)(1+ 2x2- 2x) =0
2
2
3 13
2 2
x x
x
x x
x x x
ì ì
ï + ³ ï ³
-ï ï
ï ï
Û íï Û íï - - = Û = ±
+ =
-ï ïïỵ
ïỵ .
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x= ±3 13
Ví dụ 10 :Giải phương trình: 4x2- 11x+ =6 (x- 1) 2x2- 6x+6
Hướng phân tích:
Nháp: ( )
2
4x 11x x 2x 6x
- + - + - - + =
Ta cần:
(7)Ta có
1
2
a c ac ìï + = ïí
ï + =
-ïỵ
1; 6 11
d b bd
ad bc
ìï + = - + = -ïí
ï + - =
ïỵ Hệ có nghiệm a=3, c= - 2, d=3, b= - 4.
Hướng dẫn giải:
( )( )
2 2
4x - 11x+ =6 (x- 1) 2x - 6x+ Û6 3x- 4+ 2x - 6x+6 - 2x+ +3 2x - 6x+6 =0
+ TH1:
2
2
3 9 11
3 7
3 6 7 18 10 0
x x
x
x x x x x
ìï
ìï - £ ï £
-ï ï
ï Û ï Û =
í í
ï- + = - + ï
ï ï - + =
ïỵ ïïỵ .
+ TH2:
2 2
3
2 3 3
2 2
2 6 2 6 3 0
x x
x
x x x x x
ìï
ìï - + £ ï £ +
ï ï
ï Û ï Û =
í í
ï - = - + ï
ï ï - + =
ïỵ ïïỵ .
Kết luận: Phương trình có nghiệm là:
9 11, 3
7
x= - x= + Ví dụ 11: Giải phương trình: 2x2- 4x+ =2 2x x-
Hướng phân tích:
Nháp: - 2x2+4x- 2+ x x- 1=0 Û (ax b cx d+ ) ( + ) + +u ëêé(a c x b d u+ ) + + ùúû =0 Ta có:
3 0;
&
2
a c d b bd
ac ad bc
ì ì
ï + = ï + = - =
-ï ï
í í
ï = - ï + + =
ï ï
ỵ ỵ suy hệ vơ nghiệm Vậy để hệ có nghiệm ta chia
hai vế cho 2:
2
1 2
2
x x x x
- + - + - =
có
3 0; 1 1
&
2 2 2
1
d b bd
a c
ad bc ac
ìï ì
ï + = ï + = - =
-ï ï
ïí í
ï ï + + =
ï = - ïỵ ïïỵ
như thế:
1
2, ,
2
a= c= - b d= =
Hướng dẫn giải:
( )
2
2 2 2
2
x - x+ = x x- x+ x- ỗổỗỗ- x+ x- ữữửữữ=
ỗố ứ Vỡ x 12 nờn suy ra:
2
2 4
2x= x- Þ x - x+ = Þ x= ± (Thỏa mãn).
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: x= ±4
Chú ý 1:
+ Tại ta không nhân với 2; 3; 4; mà ta nhân với
1
k
(8)Lý ta chia (hay nhân) thêm số để điều chỉnh tích tổng ' a c km
ac A kA
'
b d kn
bd C kC
Sao cho đảm bảo hệ có nghiệm thỏa mãn ad bc B 'kB
Cụ thể 2kx24kx 2k3kx 2x1 0 với
0,
2
b d bd k
ad bc k
,
1
k
b = d =
+ Nếu phương trình có dạng
2 2
0
u x
khơng thể phân tích thành nhân tử
Bởi định hướng phân tích khơng tham hy vọng q lớn để bao tồn bài tốn nói
Ví dụ 12: [Olympic 30/04/2013]Giải phương trình: (x+3) - x2- 8x+48= -x 24
Hướng phân tích:
2x 48 (2x 6) x 8x 48
- + + + - - + = Û (ax b cx d+ ) ( + ) + +u éêë(a c x b d u+ ) + + ùúû =0 Ta có
2 a c ac ìï + = ïí
ï - =
ïỵ
6; 48 48
8
d b bd ad bc
ìï + = + = ïí
ï + - =
-ïỵ Hệ có nghiệm a=1, c=1, d=0, b=6.
Hướng dẫn giải:
2
(x+3) - x - 8x+48= -x 24Û - 2x+48 (2+ x+6) - x - 8x+48=0
(x+ + -6 x2- 8x+48)(x+ - x2- 8x+48) =0
+ TH1: x+ £6 0Û x£ - 6, ta có
2
6 48 20 12 31
x x x x x x
- - = - - + Þ + - = Þ = - + .
+ TH2: x£ 0, ta có - x= - x2- 8x+48Þ 2x2+8x- 48= Þ0 x= - -2
Kết luận: Phương trình có nghiệm x= - -2 7, x= - -5 31
(Ở khơng nhân thêm a + c = 1, ac = vô nghiệm! Vậy a = c = a + c = 2)
Ví dụ 13 :Giải phương trình:
2
5 (1 )
2
x + x- = + x x
Hướng phân tích:
Nháp:
2
5 3
( )
(9)Ta có
3
2 a c ac
ìïï + =-ïïï
íï
ï + =
ïïïỵ
1
;
2
3
d b bd
ad bc
ìïï + =- - = -ïïï
íï
ï + =
ïïïỵ có nghiệm 1, 1, 1,
2
a= - c= - d= - b=
Hướng dẫn giải:
PT
2 2
5 3 (1 ) 2 1 0 2 1 1 2 1 0
2x 4x 2 2x x x x 2x x
æ ửổữ ửữ
ỗ ữỗ ữ
+ - - + - = - + +ỗỗỗ - ữữỗỗỗ- - + - ÷÷=
è øè ø
+ TH1:
2
1 0
1
2 2
4
2 2
x x
x
x x
x x
ì ì
ï ï
ï- + £ ï £ - +
ï ï
ï Û ï Û =
í í
ï ï
ï - = - ï - - + =
ï ïïỵ
ïỵ .
+ TH2:
2
1 1 0 2
2 15
7
2 2
x x
x
x x
x x
ìï ì
ï- - £ ï - £ ±
ï ï
ï Û ï Û =
í í
ï ï - - =
ï + = - ïïỵ
ïïỵ .
Kết luận: Phương trình có nghiệm
6 1, 2 15
2
x= - x= ± ×
Lời bình:
Qua ví dụ ta làm chủ loại toán này, chủ động giải toán cho dù thay đổi biểu thức hay căn, bậc hay bậc hai
Ví dụ 14 :Giải phương trình: 5(8x2+11 )x =27(2x+1) 3x- (x )
Hướng phân tích:
Bài tổng hai số a + c = 54 lớn so với tích nên nhân hai vế với đặt 3x 2 u.
( )
2
200x +275x- 54x+27 75x- 50=0
Ta cần: (ax b cx d+ )( + ) + +u ëêé(a c x b d u+ ) + + úùû =0 Ta có
54 200 a c ac
ìï + = -ïí
ï =
-ïỵ
27; 50 75 275
d b bd
ad bc
ìï + = - - = ïí
ï + + =
ïỵ có nghiệm a= - 4,c= - 50,d= - 25,b= - 2.
Hướng dẫn giải:
( )
2
5(8x +11 )x =27(2x+1) 3x- 2Û 200x +275x- 54x+27 75x- 50=0
( 4x 75x 50)( 50x 25 75x 50)
Û - - + - - - + - =
+ TH1:
2
4 27
2,
2 16
4 75 50 16 59 54 0
x x
x x
x x x x
ìï ìï- - £ ï ³
-ï ï
ï Û ï Û = =
í í
ï + = - ï
ï ï - + =
ïỵ ïïỵ
(10)+ TH2:
2 50 25
2
10 100 97 27 0
x x
x x x x
ìï ìï- - £ ï- £
ï ï
ï Û ï
í í
ï + = - ï
ï ï + + =
ïỵ ïïỵ
(Vơ nghiệm)
Kết luận: Phương trình có nghiệm
27 2,
16 x= x= ×
Chú ý 2:
Câu hỏi đặt là: ta không nhân với 2; 4; 6; mà ta nhân với 5? Như nói: 54
40 a c
ac k
27;
2
d b bd k
nên ta chọn k để hai hệ có nghiệm đẹp tí Ta hình dung sau tách 54 = + 52 = + 50 = + 48 thử nhân cặp xem sao?
Hay
2.52 4.50
40 40 40
ac
k
và
bd k
mà ta chọn tổng a + c âm? Như ta vừa chọn a, c, b, d vừa biết cần nhân để thử
Để củng cố ta xét thêm vài ví dụ nhân thêm. Ví dụ 15:Giải phương trình:
2
15x +12x+12 10(2= x+1) x +3 (xỴ ¡ ).
Hướng phân tích:
Nếu để ngun a + c = -20 ac = 14, tách -20 = -2 + -18 = -4 + -16 tích lại 36, 64, nhân thêm hai vế với k đưa vào k x2 2+3k2như thế: ac k+ 2=15kthử tích 36 trước: 36+k2=15kÞ k=3 Nên PT Û 45x2+36x+36 (20- x+10) 9x2+27=0
Ta cần ax b cx d u a c x b d u 0
Nên
20 45 a c ac
10; 27 36
36
d b bd
ad bc
hệ có nghiệm a2, c18, d 9, b1.
Hướng dẫn giải:
PT Û 45x2+36x+36 (20- x+10) 9x2+27=0
( 2x 1 9x2 27)( 18x 9 9x2 27) 0
Û - - + + - - + + =
+ TH1:
2 2
1
2
2 27 5 4 26 0
x x
x x x x
ìï ìï - - £ ï ³
-ï ï
ï Û ï
í í
ï + = + ï
ï ï - + =
ïỵ ïïỵ (Vơ nghiệm).
+ TH2:
2 2
1
18 18 114
2
35
18 9 27 35 36 6 0
x x
x
x x x x
ìï
ìï - - £ ï ³ - - +
ï ï
ï Û ï Û =
í í
ï + = + ï
ï ï + + =
ïỵ ïïỵ
Kết luận: Phương trình có nghiệm
18 114 35 x=- +
Ví dụ 16:Giải phương trình:
2
(11)Hướng phân tích:
Nếu để nguyên a + c = -3 ac = tách -3 = -2 + -1.và tích lại (đẹp), nhiên b+ d = -3, bd = 4, nhân hai vế với k đưa vào k x2 2+3k2như thế: bd+3k2=7kthử tích thì: 3+ k2=7kÞ k=2 Nên PT Û 6x2+4x+14 (3- x+3) 4x2+12=0
Ta cần ax b cx d u a c x b d u 0
Nên
3 a c ac
3; 12 14
4
d b bd
ad bc
hệ có nghiệm a2, c1, d 1, b2.
Hướng dẫn giải:
PT Û 6x2+4x+14 (3- x+3) 4x2+12=0
( 2x 2 4x2 12)( x 1 4x2 12) 0
Û - - + + - - + + =
+ TH1:
2
2
1
2 12
x x
x x
x x
ì ì
ï - - £ ï ³
-ï ï
ï Û Û =
í í
ï + = + ï + =
ï ïỵ
ïỵ .
+ TH2:
2
1
3 11 12
x x
x x
x x
ì ì
ï - - £ ï ³
-ï ï
ï Û ï
í í
ï + = + ï - + =
ï ïïỵ
ïỵ (Vơ nghiệm).
Kết luận: Phương trình có nghiệm x1
Ví dụ 17:Giải phương trình: 10x2- 9x+ -3 2x x2- 3x+ =1
Hướng phân tích:
Nếu để ngun a + c = -8 ac = 8, tách -8 = -2 + -6 = -4 + -4 tích lại 12, 16 , nhân thêm hai vế với k đưa vào 2k x2 2- 3k x k2 + 2như thế: ac+2k2=10kthử tích ac = 12 thì: 12 2+ k2=10kÞ k=3, nên PT Û 30x2- 27x+ -9 18x x2- 27x+ =9 0(*) Ta cần ax b cx d u a c x b d u 0
Nên
8 18 30 a c
ac
0; 9
27 27
d b bd
ad bc
hệ có nghiệm a2, c6, d 0, b0.
Hướng dẫn giải:
PT Û 30x2- 27x+ -9 18x x2- 27x+ =9
( 2x 18x2 27x 9)( 6x 18x2 27x 9) 0
Û - + - + - + - + =
+ TH1:
2
2 0 3 3
,
14 27
2 18 27
x x
x x
x x
x x x
ì ì
ï - £ ï ³
ï ï
ï Û ï Û = =
í í
ï = - + ï - + =
ï ïïỵ
ïỵ .
+ TH2:
2
6 0 3 17
18 27
6 18 27
x x
x
x x
x x x
ì ì
ï - £ ï ³ - +
ï ï
ï Û ï Û =
í í
ï = - + ï + - =
ï ïïỵ
(12)Kết luận: Phương trình có nghiệm
3 3 17
, ,
7
x= x= x=- +
Chú ý 3:
Chúng ta xét vài ví dụ mà phân tích thành hệ số vơ tỉ Các ví dụ khơng nhiều nhưng khơng có nghĩa khơng làm được, với lưu ý số p+ q p- q có tổng 2p tích bằng p2- q số hữu tỉ.
Ví dụ 18:Giải phương trình: x2+ 6x2+4x= +x
Hướng phân tích:
PT ( )( )
2 1 6 4 0 0
x x x x ax b u cx d u
Û - - + + = Û + + + + =
Ta cần
0 1;
&
6
a c b d bd
ac ad bc
ì ì
ï + = ï + = =
-ï ï
í í
ï + = ï + + =
-ï ï
ỵ î Do đó:
5,
1 5
,
2
a c
b d
ìï = = -ïïï
í +
-ïï = =
ïïỵ .
+ TH1: ( )
2 2
6 5
2
x + x = - x - + Þ x + x= x + + + + x
( ) ( )( )
2 1 5 0 1
2
x x + x + ±
Þ - + - = Þ =
(loại)
+ TH2: ( )
2 2
6 5
2
x + x =x + - Þ x + x= x + - + - x
( ) ( )( )
2 1 5 0
2
x x - x -
-Þ - - + = Þ =
(Thỏa mãn )
Ví dụ 19 :Giải phương trình:
1 x x
x
+ =
+ .
Hướng phân tích:
Điều kiện: xỴ ( )0;1 Quy đồng chuyển vế ta thu được: ( )
3x+ x- x + =1
Nhân hai vế với ta có: ( ) ( )( )
2
18x+ 2x- 9x + = Û9 ax b+ + u cx d+ + u =0
Xét hệ:
2 2;
&
9 18
a c b d bd
ac ad bc
ì ì
ï + = ï + = - =
-ï ï
í í
ï = - ï + =
ï ï
ỵ ỵ ta có
1 10 10
&
1 10 10
a b
c d
ì ì
ï = - ï = - +
ï ï
ï ï
í í
ï = + ï =
-ï ï
ï ï
ỵ ỵ
+ TH1: ( )( )
2
9x + =9 10 1- x- Þ x2- (1- 10)x+ =1 0
(cả hai nghiệm loại)
+ TH2: ( )( )
2
9x + =9 10 1+ - x Þ x2- (1+ 10)x+ =1 0 10 2
x + -
(13)Vậy pt có nghiệm:
( 1)( 1)
2
x= -
-
MỘT SỐ ỨNG DỤNG.
Ví dụ 20 :Giải phương trình:
30 1.
2x +7x- 9- = +x (xỴ ¡ )
Hướng phân tích:
Điều kiện: 2x2+7x- 9- ¹
Từ PT suy 30 (= x+1)( 2x2+7x- 9)- Û - 9x- 39 (+ x+1) 2x2+7x- 9=0 (*) Ta cần (ax b cx d+ ) ( + ) + +u ëéê(a c x b d u+ ) + + ûùú =0 Cân hệ số:
Ta có
1 a c ac ìï + = ïí
ï + =
ïỵ
1; 39
7
d b bd ad bc
ìï + = - = -ïí
ï + + =
-ïỵ Hệ có nghiệm a=2, c= - 1, d= - 5, b=6.
Như ( ) ( )( )
2
* Û 2x+ +6 2x +7x- - -x 5+ 2x +7x- =0
+ TH1:
2
2
2 17 45
2
x x
x x
x x x
ì ì
ï + £ ï £
-ï ï
ï Þ ï
í í
ï- - = + - ï + + =
ï ïïỵ
ïỵ (Vơ nghiệm).
+ TH2:
2
5 3 145
3 34
5
x x
x
x x
x x x
ì ì
ï - - £ ï ³ - ±
ï ï
ï Þ ï Þ =
í í
ï + = + - ï - - =
ù ùùợ
ùợ , (xạ 4).
Kết luận: Phương trình có nghiệm
3 145
x= ± ×
Ví dụ 21 :Giải phương trình: 3x2+2x- 1+ 3x4+x3 =0 (xỴ ¡ )
Hướng phân tích:
Điều kiện:
4
3 1
1
3
x x
x
x x
ìï + ³
ïï Û - £ £
-íï- - +
ùùợ hoc 0Ê xÊ 13ì
+ Nếu
1
3 x
£ £ ×
3x2+2x- 1+ 3x4+x3 = Þ0 3x2+2x- 1+x x3 2+ =x 0 (*) Ta cần (ax b cx d+ ) ( + )+ +u ëéê(a c x b d u+ ) + + ûùú =0 Cân hệ số:
Ta có
1 3 a c ac ìï + = ïí
ï + =
ïỵ
0;
1 d b bd ad bc
ìï + = = -ïí
ï + + =
ïỵ Hệ có nghiệm a=1, c=0, d=1, b= - 1.
Nên ( ) ( )( )
2
* Û x- 1+ 3x +x 1+ 3x +x =0 1 3 17
x x x x - +
Û - = + Þ =
(14)+ Nếu
1
3 x - £ £
3x2+2x- 1+ 3x4+x3 = Þ0 3x2+2x- 1- x x3 2+ =x 0 (**) Ta cần (ax b cx d+ ) ( + )+ +u ëéê(a c x b d u+ ) + + ûùú =0 Cân hệ số:
Ta có
1 3 a c ac
ìï + = -ïí
ï + =
ïỵ
0;
1 d b bd ad bc
ìï + = = -ïí
ï + + =
ïỵ Hệ có nghiệm a= - 1, c=0, d= - 1, b=1.
Nên ( ) ( )( )
2
* * Û - + +x 3x +x - +1 3x +x =0 1 3 13
x x x
-Þ = + Þ =
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm
3 17, 13
4
x=- + x= - Ví dụ 22 :Giải phương trình sau: x2+3x+ +6 2x2- 1=3x+1
Hướng phân tích:
Điều kiện:
2 1
2 0,
3
x - ³ x - £ x+ Þ - £ x£
x³
Ta viết lại phương trình thành: x2+3x+ =6 3x+ -1 2x2- Bình phương vế thu gọn ta phương trình mới: 10x2+3x- (3- x+1) 8x2- 4=0 (*) (đưa vào căn)
Ta cần (ax b cx d+ ) ( + )+ +u ëéê(a c x b d u+ ) + + ûùú =0 Cân hệ số: Ta có
3 10 a c
ac
ìï + = -ïí
ï + =
ïỵ
1;
d b bd
ad bc
ìï + = - - = -ïí
ï + =
ïỵ Hệ có nghiệm a= - 2, c= - 1, d= - 2, b=1.
Như ( ) ( )( )
2
* Û - 2x+ +1 8x - - -x 2+ 8x - =0
+ TH1:
2 2
1
2 1 6
2 2
2 4 4 5 0
x x
x
x x x x
ìï
ìï - + £ ï ³ - +
ï ï
ï Þ ï Þ =
í í
ï - = - ï
ï ï + - =
ïỵ ïïỵ
+ TH2:
2
2 2 15
7
2
x x
x
x x
x x
ì ì
ï - - £ ï ³ - ±
ï ï
ï Þ ï Þ =
í í
ï + = - ï - - =
ï ïïỵ
ïỵ
Kết luận: Kết hợp điều kiện phương trình cho có hai nghiệm
1 6, 2 15
2
x=- + x= +
Ví dụ 23:Giải phương trình sau: x+ +1 x2- 4x+ =1 x
(15)Điều kiện: x³ 0,x+ £1 x Bình phương vế thu gọn ta phương trình mới:
2
2x - 11x+ +2 (x+1) 4x - 16x+ =4 0 (*) Ta cần
(ax b cx d+ ) ( + )+ +u ëêé(a c x b d u+ ) + + úùû =0
Cân hệ số:
Ta có
1 a c ac ìï + = ïí
ï + =
ïỵ
1; 16 11 d b bd
ad bc
ìï + = + = ïí
ï + - =
-ïỵ Hệ có nghiệm a=2, c= - 1, d=2, b= - 1.
Như ( ) ( )( )
2
* Û 2x- 1+ 4x - 16x+4 - + +x 4x - 16x+4 =0
+ TH1:
2
1
2 1
2 4
1 16 12 3
x x
x
x x x x
ìï
ìï - £ ï £
ï ï
ï Þ ï Þ =
í í
ï - = - + ï
ï ï =
ïỵ ïïỵ (Thỏa mãn điều kiện).
+ TH2:
2
2
4 12
2 16
x x
x
x x
x x x
ì ì
ï - + £ ï ³
ï ï
ï Þ ï Þ =
í í
ï - = - + ï - =
ï ïïỵ
ïỵ (Thỏa mãn điều kiện).
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm
1, 4.
x= x=
Ví dụ 24:Giải phương trình sau: x+ -1 3= x+2 1- x+ 1- x2
Hướng phân tích:
Điều kiện: x £ 1.Viết lại x+ -1 1- x =3x+ +1 1- x2 Bình phương vế ta thu phương trình mới: 8x2- 6x- 18 (6+ x+18) 1- x2 =0 Nếu để nguyên a + c = 6, ac = nên a = c = 3, nhiên b + d = 18 3b + 3d = - (vô nghiệm) Nhân hai vế với - đưa vào để cân bậc hai , giảm bớt tổng b +d:
2
16x 12x 36 (3x 9) 16 16x
Û - + + - + - = Ta cần ax b cx d u a c x b d u0 Cân hệ số:
Ta có
3
16 16
a c ac
9; 16 36
12
d b bd
ad bc
Hệ có nghiệm a3, c0, d 4, b5.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x £ 1;4 1+ ³x (1 3+ x) Viết lại: x+ -1 1- x =3x+ +1 1- x2 Bình phương vế ta thu phương trình:
2 2
8x - 6x- 18 (6+ x+18) 1- x = Û -0 16x +12x+36 (3- x+9) 16 16- x =0.
( 3x 5 16 16x2)( 4 16 16x2) 0
Û - - + - - + - =
(16)Trường hợp 1:
2 2
5
3 3
3
5
3 16 16 25 30 9 0
x x
x
x x x x
ìï ìï - - £ ï ³
-ï ï
ï Û ï Û =
-í í
ï + = - ï
ï ï + + =
ïỵ ïïỵ thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: 4= 16 16- x2 Û x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm
,
x x
Ví dụ 25:Giải phương trình sau: 2x+ +4 2- x= 9x2+16
Hướng phân tích:
Điều kiện: x £ Bình phương vế ta thu được: - 9x2- 8x+32 32 8+ - x2 =0 Ta cần: (ax b cx d+ ) ( + )+ +u ëéê(a c x b d u+ ) + + ûùú =0 Cân hệ số:
0
8
a c ac ìï + = ïí
ï - =
-ïỵ
8; 32 32
d b bd ad bc
ìï + = + = ïí
ï + =
-ïỵ có nghiệm a= - 1, c=1, d=8, b=0.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x £ Bình phương vế ta thu được: - 9x2- 8x+32 32 8+ - x2 =0
( x 32 8x2)(x 8 32 8x2) 0
Û - + - + + - =
Trường hợp 1:
2
0 4 2
9 32
32
x x
x x
x x
ì ì
ï - £ ï ³
ï ï
ï Û ï Û =
í í
ï = - ï =
ï ïïỵ
ïỵ thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2:
2
8
9 16 32 32
x x
x x
x x
ì ì
ï + £ ï £
-ï ï
ï Û ï
í í
ï- - = - ï + + =
ï ïïỵ
ïỵ (Vơ nghiệm).
Kết luận: Phương trình có nghiệm
4 x=
Nhận xét:
Với cách làm kết hợp máy tính Casio việc phân tích thành nhân tử dễ dàng. Hy vọng với cách làm giúp ích cho học sinh giải toán Ta thấy phần ý nghĩa thơng qua ví dụ từ 20 đến 25.
Mặt khác thấy "khơng có chìa khóa vạn năng" hay nói cách khác khơng nên hy vọng có cơng thức đơn giản mà giải tốn khó!
Sau luyện tập
(17)Bài 1. Giải phương trình: x2+3x=(3- x) - x2+ +x
Bài 2. Giải phương trình: 8x2+16x- 20= x+15
Bài 3. Giải phương trình: x2+ -1 (x+1) x2- 2x+ =3
Bài 4. Giải phương trình: x2+9x+ =7 (2x+7) 2x+7
Bài 5. Giải phương trình: 9x+25 (= x- 1) 2x2+5x-
Bài 6. Giải phương trình: ( )
2
4x - 11x+10= x- 2x - 6x+2
Bài 7. Giải phương trình: x2- 8x+26 (= x+1) x2- 6x-
Bài 8. Giải phương trình: 4x2+9x+ =1 (4x- 1) 8x2- 3x-
Bài 9. Giải phương trình: 4x2+23x+23 (= x+2) 2x2+6x+12
Bài 10. Giải phương trình: 16x2- 11x+ =1 (x+4) 4x2+18x-
Bài 11. Giải phương trình: 2x2- 6x- 1= 4x+5
Bài 12. Giải phương trình: 2x2+2x- (2= x+3) x2+5x+7
Bài 13. Giải phương trình:
2
4
1
x x x
x
+ + = + +
+
Bài 14. Giải phương trình: x2+4x+ =2 (5x+3) 5x2+6x+2
Bài 15. Giải phương trình: 5x+ =3 x x2 2+ +x
Bài 16. Giải phương trình: 3x2- 13x+37=8(x- 3) x+2. Bài 17. Giải phương trình: 3(x+1) x2+12=9x2+20x- 2. Bài 18. Giải phương trình: 7x2+ + =x 7x x2+ +x 2. Bài 19 Giải phương trình: 5x2+4x- x2- 3x- 18=5 x