Đáp án chuyên Toán học Hải Dương 2014-2015 - Học Toàn Tập

Vậy K luôn thuộc vào đường thẳng vuông góc với AB tại H xác định như trên.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn (chun ) I) HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm

II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu ý Nội Dung Điểm

I 1,00

Đặt M = x26x36 x26x64(ĐK:x R )

Ta có: 2  2 

4 24 256 36 64 36

A x  x  x  x  x  x  x  x 0,25

 2  2 

64 36 64 36

A M  x  x  x  x x  x  x  x 0,25

 2 

2 x 6x 64 x 6x 36 56

       0,25

Có 18 56 28

18

M   A  0,25

I 1,00

Ta có: 3

3

1

2 2

3 2 2

x

x

     

   0,25

 3

3

3

1

3 2 2

x     

 2 

3

2

3

3 2 2 3 2 2 2

x

            0,25

3

1

6 6x 3x

x x

      0,25

3

6 2014 2014 2015

B x x

       0,25

II 1,00

Xét phương trình: x220x24 3( x 1) 0 (ĐK: x1)

x2 8x 16 12x 12 3x 3 4 0

         x422 3x 3 22 0 0,25

x 3x 2x 3x 2

         

x 3x 3x 2 3x 3

        3 (1)

2 3 (2)

x x

x x

    

 

   



0,25

2

6

(1) 12 12

24 48

12

x x

x x

x x

x  

 

 

      

   

   

 

2

2

(2) 8

16 16

8

x x x x x x x                        0,25

II 1,00

Xét hệ phương trình: 13

1 1 2 3 12

2

11 1 2 3 1

2

2

x y x y x y

x y x y

x y                                0,25 Đặt: 2 3 3 x x

x x a a

y y b y y

b                          0,25 12 12 3

36

1

a b

a b a

a b b

a b                    0,25 *     2 37 2

1

2 37 4 2 37 2

x x

x x

x x x x x x

                        1377 144 x   0,25 *     2 39 3

2 39 4 3 39 2

y y

y y

y y y y y y

                     1521 144 y  

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 1377; 1521

144 144 x y         0,25

III 1,00

Ta có: n a 3b3 a b a  2ab b 2, dễ thấy a>1

Do n số nguyên tố, a b số tự nhiên, a>1, suy 2

1

a ab b 

1

a b a b

      0,25

  2  2 2

1 3

n b b b b b b

         0,25

Lại có: 100 n 502 2

100 3b 3b 502 33 b b 167

        

 2

133 2b 669

      6 b 12  b 6;7;8;9;10;11;12 0,25 Kiểm tra giá trị b ta được: n127;271;331;397 0,25

III 1,00

+) Đặt 4 2x x( 0;x Q - Tập số hữu tỉ) Ta chứng minh được: Nếu có b c Q bx c;  :     0 b c 0 (*)( Vì trái lại x vơ tỉ

c b

 hữu tỉ- Vô lý)

0,25

+) Nếu có ax2bx c 0( ; ;a b c Q )(1) ta có: 0(2)

ax bx cx 2a bx 3cx2 0(3) _ Nếu a =0 từ (1) (*) ta có b = c =0

_ Nếu a0 từ (2) (3) ta có b2ac x 2bcx2a2 0(4) Từ (1) (4) ta có b32abc x cb  2ac22a3 0(5)

0,25

Sử dụng kết (*), từ (5)ta có

3

2

2

(**)

2

b abc

cb ac a

  

 

  



Nếu b=0 từ (**) ta có c

a  ( Vơ lý ; c

Q Q

a  )

Nếu b0 từ (**) ta có c22a2 0 ( Vơ lý a0 ) Vậy ( 1) xảy a = b = c =

0,25

IV 1,00

Ta có: ·BED BAD· (góc nt chắn »

BD) 0,25

· ·

BAD AMD (cùng phụ với MAD· ) 0,25

· ·

BED NMD

  0,25

Do BED DEN· · 180 0 DMN DEN· · 180 0  Tứ giác DENM nội tiếp 0,25

IV 1,00

Chứng minh ENAvà EABđồng dạng AN AE

AB EB

 

0,25

I

E D

O B

A

K M

N

DMA

 DABđồng dạng AM AD

AB DB

 

2

(1)

AN AM AE AD AN AM AE AD

AB AB EB DB AB EB DB

     

Gọi I giao điểm DE AB (AB đường kính, từ gt M,N suy D E nằm hai phía AB nên I nằm A B)

Chứng minh DIAvà BIEđồng dạng AD AI

EB IE

 

AIE

 DIBđồng dạng AE AI

DB ID

 

=

AE AD AI AI EB DB IE ID



0,25

AIE

 DIBđồng dạng IE IA IE ID IA IB

IB ID

   

= = (2)

AE AD AI AI IA EB DB IA IB IB

 0,25

Từ (1) (2) suy AM AN.2 =IA

AB IB

 (3)

Do AM.AN không đổi, IA + IB = AB khơng đổi, từ (3) ta có I cố định

0,25

IV 1,00

Ta có: ID.IE = IA.IB = OA2 - OI2 Tương tự ID.IE = KD2 - KI2 (*) AM.AN = KM2 - KA2 (**)

0,25 Từ (*),(**) ta có KI2 - KA2 = AM.AN - IA.IB IA AB2 - IA IB m

IB

   số dương không đổi

0,25 Kẻ KH vuông góc với AB H

suy HI2 - HA2 = KI2-KA2 = m 0,25 hay (HI - HA)(HI + HA) = IA.(2HA + IA) = m

Do I, A cố định, m không đổi suy H cố định

Vậy K thuộc vào đường thẳng vng góc với AB H xác định

0,25

V 1,00

Đặt x y       1 a x y a x y  2  a12

2 2 2 9 x y a a

     (vì xy = 4) 0,25

2 2 9 9

2

a a

A a

a a

 

     0,25

Do x y  a a a.9

a a

    Dấu “=” xẩy a =

A

    Dấu “=” xẩy a =

0,25

Khi

5

x y o x xy

y x y

 

  



  

 

 



   



Vậy MinA = 5

x y

  

 

 