Đề thi thử THPT quốc gia

Bài toán hỏi về tính chất một số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn.. Ta có hai cách giải quyết trực tiếp và gián tiếp thông qua biến cố[r]

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

PBM-PHÂN TÍCH, BÌNH LUẬN VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ CÂU VDC

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2020 Mơn: Tốn – MÃ ĐỀ 101 (Câu: 43 – 50)

Câu 43 [MÃ 101 - TN 2020]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC 

A. 21

14

a

B.

2

a

C 21

7

a

D

4

a

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC, N trung điểm BB(tham khảo hình bên) Khoảng cách từ N đến mặt phẳng A BM 

A.

2

a

B.

4

a

C. a D.

8

a

Thực Thầy Nguyễn Xuân Sơn

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ đềuABC A B C    có cạnh bên cạnh đáy bằnga Gọi G trọng tâm tam giácCC B

M

B

C

A' C'

B'

A

N

M

B A

A' C'

B'

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Khoảng cách từG đến mặt phẳng A BC  :

A.2 21

21

a

B. 21

7

a

C.

3

a

D.2

3

Thực : Thầy Phong Do – Thầy Nguyễn Xuân Sơn

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác vng cân A với ABa AA 2a Trên cạnh CC lấy điểm M cho

1

C M  CM (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC 

A 4

9a B

2

3a C

3

2a D

9 4a

Thực : Thầy Hồng Xn Bính -PB : Thầy Nguyễn Xuân Sơn

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ tam giác

ABC A B C   có ABa AA a Gọi M trung điểm BC(tham khảo hình bên)

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC  bằng?

A 15

5

a

B 15

10

a

C 2 15

5

a

D 15

20

a

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ đứng tam giác

ABC A B C  , đáy ABC tam giác vng cân A có ABa AA a 5.Goi K điểm thỏa mãn hệ thức 5KA KB KCKC0 Tính khoảng cách từ K đến mặt phẳng A BC 

A 55

44

a

B 55

11

a

C 55

22

a

D 2 55

11

a

Thực : Hồng Xn Bính-Phản biện : Nguyễn Xuân Sơn

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC60, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H, M , N trung điểm cạnh AB, SA, SD P giao điểm (HMN) với

CD Khoảng cách từ trung điểm K đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN)

A 15

30

a

B 15

20

a

C 15

15

a

D 15

10

a

Phản biện

Thực : Nguyễn Binh Nguyen- : Nguyễn Xuân Sơn

Câu 44 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số g x x4f x 12

A 11 B 9 C 7 D 5

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số g x   x14f x  1 33

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Thực Thầy Võ Trọng Trí – Phản biện Thầy Kiet Tan

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Tính tổng tất giá trị m để số điểm cực trị hàm số g x   x m 4f x 23

A 2 B 0 C 1 D 6

Thực Thầy Võ Trọng Trí – Phản biện Thầy Kiet Tan

Câu [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc ba f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số g x x3f 3x12

A 6 B 4 C 7 D 3

Thực hiện: Thầy Thiện Vũ – Phản biện: Thầy Võ Trọng Trí

Câu 10 [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số    

1

g x x f x  

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Thực hiện: Thầy Thiện Vũ – Phản biện: Thầy Võ Trọng Trí

Câu 11 [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc ba y f(x) có đồ thị hình vẽ sau

Số điểm cực trị hàm số  

4

) (

x e x f

y 

A.8 B.5 C.9 D 7

Thực hiện: Cô Trần Thu Hương – Phản biện : Thầy Thiện Vũ

Câu 45 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Cho hàm số

yax bx  cx d a b c d, , ,   có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a, b, c, d?

A 4 B 1 C 2 D 3

Câu 12 [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số

yax bx  cx d có đồ thị

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Số lớn số a b c d, , ,

A b B d C a D c

Câu 13 [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số f x ax

bx c có BBT

hình vẽ Trong số a b c, , có giá trị dương?

A.1 B.0 C.2 D.3

Câu 14 [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số f x ax a b c, ,

bx c có

BBT hình vẽ Giá trị a b c  thuộc khoảng sau đây?

A 1;0 B. 2; 1 C  1; D. 0;1

Câu 15 [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Hàm số y ax b

cx d Có đồ thị

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Trong số sau: ab bd bc ad ad; ; ; ; bc có số dương

A.3 B.2 C.4 D.5

Câu 16 [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số y ax b cx d  

 có đồ thị

hình vẽ

Hỏi có số dương số ab bc ad ad bc; ; ;  ?

A 1 B 2 C. D 4

Câu 46 [ MÃ 101- TN 2020] Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác chữ số thuộc tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, Chọn ngẫu nhiên số thuộc  S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn

A. 25

42 B.

5

21 C.

65

126 D.

55 126

Câu 17 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020]Một tổ có bạn nam bạn nữ

Cần chọn bạn để xếp thành hàng dài tham gia diễu hành Tính xác suất để hàng khơng có bạn nữ đứng liên tiếp

A. 41

54 B.

49

54 C.

85

108 D.

89 108

Thực : Thầy Nguyễn Ngọc Hoá –Phản biện: Thầy Nguyễn Thanh Hải

O x

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Câu 18 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020]Gọi S tập hợp tất số tự

nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chia hết cho

bằng

A.

14 B.

19

28 C.

5

7 D.

16 21

Thực : Thầy Nguyễn Ngọc Hoá –Phản biện: Thầy Nguyễn Thanh Hải

Câu 19 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm

học sinh lớp 11A học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh lớp đứng cạnh

A

126 B

11

630 C

1

126 D

2 63

Thực : Thầy Nguyễn Thanh Hải – Phản biện: Thầy Nguyễn Khắc Thành

Câu 20 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Gọi E tập số tự nhiên có

chữ số lập từ chữ số 0;1;2;3;4;5 Chọn ngẫu nhiên số thuộc tập E Tính xác suất

để số chọn số chẵn, có hai chữ số khơng đứng cạnh nhau, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần

A

15 B

2

45 C

1

45 D

4 15

Thực : Thầy Nguyễn Thanh Hải – Phản biện: Thầy Nguyễn Khắc Thành

Câu 21 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho tập E1, 2,3, 4,5

Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số

A 12

25 B

13

25 C

144

295 D

151 295

Thực : Thầy Nguyễn Khắc Thành–Phản biện: Thầy Nguyễn Ngọc Hoá

Câu 22 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hai hộp đựng bi: hộp A đựng

viên bi xanh, viên bi đỏ; hộp B đựng viên bi xanh, viên bi đỏ Bốc ngẫu nhiên viên bi hộp A bỏ vào hộp B, sau bốc ngẫu nhiên viên bi hộp B bỏ lại hộp A. Tính xác

suất để sau đổi bi xong số bi xanh hai hộp

A 567

1768 B

343

352 C

49

96 D

49 264

Thực : Thầy Nguyễn Khắc Thành–Phản biện: Thầy Nguyễn Ngọc Hoá

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 chữ số xuất lần Xác suất để số chia hết cho

A

21 B

1

35 C

2

105 D

2 189

Thực Cơ Đồn Thị Lan Oanh – Phản Biện Thầy Nguyễn Khắc Thành

Câu 47 [ ĐỀ GỐC MÃ 101 – TN 2020] Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a O tâm đáy Gọi M ,N , P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA S' điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ'

A.

3

20 14 81

a

B.

3

40 14 81

a

C.

3

10 14 81

a

D.

3

2 14

a

Câu 24 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a có tâm O , mặt bên tạo với đáy góc 60 Gọi M N P Q, , ,

lần lượt ảnh O qua phép đối xứng qua mặt phẳng SAB , SBC , SCD , SDA Biết

S điểm đối xứng với S qua mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S MNPQ

A. 3

16 a B

3

9

32 a C

3

27

32 a D

3

27

16 a

Thực : Ngô Dung – Phản biện : Cô Thoa Nguyễn

Câu 25 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho khối bát diện ABCDEF tích

V Gọi O tâm hình vng ABCD Lấy A1 đối xứng với A qua ED , B1 đối xứng với

B qua EA ; C1 đối xứng với C qua EB D1 đối xứng với D qua EC Tính theo V thể tích khối chóp F A B C D 1 1 1 1

A V B.

2

V

C. 2V D 4

3

V

Thực : Ngô Dung – Phản biện : Cô Thoa Nguyễn

Câu 26 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Chóp S ABC có SA vng góc với đáy đáy tam giác ABC vuông A Gọi D E F, , ảnh , ,A B C qua phép vị tự

tâm S tỉ số

2

k Biết thể tích khối S ABCD V thể tích khối đa diện DEFABC

bằng V Tính tỉ số V

V A

27 B

3 C

13

27 D

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Câu 27 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh

a Gọi O O M N P Q, , , , , tâm đáy ABCD,A B C D bốn mặt bên Gọi

, , , ,

S I J H K ảnh O M N P Q, , , , qua phép vị tự tâm O tỉ số k 3 Tính thể tích

V khối đa diện tạo đỉnh S I J H K A B C D, , , , , , , ,

A

3

49

a

B

3

11

a

C

3

49

a

D

3

11

a

Tác giả: Ngô Tú Hoa – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm Thoa Nguyễn.

Câu 28 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hình lập phươngABCD A B C D

cạnh a Gọi O O M N P Q, , , , , tâm đáy ABCD A B C D, bốn mặt bên.Gọi , , , ,S I J H Klần lượt ảnh O M N P Q, , , , qua phép vị tự tâm O tỉ số k Tính thể tích khối đa diện tạo đỉnh S I J H K A B C D, , , , , , , ,

A B C .D

Ngô Tú Hoa – Nguyễn Thị Hồng Gấm

Câu 29 [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hai hình chóp tam giác có chiều cao Biết đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp

thứ tạo với đường cao góc

30 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao

góc

45 Tính thể tích phần chung hai hình chóp cho ?

A  

3

3

64

 a

B  

3

2

32

 a

C  

3

9

64

 a

D  

3

27

64

 a

Thực : ThầyNguyễn Hùng – Phản biện: Cô Nguyễn Thị Hồng Gấm

Câu 48 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Xét số thực không âm x y thỏa mãn

2 4x y

x y   

.Giá trị nhỏ biểu thức P x2  y2 4x6y

A. 33

4 B.

65

8 C.

49

8 D.

57

Câu 30 [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Xét số thực không âm x y thỏa mãn

2

.2 x y

x y x    Giá trị nhỏ biểu thức 9

2

Px  y  x y

A.

16 B.

5

16 C.

5

8 D.

13

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

 

2

5

5x log 4

x  x x xy x xy Giá trị nhỏ

4

x P y

xy y   

A. 133

4 B. 113

4 C. 28 D.

117

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Câu 32 [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hai số thực dương x y, thoả mãn

2

2

3log x 32x y y Giá trị nhỏ biểu thứcP x

y A ln

2

e

B. ln

2

e

C. ln

2

e

D.

2 ln

e

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Câu 33 [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Cho x y; hai số thực dương thỏa mãn

x y 2

2

y x

x y

x y

     

   

    Giá trị nhỏ biểu thức

2

2

3

x y

P

xy y  



A. 13

2 B.

9

2 C. 2 D.

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Câu 34 [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Xét số thực x y thỏa mãn

2

2 2

2 4x y

x y    Biết giá trị nhỏ biểu thức P x2 y2 4x6y a b

với ,a b Giá trị a b

A. 130

4 B.

265

2 C.

265

4 D.

130

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Câu 49 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 728 số ngun y thỏa mãn log4x2 ylog (3 xy)?

A. 59 B. 58 C. 116 D. 115

Câu 35 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên y cho ứng với y có không 100 số nguyên x thỏa mãn log5xy23y2x0

A. 19 B.18 C. 20 D. 17

Thực : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

để bất phương trình  2

2

1

log

x m x m

e     có tối đa 50 nghiệm nguyên

A. 15 B.16 C. 14 D. 17

Thực : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành

Câu 37 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên y cho ứng với

mỗi y có không 10 số nguyên x thỏa mãn log5 2 log2 

2x y  xy  xy 

A. 30 B.18 C. 32 D. 17

Thực : Thầy Nguyễn Sỹ – Phản Biện : Thầy Nguyễn Tất Thành

Câu 38 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 26 số ngun y thỏa mãn log5x2ylog4x2 x 27log (3 xy)?

A. 211 B. 423 C. 424 D. 212

Thực : Thầy Nguyễn Tất Thành– Phản Biện : Thầy Nguyễn Sỹ

Câu 39 [PHÁT TRIẾN CÂU 49 – MÃ 101 – TN 2020] Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 10 số nguyên y thỏa mãn 4x27y262 x y 8192 x y ?

A. 16 B. 15 C. 17 D.

Thực : Thầy Nguyễn Tất Thành– Phản Biện : Thầy Nguyễn Sỹ

Câu 50 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Cho hàm số bậc ba y f x( ) có đồ thị đường cong hình sau:

Số nghiệm thực phân biệt phương trình f x f x ( ) 1 0

A. B. C. D.

Câu 40 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình

 

2

4

1 ln

f x f

x

 

 

 

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

A. B. C. D.

Thực :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An

Câu 41 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số đa thức bậc ba y f x( ) có đồ

thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f f x x

e

 

 

 

 

là

A. B. C. D.

Thực :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An

Câu 42 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị đường cong hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình   

2

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

A 8 B 5 C 6 D 4

Thực :Thầy Huỳnh Đức Vũ – Thầy Dinh An

Câu 43 [PHÁT TRIẾN CÂU 50 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị đường cong hình vẽ Số nghiệm thực phân biệt phương trình

   

 

2

f x f x  

A 8 B 6 C 9 D 12

Thực : Thầy Dinh An– Thầy Huỳnh Đức Vũ

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Số nghiệm thực phương trình f f x   f x  0

A 20 B 24 C 10 D 4

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

HƢỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

CÂU 43 – MÃ 101

CHỦ ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Thực nhóm Thầy:

Nguyễn Xuân Sơn – Phong Do– Bình Hoang –Binh Nguyen

Câu 43 [MÃ 101 - TN 2020]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC 

A. 21

14

a

B.

2

a

C 21

7

a

D

4

a

Lời giải Chọn A

Phân tích: Nguyễn Xn Sơn

Bài tốn tính khoảng cách toán đặc trưng khối 11, nhiên với dạng tốn dùng ba phương pháp để giải quyết: tính tốn đơn theo cách lớp 11, tính theo tọa độ tính dựa vào thể tích tỉ lệ thể tích

*) Tính tốn theo cách lớp 11: Học sinh cần nắm đơn vị kiến thức +) Cho đường thẳng HJ cắt   I Khi ta có d H ,  HI.d J , 

JI

  

M

B

C

A' C'

B'

A

I H

J

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

+) Cho hình vng ABCD với M, N trung điểm BC AD Gọi

BMACP, NDACQ Ta ln có tính chất sau: BP2PM, DQ2QN ,

APPQQC

Vận dụng tính chất ta có cách giải Câu 43 sau:

 

    

, ,

2

d M A BC  d A A BC  AI Mà

a AH  ,

2 2

2

3

2 21

7

2

a a

AA AH a

AI

AA AH a

a 

  

   

  

 

Vậy  ,  21 21

2 14

a a

d M A BC  

*) Tính theo thể tích tỉ lệ thể tích:

Q P

M N

D C

A B

H M

B

C

A' C'

B'

A

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Gọi N trung điểm BB, lăng trụ ABC A B C    bị chia thành phần tích

2

1 3

3 12

A ACB A BCMN A MNB C ABC A B C

a a

V  V  V    V     a

Suy

3

1

2 24

M A BC A MNBC

a V   V  

Mà tam giác A BC có A B  A C a 2, BCa Vậy diện tích tam giác A BC là:

2

7

A BC

S   a

Vậy khoảng cách từ   

3

2

3

3 24 21

,

14

4 M A BC

A BC

a

V a

d M A BC

S a

  

   

*) Tính theo tọa độ:

N

M

B A

A' C'

B'

C

O M

B A

A' C'

B'

C x

z

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Chọn hệ tọa độ hình vẽ, cho a1 Ta có tọa độ điểm O0;0;0, 0; ; 01

B   ,

3 ; 0;

A   ,

1 0; ;

2

C    ,

1 0; ;1

2

B   ,

1 0; ;1

2

C    ,

3 ; 0;1

A   ,

1 0; ;

2

M    ,

3 ; ;

2

A B    

 ,

3

; ;

2

A C    

  Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng A BC  là:

3

, 1; 0;

2

nA B A C     

 

Phương trình mặt phẳng A BC : 1 0 0 0 3 0

2

x y z x z

          

Vậy   

1

21

,

14

d M A BC  



Câu 1. [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC, N trung điểm BB(tham khảo hình bên) Khoảng cách từ N đến mặt phẳng A BM 

A.

2

a

B.

4

a

C. a D.

8

a

Thực Thầy Nguyễn Xuân Sơn

Lời giải Chọn B

N

M

B A

A' C'

B'

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Gọi A M ACQ, suy ACCQa Mà BCa, tam giác ABQ vng B

Ta có  ,   ,   , 

2

a d N A BM d N A BQ  d A A BQ  AR

Câu 2. [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ đềuABC A B C    có cạnh bên cạnh đáy bằnga Gọi G trọng tâm tam giácCC B

Khoảng cách từG đến mặt phẳng A BC  :

A.2 21

21

a

B. 21

7

a

C.

3

a

D.2

3

Thực : Thầy Phong Do – Thầy Nguyễn Xuân Sơn

Lời giải Chọn A

R

Q N

M

B A

A' C'

B'

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

 

C G  A BC B, suy   

 

 ,,  23

d G A BC GB

C B d C A BC



 



 

Ta có

2

1 1 3

3 3 12

C A BC ABC A B C ABC

a a

V    V     C C S   a 

Lại có A B a 2, CBa, A C a

2

7

A BC a S 

 

Suy   

3

2

3

3 12 21

,

7

4

C A BC A BC

a

V a

d C A BC

S a

   

    

Vậy  ,   ,  21 21

3 21

a a

d G A BC  d C A BC  

Cách 2:

Gọi M trung điểm BC, H hình chiếu A lên A M

BC AM

BC AH

BC AA

 

 

  

 , mà AHA M nên AH A BC  hay AH d A A BC ,  

 

C G  A BC B, suy   

 

 

, 2

3 ,

d G A BC GB

C B d C A BC



 



  ; d C ,A BC d A A BC ,  

Ta có

2

a AM  ,

2

2

21

7

AA AM a

AH

AA AM



 

 

Vậy  ,   ,   ,  21 21

3 3 21

a a

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Câu 3. [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác vng cân A với ABa AA 2a Trên cạnh CC lấy điểm M cho

1

C M  CM (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC 

A 4

9a B

2

3a C

3

2a D

9 4a

Thực : Thầy Hồng Xn Bính -PB : Thầy Nguyễn Xuân Sơn

Lời giải Chọn A

Gọi MAA C N

3

MC MN

AA NA  đó:

2

MN  NA

 

    

; ;

3

d M A BC d A A BC h

   với d A A BC ;  h

Vì AA AB AC, , đơi vng góc Anên ta có: 12 2 12 12 12 12 12

4

h  AA  AB  AC  a a a

2

1

h a

  hay

3

h a  ; 

d M A BC a

 

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

ABC A B C   có ABa AA a Gọi M trung điểm BC(tham khảo hình bên)

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC  bằng?

A 15

5

a

B 15

10

a

C 2 15

5

a

D 15

20

a

Thực : Hồng Xn Bính-PB : Nguyễn Xuân Sơn

Lời giải Chọn B

Gọi I tâm mặt bên ACC A  Khi ta có M trung điểm BC nên

 

       

; ; ;

2

d M A BC  d C A BC  d A A BC

Gọi H trung điểm BC, hạ AKA H A H d A A BC ;  

Ta có:

2

a AH 

2

AA AH AK

AA AH 

 

 

15

a 

Vậy:  ;  15

10

a d M A BC 

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

ABC A B C  , đáy ABC tam giác vuông cân A có ABa AA a 5.Goi K điểm thỏa mãn hệ thức 5KA KB KCKC0 Tính khoảng cách từ K đến mặt phẳng A BC 

A 55

44

a

B 55

11

a

C 55

22

a

D 2 55

11

a

Thực : Hồng Xn Bính-Phản biện : Nguyễn Xn Sơn

Lời giải Chọn C

Gọi Glà trọng tâm tứ diện ABCC ta có: GA GB GC GC   0 Do đó: KA KB KCKC4KG

Theo giả thiết: 5KA KB KCKC0 4KAKA KB KCKC0

4KA 4KG

   Klà trung điểm AG

Mặt khác: gọi M N, trung điểm BC AC Glà trọng tâm tứ diện ABCC nên trung điểm MN  G A BC 

Khi đó:  ;   ; 

2

d K A BC  d A ABC

2h

 với hd A A BC ;  

Vì AA AB AC, , đơi vng góc Anên ta có: 12 2 12 2 12 12 12

5

h  AA  AB  AC  a a a Câu 6. [PHÁT TRIẾN CÂU 43 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi

cạnh a, ABC60, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H, M , N trung điểm cạnh AB, SA, SD P giao điểm (HMN) với

CD Khoảng cách từ trung điểm K đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN)

A 15

30

a

B 15

20

a

C 15

15

a

D 15

10

a

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Phản biện

Thực : Nguyễn Binh Nguyen- : Nguyễn Xuân Sơn

Lời giải Chọn B

Xét hình chóp S ABCD hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi ta có

(0;0;0)

H , ; 0;

a A 

 , 2; 0;

a B 

 ,

3 0; 0;

2

a S 

 ,

3 0; ;

2

a C 

 ,

3 ; ;

2

a Da 

 

Có MN AD nên suy P trung điểm CD Theo công thức trung điểm, ta suy

3 ; 0;

4

a a M 

 ,

3 ; ; 4

a a a N 

 ,

3 ; ; 2

a a P 

 ,

3 ; ; 4

a a a K 

 

Ta có ; 3;

4

a a MN   

 ,

3 ; 0;

4

a a HM   

 

Véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (HMN)

2 2

3 3

, ; ;

16 16 16

a a a nMN HM   

 

Phương trình mặt phẳng (HMN)

2 2

3 3

( 0) ( 0) ( 0)

16 16 16

a a a

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Vậy khoảng cách cần tìm  

3 3

4 4 15

d , ( )

20 1

a a a

a K HMN

  

 

 

CÂU 44 – MÃ 101

CHỦ ĐỀ : CỰC TRỊ HÀM SỐ

Thực : Võ Trọng Trí – Trần Thu Hương – Thiện Vũ – Kiet Tan

Câu 44 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số    

1

g x x f x 

A 11 B 9 C 7 D 5

PHÂN TÍCH

Bài dựa vào tính chất sau đa thức:

Cho đa thức f x bậc k có k nghiệm   (nghiệm trùng nhau) có m nghiệm bội chẵn n nghiệm bội lẻ Khi số cực trị hàm số f x   2m n 1

Lời giải Chọn B

 Cách 1:

Xét đa thức    

1

g x x f x  đa thức bậc 12

Ta có

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

4

0

1 1

0

0 1 1

1

1 1

1

1

1

x x

x a a x a a

x

x b b x b b

f x

x c

g x x f x

c x c c

x d d x d d

   

 

       

 

   

               

          

 

   

   

   

 

Như đa thức có nghiệm bội x0, nghiêm kép x a 1,b1,c1,d1 ( tất 12 nghiệm)

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

 Cách 2: Ta chọn hàm f x 5x410x23 Đạo hàm

  3   4     3      

4 1 2 1

g x  x f x   x f x f x  x f x  f x xf x 

Ta có    

       

3

2

0

2 1

2 1

x x f x

g x f x

f x xf x

f x xf x  

   

          

 

     



+) f x  1 0 * 5x1410x   1

1 1, 278

1 0, 606

1 0, 606

1 1, 278

x x x x

      

        

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác

+)         

1

4

2 1 10 20 20

t x

f x xf x t t t t t

 



          

4

30t 20t 40t 20t

      

1,199 0, 731

0, 218 1, 045

t t t t

           

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác khác nghiệm phương trình  * Vậy số điểm cực trị hàm số g x 

CÂU HỎI TƢƠNG TỰ, PHÁT TRIỂN

Câu 7. [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số g x   x14f x  1 33

A 2 B 3 C 1 D 5

Thực Thầy Võ Trọng Trí – Phản biện Thầy Kiet Tan



https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Lời giải Chọn B

Xét đa thức    4  

1

g x  x f x   đa thức bậc 17

Ta có        

 

4

4

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

x

x a

x x

x

x a

g x x

f x

x b

x b

f x

 

   



      



         

      

     

   



Như đa thức có 17 nghiệm, nghiệm x a x b bội 3, nghiệm x1 bội 10

Vậy số cực trị hàm số 1.2 3  

Câu 8. [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Tính tổng tất giá trị m để số điểm cực trị hàm số g x   x m 4f x 23

A 2 B 0 C 1 D 6

Thực Thầy Võ Trọng Trí – Phản biện Thầy Kiet Tan

Lời giải Chọn B

Xét đa thức    4  

2

g x  x m f x   đa thức bậc 12

Ta có    4  

1

2

x m x x

g x x m f x

      

 

   



  

Như đa thức có 12 nghiệm, nghiệm xm nghiệm bội x 1,x1 nghiệm bội

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Vậy tổng giá trị m để hàm số cho có cực trị

Câu 9. [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc ba f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số g x x3f 3x12

A 6 B 4 C 7 D 3

Thực hiện: Thầy Thiện Vũ – Phản biện: Thầy Võ Trọng Trí

Lời giải Chọn B

Ta chọn hàm f x x33x24 Đạo hàm

  2   3     2      

3 3 3 3

g x  x f x   x f x f x  x f x f x  xf x 

Ta có g x 0   

   

2

3

3

3

x f x

f x xf x

  

  

     



+) 3x2 0: Phương trình có nghiệm kép x0

+) f 3x 1 3x133 3 x12  4

3 1

x x

  

   



Phương trình có nghiệm kép

3

x nghiệm đơn

3

x 

+) f 3x 1 2xf3x 1

3

t x

 2  

3

3

t  t   t t  t 



3t 9t    4t

0, 457 1, 457

2

t t t

        



3 0, 457 1, 457

x x x

   

   

   

Phương trình có ba nghiệm phân biệt x 0, 486; x0,152;

3

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Vậy số điểm cực trị hàm số g x 

Câu 10. [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc bốn f x  có bảng biến thiên sau:

Số điểm cực trị hàm số    

1

g x x f x  

A 9 B 4 C 7 D 5

Thực hiện: Thầy Thiện Vũ – Phản biện: Thầy Võ Trọng Trí

Lời giải Chọn D

Ta chọn hàm  

8

f x x  x  Đạo hàm

             

3 2 2 2

4 1 1

g x  x f x    x f x  f x   x f x  f x  x f x  

Ta có g x 0   

   

3

2

2 2

4

1

1

x f x

f x x f x

  

  



     



+) 4x3 0: Phương trình có nghiệm bội lẻ x0

+) f x 2  1   4 2

1

x   x    

2

1

1

x x

    

  



Do x2 1 nên phương trình có ba nghiệm x0; x  1

+) f x 2 1 x f2 x2 1

2 1

t x 

   

8 16

t  t   t t  t 



5t 4t 24t 16t  7

2,191

0, 307 2, 085

t t t t

           

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓ M TO ÁN VD – V D C NHÓ M TO ÁN VD – V D C

Do tx2 1 nên phương trình có ba nghiệm x0; x 1, 091 Vậy số điểm cực trị hàm số g x 

Câu 11. [PHÁT TRIẾN CÂU 44 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số bậc ba y f(x) có đồ thị hình vẽ sau

Số điểm cực trị hàm số  

4 ) ( x e x f

y 

A.8 B.5 C.9 D 7

Thực hiện: Cô Trần Thu Hương – Phản biện : Thầy Thiện Vũ

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị tìm hàm số f(x)x3 3x1

Ta có      

 2

4 2 2 2 2 ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( x x x x e x e x f e x x f x f y e x f

y       

 ( 1) '( 1).2  ( 1)

'  f x2 f x2  xe  f x2  4e x

y x x

 ( 1)3.2 2.4 '( 1) ( 1)0

 f x xex f x f x

              ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 2 x f x f x f e x x

+) (1) x0

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

+) Giải (3): Đặt x21t

(2)4f'(t) f(t)043t23(t33t1)0

   

 

   

   

    

     

96 ,

12 , 13

17 ,

96 ,

12 , 12

0 13 12

3

x x t

t t

t t t

Vậy phương trình y'0 có nghiệm đơn phân biệt hàm số  

4

) (

x e x f

y  có

điểm cực trị

CÂU 45 – MÃ 101

CHỦ ĐỀ : TÌM HỆ SỐ TRONG HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Thực : Ngô Tú Hoa

Câu 45 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Cho hàm số

yax bx  cx d a b c d, , ,   có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a, b, c, d?

A 4 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn C

Ta có lim

xy  a0

Gọi x1, x2 hoành độ hai điểm cực trị hàm số suy x1, x2 nghiệm phương trình

3

y  ax  bx c  nên theo định lý Viet:

+) Tổng hai nghiệm 1 2

3

b x x

a

     b

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

+) Tích hai nghiệm 1 2

3

c x x

a

  c0

Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương nên d 0 Vậy có số dương số a, b, c, d

Câu 12. [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số

yax bx  cx d có đồ thị

như hình vẽ đây:

Số lớn số a b c d, , ,

A b B d C a D c

Lời giải Chọn D

Ta có

3

y  ax  bx c

+) Đồ thị cắt trục Oy điểm có tung độ     2 d

+) Hàm số có hai điểm cực trị x11 x2 3 nên

1

1

2

4

6

9

3

b

x x

b a

a

c c a

x x a

   

   

 

  



  



Suy yax36ax29ax2

+) Lại có  1 2

9

b

y a a

c           

 

Vậy b  d a c

Câu 13. [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số f x ax

bx c có BBT

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

A.1 B.0 C.2 D.3

Lời giải Chọn A

TCN: y a

b ; TCĐ:

c x

b ; Hàm Số nghịch biến

2

2

2

0

a b

ac b

c b b b b

ac b ac b

0

a c

Câu 14. [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Cho hàm số f x ax a b c, ,

bx c có

BBT hình vẽ Giá trị a b c  thuộc khoảng sau đây?

A 1;0 B. 2; 1 C  1; D. 0;1

Lời giải Chọn D

Từ BBT ta có tiệm cận đứng x c 2b c

b 

    

Tiệm cận ngang y a a b

b

   

Hàm số nghịch biến khoảng xác định nên  

 2 0

ac b

f x ac b

bx c 

     



2

2 0

2

b b b P a b c b

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Câu 15 [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020]Hàm số y ax b

cx d Có đồ thị

hình vẽ:

Trong số sau: ab bd bc ad ad; ; ; ; bc có số dương

A.3 B.2 C.4 D.5

Lời giải Chọn A

Hàm số nghịc biến nên ad bc

Đồ thị giao trục hoành hoành độ x b ab

a

Đồ thị giao trục tung tung độ y b bd

d

Ta có :

0

0

ab

b ad ad

bd

TCĐ : x d cd

c ; TCN : 0

a

y ac

c

Và có

0

0

ab

a bc bc

ac

Vậy có số dương thuộc ab ad bc, ,

Câu 16. [PHÁT TRIẾN CÂU 45 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hàm số y ax b cx d  

 có đồ thị

hình vẽ

O x

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Hỏi có số dương số ab bc ad ad bc; ; ;  ?

A 1 B 2 C. D 4

Lời giải Chọn C

HS đồng biến nên ad bc

Giao với trục hoành Ox x b ab

a

TCĐ : x d cd

c TCN : 0

a

y ac

c

Ta có

0

0

cd

c ad ad

ac

Và có

0

0

ab

a bc bc

ac

Vậy có số dương

CÂU 46 – MÃ 101

CHỦ ĐỀ : BÀI TOÁN XÁC SUẤT CHỌN SỐ TN THOẢ MÃN ĐK Thực :Nhóm thầy

Nguyễn Khắc Thành – Nguyễn Ngọc Hoá – Nguyễn Thanh Hải

Câu 46 [ MÃ 101- TN 2020] Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, Chọn ngẫu nhiên số thuộc  S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn

A. 25

42 B.

5

21 C.

65

126 D.

55 126

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Có

9

A cách tạo số có chữ số phân biệt từ X 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

4

A 3024

S

  

3024

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên

tiếp chẵn”

Nhận thấy khơng thể có chữ số chẵn chữ số chẵn lúc ln tồn hai chữ số chẵn nằm cạnh

Trƣờng hợp 1: Cả chữ số lẻ Chọn số lẻ từ X xếp thứ tự có A số 45

Trƣờng hợp 2: Có chữ số lẻ, chữ số chẵn

Chọn chữ số lẻ, chữ số chẵn từ X xếp thứ tự có C C 4! số 35 14

Trƣờng hợp 3: Có chữ số chẵn, chữ số lẻ Chọn chữ số lẻ, chữ số chẵn từ X có C C cách 25 24 Xếp thứ tự chữ số lẻ có 2! cách

Hai chữ số lẻ tạo thành khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào khoảng trống thứ tự có 3! cách

trường hợp có 2

5

C C 2!.3! số

Vậy  

4 2

5 5

A C C 4! C C 2!.3! 25

3024 42

A

P A      



Cách 2:

Số phần tử không gian mẫu n  A94 3024

Gọi A: “Lấy số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn” A

 : “Lấy số có hai chữ số chẵn liên tiếp” Ta có trường hợp sau:

TH1: Có hai chữ số liên tiếp chẵn - Chọn chữ số chẵn xếp có A42 cách

- Xếp chữ số chẵn vào vị trí có cách

- Chọn chữ số lẻ xếp vào vị trí cịn lại có

A cách

 Trường hợp có: 2

4.3 720

A A  số

TH2: Có chữ số chẵn có chữ số chẵn liên tiếp - Chọn chữ số chẵn xếp có A43 cách

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

- Xếp chữ số lẻ vào vị trí đầu, giữa, cuối dãy chữ số chẵn có cách

 Trường hợp có

4.5.4 480

A 

TH3: Có chữ số chẵn Trường hợp có 4! 24 cách

  720 480 24 1224

n A

    

    1224 25

1

3024 42

P A P A

     

PHÂN TÍCH Đây toán xác suất liên quan đến số tự nhiên

Bài tốn hỏi tính chất số tự nhiên có chữ số khác khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn

Ta có hai cách giải trực tiếp gián tiếp thông qua biến cố đối Cách giải cần phân tích xem có trường hợp thuận lợi để xảy biến cố sử dụng kiến thức hai quy tắc đếm khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Ta phát triển toán theo số hướng sau đây: : Thay hỏi số chẵn ta hỏi số lẻ

Hƣớng 1

Hƣớng 2: Tăng số lượng chữ số liên tiếp chẵn

Hƣớng 3: Hỏi sang biến cố đối

Hƣớng 4: Thay đối tượng chữ số chẵn lẻ thành đối tượng bạn nam nữ

Hƣớng 5: Thay đổi sang tính chất tương tự khác số tự nhiên

Câu 17. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020]Một tổ có bạn nam bạn nữ

Cần chọn bạn để xếp thành hàng dài tham gia diễu hành Tính xác suất để hàng khơng có bạn nữ đứng liên tiếp

A. 41

54 B.

49

54 C.

85

108 D.

89 108

Thực : Thầy Nguyễn Ngọc Hoá –Phản biện: Thầy Nguyễn Thanh Hải

Lời giải Chọn B

Số phần tử không gian mẫu n  A94 3024

Gọi A: “Trong hàng khơng có bạn nữ đứng liên tiếp nhau”

:

A

 “Trong hàng có bạn nữ đứng liên tiếp nhau” Ta có trường hợp sau:

TH1: Có bạn nữ liên tiếp

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

- Chọn bạn nam có cách

- Xếp bạn nam vào hàng có cách

 TH có

5.4.2 160

A  TH2: Có bạn nữ liên tiếp

 TH có

5 120

A  cách

  160 120 280

n A

   

    280 49

1

3024 54

P A P A

     

Câu 18. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020]Gọi S tập hợp tất số tự

nhiên có chữ số đôi khác chữ số thuộc tập 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chia hết cho

bằng

A.

14 B.

19

28 C.

5

7 D.

16 21

Thực : Thầy Nguyễn Ngọc Hoá –Phản biện: Thầy Nguyễn Thanh Hải

Lời giải Chọn C

Số phần tử không gian mẫu A84 1680

Gọi A: “chọn số khơng có hai chữ số liên tiếp chia hết cho 3” :

A

 “Chọn số có hai chữ số liên tiếp chia hết cho 3” Ta có trường hợp sau:

TH1: Có hai chữ số liên tiếp chia hết cho

- Chọn chữ số chia hết cho xếp có A32 cách

- Xếp chữ số vào vị trí liên tiếp vị trí có cách

- Chọn chữ số chữ số không chia hết cho xếp vào vị trí cịn lại có A52 cách

 TH có: 2

3.3 360

A A  số

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

- Chọn chữ số khơng chia hết cho có cách

- Điền chữ số vào vị trí đầu, giữa, cuối chữ số có cách

 TH có 3!.5.4 120

  360 120 480

n A

        480

1680

P A P A

     

Câu 19. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm

học sinh lớp 11A học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có học sinh lớp đứng cạnh

A

126 B

11

630 C

1

126 D

2 63

Thực : Thầy Nguyễn Thanh Hải – Phản biện: Thầy Nguyễn Khắc Thành

Lời giải Chọn B

Số phần tử không gian mẫu n  10! Gọi A biến cố thỏa yêu cầu toán

- Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách

(Sau xếp có vị trí trống (4 hai đầu), chẳng hạn 1C2C3C4C5C6

- Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương tự xếp từ phía bên phải (23456) cũng có 5! Cách xếp

- Nếu xếp học lớp A B vào vị trí 2345 trong có vị trí xếp học sinh có 4.2!.2.3

A

cách

Suy n A 5! 2.5!  A32.2!.2.363360

Vậy   63360 11

10! 630

P A  

Câu 20. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Gọi E tập số tự nhiên có

chữ số lập từ chữ số 0;1;2;3;4;5 Chọn ngẫu nhiên số thuộc tập E Tính xác suất

để số chọn số chẵn, có hai chữ số không đứng cạnh nhau, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần

A

15 B

2

45 C

1

45 D

4 15

Thực : Thầy Nguyễn Thanh Hải – Phản biện: Thầy Nguyễn Khắc Thành

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Ta có: A0;1;2;3;4;5a a1 a5 (a5 chẵn; chữ số 0, không cạnh nhau)

TH1: a5 0

+ Chọn vị trí xếp số cịn lại có cách (loại a a1, 4) + Cịn vị trí xếp chữ số có

5

A cách

Trường hợp có

5

2.A số

TH2: a5 0 suy a5 có cách chọn

+ Chọn vị trí khơng cạnh từ a a a2 4 để xếp số có cách (vào a2 a4) + Còn chữ số xếp vào vị trí có A42 cách

Trường hợp có:

4

2.A số

Do xác suất cần tìm là:

3

5

4

2 144

5.6 6480 45

A A

P   

Câu 21. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho tập E1, 2,3, 4,5

Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số

A 12

25 B

13

25 C

144

295 D

151 295

Thực : Thầy Nguyễn Khắc Thành–Phản biện: Thầy Nguyễn Ngọc Hoá

Lời giải Chọn C

Từ tập E1, 2,3, 4,5 lập A53 60 số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác Trong 60 số có: A43 24 số khơng có mặt chữ số có 60 24 36 số có mặt chữ số

Gọi A tập số mặt chữ số  

4

1n A  A 24

Gọi B tập số ln có mặt chữ số 1n B 60 24 36

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Vậy xác suất cần tính là:

1

24 36

2 60

144

295

C C p

C

 

Câu 22. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hai hộp đựng bi: hộp A đựng

viên bi xanh, viên bi đỏ; hộp B đựng viên bi xanh, viên bi đỏ Bốc ngẫu nhiên viên bi hộp A bỏ vào hộp B, sau bốc ngẫu nhiên viên bi hộp B bỏ lại hộp A. Tính xác

suất để sau đổi bi xong số bi xanh hai hộp

A 567

1768 B

343

352 C

49

96 D

49 264

Thực : Thầy Nguyễn Khắc Thành–Phản biện: Thầy Nguyễn Ngọc Hoá

Lời giải Chọn A

Không gian mẫu:  

17

14C

C n  

Trƣờng hợp 1: Lần thứ lấy viên bi xanh, sau trả lại phải bốc viên bi xanh

và viên bi đỏ, số cách bốc là:

7. 7. 8.

C C C C

Trƣờng hợp 2: Lần thứ lấy viên bi xanh viên bi đỏ, sau trả lại phải bốc viên bi xanh viên bi đỏ, số cách bốc là: 1

7. 7. 7. 10

C C C C

Trƣờng hợp 3: Lần thứ lấy viên bi xanh viên bi đỏ, sau trả lại viên bi

đỏ, số cách bốc là:

7. 7. 6. 11

C C C C

Gọi X biến cố sau đổi bi xong số bi xanh hai hộp

  2 1 2

7 7 10 7 11

n A C C C C C C C C C C C C Vậy xác suất cần tính

     73 70 82 91 72 71 71 102 71 72 60 113

3 3

14 17 14 17

8820 46305 24255 567 1768

n X C C C C C C C C C C C C p X

n C C C C

   

   



Câu 23. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020]Viết lên bảng năm số tự nhiên có hai chữ số khác theo thứ tự tăng dần tạo thành từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 chữ số xuất lần Xác suất để số chia hết cho

A

21 B

1

35 C

2

105 D

2 189

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Lời giải Chọn C

Không gian mẫu:

5 chữ số đứng đầu số có hai chữ số có

C cách chọn (chọn chữ số chữ số khác 0)

5 chữ số lại thay phiên đứng chữ số đứng đầu vừa chọn, có 5! cách

Mỗi cách chọn số cho cách viết theo thứ tự tăng dần, nên số phần tử không gian mẫu n  5!.C95 15120

Đếm số phần tử biến cố A “5 số chia hết cho 3”

Một số có hai chữ số mà chia hết cho có trường hợp: hai chữ số chia hết cho chữ số chia dư 1, chữ số chia dư

Ta chia 10 chữ số thành nhóm sau:

Nhóm (chia hết cho 3): 0;3;6;9 Nhóm (chia dư 1): 1; 4;7 Nhóm (chia dư 2): 2;5;8

Xét nhóm 1: Ta cần chọn số dạng a bc0; Các chữ số a b c, , hoán vị chữ số 3; 6;9, có 3! 6 số lập

Xét nhóm 3: Để lập số có hai chữ số chia hết cho 3, ta cần chọn chữ số nhóm chữ số nhóm Ta xét cặp số     1,d , 4,e , 7, f với d e f, , chọn từ nhóm Số cách chọn d e f, , 3! 6 , có cách chọn cặp số     1,d , 4,e , 7, f Mỗi cặp số tạo thành số có hai chữ số khác chia hết cho 3, nên có 6.2.2.248 cách chọn số có hai chữ số từ nhóm

Vậy số phần tử biến cố A n A 6.48228

Xác suất biến cố A  

  15120288 1052 A

n A P

n

  

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

CÂU 47 – MÃ 101

CHỦ ĐỀ : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thực :Nhóm Thầy Cô giáo

Ngô Dung – Thoa Nguyễn – Ngô Tú Hoa – Nguyễn Thị Hồng Gấm – Nguyễn Hùng

I BÀI TOÁN GỐC:

Câu 47 [ ĐỀ GỐC MÃ 101 – TN 2020] Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a O tâm đáy Gọi M ,N , P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA S' điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ'

A.

3

20 14 81

a

B.

3

40 14 81

a

C.

3

10 14 81

a

D.

3

2 14

a

Lời giải Chọn A

Gọi G G G G1, 2, 3, 4 trọng tâm SAB,SBC,SCD,SDA , , ,

E F G H trung điểm cạnh AB BC CD DA, , ,

Ta có

1

2

4

4 4

9 9

MNPQ G G G G EFGH

a

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

 

       

 

    

 

    

 

 

1

, , ,

, ,

2

, ,

3

5 14

,

3

d S MNPQ d S ABCD d O MNPQ d S ABCD d O G G G G d S ABCD d S ABCD

a d S ABCD

   

 

 

 

Vậy

2

1 14 20 14

3 81

S MNPQ

a a a

V    

II PHÂN TÍCH Ý TƢỞNG :

Ngô Dung

Ta biết : Bài tốn thể tích khối đa diện chương trình HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THPT thường đưa tính thể tích khối quen biết có cơng thức tính : Đó khối lăng trụ khối chóp Thì hai khối quen biết để tính cần yếu tố : ĐƯỜNG CAO VÀ DIỆN TÍCH ĐÁY Cả yếu tố câu 47 – Mã 101 đưa : cách tìm tỷ số đoạn thẳng qua phép biến hình Và tốn thực qua khối chóp tứ giác cho cạnh đáy cạnh bên Chính tỷ lệ tốn dễ dàng thực tính đối xứng khối chóp dạng

TỶ SỐ ĐOẠN THẲNG TRONG TÍNH ĐƢỜNG CAO CỦA BÀI TỐN THỂ TÍCH :

Độ dài đường cao khoảng cách từ S đến mặt phẳng MNPQ : Được tính nhờ đường cao

khối chóp biết qua tỉ lệ phép đối xứng tâm

TỶ SỐ ĐOẠN THẲNG TRONG TÍNH DIỆN TÍCH ĐÁY CỦA BÀI TỐN THỂ TÍCH :

Đáy MNPQ chóp cần tìm tạo từ điểm M N P Q, , , ảnh tâm O qua phép đối xứng tâm mà tâm trọng tâm mặt bên Do tính chóp nên rõ ràng tỷ số cạnh dễ ràng tìm cách sử dụng tính chất trọng tâm giả thiết ảnh qua phép đối xứng tâm

Như sử dụng phép biến hình ta mở rộng nhiều tốn tính thể tích khối đa diện mà thực tế cần đưa BÀI TỐN THỂ TÍCH CƠ BẢN

III CÁC VÍ DỤ PHÁT TRIỂN

PHÁT TRIỂN 1:

Theo ý tƣởng đỉnh đáy ảnh qua phép đối xứng qua mặt phẳng

Câu 24. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy

ABCD hình vng cạnh a có tâm O , mặt bên tạo với đáy góc 60 Gọi M N P Q, , ,

lần lượt ảnh O qua phép đối xứng qua mặt phẳng SAB , SBC , SCD , SDA Biết

S điểm đối xứng với S qua mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S MNPQ

A. 3

16 a B

3

9

32 a C

3

27

32 a D

3

27

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Thực : Ngô Dung – Phản biện : Cô Thoa Nguyễn

Lời giải Chọn B

Ta lấy điểm OM SAB E OP, SCD F kéo dài SE cắt AB G

Khi SOE AB SG AB

Mà SAB cân S G trung điểm AB đồng thời có SGO 60

* Tính SMNPQ :

- Xét mặt phẳng qua trục SS' chứa điểm G trung điểm đoạn DC , điểm , , ,E F M P

Gọi I FE SO O, ' PM SO

Ta có SAB cân S nên FE/ /OG IE/ /OG

2 2

2

3 3

sin

4

SI IE SE SO

SGO IE a EF a

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Do P M, ảnh O qua phép đối xứng qua mặt SAB , SCD hay P M, ảnh O qua

phép đối xứng qua tâm ,E F OE EM

OF FN

3

/ / ,

2

FE PM PM EF a

Hay có / / ,

2

PM AD PM a

Cũng tương tự ta chứng minh / / ,

2

NQ AB NQ a

Khi

2

MNPQ

S MP NQ a

* Tính đường cao hình chóp S MNPQ ,

S O MP S O NQ S O đường cao cần tìm,

1 3

2

4

S O S O OO SO OI SO SO SO a

* Tính thể tích khối chóp

9

:

32 S MNPQ

S MNPQ V a

PHÁT TRIỂN 2:

Theo ý tƣởng đáy ảnh qua phép đối xứng trục

Câu 25. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho khối bát diện ABCDEF tích

V Gọi O tâm hình vng ABCD Lấy A1 đối xứng với A qua ED , B1 đối xứng với

B qua EA ; C1 đối xứng với C qua EB D1 đối xứng với D qua EC Tính theo V thể tích khối chóp F A B C D 1 1 1 1

A V B.

2

V

C. 2V D 4

3

V

Thực : Ngô Dung – Phản biện : Cô Thoa Nguyễn

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Ta có tam giác ABE BCE CDE DAE, , , nên A1 ĐED A , B1 ĐEA B ,C1 ĐEB C

,D1 ĐEC D

Có tam giác EBC tam giác nên phép đối xứng qua trục EB biến C thành C1 phép đối xứng tâm với tâm đối xứng trung điểm EB , CBC E1 hình bình hành Hay

1/ / ,

EC CB EC CB

Tương tự ta có EA1/ /AD EA, 1 AD A C1 1/ /AD A C, 1 1 2AD Tương tự ta đượcB D1 1/ /CD B D, 1 2CD

1 1 1, 1 1

B D A C B D A C

1 1 1 1

1

2

A B C D ABCD

S B D A C AD CD S

Lại có :

1 1

1 1

.2

3

ABCDEF ABCD ABCD F A B C D

V V EF S EF S V

Nên

1 1

F A B C D

V V

PHÁT TRIỂN 3,4,5 :

Theo ý tƣởng đỉnh đáy ảnh qua phép Vị Tự số điểm đặc biệt

Câu 26. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Chóp S ABC có SA vng góc với đáy đáy tam giác ABC vuông A Gọi D E F, , ảnh , ,A B C qua phép vị tự

tâm S tỉ số

2

k Biết thể tích khối S ABCD V thể tích khối đa diện DEFABC

bằng V Tính tỉ số V

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

A

27 B

3 C

13

27 D

Thực : Ngô Dung – Phản biện : Cô Thoa Nguyễn

Lời giải Chọn A

Ta có: 1

;

1

2

S

D V A SA SD SA SD

Và 1 1

; ;

2

,

S S

E V B F V C nên ta có , ,

2 2

DF AB DF AC EF BC

Khối DEF ABC chia thành khối: D ABC A DEF F DAB, , E DAC

Thể tích : .

3 2

D ABC ABC ABC

D ABC V DA S SA S V

Thể tích : . .1

3

A DEF DEF ABC

A DEF V AD S SA S V

Thể tích F DAB :Do AC SAB DF SAB

Khi . 1 .1 1 .1

3 2 2

F DAB DAB

V FD S AC DA AB AC SA AB V

Thể tích D ABC tương tự tính thể tích F DAB : .

4

E DAC

V V

Vậy 3 3 27

2 4 27

V

V V V V V V

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Câu 27. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh

a Gọi O O M N P Q, , , , , tâm đáy ABCD,A B C D bốn mặt bên Gọi

, , , ,

S I J H K ảnh O M N P Q, , , , qua phép vị tự tâm O tỉ số k 3 Tính thể tích

V khối đa diện tạo đỉnh S I J H K A B C D, , , , , , , ,

A

3

49

a

B

3

11

a

C

3

49

a

D

3

11

a

Tác giả: Ngô Tú Hoa – Phản biện : Nguyễn Thị Hồng Gấm Thoa Nguyễn.

Lời giải Chọn B

Cách 1:Thực hiện: Cô Ngô Tú Hoa – Phản biện: Cô Thoa Nguyễn

Tính thể tích khối chóp S IJHK :

Ta có S VO,3 O OS 3OO OS 3a

Và có : VO,3 :MP IH IH 3MP 3a, tương tự JK ,a JK IH

2

1

2

IJHK

a

S IH JK

2

1 9

3 2

S IJHK

a a a

V

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

,3

O

I V M OI OM , ta có

2

a a

OM

2

a

OI

Gọi E trung điểm A B

2

2 2

4

a

OE OO O E

2

a OE

2 2

1

3 4

cos

2 10

2

2

OM OE ME MOE

OM OE

9

sin

10 10

MOE

2

1 3

.sin

2 2 10

OEI

a

S OE OM MOE a

Và có A B OEI nên

2

1

3 OEI 8

OIA B

a a

V S A B a

Tính thể tích khối chóp tứ giác đềuO A B C D :

3

3

O A B C D a

V

Tính thể tích V cần tìm

Để ý có M Q, trung điểm A B A D, , nên điểm M Q A B D, , , , nằm mặt phẳng A BD , tương tự với điểm lại

Nên tính chất đối xứng hình ta có :

S IJHK O IJHK O A B C D OIA B S IJHK O A B C D OIA B

V V V V V V V V

3

9 1 11

2

4

a

V a

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 52

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Ta tích cần tìm V  V1 V2

1

V : thể tích khối chóp S IJHK

2

V : Khối đa diện tạo A B C D I J H K   , , , , , , , Tính V1 :

Vì V O,3 :O MNPQ S IJHK nên

2

1 '.MNPQ

1

27 27

3 2

O

a a a

V  V     

Tính V2 : Khối đa diện tạo A B C D I J H K   , , , , , , ,

O'

Q P N

M

O

G H

K

J I

D C

B A

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

1 1 1

2 A B CD A B CD H A B A B

V V     V  

Theo tính chất phép vị tự ta có I JHKlà hình vng có đường chéo IK3MP3a

1 1D D

A B C A B C    chóp cụt có chiều cao

2

a O G  O O 

(A B C D1, 1, 1, 1 trung điểm cạnh hình vng I JHK ,có 1 1

2

a A B  )

Vậy

1 1

2

2

D D

1 19

3 24

A B C A B C

a a a

V      a    a

 

1

,

4 4

a a a

HLLG HJ  FG LF 

5

sin

4

a

TL  TLF 

Vì A B1 1HJ A B, 1 1 O G A B A B1 1    HTLHEA B A B1 1  

6 sin

20

a

HEHL TLF ,  

1

2

1

1 5

2 16

A B A B

a S    TL A B A B  

Do

1

3

3

5 17

32 12

H A B A B a

V   V  a

Vậy 11

3

V  a

: Ta mở rộng tốn tương tự tính :

Bình Luận

Tính thể tích V khối đa diện tạo đỉnh S I J H K A B C D, , , , , , , ,

A1

F

E

T

D1

C1

B1

L G

O' D'

C' B'

A'

K

J

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Câu 28. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hình lập phươngABCD A B C D

cạnh a Gọi O O M N P Q, , , , , tâm đáy ABCD A B C D, bốn mặt bên.Gọi , , , ,S I J H Klần lượt ảnh O M N P Q, , , , qua phép vị tự tâm O tỉ số k Tính thể tích khối đa diện tạo đỉnh S I J H K A B C D, , , , , , , ,

A B C .D

Ngô Tú Hoa – Nguyễn Thị Hồng Gấm

Lời giải Chọn B

Ta tích cần tìm V  V1 V2

1

V : thể tích khối chóp S IJHK

2

V : Khối đa diện tạo A B C D I J H K, , , , , , ,

Vì V O,3 :O MNPQ S IJHK nên

2

1 '.MNPQ

1

27 27

3 2

O

a a a

V  V     

1 1 1

2 A B CD ABCD H A B AB

V V  V

Theo tính chất phép vị tự ta có IJHKlà hình vng có đường chéo IK3MP3a

O'

Q P N

M

O

G H

K

J I

D C

B A

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

1 1D D

A B C ABC chóp cụt có chiều cao 3

2

a

OG O O  (A B C D1, 1, 1, trung điểm

các cạnh hình vng IJHK, có 1

3

a A B  )

Vậy

1 1

2

2

D D

1 19

3

A B C A B C

a a a

V       a    a

 

1

,

4 4

a a a

HLLG HJ  FG LF 

37 37

sin

4 37

a

TL  TLF

Vì A B1 1 HJ A B, 1 1 OGA B AB1 1   HTLHEA B AB1 1 

9 37 sin

74

a

HEHL TLF  ,  

1

2

1

1 37

2 16

A B AB

a S  TL A B AB 

Do

1

3

3

5 31

96 12

H A B AB a

V  V  a Vậy 29

6

V  a

D1

C1

B1 A1

E L

T

F

G O

D

C

B A

K

J

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

PHÁT TRIỂN :

Theo ý tƣởng Thể Tích khối đa diện có kết hợp góc

Câu 29. [PHÁT TRIẾN CÂU 46 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hai hình chóp tam giác có chiều cao Biết đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp

thứ tạo với đường cao góc

30 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao

góc

45 Tính thể tích phần chung hai hình chóp cho ?

A  

3

3

64

 a

B  

3

2

32

 a

C  

3

9

64

 a

D  

3

27

64

 a

Thực : ThầyNguyễn Hùng – Phản biện: Cô Nguyễn Thị Hồng Gấm

Lời giải Chọn C

Hai hình chóp A BCD A B C D    hai hình chóp đều, có chung đường cao AA, A tâm tam giác B C D   A tâm tam giác BCD

Ta có: BCD // B C D  ; ABACADa; BAA ; AA B   Do AB cắt A B  M nên AB//A B

Gọi N giao điểm AC A C ; P giao điểm AD A D 

β α B'

A'

C B

D A

M

N

P C'

D'

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Tương tự ta có: AC//A C , AD//A D

Từ suy cạnh BCD B C D   song song với đơi

Ta có:

;

MB A B

MA AB

NC A C

NA AC

AB AC A B A C 

 

 

 

 

 



     



MB NC MA NA

  MN//BC

Tương tự ta có: NP CD// MP//BD

Suy ra: MNP tam giác Gọi H giao điểm OO MNP, H tâm tam giác MNP

Trong tam giác AA D có: AA AD.cos a.cos  1

Đặt xMH Hai tam giác AHM tam giác A HM vuông H cho:

 

.cot cot

cot cot

.cot cot

AH MH x

AA x

A H MH x

 

 

 

 

 

  

   

  2

Từ  1  2 suy ra: cos cot cot  cos

cot cot

a

a  x   x 

 

   



Tam giác MNP có cạnh MNx nên:

 

2 2

2

3 3 3 cos

4 4 cot cot

MNP

MN x a

S 

 

   



Phần chung hai hình chóp A BCD A B C D    hai hình chóp đỉnh A A có chung mặt đáy tam giác MNP Do thể tích là:

 

 

3

2

1 3.cos

3 MNP MNP 4 cot cot

a

V S AH A H S AA 

 

   

   



Với  30  45

   

3

2

9

64 32

a a

V



 

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

CÂU 48 – MÃ 101

CHỦ ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Thực : Nhóm Thầy Cơ

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Câu 48 [ ĐỀ GỐC-MÃ 101- TN 2020 ] Xét số thực không âm x y thỏa mãn

2 4x y

x y   

Giá trị nhỏ biểu thức 2

4

Px y  x y

A. 33

4 B.

65

8 C.

49

8 D.

57

PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN

Dạng tốn: Đây dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số nhiều biến số với giả thiết biến buộc đẳng thức hay bất đẳng thức liên qua tới mũ hay logarit Hướng giải:

Bước 1: Tìm mối liện hệ biến ta có hướng sau:

Hướng 1: Từ giả thiết toán ta sử dụng biến đổi phù hợp để đưa dạng

   

f u  f v sử dụng tính đơn điệu hàm f x để đưa mối liên hệ biến   Hướng 2: Từ giả thiết ta đưa k.f u  f v l g u    g v 0từ dựa vào tính đơn điệu hàm f x g x sử dụng đánh giá phù hợp để đưa mối liên hệ    ,

biến

Bước 2: Từ mối liên hệ biến ta thay vào biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, để đánh giá Đến đay ta có hướng để giải toán sau:

Hướng 1: Đưa hàm biến để khảo sát

Hướng 2: Sử sụng bất đẳng thức để đánh giá

Hướng 3: Sử dụng vị trí tương đối đối tượng hình học để đánh giá

Lời giải

Chọn B

 Cách 1: Biến đổi giả thiết

     

2 2 2

.2 x y 2 y 2 x 2 y 2 x *

y     xy    x   y   x 

Nếu 3

2

x x

    y0 nên  * ln

Ta có

2

3 33

0 6.0

2

P      

  (1)

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 59 NHÓ M TO ÁN VD – V D C NHÓ M TO ÁN VD – V D C

Xét hàm số f t t.2t xác định liên tục 0; Có f ' t  2t t.2 ln 2t   0, t  

f t

 đồng biến 0; Từ suy 3

2

y  x  y x mà 2 x nên

2

2 3

4

2

Px  x  x  x

   

2 45

2

P x x

   

2

5 65 65

4 8

x

 

     

  (2), đẳng thức

xảy 4 x y       

Từ (1) (2) chọn B

 Cách 2:

Với x y, khơng âm ta có

3

1 2 3 2

2 4

2

x y x y

x y

x y     x y    x y  y    

    (1)

Nếu

2

x  y  

3

0

3

x y

x y y     y

        

 

 

    (vơ lí)

Nếu

2

x  y  

3

0

3

x y

x y y     y

        

 

 

    (luôn đúng)

Vậy  1

2

x y

    

2

x y

Ta có 2   2 2

4 13

Px y  x y x  y 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta  

2

1 65

5 13 13

2 2

P x y       

 

Đẳng thức xảy

5 4 x x y

x y y

                 

Vậy 65

8 P 4 x y        

 Cách 3:

Ta có 2 2   2    

.2 x y 2 y 2 x 2 y 2 x *

y     xy    x   y   x 

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 60

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Xét hàm số f t t.2t xác định liên tục 0; Có f ' t  2t t.2 ln 2t   0, t  

f t

 đồng biến 0; Từ suy  * 2y 3 2x2x2y 3

Nếu 3

2

x x

    y0 nên  * ln Suy 2y 3 2x Tóm lại ta  * 2x2y 3  1

Ta có 2 2   2 2

4 13

Px y  x y x  y  hay x2 2 y32  P 13  2 Ta thấy tập hợp giá trị x y, thỏa mãn giả thiết  1 điểm M x y , nửa mặt phẳng

Oxybờ đường thẳng : 2x2y 3 không chứa I 2; 3và điểm nằm  Đẳng thức  2 đường tròn tâm I 2; , R P13

Dễ thấy P nhỏ đương thẳng  đường trịn  C tiếp xúc

  13 65

; 13

8

d I   R   P  P

Dấu xảy 4

x y       

Vậy giá trị nhỏ P 65

8

CÂU HỎI TƢƠNG TỰ, PHÁT TRIỂN

Câu 30. [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Xét số thực không âm x y thỏa mãn

2

.2 x y

x y x    Giá trị nhỏ biểu thức 2 9

5

2

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 61 NHÓ M TO ÁN VD – V D C NHÓ M TO ÁN VD – V D C A.

16 B.

5

16 C.

5

8 D.

13

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Lời giải Chọn B

Xét hàm số  

.2 x y

f y   x y x   hàm số biến y, liên tục

Ta có  

1 x y ln 0,

f y  x     x Do đó, f y  đồng biến

Mặt khác, x y x.22x y 11 f y  f 1 2 x  y 2x2x y Ta có:

2 9

5

2

Px  y  x y  

2

2

1

2

4

x y y

                2 1 4 x y              

Theo bất đẳng thức Bunhyakovski, ta có:

  2 1 2

4 2

4 4

x y x y x y

                                     25 16         2

1

4 16

x y                16 P  

Dấu “=” xảy

1 1 4 y x x y y x y                        

Vậy

5

16

P

Câu 31. [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Cho số thực dương ;x y thỏa mãn

 

2

5

5x log 4

x  x x xy x xy Giá trị nhỏ

4

x P y

xy y   

A. 133

4 B. 113

4 C. 28 D. 117

8

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Lời giải

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 62 NHÓ M TO ÁN VD – V D C NHÓ M TO ÁN VD – V D C ;

x ylà số thực dương thỏa mãn x2 x 10x xlogxy x xynên suy ra

0 x y          

5 5

5

5 log 4 log log 4

x x

x x x xy x xy x x y y

x

           

   

5 5

5 5

log log 4 log log 4

x x x

x x y y y y

x x x

            

Xét hàm số f t log5tt xác định liên tục 0; Có  

1

' 0,

f t t

t

      

f t

 đồng biến 0; Từ suy

x y

x   nên

2 7 27 27 27

1

4 4 8

x

y

P y y y y

xy y y y y y y



            

3 27 27

3 y P 28

y y     Khi x y     

 đẳng thức xảy

Câu 32. [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Cho hai số thực dương x y, thoả mãn

2

2

3log x 32x y y Giá trị nhỏ biểu thứcP x

y A ln

2

e

B. ln

2

e

C. ln

2

e

D.

2 ln

e

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Lời giải Chọn B

Ta có : 2 2

2

3log x 32x y y log x 32x 3y 8.2 y

2

2

3log 2x 32x 3y 8.2 y

Đặt log2 2

2

t

t x x Thay vào phương trình ta phương trình:

2

2

2

3 32 8.2 8.2 8.2

2 t

y t y

t y t y

Xét hàm số

3 8.2 ,x

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 63

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Từ ta có: t y , nên ta có :log2 2

2

y

x y x Vậy

2

2

y P

y

Xét hàm số ,

2

x

g x x

x Ta có 2

2 ln 2 ln 2

2

x

x x x

x g x

x x

suy : ln 2

ln

g x x x

Ta có bảng biến thiên hàmg x sau:

0;

1 ln

ln 2

e

g x g

Vậy giá trị nhỏ P : min ln

2

e

P

Câu 33. [PHÁT TRIẾN CÂU 48 – MÃ 101 – TN 2020] Cho x y; hai số thực dương thỏa mãn

x y 2

2

y x

x y

x y

     

   

    Giá trị nhỏ biểu thức

2

2

3

x y

P

xy y  



A. 13

2 B.

9

2 C. 2 D.

Trương Đức Thịnh – Phạm Ninh – Đạt Lâm Huy – Thơm Chu

Lời giải Chọn D

Ta có 2 4 1 4 1

2

y x

y x

x y x y

x y

         

   

   

    ln 4 1 ln 4 1

ln ln

x y

x y

y x

x y

 

      (vì x y, 0)

Xét hàm số   ln 4 1

t f t

t 

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 64

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

NHÓ

M

TO

ÁN

VD

– V

D

C

Ta có        

 

2

4 ln

ln 4 ln 4 4 1 ln 4 1

4 0, 0

4 t

t t t t t

t

t t

f t t

t t

    



     



 

f t

 nghịch biến khoảng 0;  Lại có f x  f y  x y

Đặt t x

y

 , t 1; 

2

3

t P

t  

 Cách 1: Xét

2

3

t P

t  

 với t 1; , ta có  

2

1

2

;

3

t

t t

P P

t t

    

   



 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy giá trị nhỏ P t3 hay x3y

Cách 2: Ta có

2

3

1 2

1

t

P t

t t