Đề luyện thi THPT năm 2020 đề số 6

Giả sử người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên 3 người trong 15 người để giao lưu với khán giả... Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.[r]

ĐỀ SỐ 06 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu Số số tự nhiên có hai chữ số tạo từ chữ số 1, 3, 5, 7,

A 30 B 50 C 20 D 25

Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? A ( )un ,n *;

1 n

u =n + B ( )un ,n *; 2n

n

u =

C ( )un ,n *; un =2n+1 D ( )un ,n *;un n

Câu Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau

Mệnh đề sau đúng ?

A Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng ( )3; B Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (− −5; 2) C Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng (− +2; ) D Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (−;3) Câu Điểm cực đại đồ thị hàm số y=x3− +3x điểm:

A N(−1;7) B P(7; 1− ) C Q( )3;1 D M( )1; Câu Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số

2

x y

x

+ =

− ? A y= −2 B y=4 C y=2 D

2

y= Câu Đường cong sau đồ thị hàm số nào?

x – ∞ -2 + ∞

y' – 0 + 0 –

y

+ ∞

3

4

– ∞

O x

y

3

1

1 − −

THUVIENTOAN.NET KỲ THI THPT QUỐC GIA 2020

KHOÁ LUYỆN ĐỀ Bài thi: TOÁN 12

A

3

y=x − x+ B

3

y= − +x x+ C.

3

y=x + x+ D.

2

y=x − x + Câu Cho a, b, c số thực dương, e số logarit tự nhiên thỏa mãn ac=eb4 Tính giá

trị biểu thức 1ln ln ln

A= a− b+ c

A 1 B lnac2

b C e D

1 Câu Số nghiệm nguyên dương phương trình ( )

log x −2x+2 =1

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu Cho hàm số ( ) 3x f x

+

= Mệnh đề đúng?

A  f x( )dx=ln3x+2+C B ( ) 3

d ln x

f x x= + +C



C ( )

( )2

1

d

x

f x x C

+

= − +

 D ( )

( )2

1 3

d

x

f x x C

+

= − +



Câu 10 Tính

0 sin d

I x x



=

A 1

2 B

3

2 − C

3

− + D

2 +

Câu 11 Hình ( )H giới hạn đường y= f x( ), x=a, x=b, (ab) trục Ox Khi quay ( )H quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích tình cơng thức

A ( )

b

a

V = f x dx B ( )

b

a

V = f x dx C 2( )

b

a

V =f x dx D ( )

b

a

V = f x dx Câu 12 Điểm M(1; 3− ) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức

A 1 3− i B 1 3+ i C − +3 i D 3−i

Câu 13 Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z2+ + =z Tính P=z0+2

A 3

2

i

P= + B

2

i

P= + C

2

i

P= − D 3

2

i

P= −

Câu 14 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a b c, , Thể tích khối hộp chữ nhật là:

A V =a b c B

3

V = a b c C

6

V = a b c D V = + +a b c

Câu 15 Cho hình nón có diện tích xung quanh 8a2 bán kính đáy a Độ dài đường sinh

của hình nón cho

A 8a B 2 2a C 4a D 6a Câu 16 Cho điểm A(4;1; 1− ), B(0; 2;3) Độ dài đoạn thẳng AB

Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y+1) (2+ −z 1)2 =6 Điểm thuộc mặt cầu ( )S ?

A A(3; 2; 2− ). B B(3;1;1). C C(3; 2;3− ). D D(1;0; 4).

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+ =2 Vectơ

là vectơ pháp tuyến ( )P ?

A n1= −(1; 2; 2) B n2 = −( 1; 2; 2− ) C n3 = −(1; 2;0) D n4 =(1; 2;0)

Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; ,− ) (B 2;1; 1− ) Đường thẳng qua hai điểm

A B có phương trình là?

A

1 3 2

x t

y t

z t

= + 

 = − − 

 = + 

B

1

3

x t

y t

z t

= +   = − 

 = − + 

C

1

3

x t

y t

z t

= + 

 = + 

 = − − 

D

2

1

x t

y t

z t

= +   = + 

 = − − 

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm cạnh SB,  góc (ABCD) (MCD) Khi cos bằng:

A 57

19 B

3

4 C

3

2 D

4 19 19 Câu 21 Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số ( )

1 2020

y=mx + m− x + có điểm cực đại

A

m m

   

 B m0 C 0 m D m1

Câu 22 Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn −1;3 có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn −1;3 Giá trị M −3m

A 5 B −1. C 10 D 11

Câu 23 Đồ thị hàm số y= f x( ) có hình vẽ

O x

y

1

−

4

2

4

2

−

Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 2f x( )− =m có ba nghiệm phân biệt ?

A 0 B 2 C 1 D 3

Câu 24 Với hai số thực dương a, b tùy ý

6

log 5.log

log log

a

b

− =

+ Khẳng định khẳng định đúng ?

A a=blog 26 B a=blog 36 C a=36b D b=36a Câu 25 Tìm tập xác định D hàm số y=2020x+log2020(log2019(x2−5x+7))

A D=( )2;3 B D= −( ; 2  +3; ) C D= 2;3 D D= −( ; 2) ( 3;+)

Câu 26 Phương trình log 3(x+ +2) log9(x−1)4=4log9( )2x có nghiệm thực phân biệt?

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 27 Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn  1; thỏa mãn ( )

1

d 10

f x x=

 Tính tích phân

( )

4

1

d

f x

I x

x

=

A 20 B 5 C 10 D 30

Câu 28 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ bên Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), trục Ox hai đường thẳng

2

x= − ,

x= Mệnh đề đúng?

O x

2

1

−

1

− y

O x

y f x( )

A ( )

1

d

S f x x

−

=  B ( )

5

1

d

S f x x

−

=

C ( ) ( ) ( )

5

1 2

1

2

d d d

S f x x f x x f x x

−

=  + + D ( ) ( ) ( )

5

1 2

1

2

d d d

S f x x f x x f x x

−

=  − +

Câu 29 Cho số phứczthỏa mãn z− =2 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức

( )1

w= −i z i− + đường trịn Tìm tọa độ tâm I đường trịn đó?

A I(−5;3) B I( )5;3 C I(5; 3− ) D I(− −5; 3) Câu 30 Cho số phức z thỏa mãn: (2−i z) − = +2 3i Môđun z = +1 zi

A P= B P= C P=2 D P=1

Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD

là hình thang vng A B, có AB=a, AD=2a, BC=a Biết SA=a Tính thể tích V khối chóp S BCD theo a

A

3

a

V = B

3

2

3

a

V = C

2

V = a D

3

a

V =

Câu 32 Cho hình nón ( )N có đường kính đáy , chiều cao Khi diện tích tồn phần hình nón

A 36 B 20 C 24 D 64 Câu 33 Trong không gian Oxyz cho điểm M(1; 1; 2− ) hai đường thẳng

1

1

:

2

x y z

d − = + = − ; 2:

3 2

x y z

d − = + = +

Mặt phẳng ( )P qua M đồng thời song song với d1 d2 có phương trình

A x− +y 2z+ =5 B 4x− − + =y 5z C x− +y 2z+ =5 D 4x− − − =y 5z Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho A(1;0;1) B(1;1;0) Đường thẳng d vng góc

với mặt phẳng (OAB) O có phương trình A

1 1

x = y = z

− − B 1 1

x = =y z

− C 1 1

x = y = z

− D 1 1

x = y = z

− − Câu 35 Trong chương trình giao lưu gồm có 15 người ngồi vào 15 ghế theo hàng ngang Giả sử

người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên người 15 người để giao lưu với khán giả Xác suất để người chọn khơng có người ngồi kề

A.

5 B

13

35 C

22

35 D

Câu 36 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, BC=a 2,

AA =a Trên BB lấy điểm N cho

3

a

BN = Khoảng cách từ B đến mặt phẳng

(AC N ) A

2

a

B. a C

6

a

D

a

Câu 37 Cho hàm số y= f x( )=ax2+ +bx c a,( 0) có đồ thị hình vẽ Hàm số y=lnf (2−x)

đồng biến khoảng sau đây?

A (−1;1) B ( )1; C (−;0) D (−1;0) Câu 38 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau

Phương trình f f x( ( ))=0 có nhiều nghiệm?

A 3 B 4 C 5 D 6

Câu 39 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hàm số y= f( )x hình vẽ

Đặt ( ) ( )

2020

g x = x − −x f x + Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g x( ) đoạn − 3; 3 Hãy tính M +m

x – ∞ + ∞

y' + 0 – 0 +

y

– ∞

1 + ∞

O

3

−

2

1

−

x y

O

x y

1

A f ( ) ( )3 + f − B f ( ) ( )3 − f −

C 2020+ f ( )− D 4040− f ( ) ( )3 − f −

Câu 40 Cho bất phương trình: 9x2+x.3x2+1+4.3x2 x2.3x2 +27x+36 có tập nghiệm

   ; ;

S = a b  c d , với a b c d, , ,  a  b c d, P=a4− +2b 3c2−d có giá trị A P=8 B P= −14 C P=9 D P= −10

Câu 41 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm thoả mãn (x2+1 ) f( )x =2x(1− f x( )) f(0)=3 Có giá trị x để f x( ) nhận giá trị nguyên

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 42 Cho ( )

1

2

0

.e

e x a b

x x dx

c

−

+ − =

 , với a, b, c số nguyên a, b

nguyên tố Tính P= + +a b c

A P=10 B P=18 C P=46 D P=24 Câu 43 Cho N điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

3

z i

i z

+ − = −

− M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− − + + −2 i z 3i = 29 Tìm giá trị nhỏ MN?

A 9 B 28

61 C 85 D 4

Câu 44 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi O trọng tâm tam giác A B C  , ( )N hình nón ngoại tiếp hình chóp O ABC Góc đường sinh ( )N mặt đáy  với tan =2, khoảng cách hai đường thẳng A B C C 3a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C   

A 64

9 a B

3 256

81 a C

3 256

81 a D

3 64

3 a Câu 45 Cho hàm số y= f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau

x − −2 −1 +

y + − + − +

Gọi ( ) (1 )

g x = f − +x x − +x x − Khẳng định sau ? A Hàm số g x( ) đống biến khoảng (− −; 2)

Câu 46 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn  1; thỏa mãn ( ) ( )

2

1

1

1 d

3

x− f x x= −

 ,

( )2

f = , ( )

2

2

1

d

f x x=

 

 

 Tính ( )

2

1

d

I = f x x A

5

I = B

5

I = − C

20

I = − D

20

I =

Câu 47 Có số nguyên m để phương trình ln(m+2sinx+ln(m+3sinx))=sinx có nghiệm thực ?

A 3 B 4 C 5 D 6

Câu 48 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N P, , thuộc cạnh , ,

BC SC SD cho MC NS PS k

MB = NC = PD = (k 0) Biết thể tích khối S ABCD 1, thể tích lớn

nhất khối CMNP A

27 B

2

27 C

1

8 D

1 16 Câu 49 Trong không gian Oxyz, cho điểm A a( ;0;0 ;) (B 0; ;0 ;b ) (C 0;0;c M) (; 2;5;5)

(a b c, , dương) Gọi H K, theo thứ tự hình chiếu vng góc gốc tọa độ O cạnh AC BC Mặt cầu qua điểm O A B H K, , , , có tâm I(1; 2;0) Khi mặt cầu qua điểm , , , ,O A B C Mcó phương trình

A (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =14 B (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =4 C (x−1) (2+ y−2) (2+ z+3)2 =56 D ( 1) (2 2) (2 3)2

2

x− + y− + −z =

Câu 50 Trong không gian (Oxyz), cho đường thẳng

( ) ( )

9

:

4 6

x a at

y b bt t

z a b a b t

 = + +



  = + + 

 = + − + −



Gọi ( )S mặt cầu tâm O, có bán kính nhỏ tiếp xúc với  Khi ( )S qua điểm sau đây? A M(1;0;0) B 1; 3;1

2

N 

  C

1 0; ;

2

P 

  D

1 ; ; 2

K − 

BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

D C B A C A D B B C C A A A A D C C D D D D C C D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C A D C A D A B D C D D C D A C C D D C B B B A D

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu Số số tự nhiên có hai chữ số tạo từ chữ số 1, 3, 5, 7,

A 30 B 50 C 20 D 25

Lời giải Chọn D

Số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab, a b, 1;3;5;7;9

a có cách chọn, ứng với cách chọn a có cách chọn b Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên tạo 5.5=25 số Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng?

A. ( )un ,n *; n

u =n + B ( )un ,n *;un =2n

C ( )un ,n *; un =2n+1 D. ( )un ,n *;un = n+1 Lời giải

Chọn C

Xét A, ta có ( )un khơng phải cấp số cộng (( )2 ) ( )

1 1

n n

u + −u = n+ + − n + = n+

Xét B, ta có ( )un khơng phải cấp số cộng un+1−un =2n+1−2n =2n

Xét C, ta có ( )un cấp số cộng un+1− =un (2(n+ + −1) 1) (2n+ =  1) 2, n * Xét D, ta có ( )un khơng phải cấp số cộng

( )

1

1

1 1

2

n n

u u n n n n

n n

+ − = + + − + = + − + =

+ + +

Câu Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau

Mệnh đề sau đúng ?

A Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng ( )3;

x – ∞ -2 + ∞

y' – 0 + 0 –

y

+ ∞

3

4

B Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (− −5; 2) C Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng (− +2; ) D Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (−;3)

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (3;+)  phương án A sai

Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (− −; 2) nghịch biến khoảng (− −5; 2)

Phương án B

Hàm số y= f x( ) đồng biến khoảng (−2;3) nghịch biến khoảng (3;+)Phương

án C sai

Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (− −; 2) đồng biến (−2;3)Phương án D sai

Câu Điểm cực đại đồ thị hàm số y=x3− +3x điểm:

A. N(−1;7) B. P(7; 1− ) C. Q( )3;1 D. M( )1; Lời giải

Chọn A

Tập xác định D=

Ta có y =3x2−3 Do y = 0 3x2− =3

1

x x

= 

  = −



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, điểm N(−1;7) điểm cực đại đồ thị hàm số Câu Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số

2

x y

x

+ =

− ? A. y= −2 B y=4 C. y=2 D.

2

y=

x – ∞ -1 + ∞

y' + 0 – 0 +

y

– ∞

7

3

Lời giải Chọn C

Ta có

1 1

4 4

4

lim lim lim

1

2 2

2

x x x

x

x x x

x

x

x x

→+ →+ →+

 + 

+

 

+  

= = =

−  −  −

 

 

,

1 1

4 4

4

lim lim lim

1

2 2

2

x x x

x

x x x

x

x

x x

→− →− →−

 + 

+

 

+  

= = =

−  −  −

 

 

Vậy đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y=2 Câu Đường cong sau đồ thị hàm số nào?

A.

3

y=x − x+ B.

3

y= − +x x+ C.

3

y=x + x+ D.

2

y=x − x + Lời giải

Chọn A

+) Hàm số

2

y=x − x + hàm số trùng phương nên khơng có dạng đồ thị hình Loại đáp án D.

+) Quan sát đồ thị ta có:

Khi x→ +, y→ + suy a0 loại đáp án B. Đồ thị hàm số

3

y=x + x+ không qua điểm (1; 1− ) nên loại C.

Câu Cho a, b, c số thực dương, e số logarit tự nhiên thỏa mãn ac=eb4 Tính giá trị biểu thức 1ln ln ln

2

A= a− b+ c

A 1 B lnac2

b C e D

1 Lời giải

Chọn D Ta có:

4

2

1

ln ln ln ln ln ln ln ln ln

2

ac eb

A a b c a b c e

b b

= − + = − + = = = =

O x

y

3

1

Câu Số nghiệm nguyên dương phương trình log(x2−2x+2)=1

A 0 B.1 C 2 D 3

Lời giải Chọn B

Ta có log( 2 2) 2 10 2

x

x x x x x x

x

= − 

− + =  − + =  − − =  

=



Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên dương x=4 Câu Cho hàm số ( )

3x f x

+

= Mệnh đề đúng?

A.  f x( )dx=ln3x+2+C B. ( ) 3

d ln x

f x x= + +C



C. ( )

( )2

1

d

x

f x x C

+

= − +

 D. ( )

( )2

1 3

d

x

f x x C

+

= − +



Lời giải Chọn B

Áp dụng công thức: dx 1ln ax b C

ax b+ =a + +

 ta có

1 d 3x+2 x



3ln x+ C

= +

Câu 10 Tính

0 sin d

I x x



=

A.1

2 B.

3

2 − C.

3

− + D.

2 + Lời giải

Chọn C

Ta có

6 0

3

sin d cos cos cos

6

|

I x x x



 

= = − = − + = − +

Câu 11 Hình ( )H giới hạn đường y= f x( ), x=a, x=b, (ab) trục Ox Khi quay ( )H quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích tình cơng thức

A ( )

b

a

V = f x dx B ( )

b

a

V = f x dx C 2( )

b

a

V =f x dx D ( )

b

a

V = f x dx Lời giải

Câu 12 Điểm M(1; 3− ) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức

A.1 3− i B.1 3+ i C. − +3 i D. 3−i Lời giải

Chọn A

Điểm M(1; 3− ) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức 3− i

Câu 13 Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z2+ + =z Tính P=z0+2

A 3

2

i

P= + B

2

i

P= + C

2

i

P= − D 3

2

i

P= −

Lời giải Chọn A

Ta có:

1 2

1 2

i z

z z

i z



= − − 

 + + = 



= − + 



Do z0 nghiệm phức có phần ảo dương nên 0 2

i

z = − +

Thay vào P ta được: 3

2 2

i i

P= − + + = +

Câu 14 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a b c, , Thể tích khối hộp chữ nhật là:

A V =a b c B

3

V = a b c C

6

V = a b c D V = + +a b c Lời giải

Chọn A

Câu 15 Cho hình nón có diện tích xung quanh 8a2 bán kính đáy a Độ dài đường sinh

của hình nón cho

A 8a B. 2a C 4a D 6a Lời giải

Chọn A Ta có

2

2

8

xq

a

S rl a al l a

a



  



=  =  = =

Vậy độ dài đường sinh hình nón cho l=8a

Câu 16 Cho điểm A(4;1; 1− ), B(0; 2;3) Độ dài đoạn thẳng AB

Lời giải Chọn D

Ta có AB= −( 4;1; 4) AB= AB = ( )−4 2+ +12 42 = 33

Câu 17 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y+1) (2+ −z 1)2 =6 Điểm thuộc mặt cầu ( )S ?

A A(3; 2; 2− ). B B(3;1;1). C C(3; 2;3− ). D D(1;0; 4).

Lời giải Chọn C

+ Thay tọa độ điểm A(3; 2;2− ) vào phương trình mặt cầu ( )S ta có( ) ( )2 :1 1

S + − + = vơ

lí Loại phương án#A.

+ Thay tọa độ điểm B(3;1;1) vào phương trình mặt cầu ( )S ta có( )S :12+ + =22 vơ lí Loại

phương án B.

+ Thay tọa độ điểm C(3; 2;3− ) vào phương trình mặt cầu ( )S ta có( ) ( )2 :1

S + − + = thỏa mãn Vậy điểm C thuộc mặt cầu ( )S

+ Thay tọa độ điểm D(1;0; 4) vào phương trình mặt cầu ( )S ta có( ) ( )S : −1 2+ +12 32 =6 vơ lí Loại phương án D.

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+ =2 Vectơ

là vectơ pháp tuyến ( )P ?

A n1= −(1; 2; 2) B n2 = −( 1; 2; 2− ) C n3 = −(1; 2;0) D n4 =(1; 2;0) Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng ( )P :x−2y+ =2 có vectơ pháp tuyến n3 = −(1; 2;0)

Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; ,− ) (B 2;1; 1− ) Đường thẳng qua hai điểm A B có phương trình là?

A

1 3 2

x t

y t

z t

= + 

 = − − 

 = + 

B

1

3

x t

y t

z t

= +   = − 

 = − + 

C

1

3

x t

y t

z t

= + 

 = + 

 = − − 

D

2

1

x t

y t

z t

= +   = + 

 = − − 

Lời giải Chọn D

Phương trình đường thẳng ( )d là:

1

x t

y t

z t

= +   = + 

 = − − 

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm cạnh SB,  góc (ABCD) (MCD) Khi cos bằng:

A 57

19 B

3

4 C

3

2 D

4 19 19 Lời giải

Chọn D

Gọi H trung điểm cạnh AB

Vì tam giác SAB nên SH ⊥AB

Khi đó:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SAB ABCD

SAB ABCD AB SH ABCD

SH AB

⊥ 



 =  ⊥



 ⊥



Kẻ MK//SH,(KAB)MK⊥(ABCD) MK⊥CD( )1 Kẻ KI⊥CD,(ICD) ( )2

Ta có (MCD) ( ABCD)=CD

Từ ( )1 ( )2 suy CD⊥(MKI)CD⊥MI Vậy góc hai mặt phẳng (MCD)

(ABCD) MIK  = MIK

Ta có:

2

3

2

SH SA AH a

2 19

a

MI = MK +KI =

Xét MKI, K =90 ta có: cos 19 19

KI MI

= =

Câu 21 Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y=mx4+(m−1)x2+2020 có điểm cực đại

A

m m

   

 B m0 C 0 m D m1

Lời giải Chọn D

+) Với m=0 ta có y= − +x2 2020

parabol với a= − 1 nên đồ thị hàm số có điểm cực đại nhận m=0 ( )1

+) Với m0 ta có ( ) ( )

4 2

y = mx + m− x= x mx + −m ;

2

0 1

2

x

y m

x

m

=  

 =  − +

 = 

Đồ thị hàm số có điểm cực đại có trường hợp: TH1: Có điểm cực trị điểm cực đại

0

0

1

0

m m

m m

m

m m

  



 

− +     



  

 

( )2

TH2: Có điểm cực trị gồm điểm cực tiểu điểm cực đại

0

0

0

1

0

0

m

m

m m

m m



  



− +      

 

 ( )3

Từ ( ) ( ) ( )1 ; ; , ta m1 Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu tốn Trắc nghiệm:

TH1: Có điểm cực trị điểm cực đại

0 0

0

0 1

a m m

m

b m m

  

  

    

 −  

   ( )4

0

0

0

a m

m

b m

 

 

    

 − 

  ( )5

Từ ( ) ( ) ( )1 ; ; , ta m1 Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 22 Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn −1;3 có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn −1;3 Giá trị M −3m

A.5 B −1. C.10 D.11

Lời giải Chọn D

Từ đồ thị hàm số y= f x( ) ta có M =5 m= −2 Do M−3m=11 Câu 23 Đồ thị hàm số y= f x( ) có hình vẽ

Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 2f x( )− =m có ba nghiệm phân biệt ?

A 0 B 2 C 1 D 3

Lời giải Chọn C

O x

y f x( )

1

O x

y

1

−

4

2

4

2

−

Ta có ( ) ( )

m

f x − = m f x = Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng

2

m y=

Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm phân biệt  0 2

m

m

      



Mà m suy m=1

Vậy có giá trị m thỏa mãn

Câu 24 Với hai số thực dương a, b tùy ý

6

log 5.log

log log

a

b

− =

+ Khẳng định khẳng định đúng ?

A a=blog 26 B a=blog 36 C a=36b D b=36a Lời giải

Chọn C

Ta có:

6

log 5.log

log log

a

b

− =

+

3

6

3

log

log log log

a

b

 − =

+

3

6

log

log log

a

b

 − =

6

log a log b

 − = log6 a

b

 = a 36 a 36 b

b

 =  =

Câu 25 Tìm tập xác định D hàm số y=2020x+log2020(log2019(x2−5x+7)) A D=( )2;3 B D= −  +( ;2 3; ) C D= 2;3 D D= −( ;2) ( +3; )

Lời giải Chọn D

Hàm số cho xác định

( )

2 2

2

2

2019

5 5 7 0

5

log 7

x x x x

x x

x x x x

 − +   − + 

 

   − + 

− +   − + 



O x

y f x( )

2

3 x x x x    − +     

Vậy tập xác định hàm số D= −( ;2) ( +3; ) Câu 26 Phương trình ( ) 9( )4 9( )

3

log x+ +2 log x−1 =4log 2x có nghiệm thực phân biệt?

A 0 B.1 C 2 D 3

Lời giải Chọn C

Điều kiện: ( )* x x     

Với điều kiện phương trình cho tương đương với phương trình sau:

( ) ( )

3 3

2log x+ +2 2log x− =1 2log 2x

( ) ( )

3 3

log x log x log 2x

 + + − =

(x 2) x 2x

 + − =

( ) ( )2 (( 2)()( 1))

2

2

x x x

x x x

x x x

+ − =    + −  =   + − = −  2

x x x x  − − =   + − =  ( ) ( ) ( ) ( ) 17 17 x tm x l x tm x l =   = −   − +   =   − −  = 

Vậy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

Câu 27 Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn  1; thỏa mãn ( )

1

d 10

f x x=

 Tính tích phân

( ) d f x I x x =

A 20 B 5 C 10 D 30

Lời giải Chọn A

+ Đặt

d d

t = x = t x x= t t

+ Đổi cận 1

4 x t x t =  =   =  =  + ( ) ( ) ( )

4 2

1 1

d d d 20

f x f t

I x t t f t t

t x

Câu 28 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ bên Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), trục Ox hai đường thẳng

2

x= − ,

2

x= Mệnh đề đúng?

A ( )

5

1

d

S f x x

−

=  B ( )

5

1

d

S f x x

−

=

C ( ) ( ) ( )

5

1 2

1

2

d d d

S f x x f x x f x x

−

=  + + D ( ) ( ) ( )

5

1 2

1

2

d d d

S f x x f x x f x x

−

=  − +

Lời giải Chọn D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 5

1 2

2 2

1 1 1

2 2

d d d d d d d

S f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x

− − −

=  =  + + =  − +

Câu 29 Cho số phứczthỏa mãn z− =2 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức

( )1

w= −i z i− + đường trịn Tìm tọa độ tâm I đường trịn đó?

A I(−5;3) B I( )5;3 C I(5; 3− ) D I(− −5; 3) Lời giải

Chọn C

Đặt w= +x yi x y,( ,  )

Ta có w= −( )1 i z i− +3 + − = −w i ( )1 i z

w i z

i

+ −  =

− Mà theo giả thiết ta có: z− =2 w

1

i i

+ −

 − =

−

w 1

i i

− +

 =

−

w 1

i i

− +

 =

− w 3i

 − + =  + − +x yi 3i = (x−5) (2+ y+3)2 =2

O x

2

1

−

1

Vây tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I(5; 3− ) Câu 30 Cho số phức z thỏa mãn: (2−i z) − = +2 3i Môđun z = +1 zi

A P= B P= C P=2 D P=1 Lời giải

Chọn A

Ta có: (2−i z) − = +  −2 3i (2 i z) = +4 3i

2

i z

i

+  =

−

( )( )

( )( )

4

2

i i

z

i i

+ +

 =

− +

8

i i

z + + − i

 = = +

+

Vậy ( ) ( )2

1 1

z= + + i i= − + i z = − + =

Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD

là hình thang vng A B, có AB=a, AD=2a, BC=a Biết SA=a Tính thể tích V khối chóp S BCD theo a

A

3

a

V = B

3

2

3

a

V = C

2

V = a D.

3

a

V =

Lời giải Chọn D

Ta có SA⊥ (ABCD)  SA⊥(BCD) .

S BCD BCD

V V SA S

+) Tính

2

2

BCD

a

S = AB BC =

Vậy

2

1

3

S BCD BCD

a a

V =V = SA S = a =

Câu 32 Cho hình nón ( )N có đường kính đáy 8, chiều cao Khi diện tích tồn phần hình nón

A.36 B 20 C 24 D 64 Lời giải

Chọn A

Hình nón ( )N có độ dài đường kính đáy nên bán kính r=4 Độ dài đường sinh hình nón 2

4

l= + = Stp =r r l( + ) =.4 5( + =) 36 Câu 33 Trong không gian Oxyz cho điểm M(1; 1;2− ) hai đường thẳng

1

1

:

2

x y z

d − = + = − ; 2:

3 2

x y z

d − = + = +

Mặt phẳng ( )P qua M đồng thời song song với d1 d2 có phương trình

A.x− +y 2z+ =5 B 4x− − + =y 5z C. x− +y 2z+ =5 D. 4x− − − =y 5z Lời giải

Chọn B

Đường thẳng d1 có VTCP u1=(2;3;1) Đường thẳng d2 có VTCP u2 =(3; 2; 2)

Mặt phẳng ( )P song song với d1 d2 nên ( )P có VTPT n=u u1, 2=(4; 1; 5− − ) Vậy mặt phẳng ( )P có phương trình 4(x− − + −1) (y 1) (5 z− = 2) 4x− − + =y 5z Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho A(1;0;1) B(1;1;0) Đường thẳng d vuông góc

với mặt phẳng (OAB) O có phương trình A

1 1

x = y = z

− − B 1 1

x = =y z

− C 1 1

x = y = z

− D 1 1

x = y = z

− − Lời giải

Chọn D

Ta có: OA=(1; 0;1) OB=(1;1; 0)

Vì đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (OAB) O nên d qua O nhận vectơ pháp tuyến mặt phẳng (OAB) làm vectơ phương

Vậy phương trình đường thẳng d là:

1 1

x y z

= =

− −

Câu 35 Trong chương trình giao lưu gồm có 15 người ngồi vào 15 ghế theo hàng ngang Giả sử người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên người 15 người để giao lưu với khán giả Xác suất để người chọn khơng có người ngồi kề

A 2

5 B

13

35 C

22

35 D

3 Lời giải

Chọn C

Ta có n( ) =C153 =455

Gọi A biến cố “trong người chọn khơng có người ngồi kề nhau”

A

 biến cố “trong người đươc chọn có người ngồi kề nhau”

TH 1: 3 người ngồi kề có 13 cách chọn TH 2: có người ngồi cạnh

- Hai người ngồi cạnh ngồi đầu hàng có cách chọn, với cách chọn có 12 cách chọn người cịn lại có: 2.12=24 cách

- Hai người ngồi cạnh không ngồi đầu hàng có 12 cách chọn, với cách chọn có 11 cách chọn người cịn lại có: 11.12=132 cách

( ) ( ) ( )( ) 13 ( ) 22

132 24 13 169

35 35

n A

n A P A P A

n

 = + + =  = =  =



Câu 36 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, BC=a 2,

AA =a Trên BB lấy điểm N cho

3

a

BN = Khoảng cách từ B đến mặt phẳng

(AC N ) A

2

a

B a C

6

a

D

a

Cách 1:

+ABC vuông B nên AC=a 3= AA, suy ACC A  hình vng AC⊥ A C ( )1 + Gọi ANA B =I ACA C =O

+ ABA∽ANB g( −g), suy ANB= ABAABA+IAB=  90 AN ⊥A B ( )2 Lại có BC AB BC (AA B B) BC AN ( )3

BC AA

⊥

  

 ⊥  ⊥

 ⊥ 



+ Từ ( )2 ( )3 suy AN⊥(A BC )AN ⊥A C ( )4 + Từ ( )1 ( )4 suy CO⊥(AC N )d C AC N( ,(  ))=CO + Gọi C N BC=E

3

BE BN

CE BB

 = =



+ Ta có d B( ,(AC N)) B N.d B AC N( ,( )) 2d B AC N( ,( ))

BN



  =  = 

( )

( ) ( ( ))

2 , ,

3

BE

d C AC N d C AC N

CE  

= =

3

a CO

= =

+ Gắn hệ trục tọa độ Bxyz hình vẽ, với: B(0; 0; 0), A a( ; 0; 0), B(0; 0;a 3),

(0; 2; 3)

C a a , 0; 0; 3

a N 

 

Ta có ; 0;

3

a AN = − a 

 , AC = −( a a; 2;a 3)

2

2

, ; ;

3

a a

AN AC  a 

 

  = − − 

  ( )

2

1; 2; 3

a

= − −

Mặt phẳng (AC N ) nhận n=(1;− 2; 3) làm vecto pháp tuyến, phương trình (AC N ) có dạng : x− 2y+ 3z+ =m

Vì A(AC N ) = −m a, suy (AC N ):x− 2y+ 3z− =a Vậy ( ( ))

( ) ( )2

2

3

,

3

1

a a a

d B AC N = − =

+ − +

Câu 37 Cho hàm số y= f x( )=ax2+ +bx c a,( 0) có đồ thị hình vẽ Hàm số y=lnf (2−x)

đồng biến khoảng sau đây?

A (−1;1) B ( )1; C (−;0) D (−1;0) Lời giải

O

x y

1

Chọn D

Điều kiện xác định hàm số y=lnf (2−x) là: f (2−    −   −  x) x x Hàm số đồng biến ( )

( )

2

0

f x

y

f x



− −

 = 

− Kết hợp với điều kiện, ta được:

( )

1

2

x

f x

−   

  −  

1 1

1

2

x x

x

x x

−   −  

 

   −  

−  

 

Câu 38 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau

Phương trình f f x( ( ))=0 có nhiều nghiệm?

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn C

Ta có: ( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2

3

3

0

2

f x x x

f f x f x x x

f x x x

=  −

 

=  = −  

 = 



Dựa vào bảng biến thiên

+ Trường hợp 1: f x( )=x1 (x1 −3) có nghiệm

+ Trường hợp 2: f x( )=x2 (− 3 x22) có nhiều nghiệm + Trường hợp 3: f x( )=x3 (x32) có nghiệm

Vậy phương trình f f x( ( ))=0 có nhiều nghiệm Câu 39 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hàm số y= f( )x hình vẽ

x – ∞ + ∞

y' + 0 – 0 +

y

– ∞

Đặt ( ) ( )

2020

g x = x − −x f x + Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g x( ) đoạn − 3; 3 Hãy tính M +m

A f ( ) ( )3 + f − B f ( ) ( )3 − f −

C 2020+ f ( )− D 4040− f ( ) ( )3 − f − Lời giải

Chọn D

Xét ( ) ( ) 2020

g x = x − −x f x + , với x − ; 3 Ta có g x( )=x2− −1 f( )x

( )

g x =  f( )x =x2− 1

x x

=  

= 



Bảng biến thiên hàm số g x( )

O

3

−

2

1

−

x y

( )

y=f x

2

1

y=x −

O

3

−

2

1

−

Do ( ) ( ) ( ) 3;

max 3 2020

M g x g f

− 

 

= = = − + ,

( ) ( ) ( )

3 ;

min 3 2020

m g x g f

− 

 

= = − = − − +

Vậy M+ = −m f ( ) ( )3 − f − +4040

Câu 40 Cho bất phương trình: 9x2+x.3x2+1+4.3x2 x2.3x2 +27x+36

có tập nghiệm

   ; ;

S= a b  c d , với a b c d, , ,  a  b c d, P=a4−2b+3c2−d có giá trị A P=8 B P= −14 C P=9 D P= −10

Lời giải Chọn A

Có 9x2+x.3x2+1+4.3x2 x2.3x2 +27x+36

2 2 2

9x 3x x 4.3x x 3x 27x 36

 + +  + +

( ) ( )

2

3x x 3x x 3x

 − − − − − 

( )( )

3 3x

x x

 − − − 

Xét hàm số f x( )=(x2−3x−4 3)( x2 −9), hàm số y= f x( ) liên tục

Có f x( )=0 (x2−3x−4 3)( x2 − =9)

2

2

3 3x

x x

 − − =

 

− = 

1

2

x x x

 = − 

 =

 =  

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu có: f x( )   −0 x  2; 1−    2; 4 Suy a= − 2, b= −1, c= 2, d=4

Suy P=a4−2b+3c2− = + + − =d

Câu 41 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm thoả mãn (x2+1 ) f( )x =2x(1− f x( )) f(0)=3 Có giá trị x để f x( ) nhận giá trị nguyên

A.1 B.2 C.3 D.4

Ta có ( ) ( ) ( ( ))

x + f x = x − f x ( ) ( ) ( )

1

x f x x f x x

 + + =

( ) ( )

1

x f x  x

 

 +  = Suy (x2+1 ) f x( )=2 x dx=x2+C Do f(0)=  =3 C Khi ( )

2 2 1 x f x x x + = = + + +

Vì x2+   1 1, x nên 22

x +   f x( )3 ( )1

Và 22 0,

1 x

x +     f x( )1 ( )2

Từ ( )1 ( )2 ta có 1 f x( )3, f x( ) nhận giá trị nguyên ( )

( ) f x f x =    =  2 2 x x  + =  +    + =  +  2 1 0 x x x x x = −   =    = =   = 

Vậy có giá trị x để f x( ) nhận giá trị nguyên

Câu 42 Cho ( )

1

2

0

.e

e x a b

x x dx

c

−

+ − =

 , với a, b, c số nguyên a, b

nguyên tố Tính P= + +a b c

A P=10 B P=18 C P=46 D P=24 Lời giải

Chọn C

Ta có ( )

1

2

e x d

I =x + x− x

1

2

0

.e dx 1d

x x x x x

= +  − = +I1 2I2

Tính

2

0 e dx

I =x x

Đặt 2

d e dx

u x v x =   =  d d e x u x v =     =  1 2 0 1

.e e d

2

x x

I = x −  x

1

2

0

1 e

e e

2 4

x + = − = Tính 1d

Đặt 3

1

t= x−  = −t x

2

3 d d

1

t t x

x t

 =

  

= +



Đổi cận x=  = −0 t 1; x=  =1 t 0

( )

0

3

2

1 d

I t t t t

−

= + ( )

0

6

3 t t dt

−

=  +

1

7 28

t t

−

 

=  +  = −

 

Vậy

e 14

I = + −

2 7e 11

28 −

= Do a=7, b=11, c=28 Vậy P= + + =a b c 46

Câu 43 Cho N điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3

z i

i z

+ −

= −

− M điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− − + + −2 i z 3i = 29 Tìm giá trị nhỏ MN?

A 9 B 28

61 C 85 D 4 Lời giải

Chọn D +)

3

z i

i z

+ −

= −

−  + − = −z 3i ( )1 i z− +  = − +3 3i iz 6i

6

i

z i

i

− +

 = = +

Suy N( )6;5

+) Gọi A( ) (2;1 , B −3;3)AB= 25 4+ = 29

( );

M x y điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− − + + −2 i z 3i = 29

Ta thấy z− − + + −2 i z 3i = 29MA MB+ = AB Suy quỹ tích điểm M đoạn thẳng

AB

+) AN( )4; , AB(−5; 2)AN AB = − + = − 20 12 Suy tam giác NAB tam giác tù

A

Khi đó, M thuộc đoạn thẳng AB MN nhỏ M A Vậy giá trị nhỏ MN AN = 16 16+ =4

B(-3;3) A(2;1)

N(6;5)

Câu 44 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi O trọng tâm tam giác A B C  , ( )N hình nón ngoại tiếp hình chóp O ABC Góc đường sinh ( )N mặt đáy  với tan =2, khoảng cách hai đường thẳng A B C C 3a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C   

A 64

9 a B

3 256

81 a C

3 256

81 a D

3 64

3 a Lời giải

Chọn D

Gọi Mlà trung điểm AB O trọng tâm tam giác ABC

Gọi I trung điểm OO I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác ABC A B C    Ta có: CC//AA CC//(ABB A )d CC A B( ', ' )=d CC( ,(ABB A ))=d C ABB A( ,(  ))

Mà: CM AB CM (ABB A)

CM AA

⊥

  

 ⊥

 ⊥ 

 d C ABB A( ,(  ))=CM =3a

Mặt khác, hình nón ( )N có đường sinh O C

Vì OO ⊥(ABC) nên (O C ABC ,( ))=(O C OC , )=O CO =

Xét tam giác vng O OC có: tan OO

OC

=   2 2.2

3

OO

OO OC CM a

OC





=  = = =

2

OI a

 =

Xét tam giác vng IOC có: IC= OC2+OI2 =2 2a

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là: (2 )3 64

3

V =  a = a

Gọi ( ) (1 )

g x = f − +x x − +x x − Khẳng định sau ? A Hàm số g x( ) đống biến khoảng (− −; 2)

B Hàm số g x( ) đồng biến khoảng (−1;0) C Hàm số g x( ) đồng biến khoảng ( )0;1 D Hàm số g x( ) nghịch biến khoảng (1;+)

Lời giải Chọn C

Xét g x( )= −2f(1−x)+x3−3x2+2x= −2f(1−x) (− −1 x)3+ −1 x Đặt 1− =x t, đóg x( ) trở thành h t( )= −2f( )t − +t3 t

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta suy h t( ) nhận giá trị dương khoảng (− −2; 1) ( )0;1 ,nhận giá trị âm khoảng (−1;0) (1;+)

 hàm số g x( ) nhận giá trị dương ( )2;3 ( )0;1 ,nhận giá trị âm ( )1; (−;0) Vậy hàm số đồng biến khoảng ( )0;1

Câu 46 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn  1; thỏa mãn ( ) ( )

2

1

1

1 d

3

x− f x x= −

 ,

( )2

f = , ( )

2

2

1

d

f x x=

 

 

 Tính ( )

2

1

d

I = f x x A

5

I = B

5

I = − C

20

I = − D

20

I = Lời giải

Đặt ( )

( )2

d d

u f x

v x x

=  

= −

 ta

( ) ( )3

d d

1

u f x x

v x  =    = − 

Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 3

1

1

1

1 d 1 d

3

x− f x x= x− f x − x− f x x

  ( ) ( ) 1 1 d

3 x f x x

 − = −  −

( ) ( )

2

3

1

1 d

x f x x

 − =

Xét ( ) ( )

2 2

3

1

1 d

f x k x x

  − −  =

 

 (k )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

1 1

d d d

f x x k x f x x k x x

  −  − +  − =

2

7

7

k k

 − + =  =k  f( )x =7(x−1)3

( ) 7( 1)4

4

x

f x − C

 = +

Do f ( )2 =0 nên

C= − ( ) ( )

4

7

4

x

f x −

 = −

Vậy ( )

2

4

1

1 d

I =  x− −  x ( )

2 1 x x  −  =  −      = −

Câu 47 Có số ngun m để phương trình ln(m+2sinx+ln(m+3sinx))=sinx có nghiệm thực ?

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn B

Điều kiện:

( )

3sin

2 sin ln 3sin

m x

m x m x

+ 



 + + + 



Với điều kiện phương trình cho tương đương:

( ) sin

2sin ln 3sin e x

m+ x+ m+ x =  +m 3sinx+ln(m+3sinx)=esinx+sinx

( ) ( )

ln 3sin sin

e m+ x ln m 3sinx e x sinx

 + + = + ( )1

Nên hàm số f t( ) đồng biến

Vậy ( )1  f ln(m+3sinx)= f (sinx) ln(m+3sinx)=sinx

Đặt a=sinx, a − 1;1

Phương trình trở thành: ln(m+3a)=a  = −m ea 3a Xét g a( )= −ea ,a a − 1;1 ;g a( )= −    −ea 0, a  1;1 Hàm số g a( ) nghịch biến  −1;1

Phương trình có nghiệm thực g( )1  m g( )−1 e 3 e

m

 −   +

Mà m nên m0;1; 2;3

Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 48 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N P, , thuộc cạnh , ,

BC SC SD cho MC NS PS k

MB = NC = PD = (k 0) Biết thể tích khối S ABCD 1, thể tích lớn

nhất khối CMNP A

27 B

2

27 C

1

8 D

1 16 Lời giải

Chọn B

Do

1

PS SP k

k

PD =  SD= k+ ,

MC CM k

k

MB =  CB =k+

1

NS CN

k

NC =  CS =k+

Ta có PD(SBC)=S ( ( ))

( )

( ,, )

d P SBC SP k

SD k

d D SBC

 = =

+

( )2

1 1

CMN CBS

S CM CN k k

S CB CS k k k

 

= = =

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2

,

1

, 1

P CMN CMN

D CBS CBS

d P CBS

V S k k k

V d D CBS S k k k

 

= = =

+ + +

Do

1

2 S ABCD S BCD D CBS

V = V =V = Từ có

( ) ( )

2

1

1

P CMN D CBS

k k

V V

k k

= =

+ +

Ta có

( )

3

3

1 1

2 1 27 1 27

1

k k k k k

k k k k k k

k

 

=   + +  =

+ + +  + + + 

+  k 0, dấu “=” xảy

2

k

 =

Vậy thể tích khối CMNP đạt lớn 27

Câu 49 Trong không gian Oxyz, cho điểm A a( ;0;0 ;) (B 0; ;0 ;b ) (C 0;0;c M) (; 2;5;5)

(a b c, , dương) Gọi H K, theo thứ tự hình chiếu vng góc gốc tọa độ O cạnh AC BC Mặt cầu qua điểm O A B H K, , , , có tâm I(1; 2;0) Khi mặt cầu qua điểm , , , ,O A B C Mcó phương trình

A (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =14 B (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =4 C (x−1) (2+ y−2) (2+ z+3)2 =56 D ( 1) (2 2) (2 3)2

2

x− + y− + −z =

Lời giải Chọn A

Gọi J trung điểm ABvà O điểm đối xứng với điểm O qua J Do tam giác OAB vuông O nên ( )1

2

JA=JB=JO= OO

Do O A OA O A (OAC) O A OH

O A OC

 ⊥

  

 ⊥  ⊥

  ⊥

Mà OH⊥ AC, OH ⊥(O AC )OH⊥O H hay tam giác OHO vuông H

Suy ( )2

2

JH =JO= OO Chứng minh tương tự ( )3

JK =JO= OO

Từ ( ) ( ) ( )1 ; ; suy J tâm mặt cầu qua điểm O A B H K, , , , Do J I(1; 2;0)

Mà J trung điểm ABnên ta có 2 2 a a b b  =   =     =   = 

Dựng đường thẳng  qua J vng góc với (OAB) dựng đường thẳng dtrong mặt phẳng

(COO) đường trung trực đoạn thẳng OC Khi giao điểm  d tâm Q mặt cầu qua điểm O A B C, , ,

Suy ; ; 1; 2;

2 2

a b c c

Q=   = 

   , bán kính mặt cầu

2 2

20

2

a b c c

R= + + = +

Mặt khác điểm M(2;5;5) thuộc mặt cầu nên ta có:

2 2

2 20 2

1 140 20 20

2

c c

QM = R + + −  = +  − c+c = +c  =c

 

Do Q=(1; 2;3), bán kính mặt cầu R= 14

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =14

Câu 50 Trong không gian (Oxyz), cho đường thẳng

( ) ( )

9

:

4 6

x a at

y b bt t

z a b a b t

 = + +



  = + + 

 = + − + −



Gọi ( )S mặt cầu tâm O, có bán kính nhỏ tiếp xúc với  Khi ( )S qua điểm sau đây? A M(1;0;0) B 1; 3;1

2

N 

  C

1 0; ;

2

P 

  D

1 ; ; 2

K − 

  Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( )

4 6

x a at

y b bt t

z a b a b t

 = + +  = + +    = + − + −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9

4 2

x a t

y b t t

z a b t

= + +    = + +   = + − +  Đặt s= +3 t s,  Khi

( ) ( )

9

:

4 2

x as

y bs s

z a b s

 = + 

  = + 

 = + −

Nhận xét  qua A(9; 4; 4) điểm cố định có véc tơ phương u=(a b; ; 2a−2b) Gọi n=(m n l; ; )⊥u ,a b, (m2+n2+ l2 0)

Ta có: ma nb+ +2la−2lb=0

(m 2l a) (n 2l b) 0,

 + + − = a b,

2

2

m l m l

n l n l

+ = = −

 

 

− = =

 

( ; ; ) (2; 2; )

n l l l l

 = − = − −

Do  nằm mặt phẳng ( )P qua A(9; 4; 4) có véc tơ pháp tuyến

(2; 2; )

P

n = − − Phương trình mp ( )P : 2x−2y− − =z Gọi K hình chiếu O 

Gọi H hình chiếu O ( )P

Ta có OHOKOA

( )

( )

( ) ( )

min 2 2

2

| |

,

2

OK =OH =d O P = − =

+ − + −

min

OK KH   AH

 Mặt cầu ( )S tâm O tiếp xúc  có bán kính nhỏ

Phương trình mặt cầu tâm O bán kính có dạng: x2+y2+z2 =4  ( )S ln qua điểm 1; 3;

2

K − 