Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu hệ có một trong hai phương trình ta dưa về dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T thì khi đó ta khảo sát một hàm số đặc trưng : y=f(t) trên T... Suy ra t=1 là nghiệm duy nhất..[r]
(1)GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T ta khảo sát hàm số đặc trưng : y=f(t) T Nếu f(t) đơn điệu để f(x)=f(y) xảy x=y Trong phương pháp khó em phải xác định tập giá trị x y , tập giá trị chúng khác em khơng dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0
Khi ta xét trường hợp : x=y , trường hợp A(x,y)=0 Sau số mà em tham khảo
Bài 1 Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
2 1
x y y x x
x y x
- Phương trình (1) x=0 y=0 khơng nghiệm ( không thỏa mãn (2) )
-Chia vế phương trình (1) cho
3
3
0 y y
x x x
x x
-Xét hàm số : f t 2t t3 f ' t 2 3t2 0 t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình
có nghiệm xảy : y
x y x
x -thay vào (2) :
x2 x2 1 x2 1 2x t2 x 2t2x 0 t 2;tx
2
2
1 3
x x x
x x x
Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 , 3;3 Bài 2. Giải hệ phương trình sau :
2
2
x
y x y
y
x x y x y
Giải
2
2 2 2
2 2 3 2
2
x
y x y x y y x y y x y y x y y
y
x x y x y x x y x y
x x y x y
-Trường hợp 1: 2 2
2 y
x y y
x y y
Thay vào (2) x2y 4y25y 2 2y4y25y 2 4y27y 2
-Trường hợp : 2 2 *
2 9
y y
x y y
x y y x y y
Thay vào (2) : 9y22y3y 9y22y3y 2 9y25y 9y25y 2
2 2
2
1
2
9
9 4 16 4 264 88
9
9
2
9 91 9
y x
t
t y y
y y
y
y y
t t
(2)Vậy hệ có nghiệm : ; 7; , 88 4; x y
Bài 3 Giải hệ phương trình sau :
2 2
1 xy
x y
x y
x y x y
Giải
a
2
2
1 xy
x y
x y
x y x y
Từ (2) viết lại : 2
x y x y x x xy x y x x
Ta xét hàm số f(t)=
0 ' 0
t t t f t t t Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , ta có : x y x y x2x (*)
Thay vào (1) :
2
2
2 2 2
2
2
1 x x x 1
xy
x y x x x x x x x
x x
2
2
1
1
1 1 **
1
3 x
x x
x x x x
x x x x
x x x
Thay vào (*) : 1; ; 1; , 1; 1;
x y
y x x x y
x y
Bài 4. Giải hệ phương trinh :
2
2
1 2
2
3
2
2
y x
x y
y x
x y
Từ
2
2
1 2
2
3
2
2
y x
x y
y x
x y
- Điều kiện :x y, 0- Từ (1) :
4
2
2.2 x x 2.2 y y
-Xét hàm số : f t( )2.t43t t 0 f t'( )8t3 3 Chứng tỏ f(t) đồng biến
Do để phương trình (1) có nghiệm : x2 y x 4y * - Thay vào (2) :
4
5
2
2
y
y
Xét hàm số : f(t)= 3
2 '( )
2
t
t f t t
-Nhận xét : f(1)=2+3
2 Suy t=1 nghiệm
4 5 4 1
; ;
4 5
5
5 y
x y
x y y
x
Bài 5. Giải hệ phương trình sau :
2
1 1
6
x x y y
x x xy xy x
Từ :
2
2 2
1 1 1
6 6
x x y y x x y y
x x xy xy x x x xy xy x
(3)Xét hàm số :
2
2 2
1
( ) '( )
1 1
t t
t t t
f t t t f t t R
t t t
Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) :
2
2 2 25
6 6
2
x
x x x x x x x x
2
2
2
x x x
x x x
* Trường hợp :
2 2
0
2 1;
2
x x
x x x x y
x x x x x
* Trường hợp :
2 2
0
2
2 6
x x
x x x
x x x x x
3 11 11 ;
2
x y
Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( 11; 11
2
)
Bài Giải hệ phwpng trình :
2
4
4
x x y y
x y x
Giải
Từ :
2 2
4
4
x x y y
x y x
(KA-2011)
- PT(1): 4x3 x y3 2 y 3 Đặt
2
5
5
2 2
t t t t
t y y t
- Khi (2) :
3
3
3
4 2
2 t t
x x x x t t
- Xét hàm số : f(u)=u3 u f u'( )3u2 1 u suy f(u) ln đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy : 2x=t 2x 2 y 4x2 5 2y2y 5 4x2 4
- Thay vào (2) :
2
2
( ) 4 : 0;
2
x
g x x x x
Ta thấy x=0 x=
3
4 không
nghiệm g'(x)=8 2 4 4 3 0;3
2 4
x x x x x x
x x
- Mặt khác : 1
2
g x
nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2
- Vậy hệ có nghiệm : ; 1; 2 x y
Bài 7.Giải hệ phương trình :
2 2
4 2
x x y y
x y
Giải :
Từ :
3
2 2
4 2
x x y y
x y
- Điều kiện : 2; 1 *
(4)- Đặt : Từ (2) : 4x2y 6 362x y 152x 1 16y - Từ (1):Đặt : y 2 t y t2 2y 3 2t22 3 2t21
- Cho nên vế phải (1) : 2t21t2t3 t 1 : x1 3 2x 1 2t3t
- Xét hàm số : f u 2u3 u f ' u 2u2 1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t)
chỉ xảy : x=t
2
31 53
2 15
2 2
31 227
2 15 15 31 53
15
y
x y y
x y
y y
x y y y
y
- Vậy hệ có nghiệm : ; 53 31; 53
4
x y
Bài 8Giải hệ phương trình :
3
3
2 1
4 ln 2
x x y x y
y x y x
Từ :
3
3
2 1
4 ln 2
x x y x y
y x y x
- Điều kiện : y22x0(*)
- Phương trình (1) : 2x32x2y 1 x2y 1 2x x 22y1x22 - Do : x2 2 2x y 1(**)
- Thay vào (2) : y32y 1 lny2 y 1 f y y32y 3 lny2 y 1 -Ta có :
2
2
'
1 y
f y y
y y
Chứng tỏ hàm số đồng biến
- Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1) Bài 9Giải hệ phương trình :
3
2
8
4 2
x x y y
x x y y y
Giải
Từ :
3
2
8
4 2
x x y y
x x y y y
- Điều kiện :
2 x
- Từ (1) : 8x3 2x 1 y 4y3 *
- Đặt : t 2x 1 2x t2 8x3 2x 1 4t2 1 3t4t21t4t3t - Do (*) : 4t3 t 4y3y
- Xét hàm số : f(u)= 4u3 u f ' u 12u2 1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương
trình có nghiệm : f(t)=f(y)
2x y 2x y 1(**)
- Thay vào (2) : y21 24 y2 1 2y3y22y 3 y42y3y22y0
2 2
y y y y y y y y y y y y
(5)- Vậy : 2 2
0 1
; ; , ; 1;1
1
1
2
2 y
y y y
x y x y
x x
x y x y
2
2
1
; 1; , 5 ; ;
1
2
2 y
y y y
x y x y
x x
x y x y
Bài 10.Giải hệ phương trình :
2
2
2
3
2
2
2
x y
x xy
x y x x y x
Giải :
Từ :
2
2
2
3
2
2
2
x y
x xy
x y x x y x
- Từ (2) : 2 2
2 2 2 1
x y x x y x x y x x y x x y x
- Hay :
2
*
x y
x x xy
x
, thay vào (1) :
2
1
1 1 2
2 x x
x x x
x x
(3)
- Nhận xét :
2
2 2
1 2 1
1
2
x x x x
x x x x x
Gọi :
2
2
1 1
,
2
x x
a b b a
x x x
- Cho nên (3)2a 2b 2b a 2a2a2b 2b
- Xét hàm số : f(t)=2t 2t f ' t 2 ln 2t 0 t R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm
khi : a=b , tức b-a=0 , hay : 1
2 x x Thay vào (*) ta tìm y= ; 2;
4 x y
Bài 11 Giải hệ phương trình :
3
2
3 2
x y
x x y y
Giai
Đ/K : 2;
2 x y
Từ (2) 1 2 x 2 x 1 2y1 2 y 2y 1 2x3 2 x 2y13 2y1
Ta xét hàm số :
( ) '( )
f t t t f t t t R Chứng tỏ hàm số ln đồng biến R
Do đẻ f 2x f 2y1, xảy : 2
3
y x
x y
x y
Thay vào (1) x3 3 x 1 x3 x x1x2 x 2 0 x 1;y 3
(6)Bài 12 Giải hệphương trình :
2 2
2 2
2
1 2
x y x y y
y x y xy x x xy y y
Giải Đ/K : x y 0;y 0 x y
Từ (2) : 2 2 2 2 2
1
y x y y y xyx xy y
2 2
2
1
y yy xy x y x y
Xét hàm số : 2
2
1 1
( ) '( ) 2
2
1
t
f t t t t t f t t t
t t
t t
( Vì :
2
1
1 1
1
t
t t
với t>0 )
Như hệ có nghiệm xảy : y x y hay x=2y
Thay vào (1) : 2y y2 2 y 22y25y 2 4y310y25y 2
2 2
y y y y
: 4y22y 1 vơ nghiệm
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )
Bài 13. Giải hệ phương trình sau :
2 6
2
x x y
x y y x x
Giải Điều kiện : y 2;x 6
Từ (2) :
2
2
2
2
2
2
2
1
x x
y y
x y y x x
x y
y x
2
1
1 2
y x
y x
Xét hàm số
1 1
( ) '( ) '
1
2
t
f t t f t
t t
t t
Chứng tỏ hàm số nghịch biến
Để 2
2
f x f y xảy : y 1 x22 Thay vào (1) ta phương trình :
2
2
2
1 2
2 8
t x t x
x x x
t t t t t t
2 4 3 2 3 2
2
0 7
1 49 49
4 46 49
4
t x t x t x
t t t t
t t t
t t t
+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0)
+/ Trường hợp : 3 2 2 2
( ) 49 49 '( ) 49 52 0;
f t t t t f t t t t t
Hàm số nghịch biến f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với t0; 7 Phương trình vơ nghiệm Bài 14. Giải hệ phương trình sau :
2
2 3
2012x 2 4024
y y x x x
y x x
(7)Điều kiện : 2y2x 5
+/ Nếu x=0 suy y=0 lại không thỏa mãn(2) x khác Từ (1( chia hai vế cho x
Khi :
2 4 3
3
2 3 2 2 2 2
1 y y x x x y y x 3x y y x 3x
x x x x x x
Xét hàm số :
( ) '( ) 3
f t t t f t t với t thuộc R Chứng tỏ hàm số đồng biến
Để f(2y) f x( )
x , xảy :
2
2 y
x y x
x Thay vào (2) ta :
1 2
2 2012x x 2x 5 x 40242012.2012x x1 4 x 4024
Lại đặt t=x-1 suy : 2012.2012t t2 4 t 4024 g t( )2012t t2 4 t
Lại xét hàm số :
2
( ) 2012 '( ) 2012 ln 2012 2012
t t t t
g t t t g t t t
t
Hay :
2 '( ) 2012 ln 2012
4 t
g t t t
t
Vì : t2 4 t
1
1 ln 2012
t
suy g'(t)>0 với t thuộc R mà g(0)=2 với t=0
nghiệm : 1; ; 1;1
2
t x x y x y
Bài 15. Giải hệ phương trình sau :
3
2 2
12 16
4
x x y y
x x y y
Giải
Điều kiện : 2 x 2;0y4 Khi hệ
3
2 2
12 12
4
x x y y
x x y y
Xét hàm số
12 2; ' 12 2;
f t t t t f t t t t
Chứng tỏ hàm số nghịc biến Cho nên để f(x)=f(y-2) xảy : x=y-2 , thay vào (2) ta :
2 2 2 2 2 2
2 4x 2 4x 5 x 2 x 6 4x 2 4x 5 4x 6
2
2
2
2
4
4 4 0
4 3 19 11
4 22 0;
8
t x
t x t x
x x
t t t t t t
2
2 2 ; 0;
t x x y x y
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(0;2)
Bài 16. Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
2
x y x y
x y x y
Giải
2 2
2 2
2 5
2 2 2
x y x y x x y y
x y x y x x y y
(8)
2
2
2
5
2
2 2
x x y y
x x y y
Do :
2
2
2 2
3 3
x x x x
y y y y
- Suy : 2
2
2
2 ;
2
x x y y
x x y y
Cho nên (1) xảy :
2 2
2
2
1
2 2
2
3 1
x x x x x x x x
y y y
y y y y y
- Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1) Bài 17 Giải hệ phương trình sau :
2 2
2
8
2 10
x y x y
x x y
Giải Hệ :
2
2 2
2
2
2
8
4
8 2
1 2
2
2 10
8
x x
y
x y x y y
x x y
y
x x y
y x
Bài 18. Giải hệ:
3
3 ( 1) 9( 1) (1)
1 1 (2)
x x y y
x y
Giải
- Từ điều kiện từ phương trình (2) có x1; y 1
- (1) x33x( y1)33 y1, xét hàm số f t( ) t3 3ttrên [1;) - Hàm số đồng biến [1;), ta có f x( ) f( y 1) x y1
- Với x y1thay vào (2) giải x1; x2 1,
2
x x
y y
Bài 19Giải hệ phương trình
(4 1) ( 3) (1)
2
4 (2)
x x y y
x y x
Giải
(1) (4x2 1)2x(2y6) 52y 0
2 3
2
(2 )x (2 )x 2y 2y (2 )x 2x 2y 2y
(2 )x f( 5 2 )y
với
( )
f t t t f t'( )3t2 1 0, t ( )t ĐB Vậy
5
(2 ) ( ) ,
2 x
f x f y x y y x
Thế vào pt (2) ta
2
4 ( )
2 x
x x g x
(9)Với
2
5
2
( ) 4 7, 0;
2
x
g x x x x
CM hàm g(x) nghịch biến
Ta có nghiệm
2
x y
Bài 20.(Thử ĐT 2012)Giải hệphương trình :
5 10 (1)
2
4
x xy y y
x y
Giải
TH1 : Xét y0 thay vào hệ thây không thỏa mãn
TH2 : Xét y0, chia vế (1) cho y5 ta ( )x x y5 y (3)
y y Xét hàm số f t( ) t5 t f t'( )5t4 1 nên hàm sốđồng biến Từ (3) f( )x f y( ) x y x y2
y y
Thay vào (2) ta có PT 4x 5 x 8 x Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (1;1)
Bài 21 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :
2
2x 3x 2y 3y 18
2
x y xy 7x 6y 14
( )( )
( ,x y )
Giải
(2) x2 (y 7)xy26y140 0
x
x y
(2) y2 (x 6)yx27x140 0 10
y
y x
Xét hàm số
( ) 4, '( ) - 3, '( )
4
f t t t t R f t t f t t
Vì
3 ;
4 hàm sốf(t) đồng biến
TH x 2 f x( ) f(2)6 Kết hợp vớiy1
2
( ) (1) ( ) ( ) (2 4)(2 4) 18
f y f f x f y x x y y
TH x2 hệ trở thành 2
1 1,
2
4 2
y y y y
y y y
vô nghiệm
Vậy hệ cho vô nghiệm
Bài 22.Giải hệ phương trình :
3 2
2
3 22 21 2
2 11
y y y x x x x
x x y
Giải
Điều kiện :
2
(10) 3
3 2
2 2
3 22 21 2 3 2
4 22 18 4 22 18 4
y y y x x x x y y y x x y
x x y x x y
3 3 3
3
2
3 2 2 1 2 2
4 22 18 4 22 18
y y y y x x y y x x
x x y x x y
Xét hàm số :
( ) '( )
f t t t f t t t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R Để f y 1 f 2x1chỉ xảy :y 1 2x1 Thay vào (2) ta có :
2 2
2x 11x 9 2y 2 2x 11x 11 y 1 2x 11x 11 2x1 *
Đặt
2
2 2
1 1
2 * 11 11
2 2
t t t
t x x t
4 2 2
2 11 11 22 12 4
t t t t t t t t t t t
Suy : Với 1 1 ; 1;0
1 0
t x x x
x y
y t y y y
Với 3 ; 5;
1 2
t x x x
x y
y t y y y
Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví 2
4 0
t t t t )
Bài 23.Giải hệ phương trình sau :
2
2 2
4
2
x x y y x
x x y y x
Giải
Hệ :
2
2
2 2
2
4
1
2
2
y x y
x xy y x x
y
x x y y x
x y
x
Đặt :
2 y u
x v x y
, hệ trở thành :
2
2
4
4 1;
9;
2
2 15
u v
u v u v u v
u v
v v
v u v v
* Với :
2
2
1
1 1
; 2;1 , 5;
3 3
3 y
u y x y y
x y x
v x y x y
x y
* Với :
9 u v
Hệ vô
nghiệm
Câu 8 : ( 1điểm)Giải hệ phương trình:
3 2
2
x y ln x x ln y y
(x, y R) x(x 1) (2 y) y 2y
Câu 8: Giải hệ phương trình:
3 2
2
x y ln x x ln y y (1)
x(x 1) (2 y) y 2y (2)
(11)
3
2
3
1
(1) x ln x x y ln
y y
x ln x x ( y) ln ( y) ( y)
Xét
f (t) t ln t 1 t , D = R (0.25)
2
f '(t) 3t 0, t R t
f đồng biến R.
Vậy (1)f (x) f ( y) x y (0.25)
Thay vào (2) 2
x x (x 2) x 2x
2
2 2
(x x)(x 2)
(x x) (x 2x 3).(x 2)
(0.25)
2
(x x)(x 2)
x
x 2x
KL: nghiệm hpt:(1 7; 1 7);(1 7;( 1 7) (0.25)
Câu (0,75 điểm)Giải hệ phương trình
2
2 3
4
( ; )
12 10 2
x x y y
x y
y y x
Giải hệ phương trình
2
2 3
4
( ; )
12 10 2
x x y y
x y
y y x
3
2
4 (1)
12 10 2 (2)
x x y y
y y x
Ta có: 2
(1) x x 4 ( ) y 4 ( ) (*)y
Xét hàm số đặc trưng 2
2 2
4
( ) '( )
4 4
t t
t t t
f t t t f t
t t t
Suy f(t) hàm số đồng biến R Từ (*) suy ra: f x( ) f( ) y x 2y Thay vào phương trình (2) ta được:
3
2
3 3 3 3
3 2
1 1 (**)
x x x
x x x x
Xét hàm số ( )
g t t t ta thấy g(t) đồng biến R nên từ (**) suy
3
1
1 x
x x
x
Vậy hệ có hai nghiệm
1
( 1; ); (0;0)
(12)Câu 7. Giải hệ phương trình
7 1 1
1 13 12
x y x
x y y x x
Câu (1,0 điểm).
Giải hệ phương
trình:
2
2 2
2 34 15
x y x y
x y y xy y x
Ta kí hiệu phương trình hệ sau:
2
2 2
2 34 15
x y x y
x y y xy y x
Điều kiện: 2
0 x y
2
1 2
2
x y
x x y y
x y
+ Với 2 x y thay vào (2) ta
2 x 2 2x 8 4x 34 15 x
Đặt 2
2 34 15
t x x t x x
Khi 3 trở thành 2
2 t t t
t
30 17
17 17 2
2
x x x y
x x
x y
+ Với 2 x 2y Vì y 0 2y0 mà 2 x nên
Giải hệ:
7 1 1
1 13 12
x y x
x y y x x
Điều kiện: x 1, ,x y
1 1
7 y
PT y x y x
y
(Do y7 khơng nghiệm
của phương trình)
Thay 1
7 y x
y
vào (2) ta phương trình:
2
2 1
13
7 7
y y y
y y
y y y
2 2 2
2
1 13
y y y y y y y
4
5 33 36
y y y y
1 12
y y y y
3 y y
Với
9 y x Với y 3 x
Hệ phương trình có nghiệm x y; 8;1 , 0;3
(13)có thể xảy x2 y0 thử vào (2) thấy thỏa mãn.
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm:
30 17
2 17 17 x y
và x y
Câu (1,0 điểm).Giải hệ phương trình:
2
2 1
3 3 7
xy y y x y x
y x y x
Giải hệ phương trình …
Điều kiện: x0 1, y 2, x3y 7 (*)
Nhận thấy
1 y x
không nghiệm hệ phương trình y 1 x 0
Khi đó, PT
1 1
1
y x
( ) x(y ) (y )
y x
1 1
y x
(y )(x y )
y x
1 1
(x y ) y
y x
x y y x (do (*))
Thay vào PT (2) ta được: 5 x 5x 4 2x7 ĐK: 5/ x (**) 3 5 x (7 x) 3( x5 4 x)
2
4 5
0
3
x x ( x x )
x ( x) x x
3
( x x )
x ( x) x x
x2 5x 4 (do (**)
4
x y
x y
(thỏa mãn (*),(**))
Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( ; ), ( ; ).1
Câu (1.0 điểm) Giải hệ PT
3
2
1
, ( , ) 1
xy x x y x y
x y
y x y x x
Giải hệ PT
3
2
1
, ( , ) 1
xy x x y x y
x y
y x y x x
ĐKXĐ x
Ta có 3 2
1
(14)
2
1 y x
x y x y
y x
Với
1
yx thay vào PT thứ ta
3 x 1 2 9x 3 4x 6 1 x x 1 Dễ thấy PT vô nghiệm Với yx thay vào PT thứ ta
3x 2 9x 3 4x2 1 x x 1
2
2
3 3 2
3 3 2
x x x x
x x x x
Xét hàm số
( ) 2
f t t t ta có
2
2
'( ) 2
2 t
f t t
t
suy hàm số đồng biến
Từ suy 1
x x x Vậy HPT có nghiệm ; 1; 5 x y
Câu (1,0 điểm) Giải ̣phương trình:
2
2 1
1 ,
3 1
x
x y x y
x x y
x x x y
Điều kiện:
1 x y
3
3 1
1 1
1 1
x x x
x x x
y x y y y
x x x
3
3
1
1
x x
y y
x x
Xét hàm số
f t t t có
3
f t t t suy f(t)đồng biến Nên
1
1
x x
f f y y
x x
Thay vào (2) ta được
2
(15) 2 2 2x x x
2
2
1
6 3
2 1
1 5 13
2 1
3 9
9 10
x
x x x
x x
x
x x x
x x
Ta có
2 1 x y
x
Với 3 3
x y Với 13 41 13
9 72
x y
Các nghiê ̣m này đều thỏa mãn điều kiê ̣n
KL: Hê ̣phương trình có hai nghiệm ; 3;4 3 x y
13 41 13
& ; ;
9 72
x y
Bài 1. Giải hệ phương trình sau :
2
1 2x y 2x
x y y x
x y
Giải
2
2
1
1
0
2 2
1
1
2 2
2 2 2
x x x x
x y x x y x
x x
x y x y
x y x y
x y y x
x y x y
x y x y
x x
Khi x=y , x=-1 Vậy nghiệm hệ : (x;y)=(-1;-1)
Khi x+y=1 , (2) có nghiệm : x=1 , hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)
Chú ý: Tại ta không đưa chúng dạng : x2 x y2y, sau xét hàm số y f t( ) t2 t ?
Bài 2. Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
3
2
2
2 x
y x xy
x y x x y x
Giải
Từ (2) : 2 2
1
2 2 *
1 x y
x
x y x x y x x y x
x xy
x
(16)Thay vào phương trình (1):
2
2
1
1 2
2 x x x x
x
Phương trình biết cách giải phần phương pháp
giải phương trình mũ Phương trình có dạng :
2
2
1 2 1 1
1
2 2
x x b a
b a
x x x x x
Do phương trình trở thành : 2 2
2 2
b a b a b b aa
Xét hàm số : ' ln
2
t t t
f t f t t R suy hàm f(t) đồng biến R Do để xảy
ra f(b)=f(a) xảy a=b :
2
2
2
1
1
x x
x x
x x
2
2
x x x
( x khác ) 2.2 ; 2;
4 4
y x y
Chú ý :Vì ta sử dụng phương pháp hàm số a,b thuộc R
Bài Giải hệ phương trình sau
2
12 20
ln ln
x xy y
x y x y
Giải
2 2 10 0
12 20
ln ln ln ln
x y x y
x xy y
x y x y x y x y
Từ (2) : ln 1 x x 1 ln(1 y) y 1 f t( ) lnt t f t; '( ) 1 tt 0
t t
Hàm số đồng biến với tthuoocj (0;1) nghịch biến khoảng t>1 đạt GTLN t=1 Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích "
Nếu thay vào (2)
:
x=2y x=2y x=2y
x=2y
1
1 2
2
ln ln ln
1
1
y y
y y
e
y y y y y e
y
y y
,
Xét hàm số :
2
1
( ) '( )
1 1
y y
f y e f y e
y y
có nghiemj : y=0
Nếu : x 10y x y; 0; x y
Tương tự ta có nghiệm y=0
Bài Giải hệ phương trình sau :
3
2
3
2
log log
1
y x
x x y y
x y
x
y x
Giải
3
3
2
3
1 3 3
2
log log
1
y x
x x y y
x x x y y x
x y
x
y x
3 3
1 3 1 3 *
x y y x x x y y
(17)Đặt : x-1=t suy (*) trở thành : 3 2
3
t y ty t y t ty y
+/ Trường hợp : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1
1 x
y
Thay vào (2) ta có : log log 1y x x32x32 0 x Do nghiệm hệ phương trình : (x;y)=(3;2)
+/ Trường hợp : 2 2 2 2
3 2
t ty y x x yy
2 2
2 2
x y x y y
Bài 5 Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
2 1
x y y x x
x y x
Giải
3 2 2 2 2 4
2 2
2 2 2
2
2 2
2 1 2 1 1 2 1 1
y x x y yx x
x y y x x x y x y x
x y x x y x x y x
-Trường hợp 1: y=
x , thay vào (2) : x2 x2 1 x2 1 2x t2 x 2t2x 0 t 2;tx
2
2
1 3
x x x
x x x
-Trường hợp : 2x2y2yx2x4 0 y2yx22x2x40
4 4
4 0
y x x x x x x R y
2 2
(, ) ,
f y x y yx x x y
Phương trình vơ nghiệm
Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 , 3;3
* Chú ý : Ta cịn có cách giải khác
- Phương trình (1) x=0 y=0 khơng nghiệm ( không thỏa mãn (2) )
- Chia vế phương trình (1) cho
3
3
0 y y
x x x
x x
- Xét hàm số : f t 2t t3 f ' t 2 3t2 0 t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình
có nghiệm xảy : y
x y x
x Đến ta giải phần Bài 6. Giải hệ phương trình sau :
2
2
x
y x y
y
x x y x y
Giải
2
2 2 2
2 2 3 2
2
x
y x y x y y x y y x y y x y y
y
x x y x y x x y x y
x x y x y
- Trường hợp 1: 2 2
2
y
x y y
x y y
(18)- Trường hợp : 2 2 *
2 9
y y
x y y
x y y x y y
Thay vào (2) : 9y22y3y 9y22y3y 2 9y25y 9y25y 2
2 2
2
1
2
9
9 4 16 4 264 88
9
9
2
9 91 9
y x
t
t y y
y y
y
y y
t t
Vậy hệ có nghiệm : ; 7; , 88 4; x y
Bài 7 Giải hệ phương trình sau :
2 2
1 xy
x y
x y
x y x y
Giải
a
2
2
1 xy
x y
x y
x y x y
Từ (2) viết lại : 2
x y x y x x xy x y x x
Ta xét hàm số f(t)=
0 ' 0
t t t f t t t Chứng tỏ f(t) hàm số đồng biến , ta có : x y x y x2x (*)
Thay vào (1) :
2
2 2
2 2 2
2
2
1 x x x 1
xy
x y x x x x x x x
x x
2
2
1
1
1 1 **
1
3 x
x x
x x x x
x x x x
x x x
Thay vào (*) : 1; ; 1; , 1; 1;
x y
y x x x y
x y
Chú ý : Các em có nhận xét không giải Bây nêu thêm hai cách để em
kiểm nghiệm :
Cách
Đặt : 2 2 2
; xy xy
x y u xy v x y x y xy
x y x y
2
2 v 2 1
u v u u uv v u u v u u u u v
u
2
2
1
2
x y u
u u v x y x y xy
* Nếu x+y=1 thay vào (2) ta :
2
1 ; 1; , 2;3
2
x y
x x x x x y
x y
+/ Với 2 2 2
2 0
(19)Bài 8. Giải hệ phương trinh :
2
2
1 2
2
3
2
2
y x
x y
y x
x y
Giải
Từ
2
2
1
2
3
2
2
y x
x y
y x
x y
- Điều kiện :x y, 0
- Từ (1) :
4
2
2.2 x x 2.2 y y
- Xét hàm số : f t( )2.t43t t 0 f t'( )8t3 3 Chứng tỏ f(t) đồng biến
Do để phương trình (1) có nghiệm : x 2 y x 4y * - Thay vào (2) :
4
5
2
2
y
y
Xét hàm số : f(t)= 3
2 '( )
2
t
t f t t
- Nhận xét : f(1)=2+3
22 Suy t=1 nghiệm
1
4 5 4 1
; ;
4 5
5
5 y
x y
x y y
x
Bài 9. Giải hệ phương trình :
2
s inx
siny 0;
4
3 2
x y
e
x
x y y y
Giải
Từ :
2
s inx
1
siny : 0;
4
3 2
x y
e
x
x y y y
- Từ (1) : s inx ( ) '( ) sin 2 ost 0;
siny s inx sin sin sin
t
x x y t
y
e t c
e e e e
f t f t t
e y t t
- Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Phương trình có nghiệm x=y
- Thay vào (2) : 8x2 3 2x22x 1 8x3 8x2 3 2x22x 1 8x1
2 2
9 36 2
8
3 2 2
x x x x
x x
x x x x x x
2
2
1
8
8
3 2
8 2
x x
x x x
x x x
- Với ; 1;
8 8
x x y
- Ta có : với 0;
4 x
suy
2
2
2 3
8 2 1
2 2
2 2 x
x x x
x
(20)- Vậy hệ có nghiệm : ; 1; 8 x y
Bài 10. Giải hệ phương trình sau :
2
1 1
6
x x y y
x x xy xy x
Giải
Từ :
2
2 2
1 1 1
6 6
x x y y x x y y
x x xy xy x x x xy xy x
( nhân liên hợp )
Xét hàm số :
2
2 2
1
( ) '( )
1 1
t t
t t t
f t t t f t t R
t t t
Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) :
2
2 2 25
6 6
2 x
x x x x x x x x
2
2 6
x x x
x x x
* Trường hợp :
2 2
0
2 1;
2
x x
x x x x y
x x x x x
* Trường hợp :
2 2
0
2
2 6
x x
x x x
x x x x x
3 11 11 ;
2
x y
Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( 11; 11
2
)
Bài 11. Giải hệ phwpng trình :
2
4
4
x x y y
x y x
Giải
Từ :
2 2
4 4
x x y y
x y x
(KA-2011)
- PT(1): 4x3 x y 3 2 y 3 Đặt
2
5
5
2 2
t t t t
t y y t
- Khi (2) :
3
3
3
4 2
2 t t
x x x x t t
- Xét hàm số : f(u)=u3 u f u'( )3u2 1 u suy f(u) đồng biến Do để f(x)=f(t) xảy
khi : 2x=t 2
2x 2y 4x 2y 2y 4x
- Thay vào (2) :
2
2
( ) 4 : 0;
2
x
g x x x x
Ta thấy x=0 x=
3
4 không
nghiệm g'(x)=
8 4 0;
2 4
x x x x x x
x x
- Mặt khác : 1
2
g x
(21)- Vậy hệ có nghiệm : ; 1; 2 x y
Bài 12. Giải hệ phương trình sau :
3
3
2
2
y xy
x y y
Giải :
- Đặt :
3
2
2
2 x t t
y x t
Lấy (1) +(2) :
3
3
x x t t
- Xét hàm số : y f u u33u f ' u 3u2 3 u R
- Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : x=t
2
3
3
2
2
8
2
2
x
x
x y x
y
y y
y y
x y y y y y y
y
- Vậy hệ có nghiệm : (2;1);(-1;-2)
Bài 13.Giải hệ phương trình :
2 2
4 2
x x y y
x y
Giải :
Từ :
3
2 2 2
x x y y
x y
- Điều kiện : 2; 1 *
2 y x
- Đặt : Từ (2) : 4x2y 6 362x y 152x 1 16y
- Từ (1):Đặt :
2 2 2
y t y t y t t
- Cho nên vế phải (1) : 2t21t2t3 t 1 : x1 3 2x 1 2t3t
- Xét hàm số : f u 2u3 u f ' u 2u2 1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(t)
chỉ xảy : x=t
2
31 53
2 15
2 2
31 227
2 15 15 31 53
15
y
x y y
x y
y y
x y y y
y
- Vậy hệ có nghiệm : ; 53 31; 53
4
x y
Bài 14 Giải hệ phương trình :
3
3
2 1
4 ln 2
x x y x y
y x y x
Từ :
3
3
2 1
4 ln 2
x x y x y
y x y x
(22)- Phương trình (1) : 2 x 2x y x y 2x x y x
- Do : x2 2 2x y 1(**)
- Thay vào (2) :
2 1 ln ln
y y y y f y y y y y
-Ta có : ' 2 22 1 y
f y y
y y
Chứng tỏ hàm số đồng biến
- Mặt khác : f(-1)=0 , phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1) Bài 15.Giải hệ phương trình :
3
2
8
4 2
x x y y
x x y y y
Giải
Từ :
3
2
8
4 2
x x y y
x x y y y
- Điều kiện :
2 x
- Từ (1) : 8x3 2x 1 y 4y3 *
- Đặt : t 2x 1 2x t2 8x3 2x 1 4t2 1 3t4t21t4t3t - Do (*) : 4t3 t 4y3y
- Xét hàm số : f(u)= 4u3 u f ' u 12u2 1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương
trình có nghiệm : f(t)=f(y)
2x y 2x y 1(**)
- Thay vào (2) : y21 24 y2 1 2y3y22y 3 y42y3y22y0
2 2
y y y y y y y y y y y y
- Vậy : 2 2
0
0 1
; ; , ; 1;1
1
1
2
2 y
y y y
x y x y
x x
x y x y
2
2
1
; 1; , 5 ; ;
1
2
2 y
y y y
x y x y
x x
x y x y
Bài 16.Giải hệ phương trình :
2
2
2
3 2
2
2 x
y
x xy
x y x x y x
Giải :
Từ :
2
2
2
3
2
2
2 x
y
x xy
x y x x y x
(23)- Hay :
2
*
x y
x x xy
x
, thay vào (1) :
2
1
1 1
2
2 x x
x x x
x x
(3)
- Nhận xét :
2
2 2
1 2 1
1
2
x x x x
x x x x x
Gọi :
2
2
1 1
,
2
x x
a b b a
x x x
- Cho nên (3)2a 2b 2b a 2a2a2b2b
- Xét hàm số : f(t)=2t 2t f ' t 2 ln 2t 0 t R Hàm số đồng biến , phương trình có nghiệm
khi : a=b , tức b-a=0 , hay : 1
2 x x Thay vào (*) ta tìm y= ; 2;
4 x y
Bài 17. Giải hệ phương trình :
2 2
3
1
4 ln
x y x y x y
y x y x
Giải :
Từ :
2 2
3
1
4 ln 2
x y x y x y
y x y x
- Phương trình (1) :
2
2
1
1 2.2 5.4 2.10
x y
x y a a a
x y a x y
5 2.10 54 5 10
5
a a a a a a
f a
- Xét : ' 15 ln 210 ln10 ln 210 ln10 10 ln10 ln
5 5
a a a a a a
f a
- Chứng tỏ hàm số đồng biến Mặt khác : f(1)=0 , nghiệm phương trình - Với a=1 suy 2x-y=1 , hay 2x=y+1 Thay vào (2) : y32y 1 lny2 y 1
2
2
2 ln '
1 y
f y y y y y f y y
y y
(*)
- Xét :
2
2
2 2 2
3
2
2 2
'
1 1 1
y
y y
y
g y g y
y y y y y y
- Nhận xét :
1
'
2
'
1
' 0 '
2
y f y
f y y R
y g y g f y
(24)Bài 18 Giải hệ phương trình :
3
2
3 2
x y
x x y y
Giai
Đ/K : 2;
2 x y
Từ (2) 1 2 x 2 x 1 2y1 2 y 2y 1 2x3 2 x 2y13 2y1
Ta xét hàm số :
( ) '( )
f t t t f t t t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R
Do đẻ f 2x f 2y1, xảy : 2
3
y x
x y
x y
Thay vào (1) x3 3 x 1 x3 x x1x2 x 2 0 x 1;y 3
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)
Bài 19.Giải hệ phương trình :
3
2
8
1
x y xy x y xy
x y
x y
( Ngô Trung Hiếu ) Giải
Đ/K : 2 2 0 *
0
x y x y
x y y x
Hệ
3
2
8
8 x y xy x y xy
x y xy x y xy
x x y x x y
x y x y
Từ (2) : 2 2
0
1 x t
t x y x x t t x t x t x t x t
x t
+/ Trường hợp : x=t
2
y x x
x y x
x
thay vào (1) x68x2x x 2y28x2x x x68x38x2 2x28 x3 x2
6 2
8 16 2 2 24
x x x x x x x x x x x
2 2
2
2
2 24 2 6
2
x y
x x x x x x x x x x x y
x x
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;2),(-2;6)
+/ Trường hợp : 1 2 12
2 1
x x
x x y x y x
x y x x y x x
3 3
1 xy 8xy16 xy 2xy xy xy 16 xy 8xy2xy xy 0
3
16
x y x y xy x y
Thay vào (1) : x168x x 2 x 1 2x128x x 2 x 1
6 2 2 2
1 8
(25)Bài 20 Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
2
1 2
x y x y y
y x y xy x x xy y y
Giải Đ/K : x y 0;y 0 x y
Từ (2) : 2 2 2 2 2
1
y x y y y xy x xy y
2 2
2
1
y yy xy x y x y
Xét hàm số : 2
2
1 1
( ) '( ) 2
2
1
t
f t t t t t f t t t
t t
t t
( Vì :
2
1
1 1
1
t
t t
với t>0 )
Như hệ có nghiệm xảy : y x y hay x=2y
Thay vào (1) : 2 2
2y y2 2y 2y 5y 2 4y 10y 5y 2
2 2
y y y y
: 4y22y 1 vơ nghiệm
Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 )
Bài 21. Giải hệ phương trình sau :
2 6
2
x x y
x y y x x
Giải Điều kiện : y 2;x 6
Từ (2) :
2
2
2
2
2
2
2
1
x x
y y
x y y x x
x y
y x
2
1
1
y x
y x
Xét hàm số
1 1
( ) '( ) '
1
2
t
f t t f t
t t
t t
Chứng tỏ hàm số nghịch biến
Để 2
2
f x f y xảy : y 1 x22 Thay vào (1) ta phương trình :
2
2
2
1 2
2 8
t x t x
x x x
t t t t t t
2 4 3 2 3 2
2
0 0 2 7
1 49 49
4 46 49
4
t x t x t x
t t t t
t t t
t t t
+/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ (x;y)=(3;0)
+/ Trường hợp : 3 2 2 2
( ) 49 49 '( ) 49 52 0;
f t t t t f t t t t t
Hàm số nghịch biến f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với t0; 7 Phương trình vơ nghiệm Bài 22. Giải hệ phương trình sau :
2
2 3
2012x 2 4024
y y x x x
y x x
(26)Điều kiện : 2y2x 5
+/ Nếu x=0 suy ray=0 lại không thỏa mãn (2) x khác Từ (1( chia hai vế cho x
Khi :
2 4 3
3
2 3 2 2 2 2
1 y y x x x y y x 3x y y x 3x
x x x x x x
Xét hàm số :
( ) '( ) 3
f t t t f t t với t thuộc R Chứng tỏ hàm số đồng biến
Để f(2y) f x( )
x , xảy :
2
2 y
x y x
x Thay vào (2) ta :
2 1 2
2 2012x x 2x 5 x 40242012.2012x x1 4 x 4024
Lại đặt t=x-1 suy : 2012.2012t t2 4 t 4024g t( )2012t t2 4 t
Lại xét hàm số :
2
( ) 2012 '( ) 2012 ln 2012 2012
4
t t t t
g t t t g t t t
t
Hay :
2 '( ) 2012 ln 2012
4 t
g t t t
t
Vì : t2 4 t
1
1 ln 2012
t
suy g'(t)>0 với t thuộc R mà g(0)=2 với t=0
nghiệm : 1; ; 1;1
2
t x x y x y
Bài 23. Giải hệ phương trình sau :
3
2 2
12 16
4
x x y y
x x y y
Giải
Điều kiện : 2 x 2; 0y4 Khi hệ
3
2 2
12 12 4
x x y y
x x y y
Xét hàm số
12 2; ' 12 2;
f t t t t f t t t t
Chứng tỏ hàm số nghịc biến Cho nên để f(x)=f(y-2) xảy : x=y-2 , thay vào (2) ta :
2 2 2
2 4x 2 4x 5 x 2 x 6 4x 2 4x 5 4x 6
2
2 2
2
2
4
4 4 0
4 3 19 11
4 22 0;
8
t x
t x t x
x x
t t t t t t
2
2 2 ; 0;
t x x y x y
Vậy hệ cónghiệm : (x;y)=(0;2)
Bài 24. Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
2
x y x y
x y x y
Giải
2 2
2 2
2 5
2 2 2
x y x y x x y y
x y x y x x y y
(27)
2
2
2
5
2
2 2
x x y y
x x y y
Do :
2
2
2 2
3 3
x x x x
y y y y
- Suy : 2
2
2
2 ;
2
x x y y
x x y y
Cho nên (1) xảy :
2 2
2
2
1
2 2
2
3
3 1
x x x x x x x x
y y y
y y y y y
- Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1) Bài 25 Giải hệ phương trình sau :
2 2
2
8
2 10
x y x y
x x y
Giải Hệ :
2
2 2
2
2
2
8
4
8 2
1 2
2
2 10
8
x x
y
x y x y y
x x y
y
x x y
y x
Bài 26. Giải hệ:
3
3 ( 1) 9( 1) (1)
1 1 (2)
x x y y
x y
Giải
- Từ điều kiện từ phương trình (2) có x1; y 1
- (1)x33x( y1)33 y1, xét hàm số f t( ) t3 3ttrên [1;)
- Hàm số đồng biến [1;), ta có f x( ) f( y 1) x y1
- Với x y1thay vào (2) giải x1; x2 1,
2
x x
y y
Bài 27. (A – 2010)Giải hệ phương trình
(4 1) ( 3) (1)
2
4 (2)
x x y y
x y x
Giải
(1) (4x2 1)2x(2y6) 52y 0
2 3
2
(2 )x (2 )x 2y 2y (2 )x 2x 2y 2y
(2 )x f( 5 2 )y
với
( )
f t t t f t'( )3t2 1 0, t ( )t ĐB Vậy
2
(2 ) ( ) ,
2 x
f x f y x y y x
Thế vào pt (2) ta
2
4 ( )
2 x
x x g x
(28)Với
2
5
2
( ) 4 7, 0;
2
x
g x x x x
CM hàm g(x) nghịch biến
Ta có nghiệm
2
x y
Bài 28.)Giải hệ phương trình :
5 10 (1)
2
4
x xy y y
x y
Giải
TH1 : Xét y0 thay vào hệ thây không thỏa mãn
TH2 : Xét y0, chia vế (1) cho y5 ta ( )x x y5 y (3)
y y
Xét hàm số
( ) '( )
f t t t f t t nên hàm số đồng biến
Từ
(3) f( )x f y( ) x y x y
y y
Thay vào (2) ta có PT 4x 5 x 8 x Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (1;1)
Bài 29.Giải hệ phương trình
2
1 3 1 3 y
x
x x
y y
Giải
Trừ vế hai pt ta 2
1 1 3y 3x 1 3x 1 3y
x x y y x x y y
( ) ( )
f x f y với
( ) 1 3t
f t t t
2
( ) 1 3 ln 3 0, 1
t
t f t
t
( )
f t
đồng biến Bởi f x( ) f y( ) x y vàopt thứ ta
2
1 3x 1 3x 1 (0) ( )
x x x x g g x
Với
( ) 3x 1
g x x x
2
'( ) ln 3
1
x x x
g x x x
x
2
1
3 1 ln 3 0,
1
x
x x x
x
2
1 0
x x x2 1 1 Suy g x( ) đồng biến Bởi g x( )g(0) x 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y =
Bài 30 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ :
2
2x 3x 2y 3y 18
2
x y xy 7x 6y 14
( )( )
( ,x y )
(29)(2) x2 (y 7)xy26y140 0
x
x y
(2) y2 (x 6)yx27x140 0 10
y
y x
Xét hàm số
( ) 4, '( ) - 3, '( )
4
f t t t t R f t t f t t
Vì
3 ;
4 hàm số f(t) đồng biến
TH x 2 f x( ) f(2)6 Kết hợp vớiy1
2
( ) (1) ( ) ( ) (2 4)(2 4) 18
f y f f x f y x x y y
TH x2 hệ trở thành 2
1
2 1,
2
4 2
y y y y
y y y
vô nghiệm
Vậy hệ cho vơ nghiệm
Bài 31 Giải hệ phương trình :
3 2
2
3 22 21 2
2 11
y y y x x x x
x x y
Giải Điều kiện :
2
x Nhân hai vế (2) với sau lấy (1) trừ cho ta có hệ :
3
3 2
2 2
3 22 21 2 3 2
4 22 18 4 22 18 4
y y y x x x x y y y x x y
x x y x x y
3 3 3
3
2
3 2 2 1 2 2
4 22 18 4 22 18
y y y y x x y y x x
x x y x x y
Xét hàm số :
( ) '( )
f t t t f t t t R Chứng tỏ hàm số đồng biến R
Để f y 1 f 2x1chỉ xảy :y 1 2x1 Thay vào (2) ta có :
2 2
2x 11x 9 2y 2 2x 11x 11 y 1 2x 11x 11 2x1 *
Đặt
2
2 2
1 1
2 * 11 11
2 2
t t t
t x x t
4 2 2
2 11 11 22 12 4
t t t t t t t t t t t
Suy : Với 1 1 ; 1;0
1 0
t x x x
x y
y t y y y
Với 3 ; 5;
1 2
t x x x
x y
y t y y y
(30)Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví 2
4 0