Các dạng bất phương trình vô tỉ và cách giải

Đặc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.. Hai Bài tập còn lại các bạn tự giải.. Kỹ thuậ[r]

CÁC DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ CÁCH GIẢI

A PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG.

* Hai bất phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm. * Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng:

+) Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình

+) Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ( ln dương âm) mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình

+) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế bất phương trình

+) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế hai vế bất phương trình dương

+) Nghịch đảo hai vế bất phương trình hai vế dương ta phải đổi chiều I Kỹ thuật lũy thừa hai vế.

1 Phép lũy thừa hai vế:

a) 2k1 f(x) 2k1g(x)  f(x) g(x)

b)

  

  



) ( ) (

0 ) ( )

( )

( 2

x g x f

x g x

g x

f k

k

*)

  

  

 02

B A B B

A

  

 

0 A B

*)

    

    

2 0 B A A B B

A

*) A B 0 AB

( Đối với trường hợp cịn lại với dấu ,,< bạn tự suy luận )

2 Lƣu ý:

Đặc biệt ý tới điều kiện Bài toán Nếu điều kiện đơn giản kết hợp vào bất phương trình, cịn điều kiện phức tạp nên để riêng

Bài 1: Giải BPT sau:

a) x32x1 ; b) x2 x1 x3

c) 3x2 4x3 ; d) 3x2 x4 x1

Giải:

a)

 

3

4

3

1

0

0 2

2

  

     

      

   

  

 

    

 x

x x x x

x x

x x x

x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: 3;

b)

 

8

1

0

1

2

2

2  

    

   

 

      

 x

x x

x x

x x x

x

x

Vậy tập nghiệm bất phương trình là:    

  ;

Hai Bài tập lại bạn tự giải

Bài 2: Giải BPT: x4 1x  12x (1)

* (1)                                        2 1 4 1 1

2 x x x

x x x x x x x x x x   2 2 2 2                                                                       x x x x x x x x x x x

* Vậy tập nghiệm: [-4;0]

Bài tập tƣơng tự : Giải BPT: 5x1 x1 2x4 (TS (A)_ 2005)

Đáp số: Tập nghiệm T=[2;10) II Kỹ thuật chia điều kiện 1 Kỹ thuật:

Nếu Bài tốn có điều kiện xD mà DD1 D2  Dn ta chia Bài tốn theo

n trường hợp điều kiện:

+) Trường hợp 1: xD1, giải bất phương trình ta tìm tập nghiệm T1

+) Trường hợp 2: xD2, giải bất phương trình tìm tập nghiệm T2

………

+) Trường hợp n: xDn, giải bất phương trình tìm tập nghiệm Tn

Tập nghiệm bất phương trình T T1T2  Tn

2 Yêu cầu:

Cần phải xác định giao, hợp tập R thành thạo

3 Ví dụ:

* Điều kiện:

   

  



3

0 x x

* Với 0x43 (i) ta có (1)

 

  

    

       

 2

2

2

0 2 2

x x

x x x

x x

7

9

1

2  

  

  

 x

x x x

(ii) Kết hợp (i) (ii) ta có tập nghiệm  

  

3 ;

1

T

* Với 1x0 (1) ln Tập nghiệm trường hợp T2 = [-1 ;0)

Vậy tập nghiệm (1)  1;0

4 ;

2

1  

      T T

T

Bài tập :

Giải BPT : x2 3x2 x2 4x32 x2 5x4

Đáp số : x4 x =

III Kỹ thuật khai

1) Đƣa biểu thức thức : *

  

 

 



) (

) (

A A

A A A

A

* 2 ( , 0)



 E x

x y E A x E

y A

* 2n A2n  A * 2n1A2n1  A

2) Lƣu ý :

Biến đổi biểu thức thức thành đẳng thức 3) Ví dụ :

Giải BPT :

2

2     

 x x x

x

Giải :

(1)    

2 1 1 1 1

1               



 x x x x x x

            ) ( 1 1 x x x

* Với x110x11x2 thỏa mãn bpt (2)

Vậy trường hợp tập ngiệm T1=[2 ;+)

* Với

1

1

1

1   

          x x x

x bpt (2) trở thành :

2 2 1

1      

 x

x (luôn đúng)

Vậy tập nghiệm (1) trường hợp T2=[1 ;2) KL : Tập nghiệm (1) T=T1T2 1;

* Chú ý : Bài ta giải phương pháp bình phương hai vế. IV Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đƣa bất phƣơng trình tích. 1 Bất phƣơng trình tích : Trên điều kiện bpt ta có :

*                    ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f x g x

f *

                       ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f x f x g x f

Các trường hợp lại, bạn tự suy luận 2 Lƣu ý :

Đây kỹ thuật giải địi hỏi có tư cao, kỹ phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn nhân tử chung nhanh

Giải BPT : x13x x13x 10 (1)

Giải :

Điều kiện : x1(*)

(1) x13x2 x1 x1x x13x3x0

 1  1

1   2    2 



 x x x x x x

 1  13 10

 x x x x

0 1  

 x x (do x13x2 10 x1)

1

1     2  



 x x x x x x (vô nghiệm)

Vậy BPT cho vô nghiệm

V Kỹ thuật nhân chia liên hợp : 1 Biểu thức nhân chia liên hợp:

* (A B)

B A

B A B

A   



* (A B) B

A B A B

A   



2 Lƣu ý:

+) Nên nhẩm với số nghiệm nguyên đơn giản +) Chú ý tới biểu thức nhân chia liên hợp

3 Ví dụ:

Giải BPT : x2 15 3x2 x2 8

(1)

Giải:

* Ta có (1)  x2 15 x2 8 3x2

2 15

7

3 15

8 15

2

2

2

          

  

 x

x x

x x

x

x x

Từ (2) ta có

3

2

3x   x

* Mặt khác:

(1)  x2 1543x3 x2 83

) ( 15 2 2           x x x x x

 

3 15 1

2 

               x x x x x (3)

* Lại có : Vì

3



x nên

3 15 15 2 2              x x x x x x 3 15

2    

      x x x x Vậy (3) x10x1

KL : BPT (1) có tập nghiệm T=1;

* Chú ý : Trong Bài tốn này, việc thêm bớt, nhóm số hạng với để xuất

nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm x=1 hai vể BPT nhau

Thường dùng cách giải tương tự cho Bài toán : 2 2

b x d cx a

x     

Bài tập tương tự : Giải BPT : 3x1 6x3x214x80

(Dựa vào ĐH_B_2010)

VI Một số Bài tập tự luyện : Giải BPT sau : 1, 4

4      

 x x x x

x 2, x x

x x    

2

3

3, x 2x1 x 2x1  4, 3x4 2x1 3x

5, (4x1) x2 12x2 2x1 6, x2 3x 2x2 3x2 0 (ĐH_D_2002 )

7, 3 16       x x x x

8,

1

2    x x

x

9, 1    x x

11,

  21

2

3

  

 x x

12, 4x1  2x101 32x

13,

x x x x

x 12   12  14,     x x x

x x x

x

3 2

2

4

1

1    





B PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Một số yêu cầu :

- Dạng học sinh cần nhớ cách đặt ẩn Từ mở rộng cho Bài toán tương tự

- Chú ý tới điều kiện ẩn

II Một số dạng toán Bài toán làm mẫu 1 Đặt ẩn phụ đƣa bpt đơn giản :

Bài :Giải BPT :

1 

 

 x

x x

x

(1)

Giải :

* Điều kiện : 

 

 

1

x x

(*) * Đặt  1(t 0)

x x

t BPT (1) trở thành : 12 2t 32t3 3t2 10(t 0)

t

  

2

0

1       

 t t t t

Vậy

3

1

0     x x

x

Bài : Giải BPT :

2 2

1

5   

  



 

x x x x

Giải :

* Điều kiện : x>0

* Đặt

2

  

 t

x x

t (theo bất đẳng thức Côsi)

2

1

1

2       

 t

x x x

x

t

* BPT (2) trở thành : 

 

     

2

2

5

t t t

t kết hợp với t ta t 2

* Khi

     

  

   

    

  

    

2

2

2 2

2 2

2

x x

x x x

x

KL :

* Chú ý : Bài tốn mở rộng cho dạng : af(x) f 1(x) b f2(x) f 2(x)c0

2 Đặt ẩn phụ đƣa bất phƣơng trình lƣợng giác :

Giải BPT : 1x25  x5 1

(1)

Giải :

* Điều kiện : x 0;1

* Đặt xcost với

    

2 ;

0 

t BPT (1) trở thành : sin5t cos5t 1

Do sin5tsin2t nên sin5t cos5t sin2tcos2t1 với

    

2 ;

0 

t

* Do BPT cho có nghiệm x 0;1

3)  2 1

1 x  x  x 4) 2x3 x13x2 2x2 5x316

5) xx4 x2 4xx22 2 6) x x x

x   

1

1

7) x x2 1 x x2 1 2 8) x 1x2 x 1x2

9) 2 1 3x1 x

x x

x 10) x3 35x3x3 35x330

11) 2

2

1 x  x 12)    

3

1

1

2

3

2 x

x x

x        



13) x3 x 2x9 x 18168x 14) x314x2 7x1

15)

2

1 1

1

x x

x   

 16) x

x x

x x

x

2

2

2

1

        

17)

4

2 1

2 x x  18)

16

8 12

2

2   

  

x x x

x

C PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

* Nhớ cách xét tính đơn điệu hàm số, lập bảng biến thiên…

* Nhớ bất đẳng thức

* Thường áp dụng cho Bài tốn đặc thù, phức tạp khơng có thuật tốn cụ thể

hay có kì thi đại học năm gần

I Kỹ thuật sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: 1) Bất đẳng thức thông dụng:

* Bất đẳng thức Côsi:

Với a1 0,a2 0, ,an 0 ta có n

n n

a a a n

a a a

2

1  

Dấu “=” xảy a1 a2  an

* Bất đẳng thức Bunhiacopski :

Với a1,a2, ,an,b1,b2, ,bn ta ln có :

    2

2 2

2 2

2

1b a b anbn a a an b b bn

Dấu « = » xảy

n n

b a b

a b a

 



2 1

2) Ví dụ :

Bài : Giải BPT :

4

1

2 x x

x    



(1)

Giải :

* Điều kiện : 1

1

0

    

 

 

 

x x

x

(*) * Khi ( 1)

16

1

1

4

2 x

x x

x

x      

 

   

16 1

0 16 1

2

4 2

2

2          



 x x x x x

Điều với x thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm BPT x 1;1

Bài : Giải BPT :

 

1

1

   



x x

x x

(2) (ĐH_A_2010)

Giải:

* Điều kiện: x0 (*)

* Ta có: 2x2 x1 x2 x12 111 2x2 x10

2x2 x1   111x2  x 2 1x x (4)

* Dấu xảy  

2

1 1

1 

  

 

 

   

  

  

 

x x

x x x

x x x

KL:

III Kỹ thuật sử dụng tích vơ hƣớng hai vectơ 1 Định nghĩa: u.v u.vcos(u,v)

a) Biểu thức tọa độ tích vơ hướng:

+) Trong hệ tọa độ Oxy, u(x;y),v(x';y') u.v x.x'y.y'

+) Trong hệ tọa độ Oxyz, u (x;y;z),v(x';y';z') u.vx.x'y.y'z.z'

b) u.v  u.v Dấu xảy u,v phương

c) uv  u  v Dấu xảy u,v hướng

2) Ví dụ: Ta quay lại Bài thi ĐH_A_2010:

Giải BPT :

 

1

1

   



x x

x x

(1) (ĐH_A_2010)

Giải:

* Điều kiện: x0

* Do 2(  1)

x

x = (2 2 1

x

x >1 nên bất phương trình (1) tương đương với x

x x

x x

x x

x 1 2(  1) 2(  1 (1 ) (2)

Trong mặt phẳng tọa độ lấy a(1x; x), b(1;1) Khi đó:

Vậy (2) trở thành ab a.b Điều xảy a,b hướng tức tồn k>0

cho

2

1 

  

 

   

 x

k x

k x b

k

a

Nhận xét: Ta xây dựng lớp Bài toán tương tự cách lấy

vectơ thích hợp

IV Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá 1 Thuật toán:

Để giải bất phương trình f(x) g(x);f(x)g(x); f(x)g(x);f(x) g(x) ta khảo sát

căn vào tính chất hàm số y = f(x) y = g(x), đưa bảng biến thiên từ bảng biến thiên đưa kết luận

2 Lƣu ý: Nếu m tham số y = h(m) đường thẳng song song trùng với trục hồnh

3 Ví dụ:

Bài 1: Tìm a để BPT sau có nghiệm:

 1

1

3

3     

x x a x

x (1)

Giải:

* Điều kiện: x1 Khi đó:

(1)  x x1x3 3x2 1a (1’)

* Đặt f(x)x3 3x2 1 x  x1 Ta có:

    

1

1

1

6 ) (

'   

  

 

  

    

 x

x x

x x x

x x x x f

x 

 

f(x)

3

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bpt (1) có nghiệm a3

Bài 2: Tìm m để BPT 2x2 2mx13 2x3 x (1) nghiệm với

mọi x0

Giải:

Ta có (1) 2 2 13 3 2 2 13 1(x0) x

x x

x m x

x x

mx (1’)

* Đặt

x x

t 2 1 Do x0 nên theo BĐT Cơsi ta có 2 2 x

x

t

(Có thể sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện t)

Khi (1’) trở thành :

 ( 2)

1

 

 t t t

m (2)

(1) nghiệm với x0 (2) nghiệm với t 2

* Xét hàm số

2 )

(t t t

g   có

t t t

t g

4

3 ) (

'    

4

3 ) (

' t   t   t 

* Ta có bảng biến thiên : t

4

2

2 

g’(t) +

 

g(t)

2 2 2

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm với t2 m

2 2

2

V Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số miền xác định 1 Thuật toán :

Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu D, u(x) v(x) có miền giá trị tập D

Khi ta có : f(u(x)) f(v(x))u(x)v(x)

f(u(x)) f(v(x))u(x)v(x) u(x)v(x)

(Tương tự cho dấu ,,)

2 Ví dụ :

Giải BPT : x3 x1x3 1x 2x0 (1)

Giải :

* Điều kiện : 1

0

0

    

 

 

 

x x

x

(*)

 x1  x1 2 x1 1x  1x 2 1x (2)

* Xét hàm số f(t)t3 t2 2t với t 0 :

Có f'(t)3t22t20t 0 nên f(t) hàm đồng biến 0;

* Mặt khác : (2)  f( x1) f( 1x) x1 1x

0

1   



x x x kết hợp với điều kiện (*) ta : 1 x0

KL :

VI Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng hai nghiệm Tìm m để BPT sau có nghiệm :

  4  

1

2

1 x m x x x x m m

x        

 (1)

Giải :

* Điều kiện : 0 x1 (*)

* Nhận xét : Nếu x0 nghiệm (1) (1-x0) nghiệm (1) Do phương

trình có nghiệm

2

1 0 0

0  x  x 

x

Thay

2

0 

x vào (1) ta 0

2 2 2 2

1    4      

 m m m m m

* Với m=0 (1) trở thành :

 x 1x24 x1x04 x 41x2 0

2 1

0

4

4        

 x x x x x (thỏa mãn (*))

Vậy bất phương trình (1) có nghiệm m=0 VII Một số Bài tập tự luyện :

1,            

x x x

x

2 2 2,

40 40 100

2

9

2   





x x

x x

3, x1 2x3 503x 12 4, x2 2x 2x1 3x2 4x1

5, x x1 3x 2 x2 1 6, x2 4x5 x2 10x50 5

7, x2 4x  x2 6x11 8, 3x x1 52x  4034x10x2 x3

Bài : Tìm m để BPT sau vô nghiệm :  2  2

1

1

1 x x x x x

m          

(ĐH_B_2004)

Bài 3: Tìm a để BPT sau có nghiệm : 4x2 2x1 4x2 2x12a

Bài : Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : 2x 2x 24 6x2 6x m

Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

1

1

3 x m x  x 

Bài 6: Tìm m để BPT sau nghiệm với x 0;1: m xx  x  1x

3